Двама равни играчи играят шах. Еквивалентни уравнения и следствия

Определение. Две уравнения f 1 (x) = g 1 (x) и f 2 (x) = g 2 (x) се наричат ​​еквивалентни, ако множествата на техните корени съвпадат.

Например уравненията х 2 - 9 = 0 и (2 х + 6)(х- 3) = 0 са еквивалентни, тъй като и двете имат числата 3 и -3 като свои корени. Уравнения (3 х + 1)-2 = х 2- + 1 и х 2+ 1 = 0, тъй като и двете нямат корени, т.е. множествата на техните корени съвпадат.

Определение. Замяната на уравнение с еквивалентно уравнение се нарича еквивалентна трансформация.

Нека сега разберем какви трансформации ни позволяват да получим еквивалентни уравнения.

Теорема 1.Нека уравнението f(x) и g(x)определени на множеството и ч(х) е израз, дефиниран в същия набор. След това уравненията f(x) = g(x)(1) и f(x) + h(х) =g(x) + h(х) (2) са еквивалентни.

Доказателство. Нека означим с Т 1 -набор от решения на уравнение (1) и чрез Т 2 -набор от решения на уравнение (2). Тогава уравнения (1) и (2) ще бъдат еквивалентни, ако Т 1 = Т 2.За да се провери това, е необходимо да се покаже, че всеки корен на Т 1е коренът на уравнение (2) и, обратно, всеки корен на Т 2е коренът на уравнение (1).

Нека номерът А- корен на уравнение (1). Тогава а? Т 1,и когато се замести в уравнение (1), го превръща в истинско числово равенство f(a) = g(a), и изразът h(x)преобразува в числов израз ч(а), което има смисъл на снимачната площадка Х.Нека добавим към двете страни на истинското равенство f(a) = g(a)числов израз ч(а). Получаваме, според свойствата на истинските числени равенства, истинско числово равенство f(a) + h(а) =g(a) + h(а), което показва, че числото Ае коренът на уравнение (2).

И така, доказано е, че всеки корен на уравнение (1) е и корен на уравнение (2), т.е. Т 1с Т 2.

Нека сега А -корен на уравнение (2). Тогава А? Т 2и когато се замести в уравнение (2), го превръща в истинско числово равенство f(a) + h(а) =g(a) + h(а). Нека добавим към двете страни на това равенство числовия израз - ч(а), Получаваме истинско числово равенство f(x) = g(x),което показва, че числото А -корен на уравнение (1).

И така, доказано е, че всеки корен на уравнение (2) е и корен на уравнение (1), т.е. Т 2с Т 1.

защото Т 1с Т 2И Т 2с Т 1,след това по дефиниция на равни множества Т 1= Т 2, което означава, че уравнения (1) и (2) са еквивалентни.

Тази теорема може да се формулира по различен начин: ако двете страни на уравнението с областта на дефиниция хдобавим същия израз с променлива, дефинирана в същия набор, тогава получаваме ново уравнение, еквивалентно на даденото.

От тази теорема следват следствия, които се използват при решаване на уравнения:

1. Ако добавим едно и също число към двете страни на уравнението, получаваме уравнение, еквивалентно на даденото.

2. Ако някой член (числов израз или израз с променлива) се прехвърли от една част на уравнението в друга, променяйки знака на члена на противоположния, тогава получаваме уравнение, еквивалентно на даденото.

Теорема 2.Нека уравнението f(x) = g(x)определени на снимачната площадка хИ h(x) -израз, който е дефиниран в същия набор и не изчезва за никаква стойност хот много Х.След това уравненията f(x) = g(x)И f(x) h(х) =g(x) h(х) са еквивалентни.

Доказателството на тази теорема е подобно на доказателството на теорема 1.

Теорема 2 може да се формулира по различен начин: ако и двете страни на уравнението имат домейн хумножено по същия израз, който е дефиниран на същото множество и не се нулира върху него, тогава получаваме ново уравнение, еквивалентно на даденото.

От тази теорема следва следствие: Ако двете страни на уравнението се умножат (или разделят) на едно и също число, различно от нула, получаваме уравнение, еквивалентно на даденото.

Решаване на уравнения с една променлива

Нека решим уравнение 1- х/3 = х/6, х ? Ри ние ще оправдаем всички трансформации, които ще извършим в процеса на решение.

Тъй като всички трансформации, които извършихме при решаването на това уравнение, бяха еквивалентни, можем да кажем, че 2 е коренът на това уравнение.

Ако в процеса на решаване на уравнението условията на теореми 1 и 2 не са изпълнени, тогава може да възникне загуба на корени или да се появят външни корени. Ето защо е важно, когато трансформирате уравнение, за да получите по-просто, да се уверите, че те водят до уравнение, еквивалентно на даденото.

Помислете например за уравнението x(x - 1) = 2x, x? Р. Нека разделим двете части на х, получаваме уравнението Х - 1 = 2, откъдето х= 3, т.е. това уравнение има един корен - числото 3. Но вярно ли е това? Лесно е да се види, че ако в това уравнение вместо променлива хзаместител 0, то се превръща в истинското числово равенство 0·(0 - 1) = 2·0. Това означава, че 0 е коренът на това уравнение, което загубихме при извършване на трансформации. Нека ги анализираме. Първото нещо, което направихме, беше да разделим двете страни на уравнението на Х,тези. умножено по израз1/ х, но при х= О, няма смисъл. Следователно не изпълнихме условието на теорема 2, което доведе до загуба на корена.

За да сме сигурни, че множеството от корени на това уравнение се състои от две числа 0 и 3, представяме друго решение. Нека преместим израз 2 хот дясно на ляво: x(x- 1) - 2x = 0. Нека го извадим от скобите от лявата страна на уравнението хи дайте подобни условия: x(x - 3) = 0. Продуктът на два фактора е равен на нула тогава и само ако поне един от тях е равен на нула, следователно х= 0 или х- 3 = 0. От тук виждаме, че корените на това уравнение са 0 и 3.

В началния курс по математика теоретичната основа за решаване на уравнения е връзката между компонентите и резултатите от действията. Например решаването на уравнението ( х·9):24 = 3 се обосновава, както следва. Тъй като неизвестното е в дивидента, за да намерите дивидента, трябва да умножите делителя по частното: х·9 = 24·3, или х·9 = 72.

За да намерите неизвестния фактор, трябва да разделите продукта на известния фактор: x = 72:9, или x = 8, следователно коренът на това уравнение е числото 8.

Упражнения

1 . Определете кои от следните записи са уравнения в една променлива:

А) ( х-3) 5 = 12 х; г) 3 + (12-7) 5 = 16;

б) ( х-3) 5 = 12; д) ( х-3)· г =12х;

V) ( х-3) 17 + 12; д) x 2 - 2x + 5 = 0.

2. Уравнение 2 х 4 + 4х 2 -6 = 0 е определено в множеството от естествени числа. Обяснете защо числото 1 е коренът на това уравнение, но 2 и -1 не са неговите корени.

3. В уравнението ( х+ ...)(2х + 5) - (х - 3)(2х+ 1) = 20 едно число се изтрива и се заменя с точки. Намерете изтритото число, ако знаете, че коренът на това уравнение е числото 2.

4. Формулирайте условията, при които:

а) числото 5 е коренът на уравнението f(x) = g(x);

б) числото 7 не е корен на уравнението f(x) = g(x).

5. Определете кои от следните двойки уравнения са еквивалентни в множеството от реални числа:

а) 3 + 7 х= -4 и 2(3 + 7l х) = -8;

6)3 + 7х= -4 и 6 + 7 х = -1;

в) 3 + 7 х= -4 и l х + 2 = 0.

6. Формулирайте свойствата на връзката на еквивалентност на уравнението. Кои от тях се използват в процеса на решаване на уравнението?

7. Решете уравненията (всички те са дадени на набор от реални числа) и обосновете всички трансформации, извършени в процеса на опростяването им:

а)(7 х+4)/2 – х = (3х-5)/2;

б) х –(3х-2)/5 = 3 – (2х-5)/3;

на 2- х)2-х (х + 1,5) = 4.

8. Ученикът реши уравнение 5 х + 15 = 3 х+ 9, както следва: Извадих числото 5 от скобите от лявата страна и числото 3 отдясно и получих уравнението 5 (x+ 3) = 3(х+ 3) и след това раздели двете страни на израза х+ 3. Получих равенството 5 = 3 и заключих, че това уравнение няма корени. Ученикът прав ли е?

9. Решете уравнението 2/(2- х) – ½ = 4/((2- х)х); х? Р. Числото 2 коренът на това уравнение ли е?

10. Решете уравненията, като използвате връзката между компонентите и резултатите от действията:

А) ( х+ 70) 4 = 328; в) (85 х + 765): 170 = 98;

б) 560: ( х+ 9) - 56; G) ( х - 13581):709 = 306.

11. Решете задачи с помощта на аритметични и алгебрични методи:

а) На първия рафт има 16 книги повече, отколкото на втория. Ако премахнете 3 книги от всеки рафт, тогава на първия рафт ще има един път и половина повече книги, отколкото на втория. Колко книги има на всеки рафт?

б) Велосипедистът изминава цялото разстояние от лагера до гарата, равно на 26 км, за 1 час и 10 минути. През първите 40 минути от това време той кара с една скорост, а през останалото време с 3 km/h по-ниска. Намерете скоростта на велосипедиста в първия участък от пътуването.

1. Двама равни играчи играят игра, в която няма равенства. Каква е вероятността първият играч да спечели: а) една игра от две? б) две от четири? в) три от шест?

Отговор:А) ; б) ; V)

3. Отсечка ABразделени с точка СЪСв съотношение 2:1. Четири точки се хвърлят произволно върху този сегмент. Намерете вероятността две от тях да са отляво на точка C, а две - отдясно.

Отговор:

4. Намерете вероятността събитие А да се случи точно 70 пъти в 243 опита, ако вероятността това събитие да се случи във всеки опит е 0,25.

Отговор: .

5. Вероятността да имате момче е 0,515. Намерете вероятността сред 100 новородени да има равен брой момчета и момичета.

Отговор: 0,0782

6. Магазинът получи 500 бутилки в стъклени съдове. Вероятността всяка бутилка да бъде счупена по време на транспортиране е 0,003. Намерете вероятността магазинът да получи счупени бутилки: а) точно две; б) по-малко от две; в) най-малко две; г) поне един.

Отговор:а) 0,22; б) 0,20; в) 0,80; г) 0,95

7. Един автомобилен завод произвежда 80% от автомобилите без съществени дефекти. Каква е вероятността сред 600 автомобила, доставени от завода на автомобилната борса, да има поне 500 автомобила без съществени дефекти?

Отговор: 0,02.

8. Колко пъти трябва да се хвърли монета, така че с вероятност от 0,95 да се очаква, че относителната честота на появяване на герба ще се отклони от вероятността Р=0,5 поява на герба с едно хвърляне на монета с не повече от 0,02?

Отговор: n ≥ 2401.

9. Вероятността за възникване на събитие във всяко от 100 независими събития е постоянна и равна на стр=0,8. Намерете вероятността събитието да се появи: а) поне 75 пъти и не повече от 90 пъти; б) най-малко 75 пъти; в) не повече от 74 пъти.

Отговор: a B C) .

10. Вероятността за възникване на събитие във всеки от независимите опити е 0,2. Намерете какво отклонение на относителната честота на възникване на събитие от неговата вероятност може да се очаква с вероятност от 0,9128 с 5000 опита.

Отговор:

11. Колко пъти трябва да се хвърли монета, така че с вероятност 0,6 да се очаква, че отклонението на относителната честота на появяване на герба от вероятността стр=0,5 ще бъде не повече от 0,01 като абсолютна стойност.

Отговор: n = 1764.

12. Вероятността за възникване на събитие във всеки от 10 000 независими опита е 0,75. Намерете вероятността относителната честота на възникване на събитие да се отклонява от неговата вероятност в абсолютна стойност с не повече от 0,01.

Отговор: .

13. Вероятността за възникване на събитие във всеки от независимите опити е 0,5. Намерете броя на опитите н, при което с вероятност от 0,7698 можем да очакваме, че относителната честота на възникване на дадено събитие ще се отклонява от неговата вероятност по абсолютна стойност с не повече от 0,02.

Раздел 2. Логическа еквивалентност на формули. Нормални форми за формули на пропозиционална алгебра

Отношение на еквивалентност

Използвайки таблици на истината, можете да установите за кои набори от истинностни стойности на входните променливи дадена формула ще приеме истинска или невярна стойност (както и твърдение със съответната логическа структура), кои формули ще бъдат тавтологии или противоречия и също определят дали две дадени формули еквивалентен.

В логиката се казва, че две изречения са еквивалентни, ако и двете са верни или грешни. Думата „едновременно“ в тази фраза е двусмислена. Така за изреченията „Утре ще бъде вторник“ и „Вчера беше неделя“ тази дума има буквално значение: в понеделник и двете са верни, а през останалите дни от седмицата и двете са неверни. За уравненията " х = 2" И " 2x = 4""едновременно" означава "при същите стойности на променливата." Прогнозите „Утре ще вали“ и „Не е вярно, че утре няма да вали“ едновременно ще се потвърдят (окажат се верни) или не се потвърдят (окажат се неверни). По същество това е една и съща прогноза, изразена в две различни форми, които могат да бъдат представени с формулите хИ . Тези формули са едновременно верни и неверни. За да проверите, достатъчно е да създадете таблица на истината:

Виждаме, че стойностите на истината в първата и последната колона съвпадат. Естествено е такива формули, както и съответните изречения, да се считат за еквивалентни.

Формулите F 1 и F 2 се наричат ​​еквивалентни, ако техният еквивалент е тавтология.

Еквивалентността на две формули се записва, както следва: (да се чете: формула F 1е еквивалентен на формулата Е 2).

Има три начина да проверите дали формулите са еквивалентни: 1) създайте техния еквивалент и използвайте таблицата на истината, за да проверите дали е тавтология; 2) за всяка формула създайте таблица на истината и сравнете крайните резултати; ако в получените колони със същите набори от стойности на променливи стойностите на истината на двете формули са равни, тогава формулите са еквивалентни; 3) използване на еквивалентни трансформации.

Пример 2.1:Открийте дали формулите са еквивалентни: 1) , ; 2) , .

1) Нека използваме първия метод за определяне на еквивалентността, тоест ще разберем дали еквивалентността на формулите също е тавтология.

Нека създадем еквивалентна формула: . Получената формула съдържа две различни променливи ( АИ IN) и 6 операции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Това означава, че съответната таблица на истината ще има 5 реда и 8 колони:

От последната колона на таблицата на истината става ясно, че конструираната еквивалентност е тавтология и следователно .

2) За да разберем дали формулите са еквивалентни, използваме втория метод, тоест съставяме таблица на истинност за всяка от формулите и сравняваме получените колони. ( Коментирайте. За да се използва ефективно вторият метод, е необходимо всички компилирани таблици на истината да започват еднакво, т.е наборите от стойности на променливи бяха еднакви в съответните редове .)

Формулата съдържа две различни променливи и 2 операции, което означава, че съответната таблица на истината има 5 реда и 4 колони:

Формулата съдържа две различни променливи и 3 операции, което означава, че съответната таблица на истината има 5 реда и 5 колони:

Сравнявайки получените колони на компилираните таблици на истината (тъй като таблиците започват еднакво, не можем да обърнем внимание на наборите от стойности на променливи), виждаме, че те не съвпадат и следователно формулите не са еквивалентни ().

Изразът не е формула (тъй като символът " " не се отнася за никаква логическа операция). То изразява поведениемежду формулите (както и равенството между числата, паралелността между редовете и т.н.).

Валидна е теоремата за свойствата на релацията на еквивалентност:

Теорема 2.1.Отношение на еквивалентност между формули на пропозиционална алгебра:

1) рефлексивно: ;

2) симетрично: ако , то ;

3) транзитивни: ако и , тогава .

Закони на логиката

Често се наричат ​​еквивалентности на пропозиционалната логика закони на логиката. Изброяваме най-важните от тях:

1. – закон на тъждеството.

2. – закон на изключена среда

3. – закон на противоречието

4. – дизюнкция с нула

5. – връзка с нула

6. – дизюнкция с единство

7. – съединение с едно

8. – закон на двойното отрицание

9. – комутативност на съюза

10. – комутативност на дизюнкцията

11. – асоциативност на връзката

12. – асоциативност на дизюнкцията

13. – дистрибутивност на съюза

14. – дистрибутивност на дизюнкция

15. – закони на идемпотентността

16. ; – абсорбционни закони

17. ; - Законите на Де Морган

18. – закон, изразяващ импликация чрез дизюнкция

19. – закон на противоположността

20. – закони, изразяващи еквивалентност чрез други логически операции

Законите на логиката се използват за опростяване на сложни формули и за доказване на идентичната истинност или неистинност на формулите.

Еквивалентни трансформации. Опростяване на формули

Ако една и съща формула се замести навсякъде вместо някаква променлива в еквивалентни формули, тогава новополучените формули също ще се окажат еквивалентни в съответствие с правилото за заместване. По този начин от всяка еквивалентност може да се получат колкото се може повече нови еквивалентности.

Пример 1:Ако вместо това в закона на Де Морган хзаместител, и вместо Yзаместител, получаваме нова еквивалентност. Валидността на получената еквивалентност може лесно да се провери с помощта на таблица на истината.

Ако има формула, която е част от формулата Е, заменете с формула, еквивалентна на формулата , тогава получената формула ще бъде еквивалентна на формулата Е.

Тогава за формулата от пример 2 могат да бъдат направени следните замествания:

– законът за двойното отрицание;

- закон на Де Морган;

– законът за двойното отрицание;

– закон на асоциативността;

– законът за идемпотентността.

Чрез свойството за транзитивност на отношението на еквивалентност можем да заявим това .

Замяната на една формула с друга, която е еквивалентна на нея, се нарича еквивалентна трансформация формули.

Под опростяване формули, които не съдържат знаци за импликация и еквивалентност, се разбират като еквивалентна трансформация, водеща до формула, която не съдържа отрицания на неелементарни формули (по-специално двойни отрицания) или съдържа общо по-малък брой знаци за връзка и дизюнкция от оригинален.

Пример 2.2:Нека опростим формулата .

В първата стъпка приложихме закона, който трансформира импликацията в дизюнкция. На втората стъпка приложихме комутативния закон. На третата стъпка приложихме закона за идемпотентността. Четвъртият е законът на Де Морган. И петият е законът за двойното отрицание.

Бележка 1. Ако определена формула е тавтология, то всяка еквивалентна на нея формула също е тавтология.

По този начин еквивалентни трансформации могат да се използват и за доказване на идентичната истинност на определени формули. За да направите това, тази формула трябва да бъде намалена чрез еквивалентни трансформации до една от формулите, които са тавтологии.

Бележка 2. Някои тавтологии и еквивалентности се комбинират по двойки (законът на противоречието и законът на алтернативата, комутативните, асоциативните закони и др.). Тези съответствия разкриват т.нар принцип на дуалността .

Извикват се две формули, които не съдържат знаци за импликация и еквивалентност двойствен , ако всеки от тях може да се получи от другия чрез замяна на знаците съответно с .

Принципът на дуалността гласи следното:

Теорема 2.2:Ако две формули, които не съдържат знаци за импликация и еквивалентност, са еквивалентни, тогава техните дуални формули също са еквивалентни.

Нормални форми

Нормална формае синтактично недвусмислен начин за писане на формула, която изпълнява дадена функция.

Използвайки известните закони на логиката, всяка формула може да се трансформира в еквивалентна формула на формата , където и всеки е или променлива, или отрицание на променлива, или съвкупност от променливи или техни отрицания. С други думи, всяка формула може да бъде сведена до еквивалентна формула на проста стандартна форма, която ще бъде дизюнкция на елементи, всеки от които е връзка на отделни различни логически променливи със или без знак за отрицание.

Пример 2.3:В големи формули или по време на множество трансформации е обичайно да се пропуска знакът за връзка (по аналогия със знака за умножение): . Виждаме, че след извършените трансформации формулата е дизюнкция на три конюнкции.

Тази форма се нарича дизюнктивна нормална форма (DNF). Извиква се отделен DNF елемент елементарен съюз или съставна част на единица.

По подобен начин всяка формула може да бъде сведена до еквивалентна формула, която ще бъде конюнкция на елементи, всеки от които ще бъде дизюнкция на логически променливи със или без знак за отрицание. Тоест всяка формула може да се сведе до еквивалентна формула на формата , където и всеки е или променлива, или отрицание на променлива, или дизюнкция на променливи или техните отрицания. Тази форма се нарича конюнктивна нормална форма (KNF).

Пример 2.4:

Отделен елемент от CNF се нарича елементарна дизюнкция или съставна част на нула.

Очевидно всяка формула има безкрайно много DNF и CNF.

Пример 2.5:Нека намерим няколко DNF за формулата .

Перфектни нормални форми

SDNF (перфектен DNF) е DNF, в който всяка елементарна връзка съдържа всички елементарни твърдения или техните отрицания веднъж; елементарните връзки не се повтарят.

SKNF (перфектна CNF) е CNF, в която всяка елементарна дизюнкция съдържа всички елементарни твърдения или техните отрицания веднъж; елементарните дизюнкции не се повтарят.

Пример 2.6: 1) – SDNF

2) 1 - SKNF

Нека формулираме характерните черти на SDNF (SCNF).

1) Всички членове на дизюнкцията (конюнкция) са различни;

2) Всички членове на всяка връзка (дизюнкция) са различни;

3) Нито една конюнкция (дизюнкция) не съдържа едновременно променлива и нейното отрицание;

4) Всяка конюнкция (дизюнкция) съдържа всички променливи, включени в оригиналната формула.

Както виждаме, характерните черти (но не и формите!) отговарят на определението за дуалност, така че е достатъчно да разберете една форма, за да се научите как да получите и двете.

От DNF (CNF), използвайки еквивалентни трансформации, може лесно да се получи SDNF (SKNF). Тъй като правилата за получаване на перфектни нормални форми също са двойствени, ние ще анализираме подробно правилото за получаване на SDNF и сами ще формулираме правилото за получаване на SCNF, като използваме дефиницията за двойственост.

Общото правило за редуциране на формула до SDNF с помощта на еквивалентни трансформации е:

За да се даде формулата Е, което не е идентично невярно, за SDNF е достатъчно:

1) да я доведе до някакъв вид DNF;

2) премахнете членовете на дизюнкцията, съдържаща променливата заедно с нейното отрицание (ако има такова);

3) премахване на всички идентични членове на дизюнкцията с изключение на един (ако има такива);

4) премахване на всички еднакви членове на всяка връзка (ако има такива), освен един;

5) ако някоя връзка не съдържа променлива сред променливите, включени в оригиналната формула, добавете член към тази връзка и приложете съответния закон за разпределение;

6) ако получената дизюнкция съдържа идентични термини, използвайте предписание 3.

Получената формула е SDNF на тази формула.

Пример 2.7:Нека намерим SDNF и SCNF за формулата .

Тъй като DNF за тази формула вече е намерен (вижте Пример 2.5), ще започнем с получаване на SDNF:

2) в получената дизюнкция няма променливи заедно с техните отрицания;

3) в дизюнкцията няма еднакви членове;

4) няма еднакви променливи във връзка;

5) първата елементарна връзка съдържа всички променливи, включени в оригиналната формула, а втората елементарна връзка липсва променлива z, така че нека добавим член към него и приложим закона за разпределение: ;

6) лесно се забелязва, че в дизюнкцията са се появили идентични термини, така че премахваме един (предписание 3);

3) премахнете една от идентичните дизюнкции: ;

4) останалите дизюнкции нямат еднакви членове;

5) никоя от елементарните дизюнкции не съдържа всички променливи, включени в оригиналната формула, така че нека допълним всяка от тях с конюнкцията: ;

6) в получената връзка няма еднакви дизюнкции, следователно намерената съчинителна форма е перфектна.

Тъй като в съвкупност формулите SKNF и SDNF Е 8 члена, тогава най-вероятно са намерени правилно.

Всяка осъществима (фалшифицируема) формула има един уникален SDNF и един уникален SCNF. Тавтологията няма SKNF, но противоречието няма SKNF.

Открит урок по математика "Схема на Бернули. Решаване на задачи по схемата на Бернули и Лаплас"

Дидактика: придобиване на умения и способности за работа със схемата на Бернули за изчисляване на вероятности.

Развитие: развитие на умения за прилагане на знанията на практика, формиране и развитие на функционалното мислене на учениците, развитие на умения за сравнение, анализ и синтез, умения за работа по двойки, разширяване на професионалния речник.

Как се играе тази игра:

Образователни: култивиране на интерес към предмета чрез практическо приложение на теорията, постигане на съзнателно усвояване на учебен материал от учениците, развитие на способността за работа в екип, правилно използване на компютърни термини, интерес към науката, уважение към бъдещата професия.

Научни познания: Б

Тип урок: комбиниран урок:

• затвърдяване на материала, разгледан в предходни класове;
• тематични, информационни и проблемни технологии;
• обобщаване и консолидиране на материала, изучен в този урок.

Метод на обучение: обяснително - илюстративен, проблемен.

Контрол на знанията: фронтално проучване, решаване на задачи, презентация.

Материално-техническо оборудване на урока. компютър, мултимедиен проектор.

Методическа подкрепа: справочни материали, презентация по темата на урока, кръстословица.

По време на часовете

1. Организационен момент: 5 мин.

(поздрав, групова готовност за час).

2. Проверка на знанията:

Въпроси за проверка от слайдовете фронтално: 10 мин.

• определения на раздела „Теория на вероятностите“
• основна концепция на раздела „Теория на вероятностите“
• какви събития изучава „теорията на вероятностите“?
• характеристика на случайно събитие
• класическа дефиниция на вероятностите

Обобщаване. 5 минути.

3. Решаване на задачи в редове: 5 мин.

Задача 1. Хвърля се зар. Каква е вероятността хвърленото число да е четно и по-малко от 5?

Задача 2. В кутията има девет еднакви радиолампи, три от които са използвани. През работния ден техникът трябваше да вземе две радиолампи за ремонт на оборудването. Каква е вероятността и двете взети лампи да са използвани?

Задача 3. В три киносалона се прожектират три различни филма. Вероятността в определен час да има билети на касата на 1-ва зала е 0,3, на касата на 2-ра зала - 0,2, а на касата на 3-та зала - 0,4. Каква е вероятността в даден час да е възможно да се купи билет за поне един филм?

4. Проверете на дъската как се решават задачи. Приложение 1. 5 мин.

5-то заключение за решаване на проблеми:

Вероятността за възникване на събитие е еднаква за всяка задача: m и n – const

6. Целеполагане чрез задача: 5 мин.

Задача. Двама равни шахматисти играят шах. Каква е вероятността да спечелите две игри от четири?

Каква е вероятността да спечелите три игри от шест (равенствата не се вземат предвид)?

Въпрос. Помислете и назовете как въпросите на тази задача се различават от въпросите на предишните задачи?

Чрез разсъждения и сравнение получете отговора: във въпросите m и n са различни.

7. Тема на урока:

Изчисляване на вероятността събитие да се случи веднъж от n експеримента при p-const.

Ако се провеждат тестове, при които вероятността за възникване на събитие А във всеки тест не зависи от резултатите от други тестове, тогава такива тестове се наричат ​​независими по отношение на събитие А. Тестове, при всеки от които вероятността за възникване на събитието е същото.

Формула на Бернули. Вероятността, че в n независими опита, във всяко от които вероятността за настъпване на събитие е p(0

или Приложение 2 формула на Бернули, където k,n са малки числа, където q = 1-p

Решение: Играят еквивалентни шахматисти, така че вероятността за победа е p=1/2; следователно вероятността за загуба на q също е 1/2. Тъй като във всички игри вероятността за победа е постоянна и няма значение в каква последователност са спечелени игрите, формулата на Бернули е приложима. 5 минути

Нека намерим вероятността две игри от четири да бъдат спечелени:

Нека намерим вероятността три игри от шест да бъдат спечелени:

Тъй като P4 (2) > P6 (3), е по-вероятно да спечелите две игри от четири, отколкото три от шест.

8. Задача.

Намерете вероятността събитие А да се случи точно 70 пъти в 243 опита, ако вероятността това събитие да се случи във всеки опит е 0,25.

k=70, n=243 От това следва, че k и n са големи числа. Това означава, че е трудно да се изчисли по формулата на Бернули. За такива случаи се използва локалната формула на Лаплас:

Приложение 3 за положителни x стойности е дадено в Приложение 4; за отрицателни стойности на x използвайте същата таблица и =.

9. Съставете алгоритъм за решаване на задачата: 5 мин.

• намерете стойността на x и закръглете до най-близката стотна (0,01);
• Ще намерим функцията на Лаплас от таблицата;
• нека заместим стойността на функцията на Лаплас във формулата на Лаплас

10. Решаване на задача с анализ на дъската. Приложение 5. 10 мин.

11. Обобщаване на урочната информация чрез презентации

• кратка информация за раздела „Теория на вероятностите”; 5 минути.
• исторически материали за учените Бернули и Лаплас. 5 минути.