Система от линейни алгебрични уравнения. Основни термини. Матрична форма за запис.
Дефиниция на система от линейни алгебрични уравнения. Системно решение. Класификация на системите.
Под система от линейни алгебрични уравнения(SLAE) предполагат система
Параметрите aij се извикват коефициенти, и би – безплатни членовеСЛАУ. Понякога, за да подчертаят броя на уравненията и неизвестните, казват „система m×n“. линейни уравнения”, като по този начин показва, че SLAE съдържа m уравнения и n неизвестни.
Ако всички свободни членове bi=0, тогава се извиква SLAE хомогенен. Ако сред свободните членове има поне един ненулев член, се извиква SLAE разнородни.
Чрез решение на SLAU(1) извиква всяка подредена колекция от числа (α1,α2,...,αn), ако елементите на тази колекция, заместени в даден ред за неизвестните x1,x2,...,xn, превръщат всяко уравнение на SLAE в идентичност.
Всеки хомогенен SLAE има поне едно решение: нула(по друга терминология – тривиално), т.е. x1=x2=…=xn=0.
Ако SLAE (1) има поне едно решение, то се извиква става, ако няма решения - неставни. Ако съвместно SLAE има точно едно решение, то се извиква определени, ако има безкраен набор от решения – несигурен.
Матрична форма на запис на системи от линейни алгебрични уравнения.
Няколко матрици могат да бъдат свързани с всеки SLAE; Освен това, самият SLAE може да бъде написан под формата на матрично уравнение. За SLAE (1) разгледайте следните матрици:
Матрица А се нарича матрица на системата. Елементите на тази матрица представляват коефициентите на даден SLAE.
Матрицата A˜ се нарича разширена матрична система. Получава се чрез добавяне към системната матрица на колона, съдържаща свободни членове b1,b2,...,bm. Обикновено тази колона е разделена с вертикална линия за по-голяма яснота.
Столбната матрица B се нарича матрица на свободните членове, а колонната матрица X е матрица на неизвестните.
Използвайки въведената по-горе нотация, SLAE (1) може да се запише под формата на матрично уравнение: A⋅X=B.
Забележка
Матриците, свързани със системата, могат да бъдат записани по различни начини: всичко зависи от реда на променливите и уравненията на разглежданата SLAE. Но във всеки случай редът на неизвестните във всяко уравнение на дадена SLAE трябва да бъде еднакъв
Теорема на Кронекер-Капели. Изследване на системи от линейни уравнения за съвместимост.
Теорема на Кронекер-Капели
Система от линейни алгебрични уравнения е последователна тогава и само ако рангът на системната матрица е равен на ранга на разширената матрица на системата, т.е. rangA=rangA˜.
Една система се нарича последователна, ако има поне едно решение. Теоремата на Кронекер-Капели казва следното: ако rangA=rangA˜, тогава има решение; ако rangA≠rangA˜, тогава този SLAE няма решения (непоследователен). Отговорът на въпроса за броя на тези решения се дава от следствие от теоремата на Кронекер-Капели. Във формулировката на следствието се използва буквата n, която е равна на броя на променливите на дадения SLAE.
Следствие от теоремата на Кронекер-Капели
Ако rangA≠rangA˜, тогава SLAE е непоследователен (няма решения).
Ако rangA=rangA˜ Ако rangA=rangA˜=n, тогава SLAE е определен (има точно едно решение).
Моля, обърнете внимание, че формулираната теорема и нейното следствие не показват как да се намери решение на SLAE. С тяхна помощ можете само да разберете дали тези решения съществуват или не, и ако съществуват, тогава колко.
Методи за решаване на SLAE
Метод на Крамер
Методът на Cramer е предназначен за решаване на онези системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE), в които детерминантата на системната матрица е различна от нула. Естествено, това предполага, че матрицата на системата е квадратна (концепцията за детерминанта съществува само за квадратни матрици). Същността на метода на Крамър може да се изрази в три точки:
Съставете детерминантата на матрицата на системата (нарича се още детерминанта на системата) и се уверете, че тя не е равна на нула, т.е. Δ≠0.
За всяка променлива xi е необходимо да се конструира детерминанта Δ X i , получена от детерминанта Δ чрез заместване на i-тата колона с колона от свободни членове на дадената SLAE.
Намерете стойностите на неизвестните, като използвате формулата xi= Δ X i /Δ
Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения с помощта на обратна матрица.
Решаването на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE) с помощта на обратна матрица (понякога този метод се нарича също матричен метод или метод на обратната матрица) изисква предварително запознаване с концепцията за матричната форма на запис на SLAE. Методът на обратната матрица е предназначен за решаване на онези системи от линейни алгебрични уравнения, в които детерминантата на системната матрица е различна от нула. Естествено, това предполага, че матрицата на системата е квадратна (концепцията за детерминанта съществува само за квадратни матрици). Същността на метода на обратната матрица може да се изрази в три точки:
Запишете три матрици: матрицата на системата A, матрицата на неизвестните X, матрицата на свободните членове B.
Намерете обратната матрица A -1 .
Използвайки равенството X=A -1 ⋅B, да се получи решение на дадения SLAE.
Метод на Гаус. Примери за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения по метода на Гаус.
Методът на Гаус е един от най-нагледните и прости начини за решаване системи от линейни алгебрични уравнения(SLAU): както хомогенни, така и хетерогенни. Накратко, същността на този метод е последователното елиминиране на неизвестни.
Трансформации, разрешени в метода на Гаус:
Смяна на местата на два реда;
Умножаване на всички елементи на низ по някакво число, което не е равно на нула.
Добавяне към елементите на един ред на съответните елементи на друг ред, умножени по произволен коефициент.
Задраскване на ред, чиито елементи са нула.
Зачеркване на дублиращи се редове.
По отношение на последните две точки: повтарящите се линии могат да бъдат зачеркнати на всеки етап от решението по метода на Гаус - естествено, оставяйки една от тях. Например, ако редове № 2, № 5, № 6 се повтарят, тогава можете да оставите един от тях, например ред № 5. В този случай редове № 2 и № 6 ще бъдат изтрити.
Нулевите редове се премахват от разширената системна матрица, както се появяват.
Решаването на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE) несъмнено е най-важната тема в курса по линейна алгебра. Огромен брой задачи от всички клонове на математиката се свеждат до решаване на системи от линейни уравнения. Тези фактори обясняват причината за тази статия. Материалът на статията е подбран и структуриран така, че с негова помощ можете
- изберете оптималния метод за решаване на вашата система от линейни алгебрични уравнения,
- изучаване на теорията на избрания метод,
- решите вашата система от линейни уравнения, като разгледате подробни решения на типични примери и проблеми.
Кратко описание на материала на статията.
Първо даваме всички необходими определения, понятия и въвеждаме обозначения.
След това ще разгледаме методи за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения, в които броят на уравненията е равен на броя на неизвестните променливи и които имат уникално решение. Първо, ще се съсредоточим върху метода на Крамър, второ, ще покажем матричния метод за решаване на такива системи от уравнения и трето, ще анализираме метода на Гаус (методът за последователно елиминиране на неизвестни променливи). За да консолидираме теорията, определено ще решим няколко SLAE по различни начини.
След това ще преминем към решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид, в които броят на уравненията не съвпада с броя на неизвестните променливи или основната матрица на системата е сингулярна. Нека формулираме теоремата на Кронекер-Капели, която ни позволява да установим съвместимостта на SLAE. Нека анализираме решението на системите (ако са съвместими), използвайки концепцията за базисен минор на матрица. Ще разгледаме и метода на Гаус и ще опишем подробно решенията на примерите.
Определено ще се спрем на структурата на общото решение на хомогенни и нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения. Нека дадем концепцията за фундаментална система от решения и да покажем как общото решение на SLAE се записва с помощта на векторите на фундаменталната система от решения. За по-добро разбиране нека разгледаме няколко примера.
В заключение ще разгледаме системи от уравнения, които могат да бъдат сведени до линейни, както и различни проблеми, при чието решаване възникват SLAE.
Навигация в страницата.
Дефиниции, понятия, обозначения.
Ще разгледаме системи от p линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи (p може да бъде равно на n) от вида
Неизвестни променливи, - коефициенти (някои реални или комплексни числа), - свободни членове (също реални или комплексни числа).
Тази форма на запис SLAE се нарича координирам.
IN матрична формаписането на тази система от уравнения има формата,
Където 
- основната матрица на системата, - колонна матрица от неизвестни променливи, - колонна матрица от свободни членове.
Ако добавим матрица-колона от свободни членове към матрица А като (n+1)-та колона, получаваме т.нар. разширена матрицасистеми от линейни уравнения. Обикновено разширената матрица се обозначава с буквата T, а колоната от свободни условия е разделена с вертикална линия от останалите колони, т.е. 
Решаване на система от линейни алгебрични уравнениянаречен набор от стойности на неизвестни променливи, който превръща всички уравнения на системата в идентичности. Матричното уравнение за дадени стойности на неизвестните променливи също става идентичност.
Ако система от уравнения има поне едно решение, тогава тя се нарича става.
Ако система от уравнения няма решения, тогава тя се нарича неставни.
Ако SLAE има уникално решение, то се извиква определени; ако има повече от едно решение, тогава – несигурен.
Ако свободните членове на всички уравнения на системата са равни на нула 
, тогава системата се извиква хомогенен, в противен случай - разнородни.
Решаване на елементарни системи линейни алгебрични уравнения.
Ако броят на уравненията на една система е равен на броя на неизвестните променливи и детерминантата на нейната основна матрица не е равна на нула, тогава такива SLAE ще се наричат елементарен. Такива системи от уравнения имат уникално решение и в случай на хомогенна система всички неизвестни променливи са равни на нула.
Започнахме да изучаваме такива SLAE в гимназията. Когато ги решавахме, взехме едно уравнение, изразихме една неизвестна променлива чрез други и я заместихме в останалите уравнения, след това взехме следващото уравнение, изразихме следващата неизвестна променлива и я заместихме в други уравнения и т.н. Или са използвали метода на добавяне, тоест добавят две или повече уравнения, за да елиминират някои неизвестни променливи. Няма да се спираме подробно на тези методи, тъй като по същество те са модификации на метода на Гаус.
Основните методи за решаване на елементарни системи от линейни уравнения са методът на Крамер, матричният метод и методът на Гаус. Нека ги подредим.
Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Крамер.
Да предположим, че трябва да решим система от линейни алгебрични уравнения 
в която броят на уравненията е равен на броя на неизвестните променливи и детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула, т.е.
Нека е детерминантата на основната матрица на системата и 
- детерминанти на матрици, които се получават от A чрез заместване 1-ви, 2-ри, …, n-тиколона съответно към колоната безплатни членове: 
С тази нотация неизвестните променливи се изчисляват с помощта на формулите на метода на Cramer като 
. Ето как се намира решението на система от линейни алгебрични уравнения с помощта на метода на Крамер.
Пример.
Методът на Крамер 
.
Решение.
Основната матрица на системата има формата 
. Нека изчислим неговата детерминанта (ако е необходимо, вижте статията): 
Тъй като детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула, системата има уникално решение, което може да бъде намерено по метода на Крамър.
Нека съставим и изчислим необходимите детерминанти 
(получаваме детерминантата, като заменим първата колона в матрица A с колона със свободни членове, детерминантата, като заменим втората колона с колона със свободни членове и като заменим третата колона на матрица A с колона със свободни членове) : 
Намиране на неизвестни променливи с помощта на формули 
:
Отговор:
Основният недостатък на метода на Крамър (ако може да се нарече недостатък) е сложността на изчисляването на детерминанти, когато броят на уравненията в системата е повече от три.
Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения по матричен метод (с помощта на обратна матрица).
Нека система от линейни алгебрични уравнения е дадена в матрична форма, където матрицата A има размерност n на n и нейният детерминант е различен от нула.
Тъй като , матрица A е обратима, т.е. има обратна матрица. Ако умножим двете страни на равенството по лявата, получаваме формула за намиране на матрица-колона от неизвестни променливи. Ето как получихме решение на система от линейни алгебрични уравнения, използвайки матричния метод.
Пример.
Решете система от линейни уравнения матричен метод.
Решение.
Нека пренапишем системата от уравнения в матрична форма: 
защото
тогава SLAE може да се реши с помощта на матричния метод. Използвайки обратната матрица, решението на тази система може да се намери като 
.
Нека изградим обратна матрица, използвайки матрица от алгебрични добавки на елементи от матрица A (ако е необходимо, вижте статията): 
Остава да се изчисли матрицата на неизвестните променливи чрез умножаване на обратната матрица 
към матрица-колона от безплатни членове (ако е необходимо, вижте статията): 
Отговор:
или в друга нотация x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Основният проблем при намирането на решения на системи от линейни алгебрични уравнения с помощта на матричния метод е сложността на намирането на обратната матрица, особено за квадратни матрици с порядък по-висок от трети.
Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Гаус.
Да предположим, че трябва да намерим решение на система от n линейни уравнения с n неизвестни променливи 
чиято детерминанта на основната матрица е различна от нула.
Същността на метода на Гауссе състои от последователно изключване на неизвестни променливи: първо x 1 се изключва от всички уравнения на системата, като се започне от второто, след това x 2 се изключи от всички уравнения, като се започне от третото и така нататък, докато само неизвестната променлива x n остава в последното уравнение. Този процес на трансформиране на системни уравнения за последователно елиминиране на неизвестни променливи се нарича директен метод на Гаус. След завършване на предния ход на метода на Гаус, x n се намира от последното уравнение, като се използва тази стойност от предпоследното уравнение, x n-1 се изчислява и така нататък, x 1 се намира от първото уравнение. Процесът на изчисляване на неизвестни променливи при преминаване от последното уравнение на системата към първото се нарича обратно на метода на Гаус.
Нека опишем накратко алгоритъма за елиминиране на неизвестни променливи.
Ще приемем, че , тъй като винаги можем да постигнем това чрез пренареждане на уравненията на системата. Нека елиминираме неизвестната променлива x 1 от всички уравнения на системата, като започнем от второто. За да направим това, към второто уравнение на системата добавяме първото, умножено по , към третото уравнение добавяме първото, умножено по , и така нататък, към n-тото уравнение добавяме първото, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата 
където и 
.
Щяхме да стигнем до същия резултат, ако бяхме изразили x 1 по отношение на други неизвестни променливи в първото уравнение на системата и бяхме заместили получения израз във всички останали уравнения. Така променливата x 1 се изключва от всички уравнения, като се започне от второто.
След това процедираме по подобен начин, но само с част от получената система, която е маркирана на фигурата 
За да направим това, към третото уравнение на системата добавяме второто, умножено по , към четвъртото уравнение добавяме второто, умножено по , и така нататък, към n-тото уравнение добавяме второто, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата 
където и 
. Така променливата x 2 се изключва от всички уравнения, като се започне от третото.
След това пристъпваме към елиминиране на неизвестното x 3, докато действаме по подобен начин с частта от системата, маркирана на фигурата 
Така че ние продължаваме директното развитие на метода на Гаус, докато системата приеме формата 
От този момент започваме обратното на метода на Гаус: изчисляваме x n от последното уравнение като , като използваме получената стойност на x n намираме x n-1 от предпоследното уравнение и така нататък намираме x 1 от първото уравнение .
Пример.
Решете система от линейни уравнения Метод на Гаус.
Решение.
Нека изключим неизвестната променлива x 1 от второто и третото уравнение на системата. За да направим това, към двете страни на второто и третото уравнение добавяме съответните части на първото уравнение, умножени съответно по и по: 
Сега елиминираме x 2 от третото уравнение, като добавим към лявата и дясната му страна лявата и дясната страна на второто уравнение, умножени по: 
Това завършва предния ход на метода на Гаус; започваме обратния ход.
От последното уравнение на получената система от уравнения намираме x 3: 
От второто уравнение получаваме.
От първото уравнение намираме оставащата неизвестна променлива и по този начин завършваме обратния метод на Гаус.
Отговор:
X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.
Като цяло броят на уравненията на системата p не съвпада с броя на неизвестните променливи n:
Такива SLAE може да нямат решения, да имат едно решение или да имат безкрайно много решения. Това твърдение се отнася и за системи от уравнения, чиято основна матрица е квадратна и сингулярна.
Теорема на Кронекер–Капели.
Преди да се намери решение на система от линейни уравнения, е необходимо да се установи нейната съвместимост. Отговорът на въпроса кога SLAE е съвместим и кога неконсистентен е даден от Теорема на Кронекер–Капели:
За да бъде последователна система от p уравнения с n неизвестни (p може да бъде равно на n), е необходимо и достатъчно рангът на основната матрица на системата да бъде равен на ранга на разширената матрица, т.е. , ранг(A)=ранг(T).
Нека разгледаме като пример приложението на теоремата на Кронекер-Капели за определяне на съвместимостта на система от линейни уравнения.
Пример.
Разберете дали системата от линейни уравнения има 
решения.
Решение.
. Нека използваме метода на граничещи непълнолетни. Минор от втори ред 
различен от нула. Нека да разгледаме непълнолетните от трети ред, граничещи с него: 
Тъй като всички гранични второстепенни от трети ред са равни на нула, рангът на основната матрица е равен на две.
На свой ред, рангът на разширената матрица 
е равно на три, тъй като минорът е от трети ред 
различен от нула.
По този начин, Rang(A), следователно, използвайки теоремата на Kronecker–Capelli, можем да заключим, че оригиналната система от линейни уравнения е непоследователна.
Отговор:
Системата няма решения.
И така, научихме се да установяваме несъответствието на система, използвайки теоремата на Кронекер–Капели.
Но как да се намери решение за SLAE, ако неговата съвместимост е установена?
За да направим това, имаме нужда от концепцията за базис минор на матрица и теорема за ранга на матрица.
Нарича се минорът от най-високия порядък на матрицата A, различен от нула основен.
От определението за базис минор следва, че неговият ред е равен на ранга на матрицата. За ненулева матрица A може да има няколко базисни минори; винаги има един базис минор.
Например, помислете за матрицата 
.
Всички минори от трети ред на тази матрица са равни на нула, тъй като елементите на третия ред на тази матрица са сумата от съответните елементи на първия и втория ред.
Следните минори от втори ред са основни, тъй като са различни от нула 
Непълнолетни 
не са основни, тъй като са равни на нула.
Теорема за ранга на матрицата.
Ако рангът на матрица от ред p по n е равен на r, тогава всички елементи на ред (и колона) на матрицата, които не формират избрания основен минор, се изразяват линейно чрез елементите на съответния ред (и колона), образуващи основата минор.
Какво ни казва теоремата за ранга на матрицата?
Ако съгласно теоремата на Кронекер–Капели сме установили съвместимостта на системата, тогава избираме произволен основен минор от главната матрица на системата (нейният ред е равен на r) и изключваме от системата всички уравнения, които не формират избрания основен минор. Полученият по този начин SLAE ще бъде еквивалентен на оригиналния, тъй като отхвърлените уравнения все още са излишни (според теоремата за матричния ранг те са линейна комбинация от останалите уравнения).
В резултат на това, след изхвърляне на ненужните уравнения на системата, са възможни два случая.
Ако броят на уравненията r в получената система е равен на броя на неизвестните променливи, тогава тя ще бъде определена и единственото решение може да бъде намерено чрез метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.
Пример.
.
Решение.
Ранг на основната матрица на системата 
е равно на две, тъй като минорът е от втори ред 
различен от нула. Разширен матричен ранг 
също е равно на две, тъй като единственият минор от трети порядък е нула 
и минорът от втори ред, разгледан по-горе, е различен от нула. Въз основа на теоремата на Кронекер–Капели можем да твърдим съвместимостта на оригиналната система от линейни уравнения, тъй като Rank(A)=Rank(T)=2.
Като основа минор приемаме . Образува се от коефициентите на първото и второто уравнения: 
Третото уравнение на системата не участва във формирането на базисния минор, така че го изключваме от системата въз основа на теоремата за ранга на матрицата: 
Така получихме елементарна система от линейни алгебрични уравнения. Нека го решим с помощта на метода на Cramer: 
Отговор:
x 1 = 1, x 2 = 2.
Ако броят на уравненията r в получения SLAE е по-малък от броя на неизвестните променливи n, тогава от лявата страна на уравненията оставяме членовете, които формират основата, второстепенни, и прехвърляме останалите членове в десните страни на уравнения на системата с обратен знак.
Неизвестните променливи (r от тях), останали от лявата страна на уравненията, се наричат основен.
Извикват се неизвестни променливи (има n - r части), които са от дясната страна Безплатно.
Сега вярваме, че свободните неизвестни променливи могат да приемат произволни стойности, докато r главните неизвестни променливи ще бъдат изразени чрез свободни неизвестни променливи по уникален начин. Техният израз може да бъде намерен чрез решаване на получената SLAE с помощта на метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.
Нека го разгледаме с пример.
Пример.
Решете система от линейни алгебрични уравнения 
.
Решение.
Нека намерим ранга на основната матрица на системата 
по метода на граничещи непълнолетни. Нека вземем 1 1 = 1 като ненулев минор от първи ред. Нека започнем да търсим ненулев минор от втори ред, граничещ с този минор: 
Ето как намерихме ненулев минор от втори порядък. Нека започнем да търсим ненулев граничен минор от трети ред: 
По този начин рангът на основната матрица е три. Рангът на разширената матрица също е равен на три, т.е. системата е последователна.
Вземаме намерения ненулев минор от трети ред като основен.
За по-голяма яснота показваме елементите, които формират основния минор: 
Оставяме членовете, включени в базисния минор от лявата страна на системните уравнения, и прехвърляме останалите с противоположни знаци в дясната страна: 
Нека дадем на свободните неизвестни променливи x 2 и x 5 произволни стойности, тоест приемаме 
, където са произволни числа. В този случай SLAE ще приеме формата 
Нека решим получената елементарна система от линейни алгебрични уравнения, използвайки метода на Крамер: 
Следователно, .
В отговора си не забравяйте да посочите свободни неизвестни променливи.
Отговор:
Къде са произволните числа.
Обобщете.
За да решим система от общи линейни алгебрични уравнения, първо определяме нейната съвместимост с помощта на теоремата на Кронекер–Капели. Ако рангът на основната матрица не е равен на ранга на разширената матрица, тогава заключаваме, че системата е несъвместима.
Ако рангът на основната матрица е равен на ранга на разширената матрица, тогава ние избираме базов минор и отхвърляме уравненията на системата, които не участват във формирането на избрания базов минор.
Ако редът на базисния минор е равен на броя на неизвестните променливи, тогава SLAE има уникално решение, което може да бъде намерено по всеки познат ни метод.
Ако редът на основния минор е по-малък от броя на неизвестните променливи, тогава от лявата страна на системните уравнения оставяме членовете с основните неизвестни променливи, прехвърляме останалите членове в десните страни и даваме произволни стойности на свободните неизвестни променливи. От получената система от линейни уравнения намираме основните неизвестни променливи, като използваме метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.
Метод на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.
Методът на Гаус може да се използва за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от всякакъв вид, без първо да бъдат тествани за последователност. Процесът на последователно елиминиране на неизвестни променливи дава възможност да се направи заключение както за съвместимостта, така и за несъвместимостта на SLAE и ако съществува решение, прави възможно намирането му.
От изчислителна гледна точка методът на Гаус е за предпочитане.
Вижте подробното му описание и анализирани примери в статията Метод на Гаус за решаване на системи от общи линейни алгебрични уравнения.
Писане на общо решение на хомогенни и нехомогенни линейни алгебрични системи с помощта на вектори на фундаменталната система от решения.
В този раздел ще говорим за едновременни хомогенни и нееднородни системи от линейни алгебрични уравнения, които имат безкраен брой решения.
Нека първо да разгледаме хомогенните системи.
Фундаментална система от решенияхомогенна система от p линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи е колекция от (n – r) линейно независими решения на тази система, където r е редът на базисния минор на основната матрица на системата.
Ако означим линейно независими решения на хомогенен SLAE като X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) са колонни матрици с размерност n чрез 1), тогава общото решение на тази хомогенна система е представено като линейна комбинация от вектори на фундаменталната система от решения с произволни постоянни коефициенти C 1, C 2, ..., C (n-r), т.е.
Какво означава терминът общо решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения (oroslau)?
Значението е просто: формулата определя всички възможни решения на оригиналния SLAE, с други думи, като вземем произволен набор от стойности на произволни константи C 1, C 2, ..., C (n-r), използвайки формулата, ще получите едно от решенията на оригиналния хомогенен SLAE.
По този начин, ако намерим фундаментална система от решения, тогава можем да дефинираме всички решения на тази хомогенна SLAE като .
Нека покажем процеса на конструиране на фундаментална система от решения на хомогенна SLAE.
Избираме базисния минор на оригиналната система от линейни уравнения, изключваме всички други уравнения от системата и прехвърляме всички членове, съдържащи свободни неизвестни променливи, към дясната страна на уравненията на системата с противоположни знаци. Нека дадем на свободните неизвестни променливи стойностите 1,0,0,...,0 и да изчислим основните неизвестни чрез решаване на получената елементарна система от линейни уравнения по какъвто и да е начин, например, използвайки метода на Cramer. Това ще доведе до X (1) - първото решение на фундаменталната система. Ако дадем на свободните неизвестни стойностите 0,1,0,0,…,0 и изчислим основните неизвестни, получаваме X (2) . И така нататък. Ако присвоим стойностите 0.0,…,0.1 на свободните неизвестни променливи и изчислим основните неизвестни, получаваме X (n-r) . По този начин ще бъде конструирана фундаментална система от решения на хомогенна SLAE и нейното общо решение може да бъде записано във формата .
За нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения, общото решение е представено във формата , където е общото решение на съответната хомогенна система, а е частното решение на оригиналната нехомогенна SLAE, която получаваме, като даваме на свободните неизвестни стойностите 0,0,…,0 и изчисляване на стойностите на основните неизвестни.
Нека да разгледаме примерите.
Пример.
Намерете основната система от решения и общото решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения 
.
Решение.
Рангът на основната матрица на хомогенните системи от линейни уравнения винаги е равен на ранга на разширената матрица. Нека намерим ранга на основната матрица, като използваме метода на граничещите второстепенни. Като ненулев минор от първи ред приемаме елемент a 1 1 = 9 от основната матрица на системата. Нека намерим граничния ненулев минор от втори ред: 
Открит е минор от втори порядък, различен от нула. Нека да преминем през минори от трети ред, граничещи с него, в търсене на различен от нула: 
Всички граничещи второстепенни от трети ред са равни на нула, следователно рангът на основната и разширената матрица е равен на две. Да вземем. За по-голяма яснота нека отбележим елементите на системата, които я формират: 
Третото уравнение на оригиналния SLAE не участва във формирането на основния минор, следователно може да бъде изключено: 
Оставяме членовете, съдържащи основните неизвестни от дясната страна на уравненията, и прехвърляме членовете със свободни неизвестни отдясно:
Нека изградим фундаментална система от решения на оригиналната хомогенна система от линейни уравнения. Фундаменталната система от решения на този SLAE се състои от две решения, тъй като оригиналният SLAE съдържа четири неизвестни променливи и редът на неговия основен минор е равен на две. За да намерим X (1), даваме на свободните неизвестни променливи стойностите x 2 = 1, x 4 = 0, след което намираме основните неизвестни от системата от уравнения 
.
Нека го решим с помощта на метода на Cramer: 
По този начин, .
Сега нека построим X (2) . За да направим това, даваме на свободните неизвестни променливи стойностите x 2 = 0, x 4 = 1, след което намираме основните неизвестни от системата от линейни уравнения 
.
Нека отново използваме метода на Cramer: 
Получаваме.
Така че имаме два вектора на фундаменталната система от решения и сега можем да запишем общото решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения: 
, където C 1 и C 2 са произволни числа., са равни на нула. Ние също ще вземем второстепенното като основно, ще елиминираме третото уравнение от системата и ще преместим членовете със свободни неизвестни в дясната страна на уравненията на системата: 
За да намерим, нека дадем на свободните неизвестни променливи стойностите x 2 = 0 и x 4 = 0, тогава системата от уравнения ще приеме формата 
, откъдето намираме основните неизвестни променливи, използвайки метода на Cramer: 
Ние имаме 
, следователно, 
където C 1 и C 2 са произволни числа.
Трябва да се отбележи, че решенията на неопределена хомогенна система от линейни алгебрични уравнения генерират линейно пространство Решение.
Каноничното уравнение на елипсоид в правоъгълна декартова координатна система има формата 
. Нашата задача е да определим параметрите a, b и c. Тъй като елипсоидът минава през точки A, B и C, тогава при заместване на техните координати в каноничното уравнение на елипсоида, той трябва да се превърне в идентичност. Така получаваме система от три уравнения: 
Нека обозначим 
, тогава системата ще се превърне в система от линейни алгебрични уравнения 
.
Нека изчислим детерминантата на основната матрица на системата: 
Тъй като не е нула, можем да намерим решението с помощта на метода на Крамър:
). Очевидно x = 0 и x = 1 са корените на този полином. Частно от деление 
На 
е . Така имаме разширение и оригиналният израз приема формата 
.
Нека използваме метода на неопределените коефициенти. 
Приравнявайки съответните коефициенти на числителите, стигаме до система от линейни алгебрични уравнения 
. Неговото решение ще ни даде желаните неопределени коефициенти A, B, C и D.
Нека решим системата с помощта на метода на Гаус: 
Използвайки обратния метод на Гаус, намираме D = 0, C = -2, B = 1, A = 1.
Получаваме 
Отговор:
.
Ще продължим да усъвършенстваме нашата технология елементарни трансформацииНа хомогенна система от линейни уравнения.
Въз основа на първите параграфи материалът може да изглежда скучен и посредствен, но това впечатление е измамно. В допълнение към по-нататъшното развитие на техниките, ще има много нова информация, така че, моля, опитайте се да не пренебрегвате примерите в тази статия.
Какво е хомогенна система от линейни уравнения?
Отговорът се подсказва сам. Система от линейни уравнения е хомогенна, ако свободният член всекиуравнението на системата е нула. Например:
Това е абсолютно ясно хомогенната система винаги е последователна, тоест винаги има решение. И, на първо място, това, което хваща окото е т.нар тривиаленрешение 
. Тривиално, за тези, които изобщо не разбират значението на прилагателното, означава без показност. Не академично, разбира се, но разбираемо =) ...Защо да се лутаме, нека да разберем дали тази система има други решения:
Пример 1
Решение: за решаване на хомогенна система е необходимо да се напише системна матрицаи с помощта на елементарни трансформации го приведете в стъпаловидна форма. Моля, имайте предвид, че тук няма нужда да записвате вертикалната лента и нулевата колона с безплатни термини - в крайна сметка, без значение какво правите с нули, те ще останат нули: 
(1) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по –2. Първият ред беше добавен към третия ред, умножен по –3.
(2) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по –1.
Разделянето на третия ред на 3 няма много смисъл.
В резултат на елементарни преобразувания се получава еквивалентна хомогенна система 
и, използвайки обратния метод на Гаус, е лесно да се провери, че решението е уникално.
Отговор: 
Нека формулираме един очевиден критерий: хомогенна система от линейни уравнения има просто тривиално решение, Ако ранг на системната матрица(в случая 3) е равен на броя на променливите (в случая – 3 броя).
Нека загреем и настроим нашето радио на вълната от елементарни трансформации:
Пример 2
Решете хомогенна система от линейни уравнения 
За да консолидираме окончателно алгоритъма, нека анализираме последната задача:
Пример 7
Решете хомогенна система, запишете отговора във векторна форма. 
Решение: нека напишем матрицата на системата и, използвайки елементарни трансформации, я привеждаме в поетапна форма: 
(1) Променен е знакът на първия ред. Още веднъж обръщам внимание на техника, която е била срещана много пъти, което ви позволява значително да опростите следващото действие.
(1) Първият ред беше добавен към 2-ри и 3-ти ред. Първият ред, умножен по 2, беше добавен към 4-тия ред.
(3) Последните три реда са пропорционални, два от тях са премахнати.
В резултат на това се получава стандартна стъпкова матрица и решението продължава по набраздената писта:
– основни променливи;
– свободни променливи.
Нека изразим основните променливи чрез свободни променливи. От второто уравнение:
– заместване в 1-вото уравнение:
Така че общото решение е:
Тъй като в разглеждания пример има три свободни променливи, фундаменталната система съдържа три вектора.
Нека заместим тройка от стойности 
в общото решение и да получим вектор, чиито координати удовлетворяват всяко уравнение на хомогенната система. И отново повтарям, че е силно препоръчително да проверявате всеки получен вектор - това няма да отнеме много време, но напълно ще ви предпази от грешки.
За тройка ценности 
намерете вектора
И накрая за тримата 
получаваме третия вектор:
Отговор: , Където
Тези, които желаят да избегнат дробни стойности, могат да обмислят тройки 
и да получите отговор в еквивалентна форма:
Говорейки за дроби. Нека разгледаме матрицата, получена в задачата 
и нека се запитаме: възможно ли е да се опрости по-нататъшното решение? В крайна сметка тук първо изразихме основната променлива чрез дроби, след това чрез дроби основната променлива и, трябва да кажа, този процес не беше най-простият и не най-приятният.
Второ решение:
Идеята е да се опита изберете други базисни променливи. Нека погледнем матрицата и забележим две единици в третата колона. Така че защо да няма нула в горната част? Нека извършим още една елементарна трансформация:
РешениеПравим го с помощта на калкулатор. Нека напишем разширената и основната матрици: 
Главната матрица А е разделена с пунктирана линия.Отгоре пишем неизвестни системи, като имаме предвид възможното пренареждане на членовете в уравненията на системата. Определяйки ранга на разширената матрица, ние едновременно намираме ранга на основната. В матрица B първата и втората колона са пропорционални. От двете пропорционални колони само една може да попадне в основния минор, така че нека преместим, например, първата колона отвъд пунктираната линия с противоположния знак. За системата това означава прехвърляне на членове от x 1 към дясната страна на уравненията. 
Нека редуцираме матрицата до триъгълна форма. Ще работим само с редове, тъй като умножаването на матричен ред с число, различно от нула и добавянето му към друг ред за системата означава умножаване на уравнението по същото число и добавянето му с друго уравнение, което не променя решението на система. Работим с първия ред: умножете първия ред на матрицата по (-3) и добавете към втория и третия ред на свой ред. След това умножете първия ред по (-2) и го добавете към четвъртия. 
Втората и третата линия са пропорционални, следователно една от тях, например втората, може да бъде зачеркната. Това е еквивалентно на зачеркване на второто уравнение на системата, тъй като е следствие от третото. 
Сега работим с втория ред: умножете го по (-1) и го добавете към третия. 
Малката, оградена с пунктирана линия, има най-висок порядък(от възможните минори) и е различно от нула (равно е на произведението на елементите по главния диагонал), като този минор принадлежи както на основната матрица, така и на разширената, следователно rangA = rangB = 3.
Незначителен 
е основен. Той включва коефициенти за неизвестните x 2 , x 3 , x 4 , което означава, че неизвестните x 2 , x 3 , x 4 са зависими, а x 1 , x 5 са свободни.
Нека трансформираме матрицата, оставяйки само базисния минор отляво (което съответства на точка 4 от горния алгоритъм за решение). 
Системата с коефициентите на тази матрица е еквивалентна на оригиналната система и има формата
x 4 =3-4x 5, x 3 =3-4x 5 -2x 4 =3-4x 5 -6+8x 5 =-3+4x 5
x 2 =x 3 +2x 4 -2+2x 1 +3x 5 = -3+4x 5 +6-8x 5 -2+2x 1 +3x 5 = 1+2x 1 -x 5
Получихме отношения, изразяващи зависимите променливи x 2, x 3, x 4 чрез свободните x 1 и x 5, тоест намерихме общо решение:
Чрез присвояване на всякакви стойности на свободните неизвестни, ние получаваме произволен брой конкретни решения. Нека намерим две конкретни решения:
1) нека x 1 = x 5 = 0, тогава x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) поставете x 1 = 1, x 5 = -1, след това x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Така бяха намерени две решения: (0,1,-3,3,0) – едно решение, (1,4,-7,7,-1) – друго решение.
Пример 2. Проучете съвместимостта, намерете общо и едно конкретно решение за системата 
Решение. Нека пренаредим първото и второто уравнения, за да имаме едно в първото уравнение и да напишем матрицата B. 
Получаваме нули в четвъртата колона, като работим с първия ред: 
Сега получаваме нулите в третата колона, използвайки втория ред: 
Третият и четвъртият ред са пропорционални, така че един от тях може да бъде зачеркнат, без да се променя ранга:
Умножете третия ред по (–2) и го добавете към четвъртия: 
Виждаме, че ранговете на основната и разширената матрица са равни на 4, а рангът съвпада с броя на неизвестните, следователно системата има уникално решение:
-x 1 =-3 → x 1 =3; x 2 =3-x 1 → x 2 =0; x 3 =1-2x 1 → x 3 =5.
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.
Пример 3. Проверете системата за съвместимост и намерете решение, ако съществува. 
Решение. Съставяме разширена матрица на системата. 
Пренареждаме първите две уравнения така, че да има 1 в горния ляв ъгъл:
Умножавайки първия ред по (-1), добавяйки го към третия: 
Умножете втория ред по (-2) и го добавете към третия: 
Системата е непоследователна, тъй като в основната матрица получихме ред, състоящ се от нули, който се зачертава, когато се намери рангът, но в разширената матрица остава последният ред, т.е. r B > r A .
Упражнение. Проучете тази система от уравнения за съвместимост и я решете с помощта на матрично смятане.
Решение
Пример. Докажете съвместимостта на системата от линейни уравнения и я решете по два начина: 1) по метода на Гаус; 2) Метод на Крамер. (въведете отговора във формата: x1,x2,x3)
Решение :doc :doc :xls
Отговор: 2,-1,3.
Пример. Дадена е система от линейни уравнения. Докажете неговата съвместимост. Намерете общо решение на системата и едно конкретно решение.
Решение
Отговор: x 3 = - 1 + x 4 + x 5; x 2 = 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5
Упражнение. Намерете общите и частните решения на всяка система.
Решение.Нека проучим тази система с помощта на теоремата на Кронекер-Капели.
Нека напишем разширената и основната матрици:
| 1 | 1 | 14 | 0 | 2 | 0 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| х 1 | х 2 | х 3 | х 4 | х 5 |
Тук матрица A е подчертана с удебелен шрифт.
Нека редуцираме матрицата до триъгълна форма. Ще работим само с редове, тъй като умножаването на матричен ред с число, различно от нула и добавянето му към друг ред за системата означава умножаване на уравнението по същото число и добавянето му с друго уравнение, което не променя решението на система.
Нека умножим първия ред по (3). Умножете втория ред по (-1). Нека добавим 2-ри ред към 1-ви:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Нека умножим втория ред по (2). Умножете 3-тия ред по (-3). Нека добавим третия ред към втория:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Умножете втория ред по (-1). Нека добавим 2-ри ред към 1-ви:
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Избраният минор има най-висок порядък (от възможните минори) и е различен от нула (равен е на произведението на елементите на обратния диагонал), и този минор принадлежи както на основната матрица, така и на разширената, следователно rang( A) = rang(B) = 3 Тъй като рангът на основната матрица е равен на ранга на разширената матрица, тогава системата е колаборативна.
Този минор е основен. Той включва коефициенти за неизвестните x 1 , x 2 , x 3 , което означава, че неизвестните x 1 , x 2 , x 3 са зависими (основни), а x 4 , x 5 са свободни.
Нека трансформираме матрицата, оставяйки само базисния минор отляво.
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -1 | 3 | -6 |
| 2 | 3 | -3 | 1 | -3 | 2 |
| х 1 | х 2 | х 3 | х 4 | х 5 |
27x 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Използвайки метода за елиминиране на неизвестни намираме:
Получихме отношения, изразяващи зависимите променливи x 1 , x 2 , x 3 чрез свободните x 4 , x 5 , т.е. намерихме общо решение:
х 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
несигурен, защото има повече от едно решение.
Упражнение. Решете система от уравнения.
Отговор:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67x 3 + 0,67x 4
Чрез присвояване на всякакви стойности на свободните неизвестни, ние получаваме произволен брой конкретни решения. Системата е несигурен
Система от линейни алгебрични уравнения. Основни термини. Матрична форма за запис.
Дефиниция на система от линейни алгебрични уравнения. Системно решение. Класификация на системите.
Под система от линейни алгебрични уравнения(SLAE) предполагат система
Параметрите aij се извикват коефициенти, и би – безплатни членовеСЛАУ. Понякога, за да подчертаят броя на уравненията и неизвестните, те казват „m×n система от линейни уравнения“, като по този начин показват, че SLAE съдържа m уравнения и n неизвестни.
Ако всички свободни членове bi=0, тогава се извиква SLAE хомогенен. Ако сред свободните членове има поне един ненулев член, се извиква SLAE разнородни.
Чрез решение на SLAU(1) извиква всяка подредена колекция от числа (α1,α2,...,αn), ако елементите на тази колекция, заместени в даден ред за неизвестните x1,x2,...,xn, превръщат всяко уравнение на SLAE в идентичност.
Всеки хомогенен SLAE има поне едно решение: нула(по друга терминология – тривиално), т.е. x1=x2=…=xn=0.
Ако SLAE (1) има поне едно решение, то се извиква става, ако няма решения - неставни. Ако съвместно SLAE има точно едно решение, то се извиква определени, ако има безкраен набор от решения – несигурен.
Матрична форма на запис на системи от линейни алгебрични уравнения.
Няколко матрици могат да бъдат свързани с всеки SLAE; Освен това, самият SLAE може да бъде написан под формата на матрично уравнение. За SLAE (1) разгледайте следните матрици:
Матрица А се нарича матрица на системата. Елементите на тази матрица представляват коефициентите на даден SLAE.
Матрицата A˜ се нарича разширена матрична система. Получава се чрез добавяне към системната матрица на колона, съдържаща свободни членове b1,b2,...,bm. Обикновено тази колона е разделена с вертикална линия за по-голяма яснота.
Столбната матрица B се нарича матрица на свободните членове, а колонната матрица X е матрица на неизвестните.
Използвайки въведената по-горе нотация, SLAE (1) може да се запише под формата на матрично уравнение: A⋅X=B.
Забележка
Матриците, свързани със системата, могат да бъдат записани по различни начини: всичко зависи от реда на променливите и уравненията на разглежданата SLAE. Но във всеки случай редът на неизвестните във всяко уравнение на дадена SLAE трябва да бъде еднакъв
Теорема на Кронекер-Капели. Изследване на системи от линейни уравнения за съвместимост.
Теорема на Кронекер-Капели
Система от линейни алгебрични уравнения е последователна тогава и само ако рангът на системната матрица е равен на ранга на разширената матрица на системата, т.е. rangA=rangA˜.
Една система се нарича последователна, ако има поне едно решение. Теоремата на Кронекер-Капели казва следното: ако rangA=rangA˜, тогава има решение; ако rangA≠rangA˜, тогава този SLAE няма решения (непоследователен). Отговорът на въпроса за броя на тези решения се дава от следствие от теоремата на Кронекер-Капели. Във формулировката на следствието се използва буквата n, която е равна на броя на променливите на дадения SLAE.
Следствие от теоремата на Кронекер-Капели
Ако rangA≠rangA˜, тогава SLAE е непоследователен (няма решения).
Ако rangA=rangA˜ Ако rangA=rangA˜=n, тогава SLAE е определен (има точно едно решение).
Моля, обърнете внимание, че формулираната теорема и нейното следствие не показват как да се намери решение на SLAE. С тяхна помощ можете само да разберете дали тези решения съществуват или не, и ако съществуват, тогава колко.
Методи за решаване на SLAE
Метод на Крамер
Методът на Cramer е предназначен за решаване на онези системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE), в които детерминантата на системната матрица е различна от нула. Естествено, това предполага, че матрицата на системата е квадратна (концепцията за детерминанта съществува само за квадратни матрици). Същността на метода на Крамър може да се изрази в три точки:
Съставете детерминантата на матрицата на системата (нарича се още детерминанта на системата) и се уверете, че тя не е равна на нула, т.е. Δ≠0.
За всяка променлива xi е необходимо да се конструира детерминанта Δ X i , получена от детерминанта Δ чрез заместване на i-тата колона с колона от свободни членове на дадената SLAE.
Намерете стойностите на неизвестните, като използвате формулата xi= Δ X i /Δ
Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения с помощта на обратна матрица.
Решаването на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE) с помощта на обратна матрица (понякога този метод се нарича също матричен метод или метод на обратната матрица) изисква предварително запознаване с концепцията за матричната форма на запис на SLAE. Методът на обратната матрица е предназначен за решаване на онези системи от линейни алгебрични уравнения, в които детерминантата на системната матрица е различна от нула. Естествено, това предполага, че матрицата на системата е квадратна (концепцията за детерминанта съществува само за квадратни матрици). Същността на метода на обратната матрица може да се изрази в три точки:
Запишете три матрици: матрицата на системата A, матрицата на неизвестните X, матрицата на свободните членове B.
Намерете обратната матрица A -1 .
Използвайки равенството X=A -1 ⋅B, да се получи решение на дадения SLAE.
Метод на Гаус. Примери за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения по метода на Гаус.
Методът на Гаус е един от най-нагледните и прости начини за решаване системи от линейни алгебрични уравнения(SLAU): както хомогенни, така и хетерогенни. Накратко, същността на този метод е последователното елиминиране на неизвестни.
Трансформации, разрешени в метода на Гаус:
Смяна на местата на два реда;
Умножаване на всички елементи на низ по някакво число, което не е равно на нула.
Добавяне към елементите на един ред на съответните елементи на друг ред, умножени по произволен коефициент.
Задраскване на ред, чиито елементи са нула.
Зачеркване на дублиращи се редове.
По отношение на последните две точки: повтарящите се линии могат да бъдат зачеркнати на всеки етап от решението по метода на Гаус - естествено, оставяйки една от тях. Например, ако редове № 2, № 5, № 6 се повтарят, тогава можете да оставите един от тях, например ред № 5. В този случай редове № 2 и № 6 ще бъдат изтрити.
Нулевите редове се премахват от разширената системна матрица, както се появяват.
