Изрази, преобразуване на изрази

Степенен израз (изрази със степен) и тяхното преобразуване

В тази статия ще говорим за преобразуване на изрази със степени. Първо, ще се съсредоточим върху трансформациите, които се извършват с изрази от всякакъв вид, включително изрази за мощност, като отваряне на скоби и въвеждане на подобни термини. И тогава ще анализираме трансформациите, присъщи конкретно на изразите със степени: работа с основата и показателя, използване на свойствата на степените и т.н.

Навигация в страницата.

Какво представляват изразите на властта?

Терминът „степенни изрази“ практически не се появява в училищните учебници по математика, но се появява доста често в колекции от задачи, особено в тези, предназначени за подготовка за Единния държавен изпит и Единния държавен изпит, например. След анализ на задачите, в които е необходимо да се извършват каквито и да било действия със степенни изрази, става ясно, че степенните изрази се разбират като изрази, съдържащи мощности в своите записи. Следователно можете да приемете следното определение за себе си:

Определение.

Силови изразиса изрази, съдържащи степени.

Да дадем примери за степенни изрази. Нещо повече, ние ще ги представим според това как става развитието на възгледите от степен с естествен показател към степен с реален показател.

Както е известно, първо се запознаваме със степента на число с естествен показател, като на този етап първите най-прости степенни изрази от вида 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 се появяват −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 и т.н.

Малко по-късно се изучава степента на число с цяло число, което води до появата на степенни изрази с цели числа отрицателни сили, като следното: 3 −2 , , a −2 +2 b −3 +c 2 .

В гимназията се връщат към степени. Там се въвежда степен с рационален показател, което води до появата на съответните степенни изрази: , , и така нататък. Накрая се разглеждат степени с ирационални показатели и изрази, които ги съдържат: , .

Въпросът не се ограничава до изброените степенни изрази: по-нататък променливата прониква в експонента и например възникват следните изрази: 2 x 2 +1 или . И след като се запознаем с , започват да се появяват изрази със степени и логаритми, например x 2·lgx −5·x lgx.

И така, ние се справихме с въпроса какво представляват изразите на мощност. След това ще се научим да ги трансформираме.

Основни видове преобразувания на степенни изрази

Със степенни изрази можете да извършите всяка от основните трансформации на идентичност на изрази. Например, можете да разширите скобите, да замените числови изразитехните стойности, дайте подобни условия и т.н. Естествено, в този случай е необходимо да се спазва приетата процедура за извършване на действия. Да дадем примери.

Пример.

Изчислете стойността на степенния израз 2 3 ·(4 2 −12) .

Решение.

Според реда на изпълнение на действията първо изпълнете действията в скоби. Там, първо, заместваме степента 4 2 с нейната стойност 16 (ако е необходимо, вижте), и второ, изчисляваме разликата 16−12=4. Ние имаме 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

В получения израз заместваме степента 2 3 с нейната стойност 8, след което изчисляваме произведението 8·4=32. Това е желаната стойност.

Така, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Отговор:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Пример.

Опростете изрази със степени 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Решение.

Очевидно този израз съдържа подобни членове 3·a 4 ·b −7 и 2·a 4 ·b −7 и можем да ги представим: .

Отговор:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Пример.

Изразете израз със степени като произведение.

Решение.

Можете да се справите със задачата, като представите числото 9 като степен на 3 2 и след това използвате формулата за съкратено умножение - разлика на квадратите:

Отговор:

Съществуват и редица идентични трансформации, присъщи специално на изразите на мощност. Ще ги анализираме допълнително.

Работа с основа и експонента

Има степени, чиято основа и/или експонента не са просто числа или променливи, а някои изрази. Като пример даваме записите (2+0,3·7) 5−3,7 и (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Когато работите с такива изрази, можете да замените както израза в основата на степента, така и израза в експонентата с идентично равен израз в ODZ на неговите променливи. С други думи, според известните ни правила, можем отделно да трансформираме основата на степента и отделно експонентата. Ясно е, че в резултат на тази трансформация ще се получи израз, който е идентично равен на първоначалния.

Такива трансформации ни позволяват да опростим изрази със способности или да постигнем други цели, от които се нуждаем. Например в израза на степен, споменат по-горе (2+0,3 7) 5−3,7, можете да извършвате операции с числата в основата и степента, което ще ви позволи да преминете към степен 4,1 1,3. И след като отворим скобите и приведем подобни членове към основата на степента (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), получаваме степенен израз на по-проста форма a 2·(x+ 1) .

Използване на свойства на степен

Един от основните инструменти за трансформиране на изрази със степени са равенствата, които отразяват . Нека си припомним основните. За всякакви положителни числа a и b и произволни реални числа r и s са верни следните свойства на степените:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Имайте предвид, че за естествени, цели и положителни показатели ограниченията за числата a и b може да не са толкова строги. Например за естествените числа m и n равенството a m ·a n =a m+n е вярно не само за положително a, но и за отрицателно a, и за a=0.

В училище основният фокус при трансформиране на изрази на мощност е върху способността да се избере подходящото свойство и да се приложи правилно. В този случай основите на степените обикновено са положителни, което позволява свойствата на степените да се използват без ограничения. Същото важи и за преобразуването на изрази, съдържащи променливи в основите на степените - обхватът на допустимите стойности на променливите обикновено е такъв, че базите върху него приемат само положителни стойности, което ви позволява свободно да използвате свойствата на степените. Като цяло трябва постоянно да се питате дали е възможно да в такъв случайприлагайте всяко свойство на степени, тъй като неточното използване на свойства може да доведе до стесняване на образователната стойност и други проблеми. Тези точки са обсъдени подробно и с примери в статията трансформация на изрази, използващи свойства на степени. Тук ще се ограничим до разглеждането на няколко прости примера.

Пример.

Изразете израза a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 като степен с основа a.

Решение.

Първо, трансформираме втория множител (a 2) −3, използвайки свойството за повишаване на степен на степен: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Оригиналният израз на степента ще приеме формата a 2,5 ·a −6:a −5,5. Очевидно остава да използваме свойствата на умножение и деление на степени с една и съща основа, която имаме
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Отговор:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Свойствата на степените при преобразуване на степенни изрази се използват както отляво надясно, така и отдясно наляво.

Пример.

Намерете стойността на степенния израз.

Решение.

Равенството (a·b) r =a r ·b r, приложено отдясно наляво, ни позволява да преминем от оригиналния израз към продукт на формата и по-нататък. И когато се умножават степени с еднакви основи, показателите се събират: .

Беше възможно да се трансформира оригиналният израз по друг начин:

Отговор:

.

Пример.

При даден степенен израз a 1,5 −a 0,5 −6, въведете нова променлива t=a 0,5.

Решение.

Степента a 1,5 може да бъде представена като 0,5 3 и след това, въз основа на свойството на степента към степен (a r) s =a r s, приложено отдясно наляво, да го трансформира във формата (a 0,5) 3. По този начин, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Сега е лесно да въведем нова променлива t=a 0,5, получаваме t 3 −t−6.

Отговор:

t 3 −t−6 .

Преобразуване на дроби, съдържащи степени

Изразите на степен могат да съдържат или представляват дроби със степени. Всяка от основните трансформации на дроби, които са присъщи на всякакъв вид дроби, е напълно приложима за такива дроби. Тоест дроби, които съдържат степени, могат да бъдат намалени, намалени до нов знаменател, да се работи отделно с техния числител и отделно със знаменателя и т.н. За да илюстрирате тези думи, помислете за решения на няколко примера.

Пример.

Опростете израза на мощността .

Решение.

Този израз на мощност е дроб. Нека работим с неговия числител и знаменател. В числителя отваряме скобите и опростяваме получения израз, използвайки свойствата на степените, а в знаменателя представяме подобни термини:

И нека също да променим знака на знаменателя, като поставим минус пред дробта: .

Отговор:

.

Редуцирането на дроби, съдържащи степени, до нов знаменател се извършва подобно на редуцирането на рационални дроби до нов знаменател. В този случай се намира и допълнителен множител и числителят и знаменателят на дробта се умножават по него. Когато извършвате това действие, си струва да запомните, че намаляването до нов знаменател може да доведе до стесняване на VA. За да предотвратите това да се случи, е необходимо допълнителният коефициент да не отива на нула за никакви стойности на променливите от ODZ променливите за оригиналния израз.

Пример.

Намалете дробите до нов знаменател: а) до знаменател а, б) към знаменателя.

Решение.

а) В този случай е доста лесно да разберете кой допълнителен множител помага за постигане на желания резултат. Това е множител на 0,3, тъй като a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Обърнете внимание, че в диапазона от допустими стойности на променливата a (това е наборът от всички положителни реални числа), силата на a 0,3 не изчезва, следователно имаме право да умножим числителя и знаменателя на даден част от този допълнителен фактор:

б) Ако погледнете по-отблизо знаменателя, ще откриете това

и умножаването на този израз по ще даде сумата от кубове и , т.е. И това е новият знаменател, до който трябва да намалим първоначалната дроб.

Ето как открихме допълнителен фактор. В обхвата на допустимите стойности на променливите x и y изразът не изчезва, следователно можем да умножим числителя и знаменателя на фракцията по него:

Отговор:

а) , б) .

Също така няма нищо ново в намаляването на дроби, съдържащи степени: числителят и знаменателят са представени като редица множители и същите множители на числителя и знаменателя са намалени.

Пример.

Намалете дроба: а) , б) .

Решение.

а) Първо, числителят и знаменателят могат да бъдат намалени с числата 30 и 45, което е равно на 15. Също така очевидно е възможно да се извърши редукция с x 0,5 +1 и с . Ето какво имаме:

б) В този случай еднаквите множители в числителя и знаменателя не се виждат веднага. За да ги получите, ще трябва да извършите предварителни трансформации. В този случай те се състоят в разлагане на знаменателя на множители с помощта на формулата за разликата на квадратите:

Отговор:

а)

б) .

Преобразуването на дроби в нов знаменател и намаляването на дроби се използват главно за извършване на неща с дроби. Действията се извършват по известни правила. При събиране (изваждане) на дроби те се свеждат до общ знаменател, след което числителите се събират (изваждат), но знаменателят остава същият. Резултатът е дроб, чийто числител е произведението на числителите, а знаменателят е произведението на знаменателите. Делението с дроб е умножение с обратното му.

Пример.

Следвай стъпките .

Решение.

Първо, изваждаме дробите в скобите. За да направим това, ги привеждаме към общ знаменател, който е , след което изваждаме числителите:

Сега умножаваме дробите:

Очевидно е възможно да се намали със степен x 1/2, след което имаме .

Можете също така да опростите израза на степента в знаменателя, като използвате формулата за разликата на квадратите: .

Отговор:

Пример.

Опростете Power Expression .

Решение.

Очевидно тази дроб може да бъде намалена с (x 2,7 +1) 2, това дава дробта . Ясно е, че трябва да се направи нещо друго със правомощията на X. За да направим това, трансформираме получената фракция в продукт. Това ни дава възможност да се възползваме от свойството на деление на степени с еднакви бази: . И в края на процеса преминаваме от последния продукт към фракцията.

Отговор:

.

И нека добавим също, че е възможно и в много случаи желателно да се прехвърлят множители с отрицателни показатели от числителя към знаменателя или от знаменателя към числителя, като се промени знакът на степента. Такива трансформации често опростяват по-нататъшни действия. Например, степенен израз може да бъде заменен с .

Преобразуване на изрази с корени и степени

Често в изрази, в които се изискват някои трансформации, заедно със степени присъстват и корени с дробни показатели. За да трансформирате такъв израз в желаната форма, в повечето случаи е достатъчно да отидете само до корени или само до степени. Но тъй като е по-удобно да се работи с правомощия, те обикновено преминават от корени към правомощия. Въпреки това е препоръчително да извършите такъв преход, когато ODZ на променливите за оригиналния израз ви позволява да замените корените със степени, без да е необходимо да се позовавате на модула или да разделяте ODZ на няколко интервала (обсъдихме това подробно в членът преход от корен към степен и обратно След запознаване със степента с рационален показател се въвежда степен c ирационален показател, което ни позволява да говорим за степен с произволен реален показател. На този етап училището започва да учи експоненциална функция , което е аналитично дадено чрез степен, чиято основа е число, а показателят е променлива. Така се сблъскваме със степенни изрази, съдържащи числа в основата на степента, а в степента - изрази с променливи, и естествено възниква необходимостта от извършване на трансформации на такива изрази.

Трябва да се каже, че трансформацията на изрази от посочения тип обикновено трябва да се извърши при решаването експоненциални уравненияИ експоненциални неравенства и тези преобразувания са доста прости. В преобладаващата част от случаите те се основават на свойствата на степента и са насочени в по-голямата си част към въвеждане на нова променлива в бъдеще. Уравнението ще ни позволи да ги демонстрираме 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Първо, степените, в експонентите на които е сумата от определена променлива (или израз с променливи) и число, се заменят с продукти. Това се отнася за първия и последния член на израза от лявата страна:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

След това двете страни на равенството се разделят на израза 7 2 x, който на ODZ на променливата x за оригиналното уравнение приема само положителни стойности (това е стандартна техника за решаване на уравнения от този тип, ние не сме говорим за това сега, така че се фокусирайте върху последващите трансформации на изрази със степени):

Сега можем да съкратим дроби със степен, което дава .

И накрая, съотношението на степените с еднакви показатели се заменя със степени на отношенията, което води до уравнението , което е еквивалентно . Направените трансформации ни позволяват да въведем нова променлива, която намалява решението до оригинала експоненциално уравнениеза решаване на квадратно уравнение

Изразът a n (степен с цяло число) ще бъде дефиниран във всички случаи, с изключение на случая, когато a = 0 и n е по-малко или равно на нула.

Свойства на степените

Основни свойства на степените с цяло число:

a m *a n = a (m+n) ;

a m: a n = a (m-n) (с ане е равно на нула);

(a m) n = a (m*n) ;

(a*b) n = a n *b n;

(a/b) n = (a n)/(b n) (с bне е равно на нула);

a 0 = 1 (с ане е равно на нула);

Тези свойства ще бъдат валидни за всякакви числа a, b и всякакви цели числа m и n. Заслужава да се отбележи и следното свойство:

Ако m>n, тогава a m > a n, за a>1 и a m

Можем да обобщим концепцията за степен на число за случаите, когато рационалните числа действат като експонента. В същото време бих искал всички горни свойства да бъдат изпълнени или поне някои от тях.

Например, ако свойството (a m) n = a (m*n) е изпълнено, следващото равенство ще се проведе:

(a (m/n)) n = a m.

Това равенство означава, че числото a (m/n) трябва да бъде корен n-ти от числото a m.

Степента на някакво число a (по-голямо от нула) с рационален показател r = (m/n), където m е някакво цяло число, n е някакво естествено число, по-голямо от едно, е числото n√(a m). Въз основа на определението: a (m/n) = n√(a m).

За всички положителни r ще се определи степента на нула. По дефиниция 0 r = 0. Отбележете също, че за всяко цяло число, всяко естествено m и n и положително Авярно е следното равенство: a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .

Например: 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12).

От дефиницията на степен с рационален показател пряко следва, че за всяко положително a и всяко рационално r числото a r ще бъде положителен.

Основни свойства на степен с рационален показател

За всякакви рационални числа p, q и всяко a>0 и b>0 следните равенства са верни:

1. (a p)*(a q) = a (p+q) ;

2. (a p):(b q) = a (p-q) ;

3. (a p) q = a (p*q) ;

4. (a*b) p = (a p)*(b p);

5. (a/b) p = (a p)/(b p).

Тези свойства следват от свойствата на корените. Всички тези свойства се доказват по подобен начин, така че ще се ограничим до доказването само на едно от тях, например първото (a p)*(a q) = a (p + q) .

Нека p = m/n и q = k/l, където n, l са някои естествени числа, а m, k са някои цели числа. След това трябва да докажете, че:

(a (m/n))*(a (k/l)) = a ((m/n) + (k/l)) .

Първо, нека приведем дробите m/n k/l към общ знаменател. Получаваме дробите (m*l)/(n*l) и (k*n)/(n*l). Нека пренапишем лявата страна на равенството, като използваме тези обозначения и получаваме:

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ).

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ) = (n*l)√(a (m*l))*(n*l)√(a (k*n)) = (n*l)√((a (m*l))*(a (k*n))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m /n)+(k/l)) .

Видео урокът „Показател с рационален показател“ съдържа визуален материал учебен материалда преподава урок по тази тема. Видео урокът съдържа информация за концепцията за степен с рационален показател, свойства на такива степени, както и примери, описващи използването на учебен материал за решаване на практически задачи. Целта на този видео урок е ясно и ясно да представи учебния материал, да улесни неговото разработване и запомняне от учениците и да развие способността за решаване на проблеми с помощта на изучените понятия.

Основните предимства на видео урока са възможността за визуално извършване на трансформации и изчисления, възможността за използване на анимационни ефекти за подобряване на ефективността на обучението. Гласовият съпровод помага за развитието на правилната математическа реч, а също така дава възможност да се замени обяснението на учителя, освобождавайки го да извършва индивидуална работа.

Видео урокът започва с представяне на темата. Свързване на проучвания нова темас предварително изучен материал се предлага да запомните, че n √a иначе се означава с 1/n за естествено n и положително a. Това представяне на n-корен се показва на екрана. След това предлагаме да разгледаме какво означава изразът a m/n, в който a е положително число, а m/n е дроб. Дефиницията на степен с рационален показател като a m/n = n √a m е дадена, подчертана в рамката. Отбелязва се, че n може да бъде естествено число, а m може да бъде цяло число.

След дефиниране на степен с рационален показател, нейното значение се разкрива чрез примери: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Показан е също пример, в който степента, представена от десетичен знак, се преобразува в обикновена дроб, за да бъде представена като корен: (1/7) 1,7 = (1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 и пример с отрицателна степен: 3 -1/ 8 = 8 √3 -1.

Отделно е посочена особеността на специалния случай, когато основата на степента е нула. Отбелязва се, че тази степенима смисъл само с положителен дробен показател. В този случай стойността му е нула: 0 m/n =0.

Отбелязва се още една особеност на степен с рационален показател - че степен с дробен показател не може да се разглежда с дробен показател. Дадени са примери за неправилно записване на степен: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

След това във видео урока обсъждаме свойствата на степен с рационален показател. Отбелязва се, че свойствата на степен с цяло число ще бъдат валидни и за степен с рационален показател. Предлага се да се припомни списъкът с имоти, които също са валидни в този случай:

1. При умножаване на степени с еднакви основи, техните показатели се събират: a p a q =a p+q.
2. Делението на степени с еднакви основи се свежда до степен с дадена основа и разлика в показателите: a p:a q =a p-q.
3. Ако повдигнем степента на определена степен, тогава ще получим степен с дадена основа и произведението на експонентите: (a p) q =a pq.

Всички тези свойства са валидни за степени с рационални показатели p, q и положителна основа a>0. Също така трансформациите на степен при отваряне на скоби остават верни:

1. (ab) p =a p b p - повдигане на някаква степен с рационален показател произведението на две числа се редуцира до произведението на числа, всяко от които е повдигнато на дадена степен.
2. (a/b) p =a p /b p - повишаване на дроб на степен с рационален показател се свежда до дроб, чийто числител и знаменател са повдигнати на дадена степен.

Видео урокът разглежда решаването на примери, които използват разгледаните свойства на степени с рационален показател. Първият пример изисква от вас да намерите стойността на израз, който съдържа променливи x в дробна степен: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Въпреки сложността на израза, като се използват свойствата на степените, той може да бъде решен доста просто. Решаването на проблема започва с опростяване на израза, който използва правилото за повишаване на степен с рационален показател на степен, както и умножение на степени с една и съща основа. След като заместим дадената стойност x=8 в опростения израз x 1/3 +48, ​​лесно се получава стойността - 50.

Във втория пример трябва да намалите дроб, чийто числител и знаменател съдържат степени с рационален показател. Използвайки свойствата на степента, ние извличаме от разликата фактора x 1/3, който след това се редуцира в числителя и знаменателя, и използвайки формулата за разликата на квадратите, числителят се факторизира, което дава допълнителни редукции на идентични множители в числителя и знаменателя. Резултатът от тези трансформации е късата дроб x 1/4 +3.

Видео урокът „Показател с рационален показател“ може да се използва вместо учител да обяснява нова тема на урока. Това ръководство също съдържа достатъчно пълна информацияЗа самоподготовкастудент. Материалът може да бъде полезен и за дистанционно обучение.

Израз от формата a (m/n), където n е някакво естествено число, m е някакво цяло число и основата на степента a е по-голяма от нула, наречена степен с дробен показател.Освен това е вярно следното равенство. n√(a m) = a (m/n) .

Както вече знаем, числата от вида m/n, където n е някакво естествено число, а m е някакво цяло число, се наричат ​​дробни или рационални числа. От всичко по-горе получаваме, че степента е дефинирана за всеки рационален показател и всяка положителна основа на степента.

За всяко рационално числата p,qи за всяко a>0 и b>0 са верни следните равенства:

• 1. (a p)*(a q) = a (p+q)
• 2. (a p):(b q) = a (p-q)
• 3. (a p) q = a (p*q)
• 4. (a*b) p = (a p)*(b p)
• 5. (a/b) p = (a p)/(b p)

Тези свойства се използват широко при преобразуване на различни изрази, които съдържат степени с дробни показатели.

Примери за преобразуване на изрази, съдържащи степени с дробен показател

Нека да разгледаме няколко примера, които демонстрират как тези свойства могат да се използват за трансформиране на изрази.

1. Пресметнете 7 (1/4) * 7 (3/4) .

• 7 (1/4) * 7 (3/4) = z (1/4 + 3/4) = 7.

2. Изчислете 9 (2/3) : 9 (1/6) .

• 9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.

3. Изчислете (16 (1/3)) (9/4) .

• (16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.

4. Изчислете 24 (2/3) .

• 24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.

5. Пресметнете (8/27) (1/3) .

• (8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.

6. Опростете израза ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b)

• ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) = (a*b*(a (1/3) + b (1/3) )))/(1/3) + b (1/3)) = a*b.

7. Изчислете (25 (1/5))*(125 (1/5)).

• (25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.

8. Опростете израза

• (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/( a (2/3) + a (-1/3)).
• (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/( a (2/3) + a (-1/3)) =
• = ((a (1/3))*(1-a 2))/((a (1/3))*(1-a)) - ((a (-1/3))*(1- a 2))/ ((a (-1/3))*(1+a)) =
• = 1 +a - (1-a) = 2*a.

Както можете да видите, като използвате тези свойства, можете значително да опростите някои изрази, които съдържат степени с дробни показатели.