Нека разгледаме определена равнина π и произволна точка M 0 в пространството. Да изберем за самолета единичен нормален вектор n с началотов някаква точка M 1 ∈ π и нека p(M 0 ,π) е разстоянието от точката M 0 до равнината π. Тогава (фиг. 5.5)
р(М 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)
тъй като |n| = 1.
Ако равнината π е дадена в правоъгълна координатна система с нейното общо уравнение Ax + By + Cz + D = 0, тогава неговият нормален вектор е векторът с координати (A; B; C) и можем да изберем
Нека (x 0 ; y 0 ; z 0) и (x 1 ; y 1 ; z 1) са координатите на точките M 0 и M 1 . Тогава равенството Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 е в сила, тъй като точката M 1 принадлежи на равнината и координатите на вектора M 1 M 0 могат да бъдат намерени: M 1 M 0 = (x 0 - x 1; y 0 - y 1; z 0 - z 1). Записване скаларно произведение nM 1 M 0 в координатна форма и преобразувайки (5.8), получаваме
тъй като Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Така че, за да изчислите разстоянието от точка до равнина, трябва да замените координатите на точката в общо уравнениеравнина и след това разделете абсолютната стойност на резултата на нормализиращия коефициент, равен на дължинатасъответния нормален вектор.
ЗАДАЧИ С2 ОТ ЕДИНИЯ ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА ЗА НАМИРАНЕ НА РАЗСТОЯНИЕТО ОТ ТОЧКА ДО РАВНИНА
Куликова Анастасия Юриевна
5-ти курс, катедра Мат. анализ, алгебра и геометрия EI KFU, Руска Федерация, Република Татарстан, Елабуга
Ганеева Айгул Рифовна
научен ръководител д.ф.н. пед. Науки, доцент EI KFU, Руска Федерация, Република Татарстан, Елабуга
IN Задачи за единен държавен изпитпо математика в последните годинивъзникват проблеми при изчисляване на разстоянието от точка до равнина. В тази статия, използвайки примера на една задача, се разглеждат различни методи за намиране на разстоянието от точка до равнина. Най-подходящият метод може да се използва за решаване на различни проблеми. След като решите проблем с един метод, можете да проверите правилността на резултата с друг метод.
Определение.Разстоянието от точка до равнина, която не съдържа тази точка, е дължината на перпендикуляра, прекаран от тази точка към дадената равнина.
Задача.Дан кубоид АбСЪСД.А. 1 б 1 ° С 1 д 1 със страни AB=2, пр.н.е.=4, А.А. 1 =6. Намерете разстоянието от точката дда рендосвам ACд 1 .
1 начин. Използвайки определение. Намерете разстоянието r( д, ACд 1) от точка дда рендосвам ACд 1 (фиг. 1).
Фигура 1. Първи метод
Нека изпълним Д.Х.⊥AC, следователно, по теоремата за три перпендикуляра д 1 з⊥ACИ (DD 1 з)⊥AC. Нека изпълним директен Д.Т.перпендикулярен д 1 з. Направо Д.Т.лежи в равнина DD 1 з, следователно Д.Т.⊥A.C.. следователно Д.Т.⊥ACд 1.
АDCнека намерим хипотенузата ACи височина Д.Х.
От правоъгълен триъгълник д 1 Д.Х. нека намерим хипотенузата д 1 зи височина Д.Т.
Отговор: .
Метод 2.Обемен метод (използване на спомагателна пирамида). Задача от този тип може да се сведе до задачата за изчисляване на височината на пирамида, където височината на пирамидата е необходимото разстояние от точка до равнина. Докажете, че тази височина е търсеното разстояние; намерете обема на тази пирамида по два начина и изразете тази височина.
Обърнете внимание, че с този метод не е необходимо да се конструира перпендикуляр от дадена точка към дадена равнина.
Кубоидът е паралелепипед, чиито лица са правоъгълници.
AB=CD=2, пр.н.е.=AD=4, А.А. 1 =6.
Необходимото разстояние ще бъде височината чпирамиди ACD 1 д, спуснат отгоре двърху основата ACD 1 (фиг. 2).
Нека изчислим обема на пирамидата ACD 1 ддва начина.
При пресмятането по първия начин вземаме ∆ за основа ACD 1 тогава
При изчисляване по втория начин вземаме ∆ за основа ACD, Тогава
Нека приравним десните части на последните две равенства и получим
Фигура 2. Втори метод
от правоъгълни триъгълници ACд, ДОБАВЯНЕ 1 , CDD 1 намерете хипотенузата с помощта на Питагоровата теорема
ACD
Изчислете площта на триъгълника ACд 1, използвайки формулата на Heron
Отговор: .
3 начина. Координатен метод.
Нека се даде точка М(х 0 ,г 0 ,z 0) и равнина α , дадено от уравнението брадва+от+cz+д=0 в правоъгълна декартова координатна система. Разстояние от точката Мкъм равнината α може да се изчисли по формулата:
Да въведем координатна система (фиг. 3). Начало на координатите в точка IN;
Направо AB- ос х, направо слънце- ос г, направо BB 1 - ос z.
Фигура 3. Трети метод
б(0,0,0), А(2,0,0), СЪС(0,4,0), д(2,4,0), д 1 (2,4,6).
Позволявам аx+от+ cz+ д=0 – уравнение на равнина ACD 1 . Заместване на координатите на точки в него А, ° С, д 1 получаваме:
Уравнение на равнината ACD 1 ще приеме формата
Отговор: .
4 начин. Векторен метод.
Нека въведем основата (фиг. 4) , .
Фигура 4. Четвърти метод
Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.
Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.
По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.
Как използваме вашата лична информация:
- Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
- Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели като одит, анализ на данни и различни изследванияза да подобрим услугите, които предоставяме и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.
Разкриване на информация на трети лица
Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.
Изключения:
- При необходимост - в съответствие със закона, съдебната процедура, съдебното производство и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.
Защита на личната информация
Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво
За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.
