В уроците по алгебра в училище срещаме различни видове изрази. Докато изучавате нов материал, записването на изрази става по-разнообразно и сложно. Например, запознахме се със степени - появиха се степени в изрази, учихме дроби - появиха се дробни изрази и т.н.

За удобство на описанието на материала изразите, състоящи се от подобни елементи, получиха специфични имена, за да ги разграничат от цялото разнообразие от изрази. В тази статия ще се запознаем с тях, тоест ще направим преглед на основните изрази, изучавани в часовете по алгебра в училище.

Навигация в страницата.

Мономи и полиноми

Нека започнем с изразите, наречени мономи и полиноми. По време на това писане разговорът за мономи и полиноми започва в уроците по алгебра в 7 клас. Там са дадени следните определения.

Определение.

Мономисе наричат ​​числа, променливи, техните степени с естествени показатели, както и всякакви продукти, съставени от тях.

Определение.

Полиномие сумата от мономите.

Например числото 5, променливата x, степента z 7, продуктите 5 x и 7 x x 2 7 z 7 са мономи. Ако вземем сумата от мономи, например 5+x или z 7 +7+7·x·2·7·z 7, тогава получаваме полином.

Работата с мономи и полиноми често включва правене на неща с тях. Така върху множеството от мономи се определя умножението на мономи и повдигането на моном на степен, в смисъл че в резултат на тяхното изпълнение се получава моном.

Събирането, изваждането, умножението и степенуването са дефинирани върху множеството от полиноми. Как се определят тези действия и по какви правила се изпълняват, ще говорим в статията Действия с полиноми.

Ако говорим за полиноми с една променлива, тогава когато работим с тях, разделянето на полином на полином има значително практическо значение и често такива полиноми трябва да бъдат представени като продукт; това действие се нарича факторизиране на полинома.

Рационални (алгебрични) дроби

В 8. клас започва изучаването на изрази, съдържащи деление с израз с променливи. И първите такива изрази са рационални дроби, което някои автори наричат алгебрични дроби.

Определение.

Рационална (алгебрична) дробе дроб, чийто числител и знаменател са полиноми, по-специално мономи и числа.

Ето няколко примера за рационални дроби: и . Между другото, всяка обикновена дроб е рационална (алгебрична) дроб.

Събиране, изваждане, умножение, деление и степенуване се въвеждат върху различни алгебрични дроби. Как се прави това е обяснено в статията Действия с алгебрични дроби.

Често е необходимо да се извършват трансформации на алгебрични дроби, най-често срещаните от които са редукция и редукция до нов знаменател.

Рационални изрази

Определение.

Изрази със степени (степенни изрази)са изрази, съдържащи степени в техния запис.

Ето някои примери за изрази със степени. Те може да не съдържат променливи, например 2 3 , . Съществуват и степенни изрази с променливи: и така нататък.

Няма да навреди да се запознаете с това как се прави. преобразуване на изрази със степени.

Ирационални изрази, изрази с корен

Определение.

Изразите, съдържащи логаритми, се наричат логаритмични изрази.

Примери за логаритмични изрази са log 3 9+lne , log 2 (4 a b) , .

Много често изразите съдържат както степени, така и логаритми, което е разбираемо, тъй като по дефиниция логаритъмът е експонента. В резултат на това изрази като този изглеждат естествени: .

За да продължите темата, вижте материала преобразуване на логаритмични изрази.

дроби

В този раздел ще разгледаме изрази от специален тип - дроби.

Дробта разширява понятието. Дробите също имат числител и знаменател, разположени съответно над и под хоризонталната дробна линия (отляво и отдясно на наклонената дробна линия). Само, за разлика от обикновените дроби, числителят и знаменателят могат да съдържат не само естествени числа, но и всякакви други числа, както и всякакви изрази.

И така, нека дефинираме дроб.

Определение.

Фракцияе израз, състоящ се от числител и знаменател, разделени с дробна черта, които представляват някои цифрови или азбучни изрази или числа.

Това определение ви позволява да дадете примери за дроби.

Нека започнем с примери за дроби, чиито числители и знаменатели са числа: 1/4, , (−15)/(−2) . Числителят и знаменателят на дроб могат да съдържат изрази, както цифрови, така и азбучни. Ето примери за такива дроби: (a+1)/3, (a+b+c)/(a 2 +b 2), .

Но изразите 2/5−3/7 не са дроби, въпреки че съдържат дроби в техните обозначения.

Общи изрази

В гимназията, особено в задачи с повишена трудност и задачи от група В на Единния държавен изпит по математика, ще срещнете изрази сложен тип, съдържащи в нотацията си едновременно корени, степени, логаритми и тригонометрични функции, и така нататък. Например, или . Изглежда, че отговарят на няколко типа изрази, изброени по-горе. Но те обикновено не се класифицират като един от тях. Смятат се общи изрази, а при описание просто казват израз, без да добавят допълнителни пояснения.

Завършвайки статията, бих искал да кажа, че ако даден израз е тромав и ако не сте напълно сигурни към кой тип принадлежи, тогава е по-добре да го наречете просто израз, отколкото да го наречете израз, който не е .

Библиография.

• Математика: учебник за 5 клас. общо образование институции / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21 изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
• Математика. 6 клас: учебен. за общо образование институции / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-ро издание, рев. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра:учебник за 7 клас общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М.: Образование, 2008. - 240 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Алгебра: 9 клас: учебен. за общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2009. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клас. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогоров - 14-то изд. - М.: Образование, 2004. - 384 с.: ил. - ISBN 5-09-013651-3.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.

Статии по природни науки и математика

Какво е числов и алгебричен израз?

Числен израз- това е всеки запис, съставен от числа и знаци на аритметични операции и написан по известни правила, в резултат на което има определено значение. Например, следните записи са числови изрази: 4 + 5; -1,05 × 22,5 - 34. От друга страна, нотацията × 16 - × 0,5 не е числова, тъй като, въпреки че се състои от числа и знаци на аритметични операции, тя не е написана според правилата за съставяне на числови изрази.

Ако в числов израз има букви вместо цифри (всички или само някои), тогава този израз е вече алгебричен.

Значението на използването на букви е приблизително следното. Буквите могат да бъдат заменени различни числа, което означава, че изразът може да има различни значения. Алгебрата като наука изучава принципите на опростяване на изрази, търсене и използване на различни правила, закони и формули. Алгебрата изучава най-рационалните начини за извършване на изчисления и точно за това са обобщенията, тоест използването на променливи (букви) вместо конкретни числа.

Алгебричните факти включват законите за събиране и умножение, понятията за отрицателни числа, обикновени и десетични дроби и правилата за аритметични операции с тях и свойствата на обикновените дроби. Алгебрата е предназначена да разбере цялото това разнообразие от факти, да ги научи да ги използват и да види приложимостта на законите в конкретни числови и алгебрични изрази.

Кога числов изразсе изчислява, резултатът е неговата стойност. Стойността на алгебричен израз може да бъде изчислена само ако определени числови стойности са заменени с буквите. Например изразът a ÷ b с a = 3 и b = 5 има стойност 3 ÷ 5 или 0,6. Алгебричният израз обаче може да е такъв, че за някои стойности на променливите (букви) да няма никакво значение. За същия пример (a ÷ b) изразът няма смисъл, когато b = 0, тъй като не можете да делите на нула.

Следователно те говорят за приемливи и неприемливи стойности на променливи за конкретен алгебричен израз.

scienceland.info

Алгебрични изрази

1. Дефиниция на понятието
2. Стойност на израза
3. Изрази на идентичност
4. Разрешаване на проблем
5. Какво научихме?

Дефиниция на понятието

Какви изрази се наричат ​​алгебрични? Това е математическа нотация, съставена от цифри, букви и аритметични символи. Наличието на букви е основната разлика между числови и алгебрични изрази. Примери:

Буквата в алгебричните изрази означава число. Затова се нарича променлива - в първия пример това е буквата a, във втория е b, а в третия е c. Самият алгебричен израз също се нарича израз с променлива.

Стойност на израза

Значение на алгебричен изразе числото, получено в резултат на извършване на всички аритметични операции, посочени в този израз. Но за да го получите, буквите трябва да бъдат заменени с цифри. Затова в примерите винаги посочват кое число съответства на буквата. Нека да разгледаме как да намерим стойността на израза 8a-14*(5-a), ако a=3.

Нека заменим буквата а с числото 3. Получаваме следния запис: 8*3-14*(5-3).

Както при числовите изрази, решението на алгебричен израз се извършва съгласно правилата за извършване на аритметични операции. Нека решим всичко по ред.

Така стойността на израза 8a-14*(5-a) при a=3 е равна на -4.

Стойността на една променлива се нарича валидна, ако изразът има смисъл с нея, тоест е възможно да се намери нейното решение.

Пример за валидна променлива за израза 5:2a е числото 1. Замествайки го в израза, получаваме 5:2*1=2,5. Невалидната променлива за този израз е 0. Ако заместим нула в израза, получаваме 5:2*0, т.е. 5:0. Не можете да разделите на нула, което означава, че изразът няма смисъл.

Изрази на идентичност

Ако два израза са равни за някакви стойности на съставните им променливи, те се извикват идентичен.
Пример за еднакви изрази :
4(a+c) и 4a+4c.
Каквито и стойности да приемат буквите a и c, изразите винаги ще бъдат равни. Всеки израз може да бъде заменен с друг, който е идентичен с него. Този процес се нарича трансформация на идентичността.

Пример за трансформация на идентичността .
4*(5a+14c) – този израз може да бъде заменен с идентичен чрез прилагане на математическия закон за умножението. За да умножите число по сумата от две числа, трябва да умножите това число по всеки член и да добавите резултатите.

Така изразът 4*(5a+14c) е идентичен на 20a+64c.

Числото, което се появява пред буквена променлива в алгебричен израз, се нарича коефициент. Коефициентът и променливата са множители.

Разрешаване на проблем

Алгебричните изрази се използват за решаване на задачи и уравнения.
Нека разгледаме проблема. Петя измисли номер. За да го познае съученикът му Саша, Петя му каза: първо добавих 7 към числото, след това извадих 5 от него и умножих по 2. В резултат получих числото 28. Кое число познах?

За да разрешите проблема, трябва да обозначите скрития номер с буквата a и след това да изпълните всички посочени действия с него.

Сега нека решим полученото уравнение.

Петя си пожела числото 12.

Какво научихме?

Алгебричният израз е запис, съставен от букви, цифри и аритметични символи. Всеки израз има стойност, която се намира чрез извършване на всички аритметични операции в израза. Буквата в алгебричен израз се нарича променлива, а числото пред нея се нарича коефициент. Алгебричните изрази се използват за решаване на проблеми.

6.4.1. Алгебричен израз

аз Изрази, в които заедно с букви могат да се използват числа, аритметични знаци и скоби, се наричат ​​алгебрични изрази.

Примери за алгебрични изрази:

2m -n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0.3a -b · (4а + 2б); a 2 – 2ab;

Тъй като буква в алгебричен израз може да бъде заменена с няколко различни числа, буквата се нарича променлива, а самият алгебричен израз се нарича израз с променлива.

II. Ако в алгебричен израз буквите (променливите) се заменят с техните стойности и се извършат посочените действия, тогава полученото число се нарича стойност на алгебричния израз.

Примери. Намерете значението на израза:

1) a + 2b -c с a = -2; b = 10; с = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| при х = -8; y = -5; z = 6.

1) a + 2b -c с a = -2; b = 10; с = -3,5. Вместо променливи, нека заместим техните стойности. Получаваме:

2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| при х = -8; y = -5; z = 6. Заместете посочените стойности. Спомняме си, че модулът на отрицателно число е равен на противоположното му число, а модулът на положително число е равен на самото това число. Получаваме:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III.Стойностите на буквата (променливата), за които алгебричният израз има смисъл, се наричат ​​допустимите стойности на буквата (променливата).

Примери. За какви стойности на променливата изразът няма смисъл?

Решение.Знаем, че не можете да делите на нула, следователно всеки от тези изрази няма да има смисъл предвид стойността на буквата (променливата), която превръща знаменателя на дробта в нула!

В пример 1) тази стойност е a = 0. Наистина, ако замените 0 вместо a, тогава ще трябва да разделите числото 6 на 0, но това не може да стане. Отговор: израз 1) няма смисъл, когато a = 0.

В пример 2) знаменателят x - 4 = 0 при x = 4, следователно тази стойност x = 4 и не може да бъде взета. Отговор: израз 2) няма смисъл, когато x = 4.

В пример 3) знаменателят е x + 2 = 0, когато x = -2. Отговор: израз 3) няма смисъл, когато x = -2.

В пример 4) знаменателят е 5 -|x| = 0 за |x| = 5. И тъй като |5| = 5 и |-5| = 5, тогава не можете да вземете x = 5 и x = -5. Отговор: израз 4) няма смисъл при x = -5 и при x = 5.
IV. Два израза се наричат ​​идентично равни, ако за всякакви допустими стойности на променливите съответните стойности на тези изрази са равни.

Пример: 5 (a – b) и 5a – 5b също са равни, тъй като равенството 5 (a – b) = 5a – 5b ще бъде вярно за всякакви стойности на a и b. Равенството 5 (a – b) = 5a – 5b е тъждество.

Идентичност е равенство, което е валидно за всички допустими стойности на променливите, включени в него. Примери за тъждества, които вече са ви известни, са например свойствата на събиране и умножение и разпределителното свойство.

Замяната на един израз с друг идентично равен израз се нарича трансформация на идентичност или просто трансформация на израз. Идентични трансформации на изрази с променливи се извършват въз основа на свойствата на операциите с числа.

а)преобразувайте израза в идентично равен, като използвате разпределителното свойство на умножението:

1) 10·(1,2x + 2,3y); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Решение. Нека си припомним разпределителното свойство (закон) на умножението:

(a+b)c=ac+bc(закон за разпределение на умножението спрямо събирането: за да умножите сумата от две числа по трето число, можете да умножите всеки член по това число и да добавите получените резултати).
(a-b) c=a c-b c(закон за разпределение на умножението спрямо изваждането: за да умножите разликата на две числа по трето число, можете да умножите умаленото и да извадите с това число отделно и да извадите второто от първия резултат).

1) 10·(1,2x + 2,3y) = 10 · 1,2x + 10 · 2,3y = 12x + 23y.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

б)преобразувайте израза в идентично равен, като използвате комутативните и асоциативни свойства (закони) на събирането:

4) х + 4,5 + 2х + 6,5; 5) (3а + 2,1) + 7,8; 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s.

Решение.Нека приложим законите (свойствата) на събирането:

a+b=b+a(комутативен: пренареждането на членовете не променя сумата).
(a+b)+c=a+(b+c)(комбинативно: за да добавите трето число към сумата от два члена, можете да добавите сумата от второто и третото към първото число).

4) x + 4,5 +2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

V)Преобразувайте израза в идентично равен, като използвате комутативните и асоциативни свойства (закони) на умножението:

7) 4 · х · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3а · (-3) · 2s.

Решение.Нека приложим законите (свойствата) на умножението:

a·b=b·a(комутативен: пренареждането на факторите не променя продукта).
(a b) c=a (b c)(комбинативно: за да умножите произведението на две числа по трето число, можете да умножите първото число по произведението на второто и третото).

7) 4 · х · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2у · (-1) = 7у.

9) 3а · (-3) · 2c = -18ac.

Ако даден алгебричен израз е даден под формата на редуцируема дроб, то с помощта на правилото за редуциране на дроб той може да се опрости, т.е. заменете го с еднакво равен по-прост израз.

Примери. Опростете чрез съкращаване на дроби.

Решение.Да намалиш дроб означава да разделиш числителя и знаменателя на едно и също число (израз), различно от нула. Дроб 10) ще бъде намалена с 3б; фракция 11) ще бъде намалена с Аи дроб 12) ще бъдат намалени с 7n. Получаваме:

Алгебричните изрази се използват за създаване на формули.

Формулата е алгебричен израз, написан като равенство и изразяващ връзката между две или повече променливи.Пример: формула за път, която знаете s=v t(s - изминато разстояние, v - скорост, t - време). Спомнете си какви други формули знаете.

www.mathematics-repetition.com

Значение на правилото на алгебричния израз

Числени и алгебрични изрази

В началното училище сте се научили да правите изчисления с цяло и дробни числа , решаваше уравнения, запозна се с геометрични форми, С координатна равнина. Всичко това представляваше съдържанието на един училищен предмет "Математика". В действителност такива важна областнауката, подобно на математиката, е разделена на огромен брой независими дисциплини: алгебра, геометрия, теория на вероятностите, математически анализ, математическа логика, математическа статистика, теория на игрите и др. Всяка дисциплина има свои собствени обекти на изследване, свои собствени методи за разбиране на реалността.

Алгебрата, която предстои да изучаваме, дава възможност на човек не само да извършва различни изчисления, но и го учи да го прави възможно най-бързо и рационално. Човек, притежаващ алгебрични методи, има предимство пред тези, които не владеят тези методи: той изчислява по-бързо, ориентира се по-успешно в житейски ситуации, взема решения по-ясно и мисли по-добре. Нашата задача е да ви помогнем да овладеете алгебричните методи, вашата задача е да не се съпротивлявате на ученето, да имате желание да ни следвате, преодолявайки трудностите.

Всъщност в началното училище вече е отворен прозорец към живота ви. Вълшебен святалгебра, тъй като алгебрата изучава предимно числови и алгебрични изрази.

Нека припомним, че числов израз е всеки запис, съставен от числа и знаци на аритметични операции (съставени, разбира се, със значение: например 3 + 57 е числов израз, докато 3 + : не е числов израз, а безсмислен набор от символи). По някои причини (ще говорим за тях по-късно) често се използват букви (главно от латинската азбука) вместо конкретни цифри; тогава се получава алгебричен израз. Тези изрази могат да бъдат много тромави. Алгебрата ви учи да ги опростявате, като използвате различни правила, закони, свойства, алгоритми, формули, теореми.

Пример 1. Опростете числов израз:

Решение. Сега ще си припомним нещо заедно и ще видите колко много алгебрични факти вече знаете. На първо място, трябва да разработите план за извършване на изчисленията. За да направите това, ще трябва да използвате конвенциите, приети в математиката за реда на операциите. Процедурата в този пример би била следната:

1) намерете стойността A на израза в първите скоби:
А = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81;

2) намерете стойността B на израза във вторите скоби:

3) разделяме A на B - тогава ще знаем какво число C се съдържа в числителя (т.е. над хоризонталната линия);

4) намерете стойността D на знаменателя (т.е. изразът, съдържащ се под хоризонталната линия):
D = 25 - 37 - 0,4;

5) разделете C на D - това ще бъде желаният резултат. И така, има план за изчисление (и наличието на план е половината
успех!), нека започнем да го прилагаме.

1) Нека намерим A = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81. Разбира се, можете да преброите в ред или, както се казва, „глава в глава“: 2,73 + 4,81, след което добавете към това число
3,27, след това извадете 2,81. Но един културен човек няма да пресметне по този начин. Той ще запомни комутативните и асоциативните закони на събиране (но не е нужно да ги помни, те винаги са в главата му) и ще пресмята така:

(2,73 + 3,27) + 4,81 — 2,81) = 6 + 2 = 8.

Сега нека отново анализираме заедно какви математически факти трябваше да запомним в процеса на решаване на примера (и не само да запомним, но и да използваме).

1. Редът на аритметичните операции.

2. Комутативен закон на събиране: a + b = b + a.

4. Комбинационно праводопълнение:
a+b + c = (a + b) + c = a + (b + c).

5. Комбинационен закон за умножение: abc = (ab)c = a(bc).

6. Концепции за обикновени дроби, десетичен знак , отрицателно число.

7. Аритметични действия с десетични дроби.

8. Аритметични действия с обикновени дроби.

10. Правила за действия с позитив и негатив числа. Вие знаете всичко това, но всичко това са алгебрични факти. По този начин вече сте се запознали с алгебрата в началното училище. Основната трудност, както се вижда от пример 1, е, че има доста такива факти и човек трябва не само да ги знае, но и да може да ги използва, както се казва, „в точното време и в правилното място.” Това ще научим.

Тъй като на буквите, които съставляват алгебричен израз, могат да бъдат дадени различни числени стойности (т.е. значенията на буквите могат да бъдат променяни), тези букви се наричат ​​променливи.

б) По същия начин, следвайки реда на действията, последователно намираме:

Но не можете да разделите на нула! Какво означава това в в такъв случай(и в други подобни случаи)? Това означава, че когато : даденият алгебричен израз няма смисъл.

Използва се следната терминология: ако за конкретни стойности на букви (променливи) алгебричен израз има числова стойност, тогава посочените стойности на променливите се наричат ​​допустими; ако за конкретни стойности на букви (променливи) алгебричният израз няма смисъл, тогава посочените стойности на променливите се наричат ​​невалидни.

Така че в пример 2 стойностите a = 1 и b = 2, a = 3,7 и b = -1,7 са приемливи, докато стойностите
невалиден (по-точно: първите две двойки стойности са валидни, а третата двойка стойности е невалидна).

Като цяло, в пример 2, такива стойности на променливите a, b ще бъдат неприемливи, за които или a + b = 0, или a - b = 0. Например a = 7, b = - 7 или a = 28.3 , b = 28 ,3 - невалидни двойки стойности; в първия случай a + b = 0, а във втория случай a - b = 0. И в двата случая знаменателят на израза, даден в този пример, става нула и, повтаряме отново, не може да бъде разделен на нула . Сега вероятно вие сами ще можете да измислите както валидни двойки стойности за променливи a, b, така и невалидни двойки стойности за тези променливи в пример 2. Опитайте!

Онлайн материали по математика, задачи и отговори по класове, изтегляне на уроци по математика

А. В. Погорелов, Геометрия за 7-11 клас, Учебник за учебни заведения

Ако имате корекции или предложения за този урок, моля, пишете ни.

Ако искате да видите други корекции и предложения за уроци, вижте тук - Образователен форум.

Числени и алгебрични изрази. Преобразуване на изрази.

Какво е израз в математиката? Защо се нуждаем от преобразувания на изрази?

Въпросът, както се казва, е интересен... Факт е, че тези понятия са в основата на цялата математика. Цялата математика се състои от изрази и техните трансформации. Не е много ясно? Нека обясня.

Да кажем, че имате зъл пример пред вас. Много голям и много сложен. Да кажем, че сте добри по математика и не се страхувате от нищо! Можете ли да дадете отговор веднага?

Ще трябва решитози пример. Последователно, стъпка по стъпка, този пример опростявам. По определени правила, разбира се. Тези. направи преобразуване на изрази. Колкото по-успешно извършвате тези трансформации, толкова по-силен сте в математиката. Ако не знаете как да направите правилните трансформации, няма да можете да ги направите в математиката. Нищо...

За да избегнете такова неудобно бъдеще (или настояще...), не пречи да разберете тази тема.)

Първо, нека разберем какво е израз в математиката. Какво стана числов изрази какво е алгебричен израз.

Какво е израз в математиката?

Изразяване в математиката- това е много широко понятие. Почти всичко, с което се занимаваме в математиката, е набор от математически изрази. Всякакви примери, формули, дроби, уравнения и така нататък - всичко се състои от математически изрази.

3+2 е математически израз. s 2 - d 2- това също е математически израз. И здрава дроб, и дори едно число - това е всичко математически изрази. Например уравнението е:

5x + 2 = 12

се състои от два математически израза, свързани със знак за равенство. Едното изражение е отляво, другото отдясно.

IN общ изгледтермин " математически израз"се използва, най-често, за да избегнете тананикане. Ще ви попитат какво е обикновена дроб, например? И как да отговорите?!

Първи отговор: „Това е... мммммм... такова нещо... в което... Мога ли да напиша дроб по-добре? Кое искаш?"

Втори отговор: " Обикновена дроб- това е (весело и радостно!) математически израз , който се състои от числител и знаменател!"

Вторият вариант ще бъде някак по-впечатляващ, нали?)

Това е целта на фразата " математически израз "много добре. И правилно, и солидно. Но за практическо приложениетрябва да сте добре запознати специфични видове изрази в математиката .

Конкретният тип е друг въпрос. Това Това е съвсем друг въпрос!Всеки вид математически израз има моятанабор от правила и техники, които трябва да се използват при вземане на решение. За работа с дроби - един комплект. За работа с тригонометрични изрази - вторият. За работа с логаритми - третият. И така нататък. Някъде тези правила съвпадат, някъде рязко се различават. Но не се плашете от тези страшни думи. Ще овладеем логаритми, тригонометрия и други мистериозни неща в съответните раздели.

Тук ще усвоим (или - повторете, зависи кой...) два основни вида математически изрази. Числени изрази и алгебрични изрази.

Числови изрази.

Какво стана числов израз? Това е много проста концепция. Самото име подсказва, че това е израз с числа. Така е. Математически израз, съставен от числа, скоби и аритметични символи, се нарича числов израз.

7-3 е числов израз.

(8+3,2) 5,4 също е числов израз.

И това чудовище:

също числов израз, да...

Обикновено число, дроб, всеки пример за изчисление без X и други букви - всичко това са числови изрази.

Основен знак числовиизрази - в него няма букви. Нито един. Само числа и математически символи (ако е необходимо). Просто е, нали?

И какво можете да направите с числови изрази? Числовите изрази обикновено могат да бъдат преброени. За да направите това, се случва да отворите скобите, да промените знаците, да съкратите, да размените термини - т.е. направи преобразувания на изрази. Но повече за това по-долу.

Тук ще се занимаем с такъв забавен случай, когато с числен израз не е нужно да правите нищо.Е, съвсем нищо! Тази приятна операция - да не правя нищо)- се изпълнява, когато изразът няма смисъл.

Кога числовият израз няма смисъл?

Ясно е, че ако видим някаква абракадабра пред нас, като

тогава няма да направим нищо. Защото не е ясно какво да се прави по въпроса. Глупости някакви. Може би пребройте плюсовете...

Но има външно доста прилични изрази. Например това:

(2+3) : (16 - 2 8)

Въпреки това, този израз също няма смисъл! По простата причина, че във вторите скоби - ако броиш - получаваш нула. Но не можете да разделите на нула! Това е забранена операция в математиката. Следователно не е необходимо да правите нищо и с този израз. За всяка задача с такъв израз отговорът винаги ще бъде един и същ: „Изразът няма смисъл!

За да дам такъв отговор, разбира се, трябваше да изчисля какво ще бъде в скоби. И понякога има много неща в скоби... Е, нищо не можете да направите по въпроса.

В математиката няма толкова много забранени операции. В тази тема има само един. Деление на нула. Допълнителни ограничения, възникващи при корени и логаритми, се обсъждат в съответните теми.

И така, представа какво е това числов израз- има. Концепция числовият израз няма смисъл- осъзнах. Да продължим.

Алгебрични изрази.

Ако в числов израз се появят букви, този израз става... Изразът става... Да! Става алгебричен израз. Например:

5а 2; 3x-2y; 3(z-2); 3.4m/n; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...

Такива изрази също се наричат буквални изрази.Или изрази с променливи.На практика е същото. Изразяване 5а +в, например, както буквални, така и алгебрични, и израз с променливи.

Концепция алгебричен израз -по-широко от числово. То включваи всички числови изрази. Тези. числовият израз също е алгебричен израз, само без букви. Всяка херинга е риба, но не всяка риба е херинга...)

Защо азбучен- Ясно е. Е, след като има букви... Фраза израз с променливиОсвен това не е много озадачаващо. Ако разбирате, че цифрите са скрити под буквите. Под букви могат да се крият всякакви цифри... И 5, и -18, и всичко друго. Тоест едно писмо може да бъде замениза различни номера. Затова се наричат ​​буквите променливи.

В израза у+5, Например, при- променлива стойност. Или просто казват " променлива", без думата "магнитуд". За разлика от пет, което е постоянна стойност. Или просто - постоянен.

Срок алгебричен изразозначава, че за да работите с този израз, трябва да използвате закони и правила алгебра. Ако аритметикатогава работи с конкретни числа алгебра- с всички числа наведнъж. Прост пример за пояснение.

В аритметиката можем да напишем това

Но ако напишем такова равенство чрез алгебрични изрази:

a + b = b + a

ще решим веднага всичковъпроси. За всички числаудар. За всичко безкраен брой. Защото под буквите АИ bподразбира се всичкочисла. И не само числата, но дори и други математически изрази. Ето как работи алгебрата.

Кога един алгебричен израз няма смисъл?

Всичко за числовия израз е ясно. Там не можете да делите на нула. А с букви може ли да разберем на какво делим?!

Да вземем за пример този израз с променливи:

2: (А - 5)

Има ли смисъл? Кой знае? А- всяко число...

Всякакви, всякакви... Но има едно значение А, за които този израз точноняма смисъл! И какво е това число? да Това е 5! Ако променливата Азаменете (казват "заместване") с числото 5, в скоби получавате нула. Които не могат да бъдат разделени. Така се оказва, че нашият израз няма смисъл, Ако а = 5. Но за други стойности Аима ли смисъл? Можете ли да замените други числа?

Със сигурност. В такива случаи те просто казват, че изразът

2: (А - 5)

има смисъл за всякакви ценности А, с изключение на a = 5 .

Целият набор от числа, които Могазаместване в даден израз се нарича диапазон от приемливи стойноститози израз.

Както можете да видите, няма нищо сложно. Нека да разгледаме израза с променливи и да разберем: при каква стойност на променливата се получава забранената операция (деление на нула)?

И тогава не забравяйте да погледнете въпроса на задачата. Какво питат?

няма смисъл, нашият забранен смисъл ще бъде отговорът.

Ако попитате при каква стойност на променлива изразът има значението(почувствайте разликата!), отговорът ще бъде всички останали числас изключение на забраненото.

Защо се нуждаем от значението на израза? Има го, няма го... Каква е разликата?! Въпросът е, че тази концепция става много важна в гимназията. Изключително важно! Това е основата за такива солидни концепции като областта на приемливите стойности или областта на функцията. Без това изобщо няма да можете да решавате сериозни уравнения или неравенства. Като този.

Преобразуване на изрази. Трансформации на идентичността.

Запознахме се с числови и алгебрични изрази. Разбрахме какво означава фразата „изразът няма смисъл“. Сега трябва да разберем какво е то трансформация на изрази.Отговорът е прост, до безобразие.) Това е всяко действие с израз. Това е всичко. Вие правите тези трансформации от първи клас.

Нека вземем готиния числов израз 3+5. Как може да се преобразува? Да, много просто! Изчисли:

Това изчисление ще бъде трансформацията на израза. Можете да напишете същия израз по различен начин:

Тук не броихме абсолютно нищо. Просто записах израза в различна форма.Това също ще бъде трансформация на израза. Можете да го напишете така:

И това също е трансформация на израз. Можете да направите толкова трансформации, колкото искате.

Всякаквидействие върху изразяването всякаквизаписването му в друга форма се нарича трансформиране на израза. И това е всичко. Всичко е много просто. Но тук има едно нещо много важно правило.Толкова важно, че спокойно може да се нарече основно правилоцялата математика. Нарушаването на това правило неизбежноводи до грешки. Влизаме ли в него?)

Да кажем, че трансформираме изражението си случайно, така:

Преобразуване? Със сигурност. Написахме израза в различна форма, какво не е наред тук?

Не е така.) Въпросът е, че трансформациите "наслуки"изобщо не се интересуват от математика.) Цялата математика е изградена върху трансформации, в които външен вид, но същността на израза не се променя.Три плюс пет може да се напише във всякаква форма, но трябва да е осем.

трансформации, изрази, които не променят същносттаса наречени идентичен.

Точно трансформации на идентичносттаи ни позволяват стъпка по стъпка да се трансформираме сложен примерв прост израз, запазване същността на примера.Ако направим грешка във веригата от трансформации, направим НЕ идентична трансформация, тогава ние ще решим другпример. С други отговори, които не са свързани с правилните.)

Това е основното правило за решаване на всякакви задачи: запазване на идентичността на трансформациите.

Дадох пример с числовия израз 3+5 за яснота. В алгебричните изрази трансформациите на идентичността се дават чрез формули и правила. Да кажем, че в алгебрата има формула:

a(b+c) = ab + ac

Това означава, че във всеки пример можем вместо израза a(b+c)не се колебайте да напишете израз ab + ac. И обратно. Това идентична трансформация.Математиката ни дава избор между тези два израза. А кой да напише зависи от конкретния пример.

Друг пример. Едно от най-важните и необходими трансформации е основното свойство на дроб. Можете да погледнете връзката за повече подробности, но тук само ще ви напомня правилото: Ако числителят и знаменателят на дроб се умножат (разделят) на едно и също число или израз, който не е равен на нула, дробта няма да се промени.Ето пример за трансформации на идентичност, използващи това свойство:

Както вероятно се досещате, тази верига може да бъде продължена безкрайно...) Много важно свойство. Именно това ви позволява да превърнете всякакви примерни чудовища в бели и пухкави.)

Има много формули, дефиниращи идентични трансформации. Но най-важните са доста разумен брой. Една от основните трансформации е факторизацията. Използва се във всякаква математика – от начална до напреднала. Да започнем с него. В следващия урок.)

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

В този урок ще си припомним какво е алгебричен израз и как да намерим стойността му по стойностите на променливите. Нека разберем кои стойности на променлива може да са невалидни за даден израз. Ще научим също как да извършваме различни операции с числови и алгебрични изрази.

Определение: Алгебричен израз е всеки смислен запис, който може да съдържа само цифри, букви, знаци за действие и скоби. Например, .

Можете да изчислите стойността на алгебричен израз, дадени стойностите на променливите; за да направите това, просто заменете стойността в израза и извършете изчисленията. Например, когато стойността на израза е: .

Проблем 1 . Намерете стойността на израза при .

Решение . Нека заместим стойността в израза и извършим изчисленията:

Отговор: .

В задача 1 резултатът беше деление на 0. Можете да опитате да разделите 3 на 0, например, на калкулатор. Уверете се сами, че калкулаторът не можа да намери значението на този израз. И при нас няма да работи. Делението на 0 няма значение, не е дефинирано.

Защо делението на нула не е определено?

0 е въведен като част от по-голям механизъм, наречен цели числа, за да покаже липсата на нещо. 0 улеснява броенето и писането на числа, но няма нулево количество, не можете да го посочите с пръст, така че не можете да кажете колко нули има в друго число.

Да разделим 3 на 0 означава да кажем колко пъти 3 е нищо. Може да се отговори на въпроса колко квадратни метра има един гараж, но не може да се отговори колко празнота има в него.

Ако беше измислено някакво значение за израза, то би противоречало на някои известни свойства и дефиниции, например свойствата на умножението, така че деленето на 0 не е дефинирано.

Все още можете да опитате да разделите 3 на 0. Делението е обратното на умножението, т.е. ако .

Но когато се умножи по 0, резултатът винаги е 0, т.е. това просто не съществува.

Нека разгледаме случая с разделянето на 0 на 0, така че да няма усещане, че е специално и различно от деленето на 3 на 0.

Равенството ще бъде вярно за всеки, защото резултатът от разделянето трябва да бъде определено число. Отново получаваме противоречие.

Следователно деленето на 0 не е дефинирано в математиката.

Можете да замените всяко число в алгебричен израз, но не винаги ще можете да изчислите стойността му.

Определение: извикват се такива стойности на променлива, за които изразът не е дефиниран (стойността му не може да бъде изчислена). невалидни стойности.

На този моментПознат ни е само един такъв случай. Например, ако изразът съдържа дроб или деление, тогава няма да заместим в израза такива стойности на променливата, че знаменателят да стане 0: .

Има и други случаи на невалидни стойности на променливи, но ще научим за тях по-късно, докато изучаваме различни функции.

Нека да разгледаме примери за идентифициране на невалидни стойности на променливи в изрази.

Пример 1

Решение . Изразът е дроб, така че знаменателят му не може да бъде 0: .

Така невалидна стойност за променлива е 0, т.е. изразът е дефиниран за всеки .

Отговор: 0.

Пример 2 . Идентифицирайте невалидни стойности на променлива в израз.

Решение . Изразът е дроб, така че знаменателят му не може да бъде 0: .

Така невалидната стойност за променливата е 5, т.е. изразът е дефиниран за всеки .

Отговор: 5.

Къде другаде можете да намерите деление на нула?

Нека докажем това. Нека въведем променливи, нека .

Получаваме равенството:

Пренареждаме условията и получаваме:

Нека извадим общия множител извън скобите във всяка част от равенството:

Разделете двете страни на равенството на и получете:

Разбрах това. Каква е уловката? Факт е, че в нашето „доказателство“ се промъкна грешка: деленето на 0 беше извършено при разделяне на двете страни на равенството с израза (по предположение тези числа са равни: ).

Това е пример математическа софистика- изявления с доказателства, които съдържат грешки. Софизмите не са само математически, например фразата „Не сте загубили това, което имате. Не си загубил рогата или опашката си. Това означава, че имате рога и опашка” съдържа логическа грешка: от първата фраза не следва, че имате всичко, което не сте загубили.

Най-известните софизми са Апория на Зенон. Можете да научите повече за тях на товавръзка.

Вече сме срещали еквивалентни изрази, когато редуцирахме дроби до общ знаменател. Записахме вериги от еквивалентни дроби и избрахме тези с еднакъв знаменател:

И

Например, в този случай това ще бъдат дроби: .

Еквивалентните изрази могат да бъдат заменени един с друг, това няма да промени смисъла и значението на записа.

Например, нека има израз. Можете да умножите и да получите израза. И двата числови израза са равни и еквивалентни.

Ако извършите всички действия в някакъв числов израз, ще получите неговата стойност: , т.е. - стойността на числов израз. След като завършихме всички стъпки, опростихме числения израз.

Алгебричните изрази могат да бъдат записани по различни начини, но означават едно и също нещо, например: и .

Можем ли да кажем, че изразът е опростен? Обикновено опростяването означава еквивалентна нотация по такъв начин, че за да изчислите стойността на израз, трябва да извършите възможно най-малко стъпки.

Например, за да изчислите стойността на израз за дадена стойност на променлива, трябва да извършите 3 действия, а за израз - едно действие. Разбира се, разликата от 2 действия е малка, но ако такава операция трябва да се направи 50 пъти, тогава разликата вече ще бъде цели 100 действия.

Проблем 2 . Докажете, че изразът е еквивалентен на израза.

Доказателство

Нека използваме закона за разпределение два пъти:

Проблем 3 . Опростете израза: .

Решение . Нека използваме формулата за разликата на квадратите:

Отговор: .

Нека сравним броя на действията, които трябва да бъдат извършени, за да изчислим първия израз и втория. В първия случай беше необходимо да се извършат 5 действия, а във втория - само 1. В такива случаи казват, че ние опростен алгебричен израз.

Невалидни стойности на променливата

Нека намерим невалидни стойности на променлива за израза: .

Знаменателят на дробта съдържа променливи; нека определим кога се превръща в 0:

Тези. Невалидните стойности на променлива ще бъдат противоположни стойности. Например, ако , тогава .

Еквивалентност на изразите

Изразите и не са еквивалентни за всяко и , защото първият израз не е дефиниран, когато , а вторият израз е дефиниран за всякакви стойности на променливите и .

Тези. тези изрази ще бъдат еквивалентни само за тези и които не са противоположни числа.

Проблем 4 . Опростете израза: .

Алгебричните изрази са съставени от числа и променливи, като се използват знаците за събиране, изваждане, умножение, деление, повишаване на рационална степени извличане на корена и използване на скоби.

Нека да разгледаме някои примери за алгебрични изрази:

2a 2 b – 3ab 2 (a + b)

(1/a + 1/b – c/3) 3 .

Има няколко вида алгебрични изрази.

Цяло число е алгебричен израз, който не съдържа деление на променливи и извличане на корени от променливи (включително степенуване с дробен показател).

2a 2 b – 3ab 2 (a + b) е цяло числов алгебричен израз.

(1/a + 1/b – c/3) 3 не е цяло число алгебричен израз, тъй като съдържа деление по променлива.

Дробта е алгебричен израз, който се състои от числа и променливи, като се използват операциите събиране, изваждане, умножение, степенуване с естествен показател и деление.

(1/a + 1/b – c/3) 3 е дробен алгебричен израз.

Рационалните алгебрични изрази са цели и дробни изрази.

Това означава, че както 2a 2 b – 3ab 2 (a + b), така и (1/a + 1/b – c/3) 3 са рационални алгебрични изрази.

Ирационален алгебричен израз е алгебричен израз, който включва вземане на корен от променливи (или повишаване на променливите на дробна степен).

a 2/3 – b 2/3 е ирационален алгебричен израз.

С други думи, всички алгебрични изрази се разделят на две големи групи: рационални и ирационални алгебрични изрази. Рационални изрази, от своя страна, се делят на цели числа и дроби.

Допустима стойност на променливи е стойност на променливи, при която алгебричният израз има смисъл. Наборът от всички валидни стойности на променлива е областта на дефиниране на алгебричен израз.

Целочислените изрази имат смисъл за всякакви стойности на неговите променливи. Например, 2a 2 b – 3ab 2 (a + b) има смисъл както за a = 0, b = 1, така и за a = 3, b = 6 и т.н.

Да приемем, че a = 0, b = 1, и да се опитаме да намерим решение на израза

2a 2 b – 3ab 2 (a + b).

Ако a = 0, b = 1, тогава 2 ∙ 0 2 ∙ 1 – 3 ∙ 0 ∙ 1 2 ∙ (0 + 1) = 0 ∙ 0 = 0.

Това означава, че за a = 0, b = 1, изразът е равен на 0.

Дробните изрази имат смисъл само ако стойностите не задават променливите на нула: припомнете си нашия „ златно правило» – не можете да делите на нула.

Изразът (1/a + 1/b – c/3) 3 има смисъл, когато a и b не са равни на нула (a ≠ 0, b ≠ 0). В противен случай получаваме деление на нула.

Ирационален израз няма да има смисъл със стойности на променливи, които превръщат в отрицателно число израза, съдържащ се под знака за четен корен или под знака за повишаване на дробна степен.

Изразът a 2/3 – b 2/3 има смисъл, когато a ≥ 0 и b ≥ 0. В противен случай се сблъскваме с повишаване на отрицателно число на дробна степен.

Стойността на алгебричен израз е числовият израз, получен в резултат на това, че на променливите са дадени валидни стойности.

Нека намерим стойността на алгебричния израз

a + b + c/5 за a = 6, b = 3, c = 5.

1. Изразът a + b + c/5 е цяло числов алгебричен израз → всички стойности са валидни.

2. Заменете числените стойности на променливите и получете:

6 + 3 + 5/5 = 9 + 1 = 10.

Така че отговорът е: 10.

Идентичността е равенство, което е вярно за всички допустими стойности на променливите, включени в него.

Изрази, чиито съответни стойности съвпадат за всички допустими стойности на променливите, се наричат ​​идентично равни. Така изразите x 5 и x 2 ∙ x 3, a + b + c и b + c + a са идентично равни един на друг.

Концепцията за тъждествено равни изрази ни води до друга важна концепция - тъждествено преобразуване на изрази.

Тъждествено преобразуване на израз е замяната на един израз с друг, който е идентично равен на него.

Това означава, че изразът x 5 може да бъде идентично трансформиран в израза x 2 ∙ x 3 .

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.