Квадратни уравнения. Изчерпателното ръководство (2019)

В термина „квадратно уравнение“ ключовата дума е „квадратично“. Това означава, че уравнението задължително трябва да съдържа променлива (същото x) на квадрат и не трябва да има x на трета (или по-голяма) степен.

Решаването на много уравнения се свежда до решаване на квадратни уравнения.

Нека се научим да определяме, че това е квадратно уравнение, а не някое друго уравнение.

Пример 1.

Нека да се отървем от знаменателя и да умножим всеки член на уравнението по

Нека преместим всичко в лявата страна и подредим членовете в низходящ ред на степените на X

Сега можем да кажем с увереност, че това уравнение е квадратно!

Пример 2.

Умножете лявата и дясната страна по:

Това уравнение, въпреки че първоначално е в него, не е квадратно!

Пример 3.

Нека умножим всичко по:

Страшен? Четвърта и втора степен... Ако обаче направим замяна, ще видим, че имаме просто квадратно уравнение:

Пример 4.

Изглежда, че е там, но нека го разгледаме по-отблизо. Нека преместим всичко отляво:

Виждате ли, тя се е свила - и сега е проста линейно уравнение!

Сега се опитайте да определите сами кои от следните уравнения са квадратни и кои не:

Примери:

Отговори:

1. квадрат;
2. квадрат;
3. не е квадратна;
4. не е квадратна;
5. не е квадратна;
6. квадрат;
7. не е квадратна;
8. квадрат.

Математиците условно разделят всичко квадратни уравненияна външен вид:

• Пълни квадратни уравнения- уравнения, в които коефициентите и, както и свободният член c, не са равни на нула (както в примера). В допълнение, сред пълните квадратни уравнения има дадено- това са уравнения, в които коефициентът (уравнението от пример едно е не само пълно, но и намалено!)

• Непълни квадратни уравнения- уравнения, в които коефициентът и/или свободният член c са равни на нула:

  Те са непълни, защото им липсва някакъв елемент. Но уравнението винаги трябва да съдържа x на квадрат!!! В противен случай това вече няма да е квадратно уравнение, а някакво друго уравнение.

Защо са измислили такова разделение? Изглежда, че има Х на квадрат и добре. Това разделение се определя от методите за решаване. Нека разгледаме всеки от тях по-подробно.

Решаване на непълни квадратни уравнения

Първо, нека се съсредоточим върху решаването на непълни квадратни уравнения - те са много по-прости!

Има видове непълни квадратни уравнения:

1. , в това уравнение коефициентът е равен.
2. , в това уравнение свободният член е равен на.
3. , в това уравнение коефициентът и свободният член са равни.

1. i. Тъй като знаем как да извадим корен квадратен, нека изразим от това уравнение

Изразът може да бъде както отрицателен, така и положителен. Число на квадрат не може да бъде отрицателно, защото при умножаване на две отрицателни или две положителни числа резултатът винаги ще бъде положително число, така че: ако, тогава уравнението няма решения.

И ако, тогава получаваме два корена. Няма нужда да запомняте тези формули. Основното е, че трябва да знаете и винаги да помните, че не може да бъде по-малко.

Нека се опитаме да решим някои примери.

Пример 5:

Решете уравнението

Сега остава само да извлечете корена от лявата и дясната страна. В крайна сметка помните ли как се извличат корени?

Отговор:

Никога не забравяйте за корените с отрицателен знак!!!

Пример 6:

Решете уравнението

Отговор:

Пример 7:

Решете уравнението

о! Квадратът на число не може да бъде отрицателен, което означава, че уравнението

без корени!

За такива уравнения, които нямат корени, математиците излязоха със специална икона - (празен набор). И отговорът може да бъде написан така:

Отговор:

По този начин това квадратно уравнение има два корена. Тук няма ограничения, тъй като не сме извлекли корена.
Пример 8:

Решете уравнението

Нека извадим общия множител извън скобите:

По този начин,

Това уравнение има два корена.

Отговор:

Най-простият тип непълни квадратни уравнения (въпреки че всички те са прости, нали?). Очевидно това уравнение винаги има само един корен:

Тук ще се откажем от примерите.

Решаване на пълни квадратни уравнения

Напомняме ви, че пълното квадратно уравнение е уравнение от вида уравнение където

Решаването на пълни квадратни уравнения е малко по-трудно (само малко) от тези.

Помня, Всяко квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминант! Дори непълна.

Другите методи ще ви помогнат да го направите по-бързо, но ако имате проблеми с квадратни уравнения, първо овладейте решението с помощта на дискриминанта.

1. Решаване на квадратни уравнения с помощта на дискриминант.

Решаването на квадратни уравнения с помощта на този метод е много просто, основното е да запомните последователността от действия и няколко формули.

Ако, тогава уравнението има корен.Трябва да обърнете специално внимание на стъпката. Дискриминант () ни казва броя на корените на уравнението.

• Ако, тогава формулата в стъпката ще бъде намалена до. Така уравнението ще има само корен.
• Ако, тогава няма да можем да извлечем корена на дискриминанта на стъпката. Това показва, че уравнението няма корени.

Нека се върнем към нашите уравнения и да разгледаме някои примери.

Пример 9:

Решете уравнението

Етап 1прескачаме.

Стъпка 2.

Намираме дискриминанта:

Това означава, че уравнението има два корена.

Стъпка 3.

Отговор:

Пример 10:

Решете уравнението

Уравнението е представено в стандартна форма, така че Етап 1прескачаме.

Стъпка 2.

Намираме дискриминанта:

Това означава, че уравнението има един корен.

Отговор:

Пример 11:

Решете уравнението

Уравнението е представено в стандартна форма, така че Етап 1прескачаме.

Стъпка 2.

Намираме дискриминанта:

Това означава, че няма да можем да извлечем корена на дискриминанта. Няма корени на уравнението.

Сега знаем как правилно да записваме такива отговори.

Отговор:без корени

2. Решаване на квадратни уравнения с помощта на теоремата на Виета.

Ако си спомняте, има вид уравнение, което се нарича намалено (когато коефициентът a е равен на):

Такива уравнения са много лесни за решаване с помощта на теоремата на Vieta:

Сума от корени даденоквадратно уравнение е равно и произведението на корените е равно.

Пример 12:

Решете уравнението

Това уравнение може да бъде решено с помощта на теоремата на Виета, защото .

Сборът от корените на уравнението е равен, т.е. получаваме първото уравнение:

И произведението е равно на:

Нека съставим и решим системата:

• И. Сумата е равна на;
• И. Сумата е равна на;
• И. Сумата е равна.

и са решението на системата:

Отговор: ; .

Пример 13:

Решете уравнението

Отговор:

Пример 14:

Решете уравнението

Дадено е уравнението, което означава:

Отговор:

КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНО НИВО

Какво е квадратно уравнение?

С други думи, квадратното уравнение е уравнение от формата, където - неизвестното, - някои числа и.

Числото се нарича най-високото или първи коефициентквадратно уравнение, - втори коефициент, А - безплатен член.

Защо? Защото, ако уравнението веднага стане линейно, защото ще изчезне.

В този случай и може да бъде равно на нула. В този стол уравнението се нарича непълно. Ако всички членове са налице, това означава, че уравнението е пълно.

Решения на различни видове квадратни уравнения

Методи за решаване на непълни квадратни уравнения:

Първо, нека разгледаме методите за решаване на непълни квадратни уравнения - те са по-прости.

Можем да различим следните видове уравнения:

I., в това уравнение коефициентът и свободният член са равни.

II. , в това уравнение коефициентът е равен.

III. , в това уравнение свободният член е равен на.

Сега нека разгледаме решението за всеки от тези подтипове.

Очевидно това уравнение винаги има само един корен:

Числото на квадрат не може да бъде отрицателно, защото когато умножите две отрицателни или две положителни числа, резултатът винаги ще бъде положително число. Ето защо:

ако, тогава уравнението няма решения;

ако имаме два корена

Няма нужда да запомняте тези формули. Основното нещо, което трябва да запомните, е, че не може да бъде по-малко.

Примери:

Решения:

Отговор:

Никога не забравяйте за корените с отрицателен знак!

Квадратът на число не може да бъде отрицателен, което означава, че уравнението

без корени.

За да напишем накратко, че даден проблем няма решения, използваме иконата за празен набор.

Отговор:

И така, това уравнение има два корена: и.

Отговор:

Нека извадим общия множител извън скобите:

Произведението е равно на нула, ако поне един от множителите е равен на нула. Това означава, че уравнението има решение, когато:

И така, това квадратно уравнение има два корена: и.

Пример:

Решете уравнението.

Решение:

Нека разложим лявата страна на уравнението и намерим корените:

Отговор:

Методи за решаване на пълни квадратни уравнения:

1. Дискриминант

Решаването на квадратни уравнения по този начин е лесно, основното е да запомните последователността от действия и няколко формули. Не забравяйте, че всяко квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминант! Дори непълна.

Забелязахте ли корена от дискриминанта във формулата за корените? Но дискриминантът може да бъде отрицателен. Какво да правя? Трябва да обърнем специално внимание на стъпка 2. Дискриминантът ни казва броя на корените на уравнението.

• Ако, тогава уравнението има корени:
• Ако тогава уравнението има еднакви корени, но по същество един корен:

  Такива корени се наричат ​​двойни корени.

• Ако, тогава коренът на дискриминанта не се извлича. Това показва, че уравнението няма корени.

Защо са възможни различен брой корени? Да се ​​обърнем към геометричен смисълквадратно уравнение. Графиката на функцията е парабола:

В специален случай, който е квадратно уравнение, . Това означава, че корените на квадратното уравнение са точките на пресичане с абсцисната ос (ос). Една парабола може изобщо да не пресича оста или да я пресича в една (когато върхът на параболата лежи върху оста) или две точки.

В допълнение, коефициентът е отговорен за посоката на клоновете на параболата. Ако, тогава клоните на параболата са насочени нагоре, а ако - надолу.

Примери:

Решения:

Отговор:

Отговор: .

Отговор:

Това означава, че няма решения.

Отговор: .

2. Теорема на Виета

Много е лесно да използвате теоремата на Vieta: просто трябва да изберете двойка числа, чийто продукт е равен на свободния член на уравнението, а сумата е равна на втория коефициент, взет с обратен знак.

Важно е да запомните, че теоремата на Виета може да се приложи само в редуцирани квадратни уравнения ().

Нека да разгледаме няколко примера:

Пример #1:

Решете уравнението.

Решение:

Това уравнение може да бъде решено с помощта на теоремата на Виета, защото . Други коефициенти: ; .

Сумата от корените на уравнението е:

И произведението е равно на:

Нека изберем двойки числа, чието произведение е равно и проверим дали сборът им е равен:

• И. Сумата е равна на;
• И. Сумата е равна на;
• И. Сумата е равна.

и са решението на системата:

Така и са корените на нашето уравнение.

Отговор: ; .

Пример #2:

Решение:

Нека изберем двойки числа, които дават в произведението, и след това проверим дали сборът им е равен:

и: дават общо.

и: дават общо. За да се получи, е достатъчно просто да се сменят знаците на предполагаемите корени: и в крайна сметка продуктът.

Отговор:

Пример #3:

Решение:

Свободният член на уравнението е отрицателен и следователно произведението на корените е отрицателно число. Това е възможно само ако единият от корените е отрицателен, а другият е положителен. Следователно сумата от корените е равна на разлики в техните модули.

Нека изберем двойки числа, които дават в произведението и чиято разлика е равна на:

и: разликата им е равна - не се вписва;

и: - неподходящи;

и: - неподходящи;

и: - подходящи. Остава само да запомним, че един от корените е отрицателен. Тъй като сборът им трябва да е равен, коренът с по-малкия модул трябва да е отрицателен: . Ние проверяваме:

Отговор:

Пример #4:

Решете уравнението.

Решение:

Дадено е уравнението, което означава:

Свободният член е отрицателен и следователно произведението на корените е отрицателно. И това е възможно само когато единият корен на уравнението е отрицателен, а другият е положителен.

Нека да изберем двойки числа, чийто продукт е равен, и след това да определим кои корени трябва да имат отрицателен знак:

Очевидно само корените и са подходящи за първото условие:

Отговор:

Пример #5:

Решете уравнението.

Решение:

Дадено е уравнението, което означава:

Сборът на корените е отрицателен, което означава, че поне един от корените е отрицателен. Но тъй като техният продукт е положителен, това означава, че и двата корена имат знак минус.

Нека изберем двойки числа, чийто продукт е равен на:

Очевидно корените са числата и.

Отговор:

Съгласете се, много е удобно да излезете с корени устно, вместо да броите този неприятен дискриминант. Опитайте се да използвате теоремата на Vieta възможно най-често.

Но теоремата на Виета е необходима, за да улесни и ускори намирането на корените. За да имате полза от използването му, трябва да доведете действията до автоматизъм. И за това решете още пет примера. Но не изневерявайте: не можете да използвате дискриминант! Само теоремата на Виета:

Решения на задачи за самостоятелна работа:

Задача 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Според теоремата на Виета:

Както обикновено, започваме селекцията с парчето:

Не е подходящ, защото количеството;

: количеството е точно това, от което се нуждаете.

Отговор: ; .

Задача 2.

И отново нашата любима теорема на Виета: сборът трябва да е равен и произведението трябва да е равно.

Но тъй като трябва да е не, но, променяме знаците на корените: и (общо).

Отговор: ; .

Задача 3.

Хм... Къде е това?

Трябва да преместите всички условия в една част:

Сборът от корените е равен на произведението.

Добре, спри! Уравнението не е дадено. Но теоремата на Виета е приложима само в дадените уравнения. Така че първо трябва да дадете уравнение. Ако не можете да водите, откажете се от тази идея и я решете по друг начин (например чрез дискриминант). Нека ви напомня, че да се даде квадратно уравнение означава водещият коефициент да бъде равен на:

Страхотен. Тогава сумата от корените е равна на и произведението.

Тук е толкова лесно, колкото да белите круши: все пак това е просто число (съжалявам за тавтологията).

Отговор: ; .

Задача 4.

Безплатният член е отрицателен. Какво е особеното на това? И факт е, че корените ще имат различни знаци. И сега, по време на селекцията, ние проверяваме не сумата на корените, а разликата в техните модули: тази разлика е равна, но продукт.

И така, корените са равни на и, но един от тях е минус. Теоремата на Виета ни казва, че сборът от корените е равен на втория коефициент с противоположен знак, т.е. Това означава, че по-малкият корен ще има минус: и, тъй като.

Отговор: ; .

Задача 5.

Какво трябва да направите първо? Точно така, дайте уравнението:

Отново: избираме факторите на числото и тяхната разлика трябва да бъде равна на:

Корените са равни на и, но един от тях е минус. Който? Сборът им трябва да е равен, което означава, че минусът ще има по-голям корен.

Отговор: ; .

Нека да обобщя:

1. Теоремата на Vieta се използва само в дадените квадратни уравнения.
2. Използвайки теоремата на Vieta, можете да намерите корените чрез избор, устно.
3. Ако уравнението не е дадено или не е намерена подходяща двойка фактори на свободния член, тогава няма цели корени и трябва да го решите по друг начин (например чрез дискриминант).

3. Метод за избор на пълен квадрат

Ако всички членове, съдържащи неизвестното, са представени под формата на членове от съкратени формули за умножение - квадрат на сбора или разликата - тогава след замяна на променливи уравнението може да бъде представено под формата на непълно квадратно уравнение от типа.

Например:

Пример 1:

Решете уравнението: .

Решение:

Отговор:

Пример 2:

Решете уравнението: .

Решение:

Отговор:

Като цяло трансформацията ще изглежда така:

Това предполага: .

Нищо не ти напомня? Това е нещо дискриминационно! Точно така получихме дискриминантната формула.

КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Квадратно уравнение- това е уравнение от вида, където - неизвестното, - коефициентите на квадратното уравнение, - свободният член.

Пълно квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентите не са равни на нула.

Редуцирано квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентът, тоест: .

Непълно квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентът и/или свободният член c са равни на нула:

• ако коефициентът, уравнението изглежда така: ,
• ако има свободен член, уравнението има формата: ,
• ако и, уравнението изглежда така: .

1. Алгоритъм за решаване на непълни квадратни уравнения

1.1. Непълно квадратно уравнение от формата, където, :

1) Нека изразим неизвестното: ,

2) Проверете знака на израза:

• ако, тогава уравнението няма решения,
• ако, тогава уравнението има два корена.

1.2. Непълно квадратно уравнение от формата, където, :

1) Нека извадим общия множител извън скобите: ,

2) Произведението е равно на нула, ако поне един от множителите е равен на нула. Следователно уравнението има два корена:

1.3. Непълно квадратно уравнение от формата, където:

Това уравнение винаги има само един корен: .

2. Алгоритъм за решаване на пълни квадратни уравнения от вида where

2.1. Решение с помощта на дискриминант

1) Нека приведем уравнението в стандартна форма: ,

2) Нека изчислим дискриминанта по формулата: , която показва броя на корените на уравнението:

3) Намерете корените на уравнението:

• ако, тогава уравнението има корени, които се намират по формулата:
• ако, тогава уравнението има корен, който се намира по формулата:
• ако, тогава уравнението няма корени.

2.2. Решение с помощта на теоремата на Виета

Сумата от корените на редуцираното квадратно уравнение (уравнение от вида където) е равна, а произведението на корените е равно, т.е. , А.

2.3. Решение по метода на избиране на пълен квадрат

Ако квадратно уравнение от формата има корени, тогава то може да бъде написано във формата: .

Е, темата приключи. Щом четеш тези редове, значи си много готин.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако прочетете до края, значи сте в тези 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това... това е просто супер! Вие вече сте по-добри от огромното мнозинство от вашите връстници.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешно полагане на Единния държавен изпит, за прием в колеж на бюджет и НАЙ-ВАЖНОТО - до живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само едно ще кажа...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на Единния държавен изпит и в крайна сметка сте... по-щастливи?

СПЕЧЕЛЕТЕ СИ РЪКАТА КАТО РЕШАВАТЕ ЗАДАЧИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

Няма да ви искат теория по време на изпита.

Ще имаш нужда решавайте проблеми срещу времето.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да имате време.

Това е като в спорта - трябва да го повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекцията, където пожелаете, задължително с решения, подробен анализ и решавайте, решавайте, решавайте!

Можете да използвате нашите задачи (по желание) и ние, разбира се, ги препоръчваме.

За да се справите по-добре с нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

как? Има две възможности:

1. Отключете всички скрити задачи в тази статия -
2. Отключете достъп до всички скрити задачи във всичките 99 статии на учебника - Купете учебник - 899 рубли

Да, имаме 99 такива статии в нашия учебник и веднага се отваря достъп до всички задачи и всички скрити текстове в тях.

Осигурен е достъп до всички скрити задачи за ЦЕЛИЯ живот на сайта.

В заключение...

Ако не харесвате нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте до теорията.

„Разбрах“ и „Мога да реша“ са напълно различни умения. Трябват ви и двете.

Намерете проблеми и ги решете!

Анализ на задача № 4 на тема: "Решаване на уравнения от различни видове"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания! Всички материали са проверени с антивирусна програма.

Учебни помагала и тренажори в онлайн магазина Интеграл за 9 клас
Интерактивно помагало "Правила и упражнения по алгебра" за 9 клас
Мултимедиен учебник за 9 клас "Алгебра за 10 минути"

Задача № 4 изисква умение за решаване на уравнения от различен тип. Момчета, трябва да сте добре запознати с методите за правилно решаване на квадратни уравнения, дробни рационални уравнения и обикновени линейни уравнения. Трябва също така да сте добри в извършването на операции с полиноми: умножаване и деление на полином на полином. Имате ли нужда от способността да изберете корените на уравнение, които са включени в областта на решението и да определите кои корени трябва да бъдат изхвърлени и да не се вземат предвид?

Уроци, които ще ви помогнат при подготовката на тази задача:

1.Основни определения и примери за решения на линейни функции.
2. Понятие и стандартна форма на моном.
3. Полином, стандартна форма, редукция, трансформация.
4. Примери за числени изрази. Алгебрични изрази с променливи и операции с тях.
5. Уравнения, примери за решаване на уравнения.
6. Квадратни уравнения. Урокът е в ход.
7. Дробни рационални уравнения. Урокът е в ход.
8. Корен квадратен. Урокът е в ход.

Нека да преминем към анализиране на примери за решения.

Пример 1.
Намерете корените на уравнението: $16x^2-1=0$.

Решение.
Обърнете внимание, че ни е дадено квадратно уравнение, но не пълно. Коефициентът на x е нула. Тогава ще се ръководим от правилото: „ще оставим онези изрази, в които има x на квадрат отляво, и ще преместим всички числа вдясно.“
Нека трансформираме нашия израз: $16x^2=1$.

Нека разделим двете страни на уравнението на коефициента на х на квадрат: $x^2=\frac(1)(16)$.

За да решим това уравнение, се нуждаем от знания за квадратния корен. Нека извлечем корена, като не забравяме, че трябва да вземем предвид и отрицателното число: $x=±\sqrt(\frac(1)(16))=±\frac(1)(4)=±0.25$.
Отговор: $x=±0,25$.

Пример 2.
Решете уравнението: $x^2=18-7x$.

Решение.
Нека преместим всички изрази в лявата страна на уравнението: $x^2+7x-18=0$.

Можем да решим обикновеното квадратно уравнение по два начина:
1. “челно”, изчисляване на дискриминанта;
2. използвайки теоремата на Виет.

1 начин.
Нека запишем всички коефициенти за квадратното уравнение: $a=1$, $b=7$, $c=-18$.

Нека намерим дискриминанта: $D=b^2-4ac=(7)^2-4*1*(-18)=49+72=121=(11)^2>0$.
Открихме, че уравнението има 2 корена.
Просто трябва да намерим тези корени:
$x_1=\frac(-b+\sqrt(D))(2a)=\frac(-7+11)(2)=2$.
$x_2=\frac(-b-\sqrt(D))(2a)=\frac(-7-11)(2)=-9$.

Метод 2.
Нека използваме теоремата на Виет. Теоремата на Виет често многократно опростява решението на квадратни уравнения, особено когато коефициентът $a=1$. В този случай произведението на корените на уравнението е равно на коефициента $c$, а сумата от корените на уравнението е равна на минус коефициента на $b$:
$x_1+x_2=-\frac(b)(a)$.
$x_1*x_2=\frac(c)(a)$.

В нашия пример $с=-18$ и $b=7$. Започваме да сортираме двойки числа, чийто продукт е равен на минус осемнадесет. Първите числа, които идват на ум са девет и две. След като извършим няколко прости умножения и събирания, можем да проверим дали корените $x=-9$ и $x=2$ са подходящи за нас.
$x_1*x_2=-9*2=-18=\frac(c)(a)$.
x$_1+x_2=-9+2=-7=-\frac(b)(a)$.
Отговор: $x=-9$, $x=2$.

Пример 3.
Решете уравнението: $x-\frac(x)(7)=\frac(15)(7)$.

Решение.
Дадено ни е обикновено линейно уравнение с дробни коефициенти. За да решите това уравнение, трябва да работите правилно с обикновени дроби.
Първата стъпка е да трансформирате лявата страна на уравнението, като го опростите: $x-\frac(x)(7)=\frac(7x)(7)-\frac(x)(7)=\frac(6x )(7)$.
Получихме уравнението: $\frac(6x)(7)=\frac(15)(7)$.
Нека разделим дясната страна на уравнението на коефициента на x: $x=\frac(\frac(15)(7))(\frac(6)(7))$.

Нека разгледаме разделението отделно: $\frac(\frac(15)(7))(\frac(6)(7))=\frac(15)(7)*\frac(7)(6)=\frac( 15 )(6)=2\frac(3)(6)=2\frac(1)(2)=$2,5.

Получихме: $x=2,5$.
Отговор: $x=2,5$.

Пример 4.
Решете уравнението: $(x+2)^2=(x-4)^2$.

Решение.
Метод 1.
Нека използваме формулата за квадрат на сбора: $(x+2)^2=x^2+4x+4$.
$(x-4)^2=x^2-8x+16$.
Получихме: $x^2+4x+4=x^2-8x+16$.
Нека опростим нашето уравнение:
$x^2+4x-x^2+8x=16-4$.
$12x=$12.
$x=1$.

Метод 2.
За да решим това уравнение, можем да използваме формулата за разликата на квадратите. $(x+2)^2-(x-4)^2=0$.
$(x+2+x-4)(x+2-x+4)=0$.
$(2x-2)*(6)=0$.
$2x-2=0$.
$2x=2$.
$x=1$.
Отговор: $x=1$.

Пример 5.
Решете уравнението: $\frac(9)(x-14)=\frac(14)(x-9)$.

Решение.
Ние сме представени дробно рационално уравнение. Когато решавате тези уравнения, си струва да запомните, че не можете да разделите на нула. Следователно корените на уравнението винаги трябва да се проверяват чрез заместването им в знаменателя на първоначалното уравнение.
Нека използваме правилото за умножение кръст по кръст: $9(x-9)=14(x-14)$.
Получихме линейно уравнение:
$9x-81=14x-196$.
$9x-14x=-196+81$.
$-5x=-115$.
$x=23$.
След като проверихме нашия корен, ние сме убедени, че знаменателите на дробите на първоначалното уравнение не се равняват на нула.
Отговор: $x=23$.

Пример 6.
Намерете решения, които удовлетворяват системата: $\begin (cases) x^2+9x-22=0, \\ x≤1 \end (cases)$.

Решение.
Първо, нека решим квадратното уравнение с помощта на теоремата на Виет. Произведението на нашите корени е $22$, а сумата е $-9$.
Нека изберем корените:
$-11*2=-22$.
$-11+2=-9$.
Имаме два корена: $x_1=-11$ и $x_2=2$. От тези корени неравенството $x≤1$ е изпълнено от първия корен и това ще бъде отговорът.
Отговор: $x=-11$.

Пример 7.
Решете уравнението: $23x-60-x^2=0$.
В отговора си посочете модула на разликата на корените.

Решение.
Нека умножим оригиналното уравнение по $-1$: $x^2-23x+60=0$.
В тази форма уравнението изглежда много по-познато.
Нека използваме теоремата на Виет и представим нашето уравнение като произведение на биноми:
$(x-20)(x-3)=0$.
Имаме два корена $x_1=20$ и $x_2=3$.
Нека намерим модула на разликата: $|x_1-x_2|=|20-3|=|17|=17$.
Отговор: 17.

Пример 8.
Колко корена има уравнението $x^6-x^2=0?$

Решение.
Нека извадим най-малката степен от скобите: $x^2(x^4-1)=0$.
Сега нека използваме формулата за разликата на квадратите:
$x^2 ​​​​(x^2-1)(x^2+1)=0$.
И нека отново използваме същата формула:
$x^2 ​​​​(x-1)(x+1)(x^2+1)=0$.
Това уравнение е еквивалентно на набор от уравнения: Открихме, че това уравнение има три корена.
Отговор: 3.

Пример 9.
Решете уравнението: $\frac((x-2)(2x+1))(2-x)=0$.
Ако уравнението има повече от един корен, запишете по-големия като отговор.

Решение.
Оригиналното уравнение е еквивалентно на следния набор: Нека решим всяко уравнение: Тъй като знаменателят на дробта не може да бъде равен на нула, едно решение се елиминира. Получихме един корен от уравнението $x=-0,5$.
Отговор: -0,5.

Александър Шабалин

Учител : Юргенсон Вероника Александровна

клас: 9

Вещ: Алгебра

Тема на урока: Подготвителен урок за OGE в 9 клас „Квадратни уравнения“.

Етап на обучение по тази тема : подготовка за OGE.

Тип урок: Урок за обобщаване и систематизиране на знанията

Мишена:

Дейност: Формиране на умения на учениците за прилагане на регулаторни методи на действие.

Съдържание: - упражняване на методи за решаване на квадратни уравнения;

Развиване на способността за избор на най-рационалното решение;

Развитие: форма основни компетенциистуденти: информация (способността да се анализира информация, да се сравнява, да се правят изводи), проблем (способността да се поставят проблеми и, като се използват съществуващите знания, да се намери изход от ситуацията); комуникативен (умение за работа в групи, умение да слушаш и чуваш другите, да приемаш мнението на другите)

Задачи за учителя:

Да помогне за актуализиране на знанията на учениците за решаване на квадратни уравнения;

Организиране на образователни дейности за практикуване на начини за решаване на квадратни уравнения;

Създаване на условия за формиране на умения за развиване на способността за избор на най-рационалното решение;

Създайте условия за формиране на регулаторни UUD: целеполагане, самочувствие и самоконтрол, планиране.

технология: Многостепенно обучение

Методи на обучение: Визуален, словесен, метод на взаимна проверка, метод за съвместно намиране на оптимално решение, временна работа в групи, създаване на проблемна ситуация, репродуктивен (инструкция, илюстрация, обяснение, практическо обучение). Методи за самоконтрол.

Използвани форми на организация познавателна дейностученици:

Колективна формаработа (фронтално проучване, устна работа), група, индивидуална работа(самостоятелна работа).работа по двойки (разпитване).

Оборудване и основни източници на информация:

Компютър, проектор, екран, презентация за урока по темата „Методи за решаване на квадратни уравнения“.

Професионален лист за контрол и самоконтрол.

Карти-задачи за многостепенна самостоятелна работа

Технологична карта на урока:

Дейност

студент

Организационни

Поздрав към учениците

Поздравление на учителя

Определяне на целите и задачите на урока. Мотивация образователни дейностистуденти

При окончателното сертифициране често има задачи, при които трябва да можете да решавате квадратни уравнения.

Съобщаване на целта на урока :

Днес в урока ще повторим, обобщим и систематизираме изучените видове, методи и похвати за решаване на квадратни уравнения.

Въз основа на резултатите от работата си, тоест според броя на събраните точки, всеки ще получи оценки.

Мото на урока: „Ние мислим, мислим, работим и си помагаме“

(Слайд 2 ).

Учителите слушат.

Актуализиране на знанията.

Момчета, обикновено започваме урока с проверка на домашните.

Кой ще каже, че е необходимо да се повтаря за квадратни уравнения?

Какво представляват квадратните уравнения?

Какво са те?

Какви методи за решаване на квадратни уравнения знаете?

Учителите отговарят на въпроси и провеждат самооценка на знанията им.

Обобщаване и систематизиране на знанията

1. Роля на взаимен контрол.

Ето уравненията (слайд 3)

х 2 + 7 х – 18 = 0;

2 х 2 + 1 = 0;

х 2 –2 х + 9 = 0;

2 г 2 – 3 г + 1 = 0;

2 г 2 = 1;

–2 х 2 – х + 1 = 0;

х 2 + 6 х = 0;

4x 2 =0;

– х 2 – 6 х=1

2 х + х 2 – 1=0

На вашата маса има карта с въпроси, на които трябва да отговорите (Приложение 1).

(слайд 4 ) Проверете резултатите, разменете карти със съседа си.

Отговори на въпросите

2. Фронтална работа с класа.

На(слайд 5) записват се формули с липсващи елементи. Задачата на класа е да разбере каква е тази формула и какво липсва в записа на тази формула.

д = b ² – * а * .

д > 0 , означава * корен.

д * 0 , означава 1 корен.

д * 0 , означава * корени.

Отговори на въпросите

правилни знания.

Решете уравнения от флаш карти. Един от членовете на групата ще покаже решението на дъската.

Сравнете вашите отговори с верните, за всеки верен отговор - 1 точка

Решете уравнения

Обяснете решението.

Фронтална работа с класа

Кажете ми, можете ли веднага, без да правите изчисления, да отговорите на въпроса ми: „Колко е сумата и произведението на корените на квадратно уравнение?“ (Един човек на черната дъска записва формулите на теоремата на Виета.)

(слайд6)

Следваща задача: намерете устно сбора и разликата на корените на уравнението, като използвате теоремата:

(отговори: 5 и 6; 9 и 20; -3 и 2) Въведение в техниката устно решениенякои квадратни уравнения.

Теоремата на Vieta е широко използвана в уравнения на форматаах 2 + bx + c = 0.

Използването на определени свойства осигурява значителни предимства за бързо получаване на отговори при решаване на квадратни уравнения.

Нека разгледаме тези свойства(слайд 7)

1) а + b+c = 0 x 1 = 1, х 2 = s/a.

5x 2 + 4x – 9 = 0; х 1 =1, х 2 = - 9/2.

2) а -b+ c = 0 x 1 = - 1, х 2 = - s/a.

Например: 4x 2 + 11x + 7 = 0; х 1 = - 1, х 2 = - 7/4.

(слайд 8)

3) а в +c 0

Решете устно уравнението: х 2 + bx + ac = 0

Разделете неговите корени на a.

а) 2x 2 – 11x + 5 = 0.

Решаваме устно уравнението: х 2 – 11x + 10 = 0. Корените му са 1 и 10. Разделете на 2.

Тогава x 1 = , х 2 = 5.

Отговор: ; 5.

(слайд 9)

в) 6x 2 –7x – 3 = 0

Решаваме устно уравнението: х 2 –7x – 18 = 0. Корените му са -2 и 9. Разделете на 6.

Тогава x 1 = - , х 2 = .

Отговор: -; .

Отговори на въпросите. Попълнете пропуските в знанията

Работа в многостепенни групи

Рецепция "Съответствие"

Техника „хващане на грешка“.

Решете уравнения, като използвате тези свойства(слайд 10)

азгрупа.

1) намерете сумата от корените на уравнението

2x 2 – 3x + 1 = 0

2) Намерете произведението на корените на уравнението

х 2 +9x +20 = 0

3) решете уравнението

10x 2 – 8x - 2= 0

IIгрупа.

1) намерете сумата и произведението на корените на уравнението

3x 2 – 8x + 5 = 0

Решете уравнения

2)x 2 + 2x -24 = 0

3) 2 х 2 -7x +5 = 0

IIIгрупа

Решете проблемите:

1)x 2 +5x-6=0

2) 5x 2 -7x+2=0

3) 100x 2 -99x-199=0

Решете уравнения

Проверете решението.

Извършва се корекция на знанията.

2. Свържете квадратни уравнения и методи за решаването им:

(слайд 11)

2x 2 – 3x + 11 = 0

7 х 2 = 8x

х 2 – 10x + 100 = 0

х 2 –5x –6 = 0

– 2x 2 + x +14= 0

- факторизация

- обща формулакорени

- Теоремата на Виета

3. Намерете грешки при решаване на уравнения =

Момчета, които свършат работата бързо, могат да решат допълнителна задача(слайд 14), написано на дъската.

След изпълнение се извършва бърза проверка.(слайд 15)

Сега пребройте общия брой точки и си дайте оценка.(слайд 16)

30-24 точки – оценка 5;

23-18 точки – оценка 4;

12-17 точки –. резултат4

И всеки получава оценка от учителя за активност, смелост и упоритост. Е, ако някой днес не е успял да спечели точки за положителна оценка, значи успехът тепърва предстои и със сигурност ще бъде с вас следващия път.

Решете уравнения

провеждане на самооценка.

Отражение.

Кой може да каже какво повторихме днес в клас?

Хареса ли ви как го направихме?

Продължете фразите:

Сега знам със сигурност...

Разбирам …

Научих …

Моето мнение …

Всеки има цветни карти на масата.

Ако сте щастливи и доволни от урока, вдигнете зелена карта.

Ако урокът е интересен и сте работили активно, вдигате жълт картон.

провеждане на самооценка.

Домашна работа

(слайд 17) Решете уравнения от сборника със задачи

Държавно окончателно удостоверяване

Абитуриенти от 9 клас.

А.В. Семенов, А. С. Трепалин, И. В. Ященко

по нива

Изберете задачи според вашето ниво

Квадратните уравнения се изучават в 8 клас, така че тук няма нищо сложно. Способността да ги решавате е абсолютно необходима.

Квадратно уравнение е уравнение от вида ax 2 + bx + c = 0, където коефициентите a, b и c са произволни числа и a ≠ 0.

Преди да изучавате конкретни методи за решаване, имайте предвид, че всички квадратни уравнения могат да бъдат разделени на три класа:

1. Нямат корени;
2. Имате точно един корен;
3. Имайте две различни корени.

Това е важна разлика между квадратните уравнения и линейните, където коренът винаги съществува и е уникален. Как да определим колко корена има едно уравнение? Има нещо прекрасно за това - дискриминанта.

Дискриминанта

Нека е дадено квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогава дискриминантът е просто числото D = b 2 − 4ac.

Трябва да знаете тази формула наизуст. Сега не е важно откъде идва. Друго нещо е важно: по знака на дискриминанта можете да определите колко корена има едно квадратно уравнение. а именно:

1. Ако Д< 0, корней нет;
2. Ако D = 0, има точно един корен;
3. Ако D > 0, ще има два корена.

Моля, обърнете внимание: дискриминантът показва броя на корените, а не изобщо техните знаци, както по някаква причина много хора вярват. Разгледайте примерите и сами ще разберете всичко:

Задача. Колко корена имат квадратните уравнения:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Нека напишем коефициентите за първото уравнение и да намерим дискриминанта:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Така че дискриминантът е положителен, така че уравнението има два различни корена. Анализираме второто уравнение по подобен начин:
а = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминантът е отрицателен, няма корени. Последното останало уравнение е:
а = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминантът е нула - коренът ще бъде единица.

Моля, имайте предвид, че коефициентите са записани за всяко уравнение. Да, дълго е, да, досадно е, но няма да объркате шансовете и да направите глупави грешки. Изберете сами: скорост или качество.

Между другото, ако разберете, след известно време няма да е необходимо да записвате всички коефициенти. Ще извършвате такива операции в главата си. Повечето хора започват да правят това някъде след 50-70 решени уравнения - общо взето не толкова много.

Корени на квадратно уравнение

Сега да преминем към самото решение. Ако дискриминантът D > 0, корените могат да бъдат намерени по формулите:

Основна формула за корените на квадратно уравнение

Когато D = 0, можете да използвате всяка от тези формули - ще получите същото число, което ще бъде отговорът. И накрая, ако Д< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Първо уравнение:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнението има два корена. Нека ги намерим:

Второ уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; с = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнението отново има два корена. Да ги намерим

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \край (подравняване)\]

И накрая, третото уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; с = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнението има един корен. Всяка формула може да се използва. Например първото:

Както можете да видите от примерите, всичко е много просто. Ако знаете формулите и можете да смятате, няма да има проблеми. Най-често възникват грешки при заместване на отрицателни коефициенти във формулата. Тук отново ще ви помогне описаната по-горе техника: погледнете формулата буквално, запишете всяка стъпка - и много скоро ще се отървете от грешките.

Непълни квадратни уравнения

Случва се квадратното уравнение да е малко по-различно от даденото в дефиницията. Например:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Лесно е да се забележи, че в тези уравнения липсва един от членовете. Такива квадратни уравнения са дори по-лесни за решаване от стандартните: те дори не изискват изчисляване на дискриминанта. И така, нека въведем нова концепция:

Уравнението ax 2 + bx + c = 0 се нарича непълно квадратно уравнение, ако b = 0 или c = 0, т.е. коефициентът на променливата x или свободния елемент е равен на нула.

Разбира се, възможен е много труден случай, когато и двата коефициента са равни на нула: b = c = 0. В този случай уравнението приема формата ax 2 = 0. Очевидно е, че такова уравнение има един корен: x = 0.

Нека разгледаме останалите случаи. Нека b = 0, тогава получаваме непълно квадратно уравнение под формата ax 2 + c = 0. Нека го трансформираме малко:

Тъй като аритметичният квадратен корен съществува само от неотрицателно число, последното равенство има смисъл само за (−c /a) ≥ 0. Заключение:

1. Ако в непълно квадратно уравнение от формата ax 2 + c = 0 неравенството (−c /a) ≥ 0 е изпълнено, ще има два корена. Формулата е дадена по-горе;
2. Ако (−c /a)< 0, корней нет.

Както можете да видите, дискриминант не е необходим - изобщо няма сложни изчисления в непълните квадратни уравнения. Всъщност дори не е необходимо да помним неравенството (−c /a) ≥ 0. Достатъчно е да изразим стойността x 2 и да видим какво има от другата страна на знака за равенство. Ако има положително число, ще има два корена. Ако е отрицателна, изобщо няма да има корени.

Сега нека разгледаме уравнения от вида ax 2 + bx = 0, в които свободният елемент е равен на нула. Тук всичко е просто: винаги ще има два корена. Достатъчно е да разложим полинома на множители:

Изваждане на общия множител извън скоби

Продуктът е нула, когато поне един от факторите е нула. От тук идват корените. В заключение, нека да разгледаме някои от тези уравнения:

Задача. Решаване на квадратни уравнения:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Няма корени, т. к квадрат не може да бъде равен на отрицателно число.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.