Как да направим 3 верни равенства. Числени равенства и неравенства

Два числови математически израза, свързани със знака „=“, се наричат ​​равенство.

Например: 3 + 7 = 10 - равенство.

Равенството може да бъде вярно или невярно.

Смисълът на решаването на всеки пример е да се намери стойност на израза, която го превръща в истинско равенство.

За формиране на представи за верни и неверни равенства се използват примери с прозорец в учебника за 1. клас.

Например:

Чрез метода на подбор детето намира подходящи числа и проверява точността на равенството чрез изчисление.

Процесът на сравняване на числа и посочване на връзките между тях с помощта на знаци за сравнение води до неравенства.

Например: 5< 7; б >4 - числени неравенства

Неравенствата също могат да бъдат верни или неверни.

Например:

Използвайки метода за подбор, детето намира подходящи числа и проверява точността на неравенството.

Числените неравенства се получават чрез сравняване на числови изрази и числа.

Например:

При избора на знак за сравнение детето изчислява стойността на израза и го сравнява с дадено число, което се отразява в избора на съответния знак:

10-2>7 5+K7 7 + 3>9 6-3 = 3

Възможен е и друг начин за избор на знак за сравнение - без препратка към изчисляване на стойността на израза.

Напимеп:

Сумата от числата 7 и 2 очевидно ще бъде по-голяма от числото 7, което означава 7 + 2 > 7.

Разликата между числата 10 и 3 очевидно ще бъде по-малка от числото 10, което означава 10 - 3< 10.

Числените неравенства се получават чрез сравняване на два числови израза.

Да сравниш два израза означава да сравниш техните значения. Например:

При избора на знак за сравнение детето изчислява значенията на изразите и ги сравнява, което се отразява в избора на съответния знак:

Възможен е и друг начин за избор на знак за сравнение - без препратка към изчисляване на стойността на израза. Например:

За да зададете знаци за сравнение, можете да извършите следното разсъждение:

Сборът на числата 6 и 4 е по-голям от сбора на числата 6 и 3, тъй като 4 > 3, което означава 6 + 4 > 6 + 3.

Разликата между числата 7 и 5 е по-малка от разликата между числата 7 и 3, тъй като 5 > 3, което означава 7 - 5< 7 - 3.

Частното на 90 и 5 е по-голямо от частното на 90 и 10, защото при разделянето на същото число на по-голямо число, частното е по-малко, което означава 90: 5 > 90:10.

За формиране на представи за верни и неверни равенства и неравенства в новото издание на учебника (2001) се използват задачи от вида:

За проверка се използва методът за изчисляване на значението на изразите и сравняване на получените числа.

Неравенствата с променлива практически не се използват в последните издания на стабилния учебник по математика, въпреки че присъстваха в по-ранните издания. Неравенствата с променливи се използват активно в алтернативните учебници по математика. Това са неравенства от вида:

 + 7 < 10; 5 -  >2;  > 0;  > О

След въвеждането на буква за означаване на неизвестно число, такива неравенства приемат познатата форма на неравенства с променлива:

а + 7>10; 12-г<7.

Стойностите на неизвестните числа в такива неравенства се намират чрез селекция и след това всяко избрано число се проверява чрез заместване. Особеността на тези неравенства е, че могат да бъдат избрани няколко числа, които им пасват (давайки правилното неравенство).

Например: a + 7 > 10; a = 4, a = 5, a = 6 и т.н. - броят на стойностите за буквата a е безкраен, всяко число a> 3 е подходящо за това неравенство; 12 - d< 7; d = 6, d = 7, d = 8, d = 9, d = 10, d = 11, d = 12 - количество значений для буквы d конечно, все значения могут быть перечислены. Ребенок подставляет каждое найденное значение переменной в выражение, вычисляет значение выражения и сравнивает его с заданным числом. Выбираются те значения переменной, при которых неравенство является верным.

В случай на безкраен брой решения или голям брой решения на неравенство, детето е ограничено до избор на няколко стойности на променливата, за която неравенството е вярно.

Тази статия обединява информация, която оформя идеята за равенство в контекста на математиката. Тук ще разберем какво е равенство от математическа гледна точка и какви са те. Нека поговорим и за писане на равенства и знака за равенство. Накрая изброяваме основните свойства на равенствата и даваме примери за яснота.

Навигация в страницата.

Какво е равенство?

Понятието равенство е неразривно свързано със сравнението - сравнението на свойства и характеристики с цел идентифициране на подобни характеристики. А сравнението от своя страна предполага наличието на два предмета или обекта, единият от които се сравнява с другия. Освен ако, разбира се, не сравнявате обект със самия себе си и тогава това може да се разглежда като специален случай на сравняване на два обекта: самия обект и неговото „точно копие“.

От горните разсъждения става ясно, че равенството не може да съществува без наличието на поне два обекта, в противен случай просто няма да има какво да сравняваме. Ясно е, че можете да вземете три, четири или повече обекта за сравнение. Но естествено се свежда до сравняване на всички възможни двойки, съставени от тези обекти. С други думи, всичко се свежда до сравняване на два обекта. Така че равенството изисква два обекта.

Същността на понятието равенство в най-общ смисъл се предава най-ясно от думата „идентичен“. Ако вземем два еднакви обекта, тогава можем да кажем за тях, че те равен. Като пример даваме два равни квадрата и . Различните обекти от своя страна се наричат неравен.

Концепцията за равенство може да се прилага както за обектите като цяло, така и за техните отделни свойства и характеристики. Обектите са равни като цяло, когато са равни във всички присъщи им отношения. В предишния пример говорихме за равенството на обектите като цяло - и двата обекта са квадрати, имат еднакъв размер, еднакъв цвят и като цяло са напълно еднакви. От друга страна, обектите може да са различни като цяло, но могат да имат някои еднакви характеристики. Като пример, разгледайте такива обекти и . Очевидно са еднакви по форма - и двете са кръгове. И по цвят и по големина не са еднакви, единият е син, а другият червен, единият малък, а другият голям.

От предишния пример сами отбелязваме, че трябва да знаем предварително какво точно говорим за равенство.

Всички горепосочени аргументи се отнасят за равенствата в математиката, само че тук равенството се отнася до математически обекти. Тоест, когато изучаваме математика, ще говорим за равенството на числата, равенството на стойностите на израза, равенството на всякакви количества, например дължини, площи, температури, производителност на труда и др.

Записване на равенства, =

Време е да разгледаме правилата за писане на равенства. За тази цел се използва =(нарича се още знак за равенство), който има формата =, тоест представлява две еднакви линии, разположени хоризонтално една над друга. Знакът за равенство = се счита за общоприет.

Когато пишете равенства, пишете еднакви обекти и поставяйте знак за равенство между тях. Например писането на равни числа 4 и 4 би изглеждало като 4=4 и може да се чете като „четири е равно на четири“. Друг пример: равенството на площта S ABC на триъгълник ABC на седем квадратни метра ще бъде записано като S ABC = 7 m 2. По аналогия можем да дадем и други примери за писане на равенства.

Струва си да се отбележи, че в математиката разглежданите обозначения на равенствата често се използват като дефиниция на равенството.

Определение.

Записите, които използват знак за равенство за разделяне на два математически обекта (две числа, изрази и т.н.), се наричат равенства.

Ако трябва да посочите писмено неравенството на два обекта, използвайте не знак за равенство≠. Виждаме, че представлява зачеркнат знак за равенство. Като пример, нека вземем записа 1+2≠7. Може да се прочете така: „Сборът от едно и две не е равен на седем“. Друг пример е |AB|≠5 cm – дължината на отсечката AB не е равна на пет сантиметра.

Верни и грешни равенства

Записаните равенства могат да отговарят на смисъла на понятието равенство или да му противоречат. В зависимост от това равенствата се делят на истински равенстваИ фалшиви равенства. Нека разберем това с примери.

Нека напишем равенството 5=5. Числата 5 и 5 несъмнено са равни, така че 5=5 е истинско равенство. Но равенството 5=2 е неправилно, тъй като числата 5 и 2 не са равни.

Свойства на равенствата

От начина, по който се въвежда понятието равенство, неговите характерни резултати – свойствата на равенствата – следват естествено. Има три основни свойства на равенствата:

• Свойството на рефлексивността, което гласи, че даден обект е равен на себе си.
• Свойството на симетрия, което гласи, че ако първият обект е равен на втория, то вторият е равен на първия.
• И накрая, свойството на транзитивност, което гласи, че ако първият обект е равен на втория, а вторият е равен на третия, тогава първият е равен на третия.

Нека запишем изразените свойства на езика на математиката с букви:

• а=а ;
• ако a=b тогава b=a ;
• ако a=b и b=c тогава a=c.

Отделно, заслужава да се отбележи заслугата на второто и третото свойство на равенствата - свойствата на симетрия и транзитивност - във факта, че те ни позволяват да говорим за равенството на три или повече обекта чрез тяхното равенство по двойки.

Двойни, тройни равенства и др.

Наред с обичайните означения за равенства, примери за които дадохме в предишните параграфи, т.нар. двойни равенства, тройни равенстваи така нататък, представляващи, така да се каже, вериги от равенства. Например записът 1+1+1=2+1=3 е двойно равенство и |AB|=|BC|=|CD|=|DE|=|EF| - пример за четворно равенство.

Използване на двойки, тройки и т.н. За равенствата е удобно да се напише равенството на три, четири и т.н. обекти съответно. Тези записи по своята същност означават равенството на всеки два обекта, които съставят оригиналната верига от равенства. Например горното двойно равенство 1+1+1=2+1=3 по същество означава равенството 1+1+1=2+1, и 2+1=3, и 1+1+1=3, и в поради свойството на симетрия на равенствата и 2+1=1+1+1, и 3=2+1, и 3=1+1+1.

Под формата на такива вериги от равенства е удобно да се формулира стъпка по стъпка решение на примери и проблеми, докато решението изглежда кратко и междинните етапи на трансформиране на оригиналния израз са видими.

Библиография.

• Моро М.И.. Математика. Учебник за 1 клас. начало училище В 2 ч. Част 1. (Първо полугодие) / М. И. Моро, С. И. Волкова, С. В. Степанова - 6 изд. - М.: Образование, 2006. - 112 с.: ил.+Добавяне. (2 отделни л. ил.). - ISBN 5-09-014951-8.
• Математика: учебник за 5 клас. общо образование институции / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21 изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.

Първо, нека да разгледаме какво е неравенство и да въведем понятията не е равно, по-голямо от, по-малко. След това ще говорим за записване на неравенства с помощта на знаците не е равно, по-малко от, по-голямо от, по-малко от или равно на, по-голямо от или равно на. След това ще се докоснем до основните видове неравенства, ще дадем дефиниции на строги и нестроги, верни и грешни неравенства. След това нека накратко изброим основните свойства на неравенствата. И накрая, нека да разгледаме двойките, тройките и т.н. неравенства и нека да разгледаме значението, което носят.

Понятие за неравенство, подобно на концепцията за равенство, се свързва със сравнението на два обекта. И ако равенството се характеризира с думата „идентичен“, тогава неравенството, напротив, говори за разликата между сравняваните обекти. Например обектите и са еднакви, за тях можем да кажем, че са равни. Но двата обекта са различни, т.е не е равноили неравен.

В математиката общото значение на неравенството остава същото. Но в неговия контекст говорим за неравенството на математически обекти: числа, стойности на изрази, стойности на всякакви количества (дължини, тегла, площи, температури и т.н.), фигури, вектори и т.н.

Нека също да отбележим, че алгебричните обозначения със знаци неравно, по-малко, по-голямо, по-малко или равно, по-голямо или равно, подобни на тези, разгледани по-горе, се наричат ​​неравенства. Освен това има дефиниция на неравенствата в смисъла на начина, по който са написани:

Неравенстваса смислени алгебрични изрази, съставени с помощта на знаците ≠, ≤, ≥.

www.cleverstudents.ru

Другата страна на равенството е неравенство. В тази статия ще въведем понятието неравенства и ще дадем основна информация за тях в контекста на математиката.

Навигация в страницата.

Научаваме значението на думите „повече” и „по-малко” почти от първите дни на живота си. На интуитивно ниво възприемаме концепцията за повече и по-малко по отношение на размер, количество и т.н. И тогава постепенно започваме да осъзнаваме за какво всъщност говорим сравнение на числата, съответстващи на броя на определени обекти или стойностите на определени количества. Тоест в тези случаи откриваме кое число е по-голямо и кое по-малко.

Да дадем пример. Да разгледаме две отсечки AB и CD и да сравним дължините им . Очевидно те не са равни и също така е очевидно, че отсечката AB е по-дълга от отсечката CD. Така, според значението на думата „по-дълъг“, дължината на сегмента AB е по-голяма от дължината на сегмента CD и в същото време дължината на сегмента CD е по-малка от дължината на сегмента AB.

Друг пример. Сутринта температурата на въздуха беше 11 градуса по Целзий, а следобед – 24 градуса. Според правилата за сравняване на естествени числа 11 е по-малко от 24, следователно стойността на температурата сутрин е била по-малка от стойността й по време на обяд (температурата по време на обяд стана по-висока от температурата сутрин).

Буквата има няколко символа за запис на неравенства. Първият е не знак за равенство, представлява зачеркнат знак за равенство: ≠. Знакът за неравенство се поставя между неравни обекти. Например записът |AB|≠|CD| означава, че дължината на отсечката AB не е равна на дължината на отсечката CD. По същия начин 3≠5 – три не е равно на пет.

Знакът за по-голямо от > и знакът за по-малко от ≤ се използват по подобен начин. Между по-големи и по-малки обекти се записва знакът за по-голямо, а между по-малки и по-големи обекти - знакът за по-малко. Нека дадем примери за използването на тези знаци. Записът 7>1 се чете като седем върху едно и можете да напишете, че площта на триъгълник ABC е по-малка от площта на триъгълник DEF, като използвате знака ≤ като SABC≤SDEF.

Какво е неравенство?

Неравенството на сравняваните обекти се разпознава заедно със значението на думи като по-висок, по-нисък (неравенство във височина), по-дебел, по-тънък (неравенство в дебелина), по-нататък, по-близо (неравенство в разстоянието от нещо), по-дълъг, по-къс (неравенство в дължина), по-тежък, по-лек (неравенство на теглото), по-ярък, по-слаб (неравенство на яркостта), по-топъл, по-студен и т.н.

Както вече отбелязахме при запознаването с равенствата, можем да говорим както за равенство на два обекта като цяло, така и за равенство на някои техни характеристики. Същото важи и за неравенствата. Като пример даваме два обекта и . Очевидно те не са еднакви, тоест като цяло са неравностойни. Нито са равни по размер, нито са равни по цвят, но можем да говорим за еднаквост на формите им - и двете са кръгове.

Не равно, по-голямо, по-малко

Понякога ценността е самият факт, че два обекта са неравни. И когато се сравняват стойностите на каквито и да е количества, след като открият неравенството им, те обикновено отиват по-далеч и откриват какво количество Повече ▼, а коя – по-малко.

Записване на неравенства със знаци

Също така широко се използва знакът по-голямо или равно на формата ≥, както и знакът по-малко или равно на ≤. Ще говорим повече за тяхното значение и цел в следващия параграф.

Урок по математика в 1. клас на тема „Равенство. неравенство"

Цели:

• въведе понятията „равенство”, „неравенство”;
• продължи работата по развиване на способността за сравняване на числа и числови изрази;
• практикувайте ментална аритметика, развивайки изчислителни умения;
• консолидират пространствени концепции;
• развиват двигателната активност;
• извършват работа по развитието на съгласувана реч.

По време на часовете

I. Организационен момент.

II. Подготвителна работа.

Устно броене.

Работа с вентилатор.

– В къщата живее числото 5. Трябва да откриете кое число липсва на всеки етаж, така че резултатът да е 5. ( Децата показват отговора с помощта на математическо ветрило.)

Броене във „верига“ от 1 до 10, напред и назад от 10 до (с топка).

– Редувайте се да броите от 1 до 10.

– Сега в обратен ред от 10 към 1.

Работа с математически тип.

– Отворени математически набори.

– Поставете 4 червени кръга до 1 кръг с различен цвят.

- Колко са кръговете? (5)

– Съставете пример, като използвате числа от математически набор. (4+1=5)

– Как да го запиша? (Пиша на дъската)

– Оставете числата 4 и 5.

– Кое число е по-малко? (4)

– Кой запис трябва да запиша? (4 4)

- Прочетете записа. (Пет е повече от четири.)

– Премахнете математическия набор.

Физически упражнения.

Вдигаме рамене, скачаме скакалци.
Скок-скок, скок-скок.
Сядаме, хапваме и слушаме тишината.
Тихо, тихо, скачаме високо, лесно, лесно.

III. Главна част.

Работа на дъската.

– Поставете 3 моркова отгоре.

– Поставете 3 ряпи на дъното.

– Какво можете да кажете за броя на морковите и ряпата? (Има еднакъв брой от тях. Еднакъв брой.)

– Какъв знак да поставим между числата? (Равно на.)

Учителят пише 3=3 на дъската.

– Това равенство – тема на урока.

– Кой обича да дъвче моркови? (Зайче.)

Учителят поставя зайчето до морковите.

– Коя приказка разпознахте от картинките? ("Ряпа")

Предлага се драматизация на приказката „Ряпа“, раздават се приказни герои:

– Застанете в ред, както са стояли приказните герои в приказката.

Децата произнасят последователността на героите в приказката (кой зад кого стои).

– Колко ряпа са извадили героите от приказките? (1)

– Какво трябва да се направи с репите, които са разположени на дъската? (Премахнете 1.)

- Колко ряпа? (2)

Напишете 3 2 на дъската

– Какъв знак трябва да поставим между числата? (>)

- Колко моркови? (3)

– Какъв знак да поставим между числата? (

Едва, едва
Въртележката започна да се върти.
И после наоколо, наоколо
И бягай, бягай.
Тихо, тихо, не бързай
Спрете въртележката.
Едно-две, едно-две
Така че играта свърши.

IV. Затвърдяване на изучения материал.

Работа в учебника.

– Прочетете заглавието на темата в учебника. (Равенство. Неравенство.)

– Вижте от коя страна са написани равенствата? (Вляво.) Прочетете.

– От коя страна са написани неравенствата в учебника? (Вдясно.) Прочети.

V. Отражение.

– Каква тема от урока научихте днес?

– С какъв математически знак се записва равенството?

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Интернет проект BeginnerSchool.ru

Сайт за деца и техните родители

Числени равенства и неравенства

Числени равенства

За да получите нотация, наречена числово равенство, трябва да свържете два числови израза със знак за равенство (=).

Показаният пример е валидно числово равенство, но численото равенство може да не е вярно:

Нека разгледаме свойствата на числовите равенства.

(12 + 3) = (9 + 6)

12 + 3 = 15 и 9 + 6 = 15

Равенството е вярно, сега нека проверим свойството

(12 + 3) + (5 – 2) = (9 + 6) + (5 – 2)

15 + (5 – 2) = 15 + (5 – 2)

И в двата случая равенствата са верни

Същото ще се случи, ако ние изваждамедин и същи числов израз от двете части истинско числено равенство .

Нека проверим това свойство в предишния пример, като заменим действието събиране с изваждане:

(12 + 3) – (5 – 2) = (9 + 6) – (5 – 2)

Както виждаме равенството е вярно.

Нека проверим това свойство:

(75 – 3) = (15 + 57)

75 – 3 = 72 и 15 + 57 = 72 това равенство е вярно

(75 – 3) · (10 – 2) = (15 + 57) · (10 – 2)

72 (10 – 2) = 72 8 = 576

РАВЕНСТВА С КОЛИЧЕСТВА.

След като детето се запознае с картите с количества от 1 до 20, можете да добавите втори етап към първия етап от обучението - равенства с количества.

Какво е равенство? Това е аритметична операция и нейният резултат.

Започвате този етап от обучението с темата „Събиране“.

Допълнение.

Като показвате два комплекта количествени карти, вие добавяте уравнения за събиране.

Тази операция е много лесна за преподаване. Всъщност вашето дете е готово за това от няколко седмици. В крайна сметка всеки път, когато му покажете нова карта, той вижда, че върху нея се е появила още една точка.

Бебето все още не знае как се казва, но вече има представа какво е и как работи.

Вече имате материал за примери за добавяне на гърба на всяка карта.

Технология за показване на равенства изглежда по следния начин: Искате да дадете на детето равенството: 1 +2 = 3. Как можете да го покажете?

Преди да започнете урока, поставете три карти с лицето надолу в скута си, една върху друга. Вдигане на горната карта с една спица, да речем "едно",след това го оставете настрана и кажете "плюс",покажете карта с две домино, да речем "две",остави го настрана след думата "ще",покажете карта с три домино, казвайки "три".

На ден провеждате три часа с равенства и на всеки урок показвате три различни равенства. Общо бебето вижда девет различни равенства на ден.

Детето разбира без никакво обяснение какво означава думата "плюс",той сам извежда значението му от контекста. Като извършвате действия, по този начин демонстрирате истинското значение на събирането по-бързо от всяко обяснение. Когато говорите за равенства, винаги се придържайте към един и същ начин на представяне, използвайки едни и същи термини. Като каза "Едно плюс две е равно на три"не говори по-късно „Две добавени към едно е равно на три.“Когато учите едно дете на факти, то само си прави изводите и научава правилата. Ако промените условията, тогава детето има всички основания да мисли, че правилата също са се променили.

Подгответе предварително всички карти, необходими за дадено равенство. Не мислете, че детето ви ще седи тихо и ще ви гледа как ровите в купчина карти, избирайки тези, от които се нуждаете. Той просто ще избяга и ще бъде прав, тъй като времето му струва не по-малко от вашето.

Опитайте се да не създавате равенства, които имат нещо общо и биха позволили на детето да ги предвиди предварително (такива равенства могат да се използват по-късно). Ето пример за такива равенства:

Много по-добре е да използвате тези:

1 +2 = 3 5+6=11 4 + 8 = 12

Детето трябва да вижда математическата същност, то развива математически умения и представи. След около две седмици бебето прави откритие какво е събиране: все пак през това време сте му показали 126 различни уравнения за събиране.

Преглед.

Проверката на този етап е решаване на примери.

Как примерът е различен от равенството?
Равенството е действие с резултат, показан на детето.

Пример е действие, което трябва да се извърши. В нашия случай вие показвате на детето два отговора, а то избира верния, т.е. решава примера.

Можете да публикувате пример след редовен урок с три събирателни уравнения. Показвате примера по същия начин, по който демонстрирахте равенството преди. Тоест пренареждате картите в ръцете си, като произнасяте всяка една на глас. Например „двадесет плюс десет е тридесет или четиридесет и пет?“ и покажете на детето две карти, едната от които е с верния отговор.

Картите с отговори трябва да се държат на същото разстояние от очите на бебето и не трябва да се допускат подканващи действия.

Когато изберете правилното дете, вие енергично изразявате радостта си, целувате го и го хвалите.

Ако изберете грешен отговор, без да изразявате разочарование, бутате картата с правилния отговор към бебето и задавате въпроса: „Ще бъде на тридесет, нали?“ На такъв въпрос детето обикновено отговаря утвърдително. Не забравяйте да похвалите детето си за този правилен отговор.

Е, ако от десет примера детето ви реши поне шест правилно, тогава определено е време да преминете към уравнения за изваждане!

Ако смятате, че не е необходимо да проверявате детето си (и правилно!), след 10-14 дни все пак преминете към уравнения за изваждане!

Помислете - Изваждане.

Спираш да правиш събиране и преминаваш напълно към изваждане. Провеждайте три ежедневни урока с три различни равенства във всеки.

Изразете уравненията за изваждане по този начин: „Дванадесет минус седем е пет.“

В същото време продължавате да показвате количествени карти (два комплекта, по пет карти всеки) също три пъти на ден. Общо ще имате девет ежедневни много кратки урока. Така че работите не повече от две седмици.

Преглед

Тестването, точно както в случая със събирането, може да включва решаване на примери с избор на един отговор от два.

Разгледайте-Умножение.

Умножението не е нищо повече от многократно добавяне, така че това действие няма да бъде голямо откритие за вашето дете. Докато продължавате да изучавате картите с количества (два комплекта от по пет карти), имате възможност да създавате уравнения за умножение.

Изразете равенства за умножение по следния начин: „Две по три е равно на шест.“

Детето ще разбере думата "умножаване"толкова бързо, колкото разбра тази дума преди "плюс"И "минус".

Все още преподавате три урока на ден, всеки от които съдържа три различни уравнения за умножение. Тази работа продължава не повече от две седмици.

Продължете да избягвате предвидимите равенства. Например като:

Необходимо е постоянно да държите детето си в състояние на изненада и очакване на нещо ново. Основният въпрос за него трябва да бъде: "Какво следва?"-и на всеки урок трябва да получава нов отговор на него.

Преглед

Решавате примерите по същия начин, както в темата „Събиране” и „Изваждане”. Ако вашето дете е харесало игрите за поставяне на отметка в кутии с карти с количества, можете да продължите да ги играете, като по този начин повтаряте нови, по-големи количества.

Придържайки се към предложената от нас схема, до този момент вече можете да завършите първия етап от обучението по математика - изучавайте количества в рамките на 100. Сега е време да се запознаете с картата, която децата харесват най-много.

Нека разгледаме понятието нула.

Казват, че математиците са изучавали идеята за нула от петстотин години. Независимо дали това е вярно или не, децата, едва усвоили идеята за количеството, веднага разбират значението на пълното му отсъствие. Те просто обожават нулата и пътуването ви в света на числата ще бъде незавършено, ако не покажете на бебето си карта, върху която изобщо няма никакви точки (т.е. ще бъде напълно празна карта).

За да направите запознанството на вашето дете с нула забавно и интересно, можете да придружите показването на картата с гатанка:

Вкъщи има седем катерички, В чинията има седем медени гъби. Всички гъби изядоха катериците. Какво остава в чинията?

Когато произнасяме последната фраза, показваме картата „нула“.

Ще го използвате почти всеки ден. Ще бъде полезно за операции събиране, изваждане и умножение.

Можете да работите с „нулевата“ карта за една седмица. Детето бързо овладява тази тема. Както и преди, през деня провеждате три занятия. На всеки урок показвате на детето си три различни равенства за събиране, изваждане и умножение с нула. Общо ще получите девет равенства на ден.

Преглед

Решаването на примери с нула следва познат модел.

Помислете -Разделение.

Когато попълните всички карти с количества от 0 до 100, имате всички необходими материали за примери за деление с количества.

Технологията за показване на равенства за тази тема е същата. Всеки ден провеждате по три занятия. На всеки урок показвате на детето си три различни равенства. Добре е, ако преминаването на този материал не надвишава две седмици.

Преглед

Тестът се състои от решаване на примери с избор на един отговор от два.

Когато сте преминали през всички количества и сте запознати с четирите правила на аритметиката, можете да разнообразите и усложните обучението си по всякакъв възможен начин. Първо, покажете равенства, при които се използва една аритметична операция: само събиране, изваждане, умножение или деление.

След това - равенства, при които се комбинират събиране и изваждане или умножение и деление:

20 + 8-10=18 9-2 + 26 = 33 47+11-50 = 8

За да не се объркате в картите, можете да промените начина, по който провеждате класове. Сега не е необходимо да показвате всяка карта с игли за плетене, можете да покажете само отговора и да произнесете само самите действия. В резултат на това часовете ви ще станат по-кратки. Просто казвате на детето: „Двадесет и две делено на единадесет, делено на две е равно на едно,“- и му покажете картата „едно“.

В тази тема можете да използвате равенства, между които има някакъв модел.

Например:

2*2*3= 12 2*2*6=24 2*2*8=32

Когато комбинирате четири аритметични операции в равенство, не забравяйте, че умножението и делението трябва да се поставят в началото на равенството:

Не се страхувайте да демонстрирате равенства, които са повече от сто, например

междинен резултат в

42 * 3 - 36 = 90,

където междинният резултат е 126 (42 * 3 = 126)

Вашето бебе ще се справи чудесно с тях!

Тестът се състои от решаване на примери с избор на един отговор от два. Можете да демонстрирате пример, като покажете всички карти за равенство и две карти за избор на отговор, или просто кажете цялото равенство, като покажете само две карти за отговора на вашето дете.

Помня! Колкото по-дълго учите, толкова по-бързо трябва да въвеждате нови теми. Веднага щом забележите първите признаци на невнимание или скука на детето, преминете към нова тема. След известно време можете да се върнете към предишната тема (но за да се запознаете с равенствата, които все още не са показани).

Последователности

Последователностите са еднакви равенства. Опитът на родителите с тази тема показва, че децата намират поредиците за много интересни.

Плюс последователностите са нарастващи последователности. Последователностите с минус намаляват.

Колкото по-разнообразни са последователностите, толкова по-интересни са за бебето.

Ето няколко примера за последователности:

3,6,9,12,15,18,2 (+3)

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 (+4)

5,10,15,20,25,30,35 (+5)

100,90,80,70,60,50,40 (-10)

72, 70, 68, 66, 64, 62, 60 (-2)

95,80,65,50,35,20,5 (-15)

технологияпоказването на последователности може да бъде така. Приготвили сте три последователности за плюс.

Обявете темата на урока на детето, разположете картите от първата последователност една след друга на пода, като ги озвучите.

Преместете се с детето си в друг ъгъл на стаята и оформете втората последователност по същия начин.

В третия ъгъл на стаята поставяте третата последователност, докато я озвучавате.

Последователностите също могат да бъдат разположени една под друга, оставяйки празнини между тях.

Опитайте се винаги да вървите напред, преминавайки от просто към сложно. Променяйте дейностите: понякога казвайте на глас това, което показвате, а понякога показвайте картите мълчаливо. Във всеки случай детето вижда последователността, разгърната пред него.

За всяка последователност трябва да използвате поне шест карти, понякога повече, за да улесните детето да определи принципа на самата последователност.

Веднага щом видите блясъка в очите на детето, опитайте да добавите пример към трите поредици (т.е. проверете знанията му).

Показвате пример като този: първо подреждате цялата последователност, както обикновено правите, а накрая взимате две карти (едната карта е следващата в последователността, а другата е произволна) и питате детето: "Кой е следващият?"

Първо подредете картите в последователност една след друга, след това можете да промените формите на оформлението: поставете картите в кръг, около периметъра на стаята и т.н.

Докато ставате все по-добри и по-добри, не се страхувайте да използвате умножение и деление във вашите последователности.

Примери за последователности:

4; 6; 8; 10; 12; 14 - в тази последователност всяко следващо число се увеличава с 2;

2; 4; 7; 14; 17; 34 - в тази последователност се редуват умножение и събиране (x 2; + 3);

2; 4; 8; 16; 32; 64 - в тази последователност всяко следващо число се увеличава 2 пъти;

22; 18; 14; 10; 6; 2 - в тази последователност всяко следващо число се намалява с 4;

84; 42; 40; 20; 18; 9 - в тази последователност деленето и изваждането се редуват (: 2; - 2);

Знаци "по-голямо от", "по-малко от"

Тези карти са включени в 110 карти с числа и знаци (вторият компонент на метода ANASTA).

Уроците за запознаване на детето ви с понятията „повече и по-малко“ ще бъдат много кратки. Всичко, което трябва да направите, е да покажете три карти.

Технология на дисплея

Седнете на пода и разположете всяка карта пред детето, така че то да вижда и трите карти наведнъж. Вие назовавате всяка карта.

Можете да го кажете така: "шест е повече от три"или "шест е повече от три."

На всеки урок вие показвате на детето си три различни версии на неравенства с

карти "повече" - "по-малко". неравенства на ден.

Така че вие ​​показвате девет различни

Както и преди, показваш всяко неравенство само веднъж.

След няколко дни можете да добавите пример към трите предавания. Вече е Преглед,и става така:

Поставете предварително подготвени карти на пода, например карта с числото „68“ и карта със знак „още“. Попитайте бебето си: „Шестдесет и осем е по-голямо от кое число?“или „Шестдесет и осем над петдесет ли е или деветдесет и пет?“ Поканете детето си да избере от две карти тази, от която се нуждае. Вие (или той самият) поставяте правилната карта, посочена от детето след знака „още“.

Можете да поставите две карти с количества пред детето и да му дадете възможност да избере знака, който пасва, тоест > или<.

Равенства и неравенства

Равенствата и неравенствата са толкова лесни за преподаване, колкото понятията „повече“ и „по-малко“.

Ще ви трябват шест карти с аритметични символи. Ще ги намерите и като част от 110 карти с числа и знаци (вторият компонент на метода ANASTA).

Технология на дисплея

Решихте да покажете на детето си следните две неравенства и едно равенство:

8-6<10 −7 11-3= 9 −1 55-12^50 −13

Поставяте ги последователно на пода, така че детето да вижда всеки от тях наведнъж. В същото време казвате всичко, например: "Осем минус шест не е равно на десет минус седем."

По същия начин произнасяте останалите равенство и неравенство при редене.

В началния етап на преподаване на тази тема всички карти са изложени.

След това можете да показвате само "равни" и "неравни" карти.

Един ден давате възможност на детето си да покаже знанията си. Подредете карти с количества и го помолете да избере коя карта с кой знак да бъде поставена: „равно“ или „не е равно“.

Преди да започнете да изучавате алгебра с детето си, трябва да го запознаете с концепцията за променлива, представена с буква.

Буквата x се използва често в математиката, но тъй като лесно може да бъде объркана със знака за умножение, се препоръчва използването на y.

Първо поставяте карта с пет домино мъниста, след това знак плюс (+), последван от знак y, след това знак за равенство и накрая карта със седем домино мъниста. След това задавате въпроса: „Какво имаш предвид тук?“

И вие сами си отговаряте: „В това уравнение това означава две.“

Преглед:

След около една до седмица и половина занимания на този етап можете да дадете на детето си възможност да избере отговор.

ЧЕТВЪРТИ ЕТАП НА РАВЕНСТВО С ЧИСЛА И КОЛИЧЕСТВА

Когато сте преминали през числата от 1 до 20, е време да „изградите мостове“ между числата и количествата. Има много начини да направите това. Един от най-простите е използването на равенства и неравенства, връзките на „повече“ и „по-малко“, демонстрирани с помощта на карти с числа и домино.

Технология на дисплея.

Вземете карта с числото 12, поставете я на пода, след това поставете знак „по-голямо от“ до нея и след това карта с числото 10, като същевременно казвате: „Дванадесет е над десет“.

Неравенствата (равенства) могат да изглеждат така:

Всеки (равенства) ден се състои от три урока, а всеки урок се състои от три неравенства в количества и числа. Общият брой на ежедневните равенства ще бъде девет. В същото време продължавате да изучавате числа, като използвате два комплекта от по пет карти всеки, също три пъти на ден.

Преглед.

Можете да дадете възможност на детето си да избере карти „повече от“, „по-малко от“, „равно на“ или да създадете пример по такъв начин, че детето да може да го завърши само. Например поставяме карта с цифри 7, след това знак „по-голямо от“ и даваме възможност на детето да завърши примера, тоест да избере карта с цифри, например 9 или карта с цифри, например 5.

След като детето разбере връзката между количествата и числата, можете да започнете да решавате равенства, като използвате карти с числа и количества.

Равенства с числа и количества.

С помощта на карти с числа и количества преминавате през вече познати теми: събиране, изваждане, умножение, деление, редица, равенства и неравенства, дроби, уравнения, равенства в две или повече действия.

Ако разгледате внимателно примерната схема за обучение по математика (стр. 20), ще видите, че уроците нямат край. Измислете свои собствени примери за развитие на умственото броене на детето, съпоставете количествата с реални предмети (ядки, лъжици за гости, парчета нарязан банан, хляб и др.) - с една дума, осмелете се, създайте, измислете, опитайте! И ще успеете!

Другата страна на равенството е неравенство. В тази статия ще въведем понятието неравенства и ще дадем основна информация за тях в контекста на математиката.

Първо, нека да разгледаме какво е неравенство и да въведем понятията не е равно, по-голямо от, по-малко. След това ще говорим за записване на неравенства с помощта на знаците не е равно, по-малко от, по-голямо от, по-малко от или равно на, по-голямо от или равно на. След това ще се докоснем до основните видове неравенства, ще дадем дефиниции на строги и нестроги, верни и грешни неравенства. След това нека накратко изброим основните свойства на неравенствата. И накрая, нека да разгледаме двойките, тройките и т.н. неравенства и нека да разгледаме значението, което носят.

Навигация в страницата.

Какво е неравенство?

Понятие за неравенство, подобно на , се свързва със сравнението на два обекта. И ако равенството се характеризира с думата „идентичен“, тогава неравенството, напротив, говори за разликата между сравняваните обекти. Например обектите и са еднакви, за тях можем да кажем, че са равни. Но двата обекта са различни, т.е не е равноили неравен.

Неравенството на сравняваните обекти се разпознава заедно със значението на думи като по-висок, по-нисък (неравенство във височина), по-дебел, по-тънък (неравенство в дебелина), по-нататък, по-близо (неравенство в разстоянието от нещо), по-дълъг, по-къс (неравенство в дължина), по-тежък, по-лек (неравенство на теглото), по-ярък, по-слаб (неравенство на яркостта), по-топъл, по-студен и т.н.

Както вече отбелязахме при запознаването с равенствата, можем да говорим както за равенство на два обекта като цяло, така и за равенство на някои техни характеристики. Същото важи и за неравенствата. Като пример даваме два обекта и . Очевидно те не са еднакви, тоест като цяло са неравностойни. Нито са равни по размер, нито са равни по цвят, но можем да говорим за еднаквост на формите им - и двете са кръгове.

В математиката общото значение на неравенството остава същото. Но в неговия контекст говорим за неравенството на математически обекти: числа, стойности на изрази, стойности на всякакви количества (дължини, тегла, площи, температури и т.н.), фигури, вектори и т.н.

Не равно, по-голямо, по-малко

Понякога ценността е самият факт, че два обекта са неравни. И когато се сравняват стойностите на каквито и да е количества, след като открият неравенството им, те обикновено отиват по-далеч и откриват какво количество Повече ▼, а коя – по-малко.

Научаваме значението на думите „повече” и „по-малко” почти от първите дни на живота си. На интуитивно ниво възприемаме концепцията за повече и по-малко по отношение на размер, количество и т.н. И тогава постепенно започваме да осъзнаваме за какво всъщност говорим сравнение на числата, съответстващи на броя на определени обекти или стойностите на определени количества. Тоест в тези случаи откриваме кое число е по-голямо и кое по-малко.

Да дадем пример. Да разгледаме две отсечки AB и CD и да сравним дължините им . Очевидно те не са равни и също така е очевидно, че отсечката AB е по-дълга от отсечката CD. Така, според значението на думата „по-дълъг“, дължината на сегмента AB е по-голяма от дължината на сегмента CD и в същото време дължината на сегмента CD е по-малка от дължината на сегмента AB.

Друг пример. Сутринта температурата на въздуха беше 11 градуса по Целзий, а следобед – 24 градуса. Според 11 е по-малко от 24, следователно стойността на температурата сутрин е била по-малка от стойността й на обяд (температурата на обяд стана по-висока от температурата сутрин).

Записване на неравенства със знаци

Буквата има няколко символа за запис на неравенства. Първият е не знак за равенство, представлява зачеркнат знак за равенство: ≠. Знакът за неравенство се поставя между неравни обекти. Например записът |AB|≠|CD| означава, че дължината на отсечката AB не е равна на дължината на отсечката CD. По същия начин 3≠5 – три не е равно на пет.

Знакът за по-голямо от > и знакът за по-малко от ≤ се използват по подобен начин. Между по-големи и по-малки обекти се записва знакът за по-голямо, а между по-малки и по-големи обекти - знакът за по-малко. Нека дадем примери за използването на тези знаци. Записът 7>1 се чете като седем върху едно и можете да напишете, че площта на триъгълник ABC е по-малка от площта на триъгълник DEF, като използвате знака ≤ като SABC≤SDEF.

Също така широко се използва знакът по-голямо или равно на формата ≥, както и знакът по-малко или равно на ≤. Ще говорим повече за тяхното значение и цел в следващия параграф.

Нека също да отбележим, че алгебричните обозначения със знаци неравно, по-малко, по-голямо, по-малко или равно, по-голямо или равно, подобни на тези, разгледани по-горе, се наричат ​​неравенства. Освен това има дефиниция на неравенствата в смисъла на начина, по който са написани:

Определение.

Неравенстваса смислени алгебрични изрази, съставени с помощта на знаците ≠,<, >, ≤, ≥.

Строги и нестроги неравенства

Определение.

Знаците се наричат ​​по-малко признаци на строги неравенства, а записаните с тяхна помощ неравенства са строги неравенства.

На свой ред

Определение.

Наричат ​​се знаците по-малко или равно на ≤ и по-голямо или равно на ≥ признаци на слаби неравенства, а неравенствата, компилирани с тях, са нестроги неравенства.

Обхватът на приложение на строгите неравенства е ясен от информацията по-горе. Защо са необходими слаби неравенства? На практика с тяхна помощ е удобно да се моделират ситуации, които могат да бъдат описани с фразите „не повече“ и „не по-малко“. Фразата „не повече“ по същество означава по-малко или същото; отговаря се със знак за по-малко от или равен на формата ≤. По същия начин „не по-малко“ означава същото или повече и е свързано със знака за по-голямо или равно ≥.

От тук става ясно защо знаците< и >се наричат ​​признаци на строги неравенства, а ≤ и ≥ – нестроги. Първите изключват възможността за равенство на обектите, а вторите я допускат.

За да завършим този раздел, ще покажем няколко примера за използване на нестроги неравенства. Например, като използвате знака за по-голямо или равно, можете да запишете факта, че a е неотрицателно число като |a|≥0. Друг пример: известно е, че средното геометрично на две положителни числа a и b е по-малко или равно на тяхното средно аритметично, т.е. .

Верни и грешни неравенства

Неравенствата могат да бъдат верни или неверни.

Определение.

Неравенството е верен, ако отговаря на смисъла на въведеното по-горе неравенство, в противен случай е така неверен.

Нека дадем примери за верни и грешни неравенства. Например 3≠3 е неправилно неравенство, тъй като числата 3 и 3 са равни. Друг пример: нека S е площта на някаква фигура, тогава S<−7 – неверное неравенство, так как известно, что площадь фигуры по определению выражается неотрицательным числом. И еще пример неверного неравенства: |AB|>|AB| . Но неравенствата са −3<12 , |AB|≤|AC|+|BC| и |−4|≥0 – верные. Первое из них отвечает , второе – выражает неравенство на триъгълник, а третият е в съответствие с дефиницията на модула на число.

Обърнете внимание, че заедно с фразата „истинско неравенство“ се използват следните фрази: „справедливо неравенство“, „има неравенство“ и т.н., което означава едно и също нещо.

Свойства на неравенствата

Според начина, по който въведохме понятието неравенство, можем да опишем основното свойства на неравенствата. Ясно е, че обектът не може да бъде равен на себе си. Това е първото свойство на неравенствата. Второто свойство е не по-малко очевидно: ако първият обект не е равен на втория, то вторият не е равен на първия.

Понятията „по-малко“ и „повече“, въведени на определено множество, определят така наречените отношения „по-малко“ и „повече“ на оригиналното множество. Същото важи и за отношенията „по-малко или равно на“ и „по-голямо или равно на“. Те също имат характерни свойства.

Да започнем със свойствата на отношенията, на които съответстват знаците< и >. Нека ги изброим, след което ще дадем необходимите коментари за пояснение:

• антирефлексивност;
• антисиметрия;
• преходност.

Свойството антирефлексивност може да бъде написано с помощта на букви, както следва: за всеки обект a неравенствата a>a и a b , след това b а. И накрая, свойството на транзитивност е това от a b и b>c следва, че a>c . Това свойство също се възприема съвсем естествено: ако първият обект е по-малък (по-голям) от втория, а вторият е по-малък (по-голям) от третия, тогава е ясно, че първият обект е дори по-малък (по-голям) от третия .