Устно решаване на квадратни уравнения и теорема на Виета. Теорема на Виета

Между корените и коефициентите на квадратно уравнение, в допълнение към коренните формули, има други полезни връзки, които са дадени Теорема на Виета. В тази статия ще дадем формулировка и доказателство на теоремата на Виета за квадратно уравнение. След това разглеждаме теоремата, обратна на теоремата на Виета. След това ще анализираме решенията на най-типичните примери. Накрая записваме формулите на Vieta, които определят връзката между реалните корени алгебрично уравнение степен n и нейните коефициенти.

Навигация в страницата.

Теорема на Виета, формулировка, доказателство

От формулите за корените на квадратното уравнение a·x 2 +b·x+c=0 от вида, където D=b 2 −4·a·c следват следните съотношения: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a. Тези резултати се потвърждават Теорема на Виета:

Теорема.

Ако x 1 и x 2 са корените на квадратното уравнение a x 2 +b x+c=0, тогава сумата от корените е равна на отношението на коефициентите b и a, взети с обратен знак, и произведението на корените е равно на отношението на коефициентите c и a, т.е.

Доказателство.

Ще извършим доказателството на теоремата на Виета по следната схема: ще съставим сумата и произведението на корените на квадратното уравнение, използвайки известни формуликорени, след което трансформираме получените изрази и се уверяваме, че те са равни съответно на −b/a и c/a.

Да започнем със сбора на корените и да го съставим. Сега намаляваме дробите до общ знаменател, имаме . В числителя на получената дроб, след което:. Накрая, след 2, получаваме . Това доказва първата връзка от теоремата на Виета за сумата от корените на квадратно уравнение. Да преминем към второто.

Съставяме произведението на корените на квадратното уравнение: . Съгласно правилото за умножаване на дроби последният продукт може да бъде записан като . Сега умножаваме скоба по скоба в числителя, но е по-бързо да свием този продукт с формула за квадратна разлика, така че . След това, спомняйки си, извършваме следващия преход. И тъй като дискриминантът на квадратното уравнение съответства на формулата D=b 2 −4·a·c, тогава вместо D в последната дроб можем да заместим b 2 −4·a·c, получаваме. След отваряне на скобите и привеждане на подобни членове, стигаме до дробта , а намаляването й с 4·a дава . Това доказва второто отношение на теоремата на Виета за произведението на корените.

Ако пропуснем обясненията, доказателството на теоремата на Виета ще приеме лаконична форма:
,
.

Остава само да се отбележи, че ако дискриминантът е равен на нула, квадратното уравнение има един корен. Ако обаче приемем, че уравнението в този случай има две еднакви корени, то равенствата от теоремата на Виета също са в сила. Наистина, когато D=0 коренът на квадратното уравнение е равен на , тогава и , и тъй като D=0, т.е. b 2 −4·a·c=0, откъдето b 2 =4·a·c, тогава .

На практика теоремата на Vieta най-често се използва във връзка с редуцираното квадратно уравнение (с водещ коефициент a равен на 1) от вида x 2 +p·x+q=0. Понякога се формулира само за квадратни уравнения от този тип, което не ограничава общото, тъй като всяко квадратно уравнение може да бъде заменено с еквивалентно уравнение чрез разделяне на двете страни на различно от нула число a. Нека дадем съответната формулировка на теоремата на Виета:

Теорема.

Сумата от корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p x+q=0 е равна на коефициента на x, взет с противоположния знак, а произведението на корените е равно на свободния член, т.е. x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

Теорема, обратна на теоремата на Виета

Втората формулировка на теоремата на Vieta, дадена в предишния параграф, показва, че ако x 1 и x 2 са корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p x+q=0, тогава отношенията x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. От друга страна, от записаните отношения x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q следва, че x 1 и x 2 са корените на квадратното уравнение x 2 +p x+q=0. С други думи, обратното на теоремата на Виета е вярно. Нека го формулираме под формата на теорема и го докажем.

Теорема.

Ако числата x 1 и x 2 са такива, че x 1 +x 2 =−p и x 1 · x 2 =q, тогава x 1 и x 2 са корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p · x+q =0.

Доказателство.

След замяна на коефициентите p и q в уравнението x 2 +p x+q=0 с техните изрази чрез x 1 и x 2 , то се трансформира в еквивалентно уравнение.

Нека заместим числото x 1 вместо x в полученото уравнение и имаме равенството x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, което за всяко x 1 и x 2 представлява правилното числено равенство 0=0, тъй като x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Следователно x 1 е коренът на уравнението x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, което означава, че x 1 е коренът на еквивалентното уравнение x 2 +p·x+q=0.

Ако в уравнението x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0заместваме числото x 2 вместо x, получаваме равенството x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. това истинско равенство, защото x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Следователно x 2 също е корен на уравнението x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, и следователно уравненията x 2 +p·x+q=0.

Това завършва доказателството на теоремата, обратна на теорематаВиета.

Примери за използване на теоремата на Vieta

Време е да поговорим за практическото приложение на теоремата на Виета и обратната й теорема. В този раздел ще анализираме решения на няколко от най-типичните примери.

Нека започнем с прилагането на теоремата, обратна на теоремата на Виета. Удобно е да се използва за проверка дали дадени две числа са корени на дадено квадратно уравнение. В този случай се изчислява тяхната сума и разлика, след което се проверява валидността на отношенията. Ако и двете от тези отношения са изпълнени, тогава по силата на теоремата, обратна на теоремата на Виета, се заключава, че тези числа са корените на уравнението. Ако поне едно от отношенията не е изпълнено, тогава тези числа не са корените на квадратното уравнение. Този подход може да се използва при решаване на квадратни уравнения за проверка на намерените корени.

Пример.

Коя от двойките числа 1) x 1 =−5, x 2 =3 или 2) или 3) е двойка корени на квадратното уравнение 4 x 2 −16 x+9=0?

Решение.

Коефициентите на даденото квадратно уравнение 4 x 2 −16 x+9=0 са a=4, b=−16, c=9. Според теоремата на Виета сумата от корените на квадратно уравнение трябва да е равна на −b/a, т.е. 16/4=4, а произведението на корените трябва да е равно на c/a, т.е. 9 /4.

Сега нека изчислим сумата и произведението на числата във всяка от трите дадени двойки и да ги сравним със стойностите, които току-що получихме.

В първия случай имаме x 1 +x 2 =−5+3=−2. Получената стойност е различна от 4, така че не може да се извърши допълнителна проверка, но използвайки теоремата, обратна на теоремата на Виета, може веднага да се заключи, че първата двойка числа не е двойка корени на даденото квадратно уравнение.

Да преминем към втория случай. Ето, че първото условие е изпълнено. Проверяваме второто условие: получената стойност е различна от 9/4. Следователно втората двойка числа не е двойка корени на квадратното уравнение.

Остана един последен случай. Тук и. И двете условия са изпълнени, така че тези числа x 1 и x 2 са корените на даденото квадратно уравнение.

отговор:

Обратното на теоремата на Виета може да се използва на практика за намиране на корените на квадратно уравнение. Обикновено се избират цели корени на дадените квадратни уравнения с цели коефициенти, тъй като в други случаи това е доста трудно да се направи. В този случай те използват факта, че ако сборът от две числа е равен на втория коефициент на квадратното уравнение, взет със знак минус, и произведението на тези числа е равно на свободния член, тогава тези числа са корени на това квадратно уравнение. Нека разберем това с пример.

Нека вземем квадратното уравнение x 2 −5 x+6=0. За да бъдат числата x 1 и x 2 корени на това уравнение, трябва да са изпълнени две равенства: x 1 + x 2 =5 и x 1 ·x 2 =6. Остава само да изберете такива числа. IN в този случайтова е доста лесно да се направи: такива числа са 2 и 3, тъй като 2+3=5 и 2·3=6. Така 2 и 3 са корените на това квадратно уравнение.

Теоремата, обратна на теоремата на Виета, е особено удобна за използване за намиране на втория корен на дадено квадратно уравнение, когато един от корените вече е известен или очевиден. В този случай вторият корен може да бъде намерен от всяка една от релациите.

Например, нека вземем квадратното уравнение 512 x 2 −509 x −3=0. Тук е лесно да се види, че единството е коренът на уравнението, тъй като сумата от коефициентите на това квадратно уравнение е равна на нула. Така че x 1 =1. Вторият корен x 2 може да се намери например от връзката x 1 ·x 2 =c/a. Имаме 1 x 2 =−3/512, от което x 2 =−3/512. Ето как определихме двата корена на квадратното уравнение: 1 и −3/512.

Ясно е, че изборът на корени е препоръчителен само в най-много прости случаи. В други случаи, за да намерите корени, можете да използвате формули за корените на квадратно уравнение чрез дискриминант.

Още нещо практическо приложениеТеоремата, обратна на теоремата на Виета, се състои в съставяне на квадратни уравнения с дадени корени x 1 и x 2. За да направите това, достатъчно е да изчислите сумата от корените, която дава коефициента на x с противоположен знак на даденото квадратно уравнение, и произведението на корените, което дава свободния член.

Пример.

Напишете квадратно уравнение, чиито корени са −11 и 23.

Решение.

Нека означим x 1 =−11 и x 2 =23. Изчисляваме сумата и произведението на тези числа: x 1 +x 2 =12 и x 1 ·x 2 =−253. Следователно посочените числа са корените на редуцираното квадратно уравнение с втори коефициент −12 и свободен член −253. Тоест x 2 −12·x−253=0 е търсеното уравнение.

отговор:

x 2 −12·x−253=0 .

Теоремата на Vieta се използва много често при решаване на задачи, свързани със знаците на корените на квадратни уравнения. Как теоремата на Виета е свързана със знаците на корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p·x+q=0? Ето две уместни твърдения:

• Ако свободният член q е положително число и ако квадратното уравнение има реални корени, тогава или и двете са положителни, или и двете отрицателни.
• Ако свободният член q е отрицателно число и ако квадратното уравнение има реални корени, тогава техните знаци са различни, с други думи, единият корен е положителен, а другият е отрицателен.

Тези твърдения следват от формулата x 1 · x 2 =q, както и правилата за положително умножение, отрицателни числаи числа с различни знаци. Нека да разгледаме примери за тяхното приложение.

Пример.

R е положителен. Използвайки дискриминантната формула намираме D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, стойността на израза r 2 +8 е положителен за всяко реално r, следователно D>0 за всяко реално r. Следователно, оригиналното квадратно уравнение има два корена за всякакви реални стойности на параметъра r.

Сега нека разберем кога имат корените различни знаци. Ако знаците на корените са различни, тогава техният продукт е отрицателен и според теоремата на Vieta продуктът на корените на редуцираното квадратно уравнение е равен на свободния член. Следователно, ние се интересуваме от тези стойности на r, за които свободният член r−1 е отрицателен. По този начин, за да намерим стойностите на r, които ни интересуват, имаме нужда реши линейно неравенство r−1<0 , откуда находим r<1 .

отговор:

при r<1 .

Виета формули

По-горе говорихме за теоремата на Виета за квадратно уравнение и анализирахме връзките, които тя твърди. Но има формули, които свързват реалните корени и коефициенти не само на квадратни уравнения, но и на кубични уравнения, уравнения от четвърта степен и като цяло, алгебрични уравнениястепен n. Те се наричат Формулите на Виета.

Нека напишем формулата на Vieta за алгебрично уравнение от степен n от формата и ще приемем, че то има n реални корена x 1, x 2, ..., x n (сред тях може да има съвпадащи):

Могат да се получат формулите на Vieta теорема за разлагането на полином на линейни множители, както и дефинирането на равни полиноми чрез равенството на всичките им съответни коефициенти. Така че полиномът и неговото разлагане на линейни множители на формата са равни. Отваряйки скобите в последния продукт и приравнявайки съответните коефициенти, получаваме формулите на Vieta.

По-специално, за n=2 имаме вече познатите формули на Vieta за квадратно уравнение.

За кубично уравнение формулите на Виета имат формата

Остава само да се отбележи, че от лявата страна на формулите на Виета има така наречените елементарни симетрични полиноми.

Референции.

• Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : болен. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г.Алгебра. 8 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Алгебраи началото на математическия анализ. 10. клас: учебник. за общо образование институции: основни и профилни. нива / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; редактиран от А. Б. Жижченко. - 3-то изд. - М .: Образование, 2010.- 368 с. : болен. - ISBN 978-5-09-022771-1.

В осми клас учениците се запознават с квадратни уравнения и как се решават. В същото време, както показва опитът, повечето ученици, когато решават пълни квадратни уравнения, използват само един метод - формулата за корените на квадратно уравнение. За ученици, които имат добри умствени аритметични умения, този метод е очевидно ирационален. Учениците често трябва да решават квадратни уравнения дори в гимназията и там е просто жалко да отделите време за изчисляване на дискриминанта. По мое мнение, когато изучавате квадратни уравнения, трябва да се обърне повече време и внимание на приложението на теоремата на Vieta (според програмата A.G. Mordkovich Algebra-8 са предвидени само два часа за изучаване на темата „Теорема на Vieta. Разлагане на квадратна тричлен в линейни множители”).

В повечето учебници по алгебра тази теорема е формулирана за редуцираното квадратно уравнение и гласи, че ако уравнението има корени и , тогава равенствата , , са изпълнени за тях.След това се формулира твърдение, обратно на теоремата на Виета, и се предлагат редица примери за работа по тази тема.

Нека вземем конкретни примери и проследим логиката на решението с помощта на теоремата на Vieta.

Пример 1. Решете уравнението.

Да кажем, че това уравнение има корени, а именно и . Тогава, съгласно теоремата на Виета, равенствата трябва едновременно да се спазват:

Моля, обърнете внимание, че произведението на корените е положително число. Това означава, че корените на уравнението са с еднакъв знак. И тъй като сборът от корените също е положително число, заключаваме, че и двата корена на уравнението са положителни. Нека се върнем отново към продукта на корените. Да приемем, че корените на уравнението са цели положителни числа. Тогава правилното първо равенство може да се получи само по два начина (до реда на факторите): или . Нека проверим за предложените двойки числа осъществимостта на второто твърдение на теоремата на Виета: . Така числата 2 и 3 удовлетворяват и двете равенства и следователно са корените на даденото уравнение.

Отговор: 2; 3.

Нека подчертаем основните етапи на разсъждение при решаването на горното квадратно уравнение с помощта на теоремата на Vieta:

• определете знаците на корените на уравнението (Ако произведението и сумата на корените са положителни, тогава и двата корена са положителни числа. Ако произведението на корените е положително число, а сумата на корените е отрицателна, тогава и двата корена са отрицателни числа. Ако произведението на корените е отрицателно число, тогава корените имат различни знаци. Освен това, ако сборът на корените е положителен, тогава коренът с по-голям модул е ​​положително число. сборът на корените е по-малък от нула, тогава коренът с по-голям модул е ​​отрицателно число);
• изберете двойки цели числа, чието произведение дава правилното първо равенство в записа (*);
• от намерените двойки числа изберете двойката, която при заместване във второто равенство в записа (*) ще даде правилното равенство;
• посочете в отговора си намерените корени на уравнението.

Нека дадем още няколко примера.

Пример 2: Решете уравнението .

Решение.

Нека и са корените на даденото уравнение. След това, чрез теоремата на Виета, отбелязваме, че произведението е положително, а сумата е отрицателно число. Това означава, че и двата корена са отрицателни числа. Избираме двойки фактори, които дават произведение от 10 (-1 и -10; -2 и -5). Сборът на втората двойка числа е -7. Това означава, че числата -2 и -5 са корените на това уравнение.

отговор: -2; -5.

Пример 3: Решете уравнението .

Решение.

Нека и са корените на даденото уравнение. След това, чрез теоремата на Виета, отбелязваме, че произведението е отрицателно. Това означава, че корените са с различни знаци. Сборът на корените също е отрицателно число. Това означава, че коренът с най-голям модул е ​​отрицателен. Избираме двойки фактори, които дават на продукта -10 (1 и -10; 2 и -5). Сборът на втората двойка числа е -3. Това означава, че числата 2 и -5 са корените на това уравнение.

отговор: 2; -5.

Обърнете внимание, че теоремата на Vieta по принцип може да бъде формулирана за пълно квадратно уравнение: ако е квадратно уравнение има корени и , тогава равенствата , , са изпълнени за тях.Прилагането на тази теорема обаче е доста проблематично, тъй като в пълно квадратно уравнение поне един от корените (ако има такъв, разбира се) е дробно число. А работата с подбора на дроби е дълга и трудна. Но все пак има изход.

Разгледайте пълното квадратно уравнение . Умножете двете страни на уравнението по първия коефициент Аи напишете уравнението във формата . Нека въведем нова променлива и да получим редуцираното квадратно уравнение, чиито корени и (ако са налични) могат да бъдат намерени с помощта на теоремата на Виета. Тогава корените на първоначалното уравнение ще бъдат . Моля, обърнете внимание, че е много лесно да се създаде спомагателното намалено уравнение: вторият коефициент се запазва, а третият коефициент е равен на произведението ак. С определено умение учениците незабавно създават спомагателно уравнение, намират неговите корени, използвайки теоремата на Vieta, и посочват корените на даденото пълно уравнение. Да дадем примери.

Пример 4: Решете уравнението .

Нека създадем спомагателно уравнение и използвайки теоремата на Виета ще намерим нейните корени. Това означава, че корените на първоначалното уравнение .

отговор: .

Пример 5: Решете уравнението .

Спомагателното уравнение има формата . Според теоремата на Vieta корените му са . Намиране на корените на първоначалното уравнение .

отговор: .

И още един случай, когато прилагането на теоремата на Vieta ви позволява да намерите устно корените на пълно квадратно уравнение. Не е трудно да се докаже това числото 1 е коренът на уравнението , ако и само ако. Вторият корен на уравнението се намира от теоремата на Виета и е равен на . Още едно твърдение: така че числото –1 е коренът на уравнението необходимо и достатъчно за. Тогава вторият корен на уравнението според теоремата на Виета е равен на . Подобни твърдения могат да бъдат формулирани за редуцираното квадратно уравнение.

Пример 6: Решете уравнението.

Имайте предвид, че сумата от коефициентите на уравнението е нула. И така, корените на уравнението .

отговор: .

Пример 7. Решете уравнението.

Коефициентите на това уравнение удовлетворяват свойството (в действителност, 1-(-999)+(-1000)=0). И така, корените на уравнението .

отговор: ..

Примери за приложение на теоремата на Виета

Задача 1. Решете даденото квадратно уравнение с помощта на теоремата на Виета.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Задача 2. Решете пълното квадратно уравнение, като преминете към спомагателното редуцирано квадратно уравнение.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Задача 3. Решете квадратно уравнение, като използвате свойството.

Един от методите за решаване на квадратно уравнение е използването VIET формули, който е кръстен на ФРАНСОА ВИЕТ.

Той е известен адвокат, служил на френския крал през 16 век. В свободното си време изучава астрономия и математика. Той установява връзка между корените и коефициентите на квадратно уравнение.

Предимства на формулата:

1 . Прилагайки формулата, можете бързо да намерите решение. Тъй като няма нужда да въвеждате втория коефициент в квадрата, след това да изваждате 4ac от него, да намирате дискриминанта и да замествате стойността му във формулата, за да намерите корените.

2 . Без решение можете да определите знаците на корените и да изберете стойностите на корените.

3 . След като решите система от два записа, не е трудно да намерите самите корени. В горното квадратно уравнение сборът от корените е равен на стойността на втория коефициент със знак минус. Произведението на корените в горното квадратно уравнение е равно на стойността на третия коефициент.

4 . Използвайки тези корени, напишете квадратно уравнение, тоест решете обратната задача. Например, този метод се използва при решаване на проблеми в теоретичната механика.

5 . Удобно е формулата да се използва, когато водещият коефициент е равен на единица.

недостатъци:

1 . Формулата не е универсална.

Теорема на виета 8 клас

Формула
Ако x 1 и x 2 са корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 + px + q = 0, тогава:

Примери
x 1 = -1; x 2 = 3 - корени на уравнението x 2 - 2x - 3 = 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Обратна теорема

Формула
Ако числата x 1, x 2, p, q са свързани с условията:

Тогава x 1 и x 2 са корените на уравнението x 2 + px + q = 0.

Пример
Нека създадем квадратно уравнение, използвайки неговите корени:

X 1 = 2 - ? 3 и x 2 = 2 + ? 3.

P = x 1 + x 2 = 4; р = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.

Търсеното уравнение има формата: x 2 - 4x + 1 = 0.

Всяко пълно квадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0може да се доведе до ума x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, ако първо разделите всеки член на коефициента a преди х 2. И ако въведем нови означения (b/a) = pИ (c/a) = q, тогава ще имаме уравнението x 2 + px + q = 0, което в математиката се нарича дадено квадратно уравнение.

Корени на редуцирано квадратно уравнение и коефициенти стрИ рсвързани помежду си. Това се потвърждава Теорема на Виета, кръстен на френския математик Франсоа Виета, живял в края на 16 век.

Теорема. Сума от корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 + px + q = 0равен на втория коефициент стр, взети с обратен знак, а произведението на корените - към свободния член р.

Нека запишем тези отношения в следния вид:

Нека х 1И х 2различни корени на даденото уравнение x 2 + px + q = 0. Според теоремата на Виета x 1 + x 2 = -pИ x 1 x 2 = q.

За да докажем това, нека заместим всеки от корените x 1 и x 2 в уравнението. Получаваме две верни равенства:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Нека извадим второто от първото равенство. Получаваме:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Разширяваме първите два члена, използвайки формулата за разликата на квадратите:

(x 1 – x 2)(x 1 – x 2) + p(x 1 – x 2) = 0

По условие корените x 1 и x 2 са различни. Следователно, можем да намалим равенството до (x 1 – x 2) ≠ 0 и да изразим p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Първото равенство е доказано.

За да докажем второто равенство, заместваме в първото уравнение

x 1 2 + px 1 + q = 0 вместо коефициента p равно число е (x 1 + x 2):

x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0

Преобразувайки лявата страна на уравнението, получаваме:

x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0;

x 1 x 2 = q, което трябваше да се докаже.

Теоремата на Виета е добра, защото Дори без да знаем корените на квадратно уравнение, можем да изчислим техния сбор и произведение .

Теоремата на Vieta помага да се определят целите корени на дадено квадратно уравнение. Но за много ученици това създава трудности поради факта, че не знаят ясен алгоритъм на действие, особено ако корените на уравнението имат различни знаци.

И така, горното квадратно уравнение има формата x 2 + px + q = 0, където x 1 и x 2 са неговите корени. Според теоремата на Виета, x 1 + x 2 = -p и x 1 · x 2 = q.

Може да се направи следния извод.

Ако последният член в уравнението е предшестван от знак минус, тогава корените x 1 и x 2 имат различни знаци. Освен това знакът на по-малкия корен съвпада със знака на втория коефициент в уравнението.

Въз основа на факта, че при събиране на числа с различни знаци техните модули се изваждат и знакът на по-голямото модулно число се поставя пред получения резултат, трябва да процедирате по следния начин:

1. определят множителите на числото q така, че разликата им да е равна на числото p;
2. поставете знака на втория коефициент на уравнението пред по-малкото от получените числа; вторият корен ще има обратен знак.

Нека да разгледаме някои примери.

Пример 1.

Решете уравнението x 2 – 2x – 15 = 0.

Решение.

Нека се опитаме да решим това уравнение, като използваме предложените по-горе правила. Тогава можем да кажем със сигурност, че това уравнение ще има два различни корена, защото D = b 2 – 4ac = 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.

Сега от всички множители на числото 15 (1 и 15, 3 и 5) избираме тези, чиято разлика е 2. Това ще бъдат числата 3 и 5. Поставяме знак минус пред по-малкото число, т.е. знак на втория коефициент на уравнението. Така получаваме корените на уравнението x 1 = -3 и x 2 = 5.

отговор. x 1 = -3 и x 2 = 5.

Пример 2.

Решете уравнението x 2 + 5x – 6 = 0.

Решение.

Нека проверим дали това уравнение има корени. За да направим това, намираме дискриминант:

D = b 2 – 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. Уравнението има два различни корена.

Възможните множители на числото 6 са 2 и 3, 6 и 1. Разликата е 5 за двойката 6 и 1. В този пример коефициентът на втория член има знак плюс, така че по-малкото число ще има същия знак . Но преди второто число ще има знак минус.

Отговор: x 1 = -6 и x 2 = 1.

Теоремата на Vieta може да бъде написана и за пълно квадратно уравнение. Така че, ако квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0има корени x 1 и x 2, тогава равенствата са в сила за тях

x 1 + x 2 = -(b/a)И x 1 x 2 = (c/a). Въпреки това, приложението на тази теорема в пълно квадратно уравнение е доста проблематично, т.к ако има корени, поне един от тях е дробно число. И работата с избирането на дроби е доста трудна. Но все пак има изход.

Разгледайте пълното квадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0. Умножете лявата и дясната му страна по коефициента a. Уравнението ще приеме формата (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Сега нека въведем нова променлива, например t = ax.

В този случай полученото уравнение ще се превърне в намалено квадратно уравнение под формата t 2 + bt + ac = 0, чиито корени t 1 и t 2 (ако има такива) могат да бъдат определени от теоремата на Vieta.

В този случай корените на първоначалното квадратно уравнение ще бъдат

x 1 = (t 1 / a) и x 2 = (t 2 / a).

Пример 3.

Решете уравнението 15x 2 – 11x + 2 = 0.

Решение.

Нека създадем спомагателно уравнение. Нека умножим всеки член на уравнението по 15:

15 2 x 2 – 11 15x + 15 2 = 0.

Правим замяната t = 15x. Ние имаме:

t 2 – 11t + 30 = 0.

Според теоремата на Виета, корените на това уравнение ще бъдат t 1 = 5 и t 2 = 6.

Връщаме се към замяната t = 15x:

5 = 15x или 6 = 15x. Така че x 1 = 5/15 и x 2 = 6/15. Намаляваме и получаваме крайния отговор: x 1 = 1/3 и x 2 = 2/5.

отговор. x 1 = 1/3 и x 2 = 2/5.

За да овладеят решаването на квадратни уравнения с помощта на теоремата на Vieta, учениците трябва да практикуват колкото е възможно повече. Точно това е тайната на успеха.

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

В тази лекция ще се запознаем с любопитните зависимости между корените на квадратно уравнение и неговите коефициенти. Тези връзки са открити за първи път от френския математик Франсоа Виете (1540-1603).

Например, за уравнението 3x 2 - 8x - 6 = 0, без да намирате неговите корени, можете, като използвате теоремата на Виета, незабавно да кажете, че сумата от корените е равна на , а произведението на корените е равно на
т.е. - 2. А за уравнението x 2 - 6x + 8 = 0 заключаваме: сборът на корените е 6, произведението на корените е 8; Между другото, не е трудно да се досетите на какво са равни корените: 4 и 2.
Доказателство на теоремата на Виета. Корените x 1 и x 2 на квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0 се намират по формулите

Където D = b 2 - 4ac е дискриминантът на уравнението. Сглобявайки тези корени,
получаваме

Сега нека изчислим произведението на корените x 1 и x 2. Имаме

Второто съотношение е доказано:
Коментирайте. Теоремата на Vieta е валидна и в случая, когато квадратното уравнение има един корен (т.е. когато D = 0), просто се приема, че в този случай уравнението има два еднакви корена, към които се прилагат горните отношения.
Доказаните отношения за редуцираното квадратно уравнение x 2 + px + q = 0 приемат особено проста форма. В този случай получаваме:

x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 = q
тези. сумата от корените на редуцираното квадратно уравнение е равна на втория коефициент, взет с обратен знак, а произведението на корените е равно на свободния член.
Използвайки теоремата на Vieta, можете да получите други връзки между корените и коефициентите на квадратно уравнение. Нека, например, x 1 и x 2 са корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 + px + q = 0. Тогава

Основната цел на теоремата на Виета обаче не е, че тя изразява някои връзки между корените и коефициентите на квадратно уравнение. Много по-важно е, че с помощта на теоремата на Виета се извежда формула за факторизиране на квадратен трином, без която няма да можем да се справим в бъдеще.

Доказателство. Имаме

Пример 1. Разложете на множители квадратния трином 3x 2 - 10x + 3.
Решение. След като решихме уравнението 3x 2 - 10x + 3 = 0, намираме корените на квадратния трином 3x 2 - 10x + 3: x 1 = 3, x2 = .
Използвайки теорема 2, получаваме

Има смисъл да напишем 3x - 1 вместо това, тогава накрая получаваме 3x 2 - 10x + 3 = (x - 3)(3x - 1).
Обърнете внимание, че даден квадратен трином може да бъде факторизиран без прилагане на теорема 2, като се използва методът на групиране:

3x 2 - 10x + 3 = 3x 2 - 9x - x + 3 =
= 3x (x - 3) - (x - 3) = (x - 3) (3x - 1).

Но, както виждате, при този метод успехът зависи от това дали можем да намерим успешно групиране или не, докато при първия метод успехът е гарантиран.
Пример 1. Намалете дроб

Решение. От уравнението 2x 2 + 5x + 2 = 0 намираме x 1 = - 2,

От уравнението x2 - 4x - 12 = 0 намираме x 1 = 6, x 2 = -2. Ето защо
x 2 - 4x - 12 = (x - 6) (x - (- 2)) = (x - 6) (x + 2).
Сега нека намалим дадената дроб:

Пример 3. Разложете изразите на множители:
а)x4 + 5x 2 +6; б) 2x+-3
Решение. a) Нека въведем нова променлива y = x2. Това ще ви позволи да пренапишете дадения израз под формата на квадратен тричлен по отношение на променливата y, а именно във формата y 2 + bу + 6.
След като решихме уравнението y 2 + bу + 6 = 0, намираме корените на квадратния трином y 2 + 5у + 6: y 1 = - 2, y 2 = -3. Сега нека използваме теорема 2; получаваме

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Остава да запомните, че y = x 2, т.е. върнете се към дадения израз. така че
x 4 + 5x 2 + 6 = (x 2 + 2)(x 2 + 3).
б) Нека въведем нова променлива y = . Това ще ви позволи да пренапишете дадения израз под формата на квадратен тричлен по отношение на променливата y, а именно във формата 2y 2 + y - 3. След като решите уравнението
2y 2 + y - 3 = 0, намерете корените на квадратния трином 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 = . След това, използвайки теорема 2, получаваме:

Остава да запомните, че y = , т.е. върнете се към дадения израз. така че

В края на раздела - някои разсъждения, отново свързани с теоремата на Виета, или по-скоро с обратното твърдение:
ако числата x 1, x 2 са такива, че x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q, тогава тези числа са корените на уравнението
Използвайки това твърдение, можете да решавате много квадратни уравнения устно, без да използвате тромави формули за корени, както и да съставяте квадратни уравнения с дадени корени. Да дадем примери.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Тук x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Лесно е да се досетите, че x 1 = 8, x 2 = 3.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Тук x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Лесно е да се досетите, че x 1 = -5, x 2 = -6.
Имайте предвид, че ако фиктивният член на уравнението е положително число, тогава и двата корена са или положителни, или отрицателни; Това е важно да се има предвид при избора на корени.

3) x 2 + x - 12 = 0. Тук x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Лесно е да се досетите, че x 1 = 3, x2 = -4.
Моля, обърнете внимание: ако свободният член на уравнението е отрицателно число, тогава корените имат различни знаци; Това е важно да се има предвид при избора на корени.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Лесно се вижда, че x = 1 удовлетворява уравнението, т.е. x 1 = 1 е коренът на уравнението. Тъй като x 1 x 2 = - и x 1 = 1, получаваме, че x 2 = -.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Тук x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Ако обърнете внимание на факта, че 2830 = 283. 10 и 293 = 283 + 10, тогава става ясно, че x 1 = 283, x 2 = 10 (сега си представете какви изчисления трябва да се извършат, за да се реши това квадратно уравнение с помощта на стандартни формули).

6) Нека съставим квадратно уравнение, така че неговите корени да са числата x 1 = 8, x 2 = - 4. Обикновено в такива случаи съставяме редуцираното квадратно уравнение x 2 + px + q = 0.
Имаме x 1 + x 2 = -p, така че 8 - 4 = -p, т.е. p = -4. Освен това, x 1 x 2 = q, т.е. 8 «(-4) = q, откъдето получаваме q = -32. И така, p = -4, q = -32, което означава, че изискваното квадратно уравнение има формата x 2 -4x-32 = 0.