Тъп триъгълник: дължина на страните, сбор от ъгли. Описан тъп триъгълник

Инструкции

Поставете иглата на компаса в маркираната точка. С помощта на крак със стилус начертайте дъга от окръжност с измерен радиус.

Поставете точка навсякъде по обиколката на начертаната дъга. Това ще бъде вторият връх B на триъгълника, който се създава.

Поставете крака върху втория връх по подобен начин. Начертайте друг кръг, така че да пресича първия.

Третият връх C на създадения триъгълник се намира в пресечната точка на двете начертани дъги. Маркирайте го на снимката.

След като сте получили и трите върха, свържете ги с прави линии, като използвате всяка равна повърхност (за предпочитане линийка). Построен е триъгълник ABC.

Ако една окръжност докосва трите страни на даден триъгълник и центърът й е вътре в триъгълника, тогава тя се нарича вписана в триъгълника.

Ще имаш нужда

• владетел, пергел

Инструкции

От върховете на триъгълника (страната, противоположна на ъгъла, който се разделя), кръгови дъги с произволен радиус се изчертават с пергел, докато се пресичат една с друга;

Пресечната точка на дъгите по линията е свързана с върха на делимия ъгъл;

Същото се прави с всеки друг ъгъл;

Радиусът на окръжност, вписана в триъгълник, ще бъде съотношението на площта на триъгълника и неговия полупериметър: r=S/p, където S е площта на триъгълника, а p=(a+ b+c)/2 е полупериметърът на триъгълника.

Радиусът на окръжност, вписана в триъгълник, е на еднакво разстояние от всички страни на триъгълника.

източници:

• http://www.alleng.ru/d/math/math42.htm

Нека разгледаме задачата за построяване на триъгълник, при условие че са известни неговите три страни или една страна и два ъгъла.

Ще имаш нужда

• - компас
• - владетел
• - транспортир

Инструкции

Да кажем, че има три страни: a, b и c. Използването му не е трудно с такива страни. Първо, нека изберем най-дългата от тези страни, нека тя да бъде страна c и да я начертаем. След това настройваме отвора на компаса на стойността на другата страна, страна a, и начертаваме кръг с компас с радиус a с център в един от краищата на страна c. Сега настройте отвора на компаса на размера на страна b и нарисувайте кръг с центъра в другия край на страна c. Радиусът на тази окръжност е b. Нека свържем пресечната точка на кръговете с центровете и да получим триъгълник с необходимите страни.

За да начертаете триъгълник с дадена страна и два съседни ъгъла, използвайте транспортир. Начертайте страна с указаната дължина. В краищата му маркирайте ъглите с транспортир. В пресечната точка на страните на ъглите вземете третия връх на триъгълника.

Видео по темата

Забележка

За страните на триъгълник е вярно следното твърдение: сумата от дължините на всеки две страни трябва да е по-голяма от третата. Ако това не е изпълнено, тогава е невъзможно да се конструира такъв триъгълник.

Кръговете в стъпка 1 се пресичат в две точки. Можете да изберете всеки, триъгълниците ще бъдат равни.

Правилен триъгълник е този, в който всички страни са с еднаква дължина. Въз основа на това определение, конструирането на този тип триъгълник не е трудна задача.

Ще имаш нужда

• Линийка, лист хартия с линии, молив

Инструкции

С помощта на линийка свържете точките, отбелязани на листа хартия, последователно, една след друга, както е показано на фигура 2.

Забележка

В правилния (равностранен) триъгълник всички ъгли са равни на 60 градуса.

Полезен съвет

Равностранният триъгълник също е равнобедрен триъгълник. Ако триъгълникът е равнобедрен, това означава, че 2 от 3-те му страни са равни, а третата страна се счита за основа. Всеки правилен триъгълник е равнобедрен, докато обратното не е вярно.

Всеки равностранен триъгълник има еднакви не само страни, но и ъгли, всеки от които е равен на 60 градуса. Въпреки това, чертежът на такъв триъгълник, конструиран с помощта на транспортир, няма да бъде много точен. Ето защо, за да конструирате тази фигура, е по-добре да използвате компас.

Ще имаш нужда

• Молив, линийка, пергел

Инструкции

След това вземете компас, поставете го в краищата (бъдещият връх на триъгълника) и начертайте кръг с радиус равен на дължинататози сегмент. Не е нужно да рисувате целия кръг, а само една четвърт от него от противоположния край на сегмента.

Сега преместете компаса в другия край на сегмента и отново начертайте кръг със същия радиус. Тук ще бъде достатъчно да се изгради кръг, минаващ от далечния край на сегмента до пресечната точка с вече изградената дъга. Получената точка ще бъде третият връх на вашия триъгълник.

За да завършите конструкцията, вземете отново линийката и молива и свържете пресечната точка на двете окръжности с двата края на сегмента. Ще получите триъгълник с абсолютно равни три страни - това лесно може да се провери с линийка.

Видео по темата

Триъгълникът е многоъгълник, който има три страни. Равностранен или правилен триъгълник е триъгълник, в който всички страни и ъгли са равни. Нека да видим как да начертаем правилен триъгълник.

Ще имаш нужда

• Линийка, пергел.

Инструкции

С помощта на компас начертайте друг кръг, чийто център ще бъде в точка B, а радиусът ще бъде равен на сегмента BA.

Кръговете ще се пресичат в две точки. Изберете някоя от тях. Наречете го C. Това ще бъде третият връх на триъгълника.

Свържете върховете заедно. Полученият триъгълник ще бъде правилен. Уверете се в това, като измерите страните му с линийка.

Нека разгледаме начин за построяване на правилен триъгълник с помощта на две линийки. Начертайте сегмент OK, той ще бъде една от страните на триъгълника, а точките O и K ще бъдат неговите върхове.

Без да местите линийката, след като построите отсечката OK, прикрепете друга линийка перпендикулярно към нея. Начертайте права линия m, пресичаща отсечката OK в средата.

С помощта на линийка измерете отсечка OE, равна на отсечката OK, така че единият край да съвпада с точка O, а другият да е на права линия m. Точка E ще бъде третият връх на триъгълника.

Завършете конструкцията на триъгълника, като свържете точките E и K. Проверете правилността на конструкцията с линийка.

Забележка

Можете да се уверите, че триъгълникът е правилен, като използвате транспортир, като измерите ъглите.

Полезен съвет

Равностранен триъгълник може да се начертае и върху кариран лист хартия с помощта на една линийка. Вместо да използвате друга линийка, използвайте перпендикулярни линии.

източници:

• Класификация на триъгълниците. Равностранни триъгълници
• Какво е триъгълник
• изграждане на правилен триъгълник

Вписан триъгълник е този, чиито върхове са върху окръжността. Можете да го построите, ако знаете поне една страна и ъгъл. Описаната окръжност се нарича описаната окръжност и тя ще бъде единствената за този триъгълник.

Ще имаш нужда

• - кръг;
• - страна и ъгъл на триъгълник;
• - хартия;
• - компас;
• - владетел;
• - транспортир;
• - калкулатор.

Инструкции

От точка А използвайте транспортир, за да нанесете дадения ъгъл. Продължете страната на ъгъла, докато се пресече с окръжността и поставете точка C. Свържете точки B и C. Имате триъгълник ABC. Може да бъде от всякакъв вид. Центърът на окръжността за остроъгълен триъгълник е отвън, за тъпоъгълен триъгълник е отвън, а за правоъгълен триъгълник е върху хипотенузата. Ако ви е даден не ъгъл, а например три страни на триъгълник, изчислете един от ъглите от радиуса и известната страна.

Много по-често трябва да се справяте с обратната конструкция, когато ви е даден триъгълник и трябва да опишете кръг около него. Изчислете радиуса му. Това може да стане с няколко формули, в зависимост от това какво ви се дава. Радиусът може да се намери например по страната и синуса на противоположния ъгъл. В този случай тя е равна на дължината на страната, разделена на два пъти синуса на противоположния ъгъл. Тоест R=a/2sinCAB. Може да се изрази и чрез произведението на страните, в този случай R=abc/√(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a).

Определете центъра на кръга. Разделете всички страни наполовина и начертайте перпендикуляри към средните точки. Точката на тяхното пресичане ще бъде центърът на кръга. Начертайте го така, че да пресича всички върхове на ъглите.

Две къси страни правоъгълен триъгълник, които обикновено се наричат ​​крака, по дефиниция трябва да са перпендикулярни един на друг. Това свойство на фигурата значително улеснява нейното изграждане. Въпреки това, не винаги е възможно точно да се определи перпендикулярността. В такива случаи можете да изчислите дължините на всички страни - те ще ви позволят да построите триъгълник по единствения възможен и следователно правилен начин.

Ще имаш нужда

• Хартия, молив, линийка, транспортир, пергел, квадрат.

Как да нарисувате триъгълник?

Изграждане на различни триъгълници - задължителен елемент училищен курсгеометрия. За мнозина тази задача предизвиква страх. Но всъщност всичко е съвсем просто. Следващата статия описва как да начертаете всякакъв вид триъгълник с помощта на пергел и линийка.

Има триъгълници

• универсален;
• равнобедрен;
• равностранен;
• правоъгълен;
• тъпоъгълен;
• остроъгълен;
• вписан в кръг;
• описан около кръг.

Построяване на равностранен триъгълник

Равностранен триъгълник е този, в който всички страни са равни. От всички видове триъгълници, равностранните триъгълници са най-лесни за рисуване.

1. С помощта на линийка начертайте една от страните с дадена дължина.
2. Измерете дължината му с помощта на компас.
3. Поставете върха на компаса в единия край на сегмента и нарисувайте кръг.
4. Преместете точката в другия край на сегмента и начертайте кръг.
5. Имаме 2 точки на пресичане на кръговете. Свързвайки някой от тях с ръбовете на сегмента, получаваме равностранен триъгълник.

Построяване на равнобедрен триъгълник

Този тип триъгълници могат да бъдат конструирани с помощта на основата и страните.

Равнобедрен триъгълник е този, в който двете страни са равни. За да рисувам равнобедрен триъгълникСпоред тези параметри трябва да извършите следните действия:

1. С помощта на линийка маркирайте сегмент, равен по дължина на основата. Означаваме го с буквите АС.
2. С помощта на компас измерете необходимата дължина на страната.
3. От точка А и след това от точка С начертаваме окръжности, чийто радиус е равен на дължината на страната.
4. Получаваме две пресечни точки. Свързвайки една от тях с точки A и C, получаваме търсения триъгълник.

Построяване на правоъгълен триъгълник

Триъгълник с един прав ъгъл се нарича правоъгълен триъгълник. Ако са ни дадени катет и хипотенуза, начертаването на правоъгълен триъгълник не е трудно. Може да се конструира с помощта на катет и хипотенуза.

Построяване на тъп триъгълник с помощта на ъгъл и две съседни страни

Ако един от ъглите на триъгълника е тъп (повече от 90 градуса), той се нарича тъп. За да начертаете тъп триъгълник с посочените параметри, трябва да направите следното:

1. С помощта на линийка маркирайте сегмент, равен на дължина на една от страните на триъгълника. Нека го обозначим с буквите A и D.
2. Ако в заданието вече е начертан ъгъл и трябва да начертаете същия, тогава върху неговото изображение поставете два сегмента, двата края на които лежат на върха на ъгъла, а дължината е равна на посочените страни. Свържете получените точки. Имаме желания триъгълник.
3. За да го прехвърлите на вашия чертеж, трябва да измерите дължината на третата страна.

Построяване на остроъгълен триъгълник

Остър триъгълник (всички ъгли по-малки от 90 градуса) се конструира по същия принцип.

1. Начертайте два кръга. Центърът на един от тях е в точка D, а радиусът е равен на дължината на третата страна, а центърът на втория е в точка А, а радиусът е равен на дължината на страната, посочена в задачата .
2. Свържете една от пресечните точки на окръжността с точки A и D. Търсеният триъгълник е построен.

Вписан триъгълник

За да начертаете триъгълник в кръг, трябва да запомните теоремата, която гласи, че центърът на описаната окръжност лежи в пресечната точка на перпендикулярните ъглополовящи:

За тъп триъгълник центърът на описаната окръжност лежи извън триъгълника, докато за правоъгълен триъгълник той лежи в средата на хипотенузата.

Начертайте описан триъгълник

Описан триъгълник е триъгълник, в центъра на който е начертана окръжност, докосваща всичките му страни. Центърът на вписаната окръжност лежи в пресечната точка на ъглополовящите. За да ги изградите, имате нужда от:

Как да построим равнобедрен триъгълник? Това е лесно да се направи с линийка, молив и клетки от тетрадка.

Започваме изграждането на равнобедрен триъгълник от основата. За да направите шарката равномерна, броят на клетките в основата трябва да е четен брой.

Разделете сегмента - основата на триъгълника - наполовина.

Върхът на триъгълника може да бъде избран на произволна височина от основата, но винаги точно над средата.

Как да построим остър равнобедрен триъгълник?

Ъглите при основата на равнобедрен триъгълник могат да бъдат само остри. За да бъде равнобедреният триъгълник остър, ъгълът при върха също трябва да е остър.

За да направите това, изберете върха на триъгълника по-високо, далеч от основата.

Колкото по-висок е върхът, толкова по-малък е ъгълът на върха. Ъглите в основата се увеличават съответно.

Как да построим тъп равнобедрен триъгълник?

Тъй като върхът на равнобедрен триъгълник се приближава към основата степенна мяркаъгълът на върха се увеличава.

Това означава, че за да построим равнобедрен тъп триъгълник, избираме по-нисък връх.

Как да построим равнобедрен правоъгълен триъгълник?

За да построите равнобедрен правоъгълен триъгълник, трябва да изберете връх на разстояние, равно на половината от основата (това се дължи на свойствата на равнобедрен правоъгълен триъгълник).

Например, ако дължината на основата е 6 клетки, тогава поставяме върха на триъгълника на височина 3 клетки над средата на основата. Моля, обърнете внимание: в този случай всяка клетка в ъглите на основата е разделена диагонално.

Построяването на равнобедрен правоъгълен триъгълник може да започне от върха.

Избираме връх и от него под прав ъгъл полагаме равни сегменти нагоре и надясно. Това са страните на триъгълника.

Нека ги свържем и ще получим равнобедрен правоъгълен триъгълник.

Построяването на равнобедрен триъгълник с помощта на пергел и линийка без деления ще разгледаме в друга тема.

Още деца предучилищна възрастзнам как изглежда триъгълник. Но децата вече започват да разбират какви са в училище. Един вид е тъп триъгълник. Най-лесният начин да разберете какво е това е да видите снимка на него. И на теория това е, което те наричат ​​„най-простият многоъгълник“ с три страни и върхове, единият от които е

Разбиране на концепциите

В геометрията има тези видове фигури с три страни: остър, правоъгълен и тъп триъгълник. Освен това свойствата на тези най-прости многоъгълници са еднакви за всички. Да, за всички изброени видоветакова неравенство ще се наблюдава. Сумата от дължините на всеки две страни задължително ще бъде по-голяма от дължината на третата страна.

Но за да сте сигурни, че ние говорим заИменно за готовата фигура, а не за набор от отделни върхове, е необходимо да се провери дали е изпълнено основното условие: сумата от ъглите на тъп триъгълник е равна на 180 градуса. Същото важи и за други видове фигури с три страни. Вярно е, че в тъп триъгълник един от ъглите ще бъде дори по-голям от 90 °, а останалите два със сигурност ще бъдат остри. В този случай най-големият ъгъл ще бъде срещу най-дългата страна. Вярно е, че това не са всички свойства на тъпия триъгълник. Но дори и да знаят само тези характеристики, учениците могат да решават много задачи по геометрия.

За всеки многоъгълник с три върха също е вярно, че като продължим някоя от страните, получаваме ъгъл, чийто размер ще бъде равен на сумата от два несъседни вътрешни върха. Периметърът на тъп триъгълник се изчислява по същия начин, както при другите форми. Тя е равна на сумата от дължините на всичките му страни. За да определят това, математиците са разработили различни формули в зависимост от това какви данни са налични първоначално.

Правилен стил

Един от най-важните условиярешаването на задачи по геометрия е правилното чертане. Учителите по математика често казват, че това ще помогне не само да визуализирате какво се дава и какво се изисква от вас, но и да се доближите с 80% до верния отговор. Ето защо е важно да знаете как да построите тъп триъгълник. Ако имате нужда само от хипотетична фигура, тогава можете да начертаете всеки многоъгълник с три страни, така че един от ъглите да е по-голям от 90 градуса.

Ако са дадени определени стойности на дължините на страните или градусите на ъглите, тогава е необходимо да се начертае тъп триъгълник в съответствие с тях. В този случай е необходимо да се опитате да изобразите ъглите възможно най-точно, като ги изчислите с помощта на транспортир и покажете страните пропорционално на условията, дадени в задачата.

Основни линии

Често за учениците не е достатъчно да знаят само как трябва да изглеждат определени фигури. Не могат да се ограничат само с информация кой триъгълник е тъп и кой прав. Курсът по математика изисква знанията им за основните характеристики на фигурите да бъдат по-пълни.

Така че всеки ученик трябва да разбере дефиницията на ъглополовяща, медиана, перпендикулярна ъглополовяща и височина. Освен това той трябва да познава основните им свойства.

И така, ъглополовящи разполовяват ъгъл и противоположната страна- на сегменти, които са пропорционални на съседните страни.

Медианата разделя всеки триъгълник на два равни по площ. В точката, в която се пресичат, всяка от тях е разделена на 2 сегмента в съотношение 2:1, гледано от върха, от който е излязла. В този случай голямата медиана винаги се изтегля към най-малката страна.

Не по-малко внимание се обръща на височината. Това е перпендикулярно на страната срещу ъгъла. Височината на тъп триъгълник има свои собствени характеристики. Ако се изтегли от остър връх, тогава той не се озовава от страната на този най-прост многоъгълник, а от неговото продължение.

Перпендикулярната ъглополовяща е сегментът, който се простира от центъра на лицето на триъгълника. Освен това е разположен под прав ъгъл спрямо него.

Работа с кръгове

В началото на изучаването на геометрията е достатъчно децата да разберат как да нарисуват тъп триъгълник, да се научат да го различават от другите видове и да запомнят основните му свойства. Но за гимназистите тези знания вече не са достатъчни. Например, на Единния държавен изпит често има въпроси за описани и вписани кръгове. Първият от тях докосва трите върха на триъгълника, а вторият има една обща точка с всички страни.

Построяването на вписан или описан тъп триъгълник е много по-трудно, тъй като за да направите това, първо трябва да разберете къде трябва да бъде центърът на кръга и неговият радиус. Между другото, в този случай не само молив с линийка, но и компас ще стане необходим инструмент.

Същите трудности възникват при конструирането на вписани многоъгълници с три страни. Математиците са разработили различни формули, които им позволяват да определят местоположението им възможно най-точно.

Вписани триъгълници

Както беше посочено по-рано, ако една окръжност минава през всичките три върха, тогава тя се нарича описана окръжност. Основното му свойство е, че е уникален. За да разберете как трябва да бъде разположен описаният кръг на тъп триъгълник, трябва да запомните, че центърът му е в пресечната точка на трите бисекторални перпендикуляра, които отиват отстрани на фигурата. Ако в остроъгълен многоъгълник с три върха тази точка ще бъде разположена вътре в него, то в тъп ъглов многоъгълник тя ще бъде извън него.

Знаейки например, че една от страните на тъп триъгълник е равна на неговия радиус, можете да намерите ъгъла, който лежи срещу известното лице. Неговият синус ще бъде равен на резултата от разделянето на дължината на известната страна на 2R (където R е радиусът на окръжността). Тоест, грехът на ъгъла ще бъде равен на ½. Това означава, че ъгълът ще бъде равен на 150 °.

Ако трябва да намерите радиуса на описаната обиколка на тъп триъгълник, тогава ще ви трябва информация за дължината на страните му (c, v, b) и неговата площ S. В крайна сметка радиусът се изчислява по следния начин: (c x v x b) : 4 x S. Между другото, няма значение какъв тип фигура имате: мащабен тъп триъгълник, равнобедрен, правоъгълен или остроъгълен. Във всяка ситуация, благодарение на горната формула, можете да разберете площта на даден многоъгълник с три страни.

Описани триъгълници

Също така често трябва да работите с вписани кръгове. Според една формула радиусът на такава фигура, умножен по ½ периметъра, ще бъде равен на площта на триъгълника. Вярно е, че за да го разберете, трябва да знаете страните на тъп триъгълник. В крайна сметка, за да определите ½ периметъра, трябва да добавите дължините им и да ги разделите на 2.

За да разберете къде трябва да бъде центърът на окръжност, вписана в тъп триъгълник, е необходимо да начертаете три ъглополовящи. Това са линиите, които разполовяват ъглите. Именно в тяхното пресичане ще се намира центърът на кръга. В този случай тя ще бъде на еднакво разстояние от всяка страна.

Радиусът на такава окръжност, вписана в тъп триъгълник, е равен на частното (p-c) x (p-v) x (p-b): p. В този случай p е полупериметърът на триъгълника, c, v, b са неговите страни.