Темата на урока е „Геометричен смисъл на производните“. Геометрично значение на производната Геометрично значение на производната тангенс как се решава

Цели на урока:

Студентите трябва да знаят:

• какво се нарича наклон на линия;
• ъгълът между правата и оста Ox;
• какъв е геометричният смисъл на производната;
• уравнение на допирателната към графиката на функция;
• метод за построяване на допирателна към парабола;
• да могат да прилагат теоретичните знания на практика.

Цели на урока:

Образователни: създаване на условия учениците да овладеят система от знания, умения и способности с понятията за механичен и геометричен смисъл на производната.

Образователни: формиране на научен мироглед у учениците.

Развитие: развиване на познавателния интерес, творчеството, волята, паметта, речта, вниманието, въображението, възприятието на учениците.

Методи за организиране на образователни и познавателни дейности:

• визуален;
• практичен;
• по умствена дейност: индуктивна;
• според усвояването на материала: частично търсене, репродуктивно;
• по степен на самостоятелност: лабораторни упражнения;
• стимулиращ: насърчаване;
• контрол: устно фронтално изследване.

План на урока

1. Устни упражнения (намерете производната)
2. Съобщение на ученик на тема „Причини за математически анализ”.
3. Учене на нов материал
4. Phys. Само минутка.
5. Решаване на задачи.
6. Лабораторна работа.
7. Обобщаване на урока.
8. Коментиране на домашни.

Оборудване: мултимедиен проектор (презентация), карти ( лабораторна работа).

„Човек постига нещо само там, където вярва в собствените си сили“

Л. Фойербах

Организация на класа през целия урок, готовност на учениците за урока, ред и дисциплина.

Поставяне на учебни цели на учениците, както за целия урок, така и за отделните му етапи.

Определете значението на изучавания материал както в тази тема, така и в целия курс.

Устно броене

1. Намерете производни:

", ()", (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. Логически тест.

а) Въведете пропуснатия израз.

Общата посока на развитие на науката в крайна сметка се определя от изискванията на практиката на човешката дейност. Съществуването на древни държави със сложна йерархична система на управление би било невъзможно без достатъчното развитие на аритметиката и алгебрата, тъй като събирането на данъци, организирането на армейските доставки, изграждането на дворци и пирамиди и създаването на напоителни системи изискват сложни изчисления. През Ренесанса се разширяват връзките между различните части на средновековния свят, развиват се търговията и занаятите. Започва бързо нарастване на техническото ниво на производство и промишлено се използват нови източници на енергия, които не са свързани с мускулните усилия на хора или животни. През XI-XII век се появяват пълнежни и тъкачни машини, а в средата на XV - печатарска преса. Поради необходимостта от бързо развитиеобщественото производство през този период се променя същността на естествените науки, които от древността са имали описателен характер. Целта на естествознанието е задълбочено проучванеприродни процеси, а не предмети. Математиката, която оперира с постоянни величини, съответства на описателната естествена наука на древността. Беше необходимо да се създаде математически апарат, който да описва не резултата от процеса, а естеството на неговия поток и присъщите му модели. В резултат на това до края на 12 век Нютон в Англия и Лайбниц в Германия завършват първия етап от създаването на математическия анализ. Какво е "математически анализ"? Как могат да се характеризират и предвидят характеристиките на всеки процес? Използване на тези функции? За да проникнете по-дълбоко в същността на определено явление?

Нека да следваме пътя на Нютон и Лайбниц и да видим как можем да анализираме процеса, като го разглеждаме като функция на времето.

Нека представим няколко концепции, които ще ни помогнат допълнително.

Графиката на линейната функция y=kx+ b е права линия, числото k се нарича наклона на правата линия. k=tg, където е ъгълът на правата линия, тоест ъгълът между тази права линия и положителната посока на оста Ox.

Снимка 1

Разгледайте графиката на функцията y=f(x). Нека начертаем секанс през произволни две точки, например секанс AM. (фиг.2)

Ъглов коефициент на секущата k=tg. В правоъгълен триъгълник AMC<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

Фигура 2

Фигура 3

Самият термин "скорост" характеризира зависимостта на промяната на една величина от промяната на друга, като последната не е задължително да е време.

И така, тангенсът на ъгъла на наклона на секанса tg = .

Ние се интересуваме от зависимостта на промените в количествата за по-кратък период от време. Нека насочим нарастването на аргумента към нула. Тогава дясната страна на формулата е производната на функцията в точка А (обяснете защо). Ако x -> 0, тогава точка M се движи по графиката до точка A, което означава, че правата AM се доближава до някаква права линия AB, което е допирателна към графиката на функцията y = f(x) в точка A. (фиг.3)

Ъгълът на наклона на секанса клони към ъгъла на наклона на допирателната.

Геометрично значениепроизводна е, че стойността на производната в точка е равна на наклона на допирателната към графиката на функцията в точката.

Механично значение на производната.

Тангенсът на допирателния ъгъл е стойност, показваща моментната скорост на промяна на функцията в дадена точка, т.е. нова характеристика на процеса, който се изучава. Лайбниц нарече това количество производна, а Нютон каза, че самата производна се нарича моментна скорост.

№ 91 (1) страница 91 – покажете на дъската.

Ъгловият коефициент на допирателната към кривата f(x) = x 3 в точка x 0 – 1 е стойността на производната на тази функция при x = 1. f’(1) = 3x 2 ; f’(1) = 3.

No 91 (3.5) – диктовка.

No 92(1) – на дъската по желание.

№ 92 (3) – самостоятелно с устно изпитване.

№ 92 (5) – на дъската.

Отговори: 45 0, 135 0, 1,5 e 2.

Цел: да се развие концепцията за „механично значение на производна“.

Приложения на производните в механиката.

Законът е определен праволинейно движениеточки x = x(t), t.

1. Средна скорост на движение за определен период от време;
2. Скорост и ускорение в момент t 04
3. Моменти на спиране; дали точката след момента на спиране продължава да се движи в същата посока или започва да се движи в обратна посока;
4. Най-високата скорост на движение за определен период от време.

Работата се изпълнява по 12 варианта, като задачите са диференцирани по ниво на трудност (първият вариант е най-ниското ниво на трудност).

Преди започване на работа разговор по следните въпроси:

1. Какъв е физическият смисъл на производната на изместването? (Скорост).
2. Възможно ли е да се намери производната на скоростта? Тази величина използва ли се във физиката? Как се нарича? (Ускорение).
3. Мигновена скоростравно на нула. Какво може да се каже за движението на тялото в този момент? (Това е моментът на спиране).
4. Какъв е физическият смисъл на следните твърдения: производната на движението е равна на нула в точка t 0; променя ли производната знак при преминаване през точка t 0? (Тялото спира; посоката на движение се променя на противоположната).

Образец на студентска работа.

x(t)= t 3 -2 t 2 +1, t 0 = 2.

Фигура 4

В обратна посока.

Нека начертаем схематична диаграма на скоростта. В точката се постига най-висока скорост

t=10, v (10) =3· 10 2 -4· 10 =300-40=260

Фигура 5

1) Какво е геометричното значение на производната?
2) Какво е механичното значение на производното?
3) Направете заключение за работата си.

Страница 90. №91(2,4,6), №92(2,4,6,), стр.92 №112.

Използвани книги

• Учебник Алгебра и началото на анализа.
  Автори: Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунина.
  Под редакцията на А. Б. Жижченко.
• Алгебра 11 клас. Урочни плановепо учебника на Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров. Част 1.
• Интернет ресурси: http://orags.narod.ru/manuals/html/gre/12.jpg

Преди да прочетете информацията на текущата страница, препоръчваме да гледате видеоклип за производната и нейното геометрично значение

Вижте също пример за изчисляване на производната в точка

Допирателната към правата l в точка M0 е правата линия M0T - граничната позиция на секущата M0M, когато точката M клони към M0 по тази права (т.е. ъгълът клони към нула) по произволен начин.

Производна на функцията y = f(x)в точка х0 Нареченграницата на отношението на нарастването на тази функция към увеличението на аргумента, когато последният клони към нула. Производната на функцията y = f(x) в точката x0 и в учебниците се означава със символа f"(x0). Следователно по дефиниция

Терминът "дериват"(също "втора производна") въведен от Ж. Лагранж(1797), освен това той дава обозначенията y’, f’(x), f”(x) (1770,1779). Обозначението dy/dx се появява за първи път в Лайбниц (1675).

Производната на функцията y = f(x) при x = xo е равна на наклона на допирателната към графиката на тази функция в точката Mo(xo, f(xo)), т.е.

къде - допирателен ъгъл към оста Ox на правоъгълната декартова координатна система.

Уравнение на тангенс към правата y = f(x) в точката Mo(xo, yo) приема формата

Нормалната към крива в дадена точка е перпендикулярът на допирателната в същата точка. Ако f(x0) не е равно на 0, тогава нормално уравнение на линията y = f(x) в точката Mo(ho, yo) ще бъде записано както следва:

Физическо значение на производната

Ако x = f(t) е законът за праволинейно движение на точка, тогава x’ = f’(t) е скоростта на това движение в момент t. Дебитфизични, химични и други процесите се изразяват с помощта на производната.

Ако съотношението dy/dx за x->x0 има граница отдясно (или отляво), тогава то се нарича производна отдясно (съответно производна отляво). Такива граници се наричат ​​едностранни производни.

Очевидно функция f(x), дефинирана в определена околност на точката x0, има производна f’(x) тогава и само ако едностранните производни съществуват и са равни една на друга.

Геометрична интерпретация на производнататъй като наклонът на допирателната към графиката се отнася и за този случай: допирателната в в такъв случайуспоредна на оста Oy.

За функция, която има производна в дадена точка, се казва, че е диференцируема в тази точка. Функция, която има производна във всяка точка от даден интервал, се нарича диференцируема в този интервал. Ако интервалът е затворен, то в краищата му има едностранни производни.

Операцията за намиране на производната се нарича.

Статията предоставя подробно обяснение на дефинициите, геометричното значение на производната с графични означения. Уравнението на допирателна ще бъде разгледано с примери, ще бъдат намерени уравненията на допирателна към криви от 2-ри ред.

Ъгълът на наклона на правата линия y = k x + b се нарича ъгъл α, който се измерва от положителната посока на оста x към правата линия y = k x + b в положителната посока.

На фигурата посоката x е обозначена със зелена стрелка и зелена дъга, а ъгълът на наклона с червена дъга. Синята линия се отнася за правата линия.

Определение 2

Наклонът на правата линия y = k x + b се нарича числов коефициент k.

Ъгловият коефициент е равен на тангенса на правата линия, с други думи k = t g α.

• Ъгълът на наклона на права линия е равен на 0 само ако е успоредна на x и наклонът е равен на нула, тъй като тангенсът на нулата е равен на 0. Това означава, че формата на уравнението ще бъде y = b.
• Ако ъгълът на наклона на правата линия y = k x + b е остър, тогава условията 0 са изпълнени< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положително число, тъй като стойността на тангенса удовлетворява условието t g α > 0 и има увеличение на графиката.
• Ако α = π 2, тогава местоположението на правата е перпендикулярно на x. Равенството се определя от x = c, като стойността c е реално число.
• Ако ъгълът на наклона на правата линия y = k x + b е тъп, тогава той съответства на условията π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицателно значение, а графиката намалява.

Секансът е права, която минава през 2 точки на функцията f (x). С други думи, секансът е права линия, която се прекарва през произволни две точки на графиката дадена функция.

Фигурата показва, че A B е секанс, а f (x) е черна крива, α е червена дъга, показваща ъгъла на наклон на секанса.

Когато ъгловият коефициент на права линия е равен на тангенса на ъгъла на наклона, ясно е, че тангенса на правоъгълен триъгълник A B C може да се намери чрез съотношението на срещуположната страна към съседната.

Определение 4

Получаваме формула за намиране на секанс от формата:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, където абсцисите на точки A и B са стойностите x A, x B и f (x A), f (x B) са функциите на стойностите в тези точки.

Очевидно ъгловият коефициент на секанса се определя с помощта на равенството k = f (x B) - f (x A) x B - x A или k = f (x A) - f (x B) x A - x B и уравнението трябва да бъде написано като y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) или
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Секансът разделя графиката визуално на 3 части: вляво от точка A, от A до B, вдясно от B. Фигурата по-долу показва, че има три секанса, които се считат за съвпадащи, т.е. те са зададени с помощта на подобно уравнение.

По дефиниция е ясно, че правата линия и нейният секанс в този случай съвпадат.

Секансът може да пресича графиката на дадена функция многократно. Ако има уравнение от вида y = 0 за секанс, тогава броят на точките на пресичане със синусоидата е безкраен.

Определение 5

Допирателна към графиката на функцията f (x) в точка x 0 ; f (x 0) е права линия, минаваща през дадена точка x 0; f (x 0), с наличието на сегмент, който има много x стойности, близки до x 0.

Пример 1

Нека разгледаме по-отблизо примера по-долу. Тогава е ясно, че правата, определена от функцията y = x + 1, се счита за допирателна към y = 2 x в точката с координати (1; 2). За по-голяма яснота е необходимо да се разгледат графики със стойности, близки до (1; 2). Функцията y = 2 x е показана в черно, синята линия е допирателната, а червената точка е пресечната точка.

Очевидно y = 2 x се слива с правата y = x + 1.

За да определим допирателната, трябва да разгледаме поведението на допирателната A B, когато точка B се приближава безкрайно до точка A. За яснота представяме чертеж.

Секущата A B, обозначена със синята линия, клони към позицията на самата допирателна, а ъгълът на наклон на секущата α ще започне да клони към ъгъла на наклон на самата допирателна α x.

Определение 6

Допирателната към графиката на функцията y = f (x) в точка A се счита за гранична позиция на секанса A B, когато B клони към A, т.е. B → A.

Сега нека преминем към разглеждане на геометричния смисъл на производната на функция в точка.

Нека преминем към разглеждане на секанса A B за функцията f (x), където A и B с координати x 0, f (x 0) и x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), а ∆ x е се обозначава като нарастване на аргумента. Сега функцията ще приеме формата ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . За по-голяма яснота нека дадем пример за чертеж.

Разгледайте получения правоъгълен триъгълник A B C. Използваме дефиницията на допирателната за решаване, т.е. получаваме връзката ∆ y ∆ x = t g α . От определението за допирателна следва, че lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Съгласно правилото за производната в точка имаме, че производната f (x) в точката x 0 се нарича граница на съотношението на увеличението на функцията към увеличението на аргумента, където ∆ x → 0 , тогава го означаваме като f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

От това следва, че f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, където k x е означено като наклон на допирателната.

Тоест, откриваме, че f '(x) може да съществува в точка x 0 и подобно на допирателната към дадена графика на функцията в точката на допиране, равна на x 0, f 0 (x 0), където стойността на наклонът на тангентата в точката е равен на производната в точка x 0 . Тогава получаваме, че k x = f " (x 0) .

Геометричният смисъл на производната на функция в точка е, че дава концепцията за съществуването на допирателна към графиката в същата точка.

За да напишете уравнението на която и да е права линия в равнина, е необходимо да имате ъглов коефициент с точката, през която тя минава. Неговото обозначение се приема като x 0 при пресичане.

Уравнението на допирателната към графиката на функцията y = f (x) в точката x 0, f 0 (x 0) приема формата y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

Това означава, че крайната стойност на производната f "(x 0) може да определи позицията на допирателната, тоест вертикално, при условие че lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ и lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ или изобщо отсъствие при условието lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

Местоположението на допирателната зависи от стойността на нейния ъглов коефициент k x = f "(x 0). Когато е успоредна на оста o x, получаваме, че k k = 0, когато е успоредна на o y - k x = ∞, и формата на допирателното уравнение x = x 0 нараства с k x > 0, намалява с k x< 0 .

Пример 2

Съставете уравнение за допирателната към графиката на функцията y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 в точката с координати (1; 3) и определете ъгъла на наклона.

Решение

По условие имаме, че функцията е дефинирана за всички реални числа. Откриваме, че точката с координати, зададени от условието, (1; 3) е точка на допиране, тогава x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Необходимо е да се намери производната в точката със стойност - 1. Разбираме това

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Стойността на f' (x) в точката на допирателна е наклонът на тангентата, който е равен на тангенса на наклона.

Тогава k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

От това следва, че α x = a r c t g 3 3 = π 6

Отговор:уравнението на допирателната приема формата

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

За по-голяма яснота даваме пример в графична илюстрация.

Черният цвят се използва за графиката на оригиналната функция, Син цвят– изображение на допирателна, червена точка – точка на допиране. Фигурата вдясно показва увеличен изглед.

Пример 3

Установете съществуването на допирателна към графиката на дадена функция
y = 3 · x - 1 5 + 1 в точката с координати (1 ; 1) . Напишете уравнение и определете ъгъла на наклона.

Решение

По условие имаме, че домейнът на дефиниция на дадена функция се счита за набор от всички реални числа.

Нека да преминем към намирането на производната

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Ако x 0 = 1, тогава f' (x) е недефинирано, но границите са записани като lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ и lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , което означава, че съществуваща вертикална допирателна в точка (1; 1).

Отговор:уравнението ще приеме формата x = 1, където ъгълът на наклон ще бъде равен на π 2.

За по-голяма яснота нека го изобразим графично.

Пример 4

Намерете точките върху графиката на функцията y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, където

1. Няма допирателна;
2. Допирателната е успоредна на x;
3. Допирателната е успоредна на правата y = 8 5 x + 4.

Решение

Необходимо е да се обърне внимание на обхвата на дефиницията. По условие имаме, че функцията е дефинирана върху множеството от всички реални числа. Разширяваме модула и решаваме системата с интервали x ∈ - ∞ ; 2 и [-2; + ∞). Разбираме това

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Необходимо е да се разграничи функцията. Ние имаме това

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 ", x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Когато x = − 2, тогава производната не съществува, тъй като едностранните граници не са равни в тази точка:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Изчисляваме стойността на функцията в точката x = - 2, където получаваме това

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, тоест допирателната в точката ( - 2; - 2) няма да съществува.
2. Допирателната е успоредна на x, когато наклонът е нула. Тогава k x = t g α x = f "(x 0). Това означава, че е необходимо да се намерят стойностите на такъв x, когато производната на функцията го превръща в нула. Тоест стойностите на f ' (x) ще бъдат точките на допиране, където допирателната е успоредна на x.

Когато x ∈ - ∞ ; - 2, тогава - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 и за x ∈ (- 2; + ∞) получаваме 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Изчислете стойностите на съответните функции

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Следователно - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 се считат за търсените точки от графиката на функцията.

Нека да разгледаме графично представяне на решението.

Черната линия е графиката на функцията, червените точки са точките на допир.

1. Когато линиите са успоредни, ъгловите коефициенти са равни. След това е необходимо да се търсят точки на графиката на функцията, където наклонът ще бъде равен на стойността 8 5. За да направите това, трябва да решите уравнение под формата y "(x) = 8 5. Тогава, ако x ∈ - ∞; - 2, получаваме, че - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5 и ако x ∈ ( - 2 ; + ∞), тогава 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Първото уравнение няма корени, тъй като дискриминантът е по-малък от нула. Нека запишем това

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Друго уравнение има две истински корени, Тогава

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Нека да преминем към намирането на стойностите на функцията. Разбираме това

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Точки със стойности - 1; 4 15, 5; 8 3 са точките, в които допирателните са успоредни на правата y = 8 5 x + 4.

Отговор:черна линия – графика на функцията, червена линия – графика на y = 8 5 x + 4, синя линия – допирателни в точки - 1; 4 15, 5; 8 3.

Възможно съществуване безкраен бройдопирателни за дадени функции.

Пример 5

Напишете уравненията на всички налични тангенси на функцията y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, които са разположени перпендикулярно на правата линия y = - 2 x + 1 2.

Решение

За да се състави уравнението на допирателната, е необходимо да се намерят коефициентът и координатите на допирателната точка въз основа на условието за перпендикулярност на линиите. Дефиницията е следната: произведението на ъгловите коефициенти, които са перпендикулярни на прави линии, е равно на - 1, тоест записано като k x · k ⊥ = - 1. От условието имаме, че ъгловият коефициент е разположен перпендикулярно на правата и е равен на k ⊥ = - 2, тогава k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Сега трябва да намерите координатите на допирните точки. Трябва да намерите x и след това неговата стойност за дадена функция. Обърнете внимание, че от геометричния смисъл на производната в точката
x 0 получаваме, че k x = y "(x 0). От това равенство намираме стойностите на x за точките на контакт.

Разбираме това

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Това тригонометрично уравнениеще се използва за изчисляване на ординатите на допирателните точки.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk или x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z е набор от цели числа.

Намерени са x допирни точки. Сега трябва да преминете към търсене на стойностите на y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 или y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 или y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 или y 0 = - 4 5 + 1 3

От това получаваме, че 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 са точките на допир.

Отговор:необходимите уравнения ще бъдат записани като

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

За визуално представяне разгледайте функция и допирателна върху координатна права.

Фигурата показва, че функцията се намира на интервала [ - 10 ; 10 ], където черната линия е графиката на функцията, сините линии са допирателни, които са разположени перпендикулярно на дадената права от вида y = - 2 x + 1 2. Червените точки са допирни точки.

Каноничните уравнения на криви от 2-ри ред не са еднозначни функции. Тангентните уравнения за тях се съставят по известни схеми.

Допирателна към окръжност

За определяне на окръжност с център в точка x c e n t e r ; y c e n t e r и радиус R, приложете формулата x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Това равенство може да се запише като обединение на две функции:

y = R 2 - x - x център 2 + y център y = - R 2 - x - x център 2 + y център

Първата функция се намира отгоре, а втората отдолу, както е показано на фигурата.

Да се ​​състави уравнение на окръжност в точка x 0; y 0 , който се намира в горния или долния полукръг, трябва да намерите уравнението на графиката на функция от вида y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r или y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r в посочената точка.

Когато в точки x c e n t e r ; y център + R и x център; y c e n t e r - R допирателните могат да бъдат дадени чрез уравненията y = y c e n t e r + R и y = y c e n t e r - R , и в точки x c e n t e r + R ; y c e n t e r и
x c e n t e r - R; y c e n t e r ще бъде успореден на o y, тогава получаваме уравнения от вида x = x c e n t e r + R и x = x c e n t e r - R .

Допирателна към елипса

Когато елипсата има център в x c e n t e r ; y c e n t e r с полуоси a и b, то може да се уточни с помощта на уравнението x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

Елипса и кръг могат да бъдат обозначени чрез комбиниране на две функции, а именно горната и долната полуелипса. Тогава разбираме това

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Ако допирателните са разположени във върховете на елипсата, тогава те са успоредни около x или около y. По-долу, за по-голяма яснота, разгледайте фигурата.

Пример 6

Напишете уравнението на допирателната към елипсата x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 в точки със стойности на x, равни на x = 2.

Решение

Необходимо е да се намерят допирателните точки, които съответстват на стойността x = 2. Заместваме в съществуващото уравнение на елипсата и намираме това

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

След това 2; 5 3 2 + 5 и 2; - 5 3 2 + 5 са ​​допирателните точки, които принадлежат на горната и долната полуелипсата.

Нека да преминем към намирането и решаването на уравнението на елипсата по отношение на y. Разбираме това

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Очевидно горната полуелипса е определена с помощта на функция от формата y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, а долната полуелипса y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Нека приложим стандартен алгоритъм, за да създадем уравнение за допирателна към графиката на функция в точка. Нека запишем, че уравнението за първата допирателна в точка 2; 5 3 2 + 5 ще изглежда така

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Откриваме, че уравнението на втората допирателна със стойност в точката
2 ; - 5 3 2 + 5 приема формата

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Графично тангентите се означават, както следва:

Допирателна към хипербола

Когато хипербола има център в x c e n t e r ; y c e n t e r и върхове x c e n t e r + α ; y c e n t e r и x c e n t e r - α; y c e n t e r се изпълнява неравенството x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1, ако с върхове x c e n t e r ; y център + b и x център; y c e n t e r - b , тогава се определя с помощта на неравенството x-x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Една хипербола може да бъде представена като две комбинирани функции на формата

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r или y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x център) 2 + a 2 + y център

В първия случай имаме, че допирателните са успоредни на y, а във втория са успоредни на x.

От това следва, че за да се намери уравнението на допирателната към хипербола, е необходимо да се установи на коя функция принадлежи точката на допирателна. За да се определи това, е необходимо да се замени в уравненията и да се провери за идентичност.

Пример 7

Напишете уравнение за допирателната към хиперболата x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 в точка 7; - 3 3 - 3 .

Решение

Необходимо е да се трансформира записът на решението за намиране на хипербола с помощта на 2 функции. Разбираме това

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 и y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Необходимо е да се установи към коя функция принадлежи дадена точка с координати 7; - 3 3 - 3 .

Очевидно за проверка на първата функция е необходимо y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, тогава точката не принадлежи на графиката, тъй като равенството не важи.

За втората функция имаме, че y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, което означава, че точката принадлежи на дадената графика. От тук трябва да намерите склона.

Разбираме това

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Отговор:уравнението на допирателната може да бъде представено като

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Ясно е изобразено така:

Тангента на парабола

За да създадете уравнение за допирателната към параболата y = a x 2 + b x + c в точката x 0, y (x 0), трябва да използвате стандартен алгоритъм, след което уравнението ще приеме формата y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0). Такава допирателна във върха е успоредна на x.

Трябва да дефинирате параболата x = a y 2 + b y + c като обединение на две функции. Следователно трябва да решим уравнението за y. Разбираме това

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Графично изобразен като:

За да разберете дали точка x 0, y (x 0) принадлежи на функция, продължете внимателно според стандартния алгоритъм. Такава допирателна ще бъде успоредна на o y спрямо параболата.

Пример 8

Напишете уравнението на допирателната към графиката x - 2 y 2 - 5 y + 3, когато имаме ъгъл на допирателната от 150 °.

Решение

Започваме решението, като представяме параболата като две функции. Разбираме това

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 х - 4

Стойността на наклона е равна на стойността на производната в точка x 0 на тази функция и е равна на тангенса на ъгъла на наклон.

Получаваме:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

От тук определяме стойността на x за точките на контакт.

Първата функция ще бъде написана като

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Очевидно няма реални корени, тъй като получихме отрицателна стойност. Заключаваме, че за такава функция няма тангенс с ъгъл 150°.

Втората функция ще бъде написана като

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Имаме, че допирните точки са 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Отговор:уравнението на допирателната приема формата

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Нека го изобразим графично по следния начин:

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Предмет. Производна. Геометричен и механичен смисъл на производната

Ако тази граница съществува, тогава се казва, че функцията е диференцируема в точка. Производната на функция се означава с (формула 2).

1. Геометрично значение на производната. Нека да разгледаме графиката на функцията. От фиг. 1 става ясно, че за всеки две точки A и B от графиката на функцията може да се напише формула 3). Той съдържа ъгъла на наклона на секущата AB.

По този начин съотношението на разликата е равно на наклона на секанса. Ако фиксирате точка A и преместите точка B към нея, тогава тя намалява неограничено и се доближава до 0, а секансът AB се доближава до допирателната AC. Следователно границата на съотношението на разликата е равна на наклона на допирателната в точка А. Това води до заключението.

Производната на функция в точка е наклонът на допирателната към графиката на тази функция в тази точка. Това е геометричното значение на производната.

1. Уравнение на тангенс . Нека изведем уравнението на допирателната към графиката на функцията в точка. В общия случай уравнението на права линия с ъглов коефициент има вида: . За да намерим b, се възползваме от факта, че допирателната минава през точка A: . Това предполага: . Замествайки този израз вместо b, получаваме уравнението на допирателната (формула 4).

Производната на функция е една от трудните теми в училищна програма. Не всеки завършил ще отговори на въпроса какво е производно.

Тази статия обяснява по прост и ясен начин какво е дериват и защо е необходим.. Сега няма да се стремим към математическа строгост в презентацията. Най-важното е да разберете смисъла.

Нека си припомним определението:

Производната е скоростта на промяна на функция.

Фигурата показва графики на три функции. Според вас кой расте по-бързо?

Отговорът е очевиден - третият. Той има най-високата скорост на промяна, тоест най-голямата производна.

Ето още един пример.

Костя, Гриша и Матвей получиха работа едновременно. Нека видим как са се променили доходите им през годината:

Графиката показва всичко наведнъж, нали? Доходите на Костя се удвоиха за шест месеца. И доходите на Гриша също се увеличиха, но съвсем малко. И доходите на Матвей намаляха до нула. Началните условия са същите, но скоростта на промяна на функцията, т.е производна, - различен. Що се отнася до Матвей, неговата производна на доходите като цяло е отрицателна.

Интуитивно, ние лесно оценяваме скоростта на промяна на функция. Но как да направим това?

Това, което наистина гледаме, е колко стръмно се издига (или надолу) графиката на дадена функция. С други думи, колко бързо се променя y при промяна на x? Очевидно една и съща функция в различни точки може да има различен смисълпроизводна - тоест може да се променя по-бързо или по-бавно.

Производната на функция се обозначава.

Ще ви покажем как да го намерите с помощта на графика.

Начертана е графика на някаква функция. Нека вземем точка с абциса върху нея. Нека начертаем допирателна към графиката на функцията в тази точка. Искаме да преценим колко стръмно се изкачва графиката на дадена функция. Удобна стойност за това е тангенс на допирателния ъгъл.

Производната на функция в точка е равна на тангенса на допирателния ъгъл, начертан към графиката на функцията в тази точка.

Моля, обърнете внимание, че като ъгъл на наклон на допирателната приемаме ъгъла между допирателната и положителната посока на оста.

Понякога учениците питат какво е допирателна към графиката на функция. Това е права линия, която има една обща точка с графиката в този раздел и както е показано на нашата фигура. Изглежда като допирателна към окръжност.

Нека го намерим. Спомняме си, че тангенса на остър ъгъл в правоъгълен триъгълникравно на съотношението на срещуположната страна към съседната страна. От триъгълника:

Намерихме производната с помощта на графика, без дори да знаем формулата на функцията. Такива проблеми често се срещат в Единния държавен изпит по математика под номера.

Има и друга важна връзка. Спомнете си, че правата линия е дадена от уравнението

Величината в това уравнение се нарича наклон на права линия. Тя е равна на тангенса на ъгъла на наклона на правата спрямо оста.

.

Разбираме това

Нека запомним тази формула. Той изразява геометричния смисъл на производната.

Производната на функция в точка е равна на наклона на допирателната, начертана към графиката на функцията в тази точка.

С други думи, производната е равна на тангенса на допирателния ъгъл.

Вече казахме, че една и съща функция може да има различни производни в различни точки. Нека видим как производната е свързана с поведението на функцията.

Нека начертаем графика на някаква функция. Нека тази функция нараства в някои области и намалява в други, и то с различна скорост. И нека тази функция има максимални и минимални точки.

В даден момент функцията се увеличава. Допирателната към графиката, начертана в точка, образува остър ъгъл с положителната посока на оста. Това означава, че производната в точката е положителна.

В момента нашата функция намалява. Допирателната в тази точка образува тъп ъгъл с положителната посока на оста. Тъй като допирателната тъп ъгъле отрицателна, в точката производната е отрицателна.

Ето какво се случва:

Ако една функция нараства, нейната производна е положителна.

Ако намалява, производната му е отрицателна.

Какво ще се случи при максималните и минималните точки? Виждаме, че в точките (максимална точка) и (минимална точка) допирателната е хоризонтална. Следователно тангенсът на допирателната в тези точки е нула и производната също е нула.

Точка - максимална точка. В този момент нарастването на функцията се заменя с намаление. Следователно знакът на производната се променя в точката от „плюс“ на „минус“.

В точката - минималната точка - производната също е нула, но нейният знак се променя от "минус" на "плюс".

Извод: с помощта на производната можем да разберем всичко, което ни интересува за поведението на дадена функция.

Ако производната е положителна, тогава функцията нараства.

Ако производната е отрицателна, тогава функцията намалява.

В максималната точка производната е нула и променя знака от "плюс" на "минус".

В минималната точка производната също е нула и променя знака от „минус“ на „плюс“.

Нека напишем тези изводи под формата на таблица:

Нека направим две малки уточнения. Един от тях ще ви трябва, когато решавате Проблеми на единния държавен изпит. Друг – през първата година, с по-сериозно изучаване на функции и производни.

Възможно е производната на функция в дадена точка да е равна на нула, но функцията да няма нито максимум, нито минимум в тази точка. Това е т.нар :

В дадена точка допирателната към графиката е хоризонтална и производната е нула. Въпреки това, преди точката функцията нараства - и след точката тя продължава да нараства. Знакът на производната не се променя - тя остава положителна, както е била.

Също така се случва в точката на максимум или минимум производната да не съществува. На графиката това съответства на рязко прекъсване, когато е невъзможно да се начертае допирателна в дадена точка.

Как да намерим производната, ако функцията е дадена не с графика, а с формула? В този случай се прилага