Път на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонталата. Изучаване на движението на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонталата

Теория

Ако едно тяло е хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта, то по време на полет върху него действат силата на гравитацията и силата на съпротивлението на въздуха. Ако съпротивителната сила се пренебрегне, тогава единствената останала сила е гравитацията. Следователно, поради 2-ри закон на Нютон, тялото се движи с ускорение, равно на ускорението на гравитацията; проекциите на ускорението върху координатните оси са равни a x = 0, и y= -g.

Всякакви сложно движениематериална точка може да бъде представена като суперпозиция на независими движения по координатните оси, а в посоката на различните оси видът на движението може да се различава. В нашия случай движението на летящо тяло може да се представи като суперпозиция на две независими движения: равномерно движениепо хоризонталната ос (ос X) и равномерно ускорено движение по вертикалната ос (ос Y) (фиг. 1).

Следователно проекциите на скоростта на тялото се променят с времето, както следва:

,

където е началната скорост, α е ъгълът на хвърляне.

Следователно координатите на тялото се променят по следния начин:

С нашия избор на началото на координатите, началните координати (фиг. 1) Тогава

Втората времева стойност, при която височината е нула, е нула, което съответства на момента на хвърляне, т.е. тази стойност има и физическо значение.

Получаваме обхвата на полета от първата формула (1). Обхватът на полета е стойността на координатата хв края на полета, т.е. в момент, равен на t 0. Замествайки стойност (2) в първата формула (1), получаваме:

От тази формула се вижда, че най-голяма далечина на полета се постига при ъгъл на хвърляне 45 градуса.

Максималната височина на повдигане на хвърленото тяло може да се получи от втората формула (1). За да направите това, трябва да замените времева стойност, равна на половината от времето на полет (2) в тази формула, защото Максималната височина на полета е в средата на траекторията. Извършвайки изчисления, получаваме

Свободно паданепредставлява частен случай на равномерно ускорено движение без начална скорост. Ускорението на това движение е равно на ускорението на гравитацията, наричано още ускорение на гравитацията. За това движение са валидни формулите:

u T
ж
ч- височината, от която пада тялото
T- време, през което е продължило падането

Забележка:

• Въздушното съпротивление не се взема предвид в тези формули.
• Ускорението на свободното падане има намалената стойност (9,81 (m/s?)) близо до земната повърхност. Стойността на g се променя на други разстояния от земната повърхност!

Движение на тяло, хвърлено вертикално нагоре

Тяло, хвърлено вертикално нагоре, се движи равномерно бавно с начална скорост u0и ускорение а = -g. Движение на тялото във времето Tпредставлява височината на повдигане ч.За това движение са валидни следните формули:

U0- начална скорост на движение на тялото
U- скоростта, с която тялото пада след време T
ж- ускорение на свободно падане, 9.81 (m/s?)
ч- височината, до която тялото ще се издигне във времето T
T- време

Скорост на тялото на определена височина:

Максимална височина на повдигане:

Време за издигане до максимална височина:

Добавяне на движения, насочени под ъгъл едно спрямо друго.

Тялото може да участва едновременно в няколко движения напред. Тъй като ускорението, скоростта и преместването са векторни величини, те могат да се добавят според законите на векторното (геометрично) събиране. Тези. според правилото на успоредника.

Получената стойност на всяка характеристика на движение може да бъде изчислена.

Ако:
нагоре- резултантната моментна скорост,
U1- моментна скорост на първото движение,
U2- моментна скорост второ движение,
? - ъгълът, образуван от векторите на скоростта u1И u2,
След това, използвайки косинусовата теорема, получаваме:

Ако движенията 1 и 2 се извършват под прав ъгъл едно спрямо друго, тогава формулата се опростява, защото

Движение на тяло, хвърлено хоризонтално.

Движението на тяло, хвърлено хоризонтално, е комбинация от две движения, взаимно перпендикулярни едно на друго:
- хоризонтално (равномерно) движение,
- вертикално (свободно падане)

Уравнение на траекторията на тяло, хвърлено хоризонтално

Ако построим траекторията на хоризонтално хвърлено тяло в координатната система xy, като точката на хвърляне се приема за начало на координатите и посоката на ординатната ос съвпада с посоката на вектора на ускорението на свободното падане, тогава координатите на всяка точка от траекторията представляват движението на тялото в хоризонтална посока (движение с постоянна скорост U0) и във вертикална посока (равноускорено движение с ускорение ж)

x, y- координати на тялото,
u0
ж
T- време за пътуване (s)

Уравнение на траекторията на тяло, хвърлено хоризонталнокакто следва:

жи начална скорост на тялото u0са постоянни величини, тогава координатата гпропорционална на квадрата х, т.е. траекторията на движение е парабола, чийто връх е в началната точка на движение.

Векторна позиция на тяло, хвърлено хоризонтално, формула

Позицията на всяка точка от траекторията на тяло, хвърлено хоризонтално, може да се определи чрез вектора на позицията r, което представлява полученото изместване:

или Вектор на позицията:

x-координата:

Y-координата:

Забележка: Въздушното съпротивление не се взема предвид във формулите.

Уравнение на движение на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонталата.

Координатите на точката на траекторията се описват с уравненията:

x, y- координати на тялото
U0- начална скорост на тялото (m/s)
? - ъгълът, под който тялото е хвърлено към хоризонта (°)
ж- ускорение на свободно падане 9.81 (m/s2)
T- време за пътуване (s)

От формулите чрез параметъра t извеждаме общото уравнение на движение на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонталата

Тъй като ускорението на гравитацията ж, ? - ъгълът, под който тялото е хвърлено към хоризонта и началната скорост на тялото u0са постоянни величини, тогава координатата гпропорционална на квадрата х, т.е. траекторията на движение е парабола, началната точка е на един от нейните клонове, а върхът на параболата е точката на максимално издигане на тялото.

Време на издигане на максимална височина на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта.

Времето за издигане до максималната височина се определя от условието, че вертикалната компонента моментна скоростравно на нула

от това уравнение получаваме:

U0- начална скорост на тялото (m/s),
?
ж- ускорение на свободно падане 9.81 (m/s2),
thmax- време за издигане до максимална височина (s)

Разстоянието на хвърляне на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонталата.

Обхват на хвърлянеили радиус на повредаопределя се по формулите за общото време на движение и формулата за координатите на тялото

заместване tsmaxв израза и опростяване получаваме:

U0- начална скорост на тялото (m/s),
? - ъгълът, под който тялото е хвърлено към хоризонта (°),
ж- ускорение на свободно падане 9.81 (m/s2),
tsmax- общо време на управление (s)

Нека разгледаме движението на тяло, хвърлено хоризонтално и движещо се само под въздействието на гравитацията (пренебрегваме съпротивлението на въздуха). Например, представете си, че една топка, лежаща на маса, получава тласък и тя се търкаля до ръба на масата и започва да пада свободно, като първоначалната й скорост е насочена хоризонтално (фиг. 174).

Нека проектираме движението на топката върху вертикалната ос и върху хоризонталната ос. Движението на проекцията на топката върху оста е движение без ускорение със скорост; движението на проекцията на топката върху оста е свободно падане с ускорение, по-голямо от началната скорост под въздействието на гравитацията. Познаваме законите и на двете движения. Компонентът на скоростта остава постоянен и равен на . Компонентът нараства пропорционално на времето: . Получената скорост може лесно да се намери с помощта на правилото на успоредника, както е показано на фиг. 175. Той ще бъде наклонен надолу и наклонът му ще се увеличи с времето.

Ориз. 174. Движение на топка, която се търкаля от масата

Ориз. 175. Топка, хвърлена хоризонтално със скорост, има моментна скорост

Нека намерим траекторията на тяло, хвърлено хоризонтално. Координатите на тялото в момента имат значение

За да намерим уравнението на траекторията, ние изразяваме времето от (112.1) до и заместваме този израз в (112.2). В резултат на това получаваме

Графиката на тази функция е показана на фиг. 176. Ординатите на точките на траекторията се оказват пропорционални на квадратите на абсцисата. Знаем, че такива криви се наричат ​​параболи. Графиката на пътя на равномерно ускорено движение беше изобразена като парабола (§ 22). Така свободно падащо тяло, чиято начална скорост е хоризонтална, се движи по парабола.

Изминатият път във вертикална посока не зависи от началната скорост. Но изминатият път в хоризонтална посока е пропорционален на началната скорост. Следователно при висока хоризонтална начална скорост параболата, по която пада тялото, е по-издължена в хоризонтална посока. Ако поток от вода се освободи от хоризонтална тръба (фиг. 177), тогава отделните частици вода ще се движат като топката по парабола. Колкото по-отворен е кранът, през който водата влиза в тръбата, толкова по-голяма е началната скорост на водата и колкото по-далеч от крана струята достига дъното на кюветата. Като поставите зад струята екран с предварително начертани параболи, можете да се уверите, че водната струя наистина има формата на парабола.

Ако едно тяло е хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта, то по време на полет върху него действат силата на гравитацията и силата на съпротивлението на въздуха. Ако съпротивителната сила се пренебрегне, тогава единствената останала сила е гравитацията. Следователно, поради 2-ри закон на Нютон, тялото се движи с ускорение, равно на ускорението на гравитацията; проекции на ускорението върху координатните оси ax = 0, ay = - g.

Фигура 1. Кинематични характеристики на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонталата

Всяко сложно движение на материална точка може да бъде представено като суперпозиция на независими движения по координатните оси, като в посоката на различните оси типът на движение може да се различава. В нашия случай движението на летящо тяло може да се представи като суперпозиция на две независими движения: равномерно движение по хоризонталната ос (ос X) и равномерно ускорено движение по вертикалната ос (ос Y) (фиг. 1) .

Следователно проекциите на скоростта на тялото се променят с времето, както следва:

където $v_0$ е началната скорост, $(\mathbf \alpha )$ е ъгълът на хвърляне.

С нашия избор на произход, началните координати (фиг. 1) са $x_0=y_0=0$. Тогава получаваме:

(1)

Нека анализираме формули (1). Нека определим времето на движение на хвърленото тяло. За да направим това, нека зададем координатата y равна на нула, защото в момента на кацане височината на тялото е нула. От тук получаваме за времето на полета:

Втората времева стойност, при която височината е нула, е нула, което съответства на момента на хвърляне, т.е. тази стойност има и физическо значение.

Получаваме обхвата на полета от първата формула (1). Обхватът на полета е стойността на координатата x в края на полета, т.е. във време равно на $t_0$. Замествайки стойност (2) в първата формула (1), получаваме:

От тази формула се вижда, че най-голяма далечина на полета се постига при ъгъл на хвърляне 45 градуса.

Максималната височина на повдигане на хвърленото тяло може да се получи от втората формула (1). За да направите това, трябва да замените времева стойност, равна на половината от времето на полет (2) в тази формула, защото Максималната височина на полета е в средата на траекторията. Извършвайки изчисления, получаваме

От уравнения (1) може да се получи уравнението на траекторията на тялото, т.е. уравнение, свързващо координатите x и y на тялото по време на движение. За да направите това, трябва да изразите времето от първото уравнение (1):

и го заместете във второто уравнение. Тогава получаваме:

Това уравнение е уравнението на траекторията на движение. Може да се види, че това е уравнението на парабола с нейните клонове надолу, както е посочено със знака „-“ пред квадратичния член. Трябва да се има предвид, че ъгълът на хвърляне $\alpha $ и неговите функции тук са просто константи, т.е. постоянни числа.

Тяло се хвърля със скорост v0 под ъгъл $(\mathbf \alpha )$ спрямо хоризонталата. Време на полет $t = 2 s$. До каква височина Hmax ще се издигне тялото?

$$t_B = 2 s$$ $$H_max - ?$$

Законът за движение на тялото има формата:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.$ $

Векторът на началната скорост образува ъгъл $(\mathbf \alpha )$ с оста OX. следователно

\ \ \

Камък се хвърля от върха на планина под ъгъл = 30$()^\circ$ спрямо хоризонта с начална скорост $v_0 = 6 m/s$. Ъгъл на наклонената равнина = 30$()^\circ$. На какво разстояние от мястото на хвърляне ще падне камъкът?

$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$

Нека поставим началото на координатите в точката на хвърляне, OX - по наклонената равнина надолу, OY - перпендикулярно на наклонената равнина нагоре. Кинематични характеристики на движението:

Закон за движение:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(масив) \right.$$ \

Замествайки получената стойност $t_В$, намираме $S$:

Движение на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонталата

Нека разгледаме движението на тяло, хвърлено със скорост V 0, чийто вектор е насочен под ъгъл α към хоризонта, в равнината XOY, поставяйки тялото в момента на хвърляне в началото на координатите, както е показано на фигура 1.

При липса на съпротивителни сили движението на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта, може да се разглежда като частен случай на криволинейно движение под въздействието на гравитацията. Прилагане на 2-ри закон на Нютон

Фигура 1 е насочена нагоре,в случай, че оста OY е насочена надолу, тогава проекцията на вектора

2 a на оста на операционния усилвател ще бъде положителен(като прочетете условията на задачите, сами изберете посоката на осите, ако това не е посочено в условията).

Стойностите на проекциите на вектора на ускорението a върху осите OX и OU дават основание да се направи

следния изход:

∙ тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонталата, участва едновременно в две движения - равномерно хоризонтално и равномерно променливо по протежение

За равномерно променливо движение зависимостите на скоростта и преместването от времето се дават от уравненията:

координати на тялото в момент t.

По време на движението си t (от момента на хвърляне до момента на падане върху същия

ниво) тялото се издига до максималната височина hmax, спуска се от нея и отлита от точката на хвърляне на разстояние L (обхват на полета) - виж Фигура 1.

1) Време за движение на тялото tможе да се намери, като се вземат предвид стойностите на телесните координати Sy в

Замествайки стойностите на Voy и (14) във второто уравнение на системата (13), получаваме

2) Обхват на полета Lможе да се намери, като се вземат предвид стойностите на координатите на тялото Sх в

начален момент от време и в момент t (виж фиг. 1)

Замествайки стойностите на Vox и (17) в първото уравнение на системата (13), получаваме

3) Максимална височина на повдигане hмакс може да се намери предвид стойността

скорост на тялото V в точката на максимално повдигане на тялото

Сравнението на стойностите (16) и (22) дава основание за заключение

· време на движение до височината на максимално повдигане на тялото (tпод ) е равно на времето на слизане на тялото (tп) от тази височина и е равно на половината от времето на цялото движение на тялото от момента на хвърляне до момента на падане на същото ниво

Изследването на движението на тяло, хвърлено със скорост V 0, чийто вектор е насочен под ъгъл α спрямо хоризонталата, в равнината XOY, е много ясно на компютърен модел

„Свободно падане на тела” в колекцията от компютърни модели „Open Physics”

Фирма ФИЗИКОН. В този модел можете да задавате различни начални условия.

Например, случаят, който разгледахме, трябва да бъде специфициран (команда „Изчистване“) с начално условие h = 0 и избрани V0 и α. Командата "Старт" ще демонстрира движението на тялото и ще даде картина на траекторията на движение и посоката на векторите на скоростта на тялото в определени моменти от време.

Фиг.2. Диалогов прозорец на компютърния модел "Свободно падане на тела" в раздела

"Механика"; тяло се движи от началото и пада на същото ниво.

Ако условието на проблема се различава от случая, който разгледахме, тогава е необходимо

за да разрешите проблема, като изберете посоката на осите, поставете тялото в началния момент

време, изобразяват траекторията на тялото до точката на падане, по този начин

чрез определяне на координатите на тялото в началния и крайния момент от времето. Тогава

използвайте уравнения (3), (5), (8) и (9) като основа за решението и обсъдени по-горе

алгоритъм за решаване на проблема.

Нека разгледаме специални случаи.

6 1. Тялото е изхвърлено на скорост V 0 , чийто вектор е насочен под ъгълα към

хоризонт, от височина h и паднал на разстояние L от точката на хвърляне. y към инициала

и стойностите на останалите координати ще бъдат избрани по същия начин, както избрахме.

Фиг.3. Диалогов прозорец на компютърния модел "Свободно падане на тела" в раздела

"Механика"; тялото се движи от точка h = 50m и пада на нулево ниво.

2. Тяло е хвърлено хоризонтално със скорост V 0 от височина h и е паднало на разстояние L от мястото на хвърляне. Разликата от случая, който разгледахме, е, че стойностите на координатите на тялото Sг в началния момент също ще се определя от уравнение (25),

и стойностите на останалите координати ще бъдат избрани по същия начин, както избрахме. Но в този случай началната скорост на тялото в проекция върху оста OU е равна на нула (тъй като α = 0), т.е.

проекциите на вектора на началната скорост върху осите OX и OU са равни

Фиг.4. Диалогов прозорец на компютърния модел "Свободно падане на тела" в раздела

"Механика"; тяло, хвърлено хоризонтално, се движи от точка h = 50m и пада на нулево ниво.