В този урок ще се научим да изчисляваме области на равнинни фигурикоито се наричат криволинейни трапеци .
Примери за такива фигури са на фигурата по-долу.
От една страна, намирането на площта на плоска фигура с помощта на определен интеграл е изключително просто. Говорим за площта на фигура, която е ограничена отгоре от определена крива, отдолу от абсцисната ос ( вол), а отляво и отдясно има няколко прави линии. Простотията е такава определеният интеграл на функцията, на която е дадена кривата, е площта на такава фигура(криволинеен трапец).
За да изчислим площта на фигура, от която се нуждаем:
- Определен интеграл на функцията, определяща кривата , която ограничава извития трапец отгоре. И тук възниква първият важен нюанс: извит трапец може да бъде ограничен от крива не само отгоре, но и отдолу . Как да процедираме в този случай? Просто, но важно да запомните: интегралът в този случай се взема със знак минус .
- Граници на интеграцията аИ b, което намираме от уравненията на линиите, ограничаващи фигурата отляво и отдясно: х = а , х = b, Където аИ b- числа.
Отделно, за още някои нюанси.
Кривата, която ограничава извития трапец отгоре (или отдолу), трябва да бъде графика на непрекъсната и неотрицателна функция г = f(х) .
Стойностите "x" трябва да принадлежат към сегмента [а, b] . Тоест не се вземат предвид линии като разреза на гъба, чието стъбло пасва добре в този сегмент, а шапката е много по-широка.
Страничните сегменти могат да се изродят в точки . Ако видите такава фигура на чертежа, това не трябва да ви обърква, тъй като тази точка винаги има стойност на оста "x". Това означава, че всичко е наред с границите на интеграция.
Сега можете да преминете към формули и изчисления. Така че областта сизвит трапец може да се изчисли с помощта на формулата
Ако f(х) ≤ 0 (графиката на функцията е разположена под оста вол), Че площ на извит трапецможе да се изчисли с помощта на формулата
Има и случаи, когато и горната, и долната граница на фигурата са съответно функции г = f(х) И г = φ (х) , тогава площта на такава фигура се изчислява по формулата
. (3)
Решаване на проблеми заедно
Нека започнем със случаите, когато площта на фигура може да се изчисли по формула (1).
Пример 1.вол) и направо х = 1 , х = 3 .
Решение. защото г = 1/х> 0 на сегмента , тогава площта на криволинейния трапец се намира по формула (1):
.
Пример 2.Намерете площта на фигурата, ограничена от графиката на функцията, линия х= 1 и оста x ( вол ).
Решение. Резултатът от прилагането на формула (1):
Ако тогава с= 1/2; ако тогава с= 1/3 и т.н.
Пример 3.Намерете площта на фигурата, ограничена от графиката на функцията, абсцисната ос ( вол) и направо х = 4 .
Решение. Фигурата, съответстваща на условията на задачата, е криволинеен трапец, в който левият сегмент се е изродил в точка. Границите на интегриране са 0 и 4. Тъй като , използвайки формула (1), намираме площта на криволинейния трапец:
.
Пример 4.Намерете площта на фигурата, ограничени от линии, , и се намира в 1-ви кв.
Решение. За да използваме формула (1), нека си представим площта на фигурата, дадена от условията на примера, като сбор от площите на триъгълника OABи извит трапец ABC. При изчисляване на площта на триъгълник OABграниците на интегриране са абсцисите на точките ОИ А, а за фигурата ABC- абсцисите на точките АИ ° С (Ае пресечната точка на линията О.А.и параболи, и ° С- точката на пресичане на параболата с оста вол). Решавайки съвместно (като система) уравненията на права линия и парабола, получаваме (абсцисата на точката А) и (абсцисата на друга пресечна точка на правата и параболата, която не е необходима за решението). По същия начин получаваме , (абсцисите на точките ° СИ д). Сега имаме всичко необходимо, за да намерим площта на фигура. Намираме:
Пример 5.Намерете площта на извит трапец ACDB, ако уравнението на кривата CDи абсцисите АИ б 1 и 2 съответно.
Решение. Нека изразим това уравнение на кривата чрез играта: Площта на криволинейния трапец се намира с помощта на формула (1):
.
Нека да преминем към случаите, когато площта на фигура може да се изчисли по формула (2).
Пример 6.Намерете площта на фигурата, ограничена от параболата и оста x ( вол ).
Решение. Тази фигура се намира под оста x. Следователно, за да изчислим неговата площ, ще използваме формула (2). Границите на интегриране са абсцисата и точките на пресичане на параболата с оста вол. следователно
Пример 7.Намерете областта, затворена между абсцисната ос ( вол) и две съседни синусоиди.
Решение. Площта на тази фигура може да се намери с помощта на формула (2):
.
Нека намерим всеки термин поотделно:
.
.
Накрая намираме областта:
.
Пример 8.Намерете площта на фигурата, затворена между параболата и кривата.
Решение. Нека изразим уравненията на линиите чрез играта:
Площта съгласно формула (2) се получава като
,
Където аИ b- абсцисите на точките АИ б. Нека ги намерим, като решим заедно уравненията:
Накрая намираме областта:
И накрая, случаите, когато площта на фигура може да се изчисли по формула (3).
Пример 9.Намерете площта на фигурата, затворена между параболите 
И .
Изчисляване на площта на фигура- Това е може би един от най-трудните проблеми в теорията на площите. IN училищна геометриянаучете се да намирате областите на главния геометрични формикато например триъгълник, ромб, правоъгълник, трапец, кръг и др. Често обаче трябва да се занимавате с изчисляване на площите на по-сложни фигури. Именно при решаването на такива задачи е много удобно да се използва интегрално смятане.
Определение.
Криволинеен трапецнаричаме някаква фигура G, ограничена от правите y = f(x), y = 0, x = a и x = b, а функцията f(x) е непрекъсната на сегмента [a; b] и не променя знака си върху него (Фиг. 1).Площта на извит трапец може да се означи с S(G).
Определен интегралʃ a b f(x)dx за функцията f(x), която е непрекъсната и неотрицателна на интервала [a; b], и е площта на съответния извит трапец.
Тоест, за да се намери площта на фигура G, ограничена от линиите y = f(x), y = 0, x = a и x = b, е необходимо да се изчисли определеният интеграл ʃ a b f(x)dx .
По този начин, S(G) = ʃ a b f(x)dx.
Ако функцията y = f(x) не е положителна върху [a; b], тогава площта на извит трапец може да се намери с помощта на формулата S(G) = -ʃ a b f(x)dx.
Пример 1.
Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите y = x 3; y = 1; х = 2.
Решение.
Дадените линии образуват фигурата ABC, която е показана чрез щриховка ориз. 2.
Търсената площ е равна на разликата между площите на извития трапец DACE и квадрата DABE.
Използвайки формулата S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), намираме границите на интегриране. За целта решаваме система от две уравнения:
(y = x 3,
(y = 1.
Така имаме x 1 = 1 – долната граница и x = 2 – горната граница.
И така, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (кв. единици).
Отговор: 11/4 кв. единици
Пример 2.
Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите y = √x; y = 2; х = 9.
Решение.
Дадените прави образуват фигурата ABC, която е ограничена отгоре от графиката на функцията
y = √x, а по-долу има графика на функцията y = 2. Получената фигура е показана чрез щриховка ориз. 3.
Необходимата площ е S = ʃ a b (√x – 2). Нека намерим границите на интегриране: b = 9, за да намерим a, решаваме система от две уравнения:
(y = √x,
(y = 2.
Така имаме, че x = 4 = a – това е долната граница.
И така, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (кв. единици).
Отговор: S = 2 2/3 кв. единици
Пример 3.
Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите y = x 3 – 4x; y = 0; x ≥ 0.
Решение.
Нека начертаем функцията y = x 3 – 4x за x ≥ 0. За да направите това, намерете производната y’:
y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 при x = ±2/√3 ≈ 1,1 – критични точки.
Ако начертаем критичните точки на числовата права и подредим знаците на производната, ще открием, че функцията намалява от нула до 2/√3 и нараства от 2/√3 до плюс безкрайност. Тогава x = 2/√3 е минималната точка, минималната стойност на функцията y min = -16/(3√3) ≈ -3.
Нека определим пресечните точки на графиката с координатните оси:
ако x = 0, тогава y = 0, което означава, че A(0; 0) е пресечната точка с оста Oy;
ако y = 0, тогава x 3 – 4x = 0 или x(x 2 – 4) = 0, или x(x – 2)(x + 2) = 0, откъдето x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (не е подходящо, защото x ≥ 0).
Точките A(0; 0) и B(2; 0) са точките на пресичане на графиката с оста Ox.
Дадените линии образуват фигурата OAB, която е показана чрез щриховка ориз. 4.
Тъй като функцията y = x 3 – 4x приема отрицателна стойност върху (0; 2), тогава
S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.
Имаме: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, откъдето S = 4 кв. единици
Отговор: S = 4 кв. единици
Пример 4.
Намерете площта на фигурата, ограничена от параболата y = 2x 2 – 2x + 1, правите x = 0, y = 0 и допирателната към тази парабола в точката с абсцисата x 0 = 2.
Решение.
Първо, нека създадем уравнение за допирателната към параболата y = 2x 2 – 2x + 1 в точката с абсцисата x₀ = 2.
Тъй като производната y’ = 4x – 2, тогава за x 0 = 2 получаваме k = y’(2) = 6.
Нека намерим ординатата на допирателната точка: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.
Следователно уравнението на допирателната има формата: y – 5 = 6(x – 2) или y = 6x – 7.
Нека изградим фигура, ограничена от линии:
y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x – 7.
Г у = 2х 2 – 2х + 1 – парабола. Пресечни точки с координатните оси: A(0; 1) – с оста Oy; с оста Ох - няма пресечни точки, т.к уравнението 2x 2 – 2x + 1 = 0 няма решения (D< 0). Найдем вершину параболы:
x b = 2/4 = 1/2;
y b = 1/2, тоест върхът на точката на параболата B има координати B(1/2; 1/2).
И така, фигурата, чиято площ трябва да се определи, е показана чрез щрихиране ориз. 5.
Имаме: S O A B D = S OABC – S ADBC.
Нека намерим координатите на точка D от условието:
6x – 7 = 0, т.е. x = 7/6, което означава DC = 2 – 7/6 = 5/6.
Намираме площта на триъгълника DBC по формулата S ADBC = 1/2 · DC · BC. По този начин,
S ADBC = 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 кв. единици
S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (кв. единици).
Накрая получаваме: S O A B D = S OABC – S ADBC = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (кв. единици).
Отговор: S = 1 1/4 кв. единици
Разгледахме примери намиране на площите на фигури, ограничени от дадени прави. За да разрешите успешно такива задачи, трябва да можете да конструирате прави и графики на функции в равнина, да намирате точките на пресичане на прави, да прилагате формула за намиране на областта, което предполага способността да изчислявате определени интеграли.
уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.
В тази статия ще научите как да намерите площта на фигура, ограничена от линии, като използвате интегрални изчисления. За първи път се сблъскваме с формулирането на такъв проблем в гимназията, когато току-що сме завършили изучаването на определени интеграли и е време да започнем геометрична интерпретацияпридобити знания на практика.
И така, какво е необходимо за успешно решаване на проблема с намирането на площта на фигура с помощта на интеграли:
- Способност да прави компетентни чертежи;
- Способност за решаване на определен интеграл с помощта известна формулаНютон-Лайбниц;
- Способността да „видите“ по-изгодна опция за решение - т.е. разберете как ще бъде по-удобно да се извърши интеграция в един или друг случай? По оста x (OX) или по оста y (OY)?
- Е, къде щяхме да бъдем без правилни изчисления?) Това включва разбиране как да се решава този друг тип интеграли и правилни числени изчисления.
Алгоритъм за решаване на проблема за изчисляване на площта на фигура, ограничена от линии:
1. Изграждаме чертеж. Препоръчително е да направите това на кариран лист хартия, в голям мащаб. Подписваме името на тази функция с молив над всяка графика. Подписването на графиките се извършва единствено за удобство на по-нататъшни изчисления. След като получите графика на желаната фигура, в повечето случаи веднага ще стане ясно кои граници на интегриране ще се използват. Така решаваме задачата графично. Случва се обаче стойностите на границите да са дробни или ирационални. Следователно можете да направите допълнителни изчисления, преминете към втора стъпка.
2. Ако границите на интегриране не са изрично посочени, тогава намираме точките на пресичане на графиките една с друга и виждаме дали нашето графично решение съвпада с аналитичното.
3. След това трябва да анализирате чертежа. В зависимост от това как са подредени графиките на функциите, има различни подходи за намиране на площта на фигура. Нека помислим различни примериза намиране на площта на фигура с помощта на интеграли.
3.1. Най-класическата и най-проста версия на проблема е, когато трябва да намерите площта на извит трапец. Какво е извит трапец? Това е плоска фигура, ограничена от оста x (y = 0), направо x = a, x = bи всяка крива, непрекъсната на интервала от апреди b. Освен това тази цифра е неотрицателна и не се намира под оста x. В този случай площта на криволинейния трапец е числено равна на определен интеграл, изчислен по формулата на Нютон-Лайбниц:
Пример 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
С какви линии е ограничена фигурата? Имаме парабола y = x2 – 3x + 3, който се намира над ос ОХ, то е неотрицателно, защото всички точки на тази парабола имат положителни стойности. На следващо място, дадени прави линии х = 1И х = 3, които вървят успоредно на оста OU, са граничните линии на фигурата отляво и отдясно. добре y = 0, това е и оста x, която ограничава фигурата отдолу. Получената фигура е защрихована, както се вижда от фигурата вляво. IN в такъв случай, можете веднага да започнете да решавате проблема. Пред нас е прост пример за извит трапец, който след това решаваме с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц.
3.2. В предишния параграф 3.1 разгледахме случая, когато извит трапец е разположен над оста x. Сега разгледайте случая, когато условията на проблема са същите, с изключение на това, че функцията лежи под оста x. Към стандартната формула на Нютон-Лайбниц се добавя минус. Ще разгледаме как да разрешим такъв проблем по-долу.
Пример 2 . Изчислете площта на фигура, ограничена от линии y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
В този пример имаме парабола y = x2 + 6x + 2, която произхожда от ос ОХ, направо x = -4, x = -1, y = 0. Тук y = 0ограничава желаната фигура отгоре. Директен х = -4И х = -1това са границите, в които ще бъде изчислен определеният интеграл. Принципът на решаване на проблема за намиране на площта на фигура почти напълно съвпада с пример номер 1. Единствената разлика е, че дадена функцияне е положителен и все още непрекъснат в интервала [-4; -1] . Какво имаш предвид не положително? Както може да се види от фигурата, фигурата, която се намира в рамките на дадените x, има изключително „отрицателни“ координати, което трябва да видим и запомним, когато решаваме задачата. Търсим площта на фигурата, използвайки формулата на Нютон-Лайбниц, само със знак минус в началото.
Статията не е завършена.
Изчислете площта на фигура, ограничена от линии.
Решение.
Намиране на пресечни точки дадени линии. За целта решаваме системата от уравнения:
За да намерим абсцисата на пресечните точки на дадени прави, решаваме уравнението:
Намираме: х 1 = -2, х 2 = 4.
И така, тези прави, които са парабола и права линия, се пресичат в точки А(-2; 0), б(4; 6).
Тези линии образуват затворена фигура, чиято площ се изчислява по горната формула:
Използвайки формулата на Нютон-Лайбниц намираме:
Намерете областта на областта, ограничена от елипсата.
Решение.
От уравнението на елипсата за първия квадрант имаме. От тук, използвайки формулата, получаваме
Нека приложим заместване х = агрях T, dx = а cos T дт. Нови граници на интеграция T = α И T = β се определят от уравненията 0 = агрях T, а = агрях T. Може да се постави α = 0 и β = π /2.
Намерете една четвърт от необходимата площ
Оттук С = πab.
Намерете площта на фигура, ограничена от линииг = - х 2 + х + 4 иг = - х + 1.
Решение.
Нека намерим пресечните точки на правите г = -х 2 + х + 4, г = -х+ 1, приравнявайки ординатите на линиите: - х 2 + х + 4 = -х+ 1 или х 2 - 2х- 3 = 0. Намиране на корените х 1 = -1, х 2 = 3 и съответните им ординати г 1 = 2, г 2 = -2.
Използвайки формулата за площта на фигура, получаваме
Определете площта, оградена от параболаг = х 2 + 1 и правх + г = 3.
Решение.
Решаване на система от уравнения
намерете абсцисата на пресечните точки х 1 = -2 и х 2 = 1.
Вярвайки г 2 = 3 - хИ г 1 = х 2 + 1, въз основа на формулата, която получаваме
Изчислете площта, съдържаща се в лемниската на Бернулиr 2 = а 2 cos 2 φ .
Решение.
В полярната координатна система, площта на фигура, ограничена от дъгата на крива r = f(φ ) и два полярни радиуса φ 1 = ʅ И φ 2 = ʆ , ще се изрази чрез интеграла
Поради симетрията на кривата, първо определяме една четвърт от необходимата площ
Следователно цялата площ е равна на С = а 2 .
Изчислете дължината на дъгата на астроидах 2/3 + г 2/3 = а 2/3 .
Решение.
Нека напишем уравнението на астроида във формата
(х 1/3) 2 + (г 1/3) 2 = (а 1/3) 2 .
Да сложим х 1/3 = а 1/3 cos T, г 1/3 = а 1/3 грях T.
От тук получаваме параметричните уравнения на астроида
х = азащото 3 T, г = агрях 3 T, (*)
където 0 ≤ T ≤ 2π .
Поради симетрията на кривата (*) е достатъчно да се намери една четвърт от дължината на дъгата Л, съответстващ на промяната на параметъра Tот 0 до π /2.
Получаваме
dx = -3азащото 2 Tгрях t dt, dy = 3агрях 2 T cos t dt.
От тук намираме
Интегриране на получения израз от 0 до π /2, получаваме
Оттук Л = 6а.
Намерете областта, оградена от спиралата на Архимедr = aφ и два радиус вектора, които съответстват на полярните ъглиφ 1 Иφ 2 (φ 1 < φ 2 ).
Решение.
Площ, оградена от крива r = f(φ ) се изчислява по формулата, където α И β - граници на промяна на полярния ъгъл.
Така получаваме
(*)
От (*) следва, че площта, ограничена от полярната ос и първия завой на спиралата на Архимед ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):
По същия начин намираме областта, ограничена от полярната ос и втория завой на спиралата на Архимед ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):
Търсената площ е равна на разликата на тези площи
Да се изчисли обемът на тяло, получено при въртене около освол фигури, ограничени с параболиг = х 2 Их = г 2 .
Решение.
Нека решим системата от уравнения
и получаваме х 1 = 0, х 2 = 1, г 1 = 0, г 2 = 1, откъдето пресечните точки на кривите О(0; 0), б(единадесет). Както може да се види на фигурата, необходимият обем на въртеливо тяло е равен на разликата между два обема, образувани от въртене около ос волкриволинейни трапеци O.C.B.A.И ОДБА:
Изчислете площта, оградена от освол и синусоидаг = гряхх на отсечки: а) ; б) .
Решение.
а) На отсечка грях функция хзапазва знака и следователно според формулата, приемайки г= грях х, намираме
б) На сегмента функция sin хсменя знака. За правилното решаване на задачата е необходимо отсечката да се раздели на две и [ π , 2π ], във всяка от които функцията запазва своя знак.
Според правилото на знаците, на сегмента [ π , 2π ] площта е взета със знак минус.
В резултат на това необходимата площ е равна на
Определете обема на тяло, ограничено от повърхност, получена от въртенето на елипсаоколо голямата оса .
Решение.
Като се има предвид, че елипсата е симетрична спрямо координатните оси, достатъчно е да се намери обемът, образуван от въртене около оста вол■ площ OAB, равно на една четвърт от площта на елипсата, и удвоете резултата.
Нека обозначим обема на въртеливото тяло с V х; тогава въз основа на формулата имаме , където 0 и а- абсцисите на точките бИ А. От уравнението на елипсата намираме . Оттук
Така необходимият обем е равен на . (Когато елипсата се върти около малката ос b, обемът на тялото е равен на )
Намерете областта, ограничена от параболиг 2 = 2 px Их 2 = 2 py .
Решение.
Първо намираме координатите на точките на пресичане на параболите, за да определим сегмента на интегриране. Преобразувайки оригиналните уравнения, получаваме и . Приравнявайки тези стойности, получаваме или х 4 - 8стр 3 х = 0.
х 4 - 8стр 3 х = х(х 3 - 8стр 3) = х(х - 2стр)(х 2 + 2px + 4стр 2) = 0.
Намиране на корените на уравненията:
Имайки предвид факта, че точката Апресичането на параболите е в първата четвърт, след това границите на интегриране х= 0 и х = 2стр.
Намираме необходимата площ с помощта на формулата
Това е училищен проблем, но въпреки факта, че почти 100% от него ще бъде открит във вашия курс по висша математика. Ето защо съвсем сериознонека разгледаме ВСИЧКИ примери и първото нещо, което трябва да направите, е да се запознаете с тях Приложение Функционални графики да освежите техниката за конструиране на елементарни графики. …Яжте? Страхотен! Типично изявление за присвояване звучи така:
Пример 10
.
И първият най-важен етап решениясе състои именно в конструиране на чертеж. Все пак препоръчвам следния ред: първопо-добре е да изградите всичко прав(ако съществуват) и само Тогава – параболи, хиперболи, графики на други функции.
В нашата задача: правопределя оста, правуспоредна на оста и параболасиметрично спрямо оста, намираме няколко референтни точки за нея: 
Желаната фигура е препоръчително да се излюпи: 
Втора фазае да композирайте правилноИ изчислете правилноопределен интеграл. На сегмента е разположена графиката на функцията над оста, така че необходимата площ е:
Отговор:
След като задачата е изпълнена, е полезно да разгледате чертежа
и разберете дали отговорът е реалистичен.
И ние „на око“ броим броя на сенчестите клетки - добре, ще има около 9, изглежда е вярно. Абсолютно ясно е, че ако имаме, да речем, 20 квадратни единици, тогава очевидно е допусната грешка някъде - 20 клетки очевидно не се вписват в построената фигура, най-много дузина. Ако отговорът е отрицателен, значи и задачата е решена неправилно.
Пример 11
Изчислете площта на фигура, ограничена от линии 
и ос
Нека бързо да загреем (задължително!) и да разгледаме „огледалната“ ситуация - когато се намира извитият трапец под оста:
Пример 12
Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии и координатни оси.
Решение: нека намерим няколко референтни точки за конструиране на експонента:
и завършете чертежа, като получите фигура с площ от около две клетки: 
Ако се намира извит трапец не по-високаос, тогава неговата площ може да се намери с помощта на формулата: .
В такъв случай: 
Отговор: – Е, това е много, много подобно на истината.
На практика най-често фигурата се намира както в горната, така и в долната полуравнина и затова преминаваме от най-простите училищни задачи към по-смислени примери:
Пример 13
Намерете площта на равнинна фигура, ограничена от линиите , .
Решение: първо трябва да завършим чертежа и се интересуваме особено от пресечните точки на параболата и правата линия, тъй като тук ще бъде граници на интеграция. Има два начина да ги намерите. Първият метод е аналитичен. Нека съставим и решим уравнението:
По този начин:
Достойнствоаналитичният метод се състои в негов точност, А недостатък- В продължителност(и в този пример дори имахме късмет). Следователно в много задачи е по-изгодно да се конструират линии точка по точка и границите на интеграцията стават ясни „от само себе си“.
Всичко е ясно с права линия, но за да се изгради парабола е удобно да се намери нейният връх, за това вземаме производната и я приравняваме към нула:
– именно в тази точка ще се намира върхът. И поради симетрията на параболата, ще намерим останалите референтни точки, използвайки принципа „ляво-дясно“: 
Да направим чертежа: 
А сега работната формула:ако на сегмента има такива непрекъснатофункция по-голямо или равно на непрекъснатофункции, тогава площта на фигурата, ограничена от графиките на тези функции и линейни сегменти, може да се намери с помощта на формулата: 
Тук вече не е нужно да мислите къде се намира фигурата - над оста или под оста, но, грубо казано, важното е коя от двете графики е ПО-ВИСОКА.
В нашия пример е очевидно, че на сегмента параболата е разположена над правата линия и следователно е необходимо да се извади от
Завършеното решение може да изглежда така:
На отсечката: , съгласно съответната формула:
Отговор:
Трябва да се отбележи, че простите формули, обсъдени в началото на параграфа, са специални случаи на формулата 
. Тъй като оста е дадена от уравнението, една от функциите ще бъде нула и в зависимост от това дали криволинейният трапец лежи отгоре или отдолу, получаваме формулата или
А сега двойка типични задачиЗа независимо решение
Пример 14
Намерете площта на фигурите, ограничени от линиите:
Решение с рисунки и кратки коментари в края на книгата
В хода на решаването на разглеждания проблем понякога се случва забавна случка. Чертежът е изпълнен правилно, интегралът е решен правилно, но поради невнимание... беше намерена зоната на грешната фигура, точно така вашият смирен слуга беше сбъркан няколко пъти. Тук истински случайот живота:
Пример 15
Изчислете площта на фигура, ограничена от линии 
Решение: нека направим проста рисунка, 
чийто номер е в това необходимата област е оцветена в зелено(погледнете внимателно състоянието - колко е ограничена фигурата!). Но на практика, поради невнимание, често възниква „бъг“, че трябва да намерите областта на фигура, която е засенчена сиво! Специален трик е, че правата линия може да бъде изтеглена под оста и тогава изобщо няма да видим желаната фигура.
Този пример също е полезен, защото изчислява площта на фигура с помощта на два определени интеграла. Наистина ли:
1) върху сегмента над оста има графика на права линия;
2) върху сегмента над оста има графика на хипербола.
Абсолютно ясно е, че областите могат (и трябва) да се добавят: 
Отговор:
И един образователен пример, за да решите сами:
Пример 16
Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите , , и координатните оси.
И така, нека систематизираме важните точки на тази задача:
На първата стъпкаВНИМАТЕЛНО проучваме условието - КАКВИ функции са ни дадени? Грешки се случват дори тук, по-специално ковчег котангенсът често се бърка с арктангенс. Това, между другото, важи и за други задачи, където се среща аркотангенс.
По-нататъкчертежът трябва да бъде попълнен ПРАВИЛНО. По-добре е първо да се изгради прав(ако съществуват), след това графики на други функции (ако съществуват J). Последните в много случаи са по-изгодни за изграждане точка по точка– намерете няколко опорни точки и внимателно ги свържете с линия.
Но тук могат да ви чакат следните трудности. Първо, не винаги е ясно от чертежа граници на интеграция- това се случва, когато са дробни. На mathprofi.ru в съответната статияРазгледах пример с парабола и права, където една от пресечните им точки не се вижда ясно от чертежа. В такива случаи трябва да използвате аналитичния метод, ние създаваме уравнението:
и намерете корените му:
– долна граница на интеграция, – горен лимит.
След като чертежът е завършен, анализираме получената фигура - още веднъж разглеждаме предложените функции и проверяваме отново дали това е правилната фигура. След това анализираме формата и местоположението му, случва се зоната да е доста сложна и тогава трябва да се раздели на две или дори три части.
Съставете определен интегралили няколко интеграла по формулата 
, обсъдихме всички основни варианти по-горе.
Решаване на определен интеграл(с). Може обаче да се окаже доста сложно и тогава използваме алгоритъм стъпка по стъпка: 1) намираме антипроизводното и го проверяваме чрез диференциране, 2) Използваме формулата на Нютон-Лайбниц.
Полезно е да проверите резултатакато се използва софтуер/ онлайн услуги или просто „оценете“ според чертежа според клетките. Но и двете не винаги са осъществими, затова сме изключително внимателни към всеки етап от решението!
Пълната и последна версия на този курс в pdf формат,
както и курсове по други теми могат да бъдат намерени.
Вие също можете - просто, достъпно, забавно и безплатно!
С най-добри пожелания, Александър Емелин
