Енциклопедичен YouTube

1 / 1

✪ Векторна норма. част 4.

субтитри

Определение

Нека K е основното поле (обикновено К = Р или К = В ) и е линейното пространство на всички матрици с m реда и n колони, състоящи се от елементи K. Дадена е норма на пространството на матриците, ако всяка матрица е свързана с неотрицателно реално число ‖ A ‖ (\displaystyle \|A\|), наречена негова норма, така че

В случай на квадратни матрици (т.е. м = п), матриците могат да се умножават без да напускат пространството и следователно нормите в тези пространства обикновено също удовлетворяват свойството субмултипликативност :

Субмултипликативността може да бъде изпълнена и за нормите на неквадратни матрици, но дефинирани за няколко необходими размера наведнъж. А именно, ако A е матрица ℓ  ×  м, а B е матрицата м ×  п, Това А Б- матрица ℓ  ×  п .

Операторски норми

Важен клас матрични норми са операторски стандарти, наричан още подчинени или предизвикани . Операторната норма е уникално конструирана с помощта на две норми, дефинирани в и въз основа на факта, че всяка матрица м ×  ппредставена от линеен оператор от K n (\displaystyle K^(n)) V K m (\displaystyle K^(m)). по-конкретно,

(\displaystyle (\begin(aligned)\|A\|&=\sup\(\|Ax\|:x\in K^(n),\ \|x\|=1\)\\&=\ sup \left\((\frac (\|Ax\|)(\|x\|)):x\in K^(n),\ x\neq 0\right\).\end(подравнено)))

При условие, че нормите са определени последователно върху векторни пространства, такава норма е субмултипликативна (виж).

Примери за операторски норми

1. Свойства на спектралната норма:
2. Спектралната норма на оператор е равна на максималната сингулярна стойност на този оператор.
3. Спектралната норма на нормален оператор е равна на абсолютната стойност на максималната модулна собствена стойност на този оператор.

Спектралната норма не се променя, когато матрицата се умножи по ортогонална (унитарна) матрица.

Неоператорни норми на матрици

Има матрични норми, които не са операторски норми. Концепцията за неоператорни норми на матриците е въведена от Ю. И. Любич и изследвана от Г. Р. Белицки.

Пример за неоператорска норма Например, разгледайте две различни операторски норми‖ A ‖ 1 (\displaystyle \|A\|_(1)) И‖ A ‖ 2 (\displaystyle \|A\|_(2)) ‖ A ‖ = m a x (‖ A ‖ 1 , ‖ A ‖ 2) (\displaystyle \|A\|=max(\|A\|_(1),\|A\|_(2))). Новата норма има кръгово свойство ‖ A B ‖ ≤ ‖ A ‖ ‖ B ‖ (\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\|B\|), запазва единството ‖ I ‖ = 1 (\displaystyle \|I\|=1)и не е оператор.

Примери за стандарти

вектор p (\displaystyle p)-норма

Може да се счита m × n (\displaystyle m\times n)матрица като вектор на размера m n (\displaystyle mn)и използвайте стандартни векторни норми:

Норма на Фробениус

Норма на Фробениус, или Евклидова нормапредставлява частен случай на р-нормата за стр = 2 : ‖ A ‖ F = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i j 2 (\displaystyle \|A\|_(F)=(\sqrt (\sum _(i=1)^(m)\sum _(j) =1)^(n)a_(ij)^(2)))).

Нормата на Фробениус е лесна за изчисляване (в сравнение например със спектралната норма). Има следните свойства:

• ∑ j = 1 n a i j x j |: 2 ≤ ∑ i = 1 m (∑ j = 1 n | a i j | 2 ∑ j = 1 n | x j | 2) = ∑ j = 1 n | x j | 2 ‖ A ‖ F 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ x ‖ 2 2 ..
• (\displaystyle \|Ax\|_(2)^(2)=\sum _(i=1)^(m)\left|\sum _(j=1)^(n)a_(ij)x_( j)\right|^(2)\leq \sum _(i=1)^(m)\left(\sum _(j=1)^(n)|a_(ij)|^(2)\sum _(j=1)^(n)|x_(j)|^(2)\right)=\сума _(j=1)^(n)|x_(j)|^(2)\|A\ |_(F)^(2)=\|A\|_(F)^(2)\|x\|_(2)^(2).)Субмултипликативност ‖ A B ‖ F ≤ ‖ A ‖ F ‖ B ‖ F (\displaystyle \|AB\|_(F)\leq \|A\|_(F)\|B\|_(F)), защото ‖ A B ‖ F 2 = ∑ i, j |, ∑ k a i k b k j |- Ермитова спрегната матрица.
• ‖ A ‖ F 2 = ρ 1 2 + ρ 2 2 + ⋯ + ρ n 2 (\displaystyle \|A\|_(F)^(2)=\rho _(1)^(2)+\rho _ (2)^(2)+\точки +\rho _(n)^(2))Субмултипликативност ρ 1 , ρ 2 , … , ρ n (\displaystyle \rho _(1),\rho _(2),\dots ,\rho _(n))- сингулярни числа на матрицата ‖ A B ‖ F 2 = ∑ i, j |.
• ‖ A ‖ F (\displaystyle \|A\|_(F))не се променя, когато матрицата се умножава ‖ A B ‖ F 2 = ∑ i, j |наляво или надясно в ортогонални (унитарни) матрици.

Максимален модул

Нормата за максимален модул е ​​друг специален случай на p-нормата за стр = ∞ .

(\displaystyle \|A\|_(\text(max))=\max\(|a_(ij)|\).)

Норма Шатен

Съгласуваност на матрични и векторни норми Матрична норма‖ ⋅ ‖ a b (\displaystyle \|\cdot \|_(ab)) на K m × n (\displaystyle K^(m\пъти n)) нареченсъгласувано със стандарти‖ ⋅ ‖ a b (\displaystyle \|\cdot \|_(ab)) K n (\displaystyle K^(n))‖ A ‖ 1 (\displaystyle \|A\|_(1)) ‖ ⋅ ‖ a (\displaystyle \|\cdot \|_(a))‖ ⋅ ‖ a b (\displaystyle \|\cdot \|_(ab)) K m (\displaystyle K^(m))‖ ⋅ ‖ b (\displaystyle \|\cdot \|_(b))

‖ A x ‖ b ≤ ‖ A ‖ a b ‖ x ‖ a (\displaystyle \|Ax\|_(b)\leq \|A\|_(ab)\|x\|_(a)) за всякакви A ∈ K m × n, x ∈ K n (\displaystyle A\in K^(m\times n),x\in K^(n))

. Операторната норма по конструкция е в съответствие с оригиналната векторна норма.

Примери за координирани, но неподчинени матрични норми:

Еквивалентност на стандартите наВсички норми в космоса еквивалент, тоест за всеки две норми‖ A ‖ 1 (\displaystyle \|A\|_(1)) ‖ .‖ α (\displaystyle \|.\|_(\alpha )) ‖ .‖ β (\displaystyle \|.\|_(\beta ))

и за всяка матрица A ∈ K m × n (\displaystyle A\in K^(m\умножено по n))

двойното неравенство е вярно.

Матрична норма

Нека наречем реалното число, присвоено на тази матрица ||A|| такова, което като реално число е свързано с всяка матрица от n-мерното пространство и удовлетворява 4 аксиоми:

1. ||A||³0 и ||A||=0, само ако A е нулева матрица;

2. ||αA||=|α|·||A||, където a R; 3. ||A+B||£||A||+||B||; 4. ||A·B||£||A||·||B||. (свойство мултипликативност)

Нормата на матриците може да бъде въведена по различни начини. Матрица А може да се разглежда като

n 2 -

размерен вектор.

Тази норма се нарича евклидова норма на матрицата.

Тази матрична норма е подчинена на дадена векторна норма. Съществуването на максимум в този израз следва от непрекъснатостта на нормата, тъй като винаги съществува вектор x -> ||x||=1 и ||Ax||=||A||.

Нека покажем, че нормата N(A) не се подчинява на никаква векторна норма. Матричните норми, подчинени на въведените по-рано векторни норми, се изразяват по следния начин:

1. ||A|| ¥ = |a ij | (норма-максимум)

2. ||A|| 1 = |a ij | (нормална сума)

3. ||A|| 2 = , (спектрална норма)

където s 1 е най-голямата собствена стойност на симетричната матрица A¢A, която е продукт на транспонираната и оригиналната матрици. Тъй като матрицата A¢A е симетрична, тогава всички нейни собствени стойности са реални и положителни. Числото l е собствена стойност, а ненулев вектор x е собствен вектор на матрица A (ако са свързани помежду си с връзката Ax=lx). Ако самата матрица A е симетрична, A¢ = A, тогава A¢A = A 2 и след това s 1 = , където е най-голямата абсолютна собствена стойност на матрицата A. Следователно в този случай имаме = .

Собствените стойности на матрица не надвишават нито една от нейните последователни норми. Нормализирайки връзката, която определя собствените стойности, получаваме ||λx||=|||Ax||, |λ|·||x||=||Ax||£||A||·||x||, |λ|. £||A||

Тъй като ||A|| 2 £||A|| e, където евклидовата норма се изчислява просто, в оценките, вместо спектралната норма, можете да използвате евклидовата норма на матрицата.

30. Обусловеност на системи уравнения. Коефициент на условност .

Степен на кондициониране- влияние на решението върху изходните данни. Ax = b: вектор bсъответства на решението х. Нека bще се промени по стойност. След това векторът b+новото решение ще съответства x+ : A(x+ ) = b+. Тъй като системата е линейна, тогава Брадва+А = b+, Тогава А = ; = ; = ; b = брадва; = тогава ; * , където е относителната грешка на смущението на разтвора, – кондициониращ факторусловие (A) (колко пъти може да се увеличи грешката на решението), – относително смущение на вектора b. условие (A) = ; cond(A)*Свойства на коефициента: зависи от избора на матрична норма; условие ( = cond(A); умножаването на матрица по число не влияе на коефициента на кондициониране. Колкото по-голям е коефициентът, толкова по-силно грешката в изходните данни влияе върху решението на SLAE. Номерът на условието не може да бъде по-малък от 1.

31. Методът на почистване за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения.

Често има нужда от решаване на системи, чиито матрици, като са слабо запълнени, т.е. съдържащ много ненулеви елементи. Матриците на такива системи обикновено имат определена структура, сред които се разграничават системи с матрици на лентова структура, т.е. в тях ненулевите елементи са разположени на главния диагонал и на няколко второстепенни диагонала. За решаване на системи с лентови матрици методът на Гаус може да се трансформира в по-ефективни методи. Нека разгледаме най-простия случай на лентови системи, към който, както ще видим по-късно, се свежда решението на проблемите на дискретизацията на гранични задачи за диференциални уравнения чрез методите на крайните разлики, крайните елементи и т.н. Тридиагонал матрица е матрица, в която ненулевите елементи са разположени само на главния диагонал и в съседство с него:

Трите диагонални матрици имат общо (3n-2) ненулеви елемента.

Нека преназначим коефициентите на матрицата:

Тогава в нотация по компоненти системата може да бъде представена като:

A i * x i-1 + b i * x i + c i * x i+1 = d i , i=1, 2,…, n; (7)

a 1 =0, c n =0. (8)

Структурата на системата предполага връзка само между съседни неизвестни:

x i =x i * x i +1 +h i (9)

x i -1 =x i -1* x i + h i -1 и заместваме в (7):

A i (x i-1* x i + h i-1)+ b i * x i + c i * x i+1 = d i

(a i * x i-1 + b i)x i = –c i * x i+1 +d i –a i * h i-1

Сравнявайки получения израз с представяне (7), получаваме:

Формули (10) представляват рекурентни отношения за изчисляване на коефициентите на изместване. Те изискват задаване на начални стойности. В съответствие с първото условие (8) за i =1 имаме 1 =0, което означава

След това се изчисляват и записват останалите коефициенти на движение по формули (10) за i=2,3,...,n, а за i=n, ​​отчитайки второто условие (8), получаваме x n =0. Следователно, в съответствие с формула (9) x n = h n.

След това по формула (9) последователно се намират неизвестните x n -1, x n -2, ..., x 1. Този етап от изчислението се нарича ход назад, докато изчисляването на коефициентите на движение се нарича ход напред.

За успешното прилагане на метода на почистване е необходимо по време на изчисленията да няма ситуации с деление на нула, а при голяма размерност на системите да няма бързо нарастване на грешките при закръгляване. Нека го наречем бягане правилно, ако знаменателят на текущите коефициенти (10) не е равен на нула, и устойчиви, ако ½x i ½<1 при всех i=1,2,…, n. Достаточные условия корректности и устойчивости прогонки, которые во многих приложениях выполняются, определяются теоремой.

Теорема. Нека коефициентите a i и c i на уравнение (7) за i=2,3,..., n-1 са различни от нула и нека

½b i ½>½a i ½+½c i ½ за i=1, 2,..., n. (11)

Тогава размахът, определен с формули (10), (9), е правилен и стабилен.

Проблемът със собствените стойности е дефиниран само за квадратни матрици. В икономическата практика често се налага да се оценяват не само квадратни матрици. За такава оценка може да се използва универсалната концепция за норма, която е валидна за матрици от всякаква размерност.

Нормата на произволна матрица A е реално число, което отговаря на редица условия, най-важните от които са:

1.
, и
само в случай на напълно нулева матрица А.

2.
, Къде
.

До известна степен нормата
може образно да се представи като индикатор за „дебелината“ или „мощността“ на матрицата А.

Нормата се нарича канонична , Ако

, т.е. то не е по-малко по модул от който и да е елемент на матрицата А. При избора на норма е възможно да се използват голямо разнообразие от съображения, които не противоречат на определението. На практика обаче следните канонични норми обикновено са достатъчни:

1. м -норма
– всички се сумират по модул линии матрици А

2. л -норма
– всички се сумират по модул колони матрици Аа максималната получена сума се обявява за норма.

3. к -норма
=
– сумират се квадратите на всички елементи на матрицата Аи коренът на тази сума се обявява за норма.

Вектори Основни определения и понятия

Специалният случай на матрица, състояща се от една колона, има широко самостоятелно приложение. Геометричният образ на вектор чрез насочен сегмент, познат от училищния курс, може да се определи като набор от проекции на векторен сегмент, написан под формата на колонна матрица. Тогава имаме концепцията безплатен вектор , независимо от точката на приложение, която може да бъде или в началото ( радиус вектор ), и във всяка точка на пространството. Посоката на вектора винаги се запазва стриктно. За двуизмерния случай: = или = ; = или = . За общоприетост всички проекции се обозначават допълнително с Xи се наричат координати вектор. Ако някаква проекция Xе отрицателна, тогава се изчертава в обратна посока на съответната координатна ос.

Векторите изглеждат абсолютно еднакви = в тримерна координатна система - добавя се координата z. Но вектори с измерение повече от три не могат да бъдат визуално представени - те могат да бъдат разбрани само по аналогия. Обща дефиниция: вектор п V п-мерното пространство е подредено множество координати п.

= , чийто брой е равен на размерността на пространството, т.е. Дължина на вектора се определя по формулата=
d

. Всички операции с вектори са същите като с матриците. Нека помислим линейна комбинация три вектора: k три вектора: k .

+k три вектора: k три вектора: k Ако равенството k =0 е възможно само с k=k =k ,=0, след това векторите И линейно независими . В противен случай поне един от векторите може да бъде изразен като сбор от другите два и векторите ще бъдат линейно зависими . Например, когато k 0 може да се напише: =(-к -к ).

Максималният възможен брой линейно независими вектори е размери пространство. И така, за равнина са възможни само два такива вектора, за права линия - един. За п-мерно пространство, на което е равен броят на векторите п.

Нека има вектори на равнината , И . Нека покажем, че те са линейно зависими. Нека направим линейна комбинация от тях: k +k +k = 0 и преминете към алгебричната форма:

.

Така, като поставим k=1, имаме: -+=0 или =+, т.е. третият вектор не е независим и се изразява като сбор от другите два или разлага се по други два вектора. Нека разгледаме първите два вектора по-подробно: =А =А=0, след това векторите =b=b. Тогава =с+се определя по формулата- много компактен запис чрез единични вектори (или единични вектори ). Нека покажем, че единичните вектори са линейно независими: k+ k= k три вектора: k =0 или
, където k=k = 0.

защото сИ се определя по формулатаса произволни, тогава очевидно всеки вектор в равнината може да бъде представен чрез комбинация от два единични вектора и. Това се нарича разширение на единичен вектор основа или по-точно от ортонормална , защото дължината на всеки единичен вектор е равна на 1. Разбира се, човек може да разшири не в единични вектори, а във всеки два линейно независими вектора (като цяло основа ), например, =0, след това векторите , но разширяването с помощта на единични вектори е едновременно просто и общо.

Всички понятия, въведени по-горе, са валидни за пространство от всяко измерение. IN п-измерно пространство винаги има плинейно независими единични вектори =,=,...,=, така че всеки вектор може да бъде разширен в ортонормална база:= А 1 + А 2 +...+а п . Разлагането на векторите в базис от линейно независими вектори винаги е уникално във всеки приет базис.

» Урок 12. Ранг на матрицата. Изчисляване на ранга на матрица. Норма на матриците

Урок #12. Ранг на матрицата. Изчисляване на ранга на матрица. Норма на матриците.

Ако всички минори на матрицатаАпоръчкакса равни на нула, тогава всички минори от ред k+1, ако съществуват, също са равни на нула.
Ранг на матрицата А се нарича най-големият от второстепенните разряди на матрицата А , различен от нула.
Максималният ранг може да бъде равен на минималния брой на броя редове или колони на матрицата, т.е. ако матрицата е с размер 4x5, тогава максималният ранг ще бъде 4.
Минималният ранг на матрица е 1, освен ако не работите с нулева матрица, където рангът винаги е нула.

Рангът на неособена квадратна матрица от порядък n е равен на n, тъй като нейният детерминант е минор от порядък n и е различен от нула за неособена матрица.
Когато една матрица се транспонира, нейният ранг не се променя.

Нека рангът на матрицата е . Тогава всеки минор от порядък, различен от нула, се извиква основен минор.
Пример.Дадена е матрица А.

Детерминантата на матрицата е нула.
Минор от втори ред . Следователно r(A)=2 и минорът е основен.
Основният минор е и минор .
второстепенен , защото =0, така че няма да е основно.
Упражнение: независимо проверете кои други незначителни от втори ред ще бъдат основни и кои не.

Намирането на ранга на матрица чрез изчисляване на всички нейни минори изисква твърде много изчислителна работа. (Читателят може да провери, че има 36 минори от втори ред в квадратна матрица от четвърти ред.) Следователно се използва различен алгоритъм за намиране на ранга. За да го опишем, ще е необходима редица допълнителна информация.

Нека наречем следните действия върху тях елементарни трансформации на матрици:
1) пренареждане на редове или колони;
2) умножаване на ред или колона с число, различно от нула;
3) добавяне към един от редовете на друг ред, умножен по число, или добавяне към една от колоните на друга колона, умножена по число.

При елементарни трансформации рангът на матрицата не се променя.
Алгоритъм за изчисляване на ранга на матрицае подобен на алгоритъма за изчисляване на детерминанта и се състои в това, че с помощта на елементарни трансформации матрицата се редуцира до проста форма, за която не е трудно да се намери рангът. Тъй като рангът не се променя по време на всяка трансформация, чрез изчисляване на ранга на трансформираната матрица, ние намираме ранга на оригиналната матрица.

Да предположим, че трябва да изчислим ранга на матрица с размери мхп.

В резултат на изчисленията матрицата A1 има формата

Ако всички редове, започващи от третия, са нула, тогава , тъй като непълнолетен . В противен случай, чрез пренареждане на редове и колони с числа, по-големи от две, гарантираме, че третият елемент на третия ред е различен от нула. След това, като добавим третия ред, умножен по съответните числа, към редовете с по-високи числа, получаваме нули в третата колона, започвайки от четвъртия елемент и т.н.
На някакъв етап ще стигнем до матрица, в която всички редове, започвайки от (r+1)-ия, са равни на нула (или отсъстват за), а минорът в първите редове и първите колони е детерминантата на триъгълник матрица с ненулеви елементи по диагонала . Рангът на такава матрица е равен на . Следователно Rang(A)=r.

В предложения алгоритъм за намиране на ранга на матрица всички изчисления трябва да се извършват без закръгляване. Произволно малка промяна в поне един от елементите на междинните матрици може да доведе до факта, че полученият отговор ще се различава от ранга на оригиналната матрица с няколко единици.
Ако елементите в оригиналната матрица са цели числа, тогава е удобно да се извършват изчисления без използване на дроби. Следователно на всеки етап е препоръчително редовете да се умножават с такива числа, така че по време на изчисленията да не възникват дроби.

В лабораторна и практическа работа ще разгледаме пример за намиране на ранга на матрица.

АЛГОРИТЪМ ЗА НАМИРАНЕ МАТРИЧНИ СТАНДАРТИ .
Има само три матрични норми.
Първа норма на матрица= максимумът от числата, получени чрез събиране на всички елементи от всяка колона, взети по модул.
Пример: нека е дадена матрица A с размер 3x2 (фиг. 10). Първата колона съдържа елементите: 8, 3, 8. Всички елементи са положителни. Нека намерим техния сбор: 8+3+8=19. Втората колона съдържа елементите: 8, -2, -8. Два елемента са отрицателни, следователно, когато добавяте тези числа, е необходимо да замените модула на тези числа (т.е. без знаци минус). Нека намерим техния сбор: 8+2+8=18. Максимумът от тези две числа е 19. Това означава, че първата норма на матрицата е 19.

Фигура 10.

Втора норма на матрицатае корен квадратен от сумата от квадратите на всички елементи на матрицата. Това означава, че повдигаме на квадрат всички елементи на матрицата, след което добавяме получените стойности и извличаме корен квадратен от резултата.
В нашия случай нормата 2 на матрицата се оказа равна на корен квадратен от 269. В диаграмата приблизително извадих корен квадратен от 269 и резултатът беше приблизително 16,401. Въпреки че е по-правилно да не извличате корена.

Трета норма на матрицатапредставлява максимума от числата, получени чрез събиране на всички елементи от всеки ред, взети по модул.
В нашия пример: първият ред съдържа елементите: 8, 8. Всички елементи са положителни. Нека намерим техния сбор: 8+8=16. Вторият ред съдържа елементите: 3, -2. Един от елементите е отрицателен, така че при добавяне на тези числа е необходимо да се замени модулът на това число. Нека намерим техния сбор: 3+2=5. Третият ред съдържа елементите 8 и -8. Един от елементите е отрицателен, така че при добавяне на тези числа е необходимо да се замени модулът на това число. Нека намерим техния сбор: 8+8=16. Максимумът от тези три числа е 16. Това означава, че третата норма на матрицата е 16.

Съставител: Салий Н.А.