Метод за факторизиране на тригонометрични уравнения. Тригонометрични уравнения - формули, решения, примери

Можете да поръчате подробно решение на вашия проблем!!!

Равенство, съдържащо неизвестното под знака тригонометрична функция(`sin x, cos x, tan x` или `ctg x`) се нарича тригонометрично уравнение и техните формули ще разгледаме по-нататък.

Най-простите уравнения са „sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a“, където „x“ е ъгълът, който трябва да се намери, „a“ е произволно число. Нека запишем коренните формули за всеки от тях.

1. Уравнение `sin x=a`.

За `|a|>1` няма решения.

Когато `|a| \leq 1` има безкраен бройрешения.

Коренна формула: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

За `|a|>1` - както в случая със синус, той няма решения сред реални числа.

Когато `|a| \leq 1` има безкраен брой решения.

Основна формула: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Специални случаи за синус и косинус в графики.

3. Уравнение `tg x=a`

Има безкраен брой решения за всякакви стойности на `a`.

Основна формула: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Също така има безкраен брой решения за всякакви стойности на „a“.

Основна формула: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формули за корените на тригонометричните уравнения в таблицата

За синус:
За косинус:
За тангенс и котангенс:
Формули за решаване на уравнения, съдържащи обратни тригонометрични функции:

Методи за решаване на тригонометрични уравнения

Решаването на всяко тригонометрично уравнение се състои от два етапа:

• с помощта на трансформирането му в най-простия;
• решаване на най-простото уравнение, получено с помощта на коренните формули и таблиците, написани по-горе.

Нека да разгледаме основните методи за решение, използвайки примери.

Алгебричен метод.

Този метод включва заместване на променлива и нейното заместване в равенство.

Пример. Решете уравнението: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

направете замяна: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, след това `2y^2-3y+1=0`,

намираме корените: `y_1=1, y_2=1/2`, от което следват два случая:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Отговор: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Факторизация.

Пример. Решете уравнението: `sin x+cos x=1`.

Решение. Нека преместим всички членове на равенството наляво: `sin x+cos x-1=0`. Използвайки, трансформираме и факторизираме лявата страна:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

„2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0“,

„2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0“,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Отговор: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Свеждане до хомогенно уравнение

Първо, трябва да намалите това тригонометрично уравнение до една от двете форми:

`a sin x+b cos x=0` (хомогенно уравнение от първа степен) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (хомогенно уравнение от втора степен).

След това разделете двете части на `cos x \ne 0` - за първия случай, и на `cos^2 x \ne 0` - за втория. Получаваме уравнения за `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, които трябва да бъдат решени по известни методи.

Пример. Решете уравнението: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Решение. Нека запишем дясната страна като `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Това е хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен, разделяме лявата и дясната му страна на `cos^2 x \ne 0`, получаваме:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

„tg^2 x+tg x — 2=0“. Нека въведем замяната `tg x=t`, което води до `t^2 + t - 2=0`. Корените на това уравнение са `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогава:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Отговор. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Преминаване към половин ъгъл

Пример. Решете уравнението: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Решение. Нека приложим формулите двоен ъгъл, което води до: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^ 2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Прилагайки горното алгебричен метод, получаваме:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Отговор. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Въвеждане на спомагателен ъгъл

В тригонометричното уравнение „a sin x + b cos x =c“, където a,b,c са коефициенти и x е променлива, разделете двете страни на „sqrt (a^2+b^2)“:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Коефициентите от лявата страна имат свойствата на синус и косинус, а именно сумата от техните квадрати е равна на 1 и техните модули не са по-големи от 1. Нека ги обозначим по следния начин: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, тогава:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Нека разгледаме по-отблизо следния пример:

Пример. Решете уравнението: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделяме двете страни на равенството на `sqrt (3^2+4^2)`, получаваме:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5“.

Нека означим `3/5 = cos \varphi`, `4/5=sin \varphi`. Тъй като `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, тогава ние приемаме `\varphi=arcsin 4/5` като спомагателен ъгъл. След това записваме нашето равенство във формата:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Прилагайки формулата за сбора на ъглите за синуса, записваме нашето равенство в следната форма:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Отговор. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробни рационални тригонометрични уравнения

Това са равенства с дроби, чиито числители и знаменатели съдържат тригонометрични функции.

Пример. Решете уравнението. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Решение. Умножете и разделете дясната страна на равенството на „(1+cos x)“. В резултат получаваме:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Като се има предвид, че знаменателят не може да бъде равен на нула, получаваме `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Нека приравним числителя на дробта към нула: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. След това „sin x=0“ или „1-sin x=0“.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Като се има предвид, че ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решенията са `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Отговор. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрията и по-специално тригонометричните уравнения се използват в почти всички области на геометрията, физиката и инженерството. Ученето започва в 10 клас, винаги има задачи за Единния държавен изпит, така че се опитайте да запомните всички формули тригонометрични уравнения- определено ще са ви полезни!

Въпреки това, дори не е необходимо да ги запомняте, основното е да разберете същността и да можете да я извлечете. Не е толкова трудно, колкото изглежда. Убедете се сами, като изгледате видеото.

Методи за решаване на тригонометрични уравнения Съдържание

• Метод за заместване на променливи
• Метод на факторизиране
• Хомогенни тригонометрични уравнения
• Използване на тригонометрични формули:
• Формули за добавяне
• Формули за намаляване
• Формули с двоен аргумент

Използвайки замяната t = sinx или t = cosx, където t∈ [−1;1] решаването на първоначалното уравнение се свежда до решаване на квадратно или друго алгебрично уравнение.

Вижте примери 1 – 3

Понякога се използва универсална тригонометрична замяна: t = tg

Пример 1 Пример 2 Пример 3 Метод на факторизиране

Същността на този метод е, че произведението на няколко фактора е равно на нула, ако поне един от тях е равен на нула, а останалите не губят значението си:

f(x) g(x) h(x) … = 0⟺ f(x) = 0 или g(x) = 0 или h(x) = 0

и т.н. при условие, че всеки от факторите съществува

Вижте примери 4 – 5

Пример 4 Пример 5 Хомогенни тригонометрични уравнения Уравнение от вида a sin x + b cos x = 0 се нарича хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен.

a sin x + b cos x = 0

Коментирайте.

Делението на cos x е валидно, защото решенията на уравнението cos x = 0 не са решения на уравнението a sin x + b cos x = 0.

a sin x b cos x 0

a tan x + b = 0

тен x = –

Хомогенни тригонометрични уравнения

a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0

Уравнение от вида a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0 се нарича хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен.

a tg2x + b tg x + c = 0

a sin2x b sin x cos x c cos2x 0

Коментирайте.Ако в това уравнение a = 0 или c = 0, тогава уравнението се решава чрез метода на разширение

чрез множители.

Пример 6

Пример 8 Пример 9 Пример 10 Пример 11 1. Формули за добавяне:

sin (x + y) = sinx уютен + cosx siny

cos (x + y) = cosx cosy − sinx siny

tgx + tgy

тен (x + y) =

1 − tgx tgy

sin (x − y) = sinx cosy + cosx siny

cos (x − y) = cosx cosy + sinx siny

tgx − tgy

tg (x − y) =

1 + tgx tgy

сtgx сtgy − 1

сtg (x + y) =

сtгу + с tgх

сtgx сtgy + 1

сtg (x − y) =

сtгу − с tgх

Пример 12 Пример 13 Използване на тригонометрични формули 2. Формули за намаляване:

Правило на коня

В добрите стари времена живял един разсеян математик, който, търсейки отговор, променял или не променял името на функцията ( синуситеНа косинус), погледна умния си кон и тя кимна с глава по координатната ос, към която принадлежи точката, съответстваща на първия член на аргумента π/ 2 + α или π + α .

Ако конят кимна с глава по оста OU, тогава математикът повярва, че отговорът е получен "да, промени", ако по оста ОХ, Че "не, не се променяй".

Използване на тригонометрични формули 3. Формули с двоен аргумент:

sin 2x = 2sinx cosx

cos 2x = cos2x – sin2x

cos 2x = 2cos2x – 1

cos 2x = 1 – 2sin2x

1 – tg2x

ctg 2x =

ctg2x – 1

Пример 14 Използване на тригонометрични формули 4. Формули за намаляване на степента:

5. Формули за половин ъгъл:

Използване на тригонометрични формули 6. Формули за сбор и разлика: Използване на тригонометрични формули 7. Продуктови формули: Мнемонично правило „Тригонометрия в дланта на ръката ви“

Много често трябва да знаете значенията наизуст cos, грях, tg, ctgза ъгли 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.

Но ако внезапно се забрави някакъв смисъл, тогава можете да използвате правилото на ръката.

правило:Ако рисувате линии през малкия пръст и палеца,

тогава те ще се пресичат в точка, наречена „лунен хълм“.

Образува се ъгъл от 90°. Линията на малкия пръст образува ъгъл от 0°.

Изтегляйки лъчите от „лунния хълм“ през безименния, средния и показалеца, получаваме ъгли съответно 30°, 45°, 60°.

Заместване вместо това н: 0, 1, 2, 3, 4, получаваме стойностите грях, за ъгли 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.

За cosОбратното броене се извършва в обратен ред.

Решаването на тригонометрично уравнение се състои от два етапа: трансформация на уравнениеза да стане най-простотип (виж по-горе) и решениеполучената най-проста тригонометрично уравнение.Има седем основни методи за решаване на тригонометрични уравнения.

1. Алгебричен метод.

(променлива замяна и метод на заместване).

2. Разлагане на множители.

Пример 1. Решете уравнението:грях х+cos х = 1 .

Решение Нека преместим всички членове на уравнението вляво:

грях х+cos х – 1 = 0 ,

Нека трансформираме и разложим израза на множители

Лявата страна на уравнението:

Пример 2. Решете уравнението: cos 2 х+ грях х cos х = 1.

Решение: cos 2 х+ грях х cos х– грях 2 х– cos 2 х = 0 ,

грях х cos х– грях 2 х = 0 ,

грях х· (cos х– грях х ) = 0 ,

Пример 3. Решете уравнението:защото 2 х– защото 8 х+ cos 6 х = 1.

Решение: cos 2 х+ cos 6 х= 1 + cos 8 х,

2 cos 4 хзащото 2 х= 2cos² 4 х ,

Cos 4 х · (cos 2 х– cos 4 х) = 0 ,

Cos 4 х · 2 грях 3 хгрях х = 0 ,

1). защото 4 х= 0, 2). грях 3 х= 0, 3). грях х = 0 ,

4. Преход към полуъгъл.

Нека да разгледаме този метод с пример:

ПРИМЕР Решете уравнение: 3грях х– 5 cos х = 7.

Решение: 6 грях ( х/ 2) cos ( х/ 2) – 5 cos² ( х/ 2) + 5 sin² ( х/ 2) =

7 sin² ( х/ 2) + 7 cos² ( х/ 2) ,

2 sin² ( х/ 2) – 6 грях ( х/ 2) cos ( х/ 2) + 12 cos² ( х/ 2) = 0 ,

тен²( х/ 2) – 3 тен ( х/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Въвеждане на спомагателен ъгъл.

Разгледайте уравнение на формата:

агрях х + b cos х = ° С ,

Където а, b, ° С– коефициенти;х– неизвестен.

Сега коефициентите на уравнението имат свойствата на синус и косинус, именно: модул (абсолютна стойност) на всеки от които не повече от 1 бр. и сумата на техните квадрати е 1. Тогава можем да обозначим тях съответно как защото и грях (тук - т.нар спомагателен ъгъл), Ивземете нашето уравнение

Предмет:"Методи за решаване на тригонометрични уравнения."

Цели на урока:

образователен:

Развиват умения за разграничаване на видовете тригонометрични уравнения;

Задълбочаване на разбирането на методите за решаване на тригонометрични уравнения;

образователен:

Култивиране на познавателен интерес към образователния процес;

Формиране на умение за анализ на поставена задача;

развитие:

Да развиете умението да анализирате ситуацията и след това да изберете най-рационалния изход от нея.

Оборудване:плакат с основни тригонометрични формули, компютър, проектор, екран.

Нека започнем урока, като повторим основната техника за решаване на всяко уравнение: редуцирането му до стандартна форма. Чрез трансформации линейните уравнения се редуцират до формата ax = b, квадратните уравнения се редуцират до формата брадва 2+bx +c =0.В случай на тригонометрични уравнения е необходимо да се сведат до най-простите, от вида: sinx = a, cosx = a, tgx = a, които лесно могат да бъдат решени.

На първо място, разбира се, за това е необходимо да се използва основният тригонометрични формуликоито са представени на плаката: формули за добавяне, формули за двоен ъгъл, намаляване на кратността на уравнението. Вече знаем как да решаваме такива уравнения. Нека повторим някои от тях:

В същото време има уравнения, чието решаване изисква познаване на някои специални техники.

Темата на нашия урок е да разгледаме тези техники и да систематизираме методите за решаване на тригонометрични уравнения.

Методи за решаване на тригонометрични уравнения.

1. Преобразувайте в квадратно уравнениепо отношение на някаква тригонометрична функция, последвана от промяна на променлива.

Нека разгледаме всеки от изброените методи с примери, но нека се спрем по-подробно на последните два, тъй като вече сме използвали първите два при решаването на уравнения.

1. Преобразуване в квадратно уравнение по отношение на някаква тригонометрична функция.

2. Решаване на уравнения по метода на факторизацията.

3. Решаване на еднородни уравнения.

Хомогенните уравнения от първа и втора степен са уравнения от вида:

съответно (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0).

Когато решавате хомогенни уравнения, разделете двете страни на члена на уравнението на cosx за (1) уравнение и на cos 2 x за (2). Това деление е възможно, защото sinx и cosx не са равни на нула едновременно - те стават нула в различни точки. Нека разгледаме примери за решаване на хомогенни уравнения от първа и втора степен.

Нека запомним това уравнение: когато разглеждаме следващия метод - въвеждането на спомагателен аргумент, нека го решим по различен начин.

4. Въвеждане на спомагателен аргумент.

Нека разгледаме уравнението, вече решено с предишния метод:

Както виждате се получава същият резултат.

Нека да разгледаме друг пример:

В разгледаните примери като цяло беше ясно какво трябва да се раздели на първоначалното уравнение, за да се въведе спомагателен аргумент. Но може да се случи, че не е очевидно кой делител да изберете. За това има специална техника, които сега ще разгледаме в общ изглед. Нека е дадено уравнение.