Ирационални изрази и техните трансформации
Последния път си спомнихме (или научихме, зависи кой) какво е това , научиха как да извличат такива корени, сортираха основните свойства на корените част по част и решиха прости примери с корени.
Този урок ще бъде продължение на предишния и ще бъде посветен на трансформациите на голямо разнообразие от изрази, съдържащи всички видове корени. Такива изрази се наричат ирационален. Тук ще се появят изрази с букви, допълнителни условия, премахване на ирационалността в дроби и някои усъвършенствани техники за работа с корени. Техниките, които ще бъдат обсъдени в този урок, ще станат добра основа за решаване на USE проблеми (и не само) на почти всяко ниво на сложност. Така че да започваме.
Първо, ще дублирам тук основните формули и свойства на корените. За да не прескачам от тема на тема. Ето ги и тях:
при
Трябва да знаете тези формули и да можете да ги прилагате. И то в двете посоки – и от ляво на дясно, и от дясно на ляво. На тях се основава решението на повечето задачи с корени от всякаква степен на сложност. Нека засега започнем с най-простото - с директното прилагане на формули или техните комбинации.
Лесно прилагане на формули
В тази част ще бъдат разгледани прости и безобидни примери - без букви, допълнителни условия и други трикове. Въпреки това, дори и в тях, като правило, има опции. И колкото по-сложен е примерът, толкова повече такива опции има. И неопитният ученик се сблъсква с основния проблем - откъде да започне? Отговорът тук е прост - Ако не знаете от какво имате нужда, направете каквото можете. Стига вашите действия да са в мир и хармония с правилата на математиката и да не им противоречат.) Например тази задача:
Изчисли:
Дори в такъв прост пример има няколко възможни пътя към отговора.
Първият е просто да умножите корените по първото свойство и да извлечете корена от резултата:
Вторият вариант е следният: ние не го пипаме, ние работим с . Изваждаме множителя от под знака на корена, а след това - според първото свойство. Като този:
Можете да решавате колкото искате. Във всяка от опциите отговорът е едно - осем. Например, за мен е по-лесно да умножа 4 и 128 и да получа 512, а кубичният корен може лесно да бъде извлечен от това число. Ако някой не си спомня, че 512 е 8 на куб, тогава няма значение: можете да напишете 512 като 2 9 (първите 10 степени на две, надявам се, че помните?) и използвайки формулата за корена на степента :
Друг пример.
Изчисли: .
Ако работите според първото свойство (поставяйки всичко под един корен), ще получите солидно число, от което след това може да се извлече коренът - също не захар. И не е факт, че ще бъде извлечен точно.) Следователно тук е полезно да премахнете факторите от корена в числото. И се възползвайте максимално от:
И сега всичко е наред:
Остава само да напишем осмицата и две под един корен (по първото свойство) и работата е готова. :)
Сега нека добавим няколко дроби.
Изчисли:
Примерът е доста примитивен, но има и опции. Можете да използвате множителя, за да трансформирате числителя и да го намалите със знаменателя:
Или можете веднага да използвате формулата за разделяне на корени:
Както виждаме, така и така - всичко е правилно.) Ако не се спънете наполовина и не направите грешка. Въпреки че къде мога да сбъркам тук...
Нека сега да разгледаме последния пример от домашното от последния урок:
Опростете:
Напълно невъобразим набор от корени и дори вложени такива. Какво трябва да направя? Основното нещо е да не се страхувате! Тук първо забелязваме под корените числата 2, 4 и 32 – степени на две. Първото нещо, което трябва да направите, е да намалите всички числа до две: в края на краищата, колкото повече еднакви числа в примера и по-малко различни, толкова по-лесно е.) Нека започнем отделно с първия фактор:
Числото може да бъде опростено чрез намаляване на двете под корена с четирите в степента на корена:
Сега, според корена на работата:
.
В числото изваждаме двете като коренен знак:
И ние се занимаваме с израза, използвайки корена на коренната формула:
И така, първият фактор ще бъде написан така:
Вложените корени изчезнаха, броят им стана по-малък, което вече е приятно. Просто корените са различни, но засега ще го оставим така. При необходимост ще ги конвертираме в същите. Да вземем втория фактор.)
Трансформираме втория множител по подобен начин, използвайки формулата на корена на произведението и корена на корена. Когато е необходимо, намаляваме показателите по петата формула:
Поставяме всичко в оригиналния пример и получаваме:
Получихме продукта от цял куп напълно различни корени. Би било хубаво да ги приведем всички към един индикатор и тогава ще видим. Е, напълно възможно е. Най-големият от степенните корени е 12, а всички останали - 2, 3, 4, 6 - са делители на числото 12. Следователно ще сведем всички корени според петото свойство до един показател - 12:
Преброяваме и получаваме:
Не получихме хубав номер, но това е добре. Попитаха ни опростявамизраз, не броя. Опростено? Със сигурност! И видът на отговора (цяло число или не) вече не играе никаква роля тук.
Някои формули за събиране/изваждане и съкратено умножение
За съжаление, общите формули за събиране и изваждане на коренине по математика. Въпреки това, в задачите тези действия с корени често се срещат. Тук е необходимо да се разбере, че всички корени са точно същите математически символи като буквите в алгебрата.) И за корените се прилагат същите техники и правила като за буквите - отваряне на скоби, поставяне на подобни, съкратени формули за умножение и т.н. P.
Например, на всички е ясно, че . Подобен същотоКорените могат да се добавят/изваждат един към друг доста лесно:
Ако корените са различни, тогава търсим начин да ги направим еднакви - чрез добавяне/изваждане на множител или използване на петото свойство. Ако не е опростено по никакъв начин, тогава може би трансформациите са по-хитри.
Нека разгледаме първия пример.
Намерете значението на израза: .
И трите корена, макар и кубични, са от различенчисла. Те не са чисто извлечени и се добавят/изваждат един от друг. Следователно използването на общи формули не работи тук. Какво трябва да направя? Нека извадим факторите във всеки корен. Във всеки случай няма да е по-лошо.) Освен това всъщност няма други опции:
Това е, .
Това е решението. Тук преминахме от различни корени към едни и същи с помощта премахване на множителя изпод корена. И тогава те просто донесоха подобни.) Ние решаваме по-нататък.
Намерете стойността на израз:
Определено не можете да направите нищо относно корена от седемнадесет. Работим според първото свойство - правим един корен от произведението на два корена:
Сега нека погледнем по-отблизо. Какво има под нашия голям кубичен корен? Разликата е ква... Е, разбира се! Разлика на квадратите:
Сега всичко, което остава, е да извлечете корена: .
Изчисли:
Тук ще трябва да покажете математическа изобретателност.) Мислим приблизително по следния начин: „И така, в примера, произведението на корените. Под единия корен е разликата, а под другия е сумата. Много подобно на формулата за разликата на квадратите. Но... Корените са други! Първата е квадратна, а втората е от четвърта степен... Би било хубаво да са еднакви. Според петото свойство можете лесно да направите четвърти корен от корен квадратен. За да направите това, достатъчно е да поставите радикалния израз на квадрат.
Ако сте мислили за същото, значи сте на половината път към успеха. Абсолютно прав! Нека превърнем първия фактор в четвърти корен. Като този:
Сега няма какво да се направи, но ще трябва да запомните формулата за квадрат на разликата. Само когато се прилага върху корените. Какво от това? Защо корените са по-лоши от други числа или изрази?! Ние изграждаме:
„Хм, добре, издигнаха го, какво от това? Хрянът не е по-сладък от ряпата. Спри се! И ако извадите четирите под корена? Тогава ще излезе същият израз като под втория корен, само че с минус и точно това се опитваме да постигнем!“
вярно! Да вземем четири:
.
А сега - въпрос на технология:
Ето как се разплитат сложни примери.) Сега е време да се упражнявате с дроби.
Изчисли:
Ясно е, че числителят трябва да се преобразува. как? Използвайки формулата на квадрата на сумата, разбира се. Имаме ли други възможности? :) Поставяме на квадрат, изваждаме факторите, намаляваме показателите (където е необходимо):
Еха! Получихме точно знаменателя на нашата дроб.) Това означава, че цялата дроб очевидно е равна на едно:
Друг пример. Само сега на друга формула за съкратено умножение.)
Изчисли:
Ясно е, че квадратът на разликата трябва да се използва на практика. Изписваме знаменателя отделно и - да вървим!
Изваждаме факторите изпод корените:
следователно
Сега всичко лошо е превъзходно намалено и се оказва:
Е, нека го пренесем на следващото ниво. :)
Писма и допълнителни условия
Буквалните изрази с корени са по-сложно нещо от числовите изрази и са неизчерпаем източник на досадни и много сериозни грешки. Нека затворим този източник.) Грешките възникват поради факта, че такива задачи често включват отрицателни числа и изрази. Те или ни се дават директно в задачата, или са скрити писма и допълнителни условия. И в процеса на работа с корените ние постоянно трябва да помним, че в корените дори степенкакто под самия корен, така и в резултат на извличането на корена трябва да има неотрицателен израз. Ключовата формула в задачите на този параграф ще бъде четвъртата формула:
Няма въпроси с корени от нечетни степени - винаги се извлича всичко, както положително, така и отрицателно. И минусът, ако има такъв, се изнася напред. Да преминем направо към корените дориградуса.) Например такава кратка задача.
Опростете: , Ако .
Изглежда, че всичко е просто. Просто ще се окаже, че е X.) Но защо тогава допълнителното условие? В такива случаи е полезно да се направи оценка с числа. Чисто за себе си.) Ако, тогава x очевидно е отрицателно число. Минус три например. Или минус четиридесет. Позволявам . Можете ли да повдигнете минус три на четвърта степен? Със сигурност! Резултатът е 81. Възможно ли е да се извлече четвърти корен от 81? Защо не? Мога! Получавате три. Сега нека анализираме цялата ни верига:
какво виждаме Входът беше отрицателно число, а изходът вече беше положителен. Беше минус три, сега е плюс три.) Да се върнем към буквите. Без съмнение по модул ще бъде точно X, но само самото X е минус (по условие!), а резултатът от извличането (поради аритметичния корен!) трябва да бъде плюс. Как да получите плюс? Много просто! За да направите това, просто поставете минус пред очевидно отрицателно число.) И правилното решение изглежда така:
Между другото, ако използваме формулата, тогава, спомняйки си дефиницията на модул, веднага ще получим правилния отговор. Тъй като
|x| = -x при x<0.
Извадете фактора от знака за корен: , Където .
Първият поглед е към радикалния израз. Тук всичко е наред. Във всеки случай тя ще бъде неотрицателна. Да започнем да извличаме. Използвайки формулата за корена на продукт, извличаме корена на всеки фактор:
Не мисля, че има нужда да обяснявам откъде идват модулите.) Сега нека анализираме всеки от модулите.
Множител | а | оставяме го непроменен: нямаме никакви условия за писмотоа. Не знаем дали е положително или отрицателно. Следващ модул |б 2 | може безопасно да се пропусне: във всеки случай изразътб 2 неотрицателни. Но относно |c 3 | - тук вече има проблем.) Ако, тогава c 3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть с минус: | c 3 | = - c 3 . Като цяло правилното решение би било:
А сега - обратният проблем. Не е от най-лесните, предупреждавам ви веднага!
Въведете множител под знака на корена: .
Ако веднага запишете решението по този начин
тогава ти падна в капан. Това грешно решение! Какъв е проблема?
Нека разгледаме по-отблизо израза под корена. Под корена на четвърта степен, както знаем, трябва да има неотрицателниизразяване. В противен случай коренът няма значение.) Следователно И това от своя страна означава, че и, следователно, самият също е неположителен: .
И грешката тук е, че въвеждаме в основата неположителенномер: четвъртата степен го превръща в неотрицателнии се получава грешен резултат - отляво има умишлен минус, а отдясно вече има плюс. И го постави в основата дористепен имаме право само неотрицателничисла или изрази. И оставете минуса, ако има такъв, пред корена.) Как можем да идентифицираме неотрицателен фактор в числото, знаейки, че самата тя е напълно негативна? Да, абсолютно същото! Поставете минус.) И за да не се промени нищо, компенсирайте го с друго минус. Като този:
И сега вече неотрицателниНие спокойно въвеждаме числото (-b) под корена според всички правила:
Този пример ясно показва, че за разлика от други клонове на математиката, в корените правилният отговор не винаги следва автоматично от формулите. Трябва да помислите и лично да вземете правилното решение.) Особено трябва да сте по-внимателни със знаците ирационални уравнения и неравенства.
Нека да разгледаме следващата важна техника при работа с корени - освобождаване от ирационалността.
Премахване на ирационалността в дробите
Ако изразът съдържа корени, тогава, нека ви напомня, такъв израз се нарича изразяване с ирационалност. В някои случаи може да бъде полезно да се отървете от тази ирационалност (т.е. корени). Как можете да премахнете корена? Нашият корен изчезва, когато... бъде издигнат до степен. С индикатор, равен на коренния индикатор или кратен на него. Но ако повдигнем корена на степен (т.е. умножим корена по себе си необходимия брой пъти), тогава изразът ще се промени. Не е добре.) В математиката обаче има теми, където умножението е доста безболезнено. В дроби например. Според основното свойство на дроб, ако числителят и знаменателят се умножат (разделят) на едно и също число, стойността на дробта няма да се промени.
Да кажем, че ни е дадена тази дроб:
Възможно ли е да се отървем от корена в знаменателя? Мога! За да направите това, коренът трябва да бъде кубичен. Какво ни липсва в знаменателя за пълен куб? Липсва ни множител, т.е.. Така че умножаваме числителя и знаменателя на дробта по
Коренът в знаменателя е изчезнал. Но... той се появи в числителя. Нищо не може да се направи, такава е съдбата.) Това вече не е важно за нас: помолиха ни да освободим знаменателя от корените. Освободен? Несъмнено.)
Между другото, тези, които вече са удобни с тригонометрията, може би са обърнали внимание на факта, че в някои учебници и таблици, например, те обозначават по различен начин: някъде , и някъде . Въпросът е - кое е правилното? Отговор: всичко е правилно!) Ако познаете това– това е просто резултат от освобождаване от ирационалността в знаменателя на дробта. :)
Защо трябва да се освобождаваме от ирационалността на части? Каква е разликата дали коренът е в числителя или в знаменателя? Калкулаторът така или иначе ще изчисли всичко.) Е, за тези, които не се разделят с калкулатор, наистина практически няма разлика... Но дори и да разчитате на калкулатор, можете да обърнете внимание на факта, че разделямНа цялономерът винаги е по-удобен и по-бърз от on ирационален. И ще премълча за разделянето на колона.)
Следващият пример само ще потвърди думите ми.
Как можем да премахнем квадратния корен от знаменателя тук? Ако числителят и знаменателят се умножат по израза, тогава знаменателят ще бъде квадрат на сумата. Сумата от квадратите на първото и второто число ще ни даде само числа без никакви корени, което е много приятно. Обаче... ще изскочи двойно произведениепървото число към второто, където коренът от три все още ще остане. Не канализира. Какво трябва да направя? Спомнете си още една чудесна формула за съкратено умножение! Където няма двойни продукти, а само квадрати:
Израз, който, когато се умножи по определена сума (или разлика), дава разлика на квадратите, също наричан спрегнат израз. В нашия пример спрегнатият израз ще бъде разликата. Така че умножаваме числителя и знаменателя по тази разлика:
Какво мога да кажа? В резултат на нашите манипулации не само коренът на знаменателя изчезна, но и дробта изчезна напълно! :) Дори и с калкулатор, изваждането на корен от три от три е по-лесно от пресмятането на дроб с корен в знаменателя. Друг пример.
Освободете се от ирационалността в знаменателя на дроб:
Как да се измъкнем от това? Формулите за съкратено умножение с квадрати не работят веднага - няма да е възможно напълно да елиминираме корените поради факта, че този път коренът ни не е квадратен, а кубичен. Необходимо е коренът по някакъв начин да бъде повдигнат в куб. Следователно трябва да се използва една от формулите с кубчета. Кое? Нека помислим за това. Знаменателят е сумата. Как можем да постигнем куба на корена? Умножете по частична квадратна разлика! И така, ще приложим формулата сбор от кубове. Този:
Като аимаме три, и като качество b– корен кубичен от пет:
И отново фракцията изчезна.) Такива ситуации, когато, когато се освободи от ирационалността в знаменателя на дроб, самата дроб напълно изчезва заедно с корените, се случват много често. Как ви харесва този пример!
Изчисли:
Просто опитайте да съберете тези три дроби! Без грешки! :) Един общ знаменател си струва. Ами ако се опитаме да се освободим от ирационалността в знаменателя на всяка дроб? Е, нека опитаме:
Леле, колко интересно! Всички фракции ги няма! Напълно. И сега примерът може да бъде решен по два начина:
Просто и елегантно. И то без дълги и досадни изчисления. :)
Ето защо човек трябва да може да извършва операцията за освобождаване от ирационалността на дроби. В такива сложни примери това е единственото нещо, което спестява, да.) Разбира се, никой не е отменил вниманието. Има задачи, в които се иска да се отървете от ирационалността числител. Тези задачи не се различават от разглежданите, само числителят се изчиства от корените.)
По-сложни примери
Остава да разгледаме някои специални техники за работа с корени и да практикуваме разплитане на не най-простите примери. И тогава получената информация ще бъде достатъчна за решаване на задачи с корени от всякакво ниво на сложност. Така че - давайте.) Първо, нека разберем какво да правим с вложените корени, когато формулата корен от корен не работи. Например, ето един пример.
Изчисли:
Коренът е под корена... Още повече, че под корените е сборът или разликата. Следователно формулата за корена на корена (с умножение на показателите) е тук Не работи. Така че трябва да се направи нещо по въпроса радикални изрази: Просто нямаме други възможности. В такива примери най-често големият корен е криптиран идеален квадратнякаква сума. Или разлики. И коренът на квадрата вече е идеално извлечен! И сега нашата задача е да го дешифрираме.) Такова декриптиране се прави красиво система от уравнения. Сега ще видите всичко сами.)
И така, под първия корен имаме този израз:
Ами ако не сте познали правилно? Да проверим! Повдигаме го на квадрат по формулата за квадрат на сумата:
Точно така.) Но... Откъде взех този израз? От небето?
Не.) Честно казано, ще го получим малко по-ниско. Просто използвайки този израз, показвам точно как авторите на задачи криптират такива квадрати. :) Какво е 54? Това сбор от квадратите на първото и второто число. И, обърнете внимание, вече без корени! И коренът остава вътре двойно произведение, което в нашия случай е равно на . Следователно разгадаването на такива примери започва с търсене на двойния продукт. Ако разплетете с обичайната селекция. И, между другото, за знаците. Тук всичко е просто. Ако има плюс преди двойното, тогава квадратът на сумата. Ако е минус, тогава разликите.) Имаме плюс - това означава квадрат на сумата.) И сега - обещаният аналитичен метод за декодиране. Чрез системата.)
И така, под нашия корен ясно виси изразът (a+b) 2, а нашата задача е да намерим аИ b. В нашия случай сборът на квадратите дава 54. Така че пишем:
Сега удвоете продукта. Имаме го. Така че го записваме:
Имаме тази система:
Решаваме по обичайния метод на заместване. Изразяваме от второто уравнение, например, и го заместваме в първото:
Нека решим първото уравнение:
Има биквадратенотносително уравнениеа . Изчисляваме дискриминанта:
означава,
Имаме до четири възможни стойностиа. Ние не се страхуваме. Сега ще премахнем всички ненужни неща.) Ако сега изчислим съответните стойности за всяка от четирите намерени стойности, ще получим четири решения на нашата система. Ето ги и тях:
И тук въпросът е – кое решение е подходящо за нас? Нека помислим за това. Отрицателните решения могат да бъдат незабавно изхвърлени: при квадратура минусите ще „изгорят“ и целият радикален израз като цяло няма да се промени.) Първите две опции остават. Можете да ги избирате напълно произволно: пренареждането на членовете все още не променя сумата.) Нека, например, , a .
Като цяло получихме квадрата на следната сума под корена:
Всичко е чисто.)
Не напразно описвам процеса на вземане на решение толкова подробно. За да стане ясно как става дешифрирането.) Но има един проблем. Аналитичният метод на декодиране, макар и надежден, е много дълъг и тромав: трябва да решите биквадратно уравнение, да получите четири решения на системата и след това да мислите кои да изберете... Притеснително? Съгласен съм, неприятно е. Този метод работи безупречно в повечето от тези примери. Много често обаче можете да си спестите много работа и да намерите и двете числа творчески. По избор.) Да, да! Сега, използвайки примера на втория член (втори корен), ще покажа по-лесен и бърз начин за изолиране на целия квадрат под корена.
Така че сега имаме този корен: 
.
Нека помислим така: „Под корена най-вероятно е шифрован пълен квадрат. След като има минус преди двойното, това означава квадрат на разликата. Сумата от квадратите на първото и второто число ни дава числото 54. Но що за квадрати са тези? 1 и 53? 49 и 5 ? Има твърде много опции... Не, по-добре е да започнете разплитането с удвояване на продукта. Нашитеможе да се запише като . След като продуктът удвоени, тогава веднага изхвърляме двете. Тогава кандидати за ролята a и b остават 7 и . Ами ако е на 14 и/2 ? Възможно е. Но винаги започваме с нещо просто!“Така че, нека , a . Нека ги проверим за сумата на квадратите:
Се случи! Това означава, че нашият радикален израз всъщност е квадрат на разликата:
Ето лек начин да избегнете забъркване със системата. Не винаги работи, но в много от тези примери е напълно достатъчно. И така, под корените има пълни квадрати. Всичко, което остава, е да извлечете правилно корените и да изчислите примера:
Сега нека да разгледаме още по-нестандартна задача за корени.)
Докажете, че числото А– цяло число, ако .
Нищо не се извлича директно, корените са вградени и дори в различна степен... Кошмар! Задачата обаче има смисъл.) Следователно има ключ за решаването й.) И ключът тук е следният. Помислете за нашето равенство
как относително уравнение А. Да да! Би било хубаво да се отървете от корените. Нашите корени са кубични, така че нека разделим на куб и двете страни на уравнението. Според формулата куб от сумата:
Кубовете и кубичните корени взаимно се компенсират и под всеки голям корен вземаме една скоба от квадрата и свиваме произведението на разликата и сумата в разлика от квадрати:
Отделно изчисляваме разликата на квадратите под корените:
Операции с мощности и корени. Степен с минус ,
нула и дробна индикатор. За изрази, които нямат смисъл.
Операции със степени.
1. При умножаване на степени с една и съща основа техните показатели се събират:
a m · a n = a m + n.
2. При деление на степени с еднаква основа техните показатели се приспадат .
3. Степента на произведението на два или повече фактора е равна на произведението на степените на тези фактори.
(абв… ) n = a n· b n · c n…
4. Степента на отношение (фракция) е равна на съотношението на степените на дивидента (числител) и делителя (знаменател):
(а/б ) n = a n / b n.
5. При повишаване на степен на степен техните показатели се умножават:
(a m ) n = a m n .
Всички горни формули се четат и изпълняват в двете посоки отляво надясно и обратно.
ПРИМЕР (2 · 3 · 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .
Операции с корени. Във всички формули по-долу символът означава аритметичен корен(радикалният израз е положителен).
1. Коренът от произведението на няколко фактора е равен на произведението корените на тези фактори:
2. Коренът на съотношението е равен на съотношението на корените на дивидента и делителя:
3. При повдигане на корен на степен е достатъчно да се повдигне на тази степен радикално число:
4. Ако увеличим степента на корена вм повишаване нам степента th е радикално число, тогава стойността на корена няма да се промени:
5. Ако намалим степента на корена вм извлечете корена веднъж и по едно и също времем та степен на радикално число, тогава стойността на корена не еще се промени:
Разширяване на понятието степен. Досега разглеждахме степени само с естествени показатели;но действия с степени и корени също могат да доведат до отрицателен, нулаИ дробенпоказатели. Всички тези експоненти изискват допълнително определение.
Степен с отрицателен показател. Степен на някакво число c отрицателна (цяло число) експонента се дефинира като едно разделено на степен на същото число с показател, равен на абсолютната стойностотрицателен показател:
Tсега формулата a m: a n= a m - н може да се използва не само зам, повече от н, но и с м, по-малко от н .
ПРИМЕР а 4 :а 7 = а 4 - 7 = а - 3 .
Ако искаме формулатаa m : a n= a m - нбеше справедливо, когатоm = n, имаме нужда от дефиниция на степен нула.
Диплома с нулев индекс. Степента на всяко ненулево число с показател нула е 1.
ПРИМЕРИ. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Степен с дробен показател. Да се вдигне реално числои на степен m/n , трябва да извлечете корена n-та степен на m -та степен на това число A:
За изрази, които нямат смисъл. Има няколко такива израза.произволен брой.
Всъщност, ако приемем, че този израз е равен на някакво число х, то според дефиницията на операцията деление имаме: 0 = 0 · х. Но това равенство възниква, когато всяко число x, което трябваше да се докаже.
Случай 3.
0 0 - произволен брой.
Наистина ли,
Решение Нека разгледаме три основни случая:
1) х = 0 – тази стойност не удовлетворява това уравнение
(Защо?).
2) когато х> 0 получаваме: х/х = 1, т.е. 1 = 1, което означава
Какво х– произволен брой; но като се има предвид, че в
В нашия случай х> 0, отговорът ех > 0 ;
3) кога х < 0 получаем: – х/х= 1, т.е . –1 = 1, следователно,
В този случай няма решение.
По този начин, х > 0.
Какво е квадратен корен?
внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)
Тази концепция е много проста. Естествен, бих казал. Математиците се опитват да намерят реакция за всяко действие. Има събиране - има и изваждане. Има умножение - има и деление. Има квадратура... Значи също има вземане на корен квадратен!Това е всичко. Това действие ( корен квадратен) в математиката се обозначава с тази икона:
Самата икона се нарича красива дума " радикален".
Как да извлечете корена?По-добре е да погледнете примери.
Колко е корен квадратен от 9? Кое число на квадрат ще ни даде 9? 3 на квадрат ни дава 9! Тези:
Но какво е корен квадратен от нула? Няма проблем! Какво число на квадрат прави нулата? Да, дава нула! означава:
Схванах го, какво е квадратен корен?След това обмисляме примери:
Отговори (в безпорядък): 6; 1; 4; 9; 5.
Решихте ли? Наистина, колко по-лесно е това?!
Но... Какво прави човек като види някаква задача с корени?
Човек започва да се натъжава... Не вярва в простотата и лекотата на корените си. Въпреки че изглежда знае какво е корен квадратен...
Това е така, защото човекът е пренебрегнал няколко важни точки при изучаването на корените. Тогава тези прищявки си отмъщават жестоко на контролни и изпити...
Точка едно. Трябва да разпознаете корените по очите!
Колко е корен квадратен от 49? Седем? вярно! Как разбра, че е седем? Поставих на квадрат седем и получих 49? вярно! Моля, имайте предвид, че извлечете коренаот 49 трябваше да направим обратната операция - квадрат 7! И гледай да не пропуснем. А може и да са пропуснали...
Това е трудността извличане на корени. КвадратМожете да използвате всеки номер без никакви проблеми. Умножете число само по себе си с колона - това е всичко. Но за извличане на корениНяма толкова проста и безотказна технология. Ние трябва да Вдигниотговорете и проверете дали е верен, като го повдигнете на квадрат.
Този сложен творчески процес - избор на отговор - е значително опростен, ако вие помняквадрати на популярни числа. Като таблица за умножение. Ако, да речем, трябва да умножите 4 по 6, вие не добавяте четири 6 пъти, нали? Веднага излиза отговор 24. Въпреки че не всеки го разбира, да...
За да работите свободно и успешно с корени, е достатъчно да знаете квадратите на числата от 1 до 20. Освен това тамИ обратно.Тези. трябва да можете лесно да изрецитирате, да речем, 11 на квадрат и корен квадратен от 121. За да постигнете това запомняне, има два начина. Първият е да научите таблицата на квадратите. Това ще бъде голяма помощ при решаването на примери. Второто е да се решат повече примери. Това значително ще ви помогне да запомните таблицата с квадратите.
И никакви калкулатори! Само за тестови цели. В противен случай ще се забавите безмилостно по време на изпита...
Така, какво е корен квадратенИ как екстракт от корени- Мисля, че е ясно. Сега нека разберем от КАКВО можем да ги извлечем.
Точка две. Root, не те познавам!
От кои числа можете да извадите квадратен корен? Да, почти всеки от тях. По-лесно е да разберете от какво е забранено еизвлечете ги.
Нека се опитаме да изчислим този корен:
За да направим това, трябва да изберем число, което на квадрат ще ни даде -4. Ние избираме.
Какво, не става ли? 2 2 дава +4. (-2) 2 дава отново +4! Това е... Няма числа, които, повдигнати на квадрат, да ни дадат отрицателно число! Въпреки че знам тези цифри. Но няма да ви кажа). Отидете в колеж и ще разберете сами.
Същата история ще се случи с всяко отрицателно число. Оттук и заключението:
Израз, в който има отрицателно число под знака за квадратен корен - няма смисъл! Това е забранена операция. То е също толкова забранено, колкото и деленето на нула. Запомнете твърдо този факт!Или с други думи:
Не можете да извличате квадратни корени от отрицателни числа!
Но от всички останали това е възможно. Например, напълно е възможно да се изчисли
На пръв поглед това е много трудно. Избиране на дроби и повдигането им на квадрат... Не се притеснявайте. Когато разберем свойствата на корените, такива примери ще бъдат сведени до същата таблица с квадрати. Животът ще стане по-лесен!
Добре, дроби. Но все още срещаме изрази като:
Всичко е наред. Все същото. Корен квадратен от две е числото, което, когато се повдигне на квадрат, ни дава две. Само това число е напълно нечетно... Ето го:
Интересното е, че тази дроб никога не свършва... Такива числа се наричат ирационални. При квадратни корени това е най-често срещаното нещо. Между другото, затова се наричат изрази с корени ирационален. Ясно е, че писането на такава безкрайна дроб през цялото време е неудобно. Следователно, вместо безкрайна дроб, те го оставят така:
Ако при решаването на пример се окажете с нещо, което не може да бъде извлечено, като:
тогава го оставяме така. Това ще бъде отговорът.
Трябва ясно да разберете какво означават иконите
Разбира се, ако се вземе коренът на числото гладка, трябва да направите това. Отговорът на задачата е във формата напр
Съвсем пълен отговор.
И, разбира се, трябва да знаете приблизителните стойности от паметта:
Това знание много помага за оценка на ситуацията при сложни задачи.
Точка три. Най-хитрият.
Основното объркване при работа с корени е причинено от тази точка. Той е този, който дава увереност в собствените си способности... Нека да се справим с тази точка правилно!
Първо, нека отново извадим корен квадратен от четири от тях. Вече ви притеснявах ли с този корен?) Няма значение, сега ще бъде интересно!
Какво число прави 4 на квадрат? Е, две, две - чувам недоволни отговори...
вярно две. Но също минус двеще даде 4 на квадрат... Междувременно отговорът
правилно и отговорът
груба грешка. Като този.
И така, каква е сделката?
Наистина, (-2) 2 = 4. И според дефиницията на корен квадратен от четири минус дведоста подходящ... Това също е корен квадратен от четири.
Но! В училищния курс по математика е обичайно да се вземат предвид квадратни корени само неотрицателни числа!Тоест нула и всички са положителни. Дори е измислен специален термин: от номера А- Това неотрицателничисло, чийто квадрат е А. Отрицателните резултати при извличане на аритметичен квадратен корен просто се изхвърлят. В училище всичко е корен квадратен - аритметика. Въпреки че това не се споменава особено.
Добре, това е разбираемо. Дори е по-добре да не се занимавате с отрицателни резултати... Това още не е объркване.
Объркването започва при решаването на квадратни уравнения. Например, трябва да решите следното уравнение.
Уравнението е просто, ние пишем отговора (както се преподава):
Този отговор (между другото абсолютно правилен) е само съкратена версия двеотговори:
Спри, спри! Точно по-горе написах, че квадратният корен е число Винагинеотрицателен! И ето един от отговорите - отрицателен! Разстройство. Това е първият (но не и последният) проблем, който предизвиква недоверие към корените... Нека разрешим този проблем. Нека запишем отговорите (само за разбиране!) така:
Скобите не променят същността на отговора. Просто го отделих със скоби знациот корен. Сега можете ясно да видите, че самият корен (в скоби) все още е неотрицателно число! И знаците са резултат от решаването на уравнението. В крайна сметка, когато решаваме всяко уравнение, трябва да пишем всичко Xs, които, когато бъдат заменени в оригиналното уравнение, ще дадат правилния резултат. Корен от пет (положително!) с плюс и минус се вписва в нашето уравнение.
Като този. Ако ти просто вземете корен квадратенот всичко, ти ВинагиВие получавате едно неотрицателнорезултат. Например:
Защото то - аритметичен квадратен корен.
Но ако решавате някакво квадратно уравнение, като:
Че ВинагиОказва се двеотговор (с плюс и минус):
Защото това е решението на уравнението.
надежда, какво е корен квадратенИзяснихте точките си. Сега остава да разберем какво може да се направи с корените, какви са техните свойства. И какви са точките и клопките... извинете, камъни!)
Всичко това е в следващите уроци.
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)
Можете да се запознаете с функции и производни.
Поздрави, котки! Последния път обсъдихме подробно какво представляват корените (ако не си спомняте, препоръчвам да го прочетете). Основният извод от този урок: има само една универсална дефиниция на корените, която трябва да знаете. Другото са глупости и загуба на време.
Днес отиваме по-далеч. Ще се научим да умножаваме корени, ще изучаваме някои задачи, свързани с умножението (ако тези задачи не бъдат решени, те могат да станат фатални на изпита) и ще се упражняваме правилно. Така че запасете се с пуканки, настанете се удобно и да започваме. :)
И ти още не си го пушил, нали?
Урокът се оказа доста дълъг, затова го разделих на две части:
- Първо ще разгледаме правилата за умножение. Капачката изглежда намеква: това е, когато има два корена, между тях има знак „умножение“ - и ние искаме да направим нещо с него.
- Тогава нека разгледаме обратната ситуация: има един голям корен, но ние бяхме нетърпеливи да го представим като продукт на два по-прости корена. Защо е необходимо това е отделен въпрос. Ще анализираме само алгоритъма.
За тези, които нямат търпение веднага да преминат към втората част, заповядайте. Да започнем с останалите по ред.
Основно правило за умножение
Нека започнем с най-простото - класически квадратни корени. Същите, които са означени с $\sqrt(a)$ и $\sqrt(b)$. Всичко им е очевидно:
Правило за умножение. За да умножите един квадратен корен по друг, просто умножете техните радикални изрази и запишете резултата под общия радикал:
\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]
Не се налагат допълнителни ограничения върху числата отдясно или отляво: ако съществуват коренните фактори, значи продуктът също съществува.
Примери. Нека да разгледаме четири примера с числа наведнъж:
\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \край (подравняване)\]
Както можете да видите, основното значение на това правило е да опрости ирационални изрази. И ако в първия пример ние сами бихме извлекли корените на 25 и 4 без нови правила, тогава нещата стават трудни: $\sqrt(32)$ и $\sqrt(2)$ не се разглеждат сами по себе си, а тяхното произведение се оказва перфектен квадрат, така че неговият корен е равен на рационално число.
Бих искал специално да подчертая последния ред. Там и двата радикални израза са дроби. Благодарение на продукта много фактори се отменят и целият израз се превръща в адекватно число.
Разбира се, нещата не винаги ще бъдат толкова красиви. Понякога под корените ще има пълни глупости - не е ясно какво да правите с него и как да го трансформирате след умножение. Малко по-късно, когато започнете да изучавате ирационални уравнения и неравенства, ще има всякакви променливи и функции. И много често авторите на проблеми разчитат на факта, че ще откриете някои анулиращи условия или фактори, след което проблемът ще бъде многократно опростен.
Освен това изобщо не е необходимо да се умножават точно два корена. Можете да умножите три, четири или дори десет наведнъж! Това няма да промени правилото. Погледни:
\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \край (подравняване)\]
И отново малка забележка към втория пример. Както можете да видите, в третия фактор под корена има десетична дроб - в процеса на изчисления го заместваме с обикновен, след което всичко лесно се намалява. И така: силно препоръчвам да се отървете от десетичните дроби във всички ирационални изрази (т.е. съдържащи поне един радикален символ). Това ще ви спести много време и нерви в бъдеще.
Но това беше лирично отклонение. Сега нека разгледаме по-общ случай - когато коренният показател съдържа произволно число $n$, а не само "класическите" две.
Случаят на произволен индикатор
И така, подредихме квадратните корени. Какво да правим с кубиците? Или дори с корени от произволна степен $n$? Да, всичко е същото. Правилото остава същото:
За да умножите два корена от степен $n$, е достатъчно да умножите техните радикални изрази и след това да запишете резултата под един радикал.
Като цяло, нищо сложно. Освен че количеството изчисления може да бъде по-голямо. Нека да разгледаме няколко примера:
Примери. Изчислете продуктите:
\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \край (подравняване)\]
И отново внимание към втория израз. Умножаваме кубичните корени, премахваме десетичната дроб и в крайна сметка знаменателят е произведението на числата 625 и 25. Това е доста голямо число - лично аз лично не мога да разбера на какво се равнява отгоре от главата ми.
Затова просто изолирахме точния куб в числителя и знаменателя и след това използвахме едно от ключовите свойства (или, ако предпочитате, дефиниция) на $n$-тия корен:
\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\надясно|. \\ \край (подравняване)\]
Такива „машинации“ могат да ви спестят много време на изпит или тест, така че помнете:
Не бързайте да умножавате числа с радикални изрази. Първо проверете: какво ще стане, ако точната степен на който и да е израз е „криптирана“ там?
Въпреки очевидността на тази забележка, трябва да призная, че повечето неподготвени студенти не виждат от упор точните степени. Вместо това те умножават всичко направо и след това се чудят: защо са получили толкова брутални числа? :)
Всичко това обаче са бебешки приказки в сравнение с това, което ще изучаваме сега.
Умножение на корени с различни степени
Добре, сега можем да умножим корени със същите показатели. Ами ако показателите са различни? Да речем, как да умножа обикновен $\sqrt(2)$ по някакви глупости като $\sqrt(23)$? Възможно ли е изобщо да се направи това?
Да, разбира се, че можете. Всичко се прави по тази формула:
Правило за умножение на корени. За да умножите $\sqrt[n](a)$ по $\sqrt[p](b)$, е достатъчно да извършите следната трансформация:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Тази формула обаче работи само ако радикалните изрази са неотрицателни. Това е много важна бележка, към която ще се върнем малко по-късно.
Засега нека да разгледаме няколко примера:
\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \край (подравняване)\]
Както можете да видите, нищо сложно. Сега нека разберем откъде идва изискването за неотрицателност и какво ще се случи, ако го нарушим. :)
Умножаването на корените е лесно Защо радикалните изрази трябва да са неотрицателни?
Разбира се, можете да бъдете като училищни учители и да цитирате учебника с умен поглед:
Изискването за неотрицателност е свързано с различни дефиниции на корени от четни и нечетни степени (съответно техните области на дефиниране също са различни).
Е, стана ли по-ясно? Лично аз, когато прочетох тази глупост в 8-ми клас, разбрах нещо като следното: „Изискването за неотрицателност е свързано с *#&^@(*#@^#)~%“ - накратко, аз По онова време не разбирам нищо. :)
Така че сега ще обясня всичко по нормален начин.
Първо, нека разберем откъде идва горната формула за умножение. За да направите това, нека ви напомня едно важно свойство на корена:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
С други думи, можем лесно да повдигнем радикалния израз на всяка естествена степен $k$ - в този случай показателят на степента на корена ще трябва да бъде умножен по същата степен. Следователно можем лесно да редуцираме всякакви корени до общ показател и след това да ги умножим. Ето откъде идва формулата за умножение:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Но има един проблем, който рязко ограничава използването на всички тези формули. Помислете за това число:
Според току-що дадената формула можем да добавим произволна степен. Нека опитаме да добавим $k=2$:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]
Премахнахме минуса точно защото квадратът изгаря минуса (като всяка друга четна степен). Сега нека извършим обратната трансформация: „намалете“ двете в степента и степента. В крайна сметка всяко равенство може да се чете както отляво надясно, така и отдясно наляво:
\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](а); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \край (подравняване)\]
Но тогава се оказва някаква глупост:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]
Това не може да се случи, защото $\sqrt(-5) \lt 0$ и $\sqrt(5) \gt 0$. Това означава, че за четни степени и отрицателни числа нашата формула вече не работи. След което имаме две възможности:
- Да се удари в стената и да заяви, че математиката е глупава наука, в която „има някакви правила, но тези са неточни“;
- Въведете допълнителни ограничения, при които формулата ще стане 100% работеща.
В първия вариант ще трябва постоянно да хващаме „неработещи“ случаи - това е трудно, отнема много време и като цяло уф. Затова математиците предпочетоха втория вариант. :)
Но не се тревожете! На практика това ограничение не влияе по никакъв начин на изчисленията, тъй като всички описани проблеми се отнасят само до корени от нечетна степен и от тях могат да се вземат минуси.
Затова нека формулираме още едно правило, което общо взето важи за всички действия с корени:
Преди да умножите корени, уверете се, че радикалните изрази са неотрицателни.
Пример. В числото $\sqrt(-5)$ можете да премахнете минуса под знака на корена - тогава всичко ще бъде нормално:
\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt((((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]
Усещате ли разликата? Ако оставите минус под корена, тогава, когато радикалният израз е на квадрат, той ще изчезне и ще започнат глупости. И ако първо извадите минуса, тогава можете да квадратирате/махате, докато не посинеете - числото ще остане отрицателно. :)
По този начин най-правилният и най-надежден начин за умножаване на корените е следният:
- Премахнете всички негативи от радикалите. Минусите съществуват само в корени с нечетна множественост - те могат да бъдат поставени пред корена и, ако е необходимо, намалени (например, ако има два от тези минуси).
- Извършете умножение според правилата, разгледани по-горе в днешния урок. Ако показателите на корените са еднакви, ние просто умножаваме радикалните изрази. И ако са различни, използваме злата формула \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
- 3.Насладете се на резултата и добрите оценки.:)
Добре? Ще тренираме ли?
Пример 1: Опростете израза:
\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \край (подравняване)\]
Това е най-простият вариант: корените са еднакви и нечетни, единственият проблем е, че вторият фактор е отрицателен. Изваждаме този минус от снимката, след което всичко се изчислява лесно.
Пример 2: Опростете израза:
\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( подравняване)\]
Тук мнозина биха се объркали от факта, че изходът се оказа ирационално число. Да, случва се: не можахме напълно да се отървем от корена, но поне значително опростихме израза.
Пример 3: Опростете израза:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]
Искам да обърна внимание на тази задача. Тук има две точки:
- Коренът не е конкретно число или степен, а променливата $a$. На пръв поглед това е малко необичайно, но в действителност, когато решавате математически задачи, най-често трябва да се справяте с променливи.
- В крайна сметка успяхме да „намалим” радикалния показател и степента на радикална изява. Това се случва доста често. И това означава, че е възможно значително да се опростят изчисленията, ако не използвате основната формула.
Например можете да направите това:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\край (подравняване)\]
Всъщност всички трансформации са извършени само с втория радикал. И ако не опишете подробно всички междинни стъпки, тогава в крайна сметка количеството на изчисленията ще бъде значително намалено.
Всъщност вече се сблъскахме с подобна задача по-горе, когато решихме примера $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Сега може да се напише много по-просто:
\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \край (подравняване)\]
Е, подредихме умножението на корените. Сега нека разгледаме обратната операция: какво да правим, когато има продукт под корена?
Коренът n от число е число, което, когато се повдигне на тази степен, дава числото, от което се извлича коренът. Най-често се извършват действия с квадратни корени, които съответстват на 2 степени. Когато се извлича корен, често е невъзможно да се открие ясно и резултатът е число, което не може да бъде представено като естествена дроб (трансцендентална). Но използвайки някои техники, можете значително да опростите решението на примери с корени.
Ще имаш нужда
- – представяне на корен на число;
- – действия със степени;
- – формули за съкратено умножение;
- - калкулатор.
Инструкции
1. Ако не се изисква абсолютна точност, използвайте калкулатор, когато решавате примери с корени. За да извлечете корен квадратен от число, напишете го на клавиатурата и просто натиснете съответния бутон, който показва знака за корен. Както обикновено, калкулаторите вадят корен квадратен. Но за да изчислите корените на по-високи степени, използвайте функцията за повдигане на число на степен (на инженерен калкулатор).
2. За да намерите квадратния корен, увеличете числото на степен 1/2, кубичния корен на 1/3 и т.н. В същото време стриктно имайте предвид, че когато извличате корени от четни степени, числото трябва да е положително, напротив, калкулаторът просто няма да даде резултат. Това дължи ли се на факта, че когато се повдигне на четна степен, всяко число ще бъде положително, да речем (-2)^4=(-2)? (-2)? (-2)? (-2)=16. За да извлечете целия квадратен корен, когато е възможно, използвайте таблицата на квадратите на естествените числа.
3. Ако нямате калкулатор наблизо или имате нужда от безусловна точност в изчисленията, използвайте свойствата на корените, както и различни формули за опростяване на изрази. Възможно е да се извлекат частични корени от много числа. За да направите това, използвайте свойството, че коренът на произведението на 2 числа е равен на произведението на корените на тези числа?m?n=?m??n.
4. Пример. Изчислете стойността на израза (?80-?45)/?5. Директното изчисление няма да даде нищо, тъй като нито един корен не се извлича напълно. Трансформирайте израза (?16?5-?9?5)/ ?5=(?16??5-?9??5)/ ?5=?5?(?16-?9)/ ?5. Намалете числителя и знаменателя с?5, получавате (?16-?9)=4-3=1.
5. Ако радикалният израз или самият корен е вграден в степен, тогава при извличане на корена използвайте свойството, че показателят на радикалния израз може да бъде разделен на степента на корена. Ако делението се извършва изцяло, числото се въвежда отдолу на корена. Да кажем ?5^4=5?=25. Пример. Изчислете стойността на израза (?3+?5)?(?3-?5). Приложете формулата за квадратна разлика и получете (?3)?-(?5)?=3-5=-2.
Обикновената дроб е капризно число. Понякога човек трябва да страда, за да открие решението на проблема с фракцияи го представя в правилната форма. Като се научи да решава примерис фракция, можете лесно да се справите с това неприятно нещо.
Инструкции
1. Преглед на събирането и изваждането на дроби. Например 5/2+10/5. Намалете двете дроби до общ знаменател. За да направите това, намерете числото, което може да бъде разделено без остатък на знаменателя както на първата, така и на втората дроб. В нашия случай това е числото 10. Трансформирайте горните дроби, получава се 25/10+20/10.Сега съберете числителите заедно и оставете знаменателя непроменен. Оказва се 45 / 10. Можете да намалите получената фракция, тоест да разделите числителя и знаменателя на едно и също число. Оказва се 9/2 Изберете цялата част. Намерете най-голямото число, което може да се раздели без остатък на знаменателя. Това число е 8. Разделете го на знаменателя - това ще бъде цялата част. Оказва се, че общата сума е 4 1/2. Направете същото, когато изваждате дроби.
2. Преглед на умножението на дроби. Тук всичко е примитивно. Умножете числителите и знаменателите заедно. Например 2/5, умножено по 4/2, е равно на 8/10. Намалете дроба, за да получите 4/5.
3. Вижте разделянето на дроби. Когато извършвате това действие, обърнете една от дробите и след това умножете числителите и знаменателите. Да кажем, 2/5 делено на 4/2 - получавате 2/5, умножено по 2/4 - получавате 4/20. Намалете дроба, за да получите 1/5.
Видео по темата
