Как да намерите разликата на формула за аритметична прогресия. Как да намерите разликата на аритметична прогресия: формули и примери за решения

Концепция числова последователностпредполага, че всяко естествено число отговаря на някаква реална стойност. Такава поредица от числа може да бъде произволна или да има определени свойства - прогресия. В последния случай всеки следващ елемент (член) на редицата може да бъде изчислен с помощта на предишния.

Аритметична прогресия– поредица от числени стойности, в които нейните съседни членове се различават един от друг с едно и също число (всички елементи на серията, започвайки от 2-ри, имат подобно свойство). Това число - разликата между предишния и следващия член - е постоянно и се нарича прогресивна разлика.

Разлика в прогресията: определение

Помислете за последователност, състояща се от j стойности A = a (1), a (2), a (3), a (4) ... a (j), j принадлежи към набора от естествени числа N. Аритметика прогресията, според нейната дефиниция, е последователност, в която a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Стойността d е желаната разлика на тази прогресия.

d = a(j) – a(j-1).

Акцент:

• Нарастваща прогресия, в който случай d > 0. Пример: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Намаляваща прогресия, след това d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Прогресия на разликата и нейните произволни елементи

Ако са известни 2 произволни члена на прогресията (i-ти, k-ти), тогава разликата за дадена последователност може да се определи въз основа на връзката:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, което означава d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Разлика в прогресията и нейния първи член

Този израз ще помогне да се определи неизвестна стойност само в случаите, когато номерът на елемента на последователността е известен.

Прогресивна разлика и нейната сума

Сумата на една прогресия е сумата от нейните членове. За да изчислите общата стойност на първите j елемента, използвайте подходящата формула:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, но тъй като a(j) = a(1) + d(j – 1), тогава S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)

Аритметичната прогресия е поредица от числа, в която всяко число е по-голямо (или по-малко) от предишното с еднаква стойност.

Тази тема често изглежда сложна и неразбираема. Буквени индекси n-ти членпрогресии, разлики в прогресията - всичко това е някак объркващо, да... Нека разберем значението на аритметичната прогресия и всичко ще се оправи веднага.)

Концепцията за аритметична прогресия.

Аритметичната прогресия е много проста и ясна концепция. Имате ли съмнения? Напразно.) Вижте сами.

Ще напиша незавършена поредица от числа:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Можете ли да разширите тази серия? Кои числа ще дойдат следващите след петицата? Всички... ъъъ..., накратко, всички ще разберат, че следват числата 6, 7, 8, 9 и т.н.

Нека да усложним задачата. Давам ви незавършена поредица от числа:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Ще можете да уловите модела, да разширите серията и да дадете име седмономер на ред?

Ако сте разбрали, че това число е 20, поздравления! Не само се чувствахте ключови точки на аритметичната прогресия,но и успешно ги използва в бизнеса! Ако не сте го разбрали, прочетете нататък.

Сега нека преведем ключовите точки от усещанията в математика.)

Първата ключова точка.

Аритметичната прогресия работи с серии от числа.Това е объркващо в началото. Свикнали сме да решаваме уравнения, да чертаем графики и всичко това... Но тук разширяваме серията, намираме номера на серията...

Всичко е наред. Просто прогресиите са първото запознанство с нов клон на математиката. Разделът се нарича "Поредици" и работи специално с серии от числа и изрази. Свиквай.)

Втора ключова точка.

В аритметичната прогресия всяко число е различно от предишното със същата сума.

В първия пример тази разлика е една. Което и число да вземете, то е с едно повече от предишното. Във втория - три. Всяко число е с три повече от предишното. Всъщност именно този момент ни дава възможност да схванем модела и да изчислим следващите числа.

Трети ключов момент.

Този момент не е фрапантен, да... Но е много, много важен. Ето го: всеки номер на прогресиятастои на мястото си.Има първото число, има седмото, има четиридесет и петото и т.н. Ако ги смесите на случаен принцип, моделът ще изчезне. Аритметичната прогресия също ще изчезне. Това, което остава, е просто поредица от числа.

Това е целият смисъл.

Разбира се, в нова темапоявяват се нови термини и обозначения. Трябва да ги познавате. В противен случай няма да разберете задачата. Например, ще трябва да решите нещо като:

Запишете първите шест члена на аритметичната прогресия (a n), ако a 2 = 5, d = -2,5.

Вдъхновяващо?) Букви, малко индекси... И задачата, между другото, не може да бъде по-проста. Просто трябва да разберете значението на термините и обозначенията. Сега ще овладеем този въпрос и ще се върнем към задачата.

Термини и обозначения.

Аритметична прогресияе поредица от числа, в която всяко число е различно от предишното със същата сума.

Това количество се нарича . Нека разгледаме тази концепция по-подробно.

Разлика в аритметична прогресия.

Разлика в аритметична прогресияе сумата, с която всяко число на прогресия Повече ▼предишното.

Един важен момент. Моля, обърнете внимание на думата "Повече ▼".Математически това означава, че всяко число на прогресията е добавяйкиразлика в аритметичната прогресия спрямо предходното число.

Да изчислим, да речем второномера на серията, трябва да първиномер добавететочно тази разлика на аритметична прогресия. За изчисление пети- разликата е необходима добаветеДа се четвърто,добре и т.н.

Разлика в аритметична прогресияМоже би положителен,тогава всяко число от поредицата ще се окаже истинско повече от предишния.Тази прогресия се нарича повишаване на.Например:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Тук се получава всяко число добавяйки положително число, +5 към предишния.

Разликата може да е отрицателен,тогава всяко число в серията ще бъде по-малко от предишния.Тази прогресия се нарича (няма да повярвате!) намаляващи.

Например:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Тук също се получава всяко число добавяйкикъм предишното, но вече отрицателно число, -5.

Между другото, когато работите с прогресия, е много полезно веднага да определите нейния характер - дали е нарастваща или намаляваща. Това помага много да се ориентирате във вземането на решение, да забележите грешките си и да ги коригирате, преди да е станало твърде късно.

Разлика в аритметична прогресияобикновено се обозначава с буквата д.

Как да намеря д? Много просто. Необходимо е да се извади от всяко число в серията предишенномер. Извадете. Между другото, резултатът от изваждането се нарича "разлика".)

Нека дефинираме напр. дза увеличаване на аритметичната прогресия:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Взимаме произволно число от серията, което искаме, например 11. Изваждаме от него предишен номертези. 8:

Това е правилният отговор. За тази аритметична прогресия разликата е три.

Можете да го вземете всяко число на прогресията,защото за конкретна прогресия д-винаги същото.Поне някъде в началото на редицата, поне в средата, поне навсякъде. Не можете да вземете само първото число. Просто защото първото число няма предишен.)

Между другото, знаейки това d=3, намирането на седмото число от тази прогресия е много лесно. Да добавим 3 към петото число – получаваме шестото, то ще бъде 17. Да добавим три към шестото число, получаваме седмото число – двадесет.

Да дефинираме дза низходяща аритметична прогресия:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Напомням ви, че независимо от знаците, за да определите днужда от произволен номер отнеме предишния.Изберете произволно число на прогресията, например -7. Предишното му число е -2. Тогава:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Разликата на аритметичната прогресия може да бъде произволно число: цяло число, дробна, ирационална, всяко число.

Други термини и обозначения.

Всяко число от серията се нарича член на аритметична прогресия.

Всеки член на прогресията има собствен номер.Цифрите са строго подредени, без уловки. Първо, второ, трето, четвърто и т.н. Например, в прогресията 2, 5, 8, 11, 14, ... две е първият член, пет е вторият, единадесет е четвъртият, добре, разбирате...) Моля, разберете ясно - самите числаможе да бъде абсолютно всичко, цяло, дробно, отрицателно, каквото и да е, но номерация на числата- строго по ред!

Как да напиша прогресия в общ изглед? Няма проблем! Всяко число в серия се изписва като буква. За означаване на аритметична прогресия обикновено се използва буквата а. Членският номер се обозначава с индекс долу вдясно. Пишем термини, разделени със запетаи (или точка и запетая), както следва:

1, 2, 3, 4, 5, .....

а 1- това е първото число, а 3- трети и т.н. Нищо изискано. Тази серия може да бъде написана накратко така: (a n).

Случват се прогресии крайно и безкрайно.

Ultimateпрогресията има ограничен брой членове. Пет, тридесет и осем, каквото и да е. Но това е краен брой.

Безкраенпрогресия - има безкраен бройчленове, както можете да се досетите.)

Можете да напишете крайната прогресия през поредица като тази, всички термини и точка в края:

1, 2, 3, 4, 5.

Или така, ако има много членове:

1, 2, ... 14, 15.

IN кратка бележкаще трябва допълнително да посочите броя на членовете. Например (за двадесет членове), така:

(a n), n = 20

Една безкрайна прогресия може да бъде разпозната по многоточието в края на реда, както в примерите в този урок.

Сега можете да решите задачите. Задачите са прости, чисто за разбиране смисъла на аритметичната прогресия.

Примери за задачи за аритметична прогресия.

Нека разгледаме дадената по-горе задача в детайли:

1. Напишете първите шест члена на аритметичната прогресия (a n), ако a 2 = 5, d = -2,5.

Превеждаме задачата на разбираем език. Дадена е безкрайна аритметична прогресия. Второто число на тази прогресия е известно: а 2 = 5.Разликата в прогресията е известна: d = -2,5.Трябва да намерим първия, третия, четвъртия, петия и шестия член на тази прогресия.

За по-голяма яснота ще запиша серия според условията на задачата. Първите шест термина, където вторият член е пет:

1, 5, 3, 4, 5, 6,...

а 3 = а 2 + д

Заместете в израз а 2 = 5И d = -2,5. Не забравяйте за минуса!

а 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Получи се трети член по-малко от две. Всичко е логично. Ако числото е по-голямо от предишното отрицателенстойност, което означава, че самото число ще бъде по-малко от предишното. Прогресията намалява. Добре, нека го вземем предвид.) Отчитаме четвъртия член от нашата серия:

а 4 = а 3 + д

а 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

а 5 = а 4 + д

а 5=0+(-2,5)= - 2,5

а 6 = а 5 + д

а 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Така бяха изчислени термини от трети до шести. Резултатът е следната серия:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Остава да намерим първия член а 1според известното второ. Това е стъпка в другата посока, наляво.) И така, разликата в аритметичната прогресия дне трябва да се добавя към а 2, А за вкъщи:

а 1 = а 2 - д

а 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Това е. Отговор на задачата:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Между другото бих искал да отбележа, че решихме тази задача рецидивиращначин. Това страшна думапросто означава търсене на член на прогресията според предходния (съседен) номер.По-долу ще разгледаме други начини за работа с прогресия.

От тази проста задача може да се направи един важен извод.

Помня:

Ако знаем поне един член и разликата на аритметична прогресия, можем да намерим всеки член на тази прогресия.

Помниш ли? Това просто заключение ви позволява да разрешите повечето проблеми училищен курспо тази тема. Всички задачи се въртят наоколо три основнипараметри: член на аритметична прогресия, разлика на прогресия, номер на член на прогресия.Всичко.

Разбира се, цялата предишна алгебра не е отменена.) Неравенствата, уравненията и други неща са свързани с прогресията. Но според самата прогресия- всичко се върти около три параметъра.

Като пример, нека разгледаме някои популярни задачи по тази тема.

2. Запишете крайната аритметична прогресия като серия, ако n=5, d = 0,4 и a 1 = 3,6.

Тук всичко е просто. Всичко вече е дадено. Трябва да запомните как се броят членовете на една аритметична прогресия, да ги преброите и да ги запишете. Препоръчително е да не пропускате думите в условията на задачата: „окончателен“ и „ n=5". За да не броите, докато не сте напълно посинели.) Има само 5 (пет) члена в тази прогресия:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

а 4 = а 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

а 5 = а 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Остава да напиша отговора:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Друга задача:

3. Определете дали числото 7 ще бъде член на аритметичната прогресия (a n), ако a 1 = 4,1; d = 1,2.

Хм... Кой знае? Как да определим нещо?

Как-как... Запишете прогресията под формата на серия и вижте дали там ще има седем или не! Ние броим:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

а 4 = а 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Сега ясно се вижда, че сме само седем се промъкнамежду 6.5 и 7.7! Седем не попада в нашата серия от числа и следователно седем няма да бъде член на дадената прогресия.

Отговор: не.

И ето проблем, базиран на реална версия на GIA:

4. Изписани са няколко последователни членове на аритметичната прогресия:

...; 15; Х; 9; 6; ...

Ето една поредица, написана без край и начало. Няма номера на членове, няма разлика д. Всичко е наред. За да разрешите проблема, е достатъчно да разберете значението на аритметичната прогресия. Нека да погледнем и да видим какво е възможно да знамот този сериал? Кои са трите основни параметъра?

Членски номера? Тук няма нито едно число.

Но има три числа и - внимание! - дума "последователен"в състояние. Това означава, че числата са строго подредени, без пропуски. Има ли двама в този ред? съседниизвестни числа? Да, имам! Това са 9 и 6. Следователно можем да изчислим разликата на аритметичната прогресия! Извадете от шест предишенномер, т.е. девет:

Остават само дреболии. Кое число ще бъде предишното за X? Петнадесет. Това означава, че X може лесно да се намери чрез просто събиране. Добавете разликата на аритметичната прогресия към 15:

Това е всичко. Отговор: х=12

Ние решаваме следните проблеми сами. Забележка: тези проблеми не се основават на формули. Чисто, за да разберем значението на аритметичната прогресия.) Просто записваме поредица от цифри и букви, гледаме и я намираме.

5. Намерете първия положителен член от аритметичната прогресия, ако a 5 = -3; d = 1,1.

6. Известно е, че числото 5,5 е член на аритметичната прогресия (a n), където a 1 = 1,6; d = 1,3. Определете числото n на този член.

7. Известно е, че в аритметичната прогресия a 2 = 4; а 5 = 15,1. Намерете 3.

8. Изписани са няколко последователни членове на аритметичната прогресия:

...; 15,6; Х; 3.4; ...

Намерете члена на прогресията, обозначен с буквата x.

9. Влакът започна да се движи от гарата, като равномерно увеличаваше скоростта си с 30 метра в минута. Каква ще бъде скоростта на влака след пет минути? Дайте своя отговор в км/час.

10. Известно е, че в аритметичната прогресия a 2 = 5; а 6 = -5. Намерете 1.

Отговори (в безпорядък): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Всичко се получи? невероятно! Можете да овладеете аритметичната прогресия за повече високо ниво, в следващите уроци.

Не се ли получи всичко? Няма проблем. В специален раздел 555 всички тези проблеми са подредени част по част.) И, разбира се, е описана проста практическа техника, която веднага подчертава решението на такива задачи ясно, ясно, с един поглед!

Между другото, в пъзела с влака има два проблема, в които хората често се спъват. Единият е само по отношение на прогресията, а вторият е общ за всякакви задачи по математика, а също и по физика. Това е превод на измеренията от едно в друго. Показва как трябва да се решават тези проблеми.

В този урок разгледахме елементарното значение на аритметична прогресия и нейните основни параметри. Това е достатъчно за решаване на почти всички проблеми по тази тема. Добавете дкъм числата, напишете серия, всичко ще бъде решено.

Решението с пръст работи добре за много къси части от ред, както в примерите в този урок. Ако серията е по-дълга, изчисленията стават по-сложни. Например, ако в задача 9 във въпроса сменим "пет минути"На "тридесет и пет минути"проблемът ще се влоши значително.)

А има и задачи, които са прости по същество, но абсурдни по отношение на изчисленията, например:

Дадена е аритметична прогресия (a n). Намерете 121, ако a 1 =3 и d=1/6.

И какво, ще добавяме 1/6 много, много пъти?! Можеш да се самоубиеш!?

Можете.) Ако не знаете проста формула, чрез която можете да решите такива задачи за минута. Тази формула ще бъде в следващия урок. И този проблем там е решен. След минутка.)

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

Например последователността \(2\); \(5\); \(8\); \(единадесет\); \(14\)... е аритметична прогресия, тъй като всеки следващ елемент се различава от предходния с три (може да се получи от предишния чрез добавяне на три):

В тази прогресия разликата \(d\) е положителна (равна на \(3\)) и следователно всеки следващ член е по-голям от предишния. Такива прогресии се наричат повишаване на.

Въпреки това, \(d\) също може да бъде отрицателно число. Например, в аритметична прогресия \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... прогресивната разлика \(d\) е равна на минус шест.

И в този случай всеки следващ елемент ще бъде по-малък от предишния. Тези прогресии се наричат намаляващи.

Нотиране на аритметична прогресия

Прогресията се обозначава с малка латинска буква.

Числата, които образуват прогресия, се наричат членове(или елементи).

Те се обозначават със същата буква като аритметична прогресия, но с цифров индекс, равен на номера на елемента в реда.

Например, аритметичната прогресия \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) се състои от елементите \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) и така нататък.

С други думи, за прогресията \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Решаване на задачи с аритметична прогресия

По принцип информацията, представена по-горе, вече е достатъчна за решаване на почти всеки проблем с аритметична прогресия (включително предлаганите в OGE).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се определя от условията \(b_1=7; d=4\). Намерете \(b_5\).
Решение:

Отговор: \(b_5=23\)

Пример (OGE). Дадени са първите три члена на една аритметична прогресия: \(62; 49; 36…\) Намерете стойността на първия отрицателен член на тази прогресия..
Решение:

Отговор: \(-3\)

Пример (OGE). Дадени са няколко последователни елемента от аритметична прогресия: \(…5; x; 10; 12,5...\) Намерете стойността на елемента, обозначен с буквата \(x\).
Решение:

Отговор: \(7,5\).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се определя от следните условия: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Намерете сумата от първите шест члена на тази прогресия.
Решение:

Отговор: \(S_6=9\).

Пример (OGE). В аритметична прогресия \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Намерете разликата на тази прогресия.
Решение:

Отговор: \(d=7\).

Важни формули за аритметична прогресия

Както можете да видите, много проблеми с аритметичната прогресия могат да бъдат решени просто чрез разбиране на основното нещо - че аритметичната прогресия е верига от числа и всеки следващ елемент в тази верига се получава чрез добавяне на същото число към предишното ( разлика в прогресията).

Въпреки това, понякога има ситуации, при които вземането на решение „директно“ е много неудобно. Например, представете си, че в първия пример трябва да намерим не петия елемент \(b_5\), а триста осемдесет и шестия \(b_(386)\). Трябва ли да добавим четири \(385\) пъти? Или си представете, че в предпоследния пример трябва да намерите сумата от първите седемдесет и три елемента. Ще се уморите да броите...

Следователно в такива случаи те не решават нещата „директно“, а използват специални формули, извлечени за аритметична прогресия. И основните от тях са формулата за n-тия член на прогресията и формулата за сумата от \(n\) първи членове.

Формула на \(n\)-тия член: \(a_n=a_1+(n-1)d\), където \(a_1\) е първият член на прогресията;
\(n\) – номер на търсения елемент;
\(a_n\) – член на прогресията с номер \(n\).

Тази формула ни позволява бързо да намерим дори тристотния или милионния елемент, знаейки само първия и разликата на прогресията.

Пример. Аритметичната прогресия се определя от условията: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Намерете \(b_(246)\).
Решение:

Отговор: \(b_(246)=1850\).

Формула за сумата от първите n члена: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), където

\(a_n\) – последният сумиран член;

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се определя от условията \(a_n=3.4n-0.6\). Намерете сумата от първите \(25\) членове на тази прогресия.
Решение:

Отговор: \(S_(25)=1090\).

За сумата \(n\) от първите членове можете да получите друга формула: просто трябва да \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) вместо \(a_n\) заменете формулата за него \(a_n=a_1+(n-1)d\). Получаваме:

Формула за сумата от първите n члена: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), където

\(S_n\) – исканата сума от \(n\) първи елементи;
\(a_1\) – първият сумиран член;
\(d\) – разлика в прогресията;
\(n\) – общ брой елементи.

Пример. Намерете сумата от първите \(33\)-ex членове на аритметичната прогресия: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Решение:

Отговор: \(S_(33)=-231\).

По-сложни задачи с аритметична прогресия

Сега разполагате с цялата необходима информация, за да решите почти всеки проблем с аритметична прогресия. Нека завършим темата, като разгледаме задачи, в които не само трябва да прилагате формули, но и да мислите малко (в математиката това може да бъде полезно ☺)

Пример (OGE). Намерете сумата от всички отрицателни членове на прогресията: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Решение:

Отговор: \(S_(65)=-630,5\).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се определя от условията: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Намерете сумата от \(26\)-ия до \(42\) елемент включително.
Решение:

Отговор: \(S=1683\).

За аритметичната прогресия има още няколко формули, които не разгледахме в тази статия поради ниската им практическа полезност. Можете обаче лесно да ги намерите.

Сума от аритметична прогресия.

Сборът на аритметичната прогресия е просто нещо. И като смисъл, и като формула. Но по тази тема има всякакви задачи. От основно до доста солидно.

Първо, нека разберем значението и формулата на сумата. И тогава ще решим. За ваше собствено удоволствие.) Значението на сумата е просто като мучене. За да намерите сумата на аритметична прогресия, просто трябва внимателно да съберете всички нейни членове. Ако тези термини са малко, можете да добавите без никакви формули. Но ако има много, или много... добавянето е досадно.) В този случай формулата идва на помощ.

Формулата за сумата е проста:

Нека да разберем какъв вид букви са включени във формулата. Това ще изясни много нещата.

S n - сумата от аритметична прогресия. Резултат от добавянето всекичленове, с първиот последно.Важно е. Събират се точно всичкочленове подред, без прескачане или прескачане. И по-точно, започвайки от първи.При проблеми като намирането на сбора от третия и осмия член или сбора от петия до двадесетия член, директното прилагане на формулата ще ви разочарова.)

а 1 - първичлен на прогресията. Тук всичко е ясно, просто е първиномер на ред.

a n- последночлен на прогресията. Последният номер от поредицата. Не много познато име, но когато се приложи към сумата, е много подходящо. Тогава ще се убедите сами.

н - номер на последния член. Важно е да се разбере, че във формулата това число съвпада с броя на добавените термини.

Нека дефинираме понятието последночлен a n. Труден въпрос: кой член ще бъде последниятако е дадено безкраенаритметична прогресия?)

За да отговорите уверено, трябва да разберете елементарния смисъл на аритметичната прогресия и... прочетете внимателно задачата!)

В задачата за намиране на сумата от аритметична прогресия последният член винаги се появява (пряко или косвено), които трябва да бъдат ограничени.Иначе крайна, конкретна сума просто не съществува.За решението няма значение дали е дадена прогресията: крайна или безкрайна. Няма значение как е дадено: поредица от числа или формула за n-тия член.

Най-важното е да разберете, че формулата работи от първия член на прогресията до члена с числото н.Всъщност пълното име на формулата изглежда така: сумата от първите n члена на аритметична прогресия.Броят на тези най-първи членове, т.е. н, се определя единствено от задачата. В една задача цялата тази ценна информация често е криптирана, да... Но няма значение, в примерите по-долу разкриваме тези тайни.)

Примери за задачи върху сумата от аритметична прогресия.

Преди всичко, полезна информация:

Основната трудност при задачите, включващи сумата от аритметична прогресия, се състои в правилното определяне на елементите на формулата.

Авторите на задачите криптират тези елементи с безгранично въображение.) Основното тук е да не се страхувате. Разбирайки същността на елементите, достатъчно е просто да ги дешифрирате. Нека разгледаме няколко примера в детайли. Нека започнем със задача, базирана на реален GIA.

1. Аритметичната прогресия се дава от условието: a n = 2n-3,5. Намерете сумата на първите 10 члена.

Добра работа. Лесно.) За да определим количеството с помощта на формулата, какво трябва да знаем? Първи член а 1, последен срок a n, да номерът на последния член н.

Къде мога да получа номера на последния член? н? Да, точно там, при условие! Казва: намерете сумата първите 10 членове.Е, с кой номер ще е? последно,десети член?) Няма да повярвате, номерът му е десети!) Следователно, вместо a nЩе заместим във формулата а 10, а вместо това н- десет. Повтарям, номерът на последния член съвпада с броя на членовете.

Остава да се определи а 1И а 10. Това лесно се изчислява с помощта на формулата за n-тия член, която е дадена в формулировката на задачата. Не знаете как да направите това? Посетете предишния урок, без това няма как.

а 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

а 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Открихме значението на всички елементи от формулата за сумата от аритметична прогресия. Остава само да ги замените и да преброите:

Това е. Отговор: 75.

Друга задача, базирана на GIA. Малко по-сложно:

2. Дадена е аритметична прогресия (a n), чиято разлика е 3,7; a 1 =2,3. Намерете сумата на първите 15 члена.

Веднага записваме формулата за сумата:

Тази формула ни позволява да намерим стойността на всеки термин по неговия номер. Търсим проста замяна:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Остава да замените всички елементи във формулата за сумата на аритметичната прогресия и да изчислите отговора:

Отговор: 423.

Между другото, ако във формулата за сумата вместо a nПросто заместваме формулата за n-тия член и получаваме:

Нека представим подобни и да получим нова формула за сумата от членовете на аритметичната прогресия:

Както можете да видите, n-тият член не е необходим тук a n. При някои проблеми тази формула помага много, да... Можете да я запомните тази формула. Или можете просто да го покажете в точното време, като тук. В крайна сметка винаги трябва да помните формулата за сумата и формулата за n-тия член.)

Сега задачата под формата на кратко криптиране):

3. Намерете сбора на всички положителни двуцифрени числа, кратни на три.

Еха! Нито първият член, нито последният, нито прогресията изобщо... Как да живееш!?

Ще трябва да помислите с главата си и да извадите всички елементи от сумата на аритметичната прогресия от условието. Знаем какво представляват двуцифрените числа. Те се състоят от две числа.) Какво двуцифрено число ще бъде първи? 10, вероятно.) А последно нещодвуцифрено число? 99, разбира се! Трицифрените ще го последват...

Кратни на три... Хм... Това са числа, които се делят на три, тук! Десет не се дели на три, 11 не се дели... 12... се дели! И така, нещо се очертава. Вече можете да запишете серия според условията на проблема:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Тази поредица ще бъде ли аритметична прогресия? Със сигурност! Всеки термин се различава от предишния със строго три. Ако добавите 2 или 4 към термин, да речем, резултатът, т.е. новото число вече не се дели на 3. Можете веднага да определите разликата в аритметичната прогресия: d = 3.Ще бъде полезно!)

Така че можем спокойно да запишем някои параметри на прогресията:

Какъв ще е номерът? нпоследен член? Който мисли, че 99, греши фатално... Числата винаги вървят подред, но нашите членове надскачат три. Те не съвпадат.

Тук има две решения. Един от начините е за супер трудолюбивите. Можете да запишете прогресията, цялата поредица от числа и да преброите броя на членовете с пръст.) Вторият начин е за замислените. Трябва да запомните формулата за n-тия член. Ако приложим формулата към нашия проблем, ще открием, че 99 е тридесетият член на прогресията. Тези. n = 30.

Нека да разгледаме формулата за сумата на аритметична прогресия:

Гледаме и се радваме.) Извадихме от формулировката на проблема всичко необходимо за изчисляване на сумата:

а 1= 12.

а 30= 99.

S n = S 30.

Остава само елементарна аритметика. Заместваме числата във формулата и изчисляваме:

Отговор: 1665

Друг вид популярен пъзел:

4. Като се има предвид аритметична прогресия:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Намерете сбора на членовете от двадесети до тридесет и четири.

Гледаме формулата за сумата и... се разстройваме.) Формулата, напомням, изчислява сумата от първиячлен. И в задачата трябва да изчислите сумата от двадесети...Формулата няма да работи.

Можете, разбира се, да напишете цялата прогресия в серия и да добавите членове от 20 до 34. Но... някак си е глупаво и отнема много време, нали?)

Има и по-елегантно решение. Нека разделим нашата серия на две части. Първата част ще бъде от първия мандат до деветнадесетия.Втора част - от двадесет до тридесет и четири.Ясно е, че ако изчислим сумата от членовете на първата част S 1-19, нека го съберем със сумата от членовете на втората част S 20-34, получаваме сумата от прогресията от първия член до тридесет и четвъртия S 1-34. Като този:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

От това можем да видим, че намираме сумата S 20-34може да се направи чрез просто изваждане

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Вземат се предвид и двете суми от дясната страна от първиячлен, т.е. стандартната формула за сумиране е напълно приложима за тях. Да започваме?

Извличаме параметрите на прогресията от изявлението на проблема:

d = 1,5.

а 1= -21,5.

За да изчислим сумите на първите 19 и първите 34 члена, ще ни трябват 19-ти и 34-ти член. Изчисляваме ги с помощта на формулата за n-тия член, както в задача 2:

а 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

а 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Нищо не остана. От сбора на 34 члена извадете сбора на 19 члена:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Отговор: 262,5

Една важна забележка! Има един много полезен трик за решаването на този проблем. Вместо директно изчисление от какво се нуждаете (S 20-34),преброихме нещо, което изглежда не е необходимо - S 1-19.И тогава те определиха S 20-34, изхвърляне на ненужното от пълния резултат. Този вид „финт с ушите“ често ви спестява от зли проблеми.)

В този урок разгледахме задачи, за които е достатъчно да разберем значението на сумата от аритметична прогресия. Е, трябва да знаете няколко формули.)

Практически съвети:

Когато решавате всяка задача, включваща сумата от аритметична прогресия, препоръчвам незабавно да напишете двете основни формули от тази тема.

Формула за n-тия член:

Тези формули веднага ще ви подскажат какво да търсите и в каква посока да мислите, за да разрешите проблема. Помага.

А сега задачите за самостоятелно решаване.

5. Намерете сбора на всички двуцифрени числа, които не се делят на три.

Страхотно?) Подсказката е скрита в бележката към проблем 4. Е, проблем 3 ще помогне.

6. Аритметичната прогресия е дадена от условието: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Намерете сумата на първите 24 члена.

Необичайно?) Това е повтаряща се формула. Можете да прочетете за това в предишния урок. Не пренебрегвайте връзката, такива проблеми често се срещат в Държавната академия на науките.

7. Вася спести пари за празника. До 4550 рубли! И реших да подаря на любимия си човек (себе си) няколко дни щастие). Живейте красиво, без да си отказвате нищо. Похарчете 500 рубли на първия ден и всеки следващ ден похарчете с 50 рубли повече от предишния! Докато свършат парите. Колко дни на щастие имаше Вася?

Трудно ли е?) Допълнителната формула от задача 2 ще помогне.

Отговори (в безпорядък): 7, 3240, 6.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

Много хора са чували за аритметичната прогресия, но не всеки има добра представа какво е това. В тази статия ще дадем съответното определение, а също така ще разгледаме въпроса как да намерим разликата на аритметичната прогресия и ще дадем редица примери.

Математическа дефиниция

Така че, ако ние говорим заза аритметична или алгебрична прогресия (тези понятия дефинират едно и също нещо), това означава, че има определена редица от числа, която отговаря на следния закон: всеки две съседни числа в серията се различават с една и съща стойност. Математически се записва така:

Тук n означава номера на елемента a n в редицата, а числото d е разликата на прогресията (името му следва от представената формула).

Какво означава да знаеш разликата d? За това колко „далеч“ са съседните числа едно от друго. Но познаването на d е необходимо, но не достатъчно условие за определяне (възстановяване) на цялата прогресия. Необходимо е да знаете още едно число, което може да бъде абсолютно всеки елемент от разглежданата серия, например 4, a10, но като правило те използват първото число, тоест 1.

Формули за определяне на елементите на прогресия

Като цяло информацията по-горе вече е достатъчна, за да преминете към решаване на конкретни проблеми. Въпреки това, преди да бъде дадена аритметичната прогресия и ще е необходимо да се намери нейната разлика, ще представим няколко полезни формули, като по този начин улесним последващия процес на решаване на проблеми.

Лесно е да се покаже, че всеки елемент от редицата с номер n може да бъде намерен, както следва:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Всъщност всеки може да провери тази формула чрез просто търсене: ако замените n = 1, получавате първия елемент, ако замените n = 2, тогава изразът дава сумата от първото число и разликата и т.н.

Условията на много задачи са съставени по такъв начин, че при известна двойка числа, чиито числа също са дадени в последователността, е необходимо да се реконструира цялата редица от числа (намерете разликата и първия елемент). Сега ще решим този проблем в обща форма.

И така, нека са дадени два елемента с номера n и m. Използвайки формулата, получена по-горе, можете да създадете система от две уравнения:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

За да намерим неизвестни количества, ще използваме добре позната проста техника за решаване на такава система: извадете лявата и дясната страна по двойки, равенството ще остане валидно. Ние имаме:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Така изключихме едно неизвестно (a 1). Сега можем да напишем крайния израз за определяне на d:

d = (a n - a m) / (n - m), където n > m

Получихме много проста формула: за да изчислим разликата d в ​​съответствие с условията на проблема, е необходимо само да вземем съотношението на разликите между самите елементи и техните серийни номера. Трябва да се обърне внимание на един важен момент: разликите се вземат между „старшите“ и „младшите“ членове, т.е. n > m („старши“ означава стоящ по-далеч от началото на последователността, неговата абсолютна стойност може да бъде или по-голям или по-малко по-"младши" елемент).

Изразът за прогресията на разликата d трябва да бъде заменен в някое от уравненията в началото на решаването на задачата, за да се получи стойността на първия член.

В нашата епоха на развитие на компютърните технологии много ученици се опитват да намерят решения за своите задачи в Интернет, така че често възникват въпроси от този тип: намерете разликата на аритметична прогресия онлайн. За такава заявка търсачката ще върне няколко уеб страници, като отидете на които ще трябва да въведете данните, известни от условието (това могат да бъдат два члена на прогресията или сбор от определен брой от тях ) и веднага ще получите отговор. Този подход към решаването на проблема обаче е непродуктивен по отношение на развитието на ученика и разбирането на същността на възложената му задача.

Решение без използване на формули

Нека решим първата задача, без да използваме някоя от дадените формули. Нека са дадени елементите на редицата: a6 = 3, a9 = 18. Намерете разликата на аритметичната прогресия.

Известни елементи стоят близо един до друг в редица. Колко пъти трябва да се добави разликата d към най-малкото, за да се получи най-голямото? Три пъти (първият път, добавяйки d, получаваме 7-ия елемент, втория път - осмия, накрая, третия път - деветия). Кое число трябва да се добави към три три пъти, за да се получи 18? Това е числото пет. Наистина ли:

Така неизвестната разлика d = 5.

Разбира се, решението можеше да се извърши с помощта на подходящата формула, но това не беше направено умишлено. Подробно обяснение на решението на проблема трябва да стане ясен и ясен пример за това какво е аритметична прогресия.

Задача, подобна на предишната

Сега нека решим подобен проблем, но да променим входните данни. Така че трябва да намерите дали a3 = 2, a9 = 19.

Разбира се, можете отново да прибягвате до метода на решение „челно“. Но тъй като са дадени елементи от серията, които са сравнително далеч един от друг, този метод няма да бъде напълно удобен. Но използването на получената формула бързо ще ни доведе до отговора:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Тук сме закръглили крайното число. Степента, в която това закръгляване е довело до грешка, може да се прецени чрез проверка на резултата:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Този резултат се различава само с 0,1% от стойността, дадена в условието. Следователно закръгляването, използвано до най-близките стотни, може да се счита за успешен избор.

Проблеми, свързани с прилагането на формулата за член

Нека разгледаме класически пример за задача за определяне на неизвестното d: намерете разликата на аритметична прогресия, ако a1 = 12, a5 = 40.

Когато са дадени две числа от неизвестна алгебрична редица и едното от тях е елементът a 1, тогава не е нужно да мислите дълго, а трябва веднага да приложите формулата за член a n. IN в такъв случайние имаме:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Получихме точното число при разделяне, така че няма смисъл да проверяваме точността на изчисления резултат, както беше направено в предишния параграф.

Нека решим друга подобна задача: трябва да намерим разликата на аритметична прогресия, ако a1 = 16, a8 = 37.

Използваме подход, подобен на предишния, и получаваме:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Какво още трябва да знаете за аритметичната прогресия?

В допълнение към проблемите за намиране на неизвестна разлика или отделни елементи, често е необходимо да се решават задачи за сумата от първите членове на редица. Разглеждането на тези задачи е извън обхвата на статията, но за пълнота на информацията, която представяме обща формулаза сумата от n числа в серия:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2