Четириъгълник с противоположни страни. Успоредникът е четириъгълник, чиито противоположни страни са сдвоени

Тема на урока

• Дефиниция на четириъгълник.

Цели на урока

• Образователни – повторение, обобщение и проверка на знанията по темата: „Четириъгълник”; развитие на основни умения.
• Развитие - развива вниманието, постоянството, постоянството на учениците, логично мислене, математическа реч.
• Образователни - чрез урока култивирайте внимателно отношение един към друг, внушавайте способността да слушате другарите, взаимопомощта и независимостта.

Цели на урока

• Развийте умения за конструиране на четириъгълник с помощта на мащабна линийка и чертожен триъгълник.
• Проверете уменията на учениците за решаване на проблеми.

План на урока

1. Историческа справка. Неевклидова геометрия.
2. Четириъгълник.
3. Видове четириъгълници.

Неевклидова геометрия

Неевклидова геометрия, геометрия, подобна на геометрията Евклидв това, че определя движението на фигурите, но се различава от евклидовата геометрия по това, че един от петте й постулата (вторият или петият) е заменен с нейното отрицание. Отрицанието на един от постулатите на Евклид (1825 г.) е значимо събитие в историята на мисълта, защото служи като първата стъпка към теория на относителността.

Вторият постулат на Евклид гласи това всеки сегмент от права линия може да бъде удължен за неопределено време. Евклид очевидно е вярвал, че този постулат също съдържа твърдението, че правата линия има безкрайна дължина. въпреки това в „елиптичната“ геометрия всяка права линия е крайна и подобно на кръга е затворена.

Петият постулат гласи, че ако една права пресича две дадени прави по такъв начин, че двата вътрешни ъгъла от едната й страна се събират до по-малко от два прави ъгъла, тогава тези две прави, ако се удължат за неопределено време, ще се пресичат от страната, където сборът от тези ъгли е по-малък от сбора на две прави линии. Но в „хиперболичната“ геометрия може да има права CB (виж фигурата), перпендикулярна в точка C на дадена права r и пресичаща друга права s под остър ъгъл в точка B, но въпреки това безкрайните прави r и s ще никога не се пресичат.

От тези ревизирани постулати следва, че сумата от ъглите на триъгълник, равна на 180° в евклидовата геометрия, е по-голяма от 180° в елиптичната геометрия и по-малка от 180° в хиперболичната геометрия.

Четириъгълник

Четириъгълникът е многоъгълник, състоящ се от четири точки (върхове) и четири сегмента (страни), свързващи тези точки по двойки.

Днес ще разгледаме геометрична фигура- четириъгълник. От името на тази фигура вече става ясно, че тази фигура има четири ъгъла. Но ние ще разгледаме останалите характеристики и свойства на тази фигура по-долу.

Какво е четириъгълник

Четириъгълникът е многоъгълник, състоящ се от четири точки (върхове) и четири сегмента (страни), свързващи тези точки по двойки. Площта на четириъгълника е равна на половината от произведението на неговите диагонали и ъгъла между тях.

Четириъгълникът е многоъгълник с четири върха, три от които не лежат на права линия.

Видове четириъгълници

• Четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни по две, се нарича успоредник.
• Четириъгълник, в който две срещуположни страни са успоредни, а другите две не са, се нарича трапец.
• Четириъгълник с всички прави ъгли е правоъгълник.
• Четириъгълник с равни страни е ромб.
• Четириъгълник, в който всички страни са равни и всички ъгли са прави, се нарича квадрат.

Четириъгълникът може да бъде:

Самопресичащи се

Неконвексен

Изпъкнал

Самопресичащ се четириъгълнике четириъгълник, в който всяка от страните му има пресечна точка (в синьо на фигурата).

Неизпъкнал четириъгълнике четириъгълник, в който един от вътрешни ъглиповече от 180 градуса (обозначено в оранжево на фигурата).

Сума от ъгливсеки четириъгълник, който не се пресича сам, винаги е равен на 360 градуса.

Специални видове четириъгълници

Четириъгълниците могат да имат допълнителни свойства, образувайки специални видове геометрични фигури:

• Успоредник
• Правоъгълник
• Квадрат
• Трапец
• Делтоид
• Контрауспоредник

Четириъгълник и кръг

Четириъгълник, описан около окръжност (окръжност, вписана в четириъгълник).

Основното свойство на описания четириъгълник:

Четириъгълник може да бъде описан около окръжност тогава и само ако сумите от дължините на срещуположните страни са равни.

Четириъгълник, вписан в окръжност (окръжност, описана около четириъгълник)

Основното свойство на вписан четириъгълник:

Четириъгълник може да бъде вписан в окръжност тогава и само ако сборът от противоположните му ъгли е равен на 180 градуса.

Свойства на дължините на страните на четириъгълник

Модул на разликата между произволни две страни на четириъгълникне надвишава сумата от другите му две страни.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| ≤ a + d

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

важно. Неравенството е вярно за всяка комбинация от страни на четириъгълник. Цифрата е предоставена единствено за по-лесно възприемане.

Във всеки четириъгълник сборът от дължините на трите му страни е не по-малък от дължината на четвъртата страна.

важно. При решаване на проблеми в рамките на училищна програмаможе да се използва строго неравенство (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

Успоредникът е четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни по двойки. B A C D ABIIDC, ADIIBC

Колко успоредника виждате на чертежа? a d e c a II c, d II e II f II b II g f b g

Свойства на успоредник 10. В успоредник срещуположните страни са равни и срещуположните ъгли са равни. B 3 2 1 C Доказателство: 4 D A 1 = 2, като NLU с ADIIBC и секанс AC 3 = 4, като NLU с ABIICD и секанс AC AC – обща страна ABC = CDA на страната и два съседни ъгъла AB = CD , AD =BC B= D A= C

Свойства на успоредник 20. Диагоналите на успоредник се делят наполовина от пресечната точка. Доказателство: B 2 4 A C 1 = 2, като NLU с 3 D ABIIDC и секанс BD 3 = 4, като NLU с ABIIDC и секанс AC AB=CD, като противоположни страни на успоредник 1 ABO = CDO от страната и две съседни на неговите ъгли AO=OS, VO=OD

Тези фигури илюстрират всички разглеждани свойства B C B A D A B C O A C D D

Допълнителни имоти. Сборът на съседните ъгли на успоредник е 1800. B C D A ABIIDC, ADIIBC Обосновете...

Периметърът на успоредник е 20 см. Може ли един от диагоналите да е 11 см? cm 11 Полупериметър B Десет сантиметра C A D Кое е най-голямото цяло число, което може да приеме дължината на един от диагоналите на този успоредник?

Учебни задачи върху готови чертежи. Намерете страните на успоредника ABCD, като знаете, че периметърът му е 24 см. AD ​​– AB = 3 см B C Страната AD е с 3 см по-голяма от страната AB x A x+3 D P = 24 cm 2(x+x+3) = 24 p=12 cm x+x+3 = 12

Намерете страните на успоредника ABCD, като знаете, че неговият периметър е 24 см. AB: BC = 1: 2 B 2 x C x A P = 24 cm 2(x + 2 x) = 24 D p = 12 cm x + 2 x = 12

Намерете страните на успоредника ABCD, като знаете, че неговият периметър е 24 см. MC – MV = 3 см B x M x + 3 450 A P = 24 см 2 (x + x + x + 3) = 24 Сечението MC е с 3 см по-голямо отсечка MV C D р=12 cm x+x+x+3 = 12

Дължината на едната страна на успоредник е 80% от дължината на другата страна. Намерете дължината на по-късата страна на този успоредник, ако неговият полупериметър е 18 см. B x C 0,8 x A D p = 18 cm x + 0,8 x = 18

Дължината на едната страна на успоредник е с 15% по-голяма от дължината на другата страна. Намерете дължината на по-голямата страна на този успоредник, ако неговият полупериметър е 8,6 cm B 1,15 x C x A D p = 8,6 cm x + 1,15 x = 8,6

Намерете ъглите на успоредника ABCD. B – B C x + 30 A x D A = 300 Ъгъл B е с 300 по-голям от ъгъл A

Сборът от градусните мерки на трите ъгъла на успоредник е 3000. Намерете големината на тъпия ъгъл на този успоредник. B C x A 180-те D

Намерете ъглите на успоредника ABCD (3600 - 400 2): 2 C B 1800 -400 140 A 400 D

№ 376 (c) Намерете ъглите на успоредника ABCD, ако B 1090 A 710 C 710 1090 D

№ 376 (c) Намерете ъглите на успоредника ABCD, ако B C x 2 x A A = 2 B Ъгъл A е 2 пъти по-голям от ъгъл B D

Теорема: Четириъгълникът е успоредник, ако:

1. противоположните му ъгли са равни;
2. противоположните му страни са равни по двойки;
3. неговите диагонали са разделени наполовина от точката на пресичане;
4. двете му срещуположни страни са успоредни и равни.

Доказателство:

A. Нека ъглите K и M в четириъгълника KLMN са равни един на друг и равни на a, нека ъглите L и N също са равни един на друг и равни на r (фигура). Като се има предвид, че сумата от ъглите на четириъгълник е 360°, получаваме, че 2α + 2β = 360°, или α + β = 180°. Като се има предвид, че ъглите K и L, равни съответно на въздух, са вътрешни едностранни ъгли с прави KN и LM, пресечени от права KL, заключаваме, че страните KN и LM са успоредни. Освен това въз основа на ъглите K и N заключаваме, че страните KL и NM са успоредни. Сега, чрез дефиницията на успоредник, ние твърдим, че четириъгълникът KLMN е успоредник.

Б. Нека страните CD и FE, както и CF и DE са равни по двойки в четириъгълника CDEF (фигура). Нека начертаем един от диагоналите на четириъгълника, например CE. Триъгълниците CDE и EFC са равни по три страни. Следователно ъглите DEC и FCE са равни. Тъй като тези ъгли са вътрешни ъгли, лежащи на кръст с правите DE и CF, пресечени от правата CE, тогава страните DE и CF са успоредни. Освен това от равенството на ъглите DCE и FEC получаваме, че страните CD и FE са успоредни. Сега, чрез дефиницията на успоредник, заявяваме, че четириъгълникът CDEF е успоредник.

C. Нека точката B от пресечната точка на диагоналите IL и KM на четириъгълника IKLM разделя тези диагонали наполовина: IB = BL и KB = BM (фигура). Тогава триъгълниците KBL и MBI са равни по две страни и ъгъл между тях. Това ни позволява да твърдим, че ъглите 1MB и LKB са равни, което означава, че страните IM и KL са успоредни. По същия начин от равенството на триъгълниците KBI и MBL заключаваме, че страните IK и LM са успоредни. Сега, по дефиницията на успоредник, можем да кажем, че четириъгълникът IKLM е успоредник. Много често трябва да знаете това, когато решавате олимпиадни задачи на училищни състезания.

D. Нека срещуположните страни OP и RQ в четириъгълника OPQR са успоредни и равни (фигура). Нека начертаем диагонала OQ. Получените ъгли POQ и RQO са равни, тъй като са вътрешни напречно лежащи с успоредни прави OP и RQ, пресечени от правата OQ. Следователно триъгълниците OPQ и RQO са равни по двете страни и ъгъла между тях. Това означава, че съответните им ъгли PQO и ROQ са равни.

И тъй като те са вътрешни напречни ъгли на правите PQ и OR, пресечени от правата OQ, тогава страните PQ и OR са успоредни. Отчитайки успоредността на страните OP и RQ, по определението за успоредник твърдим, че четириъгълникът OPQR е успоредник.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• Ако е необходимо - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи в Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.