Тригонометрични функции. Изразяване и преобразуване на тригонометрични формулни функции

Изпълнява се за всички стойности на аргумент (от обща площдефиниции).

Универсални формули за заместване.

С тези формули е лесно да превърнете всеки израз, който съдържа различни тригонометрични функции на един аргумент, в рационален израз на една функция tg (α /2):

Формули за превръщане на сборовете в произведения и произведенията в сборове.

Преди това горните формули бяха използвани за опростяване на изчисленията. Те изчисляваха с помощта на логаритмични таблици, а по-късно - с логаритмична линейка, тъй като логаритмите са най-подходящи за умножаване на числа. Ето защо всеки оригинален израз беше намален до форма, която би била удобна за логаритмиране, тоест до продукти Например:

2 грях α грях b = cos (α - b) - cos (α + b);

2 cos α cos b = cos (α - b) + cos (α + b);

2 грях α cos b = грях (α - b) + грях (α + b).

къде е ъгълът, за който по-специално

Формулите за функциите тангенс и котангенс се получават лесно от горното.

Формули за намаляване на степента.

Използвайки тези формули, тригонометричните уравнения лесно се свеждат до уравнения с по-ниски степени. По същия начин се извеждат формули за намаляване на повече високи градуси гряхИ cos.

Изразяване на тригонометрични функции чрез една от тях на същия аргумент.

Знакът пред корена зависи от местоположението на четвърт ъгъл α .

IN трансформации на идентичността тригонометрични изразимогат да се използват следните алгебрични техники: събиране и изваждане на еднакви членове; извеждане на общия множител извън скоби; умножение и деление с една и съща величина; прилагане на формули за съкратено умножение; избор на пълен квадрат; разлагане на квадратен трином; въвеждане на нови променливи за опростяване на трансформациите.

Когато преобразувате тригонометрични изрази, които съдържат дроби, можете да използвате свойствата на пропорцията, съкращаване на дроби или преобразуване на дроби в общ знаменател. Освен това можете да използвате избора на цялата част от фракцията, като умножите числителя и знаменателя на фракцията с една и съща сума и също така, ако е възможно, да вземете предвид хомогенността на числителя или знаменателя. Ако е необходимо, можете да представите дроб като сбор или разлика на няколко по-прости дроби.

Освен това, когато се прилагат всички необходими методи за преобразуване на тригонометрични изрази, е необходимо постоянно да се взема предвид диапазонът от допустими стойности на преобразуваните изрази.

Нека да разгледаме няколко примера.

Пример 1.

Изчислете A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos ( 2x – 7π /2) +
+ sin (3π/2 – x) sin (2x –5π/2)) 2

Решение.

От формулите за намаляване следва:

sin (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;

sin (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x – π/2) = sin x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π/2 – x) = -cos x; sin (2x – 5π/2) = -cos 2x.

Откъдето, по силата на формулите за добавяне на аргументи и основното тригонометрично тъждество, получаваме

A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Отговор: 1.

Пример 2.

Преобразувайте израза M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ в произведение.

Решение.

От формули за събиране на аргументи и формули за преобразуване на суми тригонометрични функциив продукта след подходящо групиране, което имаме

M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α +β)/2) cos ((α + γ)/2).

Отговор: M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).

Пример 3.

Покажете, че изразът A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) взема единица за всички x от R и същото значение. Намерете тази стойност.

Решение.

Ето два начина за решаване на този проблем. Прилагайки първия метод, чрез изолиране на пълен квадрат и използване на съответните основни тригонометрични формули, получаваме

A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

Решавайки задачата по втория начин, разгледайте A като функция на x от R и изчислете нейната производна. След трансформациите получаваме

А´ = -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) sin (x + π/6)) – 2cos (x – π/6) sin (x – π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x – π/6)) – sin 2(x – π/6) =

Sin 2x – (sin (2x + π/3) + sin (2x – π/3)) =

Sin 2x – 2sin 2x · cos π/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.

Следователно, поради критерия за постоянство на функция, диференцируема на интервал, заключаваме, че

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R.

Отговор: A = 3/4 за x € R.

Основните техники за доказване на тригонометрични идентичности са:

а)намаляване на лявата страна на идентичността в дясната чрез подходящи трансформации;
б)намаляване на дясната страна на идентичността вляво;
V)редуциране на дясната и лявата страна на идентичността до една и съща форма;
G)свеждане до нула на разликата между лявата и дясната страна на доказваната идентичност.

Пример 4.

Проверете дали cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).

Решение.

Трансформирайки дясната страна на тази идентичност, използвайки съответните тригонометрични формули, имаме

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

Дясната страна на идентичността е намалена до лявата.

Пример 5.

Докажете, че sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2, ако α, β, γ – вътрешни ъглинякакъв триъгълник.

Решение.

Като се има предвид, че α, β, γ са вътрешните ъгли на някакъв триъгълник, получаваме, че

α + β + γ = π и следователно γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =

1/2 · (1 – cos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

Първоначалното равенство е доказано.

Пример 6.

Докажете, че за да бъде един от ъглите α, β, γ на триъгълника равен на 60°, е необходимо и достатъчно sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Решение.

Условието на този проблем включва доказване както на необходимост, така и на достатъчност.

Първо нека докажем необходимост.

Може да се покаже, че

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Следователно, като вземем предвид, че cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, получаваме, че ако един от ъглите α, β или γ е равен на 60°, тогава

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 и следователно sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Нека докажем сега адекватностпосоченото състояние.

Ако sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, тогава cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, и следователно

или cos (3α/2) = 0, или cos (3β/2) = 0, или cos (3γ/2) = 0.

следователно

или 3α/2 = π/2 + πk, т.е. α = π/3 + 2πk/3,

или 3β/2 = π/2 + πk, т.е. β = π/3 + 2πk/3,

или 3γ/2 = π/2 + πk,

тези. γ = π/3 + 2πk/3, където k ϵ Z.

От факта, че α, β, γ са ъглите на триъгълник, имаме

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Следователно, за α = π/3 + 2πk/3 или β = π/3 + 2πk/3 или

γ = π/3 + 2πk/3 от всички kϵZ само k = 0 е подходящо.

От това следва, че или α = π/3 = 60°, или β = π/3 = 60°, или γ = π/3 = 60°.

Твърдението е доказано.

Все още имате въпроси? Не сте сигурни как да опростите тригонометрични изрази?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

Дадени са връзките между основните тригонометрични функции – синус, косинус, тангенс и котангенс. тригонометрични формули. И тъй като има доста връзки между тригонометричните функции, това обяснява изобилието от тригонометрични формули. Някои формули свързват тригонометрични функции на един и същи ъгъл, други - функции на множество ъгли, трети - ви позволяват да намалите степента, а трети - изразяват всички функции чрез допирателна половин ъгъли т.н.

В тази статия ще изброим по ред всички основни тригонометрични формули, които са достатъчни за решаване на по-голямата част от тригонометричните задачи. За по-лесно запомняне и използване ще ги групираме по предназначение и ще ги въведем в таблици.

Навигация в страницата.

Основни тригонометрични тъждества

Основни тригонометрични тъждествадефинирайте връзката между синус, косинус, тангенс и котангенс на един ъгъл. Те следват от определението за синус, косинус, тангенс и котангенс, както и от концепцията за единичната окръжност. Те ви позволяват да изразите една тригонометрична функция по отношение на всяка друга.

За подробно описание на тези тригонометрични формули, тяхното извеждане и примери за приложение вижте статията.

Формули за намаляване

Формули за намаляванеследват от свойствата на синус, косинус, тангенс и котангенс, т.е. отразяват свойството на периодичност на тригонометричните функции, свойството на симетрия, както и свойството на изместване с зададен ъгъл. Тези тригонометрични формули ви позволяват да преминете от работа с произволни ъгли към работа с ъгли, вариращи от нула до 90 градуса.

Обосновката на тези формули, мнемонично правило за запомнянето им и примери за тяхното приложение могат да бъдат проучени в статията.

Формули за добавяне

Тригонометрични събирателни формулипоказват как тригонометричните функции на сумата или разликата на два ъгъла се изразяват чрез тригонометричните функции на тези ъгли. Тези формули служат като основа за извеждане на следните тригонометрични формули.

Формули за двойна, тройна и др. ъгъл

Формули за двойна, тройна и др. ъгъл (те се наричат ​​още формули за множество ъгли) показват как тригонометричните функции на двойно, тройно и т.н. ъгли () се изразяват чрез тригонометрични функции на един ъгъл. Тяхното извеждане се основава на формули за добавяне.

По-подробна информация е събрана в статията формули за двойно, тройно и т.н. ъгъл

Формули за половин ъгъл

Формули за половин ъгълпокажете как тригонометричните функции на половин ъгъл се изразяват чрез косинус на цял ъгъл. Тези тригонометрични формули следват от формулите двоен ъгъл.

Тяхното заключение и примери за приложение можете да намерите в статията.

Формули за намаляване на степента

Тригонометрични формули за намаляване на степенитеса предназначени да улеснят прехода от естествени степени на тригонометрични функции към синуси и косинуси на първа степен, но множество ъгли. С други думи, те ви позволяват да намалите мощностите на тригонометричните функции до първата.

Формули за сбор и разлика на тригонометрични функции

Основната цел формули за сбор и разлика на тригонометрични функциие да отидете до произведението на функциите, което е много полезно при опростяване на тригонометрични изрази. Тези формули също се използват широко при решаване тригонометрични уравнения, тъй като те ви позволяват да факторизирате сумата и разликата на синусите и косинусите.

Формули за произведението на синуси, косинуси и синус по косинус

Преходът от произведение на тригонометрични функции към сума или разлика се извършва с помощта на формулите за произведение на синуси, косинуси и синус по косинус.

Универсално тригонометрично заместване

Завършваме нашия преглед на основните формули на тригонометрията с формули, изразяващи тригонометрични функции по отношение на тангенса на половин ъгъл. Тази замяна се наричаше универсално тригонометрично заместване. Неговото удобство се крие във факта, че всички тригонометрични функции се изразяват по отношение на тангенса на половин ъгъл рационално без корени.

Библиография.

• Алгебра:Учебник за 9 клас. ср. училище/Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Изд. Теляковски С. А. - М.: Образование, 1990. - 272 с.: ил. - ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. И.Алгебра и началото на анализа: Учебник. за 10-11 клас. ср. училище - 3-то изд. - М.: Образование, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клас. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогоров - 14-то изд. - М.: Образование, 2004. - 384 с.: ил. - ISBN 5-09-013651-3.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.

Авторско право от cleverstudents

Всички права запазени.
Защитен от закона за авторското право. Никоя част от сайта, включително вътрешни материали и външен вид, не може да бъде възпроизвеждана под каквато и да е форма или използвана без предварителното писмено разрешение на притежателя на авторските права.