Можете ли да докажете, че сборът от ъглите в триъгълник е равен на 180 градуса? и получи най-добрия отговор
Отговор от Top_ed[гуру]
Защо да доказвате нещо, което вече е доказано много, много отдавна.
Теоремата за сумата на триъгълния ъгъл, класическа теорема на евклидовата геометрия, гласи, че
Сборът от ъглите на триъгълник е 180°.
Нека ABC е произволен триъгълник. Нека начертаем права през върха B, успоредна на правата AC. Нека отбележим точка D върху него, така че точките A и D да лежат на противоположните страни на правата BC.
Ъглите DBC и ACB са равни като вътрешни напречни, образувани от напречната BC с успоредни прави AC и BD. Следователно сборът от ъглите на триъгълник при върховете B и C е равен на ъгъл ABD.
Сборът от трите ъгъла на триъгълника е равен на сбора от ъглите ABD и BAC. Тъй като това са едностранни вътрешни ъгли за успоредни AC и BD и секуща AB, сборът им е 180°. Теоремата е доказана.
Отговор от Бориска(в)[гуру]
Мога, но не помня как))
Отговор от Мурашкина[гуру]
може. Спешно ли ти е? ? Явиш ли се на изпит за пети клас? ? :))
Отговор от Орий Семикин[гуру]
1. Зависи от геометрията на пространството. На равнината на Риман > 180, на квадрата. Лобачевски< 180. На Эвклидовой - равенство.
2. Начертайте линия през върха, успоредна на една от страните, и разгледайте напречните ъгли, образувани от двете страни и допълнителната линия. Полученият ъгъл (180) е равен на сумата от трите ъгъла на триъгълника.
Доказателството по същество се основава на факта, че може да се начертае само една успоредна права. Има много геометрии, където това не е така.
Отговор от Юрий[гуру]
Защо да доказвате това, което е доказано?)) Нарежете квадрата на две части, ако искате нещо ново))
Отговор от Николай Евгениевич[гуру]
аз не мога
Отговор от Алекс Бричка[експерт]
Да, тук няма какво да се доказва, просто трябва да добавите ъгли един към друг и това е.
Отговор от 2 отговора[гуру]
здравей Ето селекция от теми с отговори на вашия въпрос: Можете ли да докажете, че сборът от ъглите в триъгълник е равен на 180 градуса?
Теорема. Сборът от вътрешните ъгли на триъгълник е равен на два прави ъгъла.
Да вземем някакъв триъгълник ABC (фиг. 208). Нека означим вътрешните му ъгли с числата 1, 2 и 3. Нека го докажем
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.
Нека начертаем през някой връх на триъгълника, например B, права MN, успоредна на AC.
Във връх B получихме три ъгъла: ∠4, ∠2 и ∠5. Сборът им е прав ъгъл, следователно е равен на 180°:
∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.
Но ∠4 = ∠1 са вътрешни напречни ъгли с успоредни прави MN и AC и секуща AB.
∠5 = ∠3 - това са вътрешни напречни ъгли с успоредни прави MN и AC и секуща BC.
Това означава, че ∠4 и ∠5 могат да бъдат заменени с равните им ∠1 и ∠3.
Следователно ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Теоремата е доказана.
2. Свойство на външния ъгъл на триъгълник.
Теорема. Външен ъгъл на триъгълник е равен на сумата от два вътрешни ъгъла, които не са съседни на него.
Всъщност в триъгълник ABC (фиг. 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, но и ∠ВСD, външен ъгълна този триъгълник, несъседен на ∠1 и ∠2, също е равен на 180° - ∠3.
Така:
∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;
∠BCD = 180° - ∠3.
Следователно ∠1 + ∠2= ∠BCD.
Произведеното свойство на външния ъгъл на триъгълник изяснява съдържанието на доказаната по-рано теорема за външния ъгъл на триъгълник, която твърди само, че външният ъгъл на триъгълник е по-голям от всеки вътрешен ъгъл на триъгълник, който не е съседен на него; сега е установено, че външният ъгъл е равен на сумата от двата вътрешни ъгъла, които не са съседни на него.
3. Свойство на правоъгълен триъгълник с ъгъл 30°.
Теорема. Катет на правоъгълен триъгълник, лежащ срещу ъгъл от 30°, е равен на половината от хипотенузата.Нека влезе правоъгълен триъгълник ASV ъгъл B е 30° (фиг. 210). Тогава другият му остър ъгъл ще бъде равен на 60°.
Нека докажем, че катет AC е равен на половината от хипотенузата AB. Нека продължим крака AC отвъд върха прав ъгъл C и отделете отсечката CM, равна на отсечката AC. Свържете точка M с точка B. Полученият триъгълник ВСМ равен на триъгълник DIA Виждаме, че всеки ъгъл на триъгълник ABM е равен на 60°, следователно този триъгълник е равностранен триъгълник.
Кракът AC е равен на половината от AM и тъй като AM е равен на AB, катетът AC ще бъде равен на половината от хипотенузата AB.
Видео курсът „Вземете A“ включва всички теми, от които се нуждаете успешно завършванеЕдинен държавен изпит по математика за 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 Профил Единен държавен изпитпо математика. Подходящ и за полагане на основния единен държавен изпит по математика. Ако искате да издържите Единния държавен изпит с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!
Подготвителен курс за Единния държавен изпит за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от Единния държавен изпит по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със 100 точки, нито студент по хуманитарни науки не могат без тях.
Цялата необходима теория. Бързи начинирешения, клопки и тайни на единния държавен изпит. Анализирани са всички текущи задачи от част 1 от банката задачи на FIPI. Курсът напълно отговаря на изискванията на Единния държавен изпит 2018 г.
Курсът съдържа 5 големи теми, по 2,5 часа. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.
Стотици задачи за единен държавен изпит. Текстови задачии теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. теория, референтен материал, анализ на всички видове задачи за единен държавен изпит. Стереометрия. Хитри решения, полезни измамни листове, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата до задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Ясни обяснения на сложни концепции. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. Основа за решаване на сложни задачи от част 2 на Единния държавен изпит.
Цели и задачи:
Образователни:
- повторете и обобщете знанията за триъгълника;
- доказват теоремата за сбора от ъглите на триъгълник;
- практическа проверка на правилността на формулировката на теоремата;
- научете се да прилагате придобитите знания при решаване на проблеми.
Образователни:
- развиват геометричното мислене, интереса към предмета, познавателната и творческата дейност на учениците, математическата реч и способността за самостоятелно получаване на знания.
Образователни:
- развиват се личностни качестваученици, като решителност, постоянство, точност, умение за работа в екип.
Оборудване:мултимедиен проектор, триъгълници от цветна хартия, учебен комплекс „Жива математика”, компютър, екран.
Подготвителен етап:Учителят дава задача на ученика да се подготви историческа информацияотносно теоремата „Сумата от ъглите на триъгълник“.
Тип урок: изучаване на нов материал.
Напредък на урока
I. Организационен момент
поздрави Психологическото отношение на учениците към работата.
II. Загрявка
С геометричната фигура „триъгълник“ се запознахме в предишни уроци. Да повторим какво знаем за триъгълника?
Учениците работят по групи. Дава им се възможност да общуват помежду си, всеки самостоятелно да изгражда процеса на познание.
какво стана Всяка група прави своите предложения, учителят ги записва на дъската. Резултатите се обсъждат:
Фигура 1
III. Формулиране на целта на урока
И така, вече знаем доста за триъгълника. Но не всички. Всеки от вас има триъгълници и транспортири на бюрото си. Какъв проблем смятате, че можем да формулираме?
Учениците формулират задачата на урока - да намерят сбора от ъглите на триъгълник.
IV. Обяснение на нов материал
Практическа част(насърчава актуализирането на знанията и уменията за самопознание). Измерете ъглите с помощта на транспортир и намерете сбора им. Запишете резултатите в тетрадката си (чуйте получените отговори). Откриваме, че сборът на ъглите е различен за всеки (това може да се случи, защото транспортирът не е бил приложен точно, изчислението е извършено небрежно и т.н.).
Сгънете по пунктираните линии и разберете на какво още е равен сборът от ъглите на триъгълник:
а) 
Фигура 2
б) 
Фигура 3
V) 
Фигура 4
G) 
Фигура 5
г) 
Фигура 6
След приключване на практическата работа учениците формулират отговора: Сборът от ъглите на триъгълник е равен на градусната мярка на разгънатия ъгъл, т.е. 180°.
Учител: По математика практическа работаТова само позволява да се направи изявление, но то трябва да бъде доказано. Твърдение, чиято валидност се установява чрез доказателство, се нарича теорема. Каква теорема можем да формулираме и докажем?
Ученици: Сборът от ъглите на триъгълник е 180 градуса.
Историческа информация:Свойството на сбора от ъглите на триъгълник е установено през Древен Египет. Доказателството, посочено в съвременни учебници, съдържащ се в коментарите на Прокъл към Елементите на Евклид. Прокъл твърди, че това доказателство (фиг. 8) е открито от питагорейците (5 век пр.н.е.). В първата книга на Елементите Евклид излага друго доказателство на теоремата за сумата от ъглите на триъгълник, което може лесно да се разбере с помощта на чертеж (фиг. 7):
Фигура 7
Фигура 8
Чертежите се показват на екрана чрез проектор.
Учителят предлага да докаже теоремата с помощта на рисунки.
След това доказателството се извършва с помощта на учебно-образователния комплекс „Жива математика“. Учителят проектира доказателството на теоремата на компютъра.
Теорема за сбора от ъглите на триъгълник: „Сборът от ъглите на триъгълник е 180°“
Фигура 9
Доказателство:
а) 
Фигура 10
б) 
Фигура 11
V) 
Фигура 12
Учениците правят в тетрадки кратка бележкадоказателство на теоремата:
Теорема:Сборът от ъглите на триъгълник е 180°.
Фигура 13
дадени:Δ ABC
Докажи: A + B + C = 180°.
Доказателство:
Това, което трябваше да се докаже.
V. Phys. само минутка
VI. Обяснение на нов материал (продължение)
Следствието от теоремата за сумата от ъглите на триъгълник се извежда от учениците самостоятелно, това допринася за развитието на способността да формулират собствена гледна точка, да я изразяват и аргументират:
Във всеки триъгълник или всички ъгли са остри, или два са остри, а третият е тъп или прав..
Ако триъгълникът има всички остри ъгли, тогава той се нарича остроъгълен.
Ако един от ъглите на триъгълника е тъп, тогава той се нарича тъпоъгълен.
Ако един от ъглите на триъгълник е прав, тогава той се нарича правоъгълен.
Теоремата за сумата от ъглите на триъгълника ни позволява да класифицираме триъгълниците не само по страни, но и по ъгли. (Докато учениците представят видовете триъгълници, учениците попълват таблицата)
Таблица 1
| Триъгълен изглед | Равнобедрен | Равностранен | Разнообразен |
| Правоъгълна | 
|
|
|
| Тъп | 
|
|
|
| Остроъгълен | 
|
|
|
VII. Затвърдяване на изучения материал.
- Решете задачи устно:
(Чертежите се показват на екрана чрез проектор)
Задача 1. Намерете ъгъл C.
Фигура 14
Задача 2. Намерете ъгъл F.
Фигура 15
Задача 3. Намерете ъглите K и N.
Фигура 16
Задача 4. Намерете ъглите P и T.
Фигура 17
- Решете сами задача № 223 (б, г).
- Решете задачата на дъската и в тетрадките, ученик №224.
- Въпроси: Може ли триъгълникът да има: а) два прави ъгъла; б) две тъпи ъгли; в) един прав и един тъп ъгъл.
- (извършва се устно) Картите на всяка маса показват различни триъгълници. Определете на око вида на всеки триъгълник.
Фигура 18
- Намерете сумата от ъгли 1, 2 и 3.
Фигура 19
VIII. Обобщение на урока.
Учителят: Какво научихме? Приложима ли е теоремата за всеки триъгълник?
IX. Отражение.
Кажете ми настроението си, момчета! На обратната страна на триъгълника изобразете изражението на лицето си.
Фигура 20
домашна работа:параграф 30 (част 1), въпрос 1 гл. IV стр. 89 от учебника; № 223 (а, в), № 225.
Предварителна информация
Първо, нека да разгледаме директно концепцията за триъгълник.
Определение 1
Ще го наречем триъгълник геометрична фигура, който се състои от три точки, свързани с отсечки (фиг. 1).
Определение 2
В рамките на Дефиниция 1 точките ще наричаме върховете на триъгълника.
Определение 3
В рамките на Дефиниция 1 отсечките ще се наричат страни на триъгълника.
Очевидно всеки триъгълник ще има 3 върха, както и три страни.
Теорема за сбора на ъглите в триъгълник
Нека въведем и докажем една от основните теореми, свързани с триъгълниците, а именно теоремата за сбора от ъглите в триъгълник.
Теорема 1
Сборът от ъглите във всеки произволен триъгълник е $180^\circ$.
Доказателство.
Да разгледаме триъгълника $EGF$. Нека докажем, че сборът от ъглите в този триъгълник е равен на $180^\circ$. Нека направим допълнителна конструкция: начертайте правата $XY||EG$ (фиг. 2)
Тъй като правите $XY$ и $EG$ са успоредни, тогава $∠E=∠XFE$ лежи напречно на секущата $FE$, а $∠G=∠YFG$ лежи напречно на секущата $FG$
Ъгъл $XFY$ ще бъде обърнат и следователно е равен на $180^\circ$.
$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$
Следователно
$∠E+∠F+∠G=180^\circ$
Теоремата е доказана.
Теорема за външен ъгъл на триъгълник
Друга теорема за сумата от ъгли за триъгълник може да се счита за теоремата за външния ъгъл. Първо, нека представим тази концепция.
Определение 4
Ще наричаме външен ъгъл на триъгълник ъгъл, който ще бъде съседен на всеки ъгъл на триъгълника (фиг. 3).
Нека сега разгледаме директно теоремата.
Теорема 2
Външен ъгъл на триъгълник е равен на сбора от два ъгъла на триъгълника, които не са съседни на него.
Доказателство.
Да разгледаме произволен триъгълник $EFG$. Нека има външен ъгъл на триъгълника $FGQ$ (фиг. 3).
По теорема 1 ще имаме, че $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, следователно,
$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$
Тъй като ъгълът $FGQ$ е външен, той е съседен на ъгъл $∠G$, тогава
$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$
Теоремата е доказана.
Примерни задачи
Пример 1
Намерете всички ъгли на триъгълник, ако е равностранен.
Тъй като равностранен триъгълниквсички страни са равни, тогава ще имаме, че всички ъгли в него също са равни един на друг. Да ги обозначим степенни меркичрез $α$.
Тогава по теорема 1 ще получим
$α+α+α=180^\circ$
Отговор: всички ъгли са равни на $60^\circ$.
Пример 2
Намерете всички ъгли равнобедрен триъгълник, ако един от неговите ъгли е равен на $100^\circ$.
Нека въведем следното обозначение за ъгли в равнобедрен триъгълник:
Тъй като в условието не ни е дадено точно на какъв ъгъл е равен $100^\circ$, тогава са възможни два случая:
Ъгъл, равен на $100^\circ$, е ъгълът при основата на триъгълника.
Използвайки теоремата за ъглите в основата на равнобедрен триъгълник, получаваме
$∠2=∠3=100^\circ$
Но тогава само тяхната сума ще бъде по-голяма от $180^\circ$, което противоречи на условията на теорема 1. Това означава, че този случай не се случва.
Ъгъл, равен на $100^\circ$, е ъгълът между равни страни, т.е
