Прости и съставни числа
Определение 1. Общ делител на няколко естествени числа е число, което е делител на всяко от тези числа.
Определение 2. Най-големият общ делител се нарича най-голям общ делител (НОД).
Пример 1. Общите делители на числата 30, 45 и 60 са числата 3, 5, 15. Най-големият общ делител на тези числа е
НОД (30, 45, 10) = 15.
Определение 3. Ако най-големият общ делител на няколко числа е 1, тогава тези числа се наричат взаимно прости.
Пример 2. Числата 40 и 3 ще бъдат взаимно прости числа, но числата 56 и 21 не са взаимно прости, тъй като числата 56 и 21 имат общ множител 7, който е по-голям от 1.
Забележка. Ако числителят на дробта и знаменателят на дробта са взаимно прости числа, тогава такава дроб е несъкратима.
Алгоритъм за намиране на най-голям общ делител
Нека помислим алгоритъм за намиране на най-голям общ делителняколко числа в следния пример.
Пример 3. Намерете най-големия общ делител на числата 100, 750 и 800.
Решение . Нека разделим тези числа на прости множители:
Простият множител 2 се включва в първото разлагане на множители на степен 2, във второто разлагане – на степен 1, а в третото разлагане – на степен 5. Нека обозначим най-малкият от тези правомощия с буква а. Очевидно е, че а = 1 .
Простият множител 3 е включен в първото разлагане на множители на степен 0 (с други думи, факторът 3 изобщо не е включен в първото разлагане), във второто разлагане той е включен в степен 1, а в трето разлагане на множители – на степен 0. Нека обозначим най-малкият от тези правомощия с буква б. Очевидно е, че b = 0 .
Простият множител 5 се включва в първото разлагане на множители на степен 2, във второто разлагане – на степен 3, а в третото разлагане – на степен 2. Нека обозначим най-малкият от тези правомощия с буква в. Очевидно е, че ° С = 2 .
Еднакви подаръци могат да се направят от 48 бонбона „Лястовица” и 36 бонбона „Чебурашка”, ако трябва да използвате всички бонбони?
Решение. Всяко от числата 48 и 36 трябва да се дели на броя на подаръците. Затова първо записваме всички делители на числото 48.
Получаваме: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
След това записваме всички делители на числото 36.
Получаваме: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Общите множители на 48 и 36 са: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Виждаме, че най-голямото от тези числа е 12. То се нарича най-голям общ делител на числата 48 и 36.
Това означава, че можете да направите 12 подаръка. Всеки подарък ще съдържа 4 бонбона „Лястовица” (48:12=4) и 3 бонбона „Чебурашка” (36:12=3).
Съдържание на урока бележки към уроцитеподдържаща рамка презентация урок методи ускорение интерактивни технологии Практикувайте задачи и упражнения самопроверка работилници, обучения, казуси, куестове домашна работа въпроси за дискусия риторични въпроси от ученици Илюстрации аудио, видео клипове и мултимедияснимки, картинки, графики, таблици, диаграми, хумор, анекдоти, вицове, комикси, притчи, поговорки, кръстословици, цитати Добавки резюметастатии трикове за любознателните ясли учебници основен и допълнителен речник на термините други Подобряване на учебниците и уроцитекоригиране на грешки в учебникаактуализиране на фрагмент в учебник, елементи на иновация в урока, замяна на остарели знания с нови Само за учители перфектни уроци календарен планза година насокидискусионни програми Интегрирани уроциУрок по математика в 5А клас на тема:
(според учебника на G.V. Дорофеев, L.G. Peterson)
Учител по математика: Данилова С.И.
Тема на урока:Най-голям общ делител. Взаимно прости числа.
Тип урок:Урок за изучаване на нов материал.
Целта на урока: Получете универсален начин за намиране на най-големия общ делител на числата. Научете се да намирате gcd на числа, като използвате метода на факторизация.
Генерирани резултати:
Предмет:съставете и усвоете алгоритъм за намиране на НОД, тренирайте способността да го прилагате на практика.
лични:да развият способността да контролират процеса и резултата от образователните и математическите дейности.
Метасубект:развиват способността да намират gcd на числа, да прилагат критерии за делимост, да изграждат логически разсъждения, изводи и да правят заключения.
Планирани резултати:
Ученикът ще се научи да намира gcd на числа чрез разлагане на числа на прости множители.
Основни понятия: НОД на числа. Взаимно прости числа.
Форми на работа на студентите: челен, индивидуален.
Необходимо техническо оборудване: учителски компютър, проектор, интерактивна дъска.
Структура на урока.
Организиране на времето.
Устна работа. Гимнастика за ума.
Съобщение за темата на урока. Учене на нов материал.
Физкултурна минута.
Първично консолидиране на нов материал.
Самостоятелна работа.
Домашна работа. Отражение на дейността.
По време на часовете
Организиране на времето.(1 минута.)
Цели на етапа: да се осигури среда за работа на учениците от класа и психологически да ги подготви за комуникация в предстоящия урок
Поздравления:
Здравейте момчета!
Погледнахме се,
И всички седнаха тихо.
Камбаната вече удари.
Да започнем нашия урок.
Устна работа.Гимнастика на ума. (5 минути.)
Цели на етапа: запомнете и консолидирайте алгоритми за ускорени изчисления, повторете знаците за делимост на числата.
В старите времена в Русия казаха, че умножението е мъка, но разделянето е беда.
Всеки, който можеше бързо и точно да дели, беше смятан за велик математик.
Нека проверим дали можете да се наречете велики математици.
Да направим умствена гимнастика.
1) Изберете от различни
A=(716, 9012, 11211, 123400, 405405, 23025, 11175)
числа, кратни на 2, кратни на 5, кратни на 3.
2) Пресметнете устно:
5 . 37 . 2 = 3. 50 . 12 . 3 . 2 =
2. 25 . 51 . 3 . 4 = 4. 8 . 125 . 7 =
Мотивация за учебна дейност. Определяне на целите и задачите на урока.(4 мин.)
Мишена :
1) включване на учениците в образователни дейности;
2) организиране на дейности на учениците за създаване на тематични рамки: нови начини за намиране на GCD числа;
3) създават условия ученикът да развие вътрешна потребност от включване в образователни дейности.
– Момчета, по каква тема работихте в предишните уроци? (За разлагането на числата на прости множители) Какви знания ни трябваха? (признаци на делимост)
Отворихме тетрадките си, да проверим домашен номер № 638.
IN домашна работаС помощта на разлагане на множители определихте дали числото a се дели на числото b и намерихте частното. Нека проверим какво имаш. Нека проверим № 638. В кой падеж a се дели на b? Ако a се дели на b, тогава колко е b спрямо a? Какво е b за a и b? Как мислите как да намеря НОД на числата, ако едното от тях не се дели на другото? Какви са вашите предположения?
Сега нека да разгледаме проблема: „Какъв е най-големият брой еднакви подаръци, които могат да бъдат направени от 48 бонбона „катерица“ и 36 шоколада „вдъхновение“, ако трябва да използвате всички бонбони и шоколади?“
Напишете на дъската и в тетрадките:
36=2*2*3*3
48=2*2*2*2*3
НОД(36,48)=2*2*3=12
Как можем да приложим факторизиране, за да решим този проблем? Какво всъщност откриваме? НОД на числа. Каква е целта на нашия урок? Научете се да намирате gcd на числата по нов начин.
4. Докладвайте темата на урока. Учене на нов материал.(3,5 мин.)
Запишете номера и темата на урока: „Най-голям общ делител“.
(най-големият общ делител е най-големият по-голям брой, на което се дели всяко от дадените естествени числа). Всички естествени числа имат поне един общ делител - числото 1.
Много числа обаче имат няколко общи фактора. Универсален начин за намиране на НОД е да се разложат тези числа на прости множители.
Нека напишем алгоритъм за намиране на gcd на няколко числа.
Разделете дадените числа на прости множители.
Намерете еднакви множители и ги подчертайте.
Намерете произведението на общите множители.
Физкултурна минута(станаха от бюрата си) - флаш видео. (1,5 мин.)
(Алтернативен вариант:
Постигнахме заедно,
И се усмихнаха един на друг.
Едно - пляс и две - пляс.
Ляв крак - тропане, а десен крак - тропане.
Те поклатиха глави -
Изпъваме врата си.
Удар с крак, сега още един
Заедно можем всичко.)
Първично консолидиране на нов материал. ( 15 минути. )
Изпълнение на готовия проект
Мишена:
1) организира изпълнението на изградения проект в съответствие с плана;
2) организирайте записа на нов метод на действие в речта;
3) организирайте фиксирането на нов метод на действие в знаци (с помощта на стандарт);
4) организира запис на преодоляване трудности;
5) организира изясняване на общия характер на новите знания (възможността за използване на нов метод на действие за решаване на всички задачи от този тип).
Организация учебен процес: № 650(1-3), 651(1-3)
№ 650 (1-3).
№ 650 (2) разглобете подробно, т.к общ основни факториНе.
Първата точка е изпълнена.
2. д (А; b) = не
3. GCD ( А; b ) = 1
Какви интересни неща забелязахте? (Числата нямат общи прости множители.)
В математиката такива числа се наричат взаимно прости числа. Запис в тетрадките:
Числата, чийто най-голям общ делител е 1, се наричат взаимно прости.
АИ bотносително просто gcd ( а ; b ) = 1
Какво можете да кажете за най-големия общ делител на взаимно прости числа?
(Най-големият общ делител на взаимно прости числа е 1.)
№ 651 (1-3)
Задачата се изпълнява на дъската с коментари.
Нека разложим числата на прости множители, като използваме добре познатия алгоритъм:
75 3 135 3
25 5 45 3
5 5 15 3
1 5 5
НОД (75; 135) =3*5= 15.
180 2*5 210 2*5
18 2 21 3
9 3 7 7
3 3 1
НОД (180, 210)=2*5*3=30
125 5 462 2
25 5 231 3
5 5 77 7
1 11 11
НОД (125, 462)=1
7. Самостоятелна работа.(10 мин.)
Как можете да докажете, че сте се научили да намирате най-големия общ делител на числата по нов начин? (Трябва да свършите малко самостоятелна работа.)
Самостоятелна работа.
Намерете най-големия общ делител на числа, като използвате прости множители.
Опция 1 Вариант 2
a=2 × 3 × 3 × 7 × 11 1) a=2 × 3 × 5 × 7 × 7
b=2 × 5 × 7 × 7 × 13 b=3 × 3 × 7 × 13 × 19
60 и 165 2) 75 и 135
81 и 125 3) 49 и 125
4) 180, 210 и 240 (по избор)
Момчета, опитайте се да приложите знанията си, когато го правите самостоятелна работа.
Учениците първо правят самостоятелна работа, след това партньорска проверка и проверка с образец на слайда.
Проверка на самостоятелна работа:
Опция 1 Вариант 2
НОД(a,b)=2 × 7=14 1) НОД(a,b)=3 × 7=21
GCD( 60, 165 )=3 × 5 =15 2) НОД(75, 135)=3 × 5 =15
НОД(81, 125)=1 3) НОД(49, 125)=1
8. Отражение на дейността.(5 минути.)
Какво ново научихте в урока? (Нов начин за намиране на НОД с помощта на прости множители, кои числа се наричат взаимно прости, как да се намери НОД на числа, ако по-голямо число се дели на по-малко число.)
Каква цел си поставихте?
Постигнахте ли целта си?
Какво ви помогна да постигнете целта си?
– Определете сами истинността на едно от следните твърдения (R-1).
Какво трябва да направите у дома, за да разберете по-добре тази тема? (Прочетете параграфа и практикувайте намирането на GCD с помощта на нов метод).
Домашна работа:
клауза 2, №№ 672 (1,2); 673 (1-3), 674.
Определете дали едно от следните твърдения е вярно за вас:
„Разбрах как да намеря gcd на числата,“ 
„Знам как да намеря gcd на числата, но все още правя грешки,“ 
„Все още имам неразрешени въпроси.“
Покажете отговорите си като емотикони на лист хартия.
Помня!
Ако едно естествено число се дели само на 1 и на себе си, то се нарича просто.
Всяко естествено число винаги се дели на 1 и на себе си.
Числото 2 е най-малкото просто число. Това е единственото четно просто число; всички останали прости числа са нечетни.
Има много прости числа и първото сред тях е числото 2. Няма обаче последно просто число. В секцията „За изучаване“ можете да изтеглите таблица с прости числа до 997.
Но много естествени числа се делят и на други естествени числа.
Например:
- числото 12 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;
- Числото 36 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.
Числата, на които числото се дели на цяло (за 12 това са 1, 2, 3, 4, 6 и 12), се наричат делители на числото.
Помня!
Делителят на естествено число a е естествено число, което дели даденото число “a” без остатък.
Естествено число, което има повече от два делителя, се нарича съставно.
Моля, обърнете внимание, че числата 12 и 36 имат общи множители. Тези числа са: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Най-големият делител на тези числа е 12.
Общият делител на две дадени числа “a” и “b” е числото, на което и двете дадени числа “a” и “b” се делят без остатък.
Помня!
Най-голям общ делител(НОД) на две дадени числа “a” и “b” е най-голямото число, на което и двете числа “a” и “b” се делят без остатък.
Накратко най-големият общ делител на числата “a” и “b” се записва по следния начин:
НОД (a; b) .
Пример: gcd (12; 36) = 12.
Делителите на числата в записа на решението се означават с главна буква "D".
D (7) = (1, 7)
D (9) = (1, 9)
НОД (7; 9) = 1
Числата 7 и 9 имат само един общ делител - числото 1. Такива номера се наричат взаимнопрости числа.
Помня!
Взаимопрости числа- това са естествени числа, които имат само един общ делител - числото 1. Техният gcd е 1.
Как да намерим най-големия общ делител
За да намерите gcd на две или повече естествени числа, трябва:
- разлагат делителите на числата на прости множители;
Удобно е да пишете изчисления с помощта на вертикална лента. Отляво на линията първо записваме дивидента, отдясно - делителя. След това в лявата колона записваме стойностите на коефициентите.
Нека го обясним веднага с пример. Нека разложим числата 28 и 64 на прости множители.
- Подчертаваме едни и същи прости множители и в двете числа.
28 = 2 2 764 = 2 2 2 2 2 2
- Намерете произведението на идентични основни фактории запишете отговора;
НОД (28; 64) = 2 2 = 4Отговор: НОД (28; 64) = 4
Можете да формализирате местоположението на GCD по два начина: в колона (както е направено по-горе) или „в ред“.
