Човешкото мислене е структурирано по такъв начин, че светът изглежда се състои от отделни „обекти“. Философите отдавна знаят, че светът е единно неразривно цяло и изборът на обекти в него не е нищо повече от произволен акт на нашето мислене, което ни позволява да формираме картина, достъпна за рационален анализ. Но както и да е, идентифицирането на обекти и техните колекции е естествен начин за организиране на нашето мислене, така че не е изненадващо, че е в основата на основния инструмент за описание на точното знание - математиката.
Концепцията за множество е една от основните недефинирани концепции на математиката. Като минимум, това, което се знае за едно множество е, че то се състои от елементи. За категоричност приемаме следните формулировки.
Определение. Под множеството Сще разберем всяка колекция от определени и различими обекти, замислени като едно цяло. Тези обекти се наричат елементи на множеството С.
Определение. Под набор се разбира обединяването в едно цяло на определени напълно различими обекти (обекти), които след това се наричат елементи на набора, който образуват.
Наборите обикновено се обозначават с главни букви на латинската азбука: А, б, ° С, ...; и елементите на множествата са с малки букви: а, b, ° С, … .
Ако обектът хе елемент от множеството М, тогава те казват, че хпринадлежи М: хм. Иначе се говори така хне принадлежи М: хм.
В тази интуитивна дефиниция, която принадлежи на немския математик Г. Кантор, същественият факт е, че самата колекция от обекти се разглежда като един обект, мислен като едно цяло. Що се отнася до самите предмети, които могат да бъдат включени в комплекта, има значителна свобода по отношение на тях.
Пример 1
Това може да бъде набор от студенти, обучаващи се в университет, набор от прости числа и т.н.
Определение. Няколко Анаречено подмножество на множеството IN, ако всеки елемент от Ае елемент IN(обозначавам). Ако Ае подмножество INИ INне е подмножество А, тогава те казват, че Ае строго (правилно) подмножество IN(обозначавам).
Определение. Множество, което не съдържа елементи, се нарича празно (означава се с Æ); то е подмножество на всяко множество. Няколко Uсе нарича универсален, т.е. всички разглеждани множества са негово подмножество.
Нека разгледаме две дефиниции на равенство на множества.
Определение. Комплекти АИ INсе считат за равни, ако се състоят от едни и същи елементи, напишете А=Б, в противен случай А¹ IN.
Определение. Комплекти АИ INсе считат за равни, ако 
Има следните начини за дефиниране на множества :
1) изброяване на елементите: М = (а 1 , а 2 , …, a k} , т.е. списък на неговите елементи;
2) характерен предикат: М = (х | П(х)} (описание на характерните свойства, които трябва да притежават елементите му);
процедура за генериране: М = { х | х= f} , който описва метод за получаване на елементи от набор от вече получени елементи или други обекти. В този случай елементите на множеството са всички обекти, които могат да бъдат
1) са конструирани с помощта на тази процедура. Например наборът от всички цели числа, които са степени на две.
Коментирайте. Когато се дефинират набори чрез изброяване, обозначенията на елементи обикновено се затварят във фигурни скоби и се разделят със запетаи. Само крайни множества могат да бъдат определени чрез изброяване (броят на елементите на множеството е краен, в противен случай множеството се нарича безкрайно). Характерен предикат е някакво условие, изразено под формата на логически израз или процедура, която връща логическа стойност. Ако условието е изпълнено за даден елемент, то той принадлежи към дефинираното множество, в противен случай не принадлежи. Генерираща процедура е процедура, която, когато се изпълнява, генерира някои обекти, които са елементи от набора, който се дефинира. Безкрайните множества се определят от характерен предикат или генерираща процедура.
Пример 2
1) M = (1, 2, 3, 4)– изброяване на елементите на множество.
2) е характерен предикат.
Определение. Мощност на крайно множество Ае броят на неговите елементи.
Мощността на набора се означава с: | А|.
Пример 3
|| = 0; |{}| = 1.
Определение. Твърди се, че множествата са с еднаква мощност, ако мощностите им съвпадат.
Определение. Множеството от всички подмножества на множество A се нарича булево P(A).
Известно е, че ако набор Асъдържа нелементи, след това множеството П(А) съдържа 2 нелементи. В тази връзка се използва и обозначението за множество-степен на множество Акато 2 А.
Пример 4
A = (0, 1, 2),П(А) = { , {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}} .
Наборите могат да бъдат представени геометрично с помощта на диаграми на Ойлер-Вен. Изграждането на диаграмата се състои в начертаване на голям правоъгълник, представляващ универсалното множество U, а вътре в него - кръгове (или други затворени фигури), представляващи множества. Формите трябва да се пресичат по най-общия начин, изискван от проблема, и трябва да бъдат съответно етикетирани. Точките, разположени в различни области на диаграмата, могат да се разглеждат като елементи на съответните множества. С изградената диаграма можете да засенчвате определени области, за да посочите новосформирани набори.
Операциите с множества се считат за получаване на нови множества от съществуващи.
Определение. Обединение на комплекти АИ INе множество, състоящо се от всички онези елементи, които принадлежат на поне едно от множествата А,IN(фиг. 1.1):
Ориз. 1.1. Диаграма на Ойлер-Вен за унификация
Определение. Пресечна точка на множества АИ INе множество, състоящо се от всички онези и само онези елементи, които едновременно принадлежат на множеството А, и много IN(фиг. 1.2):
Ориз. 1.2. Диаграма на Ойлер-Вен за пресичане
Определение. Задайте разлика АИ INсе нарича набор от всички тези и само тези елементи А, които не се съдържат в IN(фиг. 1.3):
Ориз. 1.3. Диаграма на Ойлер-Вен за разлика
Определение. Симетрична множествена разлика АИ INе множеството от елементи на тези множества, които принадлежат или само на множеството А, или само към комплекта IN(фиг. 1.4):
Ориз. 1.4. Диаграма на Ойлер-Вен за симетрична разлика
Определение. Абсолютно допълнение към комплекта Ае множеството от всички онези елементи, които не принадлежат на множеството А(фиг. 1.5):
Ориз. 1.5. Диаграма на Ойлер-Вен за абсолютно допълнение
Пример 5
С помощта на диаграмите на Ойлер-Вен доказваме идентичността:
Нека да разгледаме лявата страна на релацията и да изпълним стъпките в ред:
1) намерете пресечната точка на множества INИ СЪС() (фиг. 1.6, а);
2) намерете обединението на полученото множество с множеството А() (фиг. 1.6, б).
Нека разгледаме дясната страна на връзката 
:
1) намерете обединението на множества АИ IN(фиг. 1.6, c);
2) намерете обединението на множества АИ СЪС(ориз.
1.6, d);
3) намерете пресечната точка на последните две множества и ( ) (фиг. 6, d):
И в двата случая (фиг. 1.6, b) и (фиг. 1.6, e) получаваме еднакви множества. Следователно първоначалното отношение е валидно.
Ориз. 1.6. Доказателство за самоличност с помощта на диаграми на Ойлер-Вен
Нека разгледаме основните тъждества на алгебрата на множествата. За произволни набори А,IN, И СЪСса валидни следните отношения (Таблица 1.11):
Таблица 1.11 Основни идентичности на алгебрата на множествата
|
Асоциация |
Пресечна точка |
|
1. Комутативност на съюза |
1'. Комутативност на пресичане |
|
2. Асоциативна асоциативност |
2′. Пресечна асоциативност |
|
3. Дистрибутивност на обединение по отношение на пресичане |
3′. Разпределимост на пресечната точка спрямо обединението |
|
4. Закони за действие с празни и универсални множества |
4'. Закони за действие с празни и универсални множества |
|
5. Закон за идемпотентността на съюза |
5'. Закон за идемпотентността на пресичането |
|
6. Закон на Де Морган |
6′. Закон на Де Морган |
|
7. Закон за поглъщането
|
7′. Закон за абсорбцията
|
|
8. Закон за залепването
|
8'. Закон за свързването
|
|
9. Закон на Порецки
|
9'. Законът на Порецки
|
|
10. Закон за двойното допълнение |
|
История
Определение 1
На Леонхард Ойлер беше зададен въпросът: възможно ли е, докато се разхождате из Кьонигсберг, да обиколите всички мостове на града, без да минавате през нито един от тях два пъти. Включен е план на града със седем моста.
В писмо до италиански математик, когото познава, Ойлер дава кратко и красиво решение на проблема с мостовете в Кьонигсберг: при такова разположение проблемът е неразрешим. В същото време той посочи, че въпросът му се струва интересен, тъй като... „Нито геометрията, нито алгебрата са достатъчни, за да го решат...“.
При решаването на много задачи Л. Ойлер изобразява множества с кръгове, поради което те получават името "Ойлерови кръгове". Преди това този метод е бил използван от немския философ и математик Готфрид Лайбниц, който ги е използвал за геометрично обяснение на логическите връзки между понятията, но по-често използваните линейни диаграми. Ойлер разработва метода доста задълбочено. Графичните методи станаха особено известни благодарение на английския логик и философ Джон Вен, който въведе диаграмите на Вен и подобни диаграми често се наричат Диаграми на Ойлер-Вен. Те се използват в много области, например в теорията на множествата, теорията на вероятностите, логиката, статистиката и компютърните науки.
Принцип на диаграмиране
Досега диаграмите на Ойлер-Вен са широко използвани за схематично изобразяване на всички възможни пресичания на няколко набора. Диаграмите показват всички $2^n$ комбинации от n свойства. Например, когато $n=3$ диаграмата показва три кръга с центрове във върховете на равностранен триъгълник и същия радиус, който е приблизително равен на дължината на страната на триъгълника.
Логическите операции дефинират таблици на истинност. Диаграмата показва кръг с името на набора, който представлява, например $A$. Областта в средата на кръга $A$ ще представлява истинността на израза $A$, а областта извън кръга ще показва невярно. За да се покаже логическа операция, само онези области са засенчени, в които стойностите на логическата операция за множествата $A$ и $B$ са верни.
Например конюнкцията на две множества $A$ и $B$ е вярна само ако и двете множества са верни. В този случай в диаграмата резултатът от конюнкцията на $A$ и $B$ ще бъде областта в средата на кръговете, която едновременно принадлежи на множеството $A$ и множеството $B$ (пресечната от комплектите).
Фигура 1. Конюнкция на множествата $A$ и $B$
Използване на диаграми на Ойлер-Вен за доказване на логически равенства
Нека да разгледаме как методът за конструиране на диаграми на Ойлер-Вен се използва за доказване на логически равенства.
Нека докажем закона на Де Морган, който се описва от равенството:
Доказателство:
Фигура 4. Инверсия на $A$
Фигура 5. Инверсия на $B$
Фигура 6. Конюнкция на инверсии $A$ и $B$
След като сравним площта за показване на лявата и дясната част, виждаме, че те са равни. От това следва валидността на логическото равенство. Законът на Де Морган се доказва с помощта на диаграми на Ойлер-Вен.
Решаване на проблема с търсенето на информация в Интернет чрез диаграми на Ойлер-Вен
За търсене на информация в Интернет е удобно да използвате заявки за търсене с логически връзки, подобни по значение на съюзите „и“, „или“ на руски език. Значението на логическите връзки става по-ясно, ако се илюстрират с помощта на диаграми на Ойлер-Вен.
Пример 1
Таблицата показва примери за заявки към сървъра за търсене. Всяка заявка има свой код - буква от $A$ до $B$. Трябва да подредите кодовете на заявките в низходящ ред на броя страници, намерени за всяка заявка.
Фигура 7.
Решение:
Нека изградим диаграма на Ойлер-Вен за всяка заявка:
Фигура 8.
Отговор: BVA.
Решаване на логически значим проблем с помощта на диаграми на Ойлер-Вен
Пример 2
През зимната ваканция от $36$ ученици от $2$ клас не са ходили на кино, театър или цирк. $25$ души отидоха на кино, $11$ хора отидоха на театър, $17$ хора отидоха на цирк; както в киното, така и в театъра - $6$; както на кино, така и на цирк - $10$; а на театър и цирк - 4$.
Колко хора са били на кино, театър и цирк?
Решение:
Нека означим с $x$ броя на децата, които са били на кино, театър и цирк.
Нека изградим диаграма и да разберем броя на момчетата във всяка област:
Фигура 9.
Не съм бил на театър, кино или цирк - 2$ на човек.
И така, $36 - 2 = $34 души. посетени събития.
$6$ души са ходили на кино и театър, което означава само на кино и театър ($6 - x)$ души.
$10$ хора са ходили на кино и цирк, което означава само на кино и цирк ($10 - x$) хора.
$4$ души отидоха на театър и цирк, което означава, че само $4 - x$ души отидоха на театър и цирк.
$25$ души са отишли на кино, което означава, че $25 - (10 - x) - (6 - x) - x = (9+x)$ са отишли само на кино.
По същия начин само ($1+x$) хора отидоха на театър.
Само ($3+x$) души отидоха на цирк.
И така, отидохме на театър, кино и цирк:
$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = $34;
Тези. само един човек е ходил на театър, кино и цирк.
Някои проблеми могат да бъдат удобно и ясно решени с помощта на диаграми на Ойлер-Вен. Например проблеми, включващи множества. Ако не знаете какво представляват диаграмите на Ойлер-Вен и как да ги построите, прочетете първо.
Сега нека да разгледаме типични задачи за множества.
Задача 1.
Проведено е проучване сред 100 ученици в училище със задълбочено изучаване на чужди езици. На учениците беше зададен въпросът: „Какви чужди езици изучавате?“ Оказа се, че 48 ученици учат английски, 26 - френски, 28 - немски. 8 ученици изучават английски и немски език, 8 - английски и френски език, 13 - френски и немски език. 24 ученици не учат английски, френски и немски език. Колко ученици, попълнили анкетата, учат три езика едновременно: английски, френски и немски?
Отговор: 3.
Решение:
- много ученици, които учат английски ("A");
- много ученици, изучаващи френски („F“);
- много ученици, изучаващи немски език ("N").
Нека изобразим с диаграмата на Ойлер-Вен това, което ни е дадено според условието.
Нека означим желаната област A=1, Ф=1, Н=1 с “x” (в таблицата по-долу зона № 7). Нека изразим останалите площи чрез х.
0) Регион А=0, Ф=0, Н=0: 24 ученици - дадени според условията на задачата.
1) Област A=0, F=0, H=1: 28-(8-x+x+13-x)=7+x ученици.
2) Област A=0, F=1, H=0: 26-(8-x+x+13-x)=5+x ученици.
3) Зона A=0, F=1, N=1: 13 ученици.
4) Област A=1, F=0, H=0: 48-(8-x+x+8-x)=32+x ученици.
5) Зона A=1, F=0, H=1: 8 ученици.
6) Зона A=1, F=1, H=0: 8 ученици.
| № регион | А |
Е |
н |
Количество ученици |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 |
0 |
0 |
24 |
| 1 | 0 |
0 |
1 |
7+x |
| 2 | 0 |
1 |
0 |
5+x |
| 3 | 0 |
1 |
1 |
13-ти |
| 4 | 1 |
0 |
0 |
32+x |
| 5 | 1 |
0 |
1 |
8-ки |
| 6 | 1 |
1 |
0 |
8-ки |
| 7 | 1 |
1 |
1 |
х |
Нека дефинираме x:
24+7+(x+5)+x+(13-x)+(32+x)+(8-x)+(8-x)+x=100.
x=100-(24+7+5+13+32+8+8)=100-97=3.
Установихме, че 3 ученици учат три езика едновременно: английски, френски и немски.
Ето как ще изглежда диаграмата на Ойлер-Вен за известно x:
Задача 2.
На олимпиадата по математика учениците трябваше да решат три задачи: една по алгебра, една по геометрия и една по тригонометрия. В олимпиадата участваха 1000 ученици. Резултатите от олимпиадата бяха следните: 800 участници решиха задачата по алгебра, 700 по геометрия, 600 по тригонометрия.600 ученици решаваха задачи по алгебра и геометрия, 500 по алгебра и тригонометрия, 400 по геометрия и тригонометрия. 300 души решаваха задачи по алгебра, геометрия и тригонометрия. Колко ученици не са решили нито една задача?
Отговор: 100.
Решение:
Първо, дефинираме множества и въвеждаме нотация. Има три от тях:
- много задачи по алгебра ("А");
- много задачи по геометрия ("G");
- много задачи по тригонометрия ("Т").
Нека изобразим какво трябва да намерим:
Нека да определим броя на учениците за всички възможни области.
Нека обозначим желаната област A=0, G=0, T=0 като “x” (в таблицата по-долу, област № 0).
Нека намерим останалите области:
1) Зона A=0, G=0, T=1: няма ученици.
2) Зона A=0, G=1, T=0: няма ученици.
3) Зона A=0, G=1, T=1: 100 ученици.
4) Зона A=1, G=0, T=0: няма ученици.
5) Регион A=1, G=0, T=1: 200 ученици.
6) Зона A=1, D=1, T=0: 300 ученици.
7) Регион A=1, G=1, T=1: 300 ученици.
Нека напишем стойностите на областите в таблицата:
| № регион | А |
Ж |
T |
Количество ученици |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 |
0 |
0 |
х |
| 1 | 0 |
0 |
1 |
0 |
| 2 | 0 |
1 |
0 |
0 |
| 3 | 0 |
1 |
1 |
100 |
| 4 | 1 |
0 |
0 |
0 |
| 5 | 1 |
0 |
1 |
200 |
| 6 | 1 |
1 |
0 |
300 |
| 7 | 1 |
1 |
1 |
300 |
Нека да покажем стойностите за всички области с помощта на диаграма:
Нека дефинираме x:
x=U-(A V Г V Т), където U е Вселената.
A V G V T=0+0+0+300+300+200+100=900.
Установихме, че 100 ученици не са решили нито една задача.
Задача 3.
На олимпиадата по физика учениците трябваше да решат три задачи: една по кинематика, една по термодинамика и една по оптика. Резултатите от олимпиадата бяха следните: 400 участници решиха задачата по кинематика, 350 по термодинамика и 300 по оптика.300 ученици решиха задачи по кинематика и термодинамика, 200 по кинематика и оптика, 150 по термодинамика и оптика. 100 души решаваха задачи по кинематика, термодинамика и оптика. Колко ученици решиха две задачи?
Отговор: 350.
Решение:
Първо, дефинираме множества и въвеждаме нотация. Има три от тях:
- много задачи по кинематика („K”);
- много задачи по термодинамика ("Т");
- много проблеми в оптиката ("О").
Нека изобразим с диаграмата на Ойлер-Вен това, което ни е дадено според условието:
Нека изобразим какво трябва да намерим:
Нека определим броя на учениците за всички възможни области:
0) Регион K=0, T=0, O=0: не е дефиниран.
1) Регион K=0, T=0, O=1: 50 ученици.
2) Регион K=0, T=1, O=0: няма ученици.
3) Регион K=0, T=1, O=1: 50 ученици.
4) Зона K=1, T=0, O=0: няма ученици.
5) Регион K=1, T=0, O=1: 100 ученици.
6) Регион K=1, T=1, O=0: 200 ученици.
7) Регион K=1, T=1, O=1: 100 ученици.
Нека напишем стойностите на областите в таблицата:
| № регион | ДА СЕ |
T |
ОТНОСНО |
Количество ученици |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 |
0 |
0 |
- |
| 1 | 0 |
0 |
1 |
50 |
| 2 | 0 |
1 |
0 |
0 |
| 3 | 0 |
1 |
1 |
50 |
| 4 | 1 |
0 |
0 |
0 |
| 5 | 1 |
0 |
1 |
100 |
| 6 | 1 |
1 |
0 |
200 |
| 7 | 1 |
1 |
1 |
100 |
Нека да покажем стойностите за всички области с помощта на диаграма:
Нека дефинираме x.
х=200+100+50=350.
Разбрахме, 350 ученици решиха две задачи.
Задача 4.
Направена е анкета сред минувачите. Беше зададен въпросът: „Какъв домашен любимец имате?“ Според резултатите от проучването се оказа, че 150 души имат котка, 130 имат куче, а 50 имат птица. 60 души имат котка и куче, 20 имат котка и птица, 30 имат куче и птица. 70 души изобщо нямат домашен любимец. 10 души имат котка, куче и птица. Колко минувачи участваха в анкетата?
Отговор: 300.
Решение:
Първо, дефинираме множества и въвеждаме нотация. Има три от тях:
- много хора, които имат котка („К”);
- много хора, които имат куче (“C”);
- много хора, които имат птица ("P").
Нека изобразим с диаграмата на Ойлер-Вен това, което ни е дадено според условието:
Нека изобразим какво трябва да намерим:
Нека определим броя на хората за всички възможни области:
0) Регион K=0, S=0, P=0: 70 души.
1) Зона K=0, S=0, P=1: 10 души.
2) Регион K=0, S=1, P=0: 50 души.
3) Зона K=0, S=1, P=1: 20 души.
4) Регион K=1, S=0, P=0: 80 души.
5) Зона K=1, T=0, O=1: 10 души.
6) Зона K=1, T=1, O=0: 50 души.
7) Зона K=1, T=1, O=1: 10 души.
Нека напишем стойностите на областите в таблицата:
| № регион | ДА СЕ |
° С |
П |
Количество Човек |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 |
0 |
0 |
70 |
| 1 | 0 |
0 |
1 |
10 |
| 2 | 0 |
1 |
0 |
50 |
| 3 | 0 |
1 |
1 |
20 |
| 4 | 1 |
0 |
0 |
80 |
| 5 | 1 |
0 |
1 |
10 |
| 6 | 1 |
1 |
0 |
50 |
| 7 | 1 |
1 |
1 |
10 |
Нека да покажем стойностите за всички области с помощта на диаграма:
Нека дефинираме x:
x=U (вселена)
U=70+10+50+20+80+10+50+10=300.
Установихме, че в анкетата са участвали 300 души.
Задача 5.
В една специалност в един от университетите са постъпили 120 души. Абитуриентите се явиха на три изпита: по математика, информатика и руски език. Математика са издържали 60 души, информатика - 40. 30 абитуриенти са издържали математика и информатика, 30 - математика и руски език, 25 - информатика и руски език. 20 души са издържали и трите изпита, а 50 са се скъсали. Колко кандидати преминаха изпита по руски език?
История
Определение 1
На Леонхард Ойлер беше зададен въпросът: възможно ли е, докато се разхождате из Кьонигсберг, да обиколите всички мостове на града, без да минавате през нито един от тях два пъти. Включен е план на града със седем моста.
В писмо до италиански математик, когото познава, Ойлер дава кратко и красиво решение на проблема с мостовете в Кьонигсберг: при такова разположение проблемът е неразрешим. В същото време той посочи, че въпросът му се струва интересен, тъй като... „Нито геометрията, нито алгебрата са достатъчни, за да го решат...“.
При решаването на много задачи Л. Ойлер изобразява множества с кръгове, поради което те получават името "Ойлерови кръгове". Преди това този метод е бил използван от немския философ и математик Готфрид Лайбниц, който ги е използвал за геометрично обяснение на логическите връзки между понятията, но по-често използваните линейни диаграми. Ойлер разработва метода доста задълбочено. Графичните методи станаха особено известни благодарение на английския логик и философ Джон Вен, който въведе диаграмите на Вен и подобни диаграми често се наричат Диаграми на Ойлер-Вен. Те се използват в много области, например в теорията на множествата, теорията на вероятностите, логиката, статистиката и компютърните науки.
Принцип на диаграмиране
Досега диаграмите на Ойлер-Вен са широко използвани за схематично изобразяване на всички възможни пресичания на няколко набора. Диаграмите показват всички $2^n$ комбинации от n свойства. Например, когато $n=3$ диаграмата показва три кръга с центрове във върховете на равностранен триъгълник и същия радиус, който е приблизително равен на дължината на страната на триъгълника.
Логическите операции дефинират таблици на истинност. Диаграмата показва кръг с името на набора, който представлява, например $A$. Областта в средата на кръга $A$ ще представлява истинността на израза $A$, а областта извън кръга ще показва невярно. За да се покаже логическа операция, само онези области са засенчени, в които стойностите на логическата операция за множествата $A$ и $B$ са верни.
Например конюнкцията на две множества $A$ и $B$ е вярна само ако и двете множества са верни. В този случай в диаграмата резултатът от конюнкцията на $A$ и $B$ ще бъде областта в средата на кръговете, която едновременно принадлежи на множеството $A$ и множеството $B$ (пресечната от комплектите).
Фигура 1. Конюнкция на множествата $A$ и $B$
Използване на диаграми на Ойлер-Вен за доказване на логически равенства
Нека да разгледаме как методът за конструиране на диаграми на Ойлер-Вен се използва за доказване на логически равенства.
Нека докажем закона на Де Морган, който се описва от равенството:
Доказателство:
Фигура 4. Инверсия на $A$
Фигура 5. Инверсия на $B$
Фигура 6. Конюнкция на инверсии $A$ и $B$
След като сравним площта за показване на лявата и дясната част, виждаме, че те са равни. От това следва валидността на логическото равенство. Законът на Де Морган се доказва с помощта на диаграми на Ойлер-Вен.
Решаване на проблема с търсенето на информация в Интернет чрез диаграми на Ойлер-Вен
За търсене на информация в Интернет е удобно да използвате заявки за търсене с логически връзки, подобни по значение на съюзите „и“, „или“ на руски език. Значението на логическите връзки става по-ясно, ако се илюстрират с помощта на диаграми на Ойлер-Вен.
Пример 1
Таблицата показва примери за заявки към сървъра за търсене. Всяка заявка има свой код - буква от $A$ до $B$. Трябва да подредите кодовете на заявките в низходящ ред на броя страници, намерени за всяка заявка.
Фигура 7.
Решение:
Нека изградим диаграма на Ойлер-Вен за всяка заявка:
Фигура 8.
Отговор: BVA.
Решаване на логически значим проблем с помощта на диаграми на Ойлер-Вен
Пример 2
През зимната ваканция от $36$ ученици от $2$ клас не са ходили на кино, театър или цирк. $25$ души отидоха на кино, $11$ хора отидоха на театър, $17$ хора отидоха на цирк; както в киното, така и в театъра - $6$; както на кино, така и на цирк - $10$; а на театър и цирк - 4$.
Колко хора са били на кино, театър и цирк?
Решение:
Нека означим с $x$ броя на децата, които са били на кино, театър и цирк.
Нека изградим диаграма и да разберем броя на момчетата във всяка област:
Фигура 9.
Не съм бил на театър, кино или цирк - 2$ на човек.
И така, $36 - 2 = $34 души. посетени събития.
$6$ души са ходили на кино и театър, което означава само на кино и театър ($6 - x)$ души.
$10$ хора са ходили на кино и цирк, което означава само на кино и цирк ($10 - x$) хора.
$4$ души отидоха на театър и цирк, което означава, че само $4 - x$ души отидоха на театър и цирк.
$25$ души са отишли на кино, което означава, че $25 - (10 - x) - (6 - x) - x = (9+x)$ са отишли само на кино.
По същия начин само ($1+x$) хора отидоха на театър.
Само ($3+x$) души отидоха на цирк.
И така, отидохме на театър, кино и цирк:
$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = $34;
Тези. само един човек е ходил на театър, кино и цирк.
