Ако определенията от учебника са твърде сложни и неясни, прочетете нашата статия. Ще се опитаме да обясним възможно най-просто, „на пръсти“, основните точки на такъв клон на математиката като определени интеграли. Как да изчислите интеграла, прочетете в това ръководство.

От геометрична гледна точка интегралът на функцията е площта на фигурата, образувана от графиката на дадена функция и оста в границите на интегриране. Запишете интеграла, анализирайте функцията под интеграла: ако интегралът може да бъде опростен (редуциран, факторизиран в знака за интеграл, разделен на два прости интеграла), направете го. Отворете таблицата с интеграли, за да определите коя производна на функция е под интеграла. Намерихте отговора? Запишете фактора, добавен към интеграла (ако това се е случило), запишете функцията, намерена от таблицата, и заменете границите на интеграла.

За да изчислите стойността на интеграл, изчислете стойността му на горната граница и извадете стойността му на долната граница. Разликата е желаната стойност.

За да тествате себе си или поне да разберете процеса на решаване на интегрална задача, е удобно да използвате онлайн услугата за намиране на интеграли, но преди да започнете да решавате, прочетете правилата за въвеждане на функции. Най-голямото му предимство е, че тук стъпка по стъпка е описано цялото решение на задачата с интеграл.

Разбира се, тук се разглеждат само най-простите версии на интеграли - определени; всъщност има много разновидности на интеграли; те се изучават в курса на висша математика, математически анализ и диференциални уравнения в университетите за студенти от технически специалности .

За какво са интегралите? Опитайте се сами да отговорите на този въпрос.

Когато обясняват темата за интегралите, учителите изброяват области на приложение, които са малко полезни за училищните умове. Между тях:

• изчисляване на площта на фигура.
• Изчисляване на телесна маса с неравномерна плътност.
• определяне на изминатото разстояние при движение с променлива скорост.
• и т.н.

Не винаги е възможно да се свържат всички тези процеси, така че много ученици се объркват, дори ако имат всички основни познания, за да разберат интеграла.

Основната причина за невежеството– неразбиране на практическото значение на интегралите.

Интеграл - какво е това?

Предпоставки. Необходимостта от интеграция възникна през Древна Гърция. По това време Архимед започва да използва методи, които по същество са подобни на съвременното интегрално смятане, за да намери площта на кръг. Основният подход за определяне на площта на неравномерните фигури тогава беше „Методът на изчерпване“, който е доста лесен за разбиране.

Същността на метода. Монотонна последователност от други фигури се вписва в тази фигура и след това се изчислява границата на последователността на техните области. Тази граница беше взета като площ на тази фигура.

Този метод лесно проследява идеята за интегрално смятане, което е да се намери границата на безкрайна сума. Тази идея по-късно беше използвана от учените за разрешаване приложни проблеми астронавтика, икономика, механика и др.

Модерен интеграл. Класическа теорияинтеграцията е формулирана в общ изгледНютон и Лайбниц. Той се основава на съществуващите тогава закони на диференциалното смятане. За да го разберете, трябва да имате някои основни познания, които ще ви помогнат да използвате математически език, за да опишете визуални и интуитивни идеи за интегралите.

Обясняваме концепцията за „Интеграл“

Процесът на намиране на производната се нарича диференциацияи намиране на антипроизводното – интеграция.

Интеграл математически език– това е антипроизводната на функцията (това, което беше преди производната) + константата „C“.

Интеграл с прости думи е площта на криволинейна фигура. Неопределеният интеграл е цялата площ. Определеният интеграл е площта в дадена област.

Интегралът се записва така:

Всеки интегранд се умножава по компонента "dx". Той показва над коя променлива се извършва интегрирането. "dx" е нарастването на аргумента. Вместо X може да има всеки друг аргумент, например t (време).

Неопределен интеграл

Неопределен интеграл няма граници на интегриране.

За решения неопределени интегралидостатъчно е да се намери първоизводната на интегранта и да се добави "C" към него.

Определен интеграл

В определен интеграл ограниченията "a" и "b" се записват върху знака за интегриране. Те са посочени на оста X на графиката по-долу.

Да изчисля определен интегралтрябва да намерите антипроизводното, да замените стойностите „a“ и „b“ в него и да намерите разликата. В математиката това се нарича Формула на Нютон-Лайбниц:

Таблица с интеграли за ученици (основни формули)

Изтеглете интегралните формули, ще ви бъдат полезни

Как да изчислим правилно интеграла

Има няколко прости операции за трансформиране на интеграли. Ето основните от тях:

Премахване на константа от знака за интеграл

Разлагане на интеграла на сбор в сбора на интегралите

Ако размените a и b, знакът ще се промени

Можете да разделите интеграла на интервали, както следва

Това са най-простите свойства, въз основа на които по-късно ще бъдат формулирани по-сложни теореми и методи на смятане.

Примери за интегрални изчисления

Решаване на неопределен интеграл

Решаване на определен интеграл

Основни понятия за разбиране на темата

За да разберете същността на интеграцията и да не затваряте страницата от неразбиране, ще ви обясним няколко основни понятия. Какво е функция, производна, граница и първоизводна.

функция– правило, според което всички елементи от едно множество се съотнасят с всички елементи от друго.

Производна– функция, която описва скоростта на промяна на друга функция във всяка конкретна точка. На строг език това е границата на съотношението на нарастването на функция към нарастването на аргумента. Изчислява се ръчно, но е по-лесно да се използва производна таблица, която съдържа повечето от стандартните функции.

Увеличаване– количествена промяна във функцията с известна промяна в аргумента.

Лимит– стойността, към която клони стойността на функцията, когато аргументът клони към определена стойност.

Пример за граница: да кажем, че ако X е равно на 1, Y ще бъде равно на 2. Но какво ще стане, ако X не е равно на 1, а клони към 1, тоест никога не го достига? В този случай y никога няма да достигне 2, а само ще клони към тази стойност. На математически език това се изписва по следния начин: limY(X), като X –> 1 = 2. Това се чете: границата на функцията Y(X), когато x клони към 1, е равна на 2.

Както вече споменахме, производната е функция, която описва друга функция. Оригиналната функция може да бъде производна на друга функция. Тази друга функция се нарича антипроизводно.

Заключение

Намирането на интегралите не е трудно. Ако не разбирате как да направите това,. Вторият път става по-ясно. Помня!Решаването на интеграли се свежда до прости трансформации на интегралната функция и търсенето й в .

Ако текстовото обяснение не ви устройва, гледайте видеоклипа за значението на интеграла и производната:

Интеграли - какво представляват, как се решават, примери за решения и обяснение за манекениактуализиран: 22 ноември 2019 г. от: Научни статии.Ru

Въведете функцията, за която трябва да намерите интеграла

Калкулаторът предоставя ПОДРОБНИ решения за определени интеграли.

Този калкулатор намира решение на определен интеграл на функцията f(x) с дадени горна и долна граница.

Примери

Използване на степен
(квадрат и куб) и дроби

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Корен квадратен

Sqrt(x)/(x + 1)

Кубичен корен

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Използване на синус и косинус

2*sin(x)*cos(x)

арксинус

X*arcsin(x)

аркосинус

X*arccos(x)

Приложение на логаритъм

X*log(x, 10)

Натурален логаритъм

Изложител

Tg(x)*sin(x)

Котангенс

Ctg(x)*cos(x)

Ирационални дроби

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Арктангенс

X*arctg(x)

Аркотангенс

X*arсctg(x)

Хиперболичен синус и косинус

2*sh(x)*ch(x)

Хиперболичен тангенс и котангенс

Ctgh(x)/tgh(x)

Хиперболичен арксинус и аркосинус

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Хиберболичен арктангенс и арккотангенс

X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Правила за въвеждане на изрази и функции

Изразите могат да се състоят от функции (означенията са дадени по азбучен ред): абсолютен(x)Абсолютна стойност х
(модул хили |x|) arccos(x)Функция - аркосинус от х arccosh(x)Арк косинус хиперболичен от х arcsin(x)Арксинус от х arcsinh(x)Арксинус хиперболичен от х арктан (x)Функция - арктангенс на х arctgh(x)Арктангенс хиперболичен от х д дчисло, което е приблизително равно на 2,7 exp(x)Функция - показател на х(като д^х) log(x)или ln(x)Натурален логаритъм от х
(Придобивам log7(x), трябва да въведете log(x)/log(7) (или, например, for log10(x)=log(x)/log(10)) пиЧислото е "Пи", което е приблизително равно на 3,14 грях(х)Функция - Синус от х cos(x)Функция – косинус от х sinh(x)Функция - Синус хиперболичен от х cosh(x)Функция - Косинус хиперболичен от х sqrt(x)функция - Корен квадратенот х sqr(x)или x^2Функция - Квадрат х тен(x)Функция - Допирателна от х tgh(x)Функция - Тангенс хиперболичен от х cbrt(x)Функция - кубичен корен от х

Следните операции могат да се използват в изрази: Реални числавъведете като 7.5 , Не 7,5 2*x- умножение 3/x- разделение x^3- степенуване х+7- допълнение х - 6- изваждане
Други функции: етаж(x)Функция - закръгляване хнадолу (пример floor(4.5)==4.0) таван(x)Функция - закръгляване хнагоре (примерен таван(4.5)==5.0) знак (x)Функция - Знак х erf(x)Функция на грешката (или вероятностен интеграл) Лаплас (x)Функция на Лаплас

Процесът на решаване на интеграли в науката, наречена математика, се нарича интегриране. Използвайки интеграция, можем да намерим някои физични величини: площ, обем, маса на телата и много други.

Интегралите могат да бъдат неопределени или определени. Нека разгледаме формата на определен интеграл и се опитаме да го разберем физически смисъл. Той е представен в следната форма: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Отличителна чертаписане на определен интеграл на неопределен интеграл е, че има граници на интегриране на a и b. Сега ще разберем защо са необходими и какво всъщност означава определен интеграл. IN геометричен смисълтакъв интеграл е равен на площта на фигурата, ограничена от кривата f(x), линии a и b и оста Ox.

От фиг. 1 става ясно, че определеният интеграл е същата област, която е защрихована сиво. Нека проверим това с прост пример. Нека намерим площта на фигурата в изображението по-долу с помощта на интегриране и след това я изчислим по обичайния начин на умножаване на дължината по ширината.

От фиг. 2 става ясно, че $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Сега ги заместваме в дефиницията на интеграла, получаваме, че $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(units)^2 $$ Нека направим проверката по обичайния начин. В нашия случай дължина = 3, ширина на фигурата = 1. $$ S = \text(length) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(units)^2 $$ Както можете вижте, всичко пасва идеално.

Възниква въпросът: как се решават неопределени интеграли и какъв е смисълът им? Решаването на такива интеграли е намиране на противопроизводни функции. Този процес е обратен на намирането на производната. За да намерите антипроизводното, можете да използвате нашата помощ при решаването на задачи по математика или трябва самостоятелно да запомните свойствата на интегралите и таблицата за интегриране на най-простите елементарни функции. Констатацията изглежда така: $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(където) F(x) $ е първоизводната на $ f(x), C = const $.

За да решите интеграла, трябва да интегрирате функцията $ f(x) $ върху променлива. Ако функцията е таблична, тогава отговорът се записва в подходящата форма. Ако не, тогава процесът се свежда до получаване на таблична функция от функцията $ f(x) $ чрез трудни математически трансформации. Има различни методи и свойства за това, които ще разгледаме по-нататък.

И така, нека сега създадем алгоритъм за решаване на интеграли за манекени?

Алгоритъм за изчисляване на интеграли

1. Нека разберем определен интеграл или не.
2. Ако не е дефинирано, тогава трябва да намерите функцията на производната $ F(x) $ на интегранта $ f(x) $, като използвате математически трансформации, водещи до таблична форма на функцията $ f(x) $.
3. Ако е дефинирано, тогава трябва да изпълните стъпка 2 и след това да замените границите $ a $ и $ b $ в антипроизводната функция $ F(x) $. Каква формула да използвате, за да направите това, ще разберете в статията „Формула на Нютон-Лайбниц“.

Примери за решения

И така, научихте как да решавате интеграли за манекени, примерите за решаване на интеграли са подредени. Научихме тяхното физическо и геометрично значение. Методите за решение ще бъдат описани в други статии.

>> >> >> Интеграционни методи

Основни методи за интегриране

Дефиниция на интеграл, определен и неопределен, таблица на интегралите, формула на Нютон-Лайбниц, интегриране по части, примери за изчисляване на интеграли.

Неопределен интеграл

Нека u = f(x) и v = g(x) са функции, които имат непрекъснато . Тогава, според работата,

d(uv))= udv + vdu или udv = d(uv) - vdu.

За израза d(uv) антипроизводното очевидно ще бъде uv, така че формулата е валидна:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Тази формула изразява правилото интеграция по части. Това води интегрирането на израза udv=uv"dx до интегрирането на израза vdu=vu"dx.

Нека, например, искате да намерите ∫xcosx dx. Нека поставим u = x, dv = cosxdx, така че du=dx, v=sinx. Тогава

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Правилото за интегриране по части има по-ограничен обхват от заместването на променливи. Но има цели класове интеграли, например ∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax и други, които се изчисляват точно с помощта на интегриране по части.

Определен интеграл

Интеграционни методи, понятието определен интеграл се въвежда по следния начин. Нека функция f(x) е дефинирана на интервал. Нека разделим отсечката [a,b] на n части с точки a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i = x i - x i-1. Сума от формата f(ξ i)Δ x i се нарича интегрална сума, а нейната граница при λ = maxΔx i → 0, ако съществува и е крайна, се нарича определен интегралфункции f(x) от a до b и се означава:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Функцията f(x) в този случай се извиква интегрируеми на интервала, се наричат ​​числата a и b долна и горна граница на интеграла.

Интеграционни методиимат следните свойства:

Последното свойство се нарича теорема за средната стойност.

Нека f(x) е непрекъснато върху . Тогава на този сегмент има неопределен интеграл

∫f(x)dx = F(x) + C

и се провежда Формула на Нютон-Лайбниц, свързващ определения интеграл с неопределения интеграл:

F(b) - F(a). (8,6)

Геометрична интерпретация: представлява площта на криволинеен трапец, ограничен отгоре от кривата y=f(x), прави x = a и x = b и сегмент от оста Ox.

Неправилни интеграли

Интеграли с безкрайни граници и интеграли на прекъснати (неограничени) функции се наричат ​​неправилни. Неправилни интеграли от първи род -Това са интеграли върху безкраен интервал, дефиниран както следва:

(8.7)

Ако тази граница съществува и е крайна, тогава тя се нарича конвергентен неправилен интеграл на f(x) в интервала [a,+ ∞), а функцията f(x) се нарича интегрируема в безкрайния интервал [a,+ ∞ ). В противен случай се казва, че интегралът не съществува или се разминава.

Неправилните интеграли на интервалите (-∞,b] и (-∞, + ∞) се дефинират по подобен начин:

Нека дефинираме понятието интеграл на неограничена функция. Ако f (x) е непрекъснато за всички стойности x на сегмента, с изключение на точката c, в която f (x) има безкрайно прекъсване, тогава неправилен интеграл от втория вид f(x) вариращи от a до bсумата се нарича:

ако тези граници съществуват и са крайни. Обозначаване:

Примери за интегрални изчисления

Пример 3.30.Изчислете ∫dx/(x+2).

Решение. Нека означим t = x+2, тогава dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Пример 3.31. Намерете ∫ tgxdx.

Решение: ∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Нека t=cosx, тогава ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Пример3.32 . Намерете ∫dx/sinx

Пример3.33. Намирам .

Решение. =

.

Пример3.34 . Намерете ∫arctgxdx.

Решение. Нека интегрираме по части. Нека означим u=arctgx, dv=dx. Тогава du = dx/(x 2 +1), v=x, откъдето ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; защото
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Пример3.35 . Изчислете ∫lnxdx.

Решение.Прилагайки формулата за интегриране по части, получаваме:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Тогава ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Пример3.36 . Изчислете ∫e x sinxdx.

Решение. Нека приложим формулата за интегриране по части. Нека означим u = e x, dv = sinxdx, тогава du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. ∫e x cosxdx също интегрира по части: u = e x, dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Ние имаме:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Получихме отношението ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, от което 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Пример 3.37. Изчислете J = ∫cos(lnx)dx/x.

Решение: Тъй като dx/x = dlnx, тогава J= ∫cos(lnx)d(lnx). Заменяйки lnx с t, стигаме до интеграла на таблицата J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Пример 3.38 . Изчислете J = .

Решение. Като се има предвид, че = d(lnx), заместваме lnx = t. Тогава J = .

Пример 3.39 . Изчислете J = .

Решение. Ние имаме: . Ето защо =