Решаване на топлинното уравнение. Топлинно уравнение. Топлинно уравнение на Фурие с хомогенни гранични условия

Нека решим първата смесена задача за уравнението на топлинната енергия: намерете решение u(x, t) на уравнението, удовлетворяващо началното условие и граничните условия. Нека започнем с най-простата задача: намерете решение u(x, t) на хомогенното уравнение удовлетворяващи началното условие и нулеви (хомогенни) гранични условия Метод на Фурие за топлинното уравнение Ще търсим нетривиални решения на уравнение (4), които удовлетворяват граничните условия (6) под формата на Psdstaapya във формата (7) в уравнение ( 4), получаваме или от където имаме две обикновени диференциални уравнения За да се получат нетривиални решения u(x, *) на формата (7), удовлетворяващи граничните условия (6), е необходимо да се намерят нетривиални решения на уравнението (10), отговарящи на граничните условия.По този начин, за да определим функцията X(x), стигаме до проблема със собствената стойност: намерете тези стойности на параметъра A, за които съществуват нетривиални решения на проблема.Тази задача беше разгледано в предишната глава. Там беше показано, че само за има нетривиални решения Когато A = A„, общото решение на уравнение (9) има формата удовлетворява уравнение (4) и гранични условия (6). Нека формираме формална серия. Като изискваме функцията u(x) t), дефинирана от формула (12), да отговаря на първоначалното условие, получаваме Серия (13) представлява разширението на дадената функция в редица на Фурие по отношение на синуси в интервала (O, I). Коефициентите a„ на разширението се определят по известни формули Методът на Фурие за топлинното уравнение. Да приемем, че Тогава ред (13) с коефициенти, определени по формули (14) ще се сближава към функцията абсолютно и равномерно. Оттогава редът при също се сближава абсолютно и равномерно. Следователно функцията u(x, t) - сумата от ред (12) - е непрекъсната в областта и удовлетворява началните и граничните условия. Остава да се покаже, че функцията u(x, t) удовлетворява уравнение (4) в областта 0. За да направите това, е достатъчно да се покаже, че серията, получена от (12) чрез диференциране член по член по отношение на t веднъж и чрез почленно диференциране по отношение на x два пъти също са абсолютно и се събират равномерно при. Но това следва от факта, че за всяко t > 0, ако n е достатъчно голямо. Уникалността на решението на задача (4)-(6) и непрекъснатата зависимост на решението от началната функция вече са установени по-рано. По този начин, за t > 0, задача (4)-(6) е формулирана правилно; напротив, за отрицателно t този проблем е неправилен. Коментирайте. За разлика от уравнението на Хаус, уравнението е нехометрично за времето t: ако заменим t с -t, получаваме уравнение от различен тип, което описва необратими процеси: можем да предвидим какво ще стане даденото след период от дадено време t, но не можем да кажем със сигурност как m това се е случило в момент t преди въпросния момент. Тази връзка между прогноза и история е типична за параболично уравнение и не се среща, например, за вълново уравнение; в случая на последното е толкова лесно да се погледне в миналото, колкото и в бъдещето. Пример. Намерете разпределението на температурата в хомогенен прът с дължина x, ако първоначалната температура на пръта и нулевата температура се поддържат в краищата на пръта. 4 Задачата се свежда до решаване на уравнението с начално условие и гранични условия Използвайки метода на Фурие, търсим нетривиални решения на уравнение (15), които удовлетворяват граничните условия (17) във формата Замествайки u(x, t) във формата (18) в уравнение (15) и разделяйки променливите, получаваме собствените стойности на проблема. собствени функции Xn(x) = mp nx. Когато A = A„, общото решение на уравнение (19) има формата Tn(t) = ane a n\, така че ние търсим решението на задача (15)-(17) под формата на серия. Изискване за изпълнение на началното условие (16), получаваме от това. Следователно решението на първоначалния проблем ще бъде функция 2. Нека сега разгледаме следния проблем: намерете решение rx(x, t) на нехомогенното уравнение _, което отговаря на началното условие и хомогенните гранични условия. Да приемем, че функцията / е непрекъснато, има непрекъсната производна и за всички t > 0 условието е изпълнено. Ще търсим решение на задача (1)-(3) във формата, в която я дефинираме като решение на задачата и функцията - като решение на задачата Задача (8)-(10) се разглежда в параграф 1. Ще търсим решение v(x, t) на задача (5 )-(7) под формата на поредица от собствени функции (на проблема с гранични стойности. Subgaaaya t) във формата на уравнение (5), получаваме Разгънете функцията /OM) в ред на Фурие по синуси, където Сравнявайки двете разширения (12) и (13) функции /(x, t) в ред на Фурие, получаваме! Използвайки началното условие за v(x, t), метода на Фурие за топлинното уравнение, намираме, че Решенията на уравнения (15) при начални условия (16) имат формата: Заместване на намерените изрази за Tn(t) в серии (11), получаваме решението Функцията ще бъде решение на първоначалния проблем (1)-(3). 3. Разгледайте задачата: намерете решение на уравнението в областта при начално условие и нехомогенни гранични условия Методът на Фурие не е директно приложим поради нееднородността на условията (20). Нека въведем нова неизвестна функция v(x, t), задавайки където Тогава решението на задача (18)-(20) ще бъде намалено до решението на задача (1)-(3), разгледана в параграф 2, за функцията v(x, J). Упражнения 1. Даден е безкраен еднороден прът. Покажете, че ако началната температура е непосредствено температурата на пръта 2. Краищата на пръта с дължина w се поддържат при температура, равна на нула. Началната температура се определя по формулата Определете температурата на пръта за всяко време t > 0. 3. Краищата на прът с дължина I се поддържат при температура, равна на нула. Началната температура на пръта се определя по формулата. Определете температурата на пръта за всяко време t > 0. 4. Краищата на пръта с дължина I се поддържат при температура, равна на нула. Начално разпределение на температурата Определете температурата на пръта за всеки момент t > 0. Отговори

По-долу ще разгледаме няколко проблема за определяне на температурни полета за сравнително прости геометрични и физически условия, които позволяват аналитични решения, които са прости по форма и в същото време предоставят полезна илюстрация на характерните физически процеси, свързани с преноса на топлина в твърдо тяло.

Нека разгледаме прът с термично изолирана странична повърхност (фиг. 38). В този случай преносът на топлина може да възникне по дължината на пръта. Ако прътът е подравнен с оста на декартовата координатна система, тогава стационарното топлинно уравнение ще има формата

При постоянни стойности на коефициента на топлопроводимост на обемната мощност на топлоотделяне последното уравнение може да се интегрира два пъти

(75)

Интеграционните константи могат да бъдат намерени от граничните условия. Например, ако температурата в краищата на пръта е настроена на , . Тогава от (75) имаме

От тук намираме константите на интегриране и . Решението при посочените гранични условия ще приеме формата

От последната формула става ясно, че при липса на източници на топлина. Температурата в пръта варира линейно от една гранична стойност до друга

Нека сега разгледаме друга комбинация от гранични условия. Нека външен източник създаде топлинен поток в левия край на пръта. В десния край на пръта запазваме предишното състояние, така че имаме

Изразявайки тези условия с помощта на общия интеграл (75), получаваме система по отношение на интеграционните константи

След като намерим неизвестните константи от получената система, получаваме решение във формата

Както в предишния пример, при липса на вътрешни източници на топлина разпределението на температурата по пръта ще бъде линейно

В този случай температурата в левия край на пръта, където се намира външният източник на топлина, ще бъде равна на .

Като следващ пример, нека намерим стационарно разпределение на температурата по радиуса в плътен дълъг кръгъл цилиндър (фиг. 39). В този случай използването на цилиндрична координатна система значително ще опрости задачата. В случай на цилиндър с голямо съотношение на дължина към радиус и постоянно разпределение

Като се има предвид вътрешният източник на топлина, температурата далеч от краищата на цилиндъра може да се счита за независима от аксиалната координата на цилиндричната система. Тогава стационарното топлинно уравнение (71) ще приеме формата

Интегрирането на последното уравнение два пъти (при константа) дава

Условието за симетрия за разпределението на температурата по оста на цилиндъра () дава

Откъде го вземаме?

Последното условие ще бъде изпълнено, когато . Нека е определена температурата на повърхността на цилиндъра (). Тогава можем да намерим втората константа на интегриране от уравнението

От тук намираме и записваме решението в окончателния му вид

Като числен пример за приложението на получения резултат, нека разгледаме разпределението на температурата в плазмата на цилиндричен дъгов разряд с радиус mm. Границата на разрядния канал се оформя като област, където йонизационните процеси спират. Видяхме по-горе, че забележимата йонизация на газ по време на нагряване спира при K. Следователно дадената стойност може да се приеме като граница K. Намираме обемната плътност на мощността на отделяне на топлина в разрядната плазма от закона на Джаул-Ленц, където σ - електропроводимост на плазмата, д- напрегнатост на електрическото поле в разрядния канал. Характерните стойности за дъгов разряд са 1/Ohm m, V/m. Топлопроводимостта на дъговата плазма е по-висока, отколкото в неутрален газ, при температури от порядъка на 10 000 K нейната стойност може да се приеме равна. Така че параметърът . Разпределението на температурата по радиуса е показано на фиг. 39. В този случай температурата на оста на изпускане () ще бъде 8000 K.

В следващия пример ще разгледаме топлинно поле, което има сферична симетрия. Такива условия възникват, по-специално, ако малък източник на топлина е разположен в голям масив, например повреда на дъгата между витките в намотката на голяма електрическа машина. В този случай, комбинирайки центъра на сферичната координатна система с източника на топлина, можем да доведем стационарното топлинно уравнение (64) до формата:

Интегрирайки това уравнение два пъти, намираме

Връщайки се към нашия пример, да предположим, че дъговата повреда възниква вътре в сферична кухина с радиус (фиг. 40). Нека вземем съпротивлението на дъговия разряд за Ом, разрядния ток A. Тогава мощността, освободена в кухината, ще бъде . Нека разгледаме решение извън зоната на действие на източника на топлина.

Тогава интегралът на топлинното уравнение ще бъде опростен

За да изчислим интеграционните константи, първо използваме условието в точки, безкрайно отдалечени от мястото на изхвърляне, където C е температурата на околната среда. От последния израз намираме . За да определим константата, приемаме, че топлинната енергия, освободена при разряда, е равномерно разпределена по повърхността на сферична кухина с радиус . Следователно топлинният поток на границата на кухината ще бъде

Тъй като , тогава от последните две уравнения имаме

и окончателното решение

В този случай температурата на границата на кухината (mm) при W/mK ще бъде K (фиг. 40).

Като първи пример от тази група, нека разгледаме топлинното поле в напречното сечение на кръгъл проводник с охлаждащ канал (фиг. 41, А). Проводници с охлаждащи канали се използват в намотките на мощни електрически машини и намотки за създаване на силни магнитни полета. Тези устройства се характеризират с дългосрочно протичане на токове с амплитуда от стотици и дори хиляди ампера. Например, изпомпва се течност, като вода или газ (водород, въздух), което осигурява извличане на топлинна енергия от вътрешната повърхност на канала и охлаждане на проводника като цяло. В този случай имаме работа с принудително конвективно охлаждане на повърхността на канала, за което можем да използваме граничното условие от трети род (67), обосновано по-горе. Ако оста на цилиндричната координатна система е подравнена с оста на жицата, тогава температурата ще зависи само от радиалната координата. Получихме общия интеграл на стационарното топлинно уравнение за този случай по-рано

Обемната плътност на мощността на отделяне на топлина се намира от закона на Джаул-Ленц: , й- плътност на тока, σ - електропроводимост,

Където Р- радиус на сечението на проводника, а- радиус на охлаждащия канал. Проводникът е заобиколен отвън със слоеве изолация, която в сравнение с проводника има относително ниска топлопроводимост. Следователно, като първо приближение, приемаме, че външната повърхност на проводника е термично изолирана, т.е. топлинният поток върху него

На повърхността на охлаждащия канал топлинният поток се определя от условието на третия вид

където е коефициентът на топлопреминаване, е температурата на охлаждащия поток. Знакът минус от дясната страна се взема поради факта, че нормалата към вътрешната повърхност на канала е насочена в посока, противоположна на оста.

Замествайки израза за температура (76) в първото от написаните гранични условия, получаваме

където . Второто гранично условие дава

от къде го намираме?

В същото време от (76)

Сравнявайки последните два израза, намираме

След заместване на намерените константи в общото решение (76) и трансформации получаваме

Температурата на границите на напречното сечение на проводника от получения разтвор ще бъде изчислена по формулите

Разпределение на температурата по радиуса на напречното сечение за проводник с охлаждащ канал с параметри: A, W/mK, 1/Ohm m, o C, mm, cm е показано на фиг. 41, b.

От фиг. 41, bот това следва, че в рамките на напречното сечение на проводника промяната на температурата е относително малка в сравнение със средната й стойност, което се обяснява с високата топлопроводимост λ и сравнително малки размери на напречното сечение на проводника.

Друга ситуация възниква при разпределението на температурата по протежение на проводник, състоящ се от отделни секции в контакт един с друг. Влошаването на качеството на контактите между свързаните проводници води до увеличаване на генерирането на топлина в кръстовището на два проводника в сравнение със самия проводник. Дистанционното измерване на температурата на проводника с помощта на термокамери или пирометри ви позволява да диагностицирате качеството на контактните връзки.

Нека изчислим разпределението на температурата по проводника при наличие на дефектен контакт. Предишният пример показа, че дори при най-тежки условия температурната промяна в напречното сечение на жицата е много малка. Следователно, за нашите изчисления можем, като първо приближение, да приемем, че разпределението на температурата в напречното сечение на проводника е равномерно. Разпределението на генерираната топлина по дължината на проводника зависи от разпределението на електрическото съпротивление по дължината на проводника, което е равномерно далеч от контакта и се увеличава при приближаване към него. Нека изравним оста на декартовата координатна система с оста на проводника, а началото на координатите с центъра на контактната зона (фиг. 42). Като модел за разпределение на съпротивлението по дължината на проводника приемаме следното разпределение на линейното съпротивление

където , е параметър, характеризиращ линейния размер на контактната площ. Топлинната мощност на единица дължина на проводника е. Изчислено за единица обем, мощността на топлоотдаване е равна на

Където С- напречно сечение на проводника. Жицата се охлажда чрез естествена конвекция от нейната повърхност. Конвективният топлинен поток на единица дължина на проводника е

Където α - коефициент на топлопреминаване, - температура на околната среда, стр- периметър на напречното сечение на проводника. Преносът на топлина към околната среда на единица обем на проводника ще бъде

Стационарното разпределение на температурата по жицата ще се подчинява на уравнението за топлопроводимост

За по-нататъшни трансформации на полученото уравнение, нека вземем константата на коефициента на топлопроводимост по жицата, заместваме получените по-горе изрази за и , а също и като желаната функция вместо Tда вземем:

стигаме до линейно нехомогенно диференциално уравнение

Решението на полученото уравнение ще търсим под формата на сумата от общото решение на хомогенното уравнение

и специално решение под формата на дясната страна

с начални условия

и гранични условия

Ще търсим решение на този проблем под формата на ред на Фурие, използвайки системата от собствени функции (94)

тези. под формата на разлагане

като се има предвид едновременно Tпараметър.

Нека функциите f(х, T) е непрекъсната и има частично непрекъсната производна от 1-ви ред по отношение на хи то пред всички T>0 условия са изпълнени

Нека сега приемем, че функциите f(х, T) И
може да се разшири в ред на Фурие по отношение на синусите

, (117)

(118)

, (119)

. (120)

Нека заместим (116) в уравнение (113) и като вземем предвид (117), получаваме

Това равенство е изпълнено, когато

, (121)

или ако
, тогава това уравнение (121) може да бъде написано във формата

. (122)

Използвайки началното условие (114), като вземем предвид (116), (117) и (119), получаваме, че

. (123)

По този начин, за да намерите необходимата функция
достигаме до проблема на Коши (122), (123) за обикновено нехомогенно диференциално уравнение от първи ред. Използвайки формулата на Ойлер, можем да запишем общото решение на уравнение (122)

и като се вземе предвид (123), решението на проблема на Коши

Следователно, когато заместим стойността на тази функция в израз (116), в крайна сметка ще получим решение на първоначалния проблем

(124)

къде са функциите f(х, T) И
се определят от формули (118) и (120).

Пример 14. Намерете решение на нееднородно уравнение от параболичен тип

при първоначално състояние

(14.2)

и гранични условия

. (14.3)

▲ Нека първо изберем следната функция  , така че да удовлетворява граничните условия (14.3). нека например  = xt 2. Тогава

Следователно функцията, дефинирана като

удовлетворява уравнението

(14.5)

хомогенни гранични условия

и нулеви начални условия

. (14.7)

Използване на метода на Фурие за решаване на хомогенното уравнение

при условия (14.6), (14.7), задаваме

Стигаме до следния проблем на Sturm-Liouville:

,
.

Решавайки този проблем, ние намираме собствените стойности

и съответните им собствени функции

. (14.8)

Търсим решение на задача (14.5)-(14.7) под формата на серия

, (14.9)

(14.10)

Заместване
от (14.9) до (14.5) получаваме

. (14.11)

За намиране на функция T н (T) нека разширим функцията (1- х) в ред на Фурие, използвайки системата от функции (14.8) на интервала (0,1):

. (14.12)

и от (14.11) и (14.12) получаваме уравнението

, (14.13)

което е обикновено нехомогенно линейно диференциално уравнение от първи ред. Намираме общото му решение с помощта на формулата на Ойлер

и като вземем предвид условието (14.10), намираме решение на задачата на Коши

. (14.14)

От (14.4), (14.9) и (14.14) намираме решението на първоначалния проблем (14.1)-(14.3)

Задачи за самостоятелна работа

Решаване на начални гранични задачи

3.4. Задача на Коши за топлинното уравнение

Първо, нека да разгледаме Проблем на Коши за хомогенно топлинно уравнение.

задоволително

Нека започнем със замяна на променливите х И TНа
и въведете под внимание функцията
. След това функциите
ще задоволи уравненията

Където
- Функция на Грийн, дефинирана от формулата

, (127)

и имащи свойства

; (130)

. (131)

Умножавайки първото уравнение по Ж* , а вторият на Ии след това като добавим получените резултати, получаваме равенството

. (132)

След интегриране по части от равенството (132) по вариращи от -∞ до +∞ и според вариращи от 0 до T, получаваме

Ако приемем, че функцията
и негово производно ограничено, когато
, тогава поради свойства (131) интегралът от дясната страна на (133) е равен на нула. Следователно можем да пишем

Заменяйки това равенство с
, А
На
, получаваме връзката

От тук, използвайки формула (127), най-накрая получаваме

. (135)

Извиква се формула (135). Формула на Поасон и определя решението на проблема на Коши (125), (126) за хомогенно топлинно уравнение с нехомогенно начално условие.

Решението Задача на Коши за нехомогенното топлинно уравнение

задоволително нехомогенно начално състояние

представлява сумата от решенията:

където е решението на задачата на Коши за хомогенното топлинно уравнение . , удовлетворяващо нехомогенното начално условие, е решение, удовлетворяващо хомогенното начално условие. Така решението на задачата на Коши (136), (137) се определя от формулата

Пример 15. Намерете решението на уравнението

(15.1)

за следното разпределение на температурата на пръта:

▲ Пръчката е безкрайна, така че решението може да бъде написано с формула (135)

защото
в интервала
равна на постоянна температура , а извън този интервал температурата е нула, тогава решението приема формата

. (15.3)

Приемайки в (15.3)
, получаваме

Тъй като

е интеграл от вероятностите, тогава крайното решение на първоначалния проблем (13.1), (13.2) може да бъде изразено с формулата

.▲

Уравнение на топлопроводимостта за нестационарния случай

нестационарни, ако телесната температура зависи както от положението на точката, така и от времето.

Нека означим с И = И(М, T) температура в точка Мхомогенно тяло, ограничено от повърхност С, в момента на времето T. Известно е, че количеството топлина dQ, усвоени с времето дт, се изразява с равенство

Където dS− повърхностен елемент, к− коефициент на вътрешна топлопроводимост, − производна на функцията Ипо посока на външната нормала към повърхността С. Тъй като се разпространява в посока на намаляване на температурата, тогава dQ> 0, ако > 0, и dQ < 0, если < 0.

От равенството (1) следва

Сега да намерим Qдруг начин. Изберете елемента dVсила на звука V, ограничена от повърхността С. Количество топлина dQ, получени от елемента dVпо време на дт, е пропорционална на повишаването на температурата в този елемент и масата на самия елемент, т.е.

където е плътността на веществото, коефициент на пропорционалност, наречен топлинен капацитет на веществото.

От равенството (2) следва

По този начин,

Където . Като се има предвид, че = , , получаваме

Заменяйки дясната страна на равенството с формулата на Остроградски-Грийн, получаваме

за всякакъв обем V. От тук получаваме диференциалното уравнение

което се нарича топлинно уравнение за нестационарния случай.

Ако тялото е прът, насочен по оста о, тогава топлинното уравнение има формата

Разгледайте проблема на Коши за следните случаи.

1. Случаят на неограничен прът.Намерете решение на уравнение (3) ( T> 0, ), удовлетворяващи началното условие . Използвайки метода на Фурие, получаваме решение във формата

− Интеграл на Поасон.

2. Калъф за пръти, ограничен от едната страна.Решението на уравнение (3), удовлетворяващо началното условие и граничното условие, се изразява с формулата

3. Калъф за пръти, ограничени от двете страни.Проблемът на Коши е, че когато х= 0 и х = лнамери решение на уравнение (3), което отговаря на началното условие и две гранични условия, например, или .

В този случай се търси конкретно решение под формата на серия

за гранични условия,

и под формата на поредица

за гранични условия.

Пример.Намерете решението на уравнението

удовлетворяващи началните условия

и гранични условия.

□ Ще търсим решение на задачата на Коши във формата

По този начин,

Уравнение на топлината за стационарен случай

Разпределението на топлината в тялото се нарича стационарен, ако телесната температура Изависи от позицията на точката М(х, при, z), но не зависи от времето T, т.е.

И = И(М) = И(х, при, z).

В този случай 0 и уравнението за топлопроводимост за стационарния случай става Уравнение на Лаплас

което често се записва като .

До температура Ив тялото се определя еднозначно от това уравнение, трябва да знаете температурата на повърхността Стела. По този начин за уравнение (1) граничният проблем се формулира, както следва.

Намиране на функция И, удовлетворяващ уравнение (1) вътре в обема Vи получаване във всяка точка Мповърхности Сзададени стойности

Тази задача се нарича Проблем на Дирихлеили първа гранична задачаза уравнение (1).

Ако температурата на повърхността на тялото е неизвестна и е известен топлинният поток във всяка точка на повърхността, който е пропорционален на , то на повърхността Свместо гранично условие (2) ще имаме условието

Задачата за намиране на решение на уравнение (1), което удовлетворява граничното условие (3), се нарича Проблем на Нойманили втори граничен проблем.

За равнинни фигури уравнението на Лаплас се записва като

Уравнението на Лаплас има същата форма за пространство, ако Ине зависи от координатата z, т.е. И(М) поддържа постоянна стойност, докато точката се движи Мпо права линия, успоредна на оста Оз.

Чрез заместване, уравнение (4) може да се преобразува в полярни координати

Концепцията за хармонична функция се свързва с уравнението на Лаплас. Функцията се извиква хармониченв района д, ако в тази област е непрекъсната заедно със своите производни до втори ред включително и удовлетворява уравнението на Лаплас.

Пример.Намерете стационарното разпределение на температурата в тънък прът с термично изолирана странична повърхност, ако в краищата на пръта, .

□ Имаме едномерен случай. Трябва да се намери функция И, удовлетворяващи уравнението и граничните условия , . Общото уравнение на споменатото уравнение е. Като вземем предвид граничните условия, получаваме

По този начин разпределението на температурата в тънък прът с термично изолирана странична повърхност е линейно. ■

Задача на Дирихле за окръжност

Нека е дадена окръжност с радиус Рцентриран в полюса ОТНОСНОполярна координатна система. Необходимо е да се намери функция, която е хармонична в окръжност и удовлетворява условието на нейната окръжност, където е дадена функция, която е непрекъсната в окръжността. Търсената функция трябва да удовлетворява уравнението на Лаплас в кръга

Използвайки метода на Фурие, може да се получи

− Интеграл на Поасон.

Пример.Намерете стационарното разпределение на температурата върху равномерна тънка кръгла плоча с радиус Р, горната половина се поддържа при температура , а долната половина при температура .

□ Ако, тогава и ако, тогава. Разпределението на температурата се изразява с интеграла

Нека точката се намира в горния полукръг, т.е. ; след това варира от до и този интервал на дължина не съдържа точки. Затова въвеждаме заместването , от където , . Тогава получаваме

Тогава дясната страна е отрицателна Ипри удовлетворява неравенствата . За този случай получаваме решението

Ако точката се намира в долния полукръг, т.е. , тогава интервалът на промяна съдържа точката , но не съдържа 0 и можем да направим заместването , от където , , Тогава за тези стойности имаме

Извършвайки подобни трансформации, намираме

Тъй като дясната страна сега е положителна, тогава. ■

Метод на крайната разлика за решаване на топлинното уравнение

Да предположим, че трябва да намерим решение на уравнението

задоволително:

начално състояние

и гранични условия

И така, изисква се да се намери решение на уравнение (1), което да отговаря на условия (2), (3), (4), т.е. изисква се да се намери решение в правоъгълник, ограничен от линии , , , , ако стойностите на търсената функция са дадени от трите му страни , , .

Нека изградим правоъгълна мрежа, образувана от прави линии

− стъпка по оста о;

− стъпка по оста от.

Нека въведем следната нотация:

От концепцията за крайните разлики можем да напишем

по същия начин

Като вземем предвид формули (6), (7) и въведената нотация, записваме уравнение (1) във формата

От тук получаваме формулата за изчисление

От (8) следва, че ако три стойности на k кти слой на мрежата: , , , тогава можете да определите стойността в ( к+ 1)ти слой.

Първоначалното условие (2) ви позволява да намерите всички стойности на правата линия; гранични условия (3), (4) ни позволяват да намерим стойности на линиите и . Използвайки формула (8), намираме стойностите във всички вътрешни точки на следващия слой, т.е. За к= 1. Стойностите на желаната функция в екстремните точки са известни от граничните условия (3), (4). Преминавайки от един слой на мрежата към друг, ние определяме стойностите на желаното решение във всички възли на мрежата. ;

Механика на непрекъснатата среда

Непрекъсната среда

Вижте също: Портал: Физика

Уравнение на дифузияе специална форма на частично диференциално уравнение. Тя може да бъде нестационарна и стационарна.

В смисъл на тълкуване при решаване дифузионни уравненияговорим за намиране на зависимостта на концентрацията на вещество (или други обекти) от пространствени координати и време и се дава коефициент (в общия случай също в зависимост от пространствени координати и време), характеризиращ пропускливостта на средата за дифузия . При решаване топлинни уравнениястава дума за намиране на зависимостта на температурата на средата от пространствените координати и времето, като са дадени топлоемкостта и топлопроводимостта на средата (също в общия случай нехомогенна).

Физически и в двата случая се предполага липсата или небрежността на макроскопичните потоци на материята. Това са физическите граници на приложимост на тези уравнения. Освен това, представлявайки непрекъснатата граница на тези проблеми (тоест не повече от някакво приближение), дифузионните и топлинните уравнения като цяло не описват статистически флуктуации и процеси, близки по мащаб до дължината и времето на свободния път, като също се отклоняват много силно от очакваното точно решение на проблема по отношение на корелациите на разстояния, сравними (и по-големи) с разстоянията, изминати от звук (или частици, свободни от съпротивлението на средата при техните характерни скорости) в дадена среда през разглежданото време.

В преобладаващата част от случаите това незабавно означава, че уравненията на дифузията и топлопроводимостта в техния обхват на приложимост са далеч от тези области, където квантовите ефекти или ограничеността на скоростта на светлината стават значими, тоест в преобладаващата част от случаи, не само в тяхното извеждане, но и по принцип, ограничени до сферата на класическата Нютонова физика.

При задачи за дифузия или топлопроводимост в течности и газове в движение вместо уравнението на дифузията се използва уравнението на транспорта, което разширява уравнението на дифузията до случая, когато пренебрегването на макроскопичното движение е неприемливо.

Най-близкият формален и в много отношения съдържателен аналог на уравнението на дифузията е уравнението на Шрьодингер, което се различава от уравнението на дифузията чрез въображаемата единица на фактора пред производната по време. Много теореми за решаването на уравнението на Шрьодингер и дори някои видове формално представяне на неговите решения са пряко подобни на съответните теореми за уравнението на дифузия и неговите решения, но техните решения се различават много качествено.

Обща форма

Уравнението обикновено се записва така:

∂ φ (r , t) ∂ t = ∇ ⋅ [ D (φ , r) ∇ φ (r , t) ] , (\displaystyle (\frac (\partial \varphi (\mathbf (r) ,t))( \partial t))=\nabla \cdot (\big [)D(\varphi ,\mathbf (r))\ \nabla \varphi (\mathbf (r) ,t)(\big ]),)

където φ( r, T) е плътността на дифундиращото вещество в точка rи по време на TИ д(φ, r) - обобщен коефициент на дифузия за плътност φ в точка r; ∇ - наблюдаем оператор. Ако коефициентът на дифузия зависи от плътността, уравнението е нелинейно, в противен случай е линейно.

Ако д- симетричен положително определен оператор, уравнението описва анизотропна дифузия:

∂ φ (r , t) ∂ t = ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 ∂ ∂ x i [ D i j (φ , r) ∂ φ (r , t) ∂ x j ] . (\displaystyle (\frac (\partial \varphi (\mathbf (r) ,t))(\partial t))=\sum _(i=1)^(3)\sum _(j=1)^( 3)(\frac (\partial )(\partial x_(i)))\left.)

Ако дконстанта, тогава уравнението се свежда до линейно диференциално уравнение:

∂ ϕ (r , t) ∂ t = D ∇ 2 ϕ (r , t) , (\displaystyle (\frac (\partial \phi (\mathbf (r) ,t))(\partial t))=D\ nabla ^(2)\phi (\mathbf (r) ,t),)

История на произхода

Нестационарно уравнение

Нестабиленуравнението на дифузията се класифицира като параболичендиференциално уравнение . Той описва разпределението на разтвореното вещество поради дифузия или преразпределение на телесната температура в резултат на топлопроводимост.

Едномерен случай

В случай на едномерен процес на дифузия с коефициент на дифузия (топлопроводимост) D (\displaystyle D)уравнението е:

∂ ∂ t c (x , t) = ∂ ∂ x D ∂ ∂ x c (x , t) + f (x , t) . (\displaystyle (\frac (\partial )(\partial t))c(x,\;t)=(\frac (\partial )(\partial x))D(\frac (\partial )(\partial x ))(c(x,\;t))+f(x,\;t).)

При постоянно D (\displaystyle D)приема формата:

∂ ∂ t c (x , t) = D ∂ 2 ∂ x 2 c (x , t) + f (x , t) , (\displaystyle (\frac (\partial )(\partial t))c(x,\ ;t)=D(\frac (\partial ^(2))(\partial x^(2)))(c(x,\;t))+f(x,\;t),)

Където c (x, t) (\displaystyle c(x,\;t))е концентрацията на дифузиращото вещество, a f (x, t) (\displaystyle f(x,\;t))- функция, описваща източници на материя (топлина).

Триизмерен калъф

В триизмерния случай уравнението приема формата:

∂ ∂ t c (r → , t) = (∇ , D ∇ c (r → , t)) + f (r → , t) , (\displaystyle (\frac (\partial )(\partial t))c( (\vec (r)),\;t)=(\nabla ,\;D\nabla c((\vec (r)),\;t))+f((\vec (r)),\; T),)

Където ∇ = (∂ x, ∂ y, ∂ z) (\displaystyle \nabla =(\partial _(x),\;\partial _(y),\;\partial _(z)))- оператор nabla и (,) (\displaystyle (\;,\;))- скаларно произведение. Може да се напише и като

∂ t c = d i v (D g r a d c) + f , (\displaystyle \partial _(t)c=\mathbf (div) \,(D\,\mathbf (град) \,c)+f,)

и при постоянно D (\displaystyle D)приема формата:

∂ ∂ t c (r → , t) = D Δ c (r → , t) + f (r → , t) , (\displaystyle (\frac (\partial )(\partial t))c((\vec ( r)),\;t)=D\Делта c((\vec (r)),\;t)+f((\vec (r)),\;t),)

Където Δ = ∇ 2 = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 (\displaystyle \Delta =\nabla ^(2)=(\frac (\partial ^(2))(\partial x ^(2)))+(\frac (\partial ^(2))(\partial y^(2)))+(\frac (\partial ^(2))(\partial z^(2))) )- Оператор на Лаплас.

н-габаритна кутия

N (\displaystyle n)-дименсионален случай - директно обобщение на горното, трябва да се разбират само операторът Nabla, градиентът и дивергенцията, както и операторът на Лаплас n (\displaystyle n)-размерни версии на съответните оператори:

∇ = (∂ 1 , ∂ 2 , … , ∂ n) , (\displaystyle \nabla =(\partial _(1),\;\partial _(2),\;\ldots ,\;\partial _(n ))) Δ = ∇ 2 = ∂ 1 2 + ∂ 2 2 + … + ∂ n 2 . (\displaystyle \Delta =\nabla ^(2)=\partial _(1)^(2)+\partial _(2)^(2)+\ldots +\partial _(n)^(2).)

Това важи и за двумерния случай n = 2 (\displaystyle n=2).

Мотивация

А.

Обикновено уравнението на дифузията възниква от емпирично (или по някакъв начин теоретично извлечено) уравнение, което посочва пропорционалността на потока от материя (или топлинна енергия) на разликата в концентрациите (температури) на региони, разделени от тънък слой материя на даден пропускливост, характеризираща се с коефициента на дифузия (или топлопроводимост):

Φ = − ϰ ∂ c ∂ x (\displaystyle \Phi =-\varkappa (\frac (\partial c)(\partial x)))(едномерен случай), j = − ϰ ∇ c (\displaystyle \mathbf (j) =-\varkappa \nabla c)(за всякакъв размер),

комбинирано с уравнението за непрекъснатост, изразяващо запазването на материята (или енергията):

∂ c ∂ t + ∂ Φ ∂ x = 0 (\displaystyle (\frac (\partial c)(\partial t))+(\frac (\partial \Phi )(\partial x))=0)(едномерен случай), ∂ c ∂ t + d i v j = 0 (\displaystyle (\frac (\partial c)(\partial t))+\mathrm (div) \,\mathbf (j) =0)(за всякакъв размер),

като се вземе предвид в случая на уравнението за топлопроводимост и топлинният капацитет (температура = енергийна плътност / специфичен топлинен капацитет).

Тук източникът на материя (енергия) от дясната страна е пропуснат, но, разбира се, той лесно може да бъде поставен там, ако има приток (изтичане) на материя (енергия) в проблема.
Приема се също така, че потокът на дифундиращо вещество (примес) не се влияе от никакви външни сили, включително гравитацията (пасивен примес).

б.

В допълнение, той естествено възниква като непрекъсната граница на подобно диференциално уравнение, което от своя страна възниква при разглеждане на проблема за случайно ходене по дискретна решетка (едномерна или n (\displaystyle n)-измерителен). (Това е най-простият модел; в по-сложните модели на случайни разходки уравнението на дифузията също възниква в непрекъснатата граница.) Най-простата интерпретация на функцията c (\displaystyle c)в този случай служи броят (или концентрацията) на частиците в дадена точка (или близо до нея), като всяка частица се движи независимо от другите без памет (инерция) за своето минало (в малко по-сложен случай - с времето- ограничена памет).

Решение

c (x , t) = ∫ − ∞ + ∞ c (x ′ , 0) c f (x − x ′ , t) d x ′ = ∫ − ∞ + ∞ c (x ′ , 0) 1 4 π D t exp ⁡ (− (x − x ′) 2 4 D t) d x ′ . (\displaystyle c(x,\;t)=\int \limits _(-\infty )^(+\infty )c(x",\;0)c_(f)(x-x",\;t)\ ,dx"=\int \limits _(-\infty )^(+\infty )c(x",\;0)(\frac (1)(\sqrt (4\pi Dt)))\exp \left (-(\frac ((x-x")^(2))(4Dt))\right)\,dx".)

Физически бележки

Тъй като приближението, реализирано от уравненията на дифузия и топлопроводимост, е фундаментално ограничено до областта на ниски скорости и макроскопични мащаби (виж по-горе), не е изненадващо, че тяхното фундаментално решение не се държи много реалистично на големи разстояния, формално позволявайки безкрайно разпространение на влиянието в пространството за крайно време; Трябва да се отбележи, че величината на този ефект намалява толкова бързо с разстоянието, че този ефект обикновено е ненаблюдаем по принцип (например, говорим за концентрации, много по-малки от единица).

Въпреки това, ако говорим за ситуации, при които такива малки концентрации могат да бъдат експериментално измерени и това е от съществено значение за нас, е необходимо да се използва поне не диференциално, а дифузионно уравнение на разликата и още по-добре по-подробни микроскопични физически и статистически модели, за да се получи по-адекватно разбиране на реалността в тези случаи.

Стационарно уравнение

В случая, когато задачата е да се намери стационарно разпределение на плътността или температурата (например, когато разпределението на източниците не зависи от времето), свързаните с времето членове на уравнението се премахват от не -стационарно уравнение. Тогава се оказва стационарно топлинно уравнение, принадлежащи към класа на елиптичните уравнения. Общият му вид:

− (∇ , D ∇ c (r →)) = f (r →) . (\displaystyle -(\nabla ,\;D\nabla c((\vec (r))))=f((\vec (r))).) Δ c (r →) = − f (r →) D , (\displaystyle \Delta c((\vec (r)))=-(\frac (f((\vec (r))))(D) ),) Δ c (r →) = 0. (\displaystyle \Delta c((\vec (r)))=0.)

Постановка на гранични задачи

Задача с начални условия (задача на Коши) върху разпределението на температурата върху безкрайна права

Ако разгледаме процеса на топлопроводимост в много дълъг прът, тогава за кратък период от време практически няма влияние на температурите на границите и температурата в разглежданата област зависи само от първоначалното разпределение на температурата.

и , отговарящи на условието u (x, t 0) = φ (x) (− ∞< x < + ∞) {\displaystyle u(x,\;t_{0})=\varphi (x)\quad (-\infty , където е дадената функция.

Първата гранична задача за полубезкраен прът

Ако секцията на пръта, която ни интересува, е разположена близо до единия край и значително отдалечена от другия, тогава стигаме до гранична задача, в която се отчита влиянието само на едно от граничните условия.

Намерете решение на топлинното уравнение в района − ∞ ⩽ x ⩽ + ∞ (\displaystyle -\infty \leqslant x\leqslant +\infty )И t ⩾ t 0 (\displaystyle t\geqslant t_(0)), отговарящи на условията

( u (x , t 0) = φ (x) , (0< x < ∞) u (0 , t) = μ (t) , (t ⩾ t 0) {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u(x,\;t_{0})=\varphi (x),\quad (0

Където φ (x) (\displaystyle \varphi (x))И μ (t) (\displaystyle \mu (t))- определени функции.

Гранична задача без начални условия

Ако моментът от време, който ни интересува, е достатъчно отдалечен от първоначалния, тогава има смисъл да пренебрегнем началните условия, тъй като тяхното влияние върху процеса отслабва с времето. Така се стига до задача, в която са зададени гранични условия и липсват начални.

Намерете решение на топлинното уравнение в района 0 ⩽ x ⩽ l (\displaystyle 0\leqslant x\leqslant l)И − ∞ < t {\displaystyle -\infty , отговарящи на условията

( u (0 , t) = μ 1 (t) , u (l , t) = μ 2 (t) , (\displaystyle \left\((\begin(array)(l)u(0,\;t )=\mu _(1)(t),\\u(l,\;t)=\mu _(2)(t),\край (масив))\десен.)

където и са дадени функции.

Гранични задачи за ограничен прът

Помислете за следния проблем с гранични стойности:

u t = a 2 u x x + f (x , t) , 0< x < l , 0 < t ⩽ T {\displaystyle u_{t}=a^{2}u_{xx}+f(x,\;t),\quad 0- уравнение на топлопроводимостта.

Ако f (x, t) = 0 (\displaystyle f(x,\;t)=0), тогава такова уравнение се нарича хомогенен, в противен случай - разнородни.

u (x , 0) = φ (x) , 0 ⩽ x ⩽ l (\displaystyle u(x,\;0)=\varphi (x),\quad 0\leqslant x\leqslant l)- начално състояние към момента t = 0 (\displaystyle t=0), температура в точка x (\displaystyle x)се дава от функцията φ (x) (\displaystyle \varphi (x)). u (0 , t) = μ 1 (t) , u (l , t) = μ 2 (t) , ) 0 ⩽ t ⩽ T (\displaystyle \left.(\begin(array)(l)u(0 ,\;t)=\mu _(1)(t),\\u(l,\;t)=\mu _(2)(t),\край (масив))\right\)\quad 0 \leqslant t\leqslant T)- гранични условия. Функции μ 1 (t) (\displaystyle \mu _(1)(t))И μ 2 (t) (\displaystyle \mu _(2)(t))задайте стойността на температурата в граничните точки 0 и l (\displaystyle l)по всяко време t (\displaystyle t).

В зависимост от вида на граничните условия задачите за топлинното уравнение могат да бъдат разделени на три вида. Разгледайте общия случай ( α i 2 + β i 2 ≠ 0 , (i = 1 , 2) (\displaystyle \alpha _(i)^(2)+\beta _(i)^(2)\neq 0,\;(i= 1,\;2))).

α 1 u x (0, t) + β 1 u (0, t) = μ 1 (t), α 2 u x (l, t) + β 2 u (l, t) = μ 2 (t). (\displaystyle (\begin(array)(l)\alpha _(1)u_(x)(0,\;t)+\beta _(1)u(0,\;t)=\mu _(1 )(t),\\\алфа _(2)u_(x)(l,\;t)+\бета _(2)u(l,\;t)=\mu _(2)(t). \край (масив)))

Ако α i = 0, (i = 1, 2) (\displaystyle \alpha _(i)=0,\;(i=1,\;2)), тогава такова състояние се нарича състояние от първи вид, Ако β i = 0, (i = 1, 2) (\displaystyle \beta _(i)=0,\;(i=1,\;2)) - втори вид, и ако α i (\displaystyle \alpha _(i))И β i (\displaystyle \beta _(i))са различни от нула, тогава условието трети вид. От тук получаваме задачи за уравнението на топлопроводимостта - първа, втора и трета гранични задачи.

Максимален принцип

Нека функцията е в пространството D × [ 0 , T ] , D ∈ R n (\displaystyle D\times ,\;D\in \mathbb (R) ^(n)), удовлетворява уравнението за хомогенна топлина ∂ u ∂ t − a 2 Δ u = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-a^(2)\Delta u=0), и D (\displaystyle D)- ограничена площ. Принципът на максимума гласи, че функцията u (x, t) (\displaystyle u(x,\;t))може да вземе екстремни стойности или в началния момент от време, или на границата на региона D (\displaystyle D).