Площ под функцията. Намиране на площта на фигура, ограничена от линиите y=f(x), x=g(y)

Нека разгледаме извит трапец, ограничен от оста Ox, кривата y=f(x) и две прави: x=a и x=b (фиг. 85). Нека вземем произволна стойност на x (само не a и b). Нека да му дадем увеличение h = dx и да разгледаме лента, ограничена от прави линии AB и CD, оста Ox и дъгата BD, принадлежаща на разглежданата крива. Ще наричаме тази лента елементарна лента. Площта на елементарна лента се различава от площта на правоъгълника ACQB от криволинейния триъгълник BQD, а площта на последния е по-малка от площта на правоъгълника BQDM със страни BQ = =h= dx) QD=Ay и площ, равна на hAy = Ay dx. Когато страната h намалява, страната Du също намалява и едновременно с h клони към нула. Следователно площта на BQDM е безкрайно малка от втори ред. Площта на елементарна лента е нарастването на площта, а площта на правоъгълника ACQB, равна на AB-AC ==/(x) dx> е диференциалът на площта. Следователно намираме самата площ чрез интегриране на нейния диференциал. В рамките на разглежданата фигура независимата променлива l: се променя от a на b, така че търсената площ 5 ще бъде равна на 5= \f(x) dx. (I) Пример 1. Нека изчислим площта, ограничена от параболата y - 1 -x*, правите X =--Fj-, x = 1 и оста O* (фиг. 86). на фиг. 87. Фиг. 86. 1 Тук f(x) = 1 - l?, границите на интегриране са a = - и £ = 1, следователно J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Пример 2. Нека изчислим площта, ограничена от синусоидата y = sinXy, оста Ox и правата (фиг. 87). Прилагайки формула (I), получаваме A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Пример 3. Изчислете площта, ограничена от дъгата на синусоидата ^у = sin jc, оградена между две съседни пресечни точки с оста Ox (например между началото и точката с абсцисата i). Имайте предвид, че от геометрични съображения е ясно, че тази област ще бъде два пъти повече площпредишен пример. Нека обаче направим изчисленията: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Наистина предположението ни се оказа правилно. Пример 4. Изчислете площта, ограничена от синусоидата и оста Ox в един период (фиг. 88). Предварителните изчисления предполагат, че площта ще бъде четири пъти по-голяма, отколкото в пример 2. Въпреки това, след като направим изчисления, получаваме “i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Този резултат изисква пояснение. За да изясним същността на въпроса, ние също изчисляваме площта, ограничена от същата синусоида y = sin l: и оста Ox в диапазона от l до 2i. Прилагайки формула (I), получаваме 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Така виждаме, че тази област се оказа отрицателна. Сравнявайки го с площта, изчислена в упражнение 3, установяваме, че техните абсолютни стойности са еднакви, но знаците са различни. Ако приложим свойство V (виж Глава XI, § 4), получаваме 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Случилото се в този пример не е инцидент. Винаги площта, разположена под оста Ox, при условие че независимата променлива се променя отляво надясно, се получава, когато се изчислява с помощта на интеграли. В този курс винаги ще разглеждаме области без знаци. Следователно отговорът в току-що обсъдения пример ще бъде: необходимата площ е 2 + |-2| = 4. Пример 5. Нека изчислим площта на BAB, показана на фиг. 89. Тази област е ограничена от оста Ox, параболата y = - xr и правата линия y - = -x+\. Площ на криволинеен трапец Необходимата област OAB се състои от две части: OAM и MAV. Тъй като точка A е пресечната точка на парабола и права линия, ще намерим нейните координати, като решим системата от уравнения 3 2 Y = mx. (трябва само да намерим абсцисата на точка А). Решавайки системата, намираме l; = ~. Следователно площта трябва да се изчисли на части, първи квадрат. OAM и след това pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x. Тоест не се вземат предвид линии като разреза на гъба, чието стъбло пасва добре в този сегмент, а шапката е много по-широка.

Страничните сегменти могат да се изродят в точки . Ако видите такава фигура на чертежа, това не трябва да ви обърква, тъй като тази точка винаги има стойност на оста "x". Това означава, че всичко е наред с границите на интеграция.

Сега можете да преминете към формули и изчисления. Така че областта сизвит трапец може да се изчисли с помощта на формулата

Ако f(х) ≤ 0 (графиката на функцията е разположена под оста вол), Че площ на извит трапецможе да се изчисли с помощта на формулата

Има и случаи, когато и горната, и долната граница на фигурата са съответно функции г = f(х) И г = φ (х) , тогава площта на такава фигура се изчислява по формулата

. (3)

Решаване на проблеми заедно

Нека започнем със случаите, когато площта на фигура може да се изчисли по формула (1).

Пример 1.вол) и направо х = 1 , х = 3 .

Решение. защото г = 1/х> 0 на сегмента , тогава площта на криволинейния трапец се намира по формула (1):

.

Пример 2.Намерете площта на фигурата, ограничена от графиката на функцията, линия х= 1 и оста x ( вол ).

Решение. Резултатът от прилагането на формула (1):

Ако тогава с= 1/2; ако тогава с= 1/3 и т.н.

Пример 3.Намерете площта на фигурата, ограничена от графиката на функцията, абсцисната ос ( вол) и направо х = 4 .

Решение. Фигурата, съответстваща на условията на задачата, е криволинеен трапец, в който левият сегмент се е изродил в точка. Границите на интегриране са 0 и 4. Тъй като , използвайки формула (1), намираме площта на криволинейния трапец:

.

Пример 4.Намерете площта на фигурата, ограничени от линии, , и се намира в 1-ви кв.

Решение. За да използваме формула (1), нека си представим площта на фигурата, дадена от условията на примера, като сбор от площите на триъгълника OABи извит трапец ABC. При изчисляване на площта на триъгълник OABграниците на интегриране са абсцисите на точките ОИ А, а за фигурата ABC- абсцисите на точките АИ ° С (Ае пресечната точка на линията О.А.и параболи, и ° С- точката на пресичане на параболата с оста вол). Решавайки съвместно (като система) уравненията на права линия и парабола, получаваме (абсцисата на точката А) и (абсцисата на друга пресечна точка на правата и параболата, която не е необходима за решението). По същия начин получаваме , (абсцисите на точките ° СИ д). Сега имаме всичко необходимо, за да намерим площта на фигура. Намираме:

Пример 5.Намерете площта на извит трапец ACDB, ако уравнението на кривата CDи абсцисите АИ б 1 и 2 съответно.

Решение. Нека изразим това уравнение на кривата чрез играта: Площта на криволинейния трапец се намира с помощта на формула (1):

.

Нека да преминем към случаите, когато площта на фигура може да се изчисли по формула (2).

Пример 6.Намерете площта на фигурата, ограничена от параболата и оста x ( вол ).

Решение. Тази фигура се намира под оста x. Следователно, за да изчислим неговата площ, ще използваме формула (2). Границите на интегриране са абсцисата и точките на пресичане на параболата с оста вол. следователно

Пример 7.Намерете областта, затворена между абсцисната ос ( вол) и две съседни синусоиди.

Решение. Площта на тази фигура може да се намери с помощта на формула (2):

.

Нека намерим всеки термин поотделно:

.

.

Накрая намираме областта:

.

Пример 8.Намерете площта на фигурата, затворена между параболата и кривата.

Решение. Нека изразим уравненията на линиите чрез играта:

Площта съгласно формула (2) се получава като

,

Където аИ b- абсцисите на точките АИ б. Нека ги намерим, като решим заедно уравненията:

Накрая намираме областта:

И накрая, случаите, когато площта на фигура може да се изчисли по формула (3).

Пример 9.Намерете площта на фигурата, затворена между параболите И .

Започваме да разглеждаме действителния процес на изчисляване на двойния интеграл и да се запознаем с неговия геометричен смисъл.

Двойният интеграл е числено равен на площта на равнинната фигура (областта на интегриране). Това е най-простата форма на двоен интеграл, когато функцията на две променливи е равна на единица: .

Нека първо разгледаме проблема в общ изглед. Сега ще бъдете доста изненадани колко просто е всъщност всичко! Нека изчислим площта на плоска фигура, ограничена от линии. За категоричност приемаме, че на отсечката . Площта на тази фигура е числено равна на:

Нека изобразим областта на чертежа:

Нека изберем първия начин за прекосяване на района:

По този начин:

И веднага важна техническа техника: итерираните интеграли могат да бъдат изчислени отделно. Първо вътрешният интеграл, след това външният интеграл. Горещо препоръчвам този метод на начинаещи в темата.

1) Нека изчислим вътрешния интеграл, като интегрирането се извършва върху променливата "y":

Неопределен интегралтук е най-простият, а след това се използва баналната формула на Нютон-Лайбниц, с единствената разлика, че границите на интегрирането не са числа, а функции. Първо заместихме горната граница в „y“ (антипроизводна функция), след това долната граница

2) Резултатът, получен в първия параграф, трябва да бъде заменен във външния интеграл:

По-компактно представяне на цялото решение изглежда така:

Получената формула е точно работната формула за изчисляване на площта на плоска фигура с помощта на „обикновената“ определен интеграл! Гледайте урока Изчисляване на площ с помощта на определен интеграл, има я на всяка крачка!

Това е, проблем за изчисляване на площ с помощта на двоен интеграл не много по-различноот задачата за намиране на площта с помощта на определен интеграл!Всъщност това е едно и също!

Съответно не трябва да възникват трудности! Няма да разглеждам много примери, тъй като всъщност многократно сте се сблъсквали с тази задача.

Пример 9

Решение:Нека изобразим областта на чертежа:

Нека изберем следния ред на обхождане на областта:

Тук и по-нататък няма да се спирам на това как да обходя района, тъй като в първия параграф бяха дадени много подробни обяснения.

По този начин:

Както вече отбелязах, по-добре е за начинаещите да изчисляват итерирани интеграли отделно и аз ще се придържам към същия метод:

1) Първо, използвайки формулата на Нютон-Лайбниц, се занимаваме с вътрешния интеграл:

2) Резултатът, получен в първата стъпка, се замества във външния интеграл:

Точка 2 всъщност е намиране на площта на плоска фигура с помощта на определен интеграл.

Отговор:

Това е толкова глупава и наивна задача.

Интересен пример за независимо решение:

Пример 10

Използвайки двоен интеграл, изчислете площта на равнинна фигура, ограничена от линиите , ,

Примерен пример за крайно решение в края на урока.

В примери 9-10 е много по-изгодно да се използва първият метод за преминаване на областта; любопитните читатели, между другото, могат да променят реда на преминаване и да изчислят площите, използвайки втория метод. Ако не направите грешка, тогава, естествено, ще получите същите стойности на площта.

Но в някои случаи вторият метод за преминаване на района е по-ефективен и в края на курса за млади маниаци нека да разгледаме още няколко примера по тази тема:

Пример 11

Използвайки двоен интеграл, изчислете площта на равнинна фигура, ограничена от линии,

Решение:Очакваме с нетърпение две параболи със странност, които лежат отстрани. Няма нужда да се усмихвате, подобни неща се случват доста често в множество интеграли.

Кой е най-лесният начин да направите рисунка?

Нека си представим парабола под формата на две функции:
– горния клон и – долния клон.

По същия начин си представете парабола под формата на горен и долен клон.

Изчисляваме площта на фигурата, използвайки двойния интеграл по формулата:

Какво се случва, ако изберем първия метод за прекосяване на района? Първо, тази област ще трябва да бъде разделена на две части. И второ, ще наблюдаваме тази тъжна картина: . Интегралите, разбира се, не са от свръхсложно ниво, но... има една стара математическа поговорка: който е близо до корените си, няма нужда от проверка.

Следователно, от недоразумението, дадено в условието, ние изразяваме обратните функции:

Обратните функции в този пример имат предимството, че определят цялата парабола наведнъж без никакви листа, жълъди, клони и корени.

Според втория метод обхождането на площта ще бъде както следва:

По този начин:

Както се казва, усетете разликата.

1) Имаме работа с вътрешния интеграл:

Заместваме резултата във външния интеграл:

Интегрирането върху променливата "y" не трябва да е объркващо; ако имаше буква "zy", би било чудесно да се интегрира върху нея. Въпреки че кой прочете втория параграф от урока Как да изчислим обема на въртеливото тяло, той вече не изпитва ни най-малко неудобство при интегрирането по метода „Y“.

Обърнете внимание и на първата стъпка: интегрантът е четен и интервалът на интегриране е симетричен около нулата. Следователно сегментът може да бъде намален наполовина и резултатът може да бъде удвоен. Тази техника е коментирана подробно в урока. Ефективни методиизчисляване на определен интеграл.

Какво да добавя.... Всичко!

Отговор:

За да тествате техниката си на интегриране, можете да опитате да изчислите . Отговорът трябва да е абсолютно същият.

Пример 12

Използвайки двоен интеграл, изчислете площта на равнинна фигура, ограничена от линии

Това е пример, който можете да решите сами. Интересно е да се отбележи, че ако се опитате да използвате първия метод за обхождане на района, фигурата вече няма да се разделя на две, а на три части! И съответно получаваме три двойки повтарящи се интеграли. Понякога се случва.

Майсторският клас приключи и е време да преминете към ниво гросмайстор - Как да изчислим двоен интеграл? Примери за решения. Ще се опитам да не бъда толкова маниакална във втората статия =)

Пожелавам ти успех!

Решения и отговори:

Пример 2:Решение: Нека изобразим района на чертежа:

Нека изберем следния ред на обхождане на областта:

По този начин:
Нека да преминем към обратните функции:


По този начин:
Отговор:

Пример 4:Решение: Нека да преминем към директните функции:


Да направим чертежа:

Нека променим реда на преминаване на района:

Отговор:

Редът за обикаляне на района:

По този начин:

1)
2)

Отговор:

Назад напред

внимание! Визуализациите на слайдове са само за информационни цели и може да не представят всички характеристики на презентацията. Ако си заинтересован тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Ключови думи:цялостен, криволинеен трапец, площ от фигури, ограничена от лилии

Оборудване: маркерна дъска, компютър, мултимедиен проектор

Тип урок: урок-лекция

Цели на урока:

• образователен:създаване на култура на умствен труд, създаване на ситуация на успех за всеки ученик и създаване на положителна мотивация за учене; развийте способността да говорите и да слушате другите.
• развитие:формиране на независимо мислене на ученика при прилагане на знания в различни ситуации, способност за анализ и изводи, развитие на логиката, развитие на способността за правилно поставяне на въпроси и намиране на отговори на тях. Подобряване на формирането на изчислителни умения, развиване на мисленето на учениците в хода на изпълнение на предложените задачи, развиване на алгоритмична култура.
• образователен: да се формират понятия за криволинеен трапец, за интеграл, да се овладеят умения за изчисляване на площите на равнинни фигури.

Метод на обучение:обяснителни и илюстративни.

По време на часовете

В предишните класове се научихме да изчисляваме площите на фигури, чиито граници са начупени линии. В математиката има методи, които ви позволяват да изчислявате площите на фигури, ограничени от криви. Такива фигури се наричат ​​криволинейни трапеци и тяхната площ се изчислява с помощта на антипроизводни.

Криволинеен трапец ( слайд 1)

Извит трапец е фигура, ограничена от графиката на функция, ( ш.м.), прав х = аИ x = bи оста x

Различни видове извити трапеци ( слайд 2)

Разглеждаме различни видове криволинейни трапеци и забелязваме: една от правите е изродена в точка, ролята на ограничаваща функция се играе от правата

Площ на извит трапец (слайд 3)

Фиксирайте левия край на интервала а,и дясната хще променим, т.е. преместваме дясната стена на криволинейния трапец и получаваме променяща се фигура. Площта на променлив криволинеен трапец, ограничен от графиката на функцията, е първоизводна Еза функция f

И на сегмента [ а; b] площ на криволинеен трапец, образуван от функцията е,е равно на нарастването на първоизводната на тази функция:

Упражнение 1:

Намерете площта на криволинейния трапец, ограничен от графиката на функцията: f(x) = x 2и прав y = 0, x = 1, x = 2.

Решение: ( според алгоритъма слайд 3)

Нека начертаем графика на функцията и линии

Нека намерим една от първоизводните на функцията f(x) = x 2 :

Самопроверка на слайд

Интеграл

Да разгледаме криволинейния трапец, определен от функцията fна сегмента [ а; b]. Нека разделим този сегмент на няколко части. Площта на целия трапец ще бъде разделена на сумата от площите на по-малките извити трапеци. ( слайд 5). Всеки такъв трапец може приблизително да се счита за правоъгълник. Сумата от площите на тези правоъгълници дава приблизителна представа за цялата площ на извития трапец. Колкото по-малко разделяме сегмента [ а; b], толкова по-точно изчисляваме площта.

Нека запишем тези аргументи под формата на формули.

Разделете сегмента [ а; b] на n части по точки x 0 =a, x1,...,xn = b.Дължина к- th означават с xk = xk – xk-1. Да направим сума

Геометрично тази сума представлява площта на фигурата, защрихована на фигурата ( ш.м.)

Сумите от формата се наричат ​​интегрални суми за функцията f. (ш.м.)

Интегралните суми дават приблизителна стойност на площта. Точната стойност се получава чрез преминаване към границата. Нека си представим, че прецизираме разделянето на сегмента [ а; b], така че дължините на всички малки сегменти да клонят към нула. Тогава площта на съставената фигура ще се доближи до площта на извития трапец. Можем да кажем, че площта на извит трапец е равна на границата на интегралните суми, наук. (ш.м.)или интегрална, т.е.

определение:

Интеграл на функция f(x)от апреди bнаречена граница на интегралните суми

= (ш.м.)

Формула на Нютон-Лайбниц.

Спомняме си, че границата на интегралните суми е равна на площта на криволинейния трапец, което означава, че можем да напишем:

наук. = (ш.м.)

От друга страна, площта на извит трапец се изчислява по формулата

С к.т. (ш.м.)

Сравнявайки тези формули, получаваме:

Това равенство се нарича формула на Нютон-Лайбниц.

За по-лесно изчисление формулата се записва така:

Задачи: (ш.м.)

1. Изчислете интеграла, като използвате формулата на Нютон-Лайбниц: ( проверете на слайд 5)

2. Съставете интеграли според чертежа ( проверете на слайд 6)

3. Намерете площта на фигурата, ограничена от линиите: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Слайд 7)

Намиране на площите на равнинни фигури ( слайд 8)

Как да намерите площта на фигури, които не са извити трапеци?

Нека са дадени две функции, чиито графики виждате на слайда . (ш.м.)Намерете площта на защрихованата фигура . (ш.м.). Въпросната фигура извит трапец ли е? Как можете да намерите неговата площ, като използвате свойството за адитивност на площта? Помислете за два извити трапеца и извадете площта на другия от площта на единия от тях ( ш.м.)

Нека създадем алгоритъм за намиране на областта с помощта на анимация на слайд:

1. Графични функции
2. Проектирайте пресечните точки на графиките върху оста x
3. Засенчете фигурата, получена при пресичането на графиките
4. Намерете криволинейни трапеци, чиято пресечна точка или обединение е дадената фигура.
5. Изчислете площта на всеки от тях
6. Намерете разликата или сбора на площите

Устна задача: Как да получите площта на защрихована фигура (кажете с помощта на анимация, слайд 8 и 9)

Домашна работа:Разработете бележките, № 353 (а), № 364 (а).

Библиография

1. Алгебра и началото на анализа: учебник за 9-11 клас на вечерно (сменно) училище / изд. Г.Д. Глейзър. - М: Просвещение, 1983.
2. Башмаков M.I. Алгебра и началото на анализа: учебник за 10-11 клас на средното училище / Башмаков M.I. - М: Просвещение, 1991.
3. Башмаков M.I. Математика: учебник за институции нач. и сряда проф. образование / M.I. Башмаков. - М: Академия, 2010.
4. Колмогоров A.N. Алгебра и начало на анализа: учебник за 10-11 клас. образователни институции / А. Н. Колмогоров. - М: Образование, 2010.
5. Островски С.Л. Как да направите презентация за урок?/ S.L. Островски. – М.: 1 септември 2010 г.