Нотация - това е начин за представяне на числа и съответните правила за работа с числа. Различните бройни системи, които са съществували в миналото и които се използват днес, могат да бъдат разделени на непозиционниИ позиционен. Знаци, използвани при писане на числа, са наречени в числа.

IN непозиционни бройни системи значението на една цифра не зависи от нейната позиция в числото.

Пример за непозиционна бройна система е римската система (римски цифри). В римската система латинските букви се използват като числа:

Пример 1.Числото CCXXXII е съставено от двеста, три десетици и две единици и е равно на двеста тридесет и две.

В римските цифри цифрите се изписват отляво надясно в низходящ ред. В този случай техните стойности се сумират. Ако отляво е написано по-малко число, а отдясно - по-голямо, тогава техните стойности се изваждат.

Пример 2.

VI = 5 + 1 = 6; IV = 5 – 1 = 4.

Пример 3.

MCMXCVIII = 1000 + (–100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

IN позиционни бройни системи стойността, означена с цифра в числова нотация, зависи от нейната позиция. Броят на използваните цифри се нарича основа на позиционната бройна система.

Бройната система, използвана в съвременната математика, е позиционна десетична система. Основата му е десет, защото Всякакви числа се записват с десет цифри:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Позиционният характер на тази система е лесен за разбиране на примера на всяко многоцифрено число. Например в числото 333 първата тройка означава три стотици, втората - три десетици, третата - три единици.

Записване на числата в позиционна система с основа нТрябва да има азбукаот нчисла Обикновено за това н < 10 используют нпървите арабски цифри и кога н> 10 букви се добавят към десет арабски цифри. Ето примери за азбуки на няколко системи:

Ако трябва да посочите базата на системата, към която принадлежи номер, тогава на този номер се присвоява долен индекс. Например:

101101 2, 3671 8, 3B8F 16.

В бройна система с основа р(р-ary бройна система) единиците на цифрите са последователни степени на число р.рединици от всяка категория образуват единица от следващата категория. За да напишете число в р-изисква се номерна система рразлични знаци (цифри), представляващи числата 0, 1, ..., р– 1. Писане на число р V р-арната бройна система има формата 10.

Разгъната форма за запис на число

Позволявам Aq- номер в основната система р, ай -цифри от дадена бройна система, присъстваща в числовия запис А, н+ 1 - броят на цифрите на цялата част от числото, м- брой цифри на дробната част на числото:

Разширена форма на числото Асе нарича запис във формата:

Например за десетично число:

Следните примери показват разширената форма на шестнадесетични и двоични числа:

Във всяка бройна система нейната основа се записва като 10.

Ако всички термини в разширената форма на недесетично число са представени в десетична системаи изчислете получения израз по правилата на десетичната аритметика, ще получите число в десетичната система, равно на даденото. Този принцип се използва за преобразуване от недесетична система към десетична система. Например преобразуването на записаните по-горе числа в десетичната система се извършва по следния начин:

Преобразуване на десетични числа в други бройни системи

Целочислено преобразуване

Цяло десетично число хтрябва да се преобразува в система с основа р:х= (ан а n-1 …а 1 а 0)q. Трябва да намерим значимите цифри на числото: . Нека представим числото в разширена форма и извършим идентичната трансформация:

От това става ясно, че а 0 има остатък при деление на число хна брой р. Изразът в скоби е цяло число на това деление. Нека го обозначим с х 1. Извършвайки подобни трансформации, получаваме:

следователно а 1 е остатъкът от делението х 1 на р. Продължавайки делението с остатъка, ще получим поредица от цифри на желаното число. Номер анв тази верига от деления ще бъде последният частен, по-малкият р.

Нека формулираме полученото правило: за това за да преобразувате цяло десетично число в бройна система с различна основа, трябва:

1) изразете основата на новата бройна система в десетичната бройна система и извършете всички последващи действия съгласно правилата на десетичната аритметика;

2) последователно разделяме даденото число и получените непълни частни на основата на новата бройна система, докато получим непълно частно, което е по-малко от делителя;

3) получените баланси, които са цифрите на числото в нова системачислата, приведете ги в съответствие с азбуката на новата бройна система;

4) съставете число в новата бройна система, като го запишете, като започнете от последното частно.

Пример 1.Преобразувайте числото 37 10 в двоично число.

За обозначаване на цифри в число използваме символика: а 5 а 4 а 3 а 2 а 1 а 0

От тук: 37 10 = l00l0l 2

Пример 2.Преобразувайте десетичното число 315 в осмична и шестнадесетична система:

Следва: 315 10 = 473 8 = 13B 16. Спомнете си, че 11 10 = B 16.

Десетична дроб х< 1 требуется перевести в систему с основаниемр:х= (0,а –1 а –2 …а–m+1 а–m)q. Трябва да намерим значимите цифри на числото: а –1 ,а –2 , …,а–м. Нека си представим числото в разширен вид и го умножим по р:

От това става ясно, че а–1 има цяла част от работата хна брой р. Нека означим с х 1 дробна част от продукта и я умножете по р:

следователно а –2 има цяла част от работата х 1 на брой р. Продължавайки умножението, ще получим поредица от числа. Сега нека формулираме правило: за да преобразувате десетична дроб в бройна система с различна основа, трябва:

1) последователно умножете даденото число и получените дробни части от продуктите по основата на новата бройна система, докато дробната част от продукта стане равна на нула или се постигне необходимата точност на представяне на числото в новата бройна система;

2) приведе получените цели числа от произведенията, които са цифри на числото в новата бройна система, в съответствие с азбуката на новата бройна система;

3) съставете дробната част на числото в новата бройна система, като започнете от цялата част на първото произведение.

Пример 3.Преобразувайте десетична дроб 0,1875 в двоична, осмична и шестнадесетична система.

Тук лявата колона съдържа цялата част от числата, а дясната колона съдържа дробната част.

Следователно: 0,1875 10 = 0,0011 2 = 0,14 8 = 0,3 16

Преобразуване на смесени числасъдържащи цели и дробни части се извършва на два етапа. Цялата и дробната част на оригиналното число се превеждат отделно с помощта на подходящи алгоритми. При окончателния запис на число в новата бройна система цялата част от дробната част се отделя със запетая (точка).

Двоични изчисления

Според принципа на Джон фон Нойман компютърът извършва изчисления в двоичната бройна система. В рамките на основния курс е достатъчно да се ограничим до разглеждане на изчисления с двоични числа. За да извършвате изчисления с многоцифрени числа, трябва да знаете правилата за събиране и правилата за умножение на едноцифрени числа. Това са правилата:

Принципът на превключваемост на събирането и умножението работи във всички бройни системи. Техниките за извършване на изчисления с многоцифрени числа в двоичната система са подобни на десетичната система. С други думи, процедурите на събиране, изваждане и умножение с „колона“ и деление с „ъгъл“ в двоичната система се извършват по същия начин, както в десетичната система.

Нека да разгледаме правилата за изваждане и деление на двоични числа. Операцията изваждане е обратна на събирането. От горната таблица за добавяне следват правилата за изваждане:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.

Ето пример за изваждане на многоцифрени числа:

Полученият резултат може да се провери чрез събиране на разликата с изваждаемото. Резултатът трябва да е намаляващо число.

Делението е обратна операция на умножението. Във всяка бройна система не можете да делите на 0. Резултатът от деленето на 1 е равен на дивидента. Разделянето на двоично число на 10 2 премества десетичния знак с едно място наляво, подобно на разделянето на десетичен знак на десет. Например:

Делението на 100 премества десетичната запетая с 2 позиции наляво и т.н. IN основен курсНе е нужно да разглеждате сложни примери за деление на многоцифрени двоични числа. Въпреки че способните ученици могат да се справят с тях, разбирайки общите принципи.

Представянето на информация, съхранена в паметта на компютъра, в истинската й двоична форма е доста тромаво поради големия брой цифри. Това се отнася до записването на такава информация на хартия или показването й на екрана. За тези цели е обичайно да се използват смесени двоично-осмични или двоично-шестнадесетични системи.

Съществува проста връзка между двоично и шестнадесетично представяне на число. При преобразуване на число от една система в друга една шестнадесетична цифра съответства на четирицифрен двоичен код. Това съответствие е отразено в двоично-шестнадесетичната таблица:

Двоична шестнадесетична таблица

Тази връзка се основава на факта, че 16 = 2 4 и броят на различните четирицифрени комбинации от числата 0 и 1 е 16: от 0000 до 1111. Следователно преобразуването на числата от шестнадесетични в двоични и обратно се извършва чрез формално преобразуванеспоред двоичната шестнадесетична таблица.

Ето пример за конвертиране на 32-битова двоична в шестнадесетична:

1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A

Ако е дадено шестнадесетично представяне на вътрешна информация, тогава е лесно да се преобразува в двоичен код. Предимството на шестнадесетичното представяне е, че е 4 пъти по-кратко от двоичното. Препоръчително е учениците да запомнят двоично-шестнадесетичната таблица. Тогава наистина за тях шестнадесетичното представяне ще стане еквивалентно на двоичното.

В двоичната осмична система всяка осмична цифра съответства на триада от двоични цифри. Тази система ви позволява да намалите двоичния код 3 пъти.

волове (категории). Този подход се използва при предаване, съхранение и обработка на информация и обикновено не се свързва с семантично съдържаниеинформация.

1.5.2. Вероятностен подход

IN теория на информацията, информацията се определя като премахната несигурност. Това отчита стойността на информацията за получателя. Количеството информация се определя от това колко намалява мярката за несигурност (ентропия) след получаване на съобщение или настъпване на събитие.

За единица количество информация (бит) се приема количеството информация, което съдържа съобщение, което намалява несигурността на информацията 2 пъти. Като цяло, количеството информация (H), съдържащо се в съобщение, че едно от N еднакво вероятни събития е настъпило, се определя, както следва:

Група от 8 бита се нарича байт. Ако битът е минималната единица информация, тогава байтът е основната. Има производни единици информация:

1 байт = 8 бита;

1 килобайт = 210 байта = 1024 байта;

1 мегабайт = 220 байта = 1024 килобайта;

1 гигабайт = 230 байта = 1024 мегабайта;

1 терабайт = 240 байта = 1024 гигабайта.

1.6. Бройни системи, използвани в компютърните науки

Бройната система е набор от техники и правила за записване на числа с помощта на цифри. Има непозиционни и позиционни бройни системи.

IN В непозиционна бройна система всеки символ има свое специфично значение, което не зависи от позицията на символа в числовия запис. Например в римската бройна система

I - 1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M - 1000. Числото 77 е написано LXXVII.

IN В позиционната бройна система стойността на всяка цифра в изображението на число зависи от нейната позиция (позиция) в поредицата от цифри, представляващи даденото число. Например: 77 - 7 единици и 7 десетици.

Всяка позиционна бройна система има строго определен брой символи (цифри) за представяне на всяко число:

– двоичен - 2: 0 и 1;

– десетичен - 10: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Броят на цифрите, използвани в позиционната бройна система за записване на числа, се нарича основа на бройната система. Основата на бройната система може да бъде всяко естествено число.

Нека q е основата на системата, тогава всяко число в бройната система с основа q може да бъде представено като:

A q = a n q n + a n –1 q n –1 + ... + a 1 q 1 + a 0 q 0 + a –1 q –1 + a –2 q –2 + ... + a –k q–k, (3) където A q е число, записано в бройна система с основа q,

n + 1 - броят на цифрите на цялата част от числото,

и i са цифрите на числото, като 0 ≤ a i< q ,

k - броят на цифрите в дробната част на числото.

В компютърните науки се използват само позиционни бройни системи: десетична, двоична, осмична, шестнадесетична.

1.6.1. Правила за преобразуване на числата от една бройна система в друга

Правило 1. За да преобразувате цяло десетично число A в бройна система с основа q, е необходимо числото A да се раздели на основа q, докато се получи цял остатък, който е по-малък от q. Полученото частно трябва да се раздели отново на q, докато се получи цял остатък, по-малък от q и т.н. докато последното частно стане по-малко от q. Тогава десетичното число A в бройната система с основа q трябва да се запише като последователност от остатъци от деление в обратен ред на тяхното получаване, като най-голямата цифра дава последното частно.

Правило 2. За превод десетичен знакв бройна система с основа q, умножете това число по основа q. Цялата част от произведението ще бъде първата цифра на число в бройната система с основа q. След това, като изхвърлите цялата част, умножете отново по основата q и т.н. до получаване на необходимия брой цифри в новата бройна система или до завършване на превода.

Правило 3. Смесените числа от десетичната бройна система се превеждат на две стъпки: отделно цялата част според собственото си правило и отделно дробната част според собственото правило. След това се записва общият резултат, чиято дробна част се отделя със запетая.

Правило 4. За да преобразувате число от бройна система с основа q в десетична бройна система, трябва да използвате формата за запис на числото във формата (3).

Правило 5. За да преобразувате цяло число от двоичната бройна система в осмичната система, имате нужда от поредица от двоични цифри с различни размери.

Има много начини за представяне на числа. Във всеки случай едно число се представя със символ или група от символи (дума) от някаква азбука. Такива символи се наричат ​​числа.

Бройни системи

За представяне на числа се използват непозиционни и позиционни бройни системи.

Непозиционни бройни системи

Веднага след като хората започнаха да броят, те започнаха да имат нужда да записват числа. Археологически находки на обекти първобитни хорапоказват, че първоначално броят на обектите е бил показван от равен брой някакви икони (тагове): резки, тирета, точки. По-късно, за да се улесни броенето, тези икони започнаха да се групират в групи от по три или пет. Тази система за записване на числата се нарича единица (унарна), тъй като всяко число в него се образува от повтаряне на един знак, символизиращ едно. Ехото на системата за брой единици се срещат и днес. Така че, за да разберете в какъв курс учи кадет от военно училище, трябва да преброите колко ивици са пришити на ръкава му. Без да го осъзнават, децата използват системата за брой единици, показвайки възрастта си на пръстите си, а пръчките за броене се използват, за да учат учениците от 1-ви клас как да броят. Нека разгледаме различните бройни системи.

Единичната система не е най-удобният начин за писане на числа. Напишете го по този начин големи количестваДосадно е, а самите бележки се оказват много дълги. С течение на времето се появиха други, по-удобни бройни системи.

Древноегипетска десетична непозиционна бройна система. Около третото хилядолетие пр. н. е. древните египтяни измислили своя собствена бройна система, в която ключовите числа били 1, 10, 100 и т.н. използвани са специални икони - йероглифи. Всички други числа са съставени от тези ключови числа с помощта на операцията събиране. Бройната система на Древен Египет е десетична, но непозиционна. В непозиционните бройни системи количественият еквивалент на всяка цифра не зависи от нейната позиция (място, позиция) в числовия запис. Например, за да се изобрази 3252, бяха нарисувани три лотосови цветя (три хиляди), две навити палмови листа (две стотици), пет дъги (пет десетки) и два стълба (две единици). Размерът на числото не зависи от реда, в който са разположени съставните му знаци: те могат да бъдат написани отгоре надолу, отдясно наляво или разпръснати.

Римска бройна система. Пример за непозиционна система, оцеляла до днес, е числовата система, използвана преди повече от две хиляди години и половина в Древен Рим. Римската бройна система се основава на знаците I (един пръст) за числото 1, V (отворена длан) за числото 5, X (две сгънати длани) за 10, а първите букви на съответните числа са използвани за обозначаване числата 100, 500 и 1000 латински думи(Centum – сто, Demimille – половин хиляда, Mille – хиляда). За да запишат число, римляните го разлагали на сбор от хиляди, половин хиляди, стотици, петдесет, десетици, пети, единици. Например десетичното число 28 се представя по следния начин:

XXVIII=10+10+5+1+1+1 (две десетки, пети, три единици).

За да записват междинни числа, римляните са използвали не само добавяне, но и изваждане. В този случай е приложено следното правило: всеки по-малък знак, поставен вдясно от по-големия, се добавя към неговата стойност, а всеки по-малък знак, поставен вляво от по-големия, се изважда от него. Например IX означава 9, XI означава 11.

Десетичното число 99 има следното представяне:

XCIХ = –10+100–1+10.

Римските цифри се използват от много дълго време. Още преди 200 години в бизнес документите числата трябваше да се обозначават с римски цифри (смяташе се, че обикновените арабски цифри лесно се фалшифицират). Римската бройна система днес се използва главно за именуване значими дати, томове, раздели и глави в книги.

Азбучни бройни системи. Азбучните системи са били по-напреднали непозиционни бройни системи. Такива бройни системи включват гръцки, славянски, финикийски и други. В тях числата от 1 до 9, цели числа от десетки (от 10 до 90) и цели числа от стотици (от 100 до 900) бяха обозначени с букви от азбуката. В азбучната бройна система Древна Гърциячислата 1, 2, ..., 9 са били обозначени с първите девет букви от гръцката азбука и т.н. Следващите 9 букви са използвани за означаване на числата 10, 20, ..., 90, а последните 9 букви са използвани за означаване на числата 100, 200, ..., 900.

U славянски народичисловите стойности на буквите са зададени по ред славянска азбука, който използва първо глаголицата, а след това кирилицата.

В Русия славянската номерация се запазва до края на 17 век. При Петър I преобладава така наречената арабска номерация, която използваме и до днес. Славянската номерация е запазена само в богослужебните книги.

Непозиционните бройни системи имат редица съществени недостатъци:

• Има постоянна нужда от въвеждане на нови знаци за запис големи числа.

• Невъзможно е да се представят дробни и отрицателни числа.

• Трудно е да се извършват аритметични операции, защото липсват алгоритми за извършването им.

Позиционни бройни системи

В позиционните бройни системи количественият еквивалент на всяка цифра зависи от нейната позиция (позиция) в кода (записа) на числото. В наши дни сме свикнали да използваме десетичната позиционна система - числата се записват с 10 цифри. Най-дясната цифра означава единици, тази вляво - десетици, още по-вляво - стотици и т.н.

Например: 1) шестдесетична (Древен Вавилон) – първата позиционна бройна система. Досега при измерване на времето се използва база от 60 (1min = 60s, 1h = 60min); 2) дванадесетична бройна система (числото 12 - "дузина" - е широко използвано през 19 век: в деня има две дузини часа). Броене не на пръсти, а на кокалчета. Всеки пръст, с изключение на палеца, има 3 стави - общо 12; 3) в момента най-разпространените позиционни числови системи са десетична, двоична, осмична и шестнадесетична (широко използвани в програмирането на ниско ниво и като цяло в компютърната документация, тъй като в съвременните компютри минималната единица памет е 8-битов байт, стойностите ​​от които са удобно написани с две шестнадесетични цифри).

Във всяка позиционна система едно число може да бъде представено като полином.

Нека покажем как да представим десетично число като полином:

Видове бройни системи

Най-важното нещо, което трябва да знаете за бройната система, е нейният тип: адитивно или мултипликативно. В първия тип всяка цифра има свое собствено значение и за да прочетете числото, трябва да съберете всички стойности на използваните цифри:

XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10–1+10 = 219;

Във втория тип всяка цифра може да има различни значенияв зависимост от местоположението му в числото:

(йероглифи в ред: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)

Тук йероглифът „2“ се използва два пъти и във всеки случай той приема различни значения „2000“ и „20“.

2´ 1000 + 4´ 100+2´ 10+5 = 2425

За адитивна („допълнителна“) система трябва да знаете всички числа и символи с техните значения (има до 4-5 дузини от тях) и реда на записване. Например, в латинската нотация, ако по-малка цифра е написана преди по-голяма, тогава се извършва изваждане, а ако след това, тогава добавяне (IV = (5–1) = 4; VI = (5+1) = 6) .

За умножителна система трябва да знаете образа на числата и тяхното значение, както и основата на бройната система. Определянето на основата е много лесно, просто трябва да преизчислите броя на значимите цифри в системата. Казано по-просто, това е числото, от което започва втората цифра на числото. Например използваме числата 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Те са точно 10, така че основата на нашата бройна система също е 10, а бройната система е наречен „десетичен“. В горния пример са използвани числата 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (спомагателните 10, 100, 1000, 10000 и т.н. не се броят). Тук също има 10 основни числа, а бройната система е десетична.

Както можете да се досетите, колкото числа има, толкова може да има и основи на бройната система. Но се използват само най-удобните бази на числови системи. Защо мислите, че основата на най-често използваната човешка бройна система е 10? Да, точно защото имаме 10 пръста на ръцете си. „Но на едната ръка има само пет пръста“, ще кажат някои и ще бъдат прави. Историята на човечеството познава примери за петкратни бройни системи. „А с краката има двадесет пръста“, ще кажат други и също ще бъдат напълно прави. Точно в това са вярвали маите. Това дори се вижда от броя им.

Концепцията за „дузина“ е много интересна. Всеки знае, че това е 12, но малко хора знаят откъде идва това число. Погледнете ръцете си или по-скоро едната си ръка. Колко фаланги има на всичките пръсти на едната ръка, без да броим палеца? Точно така, дванадесет. А палецът е предназначен да маркира преброените фаланги.

И ако от друга страна отбележим броя на пълните дузини с пръстите си, ще получим добре познатата шестдесетична вавилонска система.

Различните цивилизации са броили по различен начин, но дори и сега можете дори да намерите в езика, в имената и изображенията на числата, останките от напълно различни бройни системи, които някога са били използвани от тези хора.

И така, французите някога са имали бройна система с основа 20, тъй като 80 на френски звучи като „четири по двадесет“.

Римляните или техните предшественици някога са използвали петкратната система, тъй като V не е нищо повече от изображение на длан с протегнат палец, а X е две от еднакви ръце.

ФЕДЕРАЛНА АГЕНЦИЯ ЗА ОБРАЗОВАНИЕ

НОВОСИБИРСК ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ

ИКОНОМИКА И УПРАВЛЕНИЕ

Катедра Икономическа информатика

Бройни системи

Лабораторен семинар

За редовни студенти от всички специалности

Новосибирск 2007 г

Въведение

Лабораторното упражнение по темата „Бройни системи” е предназначено за практическо обучение с цел получаване на основни понятия за това как се извършват изчислителните операции в компютъра.

Лабораторното упражнение съдържа основни определения за бройните системи, техните видове и предназначение. Разбира как се образуват цели числа в позиционни бройни системи. Предоставени са таблици за съответствие между числата в различни позиционни бройни системи. Дадени са правилата за превод между бройни системи. Показано е как протичат операциите събиране, изваждане, умножение и деление в позиционни бройни системи.

След като анализират всяка тема, учениците трябва да попълнят самостоятелна работапо опция (опцията отговаря на номера на компютъра).

Защитата на лабораторната работа се извършва под формата на индивидуална работа и отговори на контролни въпроси.

За да отговорите на въпросите от теста, трябва да прочетете съответната литература.

Независими и индивидуална работасе изпълняват подобно на разгледаните примери, т.е. съдържат схеми за превод, изчисление и проверка 1.

Индивидуалните задания се форматират с помощта на текстообработваща програма Word и съдържат заглавна страница, текст на задачата и решение.

Нотацияе знакова система, в която числата се записват по определени правила, като се използват символи на определена азбука.

Знаците от азбуката, която се използва за писане на числа, се наричат в числа.

Бройните системи са разделени на две големи групи:

позиционен

непозиционни

1. Непозиционни бройни системи

Най-разпространената от непозиционните бройни системи е римски. Използваме го за отбелязване на годишнини, за номериране на страници от книга (например страници от предговора), глави в книги, строфи в стихотворения и др.

Тази система използва някои букви като числа. В момента римските цифри изглеждат така:

I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000

Значението на цифрата не зависи от нейната позиция в числото. Например в числото XXX числото X се появява три пъти и във всеки случай означава 10. Самото число XXX означава 30.

Големината на числото в римската бройна система се определя като сбор или разлика от числа.

Ако по-малкото число е отляво на по-голямото, то се изважда, ако отдясно, се добавя.

Например 1998 = 1000 + (1000 – 100) + (100 – 10) + 5 + 1 + 1 + 1 = M CM XC V I I I

Едно и също число се поставя не повече от 3 пъти подред. Например, ако числото 80 = LXXX, тогава 90 се записва като XC, а не като LXXXX.

1. Позиционни бройни системи

За броене се използват позиционни бройни системи.

В позиционните бройни системи размерът на числото зависи от позицията на цифрата в числото. Например в десетичната бройна система числата 58 и 85 не са равни, въпреки че съдържат еднакви цифри.

Всяка позиционна бройна система се характеризира със своята база.

Основата на позиционната бройна система е броят на различните знаци или символи, които се използват за представяне на числа в дадена бройна система.

По принцип основата на бройната система може да бъде всяко естествено число - две, три, четири. Следователно са възможни безкраен брой позиционни бройни системи: двоични, троични, кватернерни и т.н.

Моделът за конструиране на позиционни числа има математическо представяне.

Нека въведем следната нотация:

q – основа на бройната система;

a i – всяка цифра от набора от цифри, приети в дадена бройна система;

i – индекс, който показва номера на цифрата, заета от цифра в числото,

където a i удовлетворява неравенството

и приема само цели числа в този диапазон.

Позицията за цели числа означаваме с числата 1,2,..., n, а позициите в правилните дроби с числата -1, -2,..., -m.

Тогава всяко число A в произволна позиционна бройна система с основа q може да се запише по следния начин:

A n = a n-1 q n-1 + a n-2 q n-2 + … + a 1 q 1 + a 0 q 0 + a -1 q -1 + … + a – m q -m , (1 )

Където р аз наречена позиционна стойност или тегло аз– 1-ва категория.

За десетичната бройна система понятието тегло на цифрата съответства на имената на позициите - единици, десетки, стотици, десети, стотни и др.

За десетичната бройна система

Цифри 3 2 1 0

Число 2 1 2 4 10 = 2 x 10 3 + 1 x 10 2 + 2 x 10 1 + 4 x 10 0

За двоична бройна система

Цифри 3 2 1 0 -1

Число 1 0 0 1, 1 2 = 1 x 2 3 + 0 x 2 2 + 0 x 2 1 + 1 x 2 0 + 1 x 2 -1

За осмична бройна система

Цифри 3 2 1 0 -1 -2

Число 3 0 5 2, 4 1 8 = 3 x 8 3 + 0 x 8 2 + 5 x 8 1 + 2 x 8 0 + 4 x 8 -1 +1 x 8 -2

3.1. Основни понятия за бройни системи

3.2. Видове бройни системи

3.3. Правила за преобразуване на числата от една бройна система в друга

3.4. Илюстриран помощен материал

3.5. Тестване

3.6. Контролни въпроси

Различните народи по различно време са използвали различни бройни системи. Следи от древни системи за броене се срещат и днес в културата на много народи. Разделянето на час на 60 минути и ъгъл на 360 градуса датира от древен Вавилон. ДА СЕ Древен Рим- традицията да се записват с римска нотация числата I, II, III и т.н. При англосаксонците - броене с десетки: има 12 месеца в годината, 12 инча във фут, денят е разделен на 2 периода от 12 часа.

Според съвременните данни разработените системи за номериране се появяват за първи път през древен Египет. За да напишат числа, египтяните са използвали йероглифи едно, десет, сто, хиляда и т.н. Всички останали числа са написани с помощта на тези йероглифи и операцията на събиране. Недостатъците на тази система са невъзможността да се записват големи числа и нейната тромава природа.

В крайна сметка най-популярната бройна система се оказва десетичната. Десетичната бройна система идва от Индия, където се появява не по-късно от 6 век. н. д. В него има само 10 числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но не само числото носи информация, но и позицията, на която се намира. В числото 444 три еднакви цифри показват броя на единиците, десетиците и стотиците. Но в числото 400 първата цифра показва броя на стотиците; две нули сами по себе си не допринасят за числото, а са необходими само за посочване на позицията на числото 4.

3.1. Основни понятия за бройни системи

Нотацияе набор от правила и техники за писане на числа с помощта на набор от цифрови знаци. Броят на цифрите, необходими за запис на число в системата, се нарича база на бройната система. Основата на системата се изписва от дясната страна на числото в индекса: ;;и др.

Има два вида бройни системи:

позиционен, когато стойността на всяка цифра от числото се определя от нейната позиция в числовия запис;

непозиционни, когато стойността на цифра в число не зависи от нейното място в записа на числото.

Пример за непозиционна бройна система е римската: числата IX, IV, XV и т.н.

Пример за позиционна бройна система е десетичната система, използвана всеки ден.

Всяко цяло число в позиционната система може да бъде записано в полиномиална форма:

където S е основата на бройната система;

Цифри на число, записано в дадена бройна система;

n е броят на цифрите на числото.

Пример.Номер ще бъдат записани в полиномиална форма, както следва :

3.2. Видове бройни системи

Римска бройна системае непозиционна система. Той използва букви от латинската азбука за писане на числа. В този случай буквата I винаги означава едно, буквата V означава пет, X означава десет, L означава петдесет, C означава сто, D означава петстотин, M означава хиляда и т.н. Например числото 264 се записва като CCLXIV. При записване на числа в римската бройна система стойността на числото е алгебричната сума на цифрите, включени в него. В този случай цифрите в записа на номера по правило са в низходящ ред на техните стойности и не се допуска записването на повече от три еднакви цифри една до друга. Когато цифра с по-голяма стойност е последвана от цифра с по-малка стойност, нейният принос към стойността на числото като цяло е отрицателен. Типични примери, илюстриращи общите правила за записване на числа в римската цифрова система, са дадени в таблицата.

Таблица 2. Записване на числа в римската цифрова система

Недостатъкът на римската система е липсата на формални правила за записване на числата и съответно на аритметични действия с многоцифрени числа. Поради своето неудобство и голяма сложност, римската система от числа в момента се използва там, където е наистина удобно: в литературата (номериране на глави), в дизайна на документи (серии на паспорти, ценни книжа и др.), За декоративни цели на циферблат на часовник и в редица други случаи.

Десетична бройна система- в момента най-известният и използван. Изобретяването на десетичната бройна система е едно от основните постижения на човешката мисъл. Без него съвременната технология трудно би могла да съществува, още по-малко да възникне. Причината, поради която десетичната бройна система стана общоприета, изобщо не е математическа. Хората са свикнали да смятат в десетичната бройна система, защото имат 10 пръста на ръцете си.

Древното изображение на десетичните цифри (фиг. 1) не е случайно: всяка цифра представлява число по броя на ъглите в нея. Например 0 - без ъгли, 1 - един ъгъл, 2 - два ъгъла и т.н. Писането на десетични числа претърпя значителни промени. Формата, която използваме, е установена през 16 век.

Десетичната система се появява за първи път в Индия около 6 век сл. н. е. Индийското номериране използва девет цифрови знака и нула за обозначаване на празна позиция. В ранните индийски ръкописи, достигнали до нас, числата са написани в обратен ред - най-значимото число е поставено отдясно. Но скоро стана правило такова число да се поставя от лявата страна. Особено значение беше придадено на символа нула, който беше въведен за системата за позиционно означение. Индийското номериране, включително нула, е оцеляло и до днес. В Европа индуистките методи за десетична аритметика стават широко разпространени в началото на 13 век. благодарение на работата на италианския математик Леонардо от Пиза (Фибоначи). Европейците взеха назаем индийска системанотация сред арабите, наричайки го арабски. Това историческо погрешно наименование продължава и до днес.

Десетичната система използва десет цифри — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 — както и символите „+“ и „–“, за да обозначат знака на числото и запетая или точка за разделяне на целите числа и десетичната част.

Използва се в компютри двоична бройна система, основата му е числото 2. За записване на числата в тази система се използват само две цифри - 0 и 1. Противно на общоприетото погрешно схващане, двоичната бройна система е изобретена не от инженери по компютърен дизайн, а от математици и философи много преди появата на компютрите през 17 век XIX век. Първото публикувано обсъждане на двоичната бройна система е от испанския свещеник Хуан Карамуел Лобковиц (1670 г.). Общото внимание към тази система беше привлечено от статия на немския математик Готфрид Вилхелм Лайбниц, публикувана през 1703 г. В нея се обясняваха двоичните операции събиране, изваждане, умножение и деление. Лайбниц не препоръчва използването на тази система за практически изчисления, но подчертава нейното значение за теоретичните изследвания. С течение на времето двоичната бройна система става добре известна и се развива.

Избор на двоична система за използване в компютърна технологиясе обяснява с факта, че електронни елементи- тригерите, които съставят компютърните чипове, могат да бъдат само в две работни състояния.

Използвайки системата за двоично кодиране, можете да уловите всякакви данни и знания. Това е лесно за разбиране, ако си припомним принципа на кодиране и предаване на информация с помощта на Морзов код. Телеграфният оператор, използвайки само два символа от тази азбука - точки и тирета, може да предаде почти всеки текст.

Двоичната система е удобна за компютър, но неудобна за човек: числата са дълги и трудни за писане и запомняне. Разбира се, можете да преобразувате числото в десетичната система и да го запишете в тази форма, а след това, когато трябва да го преобразувате обратно, но всички тези преводи са трудоемки. Следователно се използват бройни системи, свързани с двоичните - осмичен и шестнадесетичен. За записване на числа в тези системи са необходими съответно 8 и 16 цифри. В шестнадесетичната система първите 10 цифри са общи, а след това се използват главни латински букви. Шестнадесетичната цифра A съответства на десетичното число 10, шестнадесетичната B - на десетичното число 11 и т.н. Използването на тези системи се обяснява с факта, че преходът към записване на число в която и да е от тези системи от неговата двоична нотация е много прост. По-долу е дадена таблица на съответствието между числата, написани в различни системи.

Таблица 3. Съответствие на числа, записани в различни бройни системи