Умножение на числа какво. Умножение

При умножаване и деление на цели числа се прилагат няколко правила. В този урок ще разгледаме всеки от тях.

Когато умножавате и делите цели числа, обърнете внимание на знаците на числата. От тях ще зависи кое правило да приложат. Също така е необходимо да се изучават няколко закона за умножение и деление. Изучаването на тези правила ви позволява да избегнете някои досадни грешки в бъдеще.

Закони за умножение

Разгледахме някои от законите на математиката в урока. Но не сме разгледали всички закони. Има много закони в математиката и би било по-разумно да ги изучаваме последователно според нуждите.

Първо, нека си спомним от какво се състои умножението. Умножението се състои от три параметъра: умножено, множителИ върши работа. Например в израза 3 × 2 = 6 числото 3 е умноженото, числото 2 е умножителят, а числото 6 е произведението.

Умноженопоказва какво точно увеличаваме. В нашия пример увеличаваме числото 3.

Факторпоказва колко пъти трябва да увеличите множителя. В нашия пример множителят е числото 2. Този множител показва колко пъти трябва да се увеличи множителят 3. Тоест по време на операцията за умножение числото 3 ще бъде удвоено.

работаТова е действителният резултат от операцията умножение. В нашия пример произведението е числото 6. Това произведение е резултат от умножаването на 3 по 2.

Изразът 3 × 2 може да се разбира и като сбор от две тройки. Множител 2 в този случай ще покаже колко пъти трябва да повторите числото 3:

Така, ако числото 3 се повтори два пъти подред, ще се получи числото 6.

Комутативен закон за умножение

Множителят и множителят се наричат ​​с една обща дума - фактори. Комутативният закон за умножение е следният:

Пренареждането на местата на факторите не променя продукта.

Нека проверим дали това е вярно. Например, нека умножим 3 по 5. Тук 3 и 5 са ​​множители.

3 × 5 = 15

Сега нека разменим факторите:

5 × 3 = 15

И в двата случая получаваме отговор 15, което означава, че можем да поставим знак за равенство между изразите 3 × 5 и 5 × 3, тъй като те са равни на една и съща стойност:

3 × 5 = 5 × 3

15 = 15

И с помощта на променливи, комутативният закон за умножение може да бъде написан по следния начин:

a × b = b × a

Където аИ b- фактори

Комбинативен закон за умножение

Този закон казва, че ако един израз се състои от няколко фактора, тогава продуктът няма да зависи от реда на действията.

Например изразът 3 × 2 × 4 се състои от няколко фактора. За да го изчислите, можете да умножите 3 и 2, след което да умножите получения продукт по оставащото число 4. Ще изглежда така:

3 × 2 × 4 = (3 × 2) × 4 = 6 × 4 = 24

Това беше първото решение. Вторият вариант е да умножите 2 и 4, след което да умножите получения продукт по оставащото число 3. Ще изглежда така:

3 × 2 × 4 = 3 × (2 × 4) = 3 × 8 = 24

И в двата случая получаваме отговор 24. Следователно можем да поставим знак за равенство между изразите (3 × 2) × 4 и 3 × (2 × 4), тъй като те са равни на една и съща стойност:

(3 × 2) × 4 = 3 × (2 × 4)

и с помощта на променливи асоциативният закон на умножението може да бъде написан по следния начин:

a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)

където вместо а, б,° СВсякакви числа могат да бъдат.

Разпределителен закон на умножението

Законът за разпределение на умножението ви позволява да умножите сума по число. За да направите това, всеки член на тази сума се умножава по това число, след което получените резултати се добавят.

Например, нека намерим стойността на израза (2 + 3) × 5

Изразът в скоби е сумата. Тази сума трябва да се умножи по числото 5. За да направите това, всеки член на тази сума, т.е. числата 2 и 3, трябва да се умножи по числото 5, след което получените резултати трябва да се добавят:

(2 + 3) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25

Това означава, че стойността на израза (2 + 3) × 5 е 25.

Използвайки променливи, законът за разпределение на умножението се записва, както следва:

(a + b) × c = a × c + b × c

където вместо a, b, cВсякакви числа могат да бъдат.

Закон за умножение с нула

Този закон казва, че ако има поне една нула във всяко умножение, тогава отговорът ще бъде нула.

Произведението е равно на нула, ако поне един от множителите е равен на нула.

Например изразът 0 × 2 е равен на нула

В този случай числото 2 е множител и показва колко пъти трябва да се увеличи множителят. Тоест колко пъти да се увеличи нулата. Буквално този израз се чете така: "двойна нула" . Но как можете да удвоите нула, ако тя е нула? Отговорът е не.

С други думи, ако „нищо“ се удвои или дори милион пъти, пак ще се окаже „нищо“.

И ако размените факторите в израза 0 × 2, отново ще получите нула. Знаем това от предишния закон за изместване:

Примери за прилагане на закона за умножение с нула:

5 × 5 × 5 × 0 = 0

2 × 5 × 0 × 9 × 1 = 0

В последните два примера има няколко фактора. След като видяхме нула в тях, ние веднага поставихме нула в отговора, прилагайки закона за умножение по нула.

Разгледахме основните закони на умножението. След това ще разгледаме умножението на цели числа.

Умножение на цели числа

Пример 1.Намерете стойността на израза −5 × 2

Това е умножението на числата с различни знаци. −5 е отрицателно число, а 2 е положително число. За такива случаи трябва да се прилага следното правило:

За да умножите числа с различни знаци, трябва да умножите техните модули и да поставите минус пред получения отговор.

−5 × 2 = − (|−5| × |2|) = − (5 × 2) = − (10) = −10

Обикновено се записва по-кратко: −5 × 2 = −10

Всяко умножение може да бъде представено като сбор от числа. Например, разгледайте израза 2 × 3. Той е равен на 6.

Множителят в този израз е числото 3. Този множител показва колко пъти трябва да увеличите двете. Но изразът 2 × 3 може да се разбира и като сбор от три двойки:

Същото се случва с израза −5 × 2. Този израз може да бъде представен като сбор

И изразът (−5) + (−5) е равен на −10. Знаем това от. Това е събирането на отрицателни числа. Спомнете си, че резултатът от събирането на отрицателни числа е отрицателно число.

Пример 2.Намерете стойността на израза 12 × (−5)

Това е умножението на числа с различни знаци. 12 е положително число, (−5) е отрицателно. Отново прилагаме предишното правило. Умножаваме модулите на числата и поставяме минус пред получения отговор:

12 × (−5) = − (|12| × |−5|) = − (12 × 5) = − (60) = −60

Обикновено решението се записва по-кратко:

12 × (−5) = −60

Пример 3.Намерете стойността на израза 10 × (−4) × 2

Този израз се състои от няколко фактора. Първо умножете 10 и (−4), след това умножете полученото число по 2. По пътя приложете научените преди това правила:

Първо действие:

10 × (−4) = −(|10| × |−4|) = −(10 × 4) = (−40) = −40

Второ действие:

−40 × 2 = −(|−40 | × | 2|) = −(40 × 2) = −(80) = −80

Значи стойността на израза 10 × (−4) × 2 е −80

Нека запишем накратко решението:

10 × (−4) × 2 = −40 × 2 = −80

Пример 4.Намерете стойността на израза (−4) × (−2)

Това е умножението на отрицателни числа. В такива случаи трябва да се прилага следното правило:

За да умножите отрицателни числа, трябва да умножите техните модули и да поставите плюс пред получения отговор.

(−4) × (−2) = |−4| × |−2| = 4 × 2 = 8

Традиционно не записваме плюса, така че просто записваме отговора 8.

Нека напишем решението по-кратко (−4) × (−2) = 8

Възниква въпросът: защо умножаването на отрицателни числа внезапно дава положително число? Нека се опитаме да докажем, че (−4) × (−2) е равно на 8 и нищо друго.

Първо записваме следния израз:

Нека го поставим в скоби:

(4 × (−2))

Нека добавим към този израз нашия израз (−4) × (−2). Нека и него поставим в скоби:

(4 × (−2) ) + ((−4) × (−2) )

Нека приравним всичко това към нула:

(4 × (−2)) + ((−4) × (−2)) = 0

Сега започва забавлението. Въпросът е, че трябва да оценим лявата страна на този израз и да получим 0 като резултат.

Така че първото произведение (4 × (−2)) е −8. Нека запишем числото −8 в нашия израз вместо произведението (4 × (−2))

−8 + ((−4) × (−2)) = 0

Сега вместо втората работа временно ще поставим многоточие

Сега нека разгледаме внимателно израза −8 + ... = 0. Какво число трябва да стои на мястото на многоточието, за да се запази равенството? Отговорът се подсказва сам. Вместо многоточие трябва да има положително число 8 и нищо друго. Само така ще се запази равенството. В крайна сметка −8 + 8 е равно на 0.

Връщаме се към израза −8 + ((−4) × (−2)) = 0 и вместо произведението ((−4) × (−2)) записваме числото 8

Пример 5.Намерете стойността на израза −2 × (6 + 4)

Нека приложим закона за разпределение на умножението, тоест да умножим числото −2 по всеки член на сумата (6 + 4)

−2 × (6 + 4) = −2 × 6 + (−2) × 4

Сега да направим умножението и да съберем резултатите. По пътя прилагаме предварително научените правила. Записът с модули може да се пропусне, за да не се претрупва израза

Първо действие:

−2 × 6 = −12

Второ действие:

−2 × 4 = −8

Трето действие:

−12 + (−8) = −20

Значи стойността на израза −2 × (6 + 4) е −20

Нека запишем накратко решението:

−2 × (6 + 4) = (−12) + (−8) = −20

Пример 6.Намерете стойността на израза (−2) × (−3) × (−4)

Изразът се състои от няколко фактора. Първо, умножете числата −2 и −3 и умножете получения продукт по останалото число −4. Нека пропуснем записа с модулите, за да не претрупваме израза

Първо действие:

(−2) × (−3) = 6

Второ действие:

6 × (−4) = −(6 × 4) = −24

Значи стойността на израза (−2) × (−3) × (−4) е равна на −24

Нека запишем накратко решението:

(−2) × (−3) × (−4) = 6 × (−4) = −24

Закони на делението

Преди да разделите цели числа, трябва да научите двата закона за делене.

Първо, нека си спомним от какво се състои разделението. Разделението се състои от три параметъра: делима, делителИ частен. Например в израз 8: 2 = 4, 8 е дивидентът, 2 е делителят, 4 е частното.

дивидентпоказва какво точно споделяме. В нашия пример разделяме числото 8.

Разделителпоказва на колко части трябва да се раздели дивидента. В нашия пример делителят е числото 2. Този делител показва на колко части трябва да се раздели дивидентът 8. Тоест по време на операцията за деление числото 8 ще бъде разделено на две части.

Частно- Това е действителният резултат от операцията по разделянето. В нашия пример частното е 4. Това частно е резултат от разделянето на 8 на 2.

Не можеш да делиш на нула

Всяко число не може да се дели на нула.

Факт е, че делението е действие, обратно на умножението. Тази фраза може да се разбира в нейния буквален смисъл. Например, ако 2 × 5 = 10, тогава 10:5 = 2.

Вижда се, че вторият израз е записан в обратен ред. Ако, например, имаме две ябълки и искаме да ги увеличим пет пъти, тогава ще напишем 2 × 5 = 10. Резултатът ще бъде десет ябълки. Тогава, ако искаме да намалим тези десет ябълки обратно до две, пишем 10: 5 = 2

Можете да направите същото с други изрази. Ако, например, 2 × 6 = 12, тогава можем да се върнем обратно към първоначалното число 2. За да направите това, просто напишете израза 2 × 6 = 12 в обратен ред, като разделите 12 на 6

Сега разгледайте израза 5 × 0. От законите на умножението знаем, че произведението е равно на нула, ако поне един от множителите е равен на нула. Това означава, че изразът 5 × 0 е равен на нула

Ако напишем този израз в обратен ред, получаваме:

Отговорът, който веднага хваща окото ви е 5, което се получава чрез разделяне на нула на нула. Това е невъзможно.

В обратен ред можете да напишете друг подобен израз, например 2 × 0 = 0

В първия случай, като разделим нула на нула, получихме 5, а във втория случай 2. Тоест, всеки път, когато разделим нула на нула, можем да получим различни значения, а това е недопустимо.

Второто обяснение е, че разделянето на дивидента на делителя означава намиране на число, което, когато се умножи по делителя, дава дивидента.

Например изразът 8: 2 означава намиране на число, което, когато се умножи по 2, дава 8

Тук вместо многоточие трябва да има число, което, умножено по 2, ще даде отговор 8. За да намерите това число, просто напишете този израз в обратен ред:

Получихме числото 4. Нека го напишем вместо многоточие:

Сега си представете, че трябва да намерите стойността на израза 5: 0. В този случай 5 е дивидентът, 0 е делителят. Разделянето на 5 на 0 означава намиране на число, което, умножено по 0, дава 5

Тук вместо многоточие трябва да има число, което, умножено по 0, ще даде отговор 5. Но няма число, което, умножено по нула, да дава 5.

Изразът ... × 0 = 5 противоречи на закона за умножение по нула, който гласи, че произведението е равно на нула, когато поне един от множителите е равен на нула.

Това означава, че записването на израза... × 0 = 5 в обратен ред, разделянето на 5 на 0 няма смисъл. Затова казват, че не можете да делите на нула.

С помощта на променливи този закон се записва по следния начин:

При b ≠ 0

Номер аможе да се раздели на число b, при условие че bне е равно на нула.

Собственост на частни

Този закон казва, че ако дивидентът и делителят се умножат или разделят на едно и също число, частното няма да се промени.

Например, разгледайте израз 12: 4. Стойността на този израз е 3

Нека се опитаме да умножим делителя и делителя по едно и също число, например по числото 4. Ако вярваме на свойството на частното, трябва отново да получим числото 3 в отговора

(12 × 4) : (4 × 4)

(12 × 4) : (4 × 4) = 48 : 16 = 3

Получихме отговор 3.

Сега нека се опитаме да не умножаваме, а да разделим делителя и делителя на числото 4

(12: 4 ) : (4: 4 )

(12: 4 ) : (4: 4 ) = 3: 1 = 3

Получихме отговор 3.

Виждаме, че ако дивидентът и делителят се умножат или разделят на едно и също число, тогава частното не се променя.

Целочислено деление

Пример 1.Намерете стойността на израз 12: (−2)

Това е разделянето на числа с различни знаци. 12 е положително число, (−2) е отрицателно. За да разрешите този пример, трябва Разделете модула на дивидента на модула на делителя и поставете минус пред получения отговор.

12: (−2) = −(|12| : |−2|) = −(12: 2) = −(6) = −6

Обикновено се пише по-кратко:

12: (−2) = −6

Пример 2.Намерете стойността на израза −24: 6

Това е разделянето на числа с различни знаци. −24 е отрицателно число, 6 е положително число. Още веднъж Разделете модула на дивидента на модула на делителя и поставете минус пред получения отговор.

−24: 6 = −(|−24| : |6|) = −(24: 6) = −(4) = −4

Нека запишем накратко решението:

Пример 3.Намерете стойността на израза −45: (−5)

Това е деление на отрицателни числа. За да разрешите този пример, трябва Разделете модула на дивидента на модула на делителя и поставете знак плюс пред получения отговор.

−45: (−5) = |−45| : |−5| = 45: 5 = 9

Нека запишем накратко решението:

−45: (−5) = 9

Пример 4.Намерете стойността на израза −36: (−4) : (−3)

Според, ако изразът съдържа само умножение или деление, тогава всички действия трябва да се извършват отляво надясно в реда, в който се показват.

Разделете −36 на (−4) и разделете полученото число на −3

Първо действие:

−36: (−4) = |−36| : |−4| = 36: 4 = 9

Второ действие:

9: (−3) = −(|9| : |−3|) = −(9: 3) = −(3) = −3

Нека запишем накратко решението:

−36: (−4) : (−3) = 9: (−3) = −3

Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашата нова група VKontakte и започнете да получавате известия за нови уроци

Умножение

Умножение- една от четирите основни операции, двоична математическа операция, при която един аргумент се добавя толкова пъти, колкото другият показва. В под умножениеразбирам кратка бележкаопределения брой еднакви термини. Например записът означава „добавете три петици“, т.е. Резултатът от умножението се нарича работа, а числата, които се умножават, са умножителиили фактори. Първият фактор понякога се нарича "умножено".

Записвайте

Умножение с кръст "×" или точка "∙". Публикации

означава едно и също нещо. Знакът за умножение често се пропуска, освен ако не предизвиква объркване. Например вместо обикновено те пишат .

Ако има много фактори, тогава някои от тях могат да бъдат заменени с елипси. Например произведението на цели числа от 1 до 100 може да бъде записано като .

В азбучен запис се използва и символът на продукта: . Например работата може да бъде написана накратко така: .

Свойства на умножението

Умножението има следните свойства:

Усвояване на таблицата за умножение в начално училищезаема значително място. Започвайки от втори клас (УМК “Перспективно основно училище”), се изучава. от преподавателска практикаИзвестно е, че когато учениците запомнят таблиците за умножение, те развиват доброволно внимание, наблюдателност, логично мислене, интелигентност, математическа реч. Овладяването на операциите на умножение допринася за развитието на такива процеси познавателна дейност, като анализ, синтез, сравнение, обобщение.

Учебната програма на началното училище изисква развитие на самостоятелност в младши ученицив усвояването на таблицата за умножение. Според регулаторните документи всеки ученик трябва да може да запише всяка колона с действия за умножение, илюстрирайки я с картина, чертеж, диаграма, да обоснове всяка стъпка в своето действие и да провери правилността на изчисленията. Но на практика такива дейности не се изпълняват напълно, което води до сериозни пропуски в знанията на учениците. за жалост , много учители смятат, че видимостта трябва да присъства само в началния етап на учебния урок и с развитието абстрактно мисленеученици, то губи смисъла си. На практика чертежите, диаграмите, рисунките рядко се използват като визуални помагала във 2-3 клас. Междувременно видимостта е необходима през целия период на обучение, тъй като е важно средство за развиване на по-сложни форми на конкретно мислене и формиране математически понятия. Чертежи, диаграми, рисунки насърчават по-младите ученици да мислят активно, да търсят най-рационалните начини в изчислителните действия и помагат не само за усвояване на знания.

1) Първи етап - съставяне и усвояване на таблици за умножение и деление е включен в съдържанието на курса. Учениците учат таблиците за умножение, докато научават значението на умножението. Това дава възможност да се предложат на учениците интересни, смислени упражнения и задачи, чието изпълнение допринася за неволното запомняне на таблицата за умножение.” Резултатите от работата по формирането на умения за таблично умножение се обобщават в общи уроци по темата „Умножение“, където учениците получават задача, по време на която могат да проверят как всеки от тях е усвоил таблицата за умножение. От горното можем да заключим, че първо се развиват уменията за таблица за умножение. В същото време работата, свързана с компилирането и усвояването на таблиците за умножение, е разпределена във времето и органично включена в съдържанието на курса. В процеса на усвояване на значението на делението, правилата за връзката на компонентите и резултатите от умножението и делението са включени задачи за деление на числата, в които учениците използват таблицата за умножение и връзката между компонентите. Следните характеристики на този подход за развиване на умения за таблично умножение и деление:

2) съставянето и усвояването на таблицата за умножение започва със случаи на умножаване на числото 9 (от по-трудно към по-лесно), което позволява на учениците не само да практикуват добавяне и изваждане на двуцифрени и едноцифрени числа с преход през десет, замествайки произведение със сбор, но и да се съсредоточим върху трудни за запомняне случаи на таблици за умножение: 9 · 8, 9 · 7, 9 · 6, по отношение на които са дадени указания за запаметяване.

3) Като се има предвид, че не всички деца могат неволно да запомнят таблицата за умножение в процеса на изпълнение на образователни задачи, в учебника по определена система са дадени инструкции за запомняне на три или четири случая на таблица. В същото време настройката за запаметяване на таблицата е насочена към запаметяване на определени случаи на таблица. 4) За организация самостоятелна работаУчениците се насърчават да записват всички случаи на таблично умножение на карта. Например, от едната страна е израз, а от другата е неговото значение. Същото трябва да се направи с всички случаи на таблицата за деление, което ще помогне на учениците да действат, когато запаметяват таблични случаи на умножение и деление, както и да упражняват самоконтрол. В процеса на изследване се запознахме и с подхода към интересуващата ни тема в образователната система на Л.В. Занков по учебника на И.И. Аргинская. При изучаване на таблично умножение и деление авторът идентифицира само два етапа в работата на учениците:

Етап 1 – запознаване с теоретичната информация, включително реда на действие в изразите. Етап 2 – изучаване на таблиците за умножение и деление с помощта на таблицата на Питагор.

И.И. Аргинская разграничава два подхода – пряк и индиректен, като ги описва подробно, като изтъква предимствата на индиректния. „Директният подход се характеризира с присъствие готова пробаизвършване на изследваната операция и голяма сумаготови тренировъчни упражнения, по време на които учениците овладяват умение, основано на репродуктивна дейност, където овладяването на умение действа като самоцел по принципа „решавай, за да се научиш да решаваш“. Репродуктивната дейност се характеризира с това, че ученикът получава готова информация, възприема я, разбира, осъзнава, запомня и след това сам я възпроизвежда. Основната цел на този вид дейност е формирането на знания на учениците за учене, развитието на вниманието и паметта. Основното предимство тук е много бързото постигане на необходимия резултат, поради което е толкова широко разпространено и заема силни позиции в училищна практика. Има обаче и отрицателни страни. И.И. Аргинская смята директния подход за „противоестествен, защото човек овладява техническата страна на всеки бизнес не като самоцел, а в името на решаването на проблеми, които са от значение за него. Преобладаването на репродуктивната дейност при формирането на компютърни умения значително дава възможност за насърчаване на развитието на децата и в момента развитието на учениците е приоритетна задача на образованието във всяка система.

Ирен Илинична посочва предимствата на индиректния подход, който използва в учебника „Математика. 3-ти клас" така: " Върховна функцияКосвен подход към формирането на умения е липсата на готов модел за изпълнение на операцията, която трябва да бъде усвоена, самостоятелното търсене на начини за извършването й от самите ученици, което веднага включва децата в продуктивна творческа дейност. Този подход се характеризира с висока ефективност на процеса на развитие на уменията за таблично умножение и съответните случаи на деление, пълно осъзнаване на теоретични и практически знания и повишен интерес към математиката. Недостатъкът е забележимо увеличаване на времето, изразходвано за постигане на резултати. Защо системата предпочита индиректен подход за формиране на компютърни умения? Факт е, че почти всяка задача трябва да допринесе за напредъка на децата в развитието, а директният подход напълно изключва този компонент. За да се формира развитието на познавателните интереси на децата, е необходимо да се заинтересуват, което изисква активни форми и методи на обучение, за да събуди у децата активно възприемане на материала. Различни нагледни помагала, както и таблици, рисунки и диаграми, използвани във всеки урок, допринасят за най-доброто усвояване и запаметяване на материала от учениците.

Особен интерес предизвика статията в списанието „ Начално училище“, където се разкрива съвсем различен подход към изучаването на табличното умножение и деление, което ни предлага V.A. Stepnykh.

При работа по темата има два етапа: 1. Запознаване с действията умножение и деление. Изучаване на комутативното свойство на умножението. Установете връзки между резултатите и компонентите на умножението и делението, както и между самите действия. Въвеждане на специални случаи на умножение и деление. Въведение в модернизираната таблица на Питагор. 2. Изучаване на таблично умножение и деление. Като научат за умножението и делението с десетици, нули и единици, преди да научат таблиците за умножение и деление, учениците вече няма нужда да питат: „Защо няма резултати от умножението с числата 1 и 10 в таблицата за умножение?“ След като разкрие значението на умножението и делението, учителят запознава учениците с Питагоровата таблица. Структурата на тази таблица е подобна на структурата на таблицата за събиране и изваждане в рамките на 20, която учениците изучаваха в 1. клас. Част от таблицата на Питагор е подчертана. Ако го премахнете, ще получите изрязана таблица на Питагор. Когато работят с изрязаната таблица на Питагор, учениците често използват комутативния закон за умножение. Когато работите с таблица, числата трябва да се търсят по определена система: по ред (отгоре надолу); в колони (отляво надясно). Това ви позволява да намерите резултатите от таблиците за умножение и деление с минимално време.

Има аритметична операция, с помощта на която по дадени две числа, множително и множително, се намира произведението. Ако числото a е множител и b е множител, тогава произведението се означава по следния начин: a·b или просто ab. Енциклопедичен речник на Брокхаус и Ефрон

Умножаването на едно цяло число с друго означава повтаряне на едно число толкова пъти, колкото другото съдържа единици. Да повториш едно число означава няколко пъти да го вземеш като събираемо и да определиш сумата.

Определение за умножение

Умножението на цели числа е операция, при която трябва да вземете едно число като събираеми толкова пъти, колкото друго число съдържа единици, и да намерите сумата на тези събираеми.

Умножаването на 7 по 3 означава да вземем числото 7 като събираемо три пъти и да намерим сумата. Необходимата сума е 21 бр.

Умножението е събиране на равни членове.

Данните в умножението се наричат множител и множители необходимите - работа.

В предложения пример данните ще бъдат множителят 7, множителят 3 и желаният продукт 21.

Умножено. Умноженото е число, което се умножава или повтаря със събираемо. Умноженото изразява големината на равни членове.

Фактор. Множителят показва колко пъти умножаващото се повтаря от събираемото. Множителят показва броя на равните членове.

работа. Продуктът е число, което се получава от умножение. Това е сбор от равни членове.

Множителят и множителят заедно се наричат производители.

При умножаване на цели числа едното число се увеличава с толкова пъти, колкото другият съдържа единици.

Знак за умножение. Действието на умножението се означава със знака × (косвен кръст) или. (точка). Знакът за умножение се поставя между умножаващото и множителя.

Повтарянето на числото 7 три пъти като сборно и намирането на сумата означава 7, умножено по 3. Вместо да пишете

напишете със знака за умножение накратко:

7 × 3 или 7 3

Умножението е съкратено събиране на равни членове.

Знак ( × ) е въведен от Oughtred (1631), а знакът. Християн Волф (1752).

Връзката между данните и желаното число се изразява в умножение

писмено:

7 × 3 = 21 или 7 3 = 21

устно:

седем умножено по три е 21.

За да направите продукт от 21, трябва да повторите 7 три пъти

За да направите коефициент 3, трябва да повторите единицата три пъти

От тук имаме друга дефиниция на умножението: Умножението е действие, при което продуктът е съставен от умножаващото се по същия начин, както множителят е съставен от единица.

Основното свойство на произведението

Продуктът не се променя поради промяна в реда на производителите.

Доказателство. Умножаването на 7 по 3 означава повторение на 7 три пъти. Заменяйки 7 със сумата от 7 единици и ги вмъкваме във вертикален ред, имаме:

По този начин, когато умножаваме две числа, можем да считаме всеки от двамата производители за множител. На тази основа се наричат ​​производители факториили просто умножители.

Повечето общ приемумножението се състои от добавяне на равни членове; но ако производителите са големи, тази техника води до дълги изчисления, така че самото изчисление е подредено по различен начин.

Умножение на едноцифрени числа. Таблица на Питагор

За да умножите две едноцифрени числа, трябва да повторите едно число като събираемо толкова пъти, колкото другото съдържа единици, и да намерите тяхната сума. Тъй като умножаването на цели числа води до умножаване на едноцифрени числа, те създават таблица с продукти на всички едноцифрени числа по двойки. Такава таблица на всички произведения на едноцифрени числа по двойки се нарича таблица за умножение.

Изобретението му се приписва на гръцкия философ Питагор, на когото е наречено Таблица на Питагор. (Питагор е роден около 569 г. пр.н.е.).

За да създадете тази таблица, трябва да напишете първите 9 числа в хоризонтален ред:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

След това под този ред трябва да подпишете поредица от числа, изразяващи произведението на тези числа с 2. Тази поредица от числа ще се получи, когато в първия ред съберем всяко число към себе си. От втория ред с числа преминаваме последователно към 3, 4 и т.н. Всеки следващ ред се получава от предишния, като към него се добавят числата от първия ред.

Продължавайки да правим това до ред 9, получаваме таблицата на Питагор в следната форма

За да използвате тази таблица, за да намерите произведението на две едноцифрени числа, трябва да намерите единия производител в първия хоризонтален ред, а другия в първата вертикална колона; тогава исканият продукт ще бъде в пресечната точка на съответната колона и ред. По този начин продуктът 6 × 7 = 42 е в пресечната точка на 6-ти ред и 7-ма колона. Произведението на нула и число и число и нула винаги дава нула.

Тъй като умножаването на число по 1 дава самото число и промяната на реда на множителите не променя продукта, всички различни произведения на две едноцифрени числа, на които трябва да обърнете внимание, се съдържат в следната таблица:

Продуктите на едноцифрени числа, които не се съдържат в тази таблица, се получават от данните, ако се промени само редът на фактора в тях; следователно 9 × 4 = 4 × 9 = 36.

Умножение на многоцифрено число с едноцифрено число

Умножаването на числото 8094 по 3 се обозначава чрез подписване на множителя под умножаващото, поставяне на знак за умножение отляво и начертаване на линия за разделяне на продукта.

Умножете многоцифрено число 8094 по 3 означава намиране на сбора от три равни члена

следователно, за да умножите, трябва да повторите всички редове на многоцифрено число три пъти, тоест да умножите по 3 единици, десетки, стотици и т.н. Добавянето започва с едно, следователно умножението трябва да започне с едно и след това да се премести от дясната ръка наляво към единици от по-висок ред.

В този случай напредъкът на изчисленията се изразява устно:

Започваме умножението с единици: 3 × 4 е равно на 12, подписваме 2 под единиците и прилагаме единицата (1 десет) към произведението от следващия ред чрез фактора (или го запомняме наум).

Умножение на десетици: 3 × 9 е равно на 27, но 1 в главата ви е равно на 28; Подписваме десетиците 8 и 2 наум.

Умножаване на стотици: Нула, умножена по 3, дава нула, но 2 в главата ви е равно на 2, подписваме 2 под стотните.

Умножаване на хиляди: 3 × 8 = 24, подписваме изцяло 24, защото нямаме следните поръчки.

Това действие ще бъде изразено в писмен вид:

От предишния пример извличаме следното правило. За да умножите многоцифрено число по едноцифрено число, трябва:

Подпишете множителя под единиците на умножаващото, поставете знак за умножение отляво и нарисувайте линия.

Започнете умножението с прости единици, след което, като се движите от дясната ръка наляво, последователно умножете десетки, стотици, хиляди и т.н.

Ако по време на умножението произведението се изрази като едноцифрено число, тогава то се подписва под умножената цифра на умножаващото.

Ако продуктът е изразен като двуцифрено число, тогава цифрата на единиците се подписва под същата колона, а цифрата на десетиците се добавя към продукта от следващия ред чрез фактор.

Умножението продължава, докато се получи пълното произведение.

Умножение на числа с 10, 100, 1000...

Умножаването на числата по 10 означава превръщане на простите единици в десетки, десетките в стотици и т.н., тоест увеличаване на реда на всички числа с единица. Това се постига чрез добавяне на една нула вдясно. Умножаването по 100 означава увеличаване на всички порядъци на това, което се умножава по две единици, тоест превръщане на единици в стотици, десетки в хиляди и т.н.

Това се постига чрез добавяне на две нули към числото.

От тук заключаваме:

За да умножите цяло число по 10, 100, 1000 и обикновено по 1 с нули, трябва да присвоите толкова нули вдясно, колкото има във фактора.

Умножаването на числото 6035 по 1000 може да се изрази писмено:

Когато множителят е число, завършващо на нули, под множителя се подписват само значимите цифри, а нулите на множителя се добавят отдясно.

За да умножите 2039 по 300, трябва да вземете числото 2029, като го добавите 300 пъти. Да вземеш 300 термина е същото като да вземеш три по 100 термина или 100 по три термина. За да направите това, умножете числото по 3 и след това по 100 или първо умножете по 3 и след това добавете две нули вдясно.

Напредъкът на изчислението ще бъде изразен писмено:

правило. За да умножите едно число по друго, представено от цифра с нули, трябва първо да умножите умноженото по числото, изразено от значимата цифра, и след това да добавите толкова нули, колкото има в умножителя.

Умножение на многоцифрено число с многоцифрено число

За да умножите многоцифрено число 3029 по многоцифрено 429 или да намерите произведението 3029 * 429, трябва да повторите събираемото 3029 429 пъти и да намерите сумата. Повтарянето на 3029 с членове 429 пъти означава повторение с членове първо 9, след това 20 и накрая 400 пъти. Следователно, за да умножите 3029 по 429, трябва да умножите 3029 първо по 9, след това по 20 и накрая по 400 и да намерите сбора на тези три продукта.

Три работи

са наречени частни работи.

Общият продукт 3029 × 429 е равен на сумата от три частни:

3029 × 429 = 3029 × 9 + 3029 × 20 + 3029 × 400.

Нека намерим стойностите на тези три частични продукта.

Умножавайки 3029 по 9, намираме:

3029 × 9 27261 първа частна работа

Умножавайки 3029 по 20, намираме:

3029 × 20 60580 втора конкретна работа

Умножавайки 3026 по 400, намираме:

3029 × 400 1211600 трета частична работа

Добавяйки тези частични продукти, получаваме продукта 3029 × 429:

Не е трудно да се забележи, че всички тези частични произведения са произведения на числото 3029 с едноцифрените числа 9, 2, 4, като към второто произведение, получено от умножението по десетици, се добавя една нула, а към второто произведение се добавят две нули. трети.

Нулите, присвоени на частични произведения, се пропускат по време на умножението и напредъкът на изчислението се изразява писмено:

В този случай, когато умножавате по 2 (цифрата на десетките на множителя), подпишете 8 под десетките или преместете наляво с една цифра; когато умножавате по стотните цифрата 4, подпишете 6 в третата колона или преместете наляво с 2 цифри. По принцип всяка конкретна работа започва да се подписва от дясната ръка наляво, според реда, към който принадлежи цифрата на множителя.

Търсейки произведението от 3247 на 209, имаме:

Тук започваме да подписваме второто частно произведение под третата колона, защото то изразява произведението на 3247 по 2, третата цифра на множителя.

Тук сме пропуснали само две нули, които трябваше да се появят във второто частично произведение, тъй като то изразява произведението на число с 2 стотици или с 200.

От всичко казано извеждаме едно правило. За да умножите многоцифрено число по многоцифрено число,

трябва да подпишете множителя под множителя, така че числата на едни и същи поръчки да са в една и съща вертикална колона, да поставите знак за умножение отляво и да нарисувате линия.

Умножението започва с прости единици, след което се премества от дясната ръка наляво, умножавайки последователното умножено по цифрата на десетките, стотиците и т.н. и създавайки толкова частични произведения, колкото има значими цифри в умножителя.

Единиците на всяко частично произведение се подписват под колоната, към която принадлежи цифрата на множителя.

Всички намерени по този начин частични продукти се сумират и се получава общият продукт.

За да умножите многоцифрено число по множител, завършващ на нули, трябва да изхвърлите нулите във множителя, да умножите по оставащото число и след това да добавите толкова нули към продукта, колкото има във множителя.

Пример. Намерете произведението на 342 по 2700.

Ако и множителят, и множителят завършват с нули, по време на умножението те се изхвърлят и след това към произведението се добавят толкова нули, колкото се съдържат и в двата производителя.

Пример. Изчислявайки произведението от 2700 на 35000, умножаваме 27 по 35

Като добавим пет нули към 945, получаваме желания продукт:

2700 × 35000 = 94500000.

Брой цифри на продукта. Броят на цифрите на продукта 3728 × 496 може да се определи, както следва. Това произведение е повече от 3728 × 100 и по-малко от 3728 × 1000. Броят на цифрите на първия продукт 6 е ​​равен на броя на цифрите в множителя 3728 и в множителя 496 без един. Броят на цифрите на втория продукт 7 е равен на броя на цифрите в множителя и в множителя. Даден продукт от 3728 × 496 не може да има цифри по-малки от 6 (броят на цифрите на продукта е 3728 × 100 и повече от 7 (броят на цифрите на продукта е 3728 × 1000).

Откъде заключаваме: броят на цифрите на всеки продукт е или равен на броя на цифрите в умножаващото и във фактора, или равен на това число без единица.

Нашият продукт може да съдържа 7 или 6 цифри.

Степени

Сред различните произведения, тези, в които производителите са равни, заслужават специално внимание. Например:

2 × 2 = 4, 3 × 3 = 9.

Квадрати. Произведението на два равни множителя се нарича квадрат на число.

В нашите примери 4 е квадрат 2, 9 е квадрат 3.

кубчета. Произведението на три равни множителя се нарича куб на число.

И така, в примерите 2 × 2 × 2 = 8, 3 × 3 × 3 = 27, числото 8 е кубът на 2, 27 е кубът на 3.

Изобщо произведението на няколко равни множителя се наричасила на числото . Силите получават имената си от броя на равните фактори.

Продукти от два равни фактора или квадратиса наречени втори степени.

Продукти от три равни множителя или кубчетаса наречени трети степении т.н.

Умножението се обозначава с кръстче, звездичка или точка. Публикации

означава едно и също нещо. Знакът за умножение често се пропуска, освен ако не предизвиква объркване. Например вместо обикновено те пишат .

Ако има много фактори, тогава някои от тях могат да бъдат заменени с елипси. Например произведението на цели числа от 1 до 100 може да бъде записано като .

В буквено обозначение се използва и символът на продукта: . Например работата може да бъде написана накратко така: .

Вижте също

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Антоними:

Вижте какво е „умножение“ в други речници:

Аритметична операция. Обозначава се с точка. или познат? (при буквални изчисления знаците за умножение се пропускат). Умножението на положителни цели числа (естествени числа) е действие, което ви позволява да намерите ... Голям енциклопедичен речник

Умножение, умножение, увеличаване, натрупване, натрупване, растеж, увеличаване, прираст, укрепване, събиране, издигане, удвояване. См … Речник на синонимите

МНОЖЕНИЕ, умножения, мн. не, вж. 1. Действие по гл. умножавам умножавам и държавно според гл. умножавам умножавам. Умножение три по две. Умножение на доходите. 2. Аритметично действие, повтарящо дадено число като член толкова пъти, колкото... ... Обяснителен речник на Ушаков

УМНОЖЕНИЕ, аритметична операция, обозначена със символ (по същество повтарящо се СЪБИРАНЕ). Например a3b може да се запише по различен начин като a+a+...+a, където b показва колко пъти се повтаря операцията за събиране. В израза a3b („a“... ... Научно-технически енциклопедичен речник

УМНОЖЕНИЕ, i, вж. 1. виж умножавам, ся. 2. Математическа операция, чрез която от две числа (или величини) се получава ново число (или количество), което (за цели числа) съдържа като член първото число толкова пъти, колкото единици има във второто. . Обяснителен речник на Ожегов

умножение- — [] Теми защита на информация EN умножение ... Ръководство за технически преводач

УМНОЖЕНИЕ- основното аритметично действие, с помощта на което по дадени две числа (виж) и (виж) се намира третото число (произведение), което се означава a∙b или. axb. Знакът за умножение обикновено не се поставя между буквите: вместо a∙b те пишат ab. Ако множителят и... ... Голяма политехническа енциклопедия

аз; ср 1. за Умножение, умножение (2 цифри) и Умножение, умножение. U. население. U. семейни доходи. U. освобождаване на продукта. 2. Математическа операция, чрез която от две числа (или количества) се получава ново число (или количество), което (за ... ... енциклопедичен речник

умножение- ▲ алгебрична функция пряко съответствие, от (какво), аргумент (функции) функция математическо деление умножение, което е в пряко съответствие от аргументите. умножават се. умножават се умножават се. умножавам... Идеографски речник на руския език

умножение- daugyba statusas T sritis automatika atitikmenys: англ. умножение вок. Умножение, ф рус. умножение, n пранц. умножение, f … Автоматични термини

Книги

• Умножение Умножаваме числата от 1 до 9, Бобкова А. (отг.ред.). Този сборник със задачи е ниво 2 в методиката индивидуално обучение KUMON в раздел „Математика за ученици“. В тетрадката детето ще трябва да решава математически примери на...