Лекции по теоретична механика за строителни университети. Лекционен курс по техническа механика

1 слайд

Курс на лекции по теоретична механика Динамика (част I) Бондаренко A.N. Москва - 2007 г. Електронният курс за обучение е написан на базата на лекции, изнесени от автора за студенти, обучаващи се по специалностите на SZhD, PGS и SDM в NIIZhT и MIIT (1974-2006). Учебен материалотговаря на календарни планове за три семестъра. За да приложите напълно анимационни ефекти по време на презентация, трябва да използвате програма за преглед на Power Point не по-ниска от тази, вградена в Microsoft Office на операционната система Windows XP Professional. Коментари и предложения можете да изпращате на имейл: [имейл защитен]. Москва Държавен университетЖелезопътен отдел (MIIT). теоретична механикаНаучно-технически център по транспортни технологии

2 слайд

Съдържание Лекция 1. Въведение в динамиката. Закони и аксиоми на динамиката на материална точка. Основно уравнение на динамиката. Диференциални и естествени уравнения на движението. Два основни проблема на динамиката. Примери за решаване на пряка задача на динамиката Лекция 2. Решение обратна задачависокоговорители. Общи указания за решаване на обратната задача на динамиката. Примери за решаване на обратната задача на динамиката. Движението на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонталата, без да се отчита съпротивлението на въздуха. Лекция 3. Праволинейни трептения на материална точка. Условие за възникване на трептения. Класификация на вибрациите. Свободни вибрации без отчитане на съпротивителните сили. Затихващи трептения. Декремент на трептенията. Лекция 4. Принудени трептения на материална точка. Резонанс. Влиянието на съпротивлението на движение по време на принудителни вибрации. Лекция 5. Относително движение на материална точка. Инерционни сили. Специални случаи на движение за различни видове преносими движения. Влиянието на въртенето на Земята върху равновесието и движението на телата. Лекция 6. Динамика на механична система. Механична система. Външни и вътрешни сили. Център на масата на системата. Теорема за движението на центъра на масата. Закони за опазване. Пример за решаване на задача с помощта на теоремата за движението на центъра на масата. Лекция 7. Силов импулс. Количество движение. Теорема за промяната на импулса. Закони за опазване. Теорема на Ойлер. Пример за решаване на задача с помощта на теоремата за промяната на импулса. Импулс. Теорема за промяната на ъгловия момент Лекция 8. Закони за запазване. Елементи на теорията на инерционните моменти. Кинетичен момент твърдо. Диференциално уравнение за въртене на твърдо тяло. Пример за решаване на задача с помощта на теоремата за промяната на ъгловия момент на системата. Елементарна теория на жироскопа. Препоръчителна литература 1. Yablonsky A.A. Курс по теоретична механика. Част 2. М.: висше училище. 1977 368 стр. 2. Мещерски И.В. Сборник задачи по теоретична механика. М.: Наука. 1986 416 стр. 3. Сборник задачи за курсова работа/Ред. А.А. Яблонски. М.: Висше училище. 1985 366 стр. 4. Бондаренко A.N. “Теоретична механика в примери и задачи. Динамика” (електронно ръководство www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004 г.

3 слайд

Лекция 1 Динамиката е раздел от теоретичната механика, който изучава механичното движение от най-обща гледна точка. Движението се разглежда във връзка със силите, действащи върху даден обект. Разделът се състои от три раздела: Динамика на материална точка Динамика Динамика на механична система Аналитична механика ■ Динамика на точка – изучава движението на материална точка, като се вземат предвид силите, предизвикващи това движение. Основният обект е материална точка - материално тяло с маса, чиито размери могат да бъдат пренебрегнати. Основни допускания: – има абсолютно пространство (има чисто геометрични свойства, които не зависят от материята и нейното движение. – има абсолютно време (независимо от материята и нейното движение). От това следва: – има абсолютно неподвижна рамка на справка – времето не зависи от движението на референтната система – масите на движещите се точки не зависят от движението на референтната система Тези предположения се използват в класическата механика, създадена от Галилей и Нютон Тя все още има доста широк обхват на приложение, тъй като механичните системи, разглеждани в приложните науки, нямат толкова големи маси и скорости на движение, за които е необходимо да се вземе предвид тяхното влияние върху геометрията на пространството, времето, движението, както се прави в релативистката механика (теория на относителността).■ Основни закони на динамиката - открити за първи път от Галилей и формулирани от Нютон формират основата на всички методи за описание и анализ на движението на механичните системи и тяхното динамично взаимодействие под въздействието на различни сили. ■ Закон за инерцията (закон на Галилео-Нютон) – Изолирана материална точка от тяло поддържа своето състояние на покой или еднаквост праволинейно движениедотогава приложените сили няма да го принудят да промени това състояние. Това предполага еквивалентност на състоянието на покой и движение по инерция (законът на относителността на Галилей). Отправната система, по отношение на която е в сила закона за инерцията, се нарича инерционна. Свойството на материалната точка да се стреми да поддържа постоянна скоростта на своето движение (кинематичното й състояние) се нарича инерция. ■ Закон за пропорционалност на силата и ускорението (Основно уравнение на динамиката - закон на Нютон II) – Ускорението, придадено на материална точка от сила, е право пропорционално на силата и обратно пропорционално на масата на тази точка: или Тук m е маса на точката (мярка за инерция), измерена в kg, числено равно тегло, разделено на ускорението на свободното падане: F е действащата сила, измерена в N (1 N придава ускорение от 1 m/s2 на точка с тегло 1 kg, 1 N = 1/9,81 kg-s). ■ Динамика на механична система - изучава движението на съвкупност от материални точки и твърди тела, обединени от общи закони на взаимодействие, като се отчитат силите, предизвикващи това движение. ■ Аналитична механика – изучава движението на ограничени механични системи с помощта на общи аналитични методи. 1

4 слайд

Лекция 1 (продължение – 1.2) Диференциални уравнения на движение на материална точка: - диференциално уравнение на движение на точка във векторна форма. - диференциални уравнения на движение на точка в координатна форма. Този резултат може да бъде получен чрез формално проектиране на векторното диференциално уравнение (1). След групирането векторната връзка се разпада на три скаларни уравнения: В координатна форма: Използваме връзката между радиус вектора с координати и вектора на силата с проекции: или: Заменяме ускорението на точка с векторно движение, определено в основно уравнение на динамиката: Естествените уравнения на движение на материална точка се получават чрез проектиране на векторното диференциално уравнение на движение върху естествени (подвижни) координатни оси: или: - естествени уравнения на движение на точка. ■ Основно уравнение на динамиката: - съответства на векторния метод за определяне на движението на точка. ■ Закон за независимост на действието на силите - Ускорението на материална точка под действието на няколко сили е равно на геометричната сума на ускоренията на точката от действието на всяка от силите поотделно: или Законът е валиден за всяко кинематично състояние на телата. Силите на взаимодействие, прилагани към различни точки (тела), не са балансирани. ■ Закон за равенство на действието и реакцията (трети закон на Нютон) – Всяко действие съответства на еднаква по големина и противоположно насочена реакция: 2

5 слайд

Две основни задачи на динамиката: 1. Пряка задача: Дадено е движение (уравнения на движение, траектория). Необходимо е да се определят силите, под въздействието на които възниква дадено движение. 2. Обратна задача: Дадени са силите, под въздействието на които възниква движението. Необходимо е да се намерят параметрите на движение (уравнения на движение, траектория на движение). И двете задачи се решават с помощта на основното уравнение на динамиката и неговата проекция върху координатните оси. Ако се разглежда движението на несвободна точка, тогава, както в статиката, се използва принципът на освобождаване от връзки. В резултат на това реакциите на връзките се включват в силите, действащи върху материалната точка. Решението на първия проблем е свързано с операциите за диференциране. Решаването на обратната задача изисква интегриране на съответните диференциални уравнения и това е много по-трудно от диференцирането. Обратната задача е по-трудна от директната задача. Нека да разгледаме решението на директния проблем за динамиката, като използваме примери: Пример 1. Асансьорна кабина с тегло G се повдига с кабел с ускорение a. Определете напрежението на кабела. 1. Изберете обект (кабината на асансьора се движи постъпателно и може да се разглежда като материална точка). 2. Изхвърляме връзката (кабела) и я заменяме с реакцията R. 3. Съставяме основното уравнение на динамиката: Определете реакцията на кабела: Определете напрежението на кабела: При равномерно движение на кабината, ay = 0 и напрежението на кабела е равно на теглото: T = G. Ако кабелът се скъса, T = 0 и ускорението на кабината е равно на ускорението на гравитацията: ay = -g. 3 4. Проектираме основното уравнение на динамиката върху оста y: y Пример 2. Точка с маса m се движи по хоризонтална повърхност (равнина Oxy) съгласно уравненията: x = a coskt, y = b coskt. Определете силата, действаща върху точката. 1. Изберете обект (материална точка). 2. Изхвърляме връзката (равнината) и я заместваме с реакция N. 3. Към системата от сили добавяме неизвестна сила F. 4. Съставяме основното уравнение на динамиката: 5. Проектираме основното уравнение на динамиката върху оси x,y: Определяме проекциите на силата: Модул на сила: Косинуси на посоката: По този начин големината на силата е пропорционална на разстоянието на точката до центъра на координатите и е насочена към центъра по линията, свързваща точката с центъра . Траекторията на точка е елипса с център в началото: O r Лекция 1 (продължение – 1.3)

6 слайд

Лекция 1 (продължение 1.4) Пример 3: Товар с тегло G е окачен на кабел с дължина l и се движи по кръгова траектория в хоризонтална равнина с определена скорост. Ъгълът на отклонение на кабела от вертикалата е равен. Определете напрежението на кабела и скоростта на товара. 1. Изберете обект (товар). 2. Изхвърляме връзката (кабела) и я заменяме с реакция R. 3. Съставяме основното уравнение на динамиката: От третото уравнение определяме реакцията на кабела: Определяме напрежението на кабела: Заменяме стойността на реакцията на кабела, нормалното ускорение във второто уравнение и определяме скоростта на товара: 4. Проектираме главното уравнение за динамиката върху оста,n,b: Пример 4: Автомобил с тегло G се движи по изпъкнал мост (радиус на кривина равен на R) със скорост V. Определете натиска на автомобила върху моста. 1. Изберете обект (автомобил, пренебрегнете размерите и го считайте за точка). 2. Изхвърляме връзката (грапава повърхност) и я заменяме с реакции N и сила на триене Ftr. 3. Съставяме основното уравнение на динамиката: 4. Проектираме основното уравнение на динамиката върху оста n: От тук определяме нормалната реакция: Определяме натиска на автомобила върху моста: От тук можем да определим скоростта съответстващо на нулево налягане върху моста (Q = 0): 4

7 слайд

Лекция 2 След като заместим намерените стойности на константите, получаваме: По този начин, под въздействието на една и съща система от сили, материална точка може да извърши цял клас движения, определени от началните условия. Началните координати отчитат началната позиция на точката. Началната скорост, определена от проекциите, отчита влиянието върху нейното движение по разглеждания участък от траекторията на силите, действащи върху точката преди пристигането в този участък, т.е. начално кинематично състояние. Решение на обратната задача на динамиката - В общия случай на движение на точка, силите, действащи върху точката, са променливи в зависимост от времето, координатите и скоростта. Движението на точка се описва със система от три диференциални уравнения от втори ред: След интегрирането на всяко от тях ще има шест константи C1, C2,…., C6: Стойностите на константите C1, C2,…. , C6 се намират от шест начални условия при t = 0: Пример 1 решение обратна задача: Свободна материална точка с маса m се движи под действието на сила F, постоянна по модул и големина. . В началния момент скоростта на точката е v0 и съвпада по посока със силата. Определете уравнението на движение на точка. 1. Съставяме основното уравнение на динамиката: 3. Понижаваме реда на производната: 2. Избираме декартова отправна система, насочвайки оста x по посока на силата и проектираме основното уравнение на динамиката върху тази ос : или x y z 4. Разделяме променливите: 5. Изчисляваме интегралите от двете страни на уравнението: 6. Нека си представим проекцията на скоростта като производна на координатата по отношение на времето: 8. Изчисляваме интегралите на двете страни на уравнението: 7. Разделяме променливите: 9. За да определим стойностите на константите C1 и C2, използваме началните условия t = 0, vx = v0, x = x0: В резултат на това получаваме уравнението на равномерно редуващо се движение (по оста x): 5

8 слайд

Общи указания за решаване на прави и обратни задачи. Процедура за решаване: 1. Съставяне на диференциално уравнение на движението: 1.1. Изберете координатна система - правоъгълна (неподвижна) за неизвестна траектория, естествена (подвижна) за известна траектория, например кръг или права линия. В последния случай можете да използвате една праволинейна координата. Референтната точка трябва да бъде подравнена с началната позиция на точката (при t = 0) или с равновесното положение на точката, ако съществува, например, когато точката осцилира. 6 1.2. Начертайте точка в позиция, съответстваща на произволен момент от времето (при t > 0), така че координатите да са положителни (s > 0, x > 0). В същото време ние също вярваме, че проекцията на скоростта в тази позиция също е положителна. В случай на трептене проекцията на скоростта променя знака, например при връщане в равновесно положение. Тук трябва да се приеме, че в разглеждания момент точката се отдалечава от равновесното положение. Следването на тази препоръка е важно в бъдеще, когато работите със съпротивителни сили, които зависят от скоростта. 1.3. Освободете материалната точка от връзките, заменете техните действия с реакции, добавете активни сили. 1.4. Запишете основния закон на динамиката във векторна форма, проектирайте го върху избраните оси, изразете зададените или реактивни сили чрез променливите време, координати или скорости, ако зависят от тях. 2. Решаване на диференциални уравнения: 2.1. Намалете производната, ако уравнението не се редуцира до канонична (стандартна) форма. например: или 2.2. Отделни променливи, например: или 2.4. Не изчислявайте определени интегралиот лявата и дясната страна на уравнението, например: 2.3. Ако в уравнението има три променливи, тогава направете промяна на променливите, например: и след това разделете променливите. Коментирайте. Вместо да пресмятате неопределени интеграливъзможно е да се оценят определени интеграли с променлива горна граница. Долните граници представляват началните стойности на променливите (началните условия).Тогава няма нужда отделно да се намира константа, която автоматично се включва в решението, например: Използвайки началните условия, например, t = 0 , vx = vx0, определете константата на интегриране: 2.5. Изразете скоростта чрез производната на координатата по отношение на времето например и повторете параграфи 2.2 -2.4 Забележка. Ако уравнението се сведе до канонична форма, която има стандартно решение, тогава се използва това готово решение. Интеграционните константи все още се намират от началните условия. Вижте например трептенията (лекция 4, стр. 8). Лекция 2 (продължение 2.2)

Слайд 9

Лекция 2 (продължение 2.3) Пример 2 за решаване на обратната задача: Силата зависи от времето. Товар с тегло P започва да се движи по гладка хоризонтална повърхност под въздействието на сила F, чиято величина е пропорционална на времето (F = kt). Определете разстоянието, изминато от товара за време t. 3. Съставяме основното уравнение на динамиката: 5. Понижаваме реда на производната: 4. Проектираме основното уравнение на динамиката върху оста x: или 7 6. Разделяме променливите: 7. Изчисляваме интегралите от двете страни на уравнението: 9. Представяме си проекцията на скоростта като производна на координатата по отношение на времето: 10. Изчисляваме интегралите от двете страни на уравнението: 9. Разделяме променливите: 8. Определяме стойността на константата C1 от началното условие t = 0, vx = v0=0: В резултат на това получаваме уравнението на движението (по оста x), което дава стойността на изминатото разстояние за време t: 1 , Избираме отправна система (декартови координати), така че тялото да има положителна координата: 2. Вземаме обекта на движение като материална точка (тялото се движи транслационно), освобождаваме го от връзката (референтната равнина) и заместваме то с реакция (нормалната реакция на гладка повърхност): 11. Определете стойността на константата C2 от началното условие t = 0, x = x0=0: Пример 3 за решаване на обратната задача: Силата зависи от координирам. Материална точка с маса m се изхвърля нагоре от повърхността на Земята със скорост v0. Силата на гравитацията на Земята е обратно пропорционална на квадрата на разстоянието от точка до центъра на тежестта (центъра на Земята). Определете зависимостта на скоростта от разстоянието y до центъра на Земята. 1. Избираме отправна система (декартови координати), така че тялото да има положителна координата: 2. Съставяме основното уравнение на динамиката: 3. Проектираме основното уравнение на динамиката върху оста y: или Коефициентът на пропорционалност може да се намери с помощта на теглото на точка от повърхността на Земята: R Следователно диференциалът уравнението има формата: или 4. Понижаваме реда на производната: 5. Правим промяна на променлива: 6. Разделяме променливите : 7. Изчисляваме интегралите от двете страни на уравнението: 8. Заменяме границите: В резултат на това получаваме израз за скоростта като функция на y координатата: Максималната височина на полета може да се намери чрез приравняване на скоростта до нула: Максимална височинаполет, когато знаменателят отива на нула: Следователно, когато задаваме радиуса на Земята и ускорението на гравитацията, получаваме скорост на бягство II:

10 слайд

Лекция 2 (продължение 2.4) Пример 2 за решаване на обратната задача: Силата зависи от скоростта. Плавателен съд с маса m е имал скорост v0. Съпротивлението на водата при движението на плавателния съд е пропорционално на скоростта. Определете времето, през което скоростта на кораба ще спадне наполовина след изключване на двигателя, както и разстоянието, изминато от кораба до пълното му спиране. 8 1. Избираме референтна система (декартови координати), така че тялото да има положителна координата: 2. Вземаме обекта на движение като материална точка (корабът се движи транслационно), освобождаваме го от връзки (вода) и го заместваме с реакция (плаваща сила - силата на Архимед), а също и силата на съпротивление при движение. 3. Добавете активна сила (гравитация). 4. Съставяме основното уравнение на динамиката: 5. Проектираме основното уравнение на динамиката върху оста x: или 6. Понижаваме реда на производната: 7. Разделяме променливите: 8. Изчисляваме интегралите на двете страни на уравнението: 9. Заменяме границите: Получава се израз, който свързва скоростта и времето t, от което можете да определите времето на движение: Време на движение, през което скоростта ще падне наполовина: Интересно е да имайте предвид, че когато скоростта се доближава до нула, времето на движение клони към безкрайност, т.е. крайната скорост не може да бъде нула. Защо не „вечно движение“? Изминатото разстояние до спирката обаче е крайна стойност. За да определим изминатото разстояние, се обръщаме към израза, получен след понижаване реда на производната и извършваме промяна на променливата: След интегриране и заместване на границите, получаваме: Изминато разстояние до спиране: ■ Движението на точка, хвърлена в ъгъл спрямо хоризонта в равномерно гравитационно поле, без да се взема предвид съпротивлението на въздуха. Елиминирайки времето от уравненията на движението, получаваме уравнението на траекторията: Времето на полета се определя чрез приравняване на координатата y на нула: Диапазонът на полета се определя чрез заместване времето на полета:

11 слайд

Лекция 3 Праволинейни трептения на материална точка - Осцилаторното движение на материална точка възниква при условие: има възстановяваща сила, която се стреми да върне точката в равновесно положение при всяко отклонение от това положение. 9 Има възстановяваща сила, равновесното положение е стабилно Няма възстановяваща сила, равновесното положение е нестабилно Няма възстановяваща сила, равновесното положение е безразлично Има възстановяваща сила, равновесното положение е стабилно Необходим е анализ Еластичността силата на пружина е пример за линейна възстановяваща сила. Винаги насочен към равновесното положение, стойността е право пропорционална на линейното удължение (скъсяване) на пружината, равно на отклонението на тялото от равновесното положение: c е коефициентът на твърдост на пружината, числено равен на силата под въздействието от които пружината променя дължината си с единица, измерена в N/m в системата SI. x y O Видове вибрации на материална точка: 1. Свободни вибрации (без да се отчита съпротивлението на средата). 2. Свободни трептения с отчитане на съпротивлението на средата (затихващи трептения). 3. Принудени вибрации. 4. Принудени вибрации с отчитане на съпротивлението на средата. ■ Свободни вибрации – възникват само под въздействието на възстановяваща сила. Нека запишем основния закон на динамиката: Нека изберем координатна система с център в позицията на равновесие (точка O) и проектираме уравнението върху оста x: Нека приведем полученото уравнение в стандартната (канонична) форма: Това уравнение е хомогенно линейно диференциално уравнение от втори ред, чийто тип решение се определя от корените на характеристичното уравнение, получено чрез универсално заместване: Корените на характеристичното уравнение са въображаеми и равни: Общото решение на диференциалното уравнение има формата: Скорост на точката: Начални условия: Нека определим константите: И така, уравнението свободни вибрацииима формата: Уравнението може да бъде представено чрез едночленен израз: където a е амплитудата, е началната фаза. Новите константи a и - са свързани с константните отношения C1 и C2: Нека дефинираме a и: Причината за свободните трептения е първоначалното преместване x0 и/или началната скорост v0.

12 слайд

10 Лекция 3 (продължение 3.2) Затихнали трептения на материална точка – Осцилаторното движение на материална точка възниква при наличието на възстановяваща сила и сила на съпротивление на движението. Определя се зависимостта на силата на съпротивление на движение от преместването или скоростта физическа природасреда или връзка, която възпрепятства движението. Най-простата зависимост е линейна зависимост от скоростта (вискозно съпротивление): - коефициент на вискозитет x y O Основно уравнение на динамиката: Проекция на уравнението на динамиката върху оста: Нека приведем уравнението в стандартната форма: където Характеристичното уравнение има корени : Общото решение на това диференциално уравнение има различна форма в зависимост от стойностите на корените: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затихващи трептения: Период: T* Декремент на трептене: ai ai+1 Декремент на логаритмично трептене: Затихването на трептенията става много бързо. Основният ефект от силата на вискозното съпротивление е намаляването на амплитудата на трептенията с течение на времето. 2. n > k – случай на голямо вискозно съпротивление: - корените са истински, различни. или - тези функции са апериодични: 3. n = k: - корените са реални, кратни. тези функции също са апериодични:

Слайд 13

Лекция 3 (продължение 3.3) Класификация на разтвори на свободни вибрации. Методи за свързване на пружини. Еквивалентна твърдост. y 11 Разл. Характерно уравнение. уравнение Корени на характера. уравнения Решение на диференциално уравнение Графика nk n=k

Слайд 14

Лекция 4 Принудени трептения на материална точка - Наред с възстановяващата сила действа и периодично изменяща се сила, наречена смущаваща сила. Смущаващата сила може да бъде различно естество. Например, в конкретен случай, инерционното действие на небалансираната маса m1 на въртящ се ротор причинява хармонично променящи се проекции на сила: Основно уравнение на динамиката: Проекция на уравнението на динамиката върху оста: Нека редуцираме уравнението до стандартна форма : 12 Решението на това нехомогенно диференциално уравнение се състои от две части x = x1 + x2: x1 е общото решение на съответното хомогенно уравнение и x2 е частното решение на нехомогенното уравнение: Избираме конкретно решение под формата на дясна страна: Полученото равенство трябва да бъде изпълнено за всяко t. Тогава: или По този начин, с едновременно действие на възстановяващи и смущаващи сили, материалната точка извършва комплекс трептящо движение, което е резултат от събирането (суперпозицията) на свободни (x1) и принудени (x2) трептения. Ако p< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием полного решения (!): Таким образом, частное решение: Если p >k (принудителни трептения с висока честота), тогава фазата на трептенията е противоположна на фазата на смущаващата сила:

15 слайд

Лекция 4 (продължение 4.2) 13 Динамичен коефициент - съотношението на амплитудата на принудените трептения към статичната деформация на точка под въздействието на постоянна сила H = const: Амплитуда на принудените трептения: Статичното отклонение може да се намери от уравнението за равновесие : Тук: От тук: Така на стр< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (висока честота на принудените трептения) динамичен коефициент: Резонанс - възниква, когато честотата на принудените трептения съвпада с честотата на собствените трептения (p = k). Най-често това се случва при стартиране и спиране на въртенето на лошо балансирани ротори, монтирани на еластични окачвания. Диференциално уравнение на трептения с равни честоти: Не може да се вземе конкретно решение във формата на дясната страна, т.к. получавате линейно зависимо решение (вижте общо решение). Общо решение: Заместете в диференциалното уравнение: Вземете определено решение във формата и изчислете производните: Така се получава решението: или Принудените трептения по време на резонанс имат амплитуда, която нараства неограничено пропорционално на времето. Влиянието на съпротивлението на движение по време на принудителни вибрации. Диференциалното уравнение при наличие на вискозно съпротивление има формата: Общото решение се избира от таблицата (лекция 3, стр. 11) в зависимост от съотношението на n и k (виж). Нека вземем частичното решение във формата и изчислим производните: Заместване в диференциалното уравнение: Приравняване на коефициентите за същото тригонометрични функцииполучаваме система от уравнения: Като повдигнем и двете уравнения на степен и ги добавим, получаваме амплитудата на принудените трептения: Като разделим второто уравнение на първото, получаваме фазовото изместване на принудените трептения: По този начин уравнението на движението за принудени трептения, като се вземе предвид съпротивлението на движение, например при n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

16 слайд

Лекция 5 Относително движение на материална точка – Да приемем, че подвижната (неинерциална) координатна система Oxyz се движи по определен закон спрямо неподвижната (инерциална) координатна система O1x1y1z1. Движението на материалната точка M (x, y, z) спрямо движещата се система Oxyz е относително, спрямо неподвижната система O1x1y1z1 е абсолютно. Движението на мобилната система Oxyz спрямо неподвижната система O1x1y1z1 е преносимо движение. 14 z x1 y1 z1 O1 x y M x y z O Основно уравнение на динамиката: Абсолютно ускорение на точка: Нека заместим абсолютното ускорение на точка в основното уравнение на динамиката: Нека преместим членовете с преносимото и Кориолисовото ускорение в дясната страна: Прехвърлените членове имат размерността на силите и се считат за съответните инерционни сили, равни: Тогава относителното движение на точка може да се счита за абсолютно, ако добавим преносимите и Кориолисови инерционни сили към действащите сили: В проекции върху оста на подвижната координатна система имаме: Специални случаи на относителното движение на точка за различни видове преносимо движение: 1. Въртене около фиксирана ос: Ако въртенето е равномерно, тогава εe = 0: 2. Транслационно криволинейно движение: Ако движението е праволинейно, тогава =: Ако движението е праволинейно и равномерно, тогава движещата се система е инерционна и относителното движение може да се счита за абсолютно: никакви механични явления не могат да открият праволинейно равномерно движение(принцип на относителността на класическата механика). Влиянието на въртенето на Земята върху равновесието на телата - Да приемем, че тялото е в равновесие на земната повърхност на произволна географска ширина φ (паралел). Земята се върти около оста си от запад на изток с ъглова скорост: Радиусът на Земята е около 6370 km. S R – обща реакция на негладка повърхност. G е силата на привличане на Земята към центъра. F – центробежна сила на инерция. Условие на относително равновесие: Резултатът от силите на привличане и инерция е силата на гравитацията (теглото): Големината на силата на гравитацията (теглото) върху повърхността на Земята е P = mg. Центробежната сила на инерцията е малка част от силата на гравитацията: Отклонението на силата на гравитацията от посоката на силата на привличане също е малко: По този начин влиянието на въртенето на Земята върху равновесието на телата е изключително малък и не се взема предвид в практическите изчисления. Максималната стойност на инерционната сила (при φ = 0 - на екватора) е само 0,00343 от силата на гравитацията

Слайд 17

Лекция 5 (продължение 5.2) 15 Влиянието на въртенето на Земята върху движението на телата в гравитационното поле на Земята – Да приемем, че тяло пада върху Земята от определена височина H над земната повърхност на ширина φ. Нека изберем подвижна отправна система, твърдо свързана със Земята, насочваща осите x, y тангенциално към паралела и към меридиана: Уравнение на относителното движение: Малката центробежна сила на инерцията в сравнение със силата на гравитацията се взема в сметка тук. Така силата на гравитацията се идентифицира със силата на гравитацията. В допълнение, ние вярваме, че силата на гравитацията е насочена перпендикулярно на повърхността на Земята поради малкото й отклонение, както беше обсъдено по-горе. Ускорението на Кориолис е равно и насочено успоредно на оста y на запад. Инерционната сила на Кориолис е насочена в обратна посока. Нека проектираме уравнението на относителното движение върху оста: Решението на първото уравнение дава: Начални условия: Решението на третото уравнение дава: Начални условия: Третото уравнение приема формата: Начални условия: Неговото решение дава: Полученото решение показва, че тялото се отклонява на изток при падане. Нека изчислим големината на това отклонение, например при падане от височина 100 м. Ще намерим времето на падане от решението на второто уравнение: По този начин влиянието на въртенето на Земята върху движението на телата е изключително малко за практически височини и скорости и не се взема предвид в техническите изчисления. От решението на второто уравнение също следва наличието на скорост по оста y, която също би трябвало да причинява и причинява съответното ускорение и инерционната сила на Кориолис. Влиянието на тази скорост и свързаната с нея инерционна сила върху промяната в движението ще бъде дори по-малко от разглежданата инерционна сила на Кориолис, свързана с вертикалната скорост.

18 слайд

Лекция 6 Динамика на механична система. Система от материални точки или механична система - Набор от материални точки или материални такива, обединени от общи закони на взаимодействие (позицията или движението на всяка точка или тяло зависи от позицията и движението на всички останали) Система от свободни точки - чието движение не е ограничено от никакви връзки (например планетарна система, в която планетите се считат за материални точки). Система от несвободни точки или несвободна механична система - движението на материални точки или тела е ограничено от връзки, наложени на системата (например механизъм, машина и др.). 16 Сили, действащи върху системата. В допълнение към предишната класификация на силите (активни и реактивни сили) се въвежда нова класификация на силите: 1. Външни сили (e) - действащи върху точки и тела на системата от точки или тела, които не са част от тази система. 2. Вътрешни сили (i) – сили на взаимодействие между материални точки или тела, включени в дадена система. Една и съща сила може да бъде както външна, така и вътрешна сила. Всичко зависи от това какъв вид механична система се разглежда. Например: В системата на Слънцето, Земята и Луната всички гравитационни сили между тях са вътрешни. Когато разглеждаме системата Земя и Луна, гравитационните сили, приложени от Слънцето, са външни: C Z L Въз основа на закона за действие и реакция, всяка вътрешна сила Fk съответства на друга вътрешна сила Fk’, равна по големина и противоположна по посока. Две забележителни свойства на вътрешните сили следват от това: Главният вектор на всички вътрешни сили на системата е равен на нула: Главният момент на всички вътрешни сили на системата спрямо всеки център е равен на нула: Или в проекции върху координатата оси: Забележка. Въпреки че тези уравнения са подобни на уравненията на равновесието, те не са уравнения на равновесие, тъй като вътрешните сили се прилагат към различни точки или тела на системата и могат да накарат тези точки (тела) да се движат едно спрямо друго. От тези уравнения следва, че вътрешните сили не влияят върху движението на системата, разглеждана като цяло. Център на масата на система от материални точки. За да се опише движението на системата като цяло, се въвежда геометрична точка, наречена център на масата, чийто радиус-вектор се определя от израза, където M е масата на цялата система: Или в проекции върху координатната оси: Формулите за центъра на масата са подобни на формулите за центъра на тежестта. Понятието център на масата обаче е по-общо, тъй като не е свързано с гравитационните сили или гравитационните сили.

Слайд 19

Лекция 6 (продължение 6.2) 17 Теорема за движението на центъра на масата на система – Да разгледаме система от n материални точки. Разделяме силите, приложени към всяка точка, на външни и вътрешни и ги заместваме със съответните резултанти Fke и Fki. Нека запишем основното уравнение на динамиката за всяка точка: или Нека сумираме тези уравнения за всички точки: От лявата страна на уравнението въведете масите под знака на производната и заменете сумата от производните с производната на сума: От дефиницията на центъра на масата: Заместете в полученото уравнение: След като извадим масата на системата от знака на производната, получаваме или: Произведението на масата на системата и ускорението на нейния център на маса е равен на главния вектор на външните сили. В проекции върху координатни оси: Центърът на масата на системата се движи като материална точка с маса, равна на масата на цялата система, към която се прилагат всички външни сили, действащи върху системата. Следствия от теоремата за движението на центъра на масата на системата (закони за запазване): 1. Ако в интервала от време главният вектор на външните сили на системата е нула, Re = 0, то скоростта на центъра на масата е постоянна, vC = const (центърът на масата се движи равномерно праволинейно - законът за запазване на центъра на движение на масата). 2. Ако в интервала от време проекцията на главния вектор на външните сили на системата върху оста x е нула, Rxe = 0, тогава скоростта на центъра на масата по оста x е постоянна, vCx = const ( центърът на масата се движи равномерно по оста). Подобни твърдения са верни за осите y и z. Пример: Двама души с маси m1 и m2 са в лодка с маса m3. В началния момент лодката с хора е била в покой. Определете водоизместването на лодката, ако човек с маса m2 се придвижи до носа на лодката на разстояние a. 3. Ако в интервала от време основният вектор на външните сили на системата е нула, Re = 0, а в началния момент скоростта на центъра на масата е нула, vC = 0, тогава радиус векторът на центъра на масата остава постоянна, rC = const (центърът на масата е в покой – закон за запазване на позицията на центъра на масата). 4. Ако в интервала от време проекцията на главния вектор на външните сили на системата върху оста x е нула, Rxe = 0, а в началния момент скоростта на центъра на масата по тази ос е нула, vCx = 0, тогава координатата на центъра на масата по оста x остава постоянна, xC = const (центърът на масата не се движи по тази ос). Подобни твърдения са верни за осите y и z. 1. Обект на движение (лодка с хора): 2. Изхвърлете връзките (вода): 3. Заменете връзката с реакция: 4. Добавете активни сили: 5. Напишете теоремата за центъра на масата: Проектирайте върху оста x: O Определете колко разстояние трябва да се придвижите до човек с маса m1, така че лодката да остане на място: Лодката ще се премести на разстояние l в обратна посока.

20 слайд

Лекция 7 Силов импулс - мярка механично взаимодействие, характеризиращ предаването на механичното движение от силите, действащи върху точка за даден период от време: 18 В проекции върху координатните оси: В случай на постоянна сила: В проекции върху координатните оси: Резултантният импулс е равен на геометричната сума на импулсите на силите, приложени към точката за същия период от време: Умножете по dt: Интегрирайте за даден период от време: Импулсът на точка е мярка за механично движение, определено от вектор, равен на произведението на масата на точка по вектора на нейната скорост: Теорема за промяната на импулса на система – Да разгледаме система от n материални точки. Разделяме силите, приложени към всяка точка, на външни и вътрешни и ги заместваме със съответните резултанти Fke и Fki. Нека запишем за всяка точка основното уравнение на динамиката: или Импулсът на система от материални точки е геометричната сума на количествата на движение на материалните точки: По дефиниция на центъра на масата: Импулсният вектор на системата е равна на произведението на масата на цялата система от вектора на скоростта на центъра на масата на системата. Тогава: В проекции върху координатните оси: Производната по време на вектора на импулса на системата е равна на главния вектор на външните сили на системата. Нека обобщим тези уравнения по всички точки: От лявата страна на уравнението въведете масите под знака на производната и заменете сумата на производните с производната на сумата: От дефиницията на импулса на системата: В проекции върху координатните оси:

21 слайда

Теорема на Ойлер – Приложение на теоремата за промяната на импулса на система към движение континуум(вода) . 1. Избираме като обект на движение обема вода, намиращ се в криволинейния канал на турбината: 2. Изхвърляме връзките и заменяме действието им с реакции (Rsur е резултантната на повърхностните сили) 3. Добавяме активни сили ( Rob е резултантната на обемните сили): 4. Записваме теоремата за промяната в импулса на системата: Представяме импулса на водата в моменти t0 и t1 като суми: Промяна в импулса на водата в интервала от време: Промяна в импулса на водата за безкрайно малък интервал от време dt: , където F1 F2 Като вземем произведението от плътност, площ на напречното сечение и скорост за втората маса, получаваме: Замествайки диференциала на импулса на системата в теоремата за промяната, получаваме: Следствия от теоремата за изменението на импулса на системата (закони за запазване): 1. Ако в интервала от време главният вектор на външните сили на системата е нула, Re = 0, то движението на вектора на величината е постоянно, Q = const – законът за запазване на импулса на системата). 2. Ако в интервала от време проекцията на главния вектор на външните сили на системата върху оста x е нула, Rxe = 0, тогава проекцията на импулса на системата върху оста x е постоянна, Qx = const . Подобни твърдения са верни за осите y и z. Лекция 7 (продължение от 7.2) Пример: Граната с маса M, летяща със скорост v, експлодира на две части. Скоростта на един от фрагментите с маса m1 нараства по посока на движението до стойност v1. Определете скоростта на втория фрагмент. 1. Обект на движение (граната): 2. Обектът е свободна система, няма връзки и техните реакции. 3. Добавете активни сили: 4. Напишете теоремата за промяната на импулса: Проектирайте върху оста: β Разделете променливите и интегрирайте: Десният интеграл е практически равен на нула, тъй като време на експлозия t

22 слайд

Лекция 7 (продължение 7.3) 20 Ъгловият импулс на точка или ъгловият импулс на точка спрямо някакъв център е мярка за механично движение, определено от вектор, равен на векторното произведение на радиус вектора на материална точка и вектора на неговия импулс: Ъгловият импулс на система от материални точки спрямо някакъв център е геометрична сумата от ъгловия импулс на всички материални точки спрямо същия център: В проекции на оста: В проекции на оста: Теорема за промяна ъгловият импулс на системата – Да разгледаме система от n материални точки. Разделяме силите, приложени към всяка точка, на външни и вътрешни и ги заместваме със съответните резултанти Fke и Fki. Нека запишем основното уравнение на динамиката за всяка точка: или Нека сумираме тези уравнения по всички точки: Нека заменим сумата от производните с производната на сумата: Изразът в скоби е ъгловият момент на системата. Следователно: Нека векторно умножим всяко от равенствата по радиус вектора отляво: Да видим дали е възможно да преместим знака на производната извън векторния продукт: Така получаваме: Производната на вектора на ъгловия момент на системата спрямо някакъв център е равен по време на главния момент на външните сили на системата спрямо същия център. В проекции върху координатни оси: Производната на момента на импулса на системата спрямо дадена ос във времето е равна на главния момент на външните сили на системата спрямо същата ос.

Слайд 23

Лекция 8 21 ■ Следствия от теоремата за промяната на ъгловия момент на системата (закони за запазване): 1. Ако в интервал от време векторът на главния момент на външните сили на системата спрямо някакъв център е нула, MOe = 0, тогава векторът на ъгловия момент на системата спрямо същата централна константа, KO = const – законът за запазване на ъгловия момент на системата). 2. Ако в интервала от време Основната точкавъншни сили на системата спрямо оста x е нула, Mxe = 0, тогава ъгловият момент на системата спрямо оста x е постоянен, Kx = const. Подобни твърдения са верни за осите y и z. 2. Инерционен момент на твърдо тяло спрямо оста: Инерционният момент на материална точка спрямо оста е равен на произведението на масата на точката по квадрата на разстоянието на точката до оста. Инерционният момент на твърдо тяло спрямо оста е равен на сумата от произведенията на масата на всяка точка и квадрата на разстоянието на тази точка до оста. ■ Елементи на теорията на инерционните моменти – При въртеливото движение на твърдо тяло мярката за инерция (съпротивление срещу промяна на движението) е инерционният момент спрямо оста на въртене. Нека разгледаме основните понятия за дефиниция и методи за изчисляване на инерционните моменти. 1. Инерционен момент на материална точка спрямо оста: При преминаване от дискретна малка маса към безкрайно малка маса на точка, границата на такава сума се определя от интеграла: аксиален инерционен момент на твърдо тяло. В допълнение към аксиалния инерционен момент на твърдо тяло има и други видове инерционни моменти: центробежен инерционен момент на твърдо тяло. полярен момент на инерция на твърдо тяло. 3. Теорема за инерционните моменти на твърдо тяло спрямо успоредни оси - формулата за преход към успоредни оси: Инерционен момент спрямо базовата ос Статични инерционни моменти спрямо базовите оси Маса на тялото Разстояние между осите z1 и z2 Така: Ако оста z1 минава през центъра на масата, тогава статичните моменти са нула:

24 слайд

Лекция 8 (продължение 8.2) 22 Инерционен момент на хомогенен прът с постоянно напречно сечение спрямо оста: x z L Изберете елементарния обем dV = Adx на разстояние x: x dx Елементарна маса: За да изчислите относителния инерционен момент към централната ос (минаваща през центъра на тежестта), достатъчно е да промените местоположението на оста и да зададете граници на интегриране (-L/2, L/2). Тук демонстрираме формулата за преход към успоредни оси: zC 5. Инерционният момент на хомогенен твърд цилиндър спрямо оста на симетрия: H dr r Нека изберем елементарния обем dV = 2πrdrH (тънък цилиндър с радиус r) : Елементарна маса: Тук се използва формулата за обема на цилиндъра V = πR2H. За да се изчисли инерционният момент на кух (дебел) цилиндър, е достатъчно да се зададат границите на интегриране от R1 до R2 (R2> R1): 6. Инерционният момент на тънък цилиндър спрямо оста на симетрия (t

25 слайд

Лекция 8 (продължение 8.3) 23 ■ Диференциално уравнение за въртенето на твърдо тяло около ос: Нека напишем теорема за промяната в кинетичния момент на твърдо тяло, въртящо се около неподвижна ос: Кинетичният момент на въртящо се твърдо тяло тяло е равно на: Моментът на външните сили спрямо оста на въртене е равен на въртящия момент (моментите на тежестта на реакцията и силата не създават): Заменяме кинетичния момент и въртящия момент в теоремата Пример: Двама души с еднакво тегло G1 = G2 висят на въже, хвърлено върху твърд блок с тегло G3 = G1/4. В един момент един от тях започна да се катери по въжето с относителна скорост u. Определете скоростта на изкачване на всеки човек. 1. Изберете обекта на движение (блок с хора): 2. Изхвърлете връзките (поддържащо устройство на блока): 3. Заменете връзката с реакции (лагер): 4. Добавете активни сили (сили на гравитация): 5. Напишете теоремата за промяната на кинетичния момент на системата спрямо оста на въртене на блока: R Тъй като моментът на външните сили е нула, кинетичният момент трябва да остане постоянен: В началния момент от време t = 0 имаше равновесие и Kz0 = 0. След като започне движението на един човек спрямо въжето, цялата система започва да се движи, но системата от кинетични моменти трябва да остане равна на нула: Kz = 0. Кинетичният момент на системата е сумата от кинетични моменти както на хората, така и на блока: Тук v2 е скоростта на втория човек, равно на скоросттакабел, Пример: Определете периода на малки свободни трептения на хомогенен прът с маса M и дължина l, окачен в единия край на фиксирана ос на въртене. Или: В случай на малки трептения sinφ φ: Период на трептене: Инерционен момент на пръта:

26 слайд

Лекция 8 (продължение от 8.4 - допълнителен материал) 24 ■ Елементарна теория на жироскопа: Жироскопът е твърдо тяло, въртящо се около ос на материална симетрия, една от точките на която е неподвижна. Свободен жироскоп - фиксиран така, че центърът му на масата да остане неподвижен, а оста на въртене минава през центъра на масата и може да заема произволно положение в пространството, т.е. оста на въртене променя позицията си подобно на оста на собственото въртене на тялото по време на сферично движение. Основното предположение на приблизителната (елементарна) теория на жироскопа е, че векторът на ъгловия момент (кинетичен момент) на ротора се счита за насочен по собствената му ос на въртене. Така, въпреки факта, че в общия случай роторът участва в три завъртания, се взема предвид само ъгловата скорост на собственото му въртене ω = dφ/dt. Причината за това е, че в съвременната технология роторът на жироскопа се върти с ъглова скорост от порядъка на 5000-8000 rad/s (около 50000-80000 rpm), докато другите две ъглови скорости са свързани с прецесията и нутацията на собствените му ос на въртене десетки хиляди пъти по-малка от тази скорост. Основното свойство на свободния жироскоп е, че оста на ротора поддържа постоянна посока в пространството по отношение на инерционната (звездна) отправна система (демонстрирано от махалото на Фуко, което поддържа равнината на люлеене непроменена по отношение на звездите, 1852 г.) . Това следва от закона за запазване на кинетичния момент спрямо центъра на масата на ротора, при условие че се пренебрегне триенето в лагерите на осите на окачване на ротора, външните и вътрешни рамки: Действието на силата върху оста на свободния жироскоп . В случай на сила, приложена към оста на ротора, моментът на външните сили спрямо центъра на масата не е равен на нула: ω ω C Производната на кинетичния момент по отношение на времето е равна на скоростта на края на този вектор (теорема на Ресал): Това означава, че оста на ротора ще се отклони в посока, различна от силата на действие, и към вектора на момента на тази сила, т.е. ще се върти не около оста x (вътрешно окачване), а около оста y (външно окачване). Когато силата спре, оста на ротора ще остане в непроменена позиция, съответстваща на последния момент на силата, т.к. от този момент във времето моментът на външните сили отново става равен на нула. При краткотрайна сила (удар) оста на жироскопа практически не променя позицията си. Така бързото въртене на ротора дава на жироскопа способността да противодейства на случайни влияния, които се стремят да променят позицията на оста на въртене на ротора, и с постоянна сила поддържа позицията на равнината, перпендикулярна на действащата сила, в която роторът ос лежи. Тези свойства се използват при работата на инерциални навигационни системи.

Преглед:тази статия е прочетена 32852 пъти

Pdf Изберете език... Руски Украински Английски

Кратък преглед

Целият материал се изтегля по-горе, след избор на език


  • Статика
    • Основни понятия от статиката
    • Видове сили
    • Аксиоми на статиката
    • Връзки и техните реакции
    • Система от събиращи се сили
      • Методи за определяне на резултантната система от събиращи се сили
      • Условия за равновесие на система от събиращи се сили
    • Силов момент спрямо центъра като вектор
      • Алгебрична стойност на момент на сила
      • Свойства на момента на силата спрямо центъра (точка)
    • Теория на силовата двойка
      • Събиране на две успоредни сили, насочени в една и съща посока
      • Събиране на две успоредни сили, насочени в различни посоки
      • Силови двойки
      • Двойка силови теореми
      • Условия за равновесие на система от двойки сили
    • Рамо на лоста
    • Произволна плоска система от сили
      • Случаи на редуциране на плоска система от сили до по-проста форма
      • Аналитични условия на равновесие
    • Център на успоредни сили. Център на тежестта
      • Център на паралелни сили
      • Център на тежестта на твърдо тяло и неговите координати
      • Център на тежестта на обем, равнина и права
      • Методи за определяне на положението на центъра на тежестта
  • Основи на силовите състезания
    • Цели и методи за якост на материалите
    • Класификация на товара
    • Класификация на структурните елементи
    • Деформация на пръта
    • Основни хипотези и принципи
    • Вътрешни сили. Метод на раздела
    • Напрежения
    • Опън и компресия
    • Механични характеристики на материала
    • Допустими напрежения
    • Твърдост на материалите
    • Диаграми на надлъжни сили и напрежения
    • Shift
    • Геометрични характеристики на сечения
    • Усукване
    • извивам
      • Диференциални зависимости при огъване
      • Якост на огъване
      • Нормални напрежения. Изчисляване на якостта
      • Напрежение на срязване при огъване
      • Твърдост на огъване
    • Елементи обща теориястресирано състояние
    • Теории за силата
    • Огъване с усукване
  • Кинематика
    • Кинематика на точка
      • Траектория на движение на точка
      • Методи за определяне на движение на точка
      • Точкова скорост
      • Точково ускорение
    • Кинематика на твърдото тяло
      • Постъпателно движение на твърдо тяло
      • Ротационно движение на твърдо тяло
      • Кинематика на зъбни предавки
      • Равнопаралелно движение на твърдо тяло
    • Сложно точково движение
  • Динамика
    • Основни закони на динамиката
    • Динамика на точка
      • Диференциални уравнения на свободна материална точка
      • Проблеми с динамиката на две точки
    • Динамика на твърдото тяло
      • Класификация на силите, действащи върху механична система
      • Диференциални уравнения на движение на механична система
    • Общи теореми на динамиката
      • Теорема за движението на центъра на масата на механична система
      • Теорема за промяна на импулса
      • Теорема за промяната на ъгловия момент
      • Теорема за промяната на кинетичната енергия
  • Сили, действащи в машините
    • Сили при зацепване на цилиндрично зъбно колело
    • Триене в механизми и машини
      • Триене при плъзгане
      • Триене при търкаляне
    • Ефективност
  • Машинни части
    • Механични предавки
      • Видове механични предавки
      • Основни и производни параметри на механични предавки
      • Предавки
      • Зъбни колела с гъвкави връзки
    • Валове
      • Предназначение и класификация
      • Проектно изчисление
      • Проверете изчислението на валовете
    • Лагери
      • Плъзгащи лагери
      • Търкалящи лагери
    • Свързване на машинни части
      • Видове разглобяеми и неразглобяеми връзки
      • Ключови връзки
  • Стандартизация на нормите, взаимозаменяемост
    • Допустими отклонения и разтоварвания
    • Единна система за прием и кацане (USDP)
    • Отклонение на формата и местоположението

Формат: pdf

Размер: 4MB

руски език

Пример за изчисление на цилиндрично зъбно колело
Пример за изчисляване на цилиндрично зъбно колело. Извършен е избор на материал, изчисляване на допустимите напрежения, изчисляване на контактна и якост на огъване.


Пример за решаване на задача за огъване на лъч
В примера са построени диаграми на напречни сили и огъващи моменти, намерено е опасно сечение и е избран I-лъч. Проблемът анализира изграждането на диаграми с помощта на диференциални зависимости, извършени сравнителен анализразлични напречни сечения на гредата.


Пример за решаване на задача с усукване на вал
Задачата е да се тества якостта на стоманен вал при даден диаметър, материал и допустимо напрежение. По време на решението се изграждат диаграми на въртящи моменти, напрежения на срязване и ъгли на усукване. Собственото тегло на вала не се взема предвид


Пример за решаване на задача за опън-натиск на прът
Задачата е да се тества якостта на стоманен прът при определени допустими напрежения. По време на решението се изграждат диаграми на надлъжни сили, нормални напрежения и премествания. Собственото тегло на пръта не се взема предвид


Приложение на теоремата за запазване на кинетичната енергия
Пример за решаване на задача с помощта на теоремата за запазване на кинетичната енергия на механична система



Определяне на скоростта и ускорението на точка чрез дадени уравнения на движение
Пример за решаване на задача за определяне на скоростта и ускорението на точка чрез дадени уравнения на движение


Определяне на скорости и ускорения на точки на твърдо тяло при плоскопаралелно движение
Пример за решаване на задача за определяне на скоростите и ускоренията на точки на твърдо тяло по време на равнинно-паралелно движение


Определяне на силите в прътите на плоска ферма
Пример за решаване на проблема за определяне на силите в прътите на плоска ферма по метода на Ritter и метода на рязане на възли

Лекции по теоретична механика

Динамика на точка

Лекция 1

    Основни понятия на динамиката

В глава Динамикаизучава се движението на телата под въздействието на приложени към тях сили. Следователно, в допълнение към тези понятия, които бяха въведени в раздел кинематика,тук е необходимо да се използват нови понятия, които отразяват спецификата на влиянието на силите върху различни тела и реакцията на телата към тези влияния. Нека разгледаме основните от тези понятия.

а) сила

Силата е количественият резултат от въздействието върху дадено тяло от други тела.Силата е векторна величина (фиг. 1).



Точка А от началото на вектора на силата ЕНаречен точка на прилагане на сила. Правата MN, върху която е разположен векторът на силата, се нарича линия на действие на силата.Дължината на вектора на силата, измерена в определен мащаб, се нарича числена стойност или големина на вектора на силата. Модулът на силата се означава като или. Действието на сила върху тялото се проявява или в неговата деформация, ако тялото е неподвижно, или в придаване на ускорение при движение на тялото. Дизайнът на различни устройства (силомери или динамометри) за измерване на сили се основава на тези прояви на сила.

б) система от сили

Разглежданата съвкупност от сили формира система от сили.Всяка система, състояща се от n сили, може да бъде записана в следната форма:

в) свободно тяло

Нарича се тяло, което може да се движи в пространството във всяка посока, без да изпитва пряко (механично) взаимодействие с други тела Безплатноили изолиран. Влиянието на дадена система от сили върху дадено тяло може да се изясни само ако това тяло е свободно.

г) резултатна сила

Ако някоя сила има същия ефект върху свободно тяло като някаква система от сили, тогава тази сила се нарича резултатна от дадена система от сили. Това е написано по следния начин:

,

какво означава еквивалентноствъздействие върху същото свободно тяло на резултантната и някаква система от n сили.

Нека сега преминем към разглеждане на по-сложни концепции, свързани с количественото определяне на ротационните ефекти на силите.

д) момент на сила спрямо точка (център)

Ако едно тяло под въздействието на сила може да се върти около някаква фиксирана точка O (фиг. 2), тогава за количествено определяне на този ротационен ефект се въвежда физична величина, която се нарича момент на сила спрямо точка (център).

Нарича се равнината, минаваща през дадена фиксирана точка и линията на действие на силата равнина на действие на силата. На фиг. 2 това е равнината OAB.

Моментът на сила спрямо точка (център) е векторно количество, равно на векторното произведение на радиус вектора на точката на прилагане на силата от вектора на силата:

( 1)

Съгласно правилото за векторно умножение на два вектора, тяхното векторно произведение е вектор, перпендикулярен на равнината на местоположението на факторните вектори (в този случай равнината на триъгълника OAB), насочен в посоката, от която е най-краткото въртене на първия фактор вектор към втория фактор вектор се вижда обратно на часовниковата стрелка (фиг. 2).При този ред на векторите на факторите на векторния продукт (1), въртенето на тялото под действието на силата ще бъде видимо обратно на часовниковата стрелка (фиг. 2) Тъй като векторът е перпендикулярен на равнината на действие на сила, разположението й в пространството определя положението на равнината на действие на силата Числената стойност на вектора на момента на силата спрямо центъра е равна на удвоената площ OAB и може да се определи по формулата:

, (2)

Където величинач, равно на най-късото разстояние от дадена точка О до линията на действие на силата, се нарича рамо на силата.

Ако положението на равнината на действие на силата в пространството не е от съществено значение за характеризиране на въртеливото действие на силата, тогава в този случай, за да характеризирате въртеливото действие на силата, вместо вектора на момента на силата, използвайте алгебричен момент на сила:

(3)

Алгебричният момент на сила спрямо даден център е равен на произведението на модула на силата и нейното рамо, взети със знак плюс или минус. В този случай положителният момент съответства на въртенето на тялото под действието на дадена сила обратно на часовниковата стрелка, а отрицателният момент съответства на въртенето на тялото по посока на часовниковата стрелка. От формули (1), (2) и (3) следва, че моментът на сила спрямо точка е нула само ако рамото на тази силачравно на нула. Такава сила не може да завърти тяло около дадена точка.

д) Силов момент около оста

Ако едно тяло, под въздействието на сила, може да се върти около някаква фиксирана ос (например въртенето на рамката на врата или прозорец в нейните панти при отварянето или затварянето им), тогава за количествено определяне на този ротационен ефект, физичната величина е въведена, която се нарича момент на сила около дадена ос.

z

b Fxy

Фигура 3 показва диаграма, в съответствие с която се определя моментът на сила спрямо оста z:

Ъгъл  се образува от две перпендикулярни посоки z и на равнините на триъгълниците O аби OAV, съответно. Тъй като  O абе проекцията на OAB върху равнината xy, тогава по теоремата на стереометрията за проекцията на плоска фигура върху дадена равнина имаме:

където знакът плюс съответства на положителна стойност на cos, т.е. остри ъгли , а знакът минус съответства на отрицателна стойност на cos, т.е. тъпи ъгли, което се определя от посоката на вектора . На свой ред SO аб=1/2abh, Където ч аб . Размер на сегмента абе равна на проекцията на силата върху равнината xy, т.е. . аб = Е xy .

Въз основа на горното, както и на равенства (4) и (5), ние определяме момента на силата спрямо оста z, както следва:

Равенство (6) ни позволява да формулираме следната дефиниция на момента на силата спрямо всяка ос: Моментът на сила спрямо дадена ос е равен на проекцията върху тази ос на вектора на момента на тази сила спрямо всяка ос точка на тази ос и се определя като произведението на проекцията на силата, взета със знак плюс или минус върху равнина, перпендикулярна на дадената ос върху рамото на тази проекция спрямо точката на пресичане на оста с равнината на проекцията . В този случай знакът на момента се счита за положителен, ако, гледайки от положителната посока на оста, въртенето на тялото около тази ос се вижда обратно на часовниковата стрелка. В противен случай моментът на сила спрямо оста се приема за отрицателен. Тъй като тази дефиниция на момента на силата около ос е доста трудна за запомняне, се препоръчва да запомните формула (6) и Фиг. 3, която обяснява тази формула.

От формула (6) следва, че моментът на силата спрямо оста е нула, акотя е успоредна на оста (в този случай нейната проекция върху равнината, перпендикулярна на оста, е нула), или линията на действие на силата пресича оста (тогава рамото на проекцията ч=0). Това напълно отговаря на физическия смисъл на момента на силата около ос като количествена характеристика на ротационното действие на сила върху тяло с ос на въртене.

ж) телесно тегло

Отдавна е забелязано, че под въздействието на сила тялото постепенно набира скорост и продължава да се движи, ако силата бъде премахната. Това свойство на телата да се противопоставят на промените в тяхното движение се нарича инерция или инертност на телата. Количествена мярка за инертността на тялото е неговата маса.Освен това, телесната маса е количествена мярка за ефекта на гравитационните сили върху дадено тялоКолкото по-голяма е масата на тялото, толкова по-голяма е гравитационната сила, която действа върху тялото.Както ще бъде показано по-долу, ъъъТези две определения за телесно тегло са свързани.

Останалите концепции и дефиниции на динамиката ще бъдат обсъдени по-късно в разделите, където се появяват за първи път.

2. Връзки и реакции на връзките

Преди това в раздел 1, параграф (c) беше дадено понятието свободно тяло като тяло, което може да се движи в пространството във всяка посока, без да е в пряк контакт с други тела. Повечето от реалните тела около нас са в пряк контакт с други тела и не могат да се движат в една или друга посока. Така например телата, разположени на повърхността на масата, могат да се движат във всяка посока, освен в посоката, перпендикулярна на повърхността на масата надолу. Вратите, фиксирани на панти, могат да извършват въртеливо движение, но не могат да се движат постъпателно и т.н. Телата, които не могат да се движат в пространството в една или друга посока, се наричат не е безплатно.

Всичко, което ограничава движението на дадено тяло в пространството, се нарича ограничения.Това може да са някакви други тела, които пречат на движението на това тяло в някои посоки ( физически връзки); в по-широк смисъл може да са някои условия, наложени върху движението на тялото, които ограничават това движение. По този начин може да се постави условието движението на материална точка да се извършва по дадена крива. В този случай връзката се определя математически под формата на уравнението ( уравнение на връзката). Въпросът за видовете връзки ще бъде разгледан по-подробно по-долу.

Повечето от връзките, наложени на телата, са практически физически връзки. Следователно възниква въпросът за взаимодействието на дадено тяло и връзката, наложена на това тяло. На този въпрос отговаря аксиомата за взаимодействието на телата: Две тела действат едно на друго с равни по големина сили, противоположни по посока и разположени на една и съща права линия. Тези сили се наричат ​​сили на взаимодействие. Силите на взаимодействие се прилагат към различни взаимодействащи тела. Така например, по време на взаимодействието на дадено тяло и връзка, една от силите на взаимодействие се прилага от страната на тялото към връзката, а другата сила на взаимодействие се прилага от страната на връзката към това тяло. Това последна силаНаречен сила на реакция на връзкатаили просто, комуникационна реакция.

При решаването на практически проблеми на динамиката е необходимо да можете да намерите посоката на реакциите на различни видове връзки. За това понякога може да помогне общо правило за определяне на посоката на реакция на връзка: Реакцията на връзка винаги е насочена обратно на посоката, в която тази връзка пречи на движението на дадено тяло. Ако тази посока може да бъде определена определено, тогава реакцията на връзката ще се определя от посоката. В противен случай посоката на реакцията на свързване е несигурна и може да бъде намерена само от съответните уравнения на движение или равновесие на тялото. Въпросът за видовете връзки и посоката на техните реакции трябва да се проучи по-подробно с помощта на учебника: S.M. Тарг Кратък курс по теоретична механика "Висше училище", М., 1986 г. Глава 1, §3.

В раздел 1, параграф (c) беше казано, че влиянието на всяка система от сили може да бъде напълно определено само ако тази система от сили се приложи към свободно тяло. Тъй като повечето тела в действителност не са свободни, тогава, за да се изследва движението на тези тела, възниква въпросът как да направим тези тела свободни. Този въпрос е отговорен аксиома на лекционните връзки отфилософия у дома. Лекциибяха... социална психологияи народопсихология. 3. Теоретиченрезултати В социалния дарвинизъм имаше...

  • Теоретичен Механика

    Учебно ръководство >> Физика

    Резюме лекции отпредмет ТЕОРЕТИЧЕН МЕХАНИКАЗа студенти от специалността: 260501.65 ... - редовно Забележки лекциисъставен въз основа на: Butorin L.V., Busygina E.B. Теоретичен Механика. Учебно-практическо помагало...

    • Като част от всеки образователен курс изучаването на физика започва с механика. Не от теоретична, не от приложна или изчислителна, а от добрата стара класическа механика. Тази механика се нарича още Нютонова механика. Според легендата един учен се разхождал в градината, видял ябълка да пада и именно това явление го подтикнало да открие закона универсална гравитация. Разбира се, законът винаги е съществувал и Нютон му е дал само разбираема за хората форма, но неговата заслуга е безценна. В тази статия няма да описваме законите на Нютоновата механика възможно най-подробно, но ще очертаем основите, основните знания, дефинициите и формулите, които винаги могат да ви помогнат.

    Механиката е дял от физиката, наука, която изучава движението на материалните тела и взаимодействията между тях.

    Самата дума е от гръцки произход и се превежда като „изкуството за изграждане на машини“. Но преди да построим машини, ние все още сме като Луната, така че нека следваме стъпките на нашите предци и да изучаваме движението на камъни, хвърлени под ъгъл спрямо хоризонта, и ябълки, падащи върху главите ни от височина h.


    Защо изучаването на физиката започва с механиката? Тъй като това е напълно естествено, не трябва ли да започнем с термодинамичното равновесие?!

    Механиката е една от най-старите науки и исторически изучаването на физиката започва именно с основите на механиката. Поставени в рамките на времето и пространството, хората всъщност не биха могли да започнат с нещо друго, колкото и да им се искаше. Движещите се тела са първото нещо, на което обръщаме внимание.

    Какво е движение?

    Механичното движение е промяна в положението на телата в пространството едно спрямо друго във времето.

    След това определение съвсем естествено стигаме до понятието референтна рамка. Промяна на положението на телата в пространството едно спрямо друго. Ключови думиТук: един спрямо друг . В края на краищата, пътник в кола се движи спрямо човека, който стои отстрани на пътя, с определена скорост и е в покой спрямо съседа си на седалката до него и се движи с друга скорост спрямо пътника в колата, която ги изпреварва.


    Ето защо, за да измерваме нормално параметрите на движещи се обекти и да не се объркаме, имаме нужда отправна система - твърдо свързани помежду си отправно тяло, координатна система и часовник. Например, земята се движи около слънцето хелиоцентрична системаобратно броене. В ежедневието ние извършваме почти всички наши измервания в геоцентрична референтна система, свързана със Земята. Земята е референтно тяло, спрямо което се движат автомобили, самолети, хора и животни.


    Механиката като наука има своя задача. Задачата на механиката е да знае положението на тялото в пространството по всяко време. С други думи, механиката изгражда математическо описание на движението и намира връзки между физични величини, които го характеризират.

    За да продължим напред, се нуждаем от концепцията „ материална точка " Казват физиката - точна наука, но физиците знаят колко много приближения и предположения трябва да бъдат направени, за да се постигне съгласие относно точно тази точност. Никой никога не е виждал материална точка или е помирисвал идеален газ, но те съществуват! Просто с тях се живее много по-лесно.

    Материална точка е тяло, чийто размер и форма могат да бъдат пренебрегнати в контекста на тази задача.

    Раздели на класическата механика

    Механиката се състои от няколко раздела

    • Кинематика
    • Динамика
    • Статика

    Кинематикаот физическа гледна точка изучава как точно се движи едно тяло. С други думи, този раздел се занимава количествени характеристикидвижения. Намерете скорост, път - типични кинематични проблеми

    Динамикарешава въпроса защо се движи по този начин. Тоест, той отчита силите, действащи върху тялото.

    Статикаизучава равновесието на телата под въздействието на сили, тоест отговаря на въпроса: защо изобщо не пада?

    Граници на приложимост на класическата механика

    Класическа механикавече не претендира да бъде наука, която обяснява всичко (в началото на миналия век всичко беше съвсем различно), и има ясна рамка на приложимост. Като цяло законите на класическата механика са валидни в света, с който сме свикнали по размери (макросвят). Те спират да работят в случая със света на частиците, когато квантовата механика замени класическата механика. Също така класическата механика не е приложима в случаите, когато движението на телата се извършва със скорост, близка до скоростта на светлината. В такива случаи релативистките ефекти стават ясно изразени. Грубо казано, в рамките на квантовата и релативистката механика - класическата механика, това е частен случай, когато размерите на тялото са големи, а скоростта е малка.


    Най-общо казано, квантовите и релативистичните ефекти никога не изчезват; те се появяват и при обикновеното движение на макроскопични тела със скорост, много по-ниска от скоростта на светлината. Друго нещо е, че ефектът от тези ефекти е толкова малък, че не надхвърля най-точните измервания. По този начин класическата механика никога няма да загуби фундаменталното си значение.

    Ще продължим да учим физически основимеханика в следващите статии. За по-добро разбиране на механиката винаги можете да се обърнете към на нашите автори, които индивидуално ще хвърлят светлина върху тъмното петно ​​на най-трудната задача.

    Теоретична механикае раздел от механиката, който излага основните закони на механичното движение и механичното взаимодействие на материалните тела.

    Теоретичната механика е наука, която изучава движението на телата във времето (механични движения). Тя служи като основа за други клонове на механиката (теория на еластичността, якост на материалите, теория на пластичността, теория на механизмите и машините, хидроаеродинамика) и много технически дисциплини.

    Механично движение- това е изменение във времето на взаимното разположение в пространството на материалните тела.

    Механично взаимодействие- това е взаимодействие, в резултат на което се променя механичното движение или се променя взаимното положение на частите на тялото.

    Статика на твърдото тяло

    Статикае раздел от теоретичната механика, който се занимава с проблемите на равновесието на твърдите тела и превръщането на една система от сили в друга, еквивалентна на нея.

      Основни понятия и закони на статиката
    • Абсолютно твърдо тяло(твърдо тяло, тяло) е материално тяло, разстоянието между точките в което не се променя.
    • Материална точкае тяло, чиито размери според условията на задачата могат да бъдат пренебрегнати.
    • Свободно тяло- това е тяло, върху движението на което не се налагат ограничения.
    • Несвободно (обвързано) тялое тяло, чието движение подлежи на ограничения.
    • Връзки– това са тела, които възпрепятстват движението на съответния обект (тяло или система от тела).
    • Комуникационна реакцияе сила, която характеризира действието на връзка върху твърдо тяло. Ако считаме силата, с която едно твърдо тяло действа върху връзка, за действие, тогава реакцията на връзката е реакция. В този случай силата - действие се прилага към връзката, а реакцията на връзката се прилага към твърдото тяло.
    • Механична системае колекция от взаимосвързани тела или материални точки.
    • Твърдиможе да се разглежда като механична система, чиито позиции и разстояния между точките не се променят.
    • Силае векторна величина, характеризираща механичното действие на един материално тялона друг.
      Силата като вектор се характеризира с точка на приложение, посока на действие и абсолютна стойност. Единицата за модул на сила е Нютон.
    • Линия на действие на силатае права линия, по която е насочен векторът на силата.
    • Фокусирана сила– сила, приложена в една точка.
    • Разпределени сили (разпределено натоварване)- това са сили, действащи върху всички точки от обема, повърхността или дължината на едно тяло.
      Разпределеното натоварване се определя от силата, действаща на единица обем (повърхност, дължина).
      Измерение разпределен товар– N/m 3 (N/m 2, N/m).
    • Външна силае сила, действаща от тяло, което не принадлежи към разглежданата механична система.
    • Вътрешна силае сила, действаща върху материална точка на механична система от друга материална точка, принадлежаща на разглежданата система.
    • Силова системае набор от сили, действащи върху механична система.
    • Система с плоска силае система от сили, чиито линии на действие лежат в една и съща равнина.
    • Пространствена система от силие система от сили, чиито линии на действие не лежат в една и съща равнина.
    • Система от събиращи се силие система от сили, чиито линии на действие се пресичат в една точка.
    • Произволна система от силие система от сили, чиито линии на действие не се пресичат в една точка.
    • Еквивалентни силови системи- това са системи от сили, чиято замяна една с друга не променя механичното състояние на тялото.
      Прието обозначение: .
    • Равновесие- това е състояние, при което тяло под действието на сили остава неподвижно или се движи равномерно праволинейно.
    • Балансирана система от сили- това е система от сили, която при прилагане към свободно твърдо тяло не променя механичното си състояние (не го изважда от равновесие).
      .
    • Резултатна силае сила, чието действие върху тялото е еквивалентно на действието на система от сили.
      .
    • Момент на силае величина, характеризираща ротационната способност на дадена сила.
    • Двойка силие система от две успоредни сили с еднаква величина и противоположно насочени.
      Прието обозначение: .
      Под въздействието на двойка сили тялото ще извърши въртеливо движение.
    • Проекция на сила върху оста- това е сегмент, затворен между перпендикуляри, изтеглени от началото и края на вектора на силата към тази ос.
      Проекцията е положителна, ако посоката на отсечката съвпада с положителната посока на оста.
    • Проекция на сила върху равнинае вектор в равнина, затворен между перпендикуляри, прекарани от началото и края на вектора на силата към тази равнина.
    • Закон 1 (закон за инерцията).Изолирана материална точка е в покой или се движи равномерно и праволинейно.
      Равномерното и праволинейно движение на материална точка е движение по инерция. Състоянието на равновесие на материална точка и твърдо тяло се разбира не само като състояние на покой, но и като движение по инерция. За твърдо тяло има различни видове движение по инерция, например равномерно въртене на твърдо тяло около фиксирана ос.
    • Закон 2.Твърдото тяло е в равновесие под действието на две сили само ако тези сили са еднакви по големина и насочени в една и съща посока. противоположни странипо общата линия на действие.
      Тези две сили се наричат ​​балансиращи.
      Най-общо силите се наричат ​​уравновесени, ако твърдото тяло, към което са приложени тези сили, е в покой.
    • Закон 3.Без да се нарушава състоянието (думата „състояние“ тук означава състояние на движение или покой) на твърдо тяло, може да се добавят и отхвърлят балансиращи сили.
      Последица. Без да се нарушава състоянието на твърдото тяло, силата може да се прехвърли по линията на действие до всяка точка на тялото.
      Две системи от сили се наричат ​​еквивалентни, ако едната от тях може да бъде заменена с друга, без да се нарушава състоянието на твърдото тяло.
    • Закон 4.Резултатът от две сили, приложени в една точка, приложени в една и съща точка, е равен по големина на диагонала на успоредник, изграден върху тези сили, и е насочен по тази
      диагонали.
      Абсолютната стойност на резултата е:
    • Закон 5 (закон за равенството на действието и реакцията). Силите, с които две тела действат едно върху друго, са равни по големина и са насочени в противоположни посоки по една и съща права линия.
      Трябва да се има предвид, че действие- сила, приложена към тялото б, И опозиция- сила, приложена към тялото А, не са балансирани, тъй като се прилагат към различни тела.
    • Закон 6 (закон за втвърдяването). Равновесието на нетвърдо тяло не се нарушава при втвърдяването му.
      Не трябва да се забравя, че условията на равновесие, които са необходими и достатъчни за едно твърдо тяло, са необходими, но недостатъчни за съответното нетвърдо тяло.
    • Закон 7 (закон за еманципация от връзки).Несвободното твърдо тяло може да се счита за свободно, ако е мислено освободено от връзки, замествайки действието на връзките със съответните реакции на връзките.
      Връзки и техните реакции
    • Гладка повърхностограничава движението нормално спрямо опорната повърхност. Реакцията е насочена перпендикулярно на повърхността.
    • Шарнирна подвижна опораограничава движението на тялото нормално към базовата равнина. Реакцията е насочена нормално към опорната повърхност.
    • Шарнирна фиксирана опорапротиводейства на всяко движение в равнина, перпендикулярна на оста на въртене.
    • Шарнирен безтегловен прътпротиводейства на движението на тялото по линията на пръта. Реакцията ще бъде насочена по линията на пръта.
    • Сляп печатпротиводейства на всяко движение и въртене в равнината. Неговото действие може да бъде заменено със сила, представена под формата на два компонента и двойка сили с момент.

    Кинематика

    Кинематика- раздел от теоретичната механика, който разглежда общите геометрични свойства на механичното движение като процес, протичащ в пространството и времето. Движещите се обекти се разглеждат като геометрични точки или геометрични тела.

      Основни понятия на кинематиката
    • Закон за движение на точка (тяло)– това е зависимостта на положението на точка (тяло) в пространството от времето.
    • Точкова траектория– това е геометричното разположение на точка в пространството по време на нейното движение.
    • Скорост на точка (тяло)– това е характеристика на изменението във времето на положението на точка (тяло) в пространството.
    • Ускорение на точка (тяло)– това е характеристика на изменението във времето на скоростта на точка (тяло).
      Определяне на кинематични характеристики на точка
    • Точкова траектория
      Във векторна отправна система траекторията се описва с израза: .
      В координатната референтна система траекторията се определя от закона за движение на точката и се описва с изразите z = f(x,y)- в космоса, или y = f(x)- в самолет.
      В естествената референтна система траекторията е зададена предварително.
    • Определяне на скоростта на точка във векторна координатна система
      При определяне на движението на точка във векторна координатна система съотношението на движението към интервал от време се нарича средна стойност на скоростта за този интервал от време: .
      Приемайки времевия интервал за безкрайно малък, получаваме стойността на скоростта в този моментвреме (моментна стойност на скоростта): .
      вектор Средната скоростнасочен по вектора по посока на движението на точката, вектор моментна скоростнасочена тангенциално към траекторията по посока на движението на точката.
      Заключение: скоростта на една точка е векторна величина, равна на производната по време на закона за движение.
      Производно свойство: производната на всяка величина по отношение на времето определя скоростта на промяна на тази величина.
    • Определяне на скоростта на точка в координатна отправна система
      Скорост на промяна на координатите на точката:
      .
      Модулът на пълната скорост на точка с правоъгълна координатна система ще бъде равен на:
      .
      Посоката на вектора на скоростта се определя от косинусите на насочващите ъгли:
      ,
      където са ъглите между вектора на скоростта и координатните оси.
    • Определяне на скоростта на точка в естествена отправна система
      Скоростта на точка в естествената референтна система се определя като производна на закона за движение на точката: .
      Според предходните заключения векторът на скоростта е насочен тангенциално към траекторията в посоката на движение на точката и в осите се определя само от една проекция.
      Кинематика на твърдото тяло
    • В кинематиката на твърдите тела се решават два основни проблема:
      1) настройка на движението и определяне на кинематичните характеристики на тялото като цяло;
      2) определяне на кинематичните характеристики на точките на тялото.
    • Постъпателно движение на твърдо тяло
      Транслационното движение е движение, при което права линия, прекарана през две точки на тяло, остава успоредна на първоначалното си положение.
      Теорема: по време на транслационно движение всички точки на тялото се движат по еднакви траектории и във всеки момент имат еднаква величина и посока на скорост и ускорение.
      Заключение: транслационното движение на твърдо тяло се определя от движението на всяка от неговите точки и следователно задачата и изследването на неговото движение се свежда до кинематиката на точката.
    • Въртеливо движение на твърдо тяло около неподвижна ос
      Ротационното движение на твърдо тяло около фиксирана ос е движението на твърдо тяло, при което две точки, принадлежащи на тялото, остават неподвижни през цялото време на движение.
      Положението на тялото се определя от ъгъла на завъртане. Мерната единица за ъгъл е радиан. (Радиан - централен ъгълна окръжност, чиято дължина на дъгата е равна на радиуса, съдържа общият ъгъл на окръжността 2πрадиан.)
      закон въртеливо движениетела около фиксирана ос.
      Определяме ъгловата скорост и ъгловото ускорение на тялото, като използваме метода на диференциация:
      — ъглова скорост, rad/s;
      — ъглово ускорение, rad/s².
      Ако разрязвате тялото с равнина, перпендикулярна на оста, изберете точка на оста на въртене СЪСи произволна точка М, след това точка Мще опише около точка СЪСрадиус на кръга Р. По време на дтима елементарно завъртане през ъгъл , и точката Мще се движи по траекторията на разстояние .
      Модул за линейна скорост:
      .
      Точково ускорение Мс известна траектория се определя от неговите компоненти:
      ,
      Където .
      В резултат на това получаваме формулите
      тангенциално ускорение: ;
      нормално ускорение: .

    Динамика

    Динамикае раздел от теоретичната механика, в който се изучават механичните движения на материалните тела в зависимост от причините, които ги предизвикват.

      Основни понятия на динамиката
    • Инерция- това е свойството на материалните тела да поддържат състояние на покой или равномерно праволинейно движение, докато външни сили не променят това състояние.
    • Теглое количествена мярка за инертността на тялото. Единицата за маса е килограм (kg).
    • Материална точка- това е тяло с маса, чиито размери се пренебрегват при решаването на тази задача.
    • Център на масата на механична система- геометрична точка, чиито координати се определят по формулите:

      Където m k, x k, y k, z k— маса и координати к- тази точка на механичната система, м— маса на системата.
      В еднородно гравитационно поле положението на центъра на масата съвпада с положението на центъра на тежестта.
    • Инерционният момент на материално тяло спрямо осе количествена мярка за инерцията по време на въртеливо движение.
      Инерционният момент на материална точка спрямо оста е равен на произведението на масата на точката по квадрата на разстоянието на точката от оста:
      .
      Инерционният момент на системата (тялото) спрямо оста е равен на аритметична сумаинерционни моменти на всички точки:
    • Инерционна сила на материална точкае векторна величина, равна по модул на произведението на масата на точка и модула на ускорението и насочена противоположно на вектора на ускорението:
    • Инерционната сила на материално тялое векторна величина, равна по модул на произведението на масата на тялото и модула на ускорение на центъра на масата на тялото и насочена срещуположно на вектора на ускорението на центъра на масата: ,
      където е ускорението на центъра на масата на тялото.
    • Елементарен импулс на силае векторна величина, равна на произведението на вектора на силата и безкрайно малък период от време дт:
      .
      Общият импулс на сила за Δt е равен на интеграла от елементарните импулси:
      .
    • Елементарна работа на силатае скаларна величина dA, равен на скаларния прои

    Подобни материали

    Рибников Юрий Степанович - Единна система за знания
    Презентации

    Рибников Юрий Степанович - Единна система за знания

    Омар Хайям - цитати, афоризми и мъдри поговорки Цитати на Омар Хайям за любовта от разстояние
    Презентации

    Омар Хайям - цитати, афоризми и мъдри поговорки Цитати на Омар Хайям за любовта от разстояние

    Воронежско пожаротехническо училище (VPTU MES)
    Презентации

    Воронежско пожаротехническо училище (VPTU MES)