Теорема на Гаус за електрическа индукция (електрическо изместване). Теорема на Остроградски–Гаус Теорема на Гаус за нютоновата гравитация

Закон за взаимодействие електрически заряди- Закон на Кулон - може да се формулира по различен начин, под формата на т. нар. теорема на Гаус. Теоремата на Гаус се получава като следствие от закона на Кулон и принципа на суперпозицията. Доказателството се основава на обратната пропорционалност на силата на взаимодействие между два точкови заряда на квадрата на разстоянието между тях. Следователно теоремата на Гаус е приложима към всяко физическо поле, където законът на обратните квадрати и принципът на суперпозицията се прилагат, например към гравитационното поле.

Ориз. 9. Линии на напрегнатост на електрическото поле на точков заряд, пресичащ затворена повърхност X

За да формулираме теоремата на Гаус, нека се върнем към картината на силовите линии на електрическото поле на неподвижен точков заряд. Силовите линии на самотен точков заряд са симетрично разположени радиални прави линии (фиг. 7). Можете да нарисувате произволен брой такива линии. Нека означим техния общ брой с Тогава плътността на линиите на полето на разстояние от заряда, т.е. броят на линиите, пресичащи единица повърхност на сфера с радиус, е равен на Сравнявайки тази зависимост с израза за силата на полето на точков заряд (4), виждаме, че плътността на линиите е пропорционална на силата на полето. Можем да направим тези количества числено равни, като правилно изберем общия брой линии на полето N:

По този начин повърхността на сфера с произволен радиус, обхващаща точков заряд, пресича същия брой силови линии. Това означава, че силовите линии са непрекъснати: в интервала между всеки две концентрични сфери с различни радиуси нито една от линиите не се прекъсва и не се добавят нови. Тъй като линиите на полето са непрекъснати, същият брой линии на полето пресича всяка затворена повърхност (фиг. 9), покриваща заряда

Силовите линии имат посока. В случай на положителен заряд, те излизат от затворената повърхност около заряда, както е показано на фиг. 9. В случай на отрицателен заряд, те отиват вътре в повърхността. Ако броят на изходящите линии се счита за положителен, а броят на входящите линии е отрицателен, тогава във формула (8) можем да пропуснем знака на модула на заряда и да го напишем във формата

Поток от напрежение.Нека сега въведем понятието поток на вектор на напрегнатост на полето през повърхност. Едно произволно поле може мислено да бъде разделено на малки области, в които интензитетът се променя по величина и посока толкова малко, че в тази област полето може да се счита за еднородно. Във всяка такава област силовите линии са успоредни прави линии и имат постоянна плътност.

Ориз. 10. Да се ​​определи потокът на вектора на напрегнатостта на полето през обекта

Нека разгледаме колко силови линии проникват в малка област, посоката на нормалата към която образува ъгъл a с посоката на линиите на опън (фиг. 10). Нека е проекция върху равнина, перпендикулярна на силовите линии. Тъй като броят на пресичащите се линии е еднакъв и плътността на линиите, според приетото условие, е равна на модула на силата на полето E, тогава

Стойността a е проекцията на вектора E върху посоката на нормалата към мястото

Следователно броят на електропроводите, пресичащи района, е равен на

Продуктът се нарича поток от напрегнатост на полето през повърхността Формула (10) показва, че потокът на вектора E през повърхността равно на числотосилови линии, пресичащи тази повърхност. Обърнете внимание, че потокът на вектора на интензитета, подобно на броя на силовите линии, преминаващи през повърхността, е скаларен.

Ориз. 11. Поток на вектора на напрежение E през обекта

Зависимостта на потока от ориентацията на площадката спрямо силовите линии е илюстрирана на фиг.

Потокът на напрегнатост на полето през произволна повърхност е сумата от потоците през елементарните области, на които тази повърхност може да бъде разделена. По силата на съотношенията (9) и (10) може да се каже, че потокът на напрегнатостта на полето на точков заряд през всяка затворена повърхност 2, обгръщаща заряда (виж Фиг. 9), като броят на силовите линии, излизащи от тази повърхност е равна на.В този случай нормалният вектор към елементарните зони затворена повърхност трябва да бъде насочен навън. Ако зарядът вътре в повърхността е отрицателен, тогава линиите на полето влизат вътре в тази повърхност и потокът на вектора на силата на полето, свързан със заряда, също е отрицателен.

Ако има няколко заряда вътре в затворена повърхност, тогава в съответствие с принципа на суперпозицията потоците на техните напрегнати полета ще се сумират. Общият поток ще бъде равен на където под трябва да се разбира като алгебрична сума на всички заряди, разположени вътре в повърхността.

Ако вътре в затворена повърхност няма електрически заряди или алгебричната им сума е нула, тогава общият поток на напрегнатост на полето през тази повърхност е нула: колкото силови линии влизат в обема, ограничен от повърхността, толкова и излизат.

Сега най-накрая можем да формулираме теоремата на Гаус: потокът на вектора на напрегнатост на електрическото поле E във вакуум през всяка затворена повърхност е пропорционален на общия заряд, разположен вътре в тази повърхност. Математически теоремата на Гаус се изразява със същата формула (9), където под се има предвид алгебричната сума на зарядите. В абсолютен електростатичен

в системата от единици SGSE коефициентът и теоремата на Гаус са записани във формата

В SI и потокът на напрежение през затворена повърхност се изразява с формулата

Теоремата на Гаус се използва широко в електростатиката. В някои случаи може да се използва за лесно изчисляване на полета, създадени от симетрично разположени заряди.

Полета на симетрични източници.Нека приложим теоремата на Гаус, за да изчислим интензитета на електрическото поле, равномерно заредено върху повърхността на топка с радиус . За категоричност ще приемем заряда му за положителен. Разпределението на зарядите, създаващи полето, има сферична симетрия. Следователно полето също има същата симетрия. Силовите линии на такова поле са насочени по радиусите, а модулът на интензитета е еднакъв във всички точки, еднакво отдалечени от центъра на топката.

За да намерим напрегнатостта на полето на разстояние от центъра на топката, нека начертаем мислено сферична повърхност с радиус, концентричен с топката.Тъй като във всички точки на тази сфера напрегнатостта на полето е насочена перпендикулярно на нейната повърхност и е същото по абсолютна стойност, потокът на интензитета е просто равен на произведението на силата на полето и повърхността на сферата:

Но това количество може да бъде изразено и с помощта на теоремата на Гаус. Ако се интересуваме от полето извън топката, т.е. тогава, например, в SI и, сравнявайки с (13), намираме

В системата от единици SGSE, очевидно,

По този начин извън топката силата на полето е същата като тази на точков заряд, поставен в центъра на топката. Ако се интересуваме от полето вътре в топката, т.е. тогава, тъй като целият заряд, разпределен по повърхността на топката, се намира извън сферата, която мислено сме начертали. Следователно в топката няма поле:

По подобен начин, използвайки теоремата на Гаус, може да се изчисли електростатичното поле, създадено от безкрайно зареден

равнина с постоянна плътност във всички точки на равнината. От съображения за симетрия можем да приемем, че силовите линии са перпендикулярни на равнината, насочени от нея в двете посоки и имат еднаква плътност навсякъде. Наистина, ако плътността на линиите на полето в различни точки беше различна, тогава преместването на заредена равнина покрай себе си би довело до промяна в полето в тези точки, което противоречи на симетрията на системата - такова изместване не трябва да променя полето. С други думи, полето на една безкрайна равномерно заредена равнина е еднородно.

Като затворена повърхност за прилагане на теоремата на Гаус избираме повърхността на цилиндър, конструирана по следния начин: образуващата на цилиндъра е успоредна на силовите линии, а основите имат площи, успоредни на заредената равнина и лежат на противоположните й страни (фиг. 12). Потокът на силата на полето през страничната повърхност е нула, така че общият поток през затворената повърхност е равен на сумата от потоците през основите на цилиндъра:

Ориз. 12. Към изчисляване на напрегнатостта на полето на равномерно заредена равнина

Съгласно теоремата на Гаус същият поток се определя от заряда на тази част от равнината, която лежи вътре в цилиндъра, а в SI е равен на Сравнявайки тези изрази за потока, намираме

В системата SGSE силата на полето на еднакво заредена безкрайна равнина се дава по формулата

За равномерно заредена плоча с крайни размери получените изрази са приблизително валидни в област, разположена достатъчно далеч от краищата на плочата и не твърде далеч от нейната повърхност. Близо до краищата на плочата полето вече няма да е еднородно и неговите полеви линии ще бъдат огънати. При много големи разстояния в сравнение с размера на плочата, полето намалява с разстоянието по същия начин, както полето на точков заряд.

Други примери за полета, създадени от симетрично разпределени източници, включват полето на равномерно заредена по дължина безкрайна праволинейна нишка, полето на равномерно зареден безкраен кръгъл цилиндър, полето на топка,

равномерно заредени в целия обем и т.н. Теоремата на Гаус позволява лесно да се изчисли силата на полето във всички тези случаи.

Теоремата на Гаус дава връзка между полето и неговите източници, в известен смисъл противоположна на тази, дадена от закона на Кулон, която позволява да се определи електрическото поле от дадени заряди. Използвайки теоремата на Гаус, можете да определите общия заряд във всяка област на пространството, в която разпределението на електрическото поле е известно.

Каква е разликата между понятията за действие на далечни и къси разстояния при описание на взаимодействието на електрическите заряди? До каква степен тези концепции могат да бъдат приложени към гравитационните взаимодействия?

Какво е напрегнатост на електрическото поле? Какво означават, когато се нарича силова характеристика на електрическото поле?

Как може да се прецени посоката и големината на силата на полето в определена точка от модела на силовите линии?

Могат ли линиите на електрическото поле да се пресичат? Обосновете отговора си.

Начертайте добра картина на линиите на полето електростатично поледве такси, такива че .

Потокът на напрегнатост на електрическото поле през затворена повърхност се дава от различни формули(11) и (12) в системите единици GSE и SI. Как това е свързано с геометричен смисълпоток, определен от броя на силовите линии, пресичащи повърхността?

Как да използваме теоремата на Гаус, за да намерим силата на електрическото поле, когато зарядите, които го създават, са симетрично разпределени?

Как да приложим формули (14) и (15), за да изчислим силата на полето на топка с отрицателен заряд?

Теорема на Гаус и геометрия физическо пространство. Нека да разгледаме доказателството на теоремата на Гаус от малко по-различна гледна точка. Нека се върнем към формула (7), от която се заключава, че същият брой силови линии преминава през всяка сферична повърхност, заобикаляща заряд. Този извод се дължи на факта, че има намаляване на знаменателите и на двете страни на равенството.

От дясната страна възниква поради факта, че силата на взаимодействие между зарядите, описана от закона на Кулон, е обратно пропорционална на квадрата на разстоянието между зарядите. От лявата страна външният вид е свързан с геометрията: повърхността на една сфера е пропорционална на квадрата на нейния радиус.

Пропорционалността на площта на повърхността спрямо квадрата на линейните размери е отличителна чертаЕвклидова геометрия в триизмерното пространство. Наистина, пропорционалността на площите точно на квадратите на линейните размери, а не на друга цяло число, е характерна за пространството

три измерения. Фактът, че този показател е точно равен на две и не се различава от две, дори и с пренебрежимо малко, показва, че това триизмерно пространство не е извито, т.е. че неговата геометрия е точно евклидова.

По този начин теоремата на Гаус е проявление на свойствата на физическото пространство в основния закон за взаимодействие на електрическите заряди.

Идеята за тясна връзка между основните закони на физиката и свойствата на пространството беше изразена от много изключителни умове много преди самите тези закони да бъдат установени. Така И. Кант, три десетилетия преди откриването на закона на Кулон, пише за свойствата на пространството: „Триизмерността възниква, очевидно, защото веществата в съществуващ святдействат един върху друг по такъв начин, че силата на действие е обратно пропорционална на квадрата на разстоянието.

Законът на Кулон и теоремата на Гаус всъщност представляват един и същ природен закон, изразен в различни форми. Законът на Кулон отразява концепцията за действие на далечни разстояния, докато теоремата на Гаус идва от идеята за запълване на пространството от силово поле, т.е. от концепцията за действие на къси разстояния. В електростатиката източникът на силовото поле е заряд и характеристиката на полето, свързано с източника - потокът от интензитет - не може да се промени в празно пространство, където няма други заряди. Тъй като потокът може да бъде визуално представен като набор от линии на полето, неизменността на потока се проявява в непрекъснатостта на тези линии.

Теоремата на Гаус, основана на обратната пропорционалност на взаимодействието на квадрата на разстоянието и на принципа на суперпозицията (адитивност на взаимодействието), е приложима за всяко физическо поле, в което действа обратният квадратичен закон. По-специално това важи и за гравитационното поле. Ясно е, че това не е просто съвпадение, а отражение на факта, че както електрическите, така и гравитационните взаимодействия се разиграват в триизмерното евклидово физическо пространство.

На каква характеристика на закона за взаимодействие на електрическите заряди се основава теоремата на Гаус?

Докажете въз основа на теоремата на Гаус, че напрегнатостта на електрическото поле на точков заряд е обратно пропорционална на квадрата на разстоянието. Какви свойства на пространствената симетрия се използват в това доказателство?

Как се отразява геометрията на физическото пространство в закона на Кулон и теоремата на Гаус? Коя характеристика на тези закони показва евклидовия характер на геометрията и триизмерността на физическото пространство?

Когато има много заряди, възникват някои трудности при изчисляването на полета.

Теоремата на Гаус помага за преодоляването им. Същността Теорема на Гауссе свежда до следното: ако произволен брой заряди са мислено заобиколени от затворена повърхност S, тогава потокът от напрегнатост на електрическото поле през елементарна област dS може да бъде написан като dФ = Есоsα۰dS, където α е ъгълът между нормалата към равнина и вектор на якост . (фиг. 12.7)

Общият поток през цялата повърхност ще бъде равен на сумата от потоците от всички заряди, произволно разпределени вътре в нея, и пропорционален на големината на този заряд

(12.9)

Нека определим потока на вектора на интензитета през сферична повърхност с радиус r, в центъра на която е разположен точков заряд +q (фиг. 12.8). Линиите на опън са перпендикулярни на повърхността на сферата, α = 0, следователно cosα = 1. Тогава

Ако полето е образувано от система от заряди, тогава

Теорема на Гаус: потокът на вектора на напрегнатост на електростатичното поле във вакуум през всяка затворена повърхност е равен на алгебричната сума на зарядите, съдържащи се вътре в тази повърхност, разделена на електрическата константа.

(12.10)

Ако вътре в сферата няма заряди, тогава Ф = 0.

Теоремата на Гаус го прави относително лесен за изчисляване електрически полетасъс симетрично разпределени заряди.

Нека въведем концепцията за плътността на разпределените заряди.

Линейната плътност се означава с τ и характеризира заряда q на единица дължина ℓ. IN общ изгледможе да се изчисли с помощта на формулата

(12.11)

При равномерно разпределение на зарядите линейната плътност е равна на

Повърхностната плътност се означава с σ и характеризира заряда q на единица площ S. Най-общо се определя по формулата

(12.12)

При равномерно разпределение на зарядите по повърхността, повърхностната плътност е равна на

Обемната плътност се означава с ρ и характеризира заряда q на единица обем V. Най-общо се определя по формулата

(12.13)

При равномерно разпределение на зарядите тя е равна на
.

Тъй като зарядът q е равномерно разпределен върху сферата, тогава

σ = const. Нека приложим теоремата на Гаус. Нека начертаем сфера с радиус през точка A. Потокът на вектора на опън на фиг. 12.9 през сферична повърхност с радиус е равен на cosα = 1, тъй като α = 0. Според теоремата на Гаус,
.

или

(12.14)

От израза (12.14) следва, че напрегнатостта на полето извън заредената сфера е същата като напрегнатостта на полето на точков заряд, поставен в центъра на сферата. На повърхността на сферата, т.е. r 1 = r 0, напрежение
.

Вътре в сферата r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

Цилиндър с радиус r 0 е равномерно зареден с повърхностна плътност σ (фиг. 12.10). Нека определим напрегнатостта на полето в произволно избрана точка A. Нека начертаем въображаема цилиндрична повърхност с радиус R и дължина ℓ през точка A. Поради симетрията потокът ще излезе само през страничните повърхности на цилиндъра, тъй като зарядите върху цилиндъра с радиус r 0 са разпределени равномерно по повърхността му, т.е. линиите на напрежение ще бъдат радиални прави линии, перпендикулярни на страничните повърхности на двата цилиндъра. Тъй като потокът през основата на цилиндрите е нула (cos α = 0), а страничната повърхност на цилиндъра е перпендикулярна на силовите линии (cos α = 1), тогава

или

(12.15)

Нека изразим стойността на E чрез σ - повърхностна плътност. A-приори,

следователно,

Нека заместим стойността на q във формула (12.15)

(12.16)

По дефиницията на линейната плътност,
, където
; заместваме този израз във формула (12.16):

(12.17)

тези. Силата на полето, създадено от безкрайно дълъг зареден цилиндър, е пропорционална на линейната плътност на заряда и обратно пропорционална на разстоянието.

Сила на полето, създадена от безкрайна равномерно заредена равнина

Нека определим напрегнатостта на полето, създадено от безкрайна равномерно заредена равнина в точка А. Нека повърхностната плътност на заряда на равнината е равна на σ. Като затворена повърхност е удобно да изберете цилиндър, чиято ос е перпендикулярна на равнината и чиято дясна основа съдържа точка А. Равнината разделя цилиндъра наполовина. Очевидно силовите линии са перпендикулярни на равнината и успоредни на страничната повърхност на цилиндъра, така че целият поток преминава само през основата на цилиндъра. И на двете бази силата на полето е еднаква, т.к точки A и B са симетрични спрямо равнината. Тогава потокът през основата на цилиндъра е равен на

Според теоремата на Гаус,

защото
, Че
, където

(12.18)

По този начин силата на полето на безкрайно заредена равнина е пропорционална на повърхностната плътност на заряда и не зависи от разстоянието до равнината. Следователно полето на равнината е равномерно.

Сила на полето, създадена от две противоположно еднакво заредени успоредни равнини

Полученото поле, създадено от две равнини, се определя от принципа на суперпозицията на полето:
(фиг. 12.12). Полето, създадено от всяка равнина, е еднакво, силите на тези полета са еднакви по големина, но противоположни по посока:
. Съгласно принципа на суперпозицията общата напрегнатост на полето извън равнината е нула:

Между равнините напрегнатостта на полето има еднакви посоки, така че получената сила е равна на

По този начин полето между две различно заредени равнини е еднакво и неговият интензитет е два пъти по-силен от интензитета на полето, създадено от една равнина. Отляво и отдясно на самолетите няма поле. Полето на крайните равнини има същата форма, изкривяването се появява само в близост до техните граници. Използвайки получената формула, можете да изчислите полето между плочите на плосък кондензатор.

Цел на урока: Теоремата на Остроградски–Гаус е създадена от руския математик и механик Михаил Василиевич Остроградски под формата на обща математическа теорема и от немския математик Карл Фридрих Гаус. Тази теорема може да се използва при изучаване на физика на специализирано ниво, тъй като позволява по-рационални изчисления на електрическите полета.

За да се изведе теоремата на Остроградски-Гаус, е необходимо да се въведат такива важни спомагателни понятия като вектора електрическа индукцияи потокът на този вектор F.

Известно е, че електростатичното поле често се изобразява чрез силови линии. Да предположим, че определяме напрежението в точка, разположена на границата между две среди: въздух (=1) и вода (=81). В този момент, когато се движите от въздух към вода, силата на електрическото поле според формулата ще намалее с 81 пъти. Ако пренебрегнем проводимостта на водата, тогава броят на силовите линии ще намалее със същото количество. При решаването на различни задачи за изчисляване на полета, поради прекъсването на вектора на напрежението на интерфейса между средата и диелектриците, се създават определени неудобства. За да ги избегнете, се въвежда нов вектор, който се нарича вектор на електрическа индукция:

Векторът на електрическата индукция е равен на произведението на вектора и електрическата константа и диелектричната константа на средата в дадена точка.

Очевидно е, че при преминаване през границата на два диелектрика броят на електрическите индукционни линии не се променя за полето на точковия заряд (1).

В системата SI векторът на електрическата индукция се измерва в кулони на квадратен метър (C/m2). Изразът (1) показва, че числовата стойност на вектора не зависи от свойствата на средата. Графично векторното поле се изобразява подобно на полето на интензитет (например за точков заряд виж фиг. 1). За векторно поле се прилага принципът на суперпозиция:

Електрически индукционен поток

Векторът на електрическата индукция характеризира електрическото поле във всяка точка на пространството. Можете да въведете друго количество, което зависи от стойностите на вектора не в една точка, а във всички точки на повърхността, ограничена от плосък затворен контур.

За да направите това, разгледайте плосък затворен проводник (верига) с повърхност S, поставен в еднородно електрическо поле. Нормалната към равнината на проводника сключва ъгъл с посоката на вектора на електрическата индукция (фиг. 2).

Потокът на електрическа индукция през повърхността S е величина, равна на произведението на модула на вектора на индукция от площта S и косинуса на ъгъла между вектора и нормалата:

Тази теорема ни позволява да намерим потока на вектора на електрическата индукция през затворена повърхност, вътре в която има електрически заряди.

Нека първо един точков заряд q бъде поставен в центъра на сфера с произволен радиус r 1 (фиг. 3). Тогава ; . Нека изчислим общия индукционен поток, преминаващ през цялата повърхност на тази сфера: ; (). Ако вземем сфера с радиус , тогава също Ф = q. Ако начертаем сфера, която не покрива заряд q, тогава общият поток Ф = 0 (тъй като всяка линия ще влезе в повърхността и ще я напусне друг път).

Така Ф = q, ако зарядът е разположен вътре в затворената повърхност и Ф = 0, ако зарядът е разположен извън затворената повърхност. Потокът Ф не зависи от формата на повърхността. Освен това не зависи от разположението на зарядите в повърхността. Това означава, че полученият резултат е валиден не само за един заряд, но и за произволен брой произволно разположени заряди, само ако имаме предвид под q алгебричната сума на всички заряди, разположени вътре в повърхността.

Теорема на Гаус: потокът на електрическа индукция през всяка затворена повърхност е равен на алгебричната сума на всички заряди, разположени вътре в повърхността: .

От формулата става ясно, че размерът на електрическия поток е същият като този на електрическия заряд. Следователно единицата за електрически индукционен поток е кулон (C).

Забележка: ако полето е неравномерно и повърхността, през която се определя потокът, не е равнина, тогава тази повърхност може да бъде разделена на безкрайно малки елементи ds и всеки елемент може да се счита за плосък, а полето в близост до него е равномерно. Следователно, за всяко електрическо поле, потокът на вектора на електрическата индукция през повърхностния елемент е: dФ=. В резултат на интегрирането общият поток през затворена повърхност S във всяко нехомогенно електрическо поле е равен на: , където q е алгебричната сума на всички заряди, заобиколени от затворена повърхност S. Нека изразим последното уравнение по отношение на напрегнатостта на електрическото поле (за вакуум): .

Това е едно от основните уравнения на Максуел за електромагнитното поле, записано в интегрална форма. Той показва, че източникът на постоянното във времето електрическо поле са стационарни електрически заряди.

Нека сега определим силата на полето за редица случаи, като използваме теоремата на Остроградски-Гаус.

1. Електрическо поле на равномерно заредена сферична повърхност.

Сфера с радиус R. Нека зарядът +q е равномерно разпределен върху сферична повърхност с радиус R. Разпределението на заряда върху повърхността се характеризира с плътността на повърхностния заряд (фиг. 4). Плътността на повърхностния заряд е съотношението на заряда към повърхността, върху която е разпределен. . В SI.

Да определим силата на полето:

а) извън сферичната повърхност,
б) вътре в сферична повърхност.

а) Вземете точка А, разположена на разстояние r>R от центъра на заредената сферична повърхност. Нека мислено начертаем през него сферична повърхност S с радиус r, която има общ център със заредената сферична повърхност. От съображения за симетрия е очевидно, че силовите линии са радиални линии, перпендикулярни на повърхността S и равномерно проникват в тази повърхност, т.е. напрежението във всички точки на тази повърхност е постоянно по величина. Нека приложим теоремата на Остроградски-Гаус към тази сферична повърхност S с радиус r. Следователно общият поток през сферата е N = E? С; N=E. От друга страна . Приравняваме: . Следователно: за r>R.

По този начин: напрежението, създадено от еднакво заредена сферична повърхност извън нея, е същото, както ако целият заряд е в центъра (фиг. 5).

б) Нека намерим напрегнатостта на полето в точки, разположени вътре в заредената сферична повърхност. Да вземем точка B на разстояние от центъра на сферата . Тогава E = 0 при r

2. Напрегнатост на полето на равномерно заредена безкрайна равнина

Нека разгледаме електрическото поле, създадено от безкрайна равнина, заредена с константа на плътност във всички точки на равнината. От съображения за симетрия можем да приемем, че линиите на опън са перпендикулярни на равнината и насочени от нея в двете посоки (фиг. 6).

Нека изберем точка А, разположена вдясно от равнината, и изчислим в тази точка, като използваме теоремата на Остроградски-Гаус. Като затворена повърхност избираме цилиндрична повърхност, така че страничната повърхност на цилиндъра да е успоредна на силовите линии, а основата му да е успоредна на равнината и основата да минава през точка А (фиг. 7). Нека изчислим потока на напрежение през разглежданата цилиндрична повърхност. Потокът през страничната повърхност е 0, т.к линиите на напрежение са успоредни на страничната повърхност. Тогава общият поток се състои от потоците и преминаващи през основите на цилиндъра и . И двата потока са положителни =+; =; =; ==; N=2.

– сечение от равнината, разположено вътре в избраната цилиндрична повърхност. Зарядът вътре в тази повърхност е q.

Тогава ; – може да се приеме като точков заряд) с точка А. За да се намери общото поле, е необходимо да се сумират геометрично всички полета, създадени от всеки елемент: ; .

Векторен поток на напрегнатост на електрическото поле.Нека малка платформа дС(фиг. 1.2) пресичат силовите линии на електрическото поле, чиято посока е с нормалата н ъгъл към този сайт а. Ако приемем, че векторът на опън д не се променя в рамките на сайта дС, да дефинираме векторен поток на напрежениепрез платформата дСкак

дЕд =д дС cos а.(1.3)

Тъй като плътността на електропроводите е равна на числената стойност на напрежението д, след това броя на електропроводите, пресичащи районадС, ще бъде числено равна на стойността на потокадЕдпрез повърхносттадС. Нека представим дясната страна на израз (1.3) като скаларно произведение на вектори дИдС= ндС, Където н– единичен вектор нормален към повърхносттадС. За елементарна площ d Сизраз (1.3) приема формата

дЕд = дд С

В целия сайт Спотокът на вектора на опън се изчислява като интеграл по повърхността

Векторен поток на електрическа индукция.Потокът на вектора на електрическата индукция се определя подобно на потока на вектора на напрегнатостта на електрическото поле

дЕд = дд С

Има известна неяснота в дефинициите на потоците поради факта, че за всяка повърхност две нормали в обратна посока. За затворена повърхност външната нормала се счита за положителна.

Теорема на Гаус.Нека помислим точка положителнаелектрически заряд р, разположена вътре в произволна затворена повърхност С(фиг. 1.3). Индукционен векторен поток през повърхностния елемент d Сравно на
(1.4)

Компонент d S D = д С cos аповърхностен елемент d Спо посока на индукционния вектордразглежда като елемент от сферична повърхност с радиус r, в центъра на който се намира зарядътр.

Като се има предвид, че d S D/ r 2 е равно елементарно телесноъгъл dw, под който от точката, където се намира заррвидим повърхностен елемент d С, трансформираме израз (1.4) във форматад Ед = р д w / 4 стр, откъдето след интегриране по цялото пространство около заряда, т.е. в рамките на телесния ъгъл от 0 до 4стр, получаваме

Ед = р.

Потокът на вектора на електрическата индукция през затворена повърхност с произволна форма е равен на заряда, съдържащ се вътре в тази повърхност.

Ако произволна затворена повърхност Сне покрива точкова такса р(Фиг. 1.4), след което, след като изградихме конична повърхност с върха в точката, където се намира зарядът, разделяме повърхността Сна две части: С 1 и С 2. Вектор на потока д през повърхността Снамираме като алгебрична сума на потоците през повърхностите С 1 и С 2:

.

И двете повърхности от точката, където се намира зарядът рвидим от един плътен ъгъл w. Следователно потоците са равни

Тъй като при изчисляване на потока през затворена повърхност, ние използваме външна нормана повърхността е лесно да се види, че потокът F 1D < 0, тогда как поток Ф2D> 0. Общ поток Ф д= 0. Това означава, че потокът на вектора на електрическата индукция през затворена повърхност с произволна форма не зависи от зарядите, разположени извън тази повърхност.

Ако електричното поле е създадено от система от точкови заряди р 1 , р 2 ,¼ , qn, която е покрита със затворена повърхност С, тогава, в съответствие с принципа на суперпозиция, потокът на индукционния вектор през тази повърхност се определя като сумата от потоците, създадени от всеки от зарядите. Потокът на вектора на електрическата индукция през затворена повърхност с произволна форма е равен на алгебричната сума на зарядите, обхванати от тази повърхност:

Трябва да се отбележи, че таксите q iне е необходимо да са точкови, необходимо условие е заредената площ да бъде изцяло покрита от повърхността. Ако в пространство, ограничено от затворена повърхност С, електрическият заряд се разпределя непрекъснато, тогава трябва да се приеме, че всеки елементарен обем d Vима такса. В този случай, от дясната страна на израз (1.5), алгебричното сумиране на зарядите се заменя с интегриране върху обема, затворен вътре в затворена повърхност С:

(1.6)

Изразът (1.6) е най-общата формулировка Теорема на Гаус: потокът на вектора на електрическата индукция през затворена повърхност с произволна форма е равен на общия заряд в обема, покрит от тази повърхност, и не зависи от зарядите, разположени извън разглежданата повърхност. Теоремата на Гаус може да бъде написана и за потока на вектора на напрегнатост на електрическото поле:

.

Важно свойство на електрическото поле следва от теоремата на Гаус: силовите линии започват или завършват само с електрически заряди или отиват до безкрайност. Нека подчертаем още веднъж, че въпреки факта, че напрегнатостта на електрическото поле д и електрическа индукция д зависят от местоположението в пространството на всички заряди, потоците на тези вектори през произволна затворена повърхност Ссе определят само тези заряди, които се намират вътре в повърхността С.

Диференциална форма на теоремата на Гаус.Забележи, че интегрална формаТеоремата на Гаус характеризира връзката между източниците на електрическо поле (заряди) и характеристиките на електрическото поле (напрежение или индукция) в обема Vпроизволна, но достатъчна за формирането на интегрални отношения, величина. Чрез разделяне на обема Vза малки обеми V i, получаваме израза

валидни както като цяло, така и за всеки срок. Нека трансформираме получения израз, както следва:

(1.7)

и разгледайте границата, към която изразът от дясната страна на равенството, ограден във къдрави скоби, клони за неограничено разделяне на обема V. В математиката тази граница се нарича разминаваневектор (в този случай векторът на електрическата индукция д):

Векторна дивергенция дв декартови координати:

Така изразът (1.7) се трансформира във вида:

.

Като се има предвид, че при неограничено деление сумата от лявата страна на последния израз преминава в обемен интеграл, получаваме

Получената връзка трябва да бъде изпълнена за всеки произволно избран обем V. Това е възможно само ако стойностите на интеграндите във всяка точка на пространството са еднакви. Следователно дивергенцията на вектора де свързано с плътността на заряда в същата точка чрез равенството

или за вектора на напрегнатост на електростатичното поле

Тези равенства изразяват теоремата на Гаус в диференциална форма.

Обърнете внимание, че в процеса на преход към диференциалната форма на теоремата на Гаус се получава връзка, която има общ характер:

.

Изразът се нарича формула на Гаус-Остроградски и свързва обемния интеграл на дивергенцията на вектор с потока на този вектор през затворена повърхност, ограничаваща обема.

Въпроси

1) Какъв е физическият смисъл на теоремата на Гаус за електростатичното поле във вакуум

2) В центъра на куба има точков зарядр. Какъв е потокът на вектор? д:

а) през цялата повърхност на куба; б) през една от страните на куба.

Ще се променят ли отговорите, ако:

а) зарядът не е в центъра на куба, а вътре в него ; б) зарядът е извън куба.

3) Какво представляват линейната, повърхностната, обемната плътност на заряда.

4) Посочете връзката между плътността на обема и повърхностния заряд.

5) Може ли полето извън противоположно и равномерно заредени паралелни безкрайни равнини да бъде различно от нула?

6) Електрически дипол е поставен вътре в затворена повърхност. Какъв е потокът през тази повърхност