Определение
Успоредниксе нарича четириъгълник, чиято противоположни странипо двойки успоредни.
Фигура 1 показва успоредника $A B C D, A B\|C D, B C\| Д$.
Свойства на успоредник
- В успоредник противоположните страни са равни: $A B=C D, B C=A D$ (Фигура 1).
- В успоредник противоположните ъгли са равни на $\ъгъл A=\ъгъл C, \ъгъл B=\ъгъл D$ (Фигура 1).
- Диагоналите на успоредника в пресечната точка са разделени наполовина $A O=O C, B O=O D$ (Фигура 1).
- Диагоналът на успоредника го разделя на два равни триъгълника.
- В успоредник ъгълът между височините е равен на неговия остър ъгъл: $\angle K B H=\angle A$.
- Симетралите на ъглите, съседни на едната страна на успоредник, са взаимно перпендикулярни.
- Симетралите на два срещуположни ъгъла на успоредник са успоредни.
Сумата от ъглите на успоредник, съседни на едната страна, е $180^(\circ)$:
$$\ъгъл A+\ъгъл B=180^(\circ), \ъгъл B+\ъгъл C=180^(\circ)$$
$$\ъгъл C+\ъгъл D=180^(\circ), \ъгъл D+\ъгъл A=180^(\circ)$$
Диагоналите и страните на успоредник са свързани със следната връзка:
$$d_(1)^(2)+d_(2)^(2)=2 a^(2)+2 b^(2)$$
Признаци на успоредник
Четириъгълникът $ABCD$ е успоредник, ако
- $A B=C D$ и $A B \| C D$
- $A B=C D$ и $B C=A D$
- $A O=O C$ и $B O=O D$
- $\angle A=\angle C$ и $\angle B=\angle D$
Площта на успоредник може да се изчисли с помощта на една от следните формули:
$S=a \cdot h_(a), \quad S=b \cdot h_(b)$
$S=a \cdot b \cdot \sin \alpha, \quad S=\frac(1)(2) d_(1) \cdot d_(2) \cdot \sin \phi$
Примери за решаване на проблеми
Пример
Упражнение.Сборът от два ъгъла на успоредник е $140^(\circ)$. Намерете най-големия ъгъл на успоредника.
Решение.В успоредника срещуположните ъгли са равни. Нека означим по-големия ъгъл на успоредника като $\alpha$, а по-малкия ъгъл като $\beta$. Сумата от ъглите $\alpha$ и $\beta$ е $180^(\circ)$, така че дадена сума, равна на $140^(\circ)$, е сумата от два противоположни ъгъла, тогава $140^(\circ) : 2=70 ^(\circ)$. Така по-малкият ъгъл е $\beta=70^(\circ)$. Намираме по-големия ъгъл $\alpha$ от връзката:
$\alpha+\beta=180^(\circ) \Rightarrow \alpha=180^(\circ)-\beta \Rightarrow$
$\Rightarrow \alpha=180^(\circ)-70^(\circ) \Rightarrow \alpha=110^(\circ)$
Отговор.$\alpha=110^(\circ)$
Пример
Упражнение.Страните на успоредника са 18 см и 15 см, а височината, прекарана към по-късата страна, е 6 см. Намерете другата височина на успоредника.
Решение.Да направим рисунка (фиг. 2)
Съгласно условието $a=15$ см, $b=18$ см, $h_(a)=6$ см. За успоредник са валидни следните формули за намиране на лицето:
$$S=a \cdot h_(a), \quad S=b \cdot h_(b)$$
Нека приравним десните части на тези равенства и изразим от полученото равенство $h_(b) $:
$$a \cdot h_(a)=b \cdot h_(b) \Rightarrow h_(b)=\frac(a \cdot h_(a))(b)$$
Заменяйки първоначалните данни на проблема, накрая получаваме:
$h_(b)=\frac(15 \cdot 6)(18) \Дясна стрелка h_(b)=5$ (cm)
Успоредникът е четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни по двойки (фиг. 233).
За произволен успоредник са валидни следните свойства:
1. Противоположните страни на успоредник са равни.
Доказателство. В успоредника ABCD начертаваме диагонала AC. Триъгълниците ACD и AC B са равни, тъй като имат обща страна AC и две двойки равни ъгли, съседни на нея:
(като напречни ъгли с успоредни прави AD и BC). И така, и как са партитата равни триъгълници, лежащи срещу равни ъгли, което трябваше да се докаже.
2. Противоположните ъгли на успоредник са равни:
3. Съседни ъгли на успоредник, т.е. ъгли, съседни на едната страна, добавете и т.н.
Доказателството за свойства 2 и 3 се получава веднага от свойствата на ъглите за успоредни прави.
4. Диагоналите на успоредник се разполовяват в пресечната си точка. С други думи,
Доказателство. Триъгълниците AOD и BOC са равни, тъй като страните им AD и BC са равни (свойство 1) и прилежащите им ъгли (като напречните ъгли за успоредни прави). От тук следва, че съответните страни на тези триъгълници са равни: AO, което трябваше да се докаже.
Всяко от тези четири свойства характеризира успоредник или, както се казва, е негово характерно свойство, т.е. всеки четириъгълник, който има поне едно от тези свойства, е успоредник (и следователно има всичките останали три свойства).
Нека извършим доказването за всеки имот поотделно.
1". Ако противоположните страни на четириъгълник са равни по две, тогава той е успоредник.
Доказателство. Нека четириъгълникът ABCD има съответно равни страни AD и BC, AB и CD (фиг. 233). Нека начертаем диагонала AC. Триъгълниците ABC и CDA ще бъдат еднакви като имат три двойки равни страни.
Но тогава ъглите BAC и DCA са равни и . Успоредността на страните BC и AD следва от равенството на ъглите CAD и ACB.
2. Ако четириъгълникът има две двойки противоположни ъгли, равни, тогава той е успоредник.
Доказателство. Позволявам . Оттогава двете страни AD и BC са успоредни (въз основа на успоредността на правите).
3. Оставяме формулировката и доказателството на читателя.
4. Ако диагоналите на четириъгълник се разполовяват в точката на пресичане, тогава четириъгълникът е успоредник.
Доказателство. Ако AO = OS, BO = OD (фиг. 233), то триъгълниците AOD и BOC са равни, тъй като имат равни ъгли (вертикални!) във върха O, затворени между двойки равни страни AO и CO, BO и DO. От равенството на триъгълниците заключаваме, че страните AD и BC са равни. Страните AB и CD също са равни и четириъгълникът се оказва успоредник според характеристичното свойство G.
По този начин, за да се докаже, че даден четириъгълник е успоредник, е достатъчно да се провери валидността на някое от четирите свойства. Читателят е поканен самостоятелно да докаже друго характерно свойство на успоредник.
5. Ако четириъгълник има двойка равни, успоредни страни, тогава той е успоредник.
Понякога всяка двойка успоредни страни на успоредник се нарича негови основи, тогава другите две се наричат странични страни. Права отсечка, перпендикулярна на двете страни на успоредник, затворена между тях, се нарича височина на успоредника. Успоредник на фиг. 234 има височина h, начертана към страните AD и BC, втората му височина е представена от сегмента.
При решаване на задачи по тази тема, освен основни свойства успоредники съответните формули, можете да запомните и приложите следното:
- Симетралата на вътрешен ъгъл на успоредник отсича от него равнобедрен триъгълник
- Симетрали вътрешни ъглисъседна на една от страните на взаимно перпендикулярен успоредник
- Симетралите, идващи от противоположните вътрешни ъгли на успоредник, са успоредни една на друга или лежат на една и съща права линия
- Сборът от квадратите на диагоналите на успоредника е равен на сбора от квадратите на страните му
- Площта на успоредник е равна на половината от произведението на диагоналите и синуса на ъгъла между тях
Нека разгледаме проблемите, в които се използват тези свойства.
Задача 1.
Симетралата на ъгъл C на успоредник ABCD пресича страната AD в точка M и продължението на страната AB отвъд точка A в точка E. Намерете периметъра на успоредника, ако AE = 4, DM = 3.
Решение.
1. Триъгълник CMD е равнобедрен. (Свойство 1). Следователно CD = MD = 3 cm.
2. Триъгълник EAM е равнобедрен.
Следователно AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Периметър ABCD = 20 cm.
Отговор. 20 см.
Задача 2.
В изпъкнал четириъгълник ABCD са начертани диагонали. Известно е, че лицата на триъгълниците ABD, ACD, BCD са равни. Докажете, че този четириъгълник е успоредник.
Решение.
1. Нека BE е височината на триъгълник ABD, CF е височината на триъгълник ACD. Тъй като според условията на задачата площите на триъгълниците са равни и те имат обща основа AD, то височините на тези триъгълници са равни. BE = CF.
2. BE, CF са перпендикулярни на AD. Точките B и C са разположени от една и съща страна спрямо правата AD. BE = CF. Следователно правата BC || от н.е. (*)
3. Нека AL е надморската височина на триъгълник ACD, BK е надморската височина на триъгълник BCD. Тъй като според условията на задачата площите на триъгълниците са равни и те имат обща основа CD, то височините на тези триъгълници са равни. AL = BK.
4. AL и BK са перпендикулярни на CD. Точките B и A са разположени от една и съща страна спрямо права CD. AL = BK. Следователно правата AB || CD (**)
5. От условия (*), (**) следва, че ABCD е успоредник.
Отговор. Доказано. ABCD е успоредник.
Задача 3.
Върху страните BC и CD на успоредника ABCD са отбелязани съответно точки M и H, така че отсечките BM и HD се пресичат в точка O;<ВМD = 95 о,
Решение.
1. В триъгълник DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. В правоъгълен триъгълник DHC Тогава<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Но CD = AB. Тогава AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Отговор: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Задача 4. Един от диагоналите на успоредник с дължина 4√6 сключва ъгъл 60° с основата, а вторият диагонал сключва ъгъл 45° със същата основа. Намерете втория диагонал. Решение.
1. AO = 2√6. 2. Прилагаме синусовата теорема към триъгълник AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. ОД = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Отговор: 12.
Задача 5. За успоредник със страни 5√2 и 7√2 по-малкият ъгъл между диагоналите е равен на по-малкия ъгъл на успоредника. Намерете сумата от дължините на диагоналите. Решение.
Нека d 1, d 2 са диагоналите на успоредника, а ъгълът между диагоналите и по-малкия ъгъл на успоредника е равен на φ. 1. Нека преброим две различни S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f, S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f. Получаваме равенството 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f или 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Използвайки връзката между страните и диагоналите на успоредника, записваме равенството (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2. d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Нека създадем система: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Нека умножим второто уравнение на системата по 2 и го добавим към първото. Получаваме (d 1 + d 2) 2 = 576. Следователно Id 1 + d 2 I = 24. Тъй като d 1, d 2 са дължините на диагоналите на успоредника, тогава d 1 + d 2 = 24. Отговор: 24.
Задача 6. Страните на успоредника са 4 и 6. Острият ъгъл между диагоналите е 45 градуса. Намерете площта на успоредника. Решение.
1. От триъгълник AOB, използвайки косинусовата теорема, записваме връзката между страната на успоредника и диагоналите. AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB. 4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2) cos 45 o; d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. По същия начин записваме релацията за триъгълника AOD. Нека вземем предвид това<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Получаваме уравнението d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144. 3. Имаме система Като извадим първото от второто уравнение, получаваме 2d 1 · d 2 √2 = 80 или d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10. Забележка:В тази и предишната задача не е необходимо да се решава системата напълно, като се очаква, че в тази задача се нуждаем от произведението на диагоналите, за да изчислим площта. Отговор: 10. Задача 7. Площта на успоредника е 96, а страните му са 8 и 15. Намерете квадрата на по-малкия диагонал. Решение.
1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. Нека направим заместване във формулата. Получаваме 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Следователно sin ВAD = 4/5. 2. Да намерим cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9/25. Според условията на задачата намираме дължината на по-малкия диагонал. Диагоналът ВD ще бъде по-малък, ако ъгълът ВАD е остър. Тогава cos VAD = 3/5. 3. От триъгълника ABD, използвайки косинусовата теорема, намираме квадрата на диагонала BD. ВD 2 = АВ 2 + АД 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145. Отговор: 145.
Все още имате въпроси? Не знаете как да решите геометрична задача? уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника. Успоредникът е четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни по двойки. Това определение вече е достатъчно, тъй като останалите свойства на успоредника следват от него и се доказват под формата на теореми. Основните свойства на успоредника са: Нека първо докажем теоремата, че успоредникът е изпъкнал четириъгълник. Многоъгълникът е изпъкнал, ако която и страна от него да е удължена до права линия, всички останали страни на многоъгълника ще бъдат от същата страна на тази права линия. Нека е даден успоредник ABCD, в който AB е противоположната страна на CD, а BC е противоположната страна на AD. Тогава от определението за успоредник следва, че AB || CD, BC || от н.е. Успоредните отсечки нямат общи точки и не се пресичат. Това означава, че CD лежи от едната страна на AB. Тъй като отсечката BC свързва точка B от отсечката AB с точка C от отсечката CD, а отсечката AD свързва други точки AB и CD, отсечките BC и AD също лежат от същата страна на правата AB, където лежи CD. Така и трите страни - CD, BC, AD - лежат на една и съща страна на AB. По същия начин се доказва, че по отношение на другите страни на успоредника другите три страни лежат на една и съща страна. Едно от свойствата на успоредника е това В успоредник противоположните страни и противоположните ъгли са равни по двойки. Например, ако е даден успоредник ABCD, тогава той има AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Тази теорема се доказва по следния начин. Успоредникът е четириъгълник. Това означава, че има два диагонала. Тъй като паралелограмът е изпъкнал четириъгълник, всеки от тях го разделя на два триъгълника. В успоредника ABCD разгледайте триъгълниците ABC и ADC, получени от начертаването на диагонала AC. Тези триъгълници имат една обща страна - AC. Ъгъл BCA е равен на ъгъл CAD, както и вертикален, когато BC и AD са успоредни. Ъглите BAC и ACD също са равни на вертикалните ъгли, когато AB и CD са успоредни. Следователно ∆ABC = ∆ADC при два ъгъла и страната между тях. В тези триъгълници страната AB съответства на страната CD, а страната BC съответства на AD. Следователно AB = CD и BC = AD. Ъгъл B съответства на ъгъл D, т.е. ∠B = ∠D. Ъгъл A на успоредник е сборът от два ъгъла - ∠BAC и ∠CAD. Ъгъл C е равен на ∠BCA и ∠ACD. Тъй като двойки ъгли са равни един на друг, тогава ∠A = ∠C. По този начин се доказва, че в успоредник противоположните страни и ъгли са равни. Тъй като успоредникът е изпъкнал четириъгълник, той има два диагонала и те се пресичат. Нека е даден успоредник ABCD, неговите диагонали AC и BD се пресичат в точка E. Да разгледаме образуваните от тях триъгълници ABE и CDE. Тези триъгълници имат страни AB и CD, равни на противоположните страни на успоредник. Ъгъл ABE е равен на ъгъл CDE като лежи напречно на успоредни прави AB и CD. По същата причина ∠BAE = ∠DCE. Това означава ∆ABE = ∆CDE при два ъгъла и страната между тях. Можете също така да забележите, че ъглите AEB и CED са вертикални и следователно също са равни един на друг. Тъй като триъгълниците ABE и CDE са равни един на друг, тогава всичките им съответни елементи са равни. Страната AE на първия триъгълник съответства на страната CE на втория, което означава AE = CE. По същия начин BE = DE. Всяка двойка равни сегменти представлява диагонал на успоредник. Така се доказва, че Диагоналите на успоредник се делят наполовина от тяхната пресечна точка.
В този раздел разглеждаме успоредника на геометричния обект. Всички елементи на успоредник са наследени от четириъгълник, така че няма да ги разглеждаме. Но свойствата и характеристиките заслужават подробно разглеждане. Ще разгледаме: За да дефинирате правилно понятията в геометрията, трябва не просто да ги запомните, но и да разберете как се формират. По този въпрос схемите на общите понятия ни помагат добре. Да видим какво е. Нашият модул за обучение се нарича „Четириъгълници“ и четириъгълникът е ключова концепция в този курс. Можем да дадем следната дефиниция на четириъгълник: Четириъгълник-Това многоъгълник, който има четири страни и четири върха. В тази дефиниция общото понятие ще бъде многоъгълник. Сега нека дефинираме многоъгълник: Многоъгълникнаречено просто затворено прекъсната линиязаедно с частта от равнината, която ограничава. Ясно е, че общото понятие тук е понятието начупена линия. Ако продължим по-нататък, ще стигнем до понятието отсечка, а след това до крайните понятия за точка и права линия. По същия начин можем да продължим нашата диаграма надолу: Ако изискваме две страни на четириъгълник да са успоредни, а две не, тогава получаваме фигура, наречена трапец. Трапец – четириъгълник, в която две страни са успоредни, а другите две не са успоредни. А в случай, че всички противоположни страни са успоредни, имаме работа с успоредник. Успоредник – четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни. Имот 1.В успоредник противоположните страни са равни и срещуположните ъгли са равни. дадени: ABCD е успоредник. Докажи:$\ъгъл A = \ъгъл C, \ъгъл B = \ъгъл D, AB = CD, AD = BC.$ Доказателство: Когато доказваме свойствата на всеки геометричен обект, винаги помним неговата дефиниция. Така, успоредник- четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни. Ключовият момент тук е успоредността на страните. Нека построим секанс на четирите прави. Този секанс ще бъде диагоналът BD. Очевидно трябва да разгледаме ъглите, образувани от напречните и успоредните прави. Тъй като правите са успоредни, ъглите, лежащи върху тях, са равни. Сега можете да видите два равни триъгълника според втория знак. Равенството на триъгълниците пряко предполага първото свойство на успоредник. Имот 2.Диагоналите на успоредника са разделени наполовина от пресечната точка. дадени: ABCD- успоредник. Докажи:$AO = OC, BO = OD.$ Доказателство: Логиката на доказателството тук е същата като в предишното свойство: успоредност на страните и равенство на триъгълници. Първата стъпка от доказателството е същата като за първото свойство. Втората стъпка е да се докаже равенството на триъгълниците по втория критерий. Моля, имайте предвид, че равенството $BC=AD$ може да бъде прието без доказателство (с помощта на Имот 1). От това равенство следва, че $AO = OC, BO = OD.$ дадени: ABCD
- успоредник, Б.К.
И Б.М.
- височината му, $\ъгъл KBM = 60^0$. Намирам:$\ъгъл ABK$, $\ъгъл A$ Решение:Когато започнете да решавате този проблем, трябва да имате предвид следното: височината в успоредник е перпендикулярна на двете противоположни страни Например, ако сегмент $BM$ е начертан към страната $DC$ и е нейната височина ($BM \perp DC$), тогава същият сегмент ще бъде височината към противоположната страна ($BM \perp BA$). Това следва от успоредността на страните $AB \parallel DC$. При решаването на този проблем имуществото, което получаваме, е ценно. Допълнителен имот.Ъгълът между височините на успоредника, изтеглени от неговия връх, е равен на ъгъла при съседния връх. Симетрала на ъгъл Ауспоредник ABCDпресича страната пр.н.е.в точката Л, AD=12см, AB =10 cm. Намерете дължината на отсечката L.C.. Решение: В хода на решаването на задачата получихме следното свойство: Допълнителен имот.Ъглополовящата на ъгъла на успоредник отрязва равнобедрен триъгълник от него.
(
(Тъй като в правоъгълен триъгълник катетът, който лежи срещу ъгъл от 30°, е равен на половината от хипотенузата).
начини неговата площ.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!
Успоредник - изпъкнал четириъгълник
Противоположните страни и ъгли са равни
Диагоналите са разделени наполовина
2.1 Дефиниция на успоредник
2.2 Свойства на успоредник
Нека докажем това свойство.
2.3 Опорна задача № 4 (Свойство на ъгъла между височините на успоредник)
2.4 Задача за опора № 5 (Свойство на ъглополовящата на успоредник)
