Параболоид на въртене. Елипсоид

Има два вида параболоиди: елиптични и хиперболични.

Елиптичен параболоиде повърхност, която в някаква система от декартови правоъгълни координати се определя от уравнението

Елипсовидният параболоид има формата на безкрайна изпъкнала купа. Има две взаимно перпендикулярни равнини на симетрия. Точката, с която се комбинира началото на координатите, се нарича връх на елиптичния параболоид; числата p и q се наричат негови параметри.

Хиперболичен параболоид е повърхност, определена от уравнението

Хиперболичен параболоидима формата на седло. Има две взаимно перпендикулярни равнини на симетрия. Точката, с която се комбинира началото на координатите, се нарича връх на хиперболичен параболоид; числа РИ рсе наричат негови параметри.

Упражнение 8.4.Нека разгледаме конструкцията на хиперболичен параболоид от формата

Нека е необходимо да се построи част от параболоид, лежащ в диапазоните: хО[–3; 3], приО[–2; 2] със стъпка D=0,5 за двете променливи.

производителност. Първо трябва да решите уравнението за променливата z.В примера

Нека въведем стойностите на променливите хкъм колона А. За да направите това, в клетката A1въведете символ Х.Към клетката A2въвежда се първата стойност на аргумента - лявата граница на диапазона (–3). Към клетката A3- втората стойност на аргумента е лявата граница на диапазона плюс стъпката на конструиране (–2,5). След това изберете блока от клетки A2: AZ, използвайки автоматично попълване, получаваме всички стойности на аргумента (плъзгаме долния десен ъгъл на блока към клетката A14).

Променливи стойности привлезте в линията 1 . За да направите това, в клетката В 1Въвежда се първата стойност на променливата - лявата граница на диапазона (–2). Към клетката C1- втората стойност на променливата - лявата граница на диапазона плюс стъпката на конструиране (– 1,5). След това изберете блока от клетки B1:C1, чрез автоматично попълване получаваме всички стойности на аргумента (плъзгаме долния десен ъгъл на блока към клетката J1).

След това въведете стойностите на променливите z.За да направите това, курсорът на таблицата трябва да бъде поставен в клетката НА 2и въведете формулата - = $A2^2/18 -B$1^2/8,след това натиснете клавиша Въведете. В клетка НА 2появява се 0. Сега трябва да копирате функцията от клетката НА 2. За да направите това, използвайте автоматично попълване (рисуване вдясно), за да копирате тази формула първо в диапазона B2: J2, след което (с издърпване надолу) - в диапазона B2: J14.

В резултат на това в диапазона B2: J14Ще се появи таблица с точки на хиперболичен параболоид.

За да начертаете диаграма на лентата с инструменти Стандартентрябва да натиснете бутон Съветник за диаграми. В диалоговия прозорец, който се появява Съветник за диаграма (Стъпка 1 от 4): Тип диаграмапосочете вида на диаграмата - Повърхности изглед - Телена (прозрачна) повърхност(диаграма горе вдясно в десния прозорец). След това натиснете бутона По-нататъкв диалоговия прозорец.

В диалоговия прозорец, който се появява Съветник за диаграми (Стъпка 2 от 4): Източник на даннидиаграми трябва да изберете раздела Обхватданни и в областта Обхватизползвайте мишката, за да посочите интервала на данните B2: J14.

След това трябва да посочите редовете или колоните, където се намират редовете с данни. Това ще определи ориентацията на осите хИ u.В примера превключвателят Редове вС помощта на показалеца на мишката го задайте на позицията на колоните.

Изберете раздела Ред и в полето Етикети по оста Хпосочете обхвата на подписите. За да направите това, активирайте това поле, като щракнете с показалеца на мишката в него и въведете диапазона от етикети на осите Х -A2:A14.

Въведете стойностите на етикетите на оста u.За да направите това, в работното поле Редетеизберете първия запис Ред 1и чрез активиране на работното поле Имес показалеца на мишката въведете първата стойност на променливата y: –2.След това в полето Редетеизберете втория запис Ред 2и в работното поле Имевъведете втората стойност на променливата y: –1,5.Повторете по този начин до последния запис - Ред 9.

След като се появят необходимите записи, щракнете върху бутона По-нататък.

Третият прозорец изисква да въведете заглавие на диаграмата и имената на осите. За да направите това, изберете раздела Заглавиякато щракнете върху него с показалеца на мишката. След това към работното поле Заглавие на диаграматавъведете името от клавиатурата: Хиперболичен параболоид.След това въведете по същия начин в работните полета X-ос (категории),Y ос (серия от данни)И Z ос (стойности)съответстващи имена: x, yИ z.

Около оста му можете да получите обикновен елиптичен. Това е кухо изометрично тяло, чиито сечения са елипси и параболи. Елиптичен параболоид се дава от:
x^2/a^2+y^2/b^2=2z
Всички основни сечения на параболоид са параболи. При разрязване на равнините XOZ и YOZ се получават само параболи. Ако начертаете перпендикулярно сечение спрямо равнината Xoy, можете да получите елипса. Освен това сеченията, които са параболи, се определят от уравнения от вида:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=2z
Секциите на елипсата са дадени от други уравнения:
x^2 /a^2+y^2/b^2=2h
Елиптичен параболоид при a=b се превръща в параболоид на въртене. Конструкцията на параболоида има редица характеристики, които трябва да се вземат предвид. Започнете операцията, като подготвите основата - чертеж на графиката на функцията.

За да започнете да изграждате параболоид, първо трябва да построите парабола. Начертайте парабола в равнината Oxz, както е показано на фигурата. Дайте на бъдещия параболоид определена височина. За да направите това, начертайте права линия, така че да докосва горните точки на параболата и да е успоредна на оста Ox. След това начертайте парабола в равнината на Yoz и начертайте права линия. Ще получите две параболоидни равнини, перпендикулярни една на друга. След това, в равнината Xoy, изградете успоредник, който ще ви помогне да начертаете елипса. Впишете елипса в този успоредник, така че да докосва всичките му страни. След тези трансформации изтрийте успоредника и това, което остава, е триизмерно изображение на параболоид.

Има и хиперболичен параболоид, който има по-вдлъбната форма от елипсовата. Неговите секции също имат параболи и в някои случаи хиперболи. Основните сечения по Oxz и Oyz, подобно на тези на елиптичен параболоид, са параболи. Те се дават чрез уравнения от вида:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=-2z
Ако начертаете разрез спрямо оста Oxy, можете да получите хипербола. Когато конструирате хиперболичен параболоид, използвайте следното уравнение:
x^2/a^2-y^2/b^2=2z - уравнение на хиперболичен параболоид

Първоначално построете фиксирана парабола в равнината Oxz. Начертайте движеща се парабола в равнината Oyz. След това задайте височината на параболоида h. За да направите това, маркирайте две точки върху неподвижната парабола, които ще бъдат върховете на още две подвижни параболи. След това начертайте друга координатна система O"x"y", за да начертаете хиперболите. Центърът на тази координатна система трябва да съвпада с височината на параболоида. След всички конструкции начертайте тези две подвижни параболи, споменати по-горе, така че да докосват крайните точки на хиперболите.В резултат се получава хиперболичен параболоид.

Хиперболичният параболоид също принадлежи към повърхности от втори ред. Тази повърхност не може да бъде получена с помощта на алгоритъм, който използва въртенето на определена линия спрямо фиксирана ос.

За конструирането на хиперболичен параболоид се използва специален модел. Този модел включва две параболи, разположени в две взаимно перпендикулярни равнини.

Нека парабола I е разположена в равнина и неподвижна. Парабола II извършва сложно движение:

▫ началната му позиция съвпада с равнината
, а върхът на параболата съвпада с началото на координатите: =(0,0,0);

▫ тогава тази парабола се движи в паралелна транслация и нейният връх
прави траектория, съвпадаща с парабола I;

▫ разглеждат се две различни начални позиции на парабола II: едното – възходящите клонове на параболата, второто – низходящите клонове.

Нека запишем уравненията: за първата парабола I:
– неизменно; за втората парабола II:
– начална позиция, уравнение на движение:
Не е трудно да се види смисълът
има координати:
. Тъй като е необходимо да се покаже законът за движение на точка
: тази точка принадлежи на парабола I, тогава винаги трябва да са изпълнени следните отношения: =
И
.

От геометричните характеристики на модела е лесно да се види, че подвижната парабола помита някаква повърхност. В този случай уравнението на повърхността, описана от парабола II, има формата:

или→
. (1)

Формата на получената повърхност зависи от разпределението на знаците на параметрите
. Има два възможни случая:

1). Знаци за количества стрИ рсъвпадат: параболи I и II са разположени от една и съща страна на равнината ОКСИ. Да приемем: стр = а 2 И р = b 2 . Тогава получаваме уравнението на известната повърхност:

→ елипсовиден параболоид . (2)

2). Знаци за количества стрИ рса различни: параболите I и II са разположени на противоположните страни на равнината ОКСИ. Позволявам стр = а 2 И р = - b 2 . Сега получаваме уравнението на повърхността:

→хиперболичен параболоид . (3)

Не е трудно да си представим геометричната форма на повърхността, определена от уравнение (3), ако си припомним кинематичния модел на взаимодействието на две параболи, участващи в движението.

На фигурата условно в червено е показана парабола I. Показана е само околността на повърхността в началото на координатите. Поради факта, че формата на повърхността изразително намеква за кавалерийско седло, този квартал често се нарича - седло .

Във физиката, когато се изучава устойчивостта на процесите, се въвеждат видове равновесие: стабилно - дупка, изпъкнало надолу, нестабилно - изпъкнала нагоре повърхност и междинно - седло. Равновесието от трети тип също се класифицира като вид нестабилно равновесие и само на червената линия (парабола I) е възможно равновесие.

§ 4. Цилиндрични повърхнини.

Когато разглеждаме повърхностите на въртене, ние идентифицирахме най-простата цилиндрична повърхност - цилиндър на въртене, т.е. кръгъл цилиндър.

В елементарната геометрия цилиндърът се определя по аналогия с общата дефиниция на призмата. Доста е сложно:

▫ нека имаме плосък многоъгълник в пространството
– нека го обозначим като , а многоъгълникът съвпада с него
– нека го обозначим като
;

▫ приложимо към многоъгълник
движение паралелен превод: точки
се движат по траектории, успоредни на дадена посока ;

▫ ако спрете прехвърлянето на многоъгълник
, след това неговата равнина
успоредна на равнината ;

▫ повърхността на призмата се нарича: съвкупност от многоъгълници ,
– основания призми и успоредници
,
,... – странична повърхност призми.

IN Нека използваме елементарната дефиниция на призма, за да изградим по-обща дефиниция на призма и нейната повърхност, а именно ще разграничим:

▫ неограничена призма е многостенно тяло, ограничено от ръбове ,,... и равнините между тези ръбове;

▫ ограничената призма е многостенно тяло, ограничено от ръбове ,,... и успоредници
,
,...; страничната повърхност на тази призма е набор от успоредници
,
,...; основи на призмата – набор от многоъгълници ,
.

Нека имаме неограничена призма: ,,... Нека пресечем тази призма с произволна равнина . Нека пресечем същата призма с друга равнина
. В напречно сечение получаваме многоъгълник
. Като цяло приемаме, че самолетът
не е успореден на равнината . Това означава, че призмата не е построена чрез паралелна транслация на многоъгълника .

Предложената конструкция на призма включва не само прави и наклонени призми, но и всякакви пресечени.

В аналитичната геометрия ние ще разбираме цилиндричните повърхности толкова общо, че един неограничен цилиндър включва неограничена призма като специален случай: трябва само да приемем, че многоъгълникът може да бъде заменен с произволна линия, не непременно затворена - ръководство цилиндър. Посока Наречен образуваща цилиндър.

От всичко казано следва: за да се определи цилиндрична повърхнина, е необходимо да се зададат водеща линия и посоката на генератора.

Цилиндричните повърхнини се получават на базата на равнинни криви от 2-ри ред, обслужващи водачи За формиране .

В началния етап на изучаване на цилиндрични повърхности ще приемем опростяващи предположения:

▫ водачът на цилиндричната повърхност винаги да е разположен в една от координатните равнини;

▫ посока на образуващата съвпада с една от координатните оси, тоест перпендикулярно на равнината, в която е дефиниран водачът.

Приетите ограничения не водят до загуба на общност, тъй като това остава възможно поради избора на сечения по равнини И
изграждайте произволни геометрични фигури: прави, наклонени, пресечени цилиндри.

Елиптичен цилиндър .

Нека вземем елипса като водач на цилиндъра :
, разположен в координатната равнина

: елиптичен цилиндър.

Хиперболичен цилиндър .

:

, а посоката на образуващата определя оста
. В този случай уравнението на цилиндъра е самата права : хиперболичен цилиндър.

Параболичен цилиндър .

Нека вземем хипербола за водач на цилиндъра :
, разположен в координатната равнина
, а посоката на образуващата определя оста
. В този случай уравнението на цилиндъра е самата права : параболичен цилиндър.

Коментирайте: като се вземат предвид общите правила за конструиране на уравнения на цилиндрични повърхности, както и представените конкретни примери за елиптични, хиперболични и параболични цилиндри, ние отбелязваме: конструирането на цилиндър за всяка друга генератора, за приетите условия за опростяване, не трябва да причинява никакви трудности!

Нека сега разгледаме по-общи условия за конструиране на уравнения на цилиндрични повърхности:

▫ водачът на цилиндричната повърхност е разположен в произволна равнина на пространството
;

▫ посока на образуващата в приетата координатна система е произволна.

Изобразяваме приетите условия на фигурата.

▫ водач с цилиндрична повърхност разположени в произволна равнина пространство
;

▫ координатна система
получени от координатната система
паралелен трансфер;

▫ ръководство местоположение в самолета най-предпочитаният: за крива от 2-ри ред ще приемем, че началото на координатите съвпада с център симетрия на разглежданата крива;

▫ посока на образуващата произволно (може да се посочи по всеки един от начините: вектор, права линия и т.н.).

По-нататък ще приемем, че координатните системи
И
съвпада. Това означава, че 1-вата стъпка от общия алгоритъм за конструиране на цилиндрични повърхнини, отразяваща паралелната транслация:
→
, завършен преди това.

Нека си припомним как се отчита паралелният трансфер в общия случай, като разгледаме един прост пример.

Пример 6–13 : В координатната система
като:
=0. Запишете уравнението на това ръководство в системата
.

Решение:

1). Нека обозначим произволна точка
: в системата
как
, и в системата
как
.

2). Нека запишем векторното равенство:
=
+
. В координатна форма това може да се запише като:
=
+
. Или във формата:
=
–
, или:
=.

3). Нека напишем уравнението на водача на цилиндъра в координатната система
:

Отговор: трансформирано водещо уравнение: =0.

Така че ще приемем, че центърът на кривата, представляваща водача на цилиндъра, винаги е разположен в началото на системните координати
в самолета .

Ориз. IN . Основен чертеж за изграждане на цилиндър.

Нека направим още едно предположение, което опростява последните стъпки от конструирането на цилиндрична повърхност. Тъй като чрез въртене на координатната система не е трудно да се изравни посоката на оста
координатни системи
със самолет нормален , и посоките на осите
И
с водещи оси на симетрия , тогава ще приемем това като начална позиция на водача имаме крива, разположена в равнината
, а едната му ос на симетрия съвпада с оста
, а втората с оста
.

Коментирайте: тъй като операциите на паралелно преместване и въртене около фиксирана ос са доста прости, приетите предположения не ограничават приложимостта на разработения алгоритъм за конструиране на цилиндрична повърхност в най-общия случай!

Видяхме, че при конструирането на цилиндрична повърхност в случая, когато водачът разположени в самолета
, а образуващата е успоредна на оста
, достатъчно е да се определи само ръководството .

Тъй като цилиндрична повърхност може да бъде уникално определена чрез указване на всяка линия, получена в сечението на тази повърхност с произволна равнина, ще приемем следния общ алгоритъм за решаване на проблема:

1 ▫ . Нека посоката на образуващата цилиндрична повърхност, дадена от вектор . Нека проектираме ръководство , дадено от уравнението:
=0, към равнина, перпендикулярна на посоката на образуващата , тоест в самолета
. В резултат на това цилиндричната повърхност ще бъде зададена в координатната система
уравнение:
=0.

2 ▫
около оста
под ъгъл
: значение на ъгъл
съвместими със системата
, а уравнението на коничната повърхност се трансформира в уравнението:
=0.

3 ▫ . Прилагане на ротация на координатната система
около оста
под ъгъл
: значение на ъгъл е съвсем ясно от фигурата. В резултат на въртене координатната система
съвместими със системата
, а уравнението на коничната повърхност се трансформира в
=0. Това е уравнението на цилиндрична повърхност, за която е дадено ръководството и генератор в координатната система
.

Примерът, представен по-долу, илюстрира изпълнението на писмения алгоритъм и изчислителните трудности на такива проблеми.

Пример 6–14 : В координатната система
дадено е уравнението на водача на цилиндъра като:
=9. Напишете уравнение за цилиндър, чиито генератори са успоредни на вектора =(2,–3,4).

Р
решение:

1). Нека проектираме водача на цилиндъра върху равнина, перпендикулярна на . Известно е, че такава трансформация превръща даден кръг в елипса, чиито оси ще бъдат: големи =9 и малък =
.

Тази фигура илюстрира дизайна на кръг, определен в равнина
към координатната равнина
.

2). Резултатът от проектирането на кръг е елипса:
=1, или
. В нашия случай това е:
, Където
==.

3
). И така, уравнението на цилиндрична повърхност в координатната система
получени. Тъй като според условията на задачата трябва да имаме уравнението на този цилиндър в координатната система
, тогава остава да се приложи координатна трансформация, която трансформира координатната система
към координатната система
, в същото време уравнението на цилиндъра:
в уравнение, изразено чрез променливи
.

4). Да се възползваме основен чертеж и запишете всички тригонометрични стойности, необходими за решаване на проблема:

==,
==,
==.

5). Нека запишем формулите за трансформиране на координатите при движение от системата
към системата
:
(IN)

6). Нека запишем формулите за трансформиране на координатите при движение от системата
към системата
:
(С)

7). Заместване на променливи
от система (B) към система (C), а също и като вземем предвид стойностите на използваните тригонометрични функции, пишем:

=
=
.

8). Остава да заменим намерените стойности И в уравнението на водача на цилиндъра :
в координатната система
. След завършване внимателно всички алгебрични трансформации, получаваме уравнението на конична повърхност в координатната система
: =0.

Отговор: уравнение на конуса: =0.

Пример 6–15 : В координатната система
дадено е уравнението на водача на цилиндъра като:
=9, =1. Напишете уравнение за цилиндър, чиито генератори са успоредни на вектора =(2,–3,4).

Решение:

1). Лесно се вижда, че този пример се различава от предишния само по това, че водачът е преместен паралелно с 1 нагоре.

2). Това означава, че в отношения (B) трябва да се приеме: =-1. Като вземем предвид изразите на системата (C), ще коригираме записа за променливата :

=
.

3). Промяната лесно се взема предвид чрез коригиране на крайното уравнение за цилиндъра от предишния пример:

Отговор: уравнение на конуса: =0.

Коментирайте: лесно е да се види, че основната трудност при множество трансформации на координатни системи в задачи с цилиндрични повърхности е точност И издръжливост в маратоните по алгебра: да живее образователната система, възприета в нашата многострадална страна!

Височината на параболоида може да се определи по формулата

Обемът на параболоида, докосващ дъното, е равен на половината от обема на цилиндър с радиус на основата R и височина H, същият обем заема пространството W’ под параболоида (фиг. 4.5a)

Фиг.4.5. Съотношението на обемите в параболоид, докосващ дъното.

Wп – обем на параболоида, W’ – обем под параболоида, Hп – височина на параболоида

Фиг.4.6. Съотношението на обемите в параболоид, докосващ ръбовете на цилиндъра Hp е височината на параболоида., R е радиусът на съда, Wl е обемът под височината на течността в съда преди началото на въртенето, z 0 е позицията на върха на параболоида, H е височината на течността в съда преди началото на въртенето.

На фиг. 4.6а нивото на течността в цилиндъра преди началото на въртенето е H. Обемът на течността Wl преди и след въртенето се поддържа и е равен на сумата от обема Wt на цилиндъра с височина z 0 плюс обем течност под параболоида, който е равен на обема на параболоида Wp с височина Hn

Ако параболоидът докосне горния ръб на цилиндъра, височината на течността в цилиндъра преди началото на въртенето H разделя височината на параболоида Hn на две равни части, най-ниската точка (връх) на параболоида се намира по отношение на към основата (фиг. 4.6c)

В допълнение, височината H разделя параболоида на две части (фиг. 4.6c), чиито обеми са равни на W 2 = W 1. От равенството на обемите на параболичния пръстен W 2 и параболичната чаша W 1, фиг. 4.6c

Когато повърхността на параболоида пресича дъното на съда (фиг. 4.7) W 1 =W 2 =0,5W пръстен

Фиг. 4.7 Обеми и височини, когато повърхността на параболоид пресича дъното на цилиндъра

Височините на фиг. 4.6

обеми на фиг. 4.6.

Местоположение на свободната повърхност в съда

Фиг.4.8. Три случая на относителен покой по време на въртене

1. Ако съдът е отворен, Po = Ratm (фиг. 4.8a). По време на въртене върхът на параболоида пада под първоначалното ниво-H, а ръбовете се издигат над първоначалното ниво, позицията на върха

2. Ако съдът е напълно напълнен, покрит с капак, няма свободна повърхност, намира се под свръхналягане Po>Patm, преди въртене повърхността (PP), върху която Po=Patm ще бъде над нивото на капака на височина. h 0i =M/ ρg, H 1 =H+ M/ρg.

3. Ако съдът е напълно напълнен, той е под вакуум Po<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h 0и =-V/ρg, Н 2 =Н-V/ρg ,

4.7. Въртене при висока ъглова скорост (фиг. 4.9)

Когато съд, съдържащ течност, се върти с висока ъглова скорост, силата на гравитацията може да бъде пренебрегната в сравнение с центробежните сили. Законът за промяна на налягането в течност може да се получи от формулата

(4.22),

Повърхностите на нивелира образуват цилиндри с обща ос, около която се върти съдът. Ако съдът не е напълно напълнен преди да започне въртенето, налягането P 0 ще действа по радиуса r = r 0 , вместо израз (4.22) ще имаме

в който приемаме g(z 0 - z) = 0,