Обобщение на урока: Еднородни тригонометрични неравенства от втора степен. Тема на урока: Решаване на тригонометрични неравенства

За да видите презентацията със снимки, дизайн и слайдове, изтеглете неговия файл и го отворете в PowerPointна вашия компютър.
Текстово съдържание на презентационни слайдове: Решаване на тригонометрични неравенства по метода на интервалите 10 А клас Учител: Ускова Н.Н. MBOU Lyceum № 60 Цели на урока: Образователни: разширяване и задълбочаване на знанията по темата „Метод на интервалите“; придобиване на практически умения за изпълнение на задачи по интервалния метод; повишаване на нивото на математическа подготовка на учениците; Развитие: развитие на изследователски умения; Образователни: формиране на наблюдателност, независимост, способност за взаимодействие с други хора, възпитаване на култура на мислене, култура реч, интерес към учебния предмет. Ход на урока Проверка на домашната Самостоятелна работа Обяснение на нов материал по темата „Решаване на тригонометрични неравенства по интервалния метод“: алгоритъм за решение; примери за неравенства. Обобщение на урока. Домашна работа. Проверка на домашна работа Решаване на неравенства: Самостоятелна работа Допълнително: 1) 2) Проверка на домашна работа Решаване на неравенства: а) Реш. Отговор: б) Решение. Отговор: в) Решение. Отговор: г) Решение. Отговор: . Решете неравенство Решение. Отговор: Пример 1. Решете неравенство с помощта на интервалния метод Решение. 1) 2) Нули на функцията: 3) Знаци на функцията върху интервали: + - + - + 4) Тъй като неравенството не е строго, корените са включени 5) Решение: Отговор: Пример 2. Решете неравенството: Решение . Отговор: Метод I: Метод II: Отговор: Решаване на тригонометрични неравенства с помощта на интервалния метод Алгоритъм: Използвайки тригонометрични формули, разложете на множители Намерете точките на прекъсване и нули на функцията, поставете ги върху окръжността Вземете произволна точка x0 (но ненамерена преди това) и разберете, че знакът работи. Ако произведението е положително, тогава поставете „+“ зад единичния кръг на лъча, съответстващ на ъгъла. В противен случай поставете знак "-" вътре в кръга. Ако точка се среща четен брой пъти, ние я наричаме точка с четна кратност, ако нечетен брой пъти, ние я наричаме точка с нечетна кратност. Начертайте дъги по следния начин: започнете от точка x0, ако следващата точка е с нечетна множественост, тогава дъгата пресича окръжността в тази точка, но ако точката е с четна множественост, тогава не е. Дъгите извън окръжността са положителни интервали ; вътре в кръга има отрицателни интервали. Решение на примери 1) 2) 3) 4) 5) Пример 1. Решение. Точки от първа серия: Точки от втора серия: - - - + + + Отговор: Пример 2. Решение. Точки от първа серия: Точки от втора серия: Точки от трета серия: Точки от четвърта серия: Точки с четна кратност: + + + + - - - - Отговор: Пример 3. Решение. Общо: Точки от първа серия: Точки от втора серия: Точки от трета серия: + + + + + + - - - - - - - - Отговор. Точки с четна кратност: Пример 4. Решение. + + + + - - - - Отговор. Пример 5. Решение. 1) 2) Нули на функцията: 3) + - - + - няма нули И така, при Отговор: Графично: Домашна работа: Решете тригонометрични неравенства по метода на интервалите: а) б) в) г) д) е) ж) Допълнителни задачи:

Прикачени файлове

Тригонометрични неравенства. Решаване на прости тригонометрични неравенства

Оборудване:Компютър, проектор, екран, бяла дъска.

Тип урок:Учене на нов материал.

Тема на урока:Тригонометрични неравенства. Решаване на прости тригонометрични неравенства.

Цели:

Образователна цел :

развиват умение за решаване на прости тригонометрични неравенства с помощта на графичния метод за решаване на неравенства;

запознават учениците с основателите на тригонометрията и историята на нейното развитие.

Цел за развитие:

създава условия за развитие на умения за анализиране, подчертаване на главното и установяване на общи черти и свойства;

прилагат знанията на практика;

научете се да оценявате критично знанията си.

Образователна цел:

култивира положително отношение към знанието;

възпитават дисциплина и съвестност при изпълнение на задачите;

развийте способността за работа по двойки (чувствайте индивидуална отговорност за постигане на резултати).

Задачи:

повторете следните теми по математика: графично решаване на квадратни неравенства, трансформиране на графики на тригонометрични функции, концепцията за числата arcsin, arccos, arctan и arcctg, решаване на тригонометрични уравнения;

научи как да използва графичния метод за решаване на прости тригонометрични неравенства;

упражняват умения за построяване на графики на тригонометрични функции;

разширяване на хоризонта на учениците за историята на развитието на тригонометрията;

За да активирате познавателната дейност на учениците, използвайте различни форми и методи на работа в класната стая: фронтални, индивидуални и групови (работа по двойки) форми на работа, използване на игрови технологии.

Структура на урока:

Организационен момент, проверка на домашното (5 мин.);

Актуализиране на основни знания и записване на затруднения в дейностите (10 мин.);

Обяснение на нов материал (15 мин.);

Експертна работа (10 мин.);

Самостоятелна работа по двойки (15 мин.);

Домашна работа (5 мин.);

Игра „Поле на чудеса” (15 мин.);

Рефлексия върху дейността (обобщение на урока) (5 мин.).

Обяснение на урока: по време на урока учениците приписват точки на работната карта на урока според правилата, описани в тази карта. В края на урока работата на учениците се обобщава според събраните точки.

Прогрес на урока:

Организационен момент, проверка на домашното (5 мин.).

Френският писател Анатол Франс веднъж отбеляза: „Можеш да учиш само чрез забавление... За да смилаш знанията, трябва да ги усвояваш с апетит.“

Нека днес в клас следваме този съвет на писателя, да бъдем активни, внимателни и да попиваме знания с голямо желание.

Преди да започнем да учим нов материал, нека проверим домашното си за днес.

Проверка на домашното:

№ 151 (2, 4), № 153 (2), № 155 (2), № 157 (2)

За всяка правилно изпълнена задача - 1 точка върху картата на урока в колона "Домашна работа".

Актуализиране на основни знания и записване на затруднения в дейностите (10 мин.).

Темата на нашия урок е Тригонометрични неравенства. Решаване на прости тригонометрични неравенства.

Нека запишем датата и темата на урока в тетрадка.

Вашата задача днес е да се научите как да прилагате знанията и уменията си за решаване на тригонометрични неравенства.

Нека първо работим устно, за да си спомним концепциите и техниките, от които ще се нуждаем, за да научим нова тема.

Устна работа:

Обяснение на нов материал (10 мин.).

Ако си припомним дефиницията на тригонометрично уравнение - това е уравнение, съдържащо променлива под знака на тригонометрична функция, тогава можем лесно да дадем дефиницията на тригонометрично неравенство - е неравенство, съдържащо променлива под знака на тригонометрична функция.

За решаване на тригонометрични неравенства ще използваме графичния метод.

Разгледайте решението на неравенството

Нека изградим графики на функции:
,
.

Нека определим пресечните точки на тези графики:

Нека засенчим областта, в която функцията има стойност
Повече ▼

, Ако

Тъй като функцията
периодичен (T=
), означава,
,

По подобен начин се разглежда решението на неравенството

Отговор:
,

Експертна работа (10 мин.).

Учениците, които разбират добре материала и искат да отговарят на дъската, са поканени на дъската; те ще действат като експерти; други ученици могат да коригират решението си, ако е необходимо, от място.

Решаване на неравенства:

1.
Отговор:
,

2.
Отговор:
,

За работа на дъската учениците получават 1-3 точки, а за работа от място – 1 точка.

Самостоятелна работа по двойки (15 мин.).

Учениците изпълняват задачата, разменят си тетрадките и проверяват работата на своя съученик, като дават съответните точки, отговорите се представят на дъската.

За графично решаване на тригонометрични неравенства можете да използвате Приложение No1за този урок.

Опция 1

Решаване на неравенства:

Вариант №2

Решаване на неравенства:

1.

Отговор:

Отговор:

Отговор:

Отговор:

Отговор: няма решения, защото...

Отговор: няма решения, защото...

Отговор:

Отговор:

За всяка вярна задача No1-No3-1 точка, No4-2 точки.

Обобщаване на резултатите от изучаването на нова тема. Учениците трябва да отговорят на въпросите на учителя.

Какъв метод използвахме за решаване на тригонометрични неравенства?

Какво трябва да направите, за да решите графично тригонометричното неравенство?

Как периодичността на тригонометричните функции влияе на отговора при решаване на тригонометрични неравенства?

За всеки верен отговор учениците получават по 1 точка в урочната си карта в колона „Устна работа”.

Домашна работа (5 мин.).

Сборник задачи по математика Н.В. Богомолов

Допълнителна задача:

Игра „Поле на чудеса“ (20 мин.).

Играта е базирана на принципа на едноименната телевизионна игра. Учителят чете задачата, учениците могат да отворят всяка буква, ако изпълнят задачата, скрита в тази клетка.

За всяка позната буква (решена задача) учениците получават 1 точка, за всяка позната дума - 5 точки.

Задача No1

Отговор:Тригонометрия

Рефлексия върху дейността (обобщение на урока) (5 мин.).

Работна карта на урока

Ученик _________________________________ група ""

o/t – оценка на приятел, o/u – оценка на учител, s/o – самооценка, o/g – групова оценка

Домашна работа

така

Общ брой точки, по 1 за всяка правилно изпълнена задача.

Резултат: _____

Устна работа

така

Общо точки, 1 за всеки верен отговор и допълнителна точка за теоретичен отговор.

Резултат: _____

Експерт

работа (работа на дъската)

o/g

1-3 точки за работа на дъската,

1 точка за работа от място.

Резултат: _____

Независим

работете по двойки

от

За всяка правилна задача

№ 1-№ 3-1 точка,

No4 – 2 точки.

Резултат: _____

Играта "Поле на чудесата"

така

Общ брой точки, 1 за всеки верен отговор и допълнителна точка за отгатване на думата.

По време на практическото занятие ще повторим основни типове задачи от темата “Тригонометрия”, ще анализираме допълнително задачи с повишена сложности помислете примери за решаване на различни тригонометрични неравенства и техните системи.

Този урок ще ви помогне да се подготвите за един от видовете задачи B5, B7, C1И C3.

Подготовка за Единния държавен изпит по математика

Експериментирайте

Урок 11. Затвърдяване на преминатия материал. Тригонометрични неравенства. Решаване на различни проблеми с повишена сложност

Практикувайте

Обобщение на урока

Тригонометричен преглед

Нека започнем с преглед на основните типове задачи, които разгледахме в темата "Тригонометрия" и решим няколко нестандартни задачи.

Задача No1. Преобразувайте ъглите в радиани и градуси: а) ; б) .

а) Нека използваме формулата за преобразуване на градуси в радиани

Нека заместим посочената стойност в него.

б) Приложете формулата за преобразуване на радиани в градуси

Нека извършим замяната .

Отговор. А) ; б) .

Задача No2. Пресметнете: а) ; б) .

а) Тъй като ъгълът е далеч извън таблицата, ще го намалим, като извадим периода на синуса. Тъй като ъгълът е посочен в радиани, ще считаме периода като .

б) В този случай ситуацията е подобна. Тъй като ъгълът е посочен в градуси, ще считаме периода на допирателната като .

Полученият ъгъл, макар и по-малък от периода, е по-голям, което означава, че вече не се отнася за основната, а за разширената част на таблицата. За да не тренирате отново паметта си, като запомняте разширената таблица със стойности на тригофункцията, нека отново извадим периода на тангенса:

Възползвахме се от странността на функцията тангенс.

Отговор. а) 1; б) .

Задача No3. Изчисли , Ако .

Нека намалим целия израз до тангенси, като разделим числителя и знаменателя на дробта на . В същото време не можем да се страхуваме от това, тъй като в този случай стойността на допирателната няма да съществува.

Задача No4. Опростете израза.

Посочените изрази се преобразуват с помощта на редукционни формули. Те просто са необичайно написани с помощта на степени. Първият израз обикновено представлява число. Нека опростим всички тригофункции една по една:

Тъй като , функцията се променя на кофункция, т.е. на котангенс, и ъгълът попада във втората четвърт, в която първоначалният тангенс има отрицателен знак.

Поради същите причини, както в предишния израз, функцията се променя на кофункция, т.е. на котангенс, и ъгълът попада в първата четвърт, в която първоначалният тангенс има положителен знак.

Нека заместим всичко в опростен израз:

Проблем №5. Опростете израза.

Нека запишем тангенса на двойния ъгъл с помощта на подходящата формула и опростим израза:

Последното тъждество е една от универсалните формули за заместване на косинуса.

Проблем №6. Изчисли.

Основното нещо е да не правите стандартната грешка да не давате отговора, че изразът е равен на . Не можете да използвате основното свойство на арктангенса, докато има коефициент под формата на две до него. За да се отървем от него, ще напишем израза според формулата за тангенс на двоен ъгъл, като третираме , като обикновен аргумент.

Сега можем да приложим основното свойство на арктангенса; не забравяйте, че няма ограничения за числения му резултат.

Проблем No7. Решете уравнението.

Когато решавате дробно уравнение, което е равно на нула, винаги се посочва, че числителят е равен на нула, но знаменателят не е, тъй като не можете да делите на нула.

Първото уравнение е специален случай на най-простото уравнение, което може да се реши с помощта на тригонометрична окръжност. Запомнете това решение сами. Второто неравенство се решава като най-простото уравнение по общата формула за корените на допирателната, но само със знак неравно.

Както виждаме, едно семейство от корени изключва друго семейство от точно същия тип корени, които не отговарят на уравнението. Тоест няма корени.

Отговор. Няма корени.

Проблем No8. Решете уравнението.

Нека веднага да отбележим, че можем да извадим общия множител и да го направим:

Уравнението е сведено до една от стандартните форми, където произведението на няколко фактора е равно на нула. Вече знаем, че в този случай или единият от тях е равен на нула, или другият, или третият. Нека запишем това под формата на набор от уравнения:

Първите две уравнения са специални случаи на най-простите; вече сме срещали подобни уравнения много пъти, така че веднага ще посочим техните решения. Редуцираме третото уравнение до една функция, като използваме формулата за синус на двоен ъгъл.

Нека решим последното уравнение отделно:

Това уравнение няма корени, тъй като синусовата стойност не може да надхвърли .

По този начин решението е само първите две семейства от корени; те могат да бъдат комбинирани в едно, което е лесно да се покаже на тригонометричния кръг:

Това е семейство от всички половини, т.е.

Тригонометрични неравенства

Нека да преминем към решаване на тригонометрични неравенства. Първо ще анализираме подхода за решаване на примера, без да използваме формули за общи решения, а използвайки тригонометричната окръжност.

Проблем No9. Решете неравенство.

Нека начертаем спомагателна линия върху тригонометричната окръжност, съответстваща на синусова стойност, равна на , и да покажем диапазона от ъгли, които удовлетворяват неравенството.

Много е важно да разберете как точно да посочите получения интервал от ъгли, т.е. какво е неговото начало и какъв е неговият край. Началото на интервала ще бъде ъгълът, съответстващ на точката, която ще влезем в самото начало на интервала, ако се движим обратно на часовниковата стрелка. В нашия случай това е точката, която е отляво, защото, движейки се обратно на часовниковата стрелка и преминавайки през дясната точка, напротив, оставяме необходимия диапазон от ъгли. Следователно правилната точка ще съответства на края на празнината.

Сега трябва да разберем ъглите на началото и края на нашия интервал от решения на неравенството. Типична грешка е веднага да посочите, че дясната точка съответства на ъгъла, лявата и да дадете отговора. Това не е вярно! Моля, обърнете внимание, че току-що посочихме интервала, съответстващ на горната част на кръга, въпреки че се интересуваме от долната част, с други думи, сме объркали началото и края на интервала на решение, от който се нуждаем.

За да започне интервалът от ъгъла на дясната точка и да завърши с ъгъла на лявата точка, е необходимо първият зададен ъгъл да е по-малък от втория. За да направим това, ще трябва да измерим ъгъла на дясната точка в отрицателната референтна посока, т.е. по часовниковата стрелка и той ще бъде равен на . След това, започвайки да се движим от нея в положителна посока на часовниковата стрелка, ще стигнем до дясната точка след лявата точка и ще получим стойността на ъгъла за нея. Сега началото на интервала от ъгли е по-малко от края и можем да напишем интервала от решения, без да вземаме предвид периода:

Като се има предвид, че такива интервали ще се повтарят безкраен брой пъти след всяко цяло число завъртания, получаваме общо решение, като се вземе предвид периодът на синуса:

Поставяме скоби, защото неравенството е строго, и избираме точките от окръжността, които отговарят на краищата на интервала.

Сравнете получения отговор с формулата за общото решение, която дадохме в лекцията.

Отговор. .

Този метод е добър за разбиране откъде идват формулите за общи решения на най-простите тригонални неравенства. Освен това е полезно за тези, които са твърде мързеливи, за да научат всички тези тромави формули. Самият метод обаче също не е лесен, изберете кой подход към решението е най-удобен за вас.

За решаване на тригонометрични неравенства можете също да използвате графики на функции, върху които е изградена спомагателна линия, подобно на метода, показан с използване на единична окръжност. Ако се интересувате, опитайте сами да разберете този подход към решението. По-нататък ще използваме общи формули за решаване на прости тригонометрични неравенства.

Задача No10. Решете неравенство.

Нека използваме формулата за общото решение, като вземем предвид факта, че неравенството не е строго:

В нашия случай получаваме:

Отговор.

Задача No11. Решете неравенство.

Нека използваме общата формула за решение на съответното строго неравенство:

Отговор. .

Задача No12. Решете неравенства: а) ; б) .

В тези неравенства няма нужда да бързате да използвате формули за общи решения или тригонометричен кръг, достатъчно е просто да запомните диапазона от стойности на синус и косинус.

а) Тъй като , тогава неравенството няма смисъл. Следователно решения няма.

б) Тъй като по подобен начин синусът на всеки аргумент винаги удовлетворява неравенството, посочено в условието. Следователно всички реални стойности на аргумента отговарят на неравенството.

Отговор. а) няма решения; б) .

Проблем 13. Решете неравенство .

Това най-просто неравенство със сложен аргумент се решава подобно на подобно уравнение. Първо намираме решение за целия аргумент, посочен в скоби, и след това го трансформираме във формата „“, работейки с двата края на интервала, както с дясната страна на уравнението.

Темата „Тригонометрични неравенства” е обективно трудна за възприемане и осмисляне от учениците в 10 клас. Ето защо е много важно последователно, от просто към сложно, да се развие разбиране на алгоритъма и да се развие стабилно умение за решаване на тригонометрични неравенства.

В статията е представен алгоритъм за решаване на най-прости тригонометрични неравенства и е дадено обобщение на урок, в който се усвояват по-сложни видове тригонометрични неравенства.

Изтегли:

Преглед:

Шчалпегина И.В.

Темата „Тригонометрични неравенства” е обективно трудна за възприемане и осмисляне от учениците в 10 клас. Ето защо е много важно последователно, от просто към сложно, да се развие разбиране на алгоритъма и да се развие стабилно умение за решаване на тригонометрични неравенства.

Успехът в усвояването на тази тема зависи от познаването на основните дефиниции и свойства на тригонометрични и обратни тригонометрични функции, познаване на тригонометрични формули, умение за решаване на цели и дробни рационални неравенства и основните видове тригонометрични уравнения.

Особено внимание трябва да се постави върху метода на преподаване на решенияпротозои тригонометрични неравенства, т.к всяко тригонометрично неравенство се свежда до решаване на най-простите неравенства.

За предпочитане е да се въведе основната идея за решаване на прости тригонометрични неравенства с помощта на графики на синус, косинус, тангенс и котангенс. И едва след това се научете да решавате тригонометрични неравенства върху окръжност.

Ще се спра на основните етапи на разсъжденията при решаването на най-простите тригонометрични неравенства.

1. На окръжността намираме точки, чийто синус (косинус) е равен на даденото число.
2. В случай на строго неравенство, маркираме тези точки на окръжността като пунктирани, в случай на нестрого неравенство, ние ги маркираме като защриховани.
3. Точката, лежаща върхуосновният интервал на монотонностсинусови (косинусови) функции, наречени P t1, друга точка - П t2.
4. Отбелязваме по синусовата (косинусовата) ос интервала, който удовлетворява това неравенство.
5. Избираме дъга върху окръжността, съответстваща на този интервал.
6. Определяме посоката на движение по дъгата (от точка P t1 до точка P t2 по дъга ), рисуваме стрелка по посока на движението, над която пишем знак „+“ или „-“ в зависимост от посоката на движение. (Този етап е важен за наблюдение на намерените ъгли. Учениците могат да илюстрират често срещаната грешка при намиране на границите на интервал, като използват примера за решаване на неравенствотонавреме синус или косинус иоколо обиколката).
7. Намиране на координатите на точки P t1 (като аркуссинус или аркосинус на дадено число)и Р t2 тези. границите на интервала, ние контролираме правилността на намирането на ъглите чрез сравняване на t 1 и t 2.
8. Записваме отговора под формата на двойно неравенство (или пропуск) от по-малкия ъгъл към по-големия.

Причината за решаване на неравенства с тангенс и котангенс е подобна.

Чертежът и записът на решението, което трябва да се отрази в ученическите тетрадки, са дадени в предложения конспект.

Обобщение на урока по темата: „Решаване на тригонометрични неравенства“.

Цел на урока – продължават да изучават решението на тригонометрични неравенства, съдържащи функциите синус и косинус, преминават от най-простите неравенства към по-сложни.

Цели на урока:

1. консолидиране на знанията за тригонометрични формули, таблични стойности на тригонометрични функции, формули за корените на тригонометрични уравнения;
2. развиване на умение за решаване на прости тригонометрични неравенства;
3. усвояване на техники за решаване на по-сложни тригонометрични неравенства;
4. развитие на логическо мислене, семантична памет, умения за самостоятелна работа, самопроверка;
5. насърчаване на точност и яснота при формулирането на решения, интерес към темата, уважение към съучениците.
6. формиране на образователни, когнитивни, информационни и комуникационни компетентности.

Оборудване: графопроектор, раздатъчни карти с готови чертежи на тригонометрични окръжности, преносима дъска, карти с домашна работа.

Форма организация на обучението – уч.Методи обучение, използвано в урока - словесно, нагледно, репродуктивно, проблемно-търсещо, индивидуално и фронтално анкетиране, устен и писмен самоконтрол, самостоятелна работа.

Самостоятелна работа

въз основа на резултатите от усвояването на материала.