Историята на последната теорема на Ферма. Феликс Кирсанов

Файл FERMA-KDVar © Н. М. Козий, 2008 г

Удостоверение на Украйна № 27312

КРАТКО ДОКАЗАТЕЛСТВО НА последната теорема на FERmat

Последната теорема на Ферма е формулирана по следния начин: Диофантово уравнение (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

А н + Б н = В н * /1/

Където н- положително цяло число, по-голямо от две, няма решение в цели числа положителни числа А , б , СЪС .

ДОКАЗАТЕЛСТВО

От формулировката на последната теорема на Ферма следва: ако не цяло положително число, по-голямо от две, при условие, че две от трите числа А , INили СЪС- положителни цели числа, едно от тези числа не е положително цяло число.

Ние конструираме доказателството въз основа на фундаменталната теорема на аритметиката, която се нарича „теорема за уникалността на факторизирането“ или „теорема за уникалността на разлагането на основни факторицели съставни числа." Възможни са нечетни и четни степени н . Нека разгледаме и двата случая.

1. Първи случай: експонента н - нечетно число.

В този случай изразът /1/ се преобразува според известни формулипо следния начин:

А н + IN н = СЪС н /2/

Ние вярваме в това АИ б– цели положителни числа.

Числа А , INИ СЪСтрябва да са взаимно прости числа.

От уравнение /2/ следва, че при дадени стойности на числата АИ бфактор ( А + б ) н , СЪС.

Да приемем, че числото С -положително цяло число. Като се имат предвид приетите условия и основната теорема на аритметиката, условието трябва да бъде изпълнено :

СЪС н = A n + B n =(A+B) n ∙ D n, / 3/

къде е факторът Dn д

От уравнение /3/ следва:

От уравнение /3/ също следва, че числото [ Cn = A n + Bn ] при условие, че броят СЪС ( А + б ) н. Въпреки това е известно, че:

A n + Bn < ( А + б ) н /5/

Следователно:

- дробно число, по-малко от едно. /6/

Дробно число.

н

За нечетни степени н >2 номер:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

От анализа на уравнение /2/ следва, че за нечетен показател нномер:

СЪС н = А н + IN н = (A+B)

се състои от два специфични алгебрични фактора и за всяка стойност на степенния показател налгебричният фактор остава непроменен ( А + б ).

По този начин последната теорема на Ферма няма решение в цели положителни числа за нечетни показатели н >2.

2. Втори случай: експонента н - четен брой .

Същността страхотна теоремаФермата няма да се промени, ако пренапишем уравнение /1/, както следва:

A n = Cn - Bn /7/

В този случай уравнението /7/ се трансформира, както следва:

A n = C n - B n = ( СЪС +B)∙(C n-1 + C n-2 · B+ C n-3 ∙ B 2 +…+ C ∙ Bn -2 + Bn -1 ). /8/

Ние приемаме това СЪСИ IN- цели числа.

От уравнение /8/ следва, че при дадени стойности на числата бИ ° Сфактор (C+ б ) има една и съща стойност за всяка стойност на експонентата н , следователно е делител на числото А .

Да приемем, че числото А– цяло число. Като се имат предвид приетите условия и основната теорема на аритметиката, условието трябва да бъде изпълнено :

А н = В н - Bn =(C+ б ) н ∙ Dn , / 9/

къде е факторът Dnтрябва да е цяло число и следователно числото дсъщо трябва да бъде цяло число.

От уравнение /9/ следва:

/10/

От уравнение /9/ също следва, че числото [ А н = СЪС н - Bn ] при условие, че броят А– цяло число, трябва да се дели на число (C+ б ) н. Въпреки това е известно, че:

СЪС н - Bn < (С+ б ) н /11/

Следователно:

- дробно число, по-малко от едно. /12/

Дробно число.

От това следва, че за нечетна стойност на показателя нуравнение /1/ на последната теорема на Ферма няма решение в цели положителни числа.

За четни степени н >2 номер:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

По този начин последната теорема на Ферма няма решение в положителни цели числа и за четни показатели н >2.

От горното следва общо заключение: уравнение /1/ на последната теорема на Ферма няма решение в цели положителни числа А, БИ СЪСпри условие, че показателят n >2.

ДОПЪЛНИТЕЛНА ОБОСНОВКА

В случай, когато експонентата н – четно число, алгебричен израз ( Cn - Bn ) се разлага на алгебрични фактори:

C 2 – B 2 =(C-B) ∙ (C+B); /13/

C 4 – B 4 = ( C-B) ∙ (C+B) (C 2 + B 2);/14/

C 6 – B 6 =(C-B) ∙ (C+B) · (C 2 –CB + B 2) ∙ (C 2 +CB+ B 2) ; /15/

C 8 – B 8= (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C 2 + B 2) ∙ (C 4 + B 4)./16/

Нека дадем примери в числа.

ПРИМЕР 1: B=11; C=35.

° С 2 – б 2 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) = 2 4 3 23;

° С 4 – б 4 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) = 2 4 3 23 673;

° С 6 – б 6 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (31 2) · (3 · 577) =2 ∙ 3 ​​​​∙ 23 ∙ 31 2 ∙ 577;

° С 8 – б 8 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) ∙ (2 75633) = 2 5 ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙ 75633 .

ПРИМЕР 2: B=16; C=25.

° С 2 – б 2 = (3 2) ∙ (41) = 3 2 ∙ 41;

° С 4 – б 4 = (3 2) ∙ (41) · (881) =3 2 ∙ 41 · 881;

° С 6 – б 6 = (3 2) ∙ (41) ∙ (2 2 ∙ 3) ∙ (13 37) (3 ∙ 7 61) = 3 3 7 ∙ 13 37 ∙ 41 ∙ 61;

° С 8 – б 8 = (3 2) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 26833) = 3 2 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 26833.

От анализа на уравнения /13/, /14/, /15/ и /16/ и съответните им числени примериследва:

За даден показател н , ако е четно число, числото А н = В н - Bnсе разлага на точно определен брой от добре дефинирани алгебрични фактори;

За произволен показател н , ако е четно число, в алгебричен израз (Cn - Bn ) винаги има множители ( ° С - б ) И ( ° С + б ) ;

Всеки алгебричен фактор съответства на напълно определен числов фактор;

За дадени числа INИ СЪСчисловите множители могат да бъдат прости числа или съставни числови множители;

Всеки съставен числов фактор е продукт прости числа, които частично или напълно отсъстват от други съставни числени фактори;

Размерът на простите числа в състава на съставните числови фактори нараства с увеличаването на тези фактори;

Най-големият съставен числен фактор, съответстващ на най-големия алгебричен фактор, включва най-голямото просто число на степен, по-малка от степента н(най-често в първа степен).

ЗАКЛЮЧЕНИЯ: Допълнителни доказателства подкрепят заключението, че последната теорема на Ферма няма решение в положителни цели числа.

машинен инженер

Веднъж в новогодишен бюлетин за това как се правят тостове, небрежно споменах, че в края на двадесети век се е случило едно велико събитие, което мнозина не са забелязали - така наречената последна теорема на Ферма най-накрая е доказана. Във връзка с това сред писмата, които получих, намерих два отговора от момичета (едно от тях, доколкото си спомням, беше деветокласничката Вика от Зеленоград), които бяха изненадани от този факт.

И бях изненадан от това колко силно се интересуваха момичетата от проблемите на съвременната математика. Затова смятам, че не само момичета, но и момчета от всички възрасти - от гимназисти до пенсионери, също ще се интересуват от историята на Великата теорема.

Доказателството на теоремата на Ферма е голямо събитие. И защото Не е обичайно да се шегуваме с думата „страхотно“, но ми се струва, че всеки уважаващ себе си оратор (а ние всички сме оратори, когато говорим) е просто длъжен да знае историята на теоремата.

Ако се случи така, че не обичате математиката толкова, колкото аз я обичам, тогава прегледайте някои от подробностите. Осъзнавайки, че не всички читатели на нашия бюлетин се интересуват от скитане в математическата джунгла, се опитах да не давам никакви формули (с изключение на уравнението на теоремата на Ферма и двойка хипотези) и да опростя отразяването на някои специфични въпроси, колкото възможен.

Как Ферма направи бъркотията

Френски адвокат и на непълно работно време страхотен математикПрез 17 век Пиер Ферма (1601-1665) излага едно интересно твърдение в областта на теорията на числата, което по-късно става известно като Великата (или Голямата) теорема на Ферма. Това е един от най-известните и феноменални математически теореми. Вероятно вълнението около него не би било толкова силно, ако в книгата на Диофант от Александрия (III в. сл. н. е.) „Аритметика“, която Ферма често изучаваше, правейки бележки в широките й полета и която синът му Самуел любезно запази за потомството , приблизително следният запис на великия математик не е открит:

„Имам някои много стряскащи доказателства, но те са твърде големи, за да се поберат в полетата.“

Именно този запис е причината за последвалия колосален шум около теоремата.

И така, известният учен обяви, че е доказал своята теорема. Нека се запитаме: наистина ли го доказа или просто излъга? Или има други версии, които обясняват появата на онази бележка в полетата, която не позволи на много математици от следващите поколения да спят спокойно?

Историята на Великата теорема е завладяваща като приключение във времето. През 1636 г. Ферма заявява, че уравнение от формата x n +y n =z nняма решения в цели числа с показател n>2. Това всъщност е последната теорема на Ферма. В тази на пръв поглед проста математическа формула Вселената е прикрила невероятна сложност. Американският математик от шотландски произход Ерик Темпъл Бел в книгата си " Последният проблем“ (1961) дори предполага, че може би човечеството ще престане да съществува, преди да успее да докаже последната теорема на Ферма.

Донякъде е странно, че по някаква причина теоремата закъсня с появата си, тъй като ситуацията беше назрявала дълго време, тъй като специалният й случай с n = 2 - друга известна математическа формула - теоремата на Питагор, възникна двадесет и два века по-рано. За разлика от теоремата на Ферма, Питагоровата теорема има безкраен брой решения в цяло число, като например Питагорови триъгълници: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …

Синдром на великата теорема

Кой не се е опитвал да докаже теоремата на Ферма? Всеки прохождащ студент смяташе за свой дълг да се приложи към Великата теорема, но никой не успя да го докаже. Отначало не работи в продължение на сто години. После още сто. И по-нататък. Сред математиците започна да се развива масов синдром: "Как може това? Ферма го доказа, но аз не мога да го направя или какво?" - и някои от тях полудяха на тази база в пълния смисъл на думата.

Колкото и пъти да е била проверявана теоремата, тя винаги се е оказвала вярна. Познавах един енергичен програмист, който беше обсебен от идеята да опровергае Великата теорема, като се опита да намери поне едно решение (контрапример) чрез изброяване на цели числа с помощта на високоскоростен компютър (по това време по-често наричан мейнфрейм). Той вярваше в успеха на своето предприятие и обичаше да казва: „Още малко - и ще избухне сензация!“ Мисля, че на различни места на нашата планета имаше значителен брой от този тип смели търсачи. Той, разбира се, не намери нито едно решение. И никакви компютри, дори и с невероятна скорост, никога не биха могли да проверят теоремата, защото всички променливи на това уравнение (включително експонентите) могат да нарастват до безкрайност.

Теоремата изисква доказателство

Математиците знаят, че ако една теорема не е доказана, от нея може да следва всичко (и вярно, и невярно), както беше при някои други хипотези. Например в едно от своите писма Пиер Ферма предполага, че числата от формата 2 n +1 (така наречените числа на Ферма) са непременно прости (т.е. нямат цели делители и се делят без остатък само на себе си и по едно), ако n е степен на две (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 и т.н.). Тази хипотеза на Ферма живее повече от сто години - докато през 1732 г. Леонхард Ойлер показва, че

2 32 +1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 641

След това, почти 150 години по-късно (1880 г.), Форчън Ландри факторизира следното число на Ферма:

2 64 +1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 67 280 421 310 721

Как успяха да намерят делителите на тези без помощта на компютри? големи числа- само Бог знае. На свой ред Ойлер изказва хипотезата, че уравнението x 4 +y 4 +z 4 =u 4 няма решения в цели числа. Въпреки това, приблизително 250 години по-късно, през 1988 г., Наум Елкис от Харвард успява да открие (с помощта на компютърна програма), Какво

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4

Следователно Последната теорема на Ферма изисква доказателство, в противен случай това е просто хипотеза и може да се окаже, че някъде там в безкрайните полета от числа решението на уравнението на Великата теорема е изгубено.

Най-виртуозният и плодовит математик на 18-ти век, Леонард Ойлер, чийто архив от записи човечеството претърсва почти цял век, доказва теоремата на Ферма за степени 3 и 4 (или по-скоро той повтаря изгубените доказателства на самия Пиер Ферма) ; неговият последовател в теорията на числата Лежандр (а също и независимо от него Дирихле) - за степен 5; Lame - за степен 7. Но като цяло теоремата остана недоказана.

На 1 март 1847 г. на среща на Парижката академия на науките двама изключителни математици - Габриел Ламе и Огюстен Коши - обявиха, че са стигнали до края на доказателството на Великата теорема и започнаха надпревара, публикувайки своите доказателства в части. Двубоят между тях обаче е прекъснат, тъй като в техните доказателства е открита същата грешка, която е посочена от немския математик Ернст Кумер.

В началото на 20-ти век (1908 г.) богат германски предприемач, филантроп и учен Пол Волфскел завещава сто хиляди марки на този, който представи пълно доказателство на теоремата на Ферма. Още в първата година след публикуването на завещанието на Wolfskehl от Академията на науките в Гьотинген, то беше залято с хиляди доказателства от любители на математиката и този поток не спря десетилетия, но всички те, както се досещате, съдържаха грешки . Казват, че академията е подготвила формуляри с приблизително следното съдържание:

Уважаеми __________________________!
Във вашето доказателство на теоремата на Ферма на ____ страница в ____ ред най-горе
беше открита следната грешка във формулата:__________________________:,

Които бяха изпратени на нещастни кандидати за награди.

По това време сред математиците се появи полупрезрителен прякор - земеделски производител. Така се наричаше всеки самоуверен новостарт, на когото му липсваха познания, но имаше повече от достатъчно амбиция да направи набързо всичко възможно, за да докаже Великата теорема, а след това, без да забелязва собствените си грешки, гордо се удряше по гърдите, заявявайки на висок глас : „Аз бях първият, който доказа теоремата на Ферма!“ Всеки фермер, дори да беше десетхилядник, се смяташе за първи - това беше смешно. просто външен видГолямата теорема напомни на фермистите толкова много за лесна плячка, че те изобщо не се смутиха, че дори Ойлер и Гаус не можаха да се справят с нея.

(Ферматистите, колкото и да е странно, съществуват и до днес. Въпреки че един от тях не смяташе, че е доказал теоремата, подобно на класически ферматист, той правеше опити доскоро - отказа да ми повярва, когато му казах, че теоремата на Ферма вече е била доказано).

Може би най-могъщите математици в тишината на кабинетите си също се опитаха да подходят предпазливо към тази невъзможна щанга, но не говореха за нея на глас, за да не бъдат заклеймени като фермери и по този начин да не накърнят високия си авторитет .

По това време се появи доказателство на теоремата за показателя n<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.

Странна хипотеза

До средата на двадесети век не е имало голям напредък в историята на Великата теорема. Но скоро в математическия живот се случи едно интересно събитие. През 1955 г. 28-годишният японски математик Ютака Танияма излага твърдение от съвсем различна област на математиката, наречено хипотезата на Танияма (известна също като хипотезата на Танияма-Шимура-Вейл), която, за разлика от закъснялата теорема на Ферма, е по-напред. на своето време.

Хипотезата на Танияма гласи: "всяка елиптична крива съответства на определена модулна форма." Това твърдение звучи толкова абсурдно за математиците от онова време, колкото за нас звучи твърдението: „всяко дърво съответства на определен метал“. Не е трудно да се отгатне как нормалният човек може да реагира на подобно твърдение - той просто няма да го приеме на сериозно, което се случи: математиците единодушно пренебрегнаха хипотезата.

Малко уточнение. Елиптичните криви, известни отдавна, имат двуизмерен вид (разположени в равнина). Модулните функции, открити през 19 век, имат четириизмерна форма, така че дори не можем да си ги представим с нашите триизмерни мозъци, но можем да ги опишем математически; освен това, модулните форми са невероятни с това, че притежават възможно най-голяма симетрия - те могат да бъдат транслирани (изместени) във всяка посока, огледални, фрагменти разменени, завъртани по безкрайно много начини - и въпреки това външният им вид не се променя. Както можете да видите, елиптичните криви и модулните форми имат малко общо. Хипотезата на Танияма гласи, че описателните уравнения на два съответстващи напълно различни математически обекта могат да бъдат разширени в една и съща математическа серия.

Хипотезата на Танияма беше твърде парадоксална: тя съчетаваше напълно различни концепции - по-скоро прости плоски криви и невъобразими четириизмерни форми. Това никога не е хрумвало на никого. Когато на международен математически симпозиум в Токио през септември 1955 г. Танияма демонстрира няколко съответствия на елиптични криви с модулни форми, всички видяха това като нищо повече от забавни съвпадения. На скромния въпрос на Танияма: възможно ли е да се намери съответната модулна функция за всяка елиптична крива, уважаемият французин Андре Вейл, който по онова време беше един от най-добрите световни специалисти по теория на числата, даде напълно дипломатичен отговор, че, според тях, ако любознателният Танияма не остави ентусиазъм, тогава може би ще има късмет и невероятната му хипотеза ще бъде потвърдена, но това вероятно няма да се случи скоро. Като цяло, подобно на много други изключителни открития, първоначално хипотезата на Танияма остана незабелязана, защото хората все още не бяха узрели достатъчно, за да я разберат - почти никой не я разбра. Само колегата на Танияма, Горо Шимура, познавайки добре своя изключително надарен приятел, интуитивно почувства, че хипотезата му е правилна.

Три години по-късно (1958) Ютака Танияма се самоубива (самурайските традиции обаче са силни в Япония). От гледна точка на здравия разум това е неразбираема постъпка, особено като се има предвид, че много скоро той щеше да се жени. Лидерът на младите японски математици започна самоубийствената си бележка така: "Вчера не мислех за самоубийство. Напоследък често чувам от другите, че съм уморен психически и физически. Всъщност все още не разбирам защо" m doing this...” и така нататък на три листа. Жалко, разбира се, че това беше съдбата на интересен човек, но всички гении са малко странни - затова са гении (по някаква причина се сетих думите на Артур Шопенхауер: „в обикновения живот гений е полезен като телескоп в театъра”). Хипотезата е осиротяла. Никой не знаеше как да го докаже.

В продължение на около десет години те почти не си спомняха хипотезата на Танияма. Но в началото на 70-те години той става популярен - редовно се тества от всеки, който може да го разбере - и винаги се потвърждава (както всъщност теоремата на Ферма), но, както и преди, никой не може да го докаже.

Изненадваща връзка между две хипотези

Минаха още около 15 години. През 1984 г. се случи едно ключово събитие в живота на математиката, което комбинира екстравагантната японска хипотеза с последната теорема на Ферма. Германецът Герхард Фрей изложи интересно твърдение, подобно на теоремата: „Ако хипотезата на Танияма бъде доказана, тогава последната теорема на Ферма също ще бъде доказана.“ С други думи, теоремата на Ферма е следствие от хипотезата на Танияма. (Фрей, използвайки умни математически трансформации, намали уравнението на Ферма до формата на уравнение на елиптична крива (същото, което се появява в хипотезата на Танияма), повече или по-малко обоснова своето предположение, но не можа да го докаже). И само година и половина по-късно (1986 г.) професорът от Калифорнийския университет Кенет Рибет ясно доказва теоремата на Фрей.

Какво стана сега? Сега се оказва, че тъй като теоремата на Ферма вече е следствие от хипотезата на Танияма, трябва само да се докаже последното, за да се спечелят лаврите на покорителя на легендарната теорема на Ферма. Но хипотезата се оказа трудна. Освен това математиците през вековете са станали алергични към теоремата на Ферма и много от тях са решили, че би било почти невъзможно да се справят с хипотезата на Танияма.

Смъртта на хипотезата на Ферма. Раждането на теоремата

Минаха още 8 години. Един прогресивен английски професор по математика от Принстънския университет (Ню Джърси, САЩ), Андрю Уайлс, смята, че е намерил доказателство за хипотезата на Танияма. Ако един гений не е плешив, тогава, като правило, той е разрошен. Уайлс е разрошен и затова изглежда като гений. Влизането в историята, разбира се, беше изкушаващо и аз наистина исках, но Уайлс, като истински учен, не се заблуждаваше, осъзнавайки, че хиляди фермери преди него също виждаха призрачни доказателства. Ето защо, преди да представи своето доказателство на света, той внимателно го провери сам, но осъзнавайки, че може да има субективно пристрастие, той също включи други в проверките, например под прикритието на обикновени математически задачи, той понякога хвърляше различни фрагменти на неговото доказателство за интелигентни студенти. Уайлс по-късно призна, че никой освен съпругата му не е знаел, че той работи върху доказателство на Великата теорема.

И така, след много изпитания и болезнен размисъл, Уайлс най-накрая събра смелост или може би, както му се струваше, арогантност и на 23 юни 1993 г. на математическа конференция по теория на числата в Кеймбридж той обяви голямото си постижение.

Това, разбира се, беше сензация. Никой не очакваше такава ловкост от малко известен математик. Пресата веднага се появи. Всички бяха измъчвани от изгарящ интерес. Стройни формули, като щрихи от красива картина, изникнаха пред любопитните погледи на събралите се. Истинските математици, те са такива, гледат всякакви уравнения и виждат в тях не числа, константи и променливи, а чуват музика, както Моцарт гледа тоягата. Точно както когато четем книга, гледаме буквите, но сякаш не ги забелязваме, а веднага долавяме смисъла на текста.

Представянето на доказателството изглеждаше добре - в него не бяха открити грешки - никой не чу нито една фалшива нотка (въпреки че повечето математици просто се взираха в него като първокласници в интеграл и нищо не разбраха). Всички решиха, че се е случило мащабно събитие: хипотезата на Танияма беше доказана и следователно последната теорема на Ферма. Но около два месеца по-късно, няколко дни преди ръкописът на доказателството на Уайлс да бъде публикуван, в него беше открито несъответствие (Кац, колега на Уайлс, забеляза, че един фрагмент от разсъжденията се основава на „системата на Ойлер“, но че построена от Wiles, не беше такава система), въпреки че като цяло техниките на Wiles бяха смятани за интересни, елегантни и новаторски.

Уайлс анализира ситуацията и реши, че е загубил. Човек може да си представи как е усещал с цялото си същество какво означава „една крачка от великото към смешното“. „Исках да вляза в историята, но вместо това станах част от екип от клоуни и комици - арогантни фермери” - това са мислите, които го изтощават в този труден период от живота му. За него, сериозен математик, това беше трагедия и той хвърли доказателството си в забрава.

Но малко повече от година по-късно, през септември 1994 г., докато размишляваше за това пречка в доказателството заедно с колегата си Тейлър от Оксфорд, последният внезапно беше поразен от идеята, че „системата на Ойлер“ може да бъде заменена от теорията на Ивасава (а клон на теорията на числата). Тогава те се опитаха да използват теорията на Ивасава, без „системата на Ойлер“ и всичко им се получи. Коригираният вариант на доказателството беше предоставен за проверка и година по-късно беше обявено, че всичко в него е абсолютно ясно, без нито една грешка. През лятото на 1995 г. в едно от водещите математически списания - "Annals of Mathematics" - беше публикувано пълно доказателство на хипотезата на Танияма (следователно Голямата теорема на Ферма), което зае целия брой - над сто страници. Доказателството е толкова сложно, че само няколко десетки души по света биха могли да го разберат в неговата цялост.

Така в края на двадесети век целият свят призна, че на 360-ата година от живота си Последната теорема на Ферма, която всъщност през цялото това време е била хипотеза, най-накрая се е превърнала в доказана теорема. Андрю Уайлс доказва Голямата теорема на Ферма и остава в историята.

Само си помислете, те доказаха някаква теорема...

Щастието на откривателя винаги е при един човек - той е този, който с последния удар на чука счупва твърдия орех на знанието. Но не можем да пренебрегнем многото предишни удари, които в продължение на векове образуваха пукнатина във Великата теорема: Ойлер и Гаус (кралете на математиката на своето време), Еварист Галоа (който успя да създаде теориите за групите и полетата в своите кратки 21- година от живота, чиято работа е призната за гениална едва след смъртта му), Анри Поанкаре (основателят не само на причудливи модулни форми, но и на конвенционализма - философско движение), Дейвид Гилбърт (един от най-силните математици на ХХ век) , Ютака Танияма, Горо Шимура, Мордел, Фалтингс, Ернст Кумер, Бари Мазур, Герхард Фрей, Кен Рибет, Ричард Тейлър и др. истински учени(Не ме е страх от тези думи).

Доказателството на последната теорема на Ферма може да се постави наравно с такива постижения на двадесети век като изобретяването на компютъра, ядрената бомба и космическите полети. Въпреки че не е толкова широко известно, защото не нахлува в зоната на нашите непосредствени интереси, като телевизор или електрическа крушка, това беше експлозия на свръхнова, която, както всички неизменни истини, винаги ще свети за човечеството.

Можете да кажете: „само си помислете, те доказаха някаква теорема, кому е нужно?". Справедлив въпрос. Отговорът на Дейвид Гилбърт се вписва точно тук. На въпроса: „Коя задача е най-важна за науката сега?", Той отговори: „Хванете муха на обратната страна на Луната", той беше разумно попитан: „ И кому е нужно?“, той отговори: „Никой няма нужда от това. Но помислете колко важни, сложни проблеми трябва да бъдат решени, за да се постигне това." Помислете колко проблеми е успяло да разреши човечеството за 360 години, преди да докаже теоремата на Ферма. Почти половината от съвременната математика е открита в търсене на нейната доказателство , Също така е необходимо да се вземе предвид, че математиката е авангардът на науката (и, между другото, единствената наука, която е изградена без нито една грешка) и всякакви научни постижения и изобретения започват тук. Както отбеляза Леонардо да Винчи, „само това учение може да бъде признато за наука, което е потвърдено математически“.

* * *

Сега да се върнем към началото на нашата история, да си спомним бележката на Пиер Ферма в полетата на учебника на Диофант и отново да си зададем въпроса: наистина ли Ферма е доказал своята теорема? Ние, разбира се, не можем да знаем това със сигурност и както във всеки случай тук възникват различни версии:

Версия 1:Ферма доказа своята теорема. (Когато го попитаха: „Имал ли е Ферма точно същото доказателство за своята теорема?“, Андрю Уайлс отбеляза: „Ферма не би могъл да има като тозидоказателство. Това е доказателството за 20-ти век." Вие и аз разбираме, че през 17-ти век математиката, разбира се, не е била същата като в края на 20-ти век - в онази епоха Артанян, кралицата на науките, все още не имат тези открития (модулни форми, теоремите на Танияма, Фрея и т.н.), които сами направиха възможно доказването на последната теорема на Ферма. Разбира се, човек може да предположи: какво, по дяволите, е това - какво ще стане, ако Ферма го е разбрал по различен начин ? Тази версия, макар и вероятна, според оценките на повечето математици е практически невъзможна);
Версия 2:Пиер Ферма смяташе, че е доказал своята теорема, но в доказателството му имаше грешки. (Тоест самият Ферма също е първият фермер);
Версия 3:Ферма не доказа своята теорема, а просто излъга в полетата.

Ако една от последните две версии е вярна, което е най-вероятно, тогава можем да направим просто заключение: страхотни хора, въпреки че са страхотни, те също могат да грешат или понякога не са склонни да лъжат(най-вече това заключение ще бъде полезно за тези, които са склонни напълно да се доверят на своите идоли и други владетели на мислите). Ето защо, когато четете произведенията на авторитетни синове на човечеството или слушате техните патетични речи, имате пълното право да се съмнявате в техните твърдения. (Моля, имайте предвид, че съмнението не означава отхвърляне).

Възпроизвеждането на материалите на статията е възможно само със задължителни връзки към сайта (в Интернет - хипервръзка) и на автора

Няма много хора в света, които никога не са чували за последната теорема на Ферма - може би това е единственият математически проблем, който е станал толкова широко известен и се е превърнал в истинска легенда. Споменава се в много книги и филми, а основният контекст на почти всички споменавания е невъзможността да се докаже теоремата.

Да, тази теорема е много известна и в известен смисъл се е превърнала в „идол“, боготворен от любители и професионални математици, но малко хора знаят, че нейното доказателство е намерено и това се случи през 1995 г. Но на първо място.

И така, последната теорема на Ферма (често наричана последната теорема на Ферма), формулирана през 1637 г. от брилянтния френски математик Пиер Ферма, е много проста по същество и разбираема за всеки със средно образование. Той казва, че формулата a на степен n + b на степен n = c на степен n няма естествени (т.е. не дробни) решения за n > 2. Всичко изглежда просто и ясно, но най-добрите математици и обикновените аматьори са се борили с търсенето на решение повече от три века и половина.

Защо е толкова известна? Сега ще разберем...

Има ли много доказани, недоказани и все още недоказани теореми? Въпросът тук е, че последната теорема на Ферма представлява най-големият контраст между простотата на формулировката и сложността на доказателството. Последната теорема на Ферма е невероятно трудна задача и въпреки това нейната формулировка може да бъде разбрана от всеки с ниво 5-ти клас. гимназия, но доказателството дори не е за всеки професионален математик. Нито във физиката, нито в химията, нито в биологията, нито в математиката няма нито един проблем, който да може да бъде формулиран толкова просто, но да остане нерешен толкова дълго. 2. От какво се състои?

Да започнем с Питагоровите панталони.Формулировката е наистина проста - на пръв поглед. Както знаем от детството, „Питагоровите панталони са еднакви от всички страни“. Проблемът изглежда толкова прост, защото се основаваше на математическо твърдение, което всеки знае - Питагоровата теорема: във всеки правоъгълен триъгълник квадратът, построен върху хипотенузата, е равен на сбора от квадратите, построени върху катетите.

През 5 век пр.н.е. Питагор основал Питагорейското братство. Питагорейците, наред с други неща, изучават цели тройки, които отговарят на равенството x²+y²=z². Те доказаха, че има безкрайно много Питагорови тройки и получиха общи формулида ги намериш. Вероятно са се опитали да търсят тройки или повече високи градуси. Убедени, че това не работи, питагорейците изоставят безполезните си опити. Членовете на братството бяха повече философи и естети, отколкото математици.

Тоест, лесно е да се избере набор от числа, които напълно отговарят на равенството x²+y²=z²

Започвайки от 3, 4, 5 - наистина младши ученик разбира, че 9 + 16 = 25.

Или 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Страхотно.

И така, оказва се, че НЕ са. Тук започва уловката. Простотата е привидна, защото е трудно да се докаже не наличието на нещо, а напротив, липсата му. Когато трябва да докажете, че има решение, можете и трябва просто да представите това решение.

Доказването на липсата е по-трудно: например някой казва: такова и такова уравнение няма решения. Да го сложим в локва? лесно: бам - и ето го, решението! (дайте решение). И това е, противникът е победен. Как да докажа отсъствието?

Кажете: „Не намерих такива решения“? Или може би не изглеждаше добре? Ами ако съществуват, само много големи, много големи, такива, че дори супермощен компютър все още няма достатъчно сила? Ето това е трудното.

Това може да се покаже визуално по следния начин: ако вземете два квадрата с подходящи размери и ги разглобите на единични квадрати, тогава от тази група единични квадрати ще получите трети квадрат (фиг. 2):


Но нека направим същото с третото измерение (фиг. 3) - не работи. Няма достатъчно кубчета или са останали допълнителни:

Но математикът от 17-ти век, французинът Пиер дьо Ферма, ентусиазирано изследва общо уравнение x n +y n =z n. И накрая заключих: за n>2 няма цели решения. Доказателството на Ферма е безвъзвратно загубено. Горят ръкописи! Всичко, което остава, е неговата забележка в Аритметиката на Диофант: „Намерих наистина удивително доказателство за това твърдение, но полетата тук са твърде тесни, за да го поберат.“

Всъщност теорема без доказателство се нарича хипотеза. Но Ферма има репутацията на човек, който никога не прави грешки. Дори и да не е оставил доказателства за изявление, то впоследствие е потвърдено. Освен това Ферма доказва своята теза за n=4. Така хипотезата на френския математик влезе в историята като последната теорема на Ферма.

След Ферма такива велики умове като Леонхард Ойлер работят върху търсенето на доказателство (през 1770 г. той предлага решение за n = 3),

Адриен Лежандр и Йохан Дирихле (тези учени заедно намериха доказателството за n = 5 през 1825 г.), Габриел Ламе (който намери доказателството за n = 7) и много други. Към средата на 80-те години става ясно, че научен святе на път към окончателното решение на последната теорема на Ферма, но едва през 1993 г. математиците виждат и вярват, че тривековната епопея на търсене на доказателство за последната теорема на Ферма на практика е приключила.

Лесно се показва, че е достатъчно да се докаже теоремата на Ферма само за просто n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... За съставно n доказателството остава валидно. Но има безкрайно много прости числа...

През 1825 г., използвайки метода на Софи Жермен, жените математици, Дирихле и Лежандр независимо доказват теоремата за n=5. През 1839 г., използвайки същия метод, французинът Габриел Ламе показа истинността на теоремата за n=7. Постепенно теоремата беше доказана за почти всички n по-малко от сто.

И накрая, немският математик Ернст Кумер в едно блестящо изследване показа, че теоремата като цяло не може да бъде доказана с помощта на методите на математиката от 19 век. награда Френска академияНауката, създадена през 1847 г. за доказателство на теоремата на Ферма, остава ненаградена.

През 1907 г. богатият немски индустриалец Пол Волфскел решава да посегне на живота си заради несподелена любов. Като истински германец той определи датата и часа на самоубийството: точно в полунощ. В последния ден направил завещание и написал писма до приятели и роднини. Нещата приключиха преди полунощ. Трябва да се каже, че Пол се интересуваше от математика. Тъй като нямаше какво друго да прави, той отиде в библиотеката и започна да чете известната статия на Kummer. Изведнъж му се стори, че Кумер е направил грешка в разсъжденията си. Волфскел започна да анализира тази част от статията с молив в ръце. Мина полунощ, дойде утрото. Празнината в доказателството е запълнена. И самата причина за самоубийството сега изглеждаше напълно смешна. Павел скъса прощалните си писма и пренаписа завещанието си.

Той почина скоро след това естествена смърт. Наследниците бяха доста изненадани: 100 000 марки (повече от 1 000 000 сегашни лири стерлинги) бяха преведени по сметката на Кралското научно дружество в Гьотинген, което през същата година обяви конкурс за наградата Wolfskehl. 100 000 марки получи този, който докаже теоремата на Ферма. Нито пфениг не беше присъден за опровергаване на теоремата...

Повечето професионални математици смятат търсенето на доказателство на последната теорема на Ферма за безнадеждна задача и решително отказват да губят време за такова безполезно упражнение. Но аматьорите се забавляваха. Няколко седмици след съобщението, лавина от „доказателства“ удари университета в Гьотинген. Професор Е. М. Ландау, чиято отговорност беше да анализира изпратените доказателства, раздаде карти на своите студенти:

скъпи . . . . . . .

Благодаря ви, че ми изпратихте ръкописа с доказателството на последната теорема на Ферма. Първата грешка е на страница ... в ред... . Поради това цялото доказателство губи своята валидност.
Професор Е. М. Ландау

През 1963 г. Пол Коен, разчитайки на откритията на Гьодел, доказва неразрешимостта на един от двадесет и трите проблема на Хилберт – хипотезата за континуума. Ами ако последната теорема на Ферма също е неразрешима?! Но истинските фанатици на Великата теорема изобщо не бяха разочаровани. Появата на компютрите внезапно даде на математиците нов метод за доказване. След Втората световна война екипи от програмисти и математици доказаха последната теорема на Ферма за всички стойности на n до 500, след това до 1000 и по-късно до 10 000.

През 80-те години на миналия век Самюел Уагстаф вдигна границата до 25 000, а през 90-те години математиците обявиха, че последната теорема на Ферма е вярна за всички стойности на n до 4 милиона. Но ако извадите дори трилион трилиона от безкрайността, той няма да стане по-малък. Математиците не са убедени от статистиката. Да се ​​докаже Великата теорема означаваше да се докаже за ВСИЧКИ n, отиващи до безкрайност.

През 1954 г. двама млади японски приятели математици започват да изследват модулни форми. Тези форми генерират серии от числа, всяка със собствена серия. Случайно Танияма сравнява тези серии с серии, генерирани от елиптични уравнения. Съвпадаха! Но модулните форми са геометрични обекти, а елиптичните уравнения са алгебрични. Никога не е открита връзка между толкова различни обекти.

Въпреки това, след внимателно тестване, приятели изложиха хипотеза: всяко елиптично уравнение има близнак - модулна форма и обратно. Именно тази хипотеза стана основата на цяло направление в математиката, но докато не се докаже хипотезата на Танияма-Шимура, цялата сграда можеше да рухне всеки момент.

През 1984 г. Герхард Фрей показа, че решение на уравнението на Ферма, ако съществува, може да бъде включено в някакво елиптично уравнение. Две години по-късно професор Кен Рибет доказа, че това хипотетично уравнение не може да има аналог в модулния свят. Отсега нататък последната теорема на Ферма беше неразривно свързана с хипотезата на Танияма-Шимура. След като доказахме, че всяка елиптична крива е модулна, заключаваме, че няма елиптично уравнение с решение на уравнението на Ферма и последната теорема на Ферма ще бъде незабавно доказана. Но в продължение на тридесет години не беше възможно да се докаже хипотезата на Танияма-Шимура и оставаше все по-малко надежда за успех.

През 1963 г., когато е само на десет години, Андрю Уайлс вече е увлечен от математиката. Когато научил за Великата теорема, той осъзнал, че не може да се откаже от нея. Като ученик, студент и аспирант той се подготвя за тази задача.

След като научил за откритията на Кен Рибет, Уайлс се впуснал с глава в доказването на хипотезата на Танияма-Шимура. Той реши да работи в пълна изолация и секретност. „Разбрах, че всичко, което има нещо общо с последната теорема на Ферма, предизвиква твърде голям интерес... Твърде много зрители очевидно пречат на постигането на целта.“ Седем години упорит труд дадоха плодове, Уайлс най-накрая завърши доказателството на предположението на Танияма-Шимура.

През 1993 г. английският математик Андрю Уайлс представи на света своето доказателство за последната теорема на Ферма (Уайлс прочете сензационната си статия на конференция в Института сър Исак Нютон в Кеймбридж.), Работата по която продължи повече от седем години.

Докато шумът продължава в пресата, започва сериозна работа за проверка на доказателствата. Всяко доказателство трябва да бъде внимателно проучено, преди да може да се счита за строго и точно. Уайлс прекара неспокойно лято в очакване на обратна връзка от рецензенти, надявайки се, че ще успее да спечели тяхното одобрение. В края на август експертите намериха присъдата за недостатъчно мотивирана.

Оказа се, че това решение съдържа груба грешка, въпреки че като цяло е правилно. Уайлс не се отказал, потърсил помощта на известния специалист по теория на числата Ричард Тейлър и още през 1994 г. публикували коригирано и разширено доказателство на теоремата. Най-удивителното е, че тази работа заема цели 130 (!) страници в математическото списание „Annals of Mathematics“. Но историята не свърши и дотук - крайната точка беше достигната едва през следващата 1995 г., когато беше публикувана окончателната и „идеална“, от математическа гледна точка, версия на доказателството.

„... половин минута след началото на празничната вечеря по случай нейния рожден ден, представих на Надя ръкописа на пълното доказателство“ (Андрю Уелс). Нали вече казах, че математиците са странни хора?

Този път нямаше съмнение относно доказателствата. Две статии бяха подложени на най-внимателен анализ и бяха публикувани през май 1995 г. в Annals of Mathematics.

От този момент мина много време, но в обществото все още има мнение, че последната теорема на Ферма е неразрешима. Но дори тези, които знаят за намереното доказателство, продължават да работят в тази посока – малцина са доволни, че Великата теорема изисква решение от 130 страници!

Ето защо сега усилията на много математици (предимно аматьори, а не професионални учени) са хвърлени в търсене на просто и кратко доказателство, но този път най-вероятно няма да доведе до никъде...

източник