Неравенствата се наричат линейничиято лява и дясна страна са линейни функции по отношение на неизвестното количество. Те включват например неравенства:
2x-1-x+3; 7x0;
5 >4 - 6 пъти 9- х< x + 5 .
1) Строги неравенства: брадва +b>0или брадва+б<0
2) Нестроги неравенства: брадва +b≤0или брадва+б≫ 0
Нека анализираме тази задача. Една от страните на успоредника е 7 cm. Каква трябва да е дължината на другата страна, така че периметърът на успоредника да е по-голям от 44 cm?
Нека търсената страна бъде хсм. В този случай периметърът на успоредника ще бъде представен от (14 + 2x) см. Неравенството 14 + 2x > 44 е математически моделзадачи по периметъра на успоредник. Ако заместим променливата в това неравенство хнапример върху числото 16, тогава получаваме правилното числово неравенство 14 + 32 > 44. В този случай казват, че числото 16 е решение на неравенството 14 + 2x > 44.
Решаване на неравенствотоназовете стойността на променлива, която я превръща в истинско числово неравенство.
Следователно всяко от числата е 15,1; 20;73 действат като решение на неравенството 14 + 2x > 44, но числото 10 например не е негово решение.
Решете неравенствоозначава да се установят всички негови решения или да се докаже, че няма решения.
Формулировката на решението на неравенството е подобна на формулировката на корена на уравнението. И все пак не е обичайно да се обозначава „коренът на неравенството“.
Свойствата на числовите равенства ни помогнаха да решим уравнения. По подобен начин свойствата на числените неравенства ще помогнат за решаването на неравенства.
Когато решаваме уравнение, ние го заместваме с друго, по-просто уравнение, но еквивалентно на даденото. Отговорът на неравенствата се намира по подобен начин. Когато променят уравнение на еквивалентно уравнение, те използват теоремата за прехвърляне на членове от едната страна на уравнението към противоположната и за умножаването на двете страни на уравнението с едно и също ненулево число. При решаването на неравенство има значителна разлика между него и уравнението, която се състои във факта, че всяко решение на уравнение може да бъде проверено просто чрез заместване в оригиналното уравнение. В неравенствата този метод отсъства, тъй като не е възможно да се заменят безброй решения в първоначалното неравенство. Следователно, има важна концепция, тези стрели<=>е знак за еквивалентни или еквивалентни трансформации. Трансформацията се нарича еквивалентен,или еквивалентен, ако не променят набора от решения.
Подобни правила за решаване на неравенства.
Ако преместим който и да е член от една част на неравенството в друга, като заменим знака му с противоположния, получаваме неравенство, еквивалентно на това.
Ако двете страни на неравенството се умножат (делят) по еднакво положително число, тогава получаваме неравенство, еквивалентно на това.
Ако двете страни на неравенството се умножат (разделят) с едно и също отрицателно число, като знакът на неравенството се замени с противоположния, се получава неравенство, еквивалентно на даденото.
Използвайки тези правилаНека изчислим следните неравенства.
1) Нека анализираме неравенството 2x - 5 > 9.
Това линейно неравенство, ще намерим неговото решение и ще обсъдим основните понятия.
2x - 5 > 9<=>2x>14(5 беше преместено вляво с противоположния знак), след това разделихме всичко на 2 и имаме х > 7. Нека начертаем множеството от решения върху оста х
Получихме положително насочен лъч. Отбелязваме набора от решения или под формата на неравенство х > 7, или под формата на интервала x(7; ∞). Какво е конкретното решение на това неравенство? Например, х = 10е конкретно решение на това неравенство, х = 12- това също е конкретно решение на това неравенство.
Има много частични решения, но нашата задача е да намерим всички решения. И обикновено има безброй решения.
Нека го подредим пример 2:
2) Решете неравенство 4а - 11 > а + 13.
Нека го решим: Апреместете го на една страна 11 преместете го на другата страна, получаваме 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 неравенството има формата а<8 .
4а - 11 > а + 13<=>3а< 24 <=>а< 8 .
Ще покажем и комплекта а< 8 , но вече на оста А.
Или записваме отговора под формата на неравенство a< 8, либо А(-∞;8), 8 не се включва.
Решаване на неравенства онлайн
Преди да решавате неравенства, трябва да разберете добре как се решават уравнения.
Няма значение дали неравенството е строго () или нестрого (≤, ≥), първата стъпка е да решите уравнението, като замените знака за неравенство с равенство (=).
Нека обясним какво означава да се реши неравенство?
След като изучава уравненията, ученикът получава следната картина в главата си: той трябва да намери стойности на променливата, така че и двете страни на уравнението да приемат едни и същи стойности. С други думи, намерете всички точки, в които е валидно равенството. Всичко е точно!
Когато говорим за неравенства, имаме предвид намиране на интервали (отсечки), на които е валидно неравенството. Ако има две променливи в неравенството, тогава решението вече няма да бъде интервали, а някои области на равнината. Познайте сами какво ще бъде решението на неравенство в три променливи?
Как се решават неравенства?
За универсален начин за решаване на неравенства се счита методът на интервалите (известен още като метод на интервалите), който се състои в определяне на всички интервали, в границите на които ще бъде изпълнено дадено неравенство.
Без да навлизаме в типа неравенство, в такъв случайтова не е въпросът, трябва да решите съответното уравнение и да определите неговите корени, последвано от обозначаването на тези решения на числовата ос.
Как правилно да напиша решението на неравенство?
След като определите интервалите за решаване на неравенството, трябва да напишете правилно самото решение. Има важен нюанс - включени ли са границите на интервалите в решението?
Тук всичко е просто. Ако решението на уравнението удовлетворява ODZ и неравенството не е строго, тогава границата на интервала се включва в решението на неравенството. В противен случай не.
Разглеждайки всеки интервал, решението на неравенството може да бъде самият интервал, или полуинтервал (когато една от неговите граници удовлетворява неравенството), или сегмент - интервалът заедно с неговите граници.
Важен момент
Не си мислете, че само интервали, полуинтервали и отсечки могат да решат неравенството. Не, решението може да включва и отделни точки.
Например неравенството |x|≤0 има само едно решение - това е точка 0.
И неравенството |x|
Защо ви е необходим калкулатор за неравенство?
Калкулаторът за неравенства дава правилния краен отговор. В повечето случаи се предоставя илюстрация на числова ос или равнина. Вижда се дали границите на интервалите са включени в решението или не - точките се показват като защриховани или пунктирани.
Благодарение на онлайн калкулатора за неравенства можете да проверите дали правилно сте намерили корените на уравнението, маркирали сте ги на числовата ос и сте проверили изпълнението на условието за неравенство на интервалите (и границите)?
Ако вашият отговор се различава от отговора на калкулатора, тогава определено трябва да проверите повторно решението си и да идентифицирате грешката.
Какво трябва да знаете за иконите за неравенство? Неравенства с икона Повече ▼ (> ), или по-малко (< ) са наречени строг.С икони повече или равно (≥ ), по-малко или равно (≤ ) са наречени не е строг.Икона не е равно (≠ ) стои отделно, но вие също трябва да решавате примери с тази икона през цялото време. И ние ще решим.)
Самата икона няма голямо влияние върху процеса на решение. Но в края на решението, при избора на окончателния отговор, значението на иконата се появява с пълна сила! Това ще видим по-долу в примери. Има някакви вицове...
Неравенствата, както и равенствата, съществуват верни и неверни.Тук всичко е просто, без трикове. Да речем 5 > 2 - истинско неравенство. 5 < 2 - неправилно.
Този препарат работи при неравности всякакъв види просто до точката на ужас.) Просто трябва правилно да изпълните две (само две!) елементарни действия. Тези действия са познати на всички. Но, което е характерно, грешките в тези действия са основната грешка при решаването на неравенства, да... Следователно тези действия трябва да се повтарят. Тези действия се наричат по следния начин:
Тъждествени преобразувания на неравенства.
Тъждествените трансформации на неравенства са много подобни на тъждествените трансформации на уравнения. Всъщност това е основният проблем. Разликите минават през главата ви и... ето ви.) Затова ще подчертая специално тези разлики. И така, първата идентична трансформация на неравенства:
1. Едно и също число или израз може да се добави (извади) към двете страни на неравенството. Всякакви. Това няма да промени знака за неравенство.
На практика това правило се използва като прехвърляне на членове от лявата страна на неравенството в дясната (и обратно) с промяна на знака. Със смяна на знака на члена, а не на неравенството! Правилото едно към едно е същото като правилото за уравнения. Но следващите идентични трансформации в неравенствата се различават значително от тези в уравненията. Затова ги маркирам в червено:
2. И двете страни на неравенството могат да бъдат умножени (разделени) по едно и също нещоположителенномер. За всякаквиположителен Няма да се промени.
3. И двете страни на неравенството могат да бъдат умножени (разделени) по едно и също нещоотрицателенномер. За всякаквиотрицателенномер. Знакът за неравенство от товаще се промени на обратното.
Спомняте си (надявам се...), че уравнението може да бъде умножено/разделено по всичко. И за всяко число, и за израз с X. Само да не беше нула. Това го прави, уравнението, нито горещ, нито студен.) Не се променя. Но неравенствата са по-чувствителни към умножение/деление.
Ярък пример за дълга памет. Нека напишем неравенство, което не буди съмнение:
5 > 2
Умножете двете страни по +3, получаваме:
15 > 6
Някакви възражения? Няма възражения.) И ако умножим двете страни на първоначалното неравенство по -3, получаваме:
15 > -6
И това е откровена лъжа.) Пълна лъжа! Измама на народа! Но веднага щом промените знака за неравенство на противоположния, всичко си идва на мястото:
15 < -6
Не се кълна само за лъжи и измами.) „Забравих да променя знака за равенство...“- Това У домагрешка при решаване на неравенства. Това тривиално и просто правило нарани толкова много хора! Което те забравиха...) Така че се заклевам. Може би ще си спомня...)
Особено внимателните хора ще забележат, че неравенството не може да се умножи с израз с X. Уважение към тези, които са внимателни!) Защо не? Отговорът е лесен. Не знаем знака на този израз с X. То може да бъде положително, отрицателно... Следователно не знаем кой знак за неравенство да поставим след умножението. Трябва ли да го сменя или не? неизвестен Разбира се, това ограничение (забраната за умножаване/деление на неравенство с израз с x) може да бъде заобиколено. Ако наистина имате нужда. Но това е тема за други уроци.
Това са всички тъждествени трансформации на неравенства. Нека ви напомня още веднъж, че работят за всякаквинеравенства Сега можете да преминете към конкретни видове.
Линейни неравенства. Решение, примери.
Линейните неравенства са неравенства, при които x е на първа степен и няма деление на x. Тип:
х+3 > 5x-5
Как се разрешават подобни неравенства? Решават се много лесно! А именно: с помощта на намаляваме най-объркващото линейно неравенство направо към отговора.Това е решението. Ще подчертая основните точки на решението. За да избегнете глупави грешки.)
Нека решим това неравенство:
х+3 > 5x-5
Решаваме го по абсолютно същия начин като линейно уравнение. С единствената разлика:
Ние внимателно следим знака за неравенство!
Първата стъпка е най-честата. С Х - наляво, без Х - надясно... Това е първата идентична трансформация, проста и безпроблемна.) Само не забравяйте да промените знаците на пренесените членове.
Знакът за неравенство остава:
х-5х > -5-3
Ето подобни.
Знакът за неравенство остава:
4x > -8
Остава да приложим последната идентична трансформация: разделете двете страни на -4.
Разделете на отрицателенномер.
Знакът за неравенство ще се промени на противоположния:
х < 2
Това е отговорът.
Така се решават всички линейни неравенства.
внимание! Точка 2 е изчертана бяла, т.е. небоядисана. Празно вътре. Това означава, че тя не е включена в отговора! Нарочно я нарисувах толкова здрава. Такава точка (празна, нездрава!)) в математиката се нарича пробита точка.
Останалите числа на оста могат да бъдат маркирани, но не е необходимо. Странни числа, които не са свързани с нашето неравенство, могат да бъдат объркващи, да... Просто трябва да запомните, че числата нарастват по посока на стрелката, т.е. числа 3, 4, 5 и т.н. са надясноса двойки, а числата са 1, 0, -1 и т.н. - наляво.
Неравенство x < 2 - строг. X е строго по-малко от две. Ако се съмнявате, проверката е проста. Заместваме съмнителното число в неравенството и си мислим: "Две е по-малко от две? Не, разбира се!" Точно. Неравенство 2 < 2 неправилно.Две в отговор не е подходящо.
Едното добре ли е? Със сигурност. По-малко... И нулата е добра, и -17, и 0,34... Да, всички числа, които са по-малки от две, са добри! И дори 1.9999... Поне малко, но по-малко!
Така че нека отбележим всички тези числа на числовата ос. как? Тук има опции. Първият вариант е засенчване. Преместваме мишката върху картината (или докосваме снимката на таблета) и виждаме, че областта на всички x, които отговарят на условието x, е защрихована < 2 . Това е всичко.
Нека да разгледаме втората опция, използвайки втория пример:
х ≥ -0,5
Начертайте ос и маркирайте числото -0,5. Като този:
Забелязвате ли разликата?) Е, да, трудно е да не забележите... Тази точка е черна! Боядисани. Това означава -0,5 е включено в отговора.Тук, между другото, проверката може да обърка някого. Нека заместим:
-0,5 ≥ -0,5
Как така? -0,5 не е повече от -0,5! И има още икона...
Всичко е наред. При слабо неравенство всичко, което пасва на иконата, е подходящо. И равно надобре и Повече ▼добре. Следователно -0,5 е включено в отговора.
И така, отбелязахме -0,5 на оста, остава да маркираме всички числа, които са по-големи от -0,5. Този път маркирам зоната на подходящи x стойности лък(от думата дъга), а не засенчване. Задръжте курсора върху рисунката и ще видите този лък.
Няма особена разлика между засенчването и ръцете. Направете както казва учителят. Ако няма учител, нарисувайте арки. В повече трудни задачизасенчването е по-малко очевидно. Можете да се объркате.
Така се чертаят линейни неравенства върху ос. Нека да преминем към следващата характеристика на неравенствата.
Записване на отговора за неравенства.
Уравненията бяха добри.) Намерихме x и записахме отговора, например: x=3. Има две форми за записване на отговорите в неравенствата. Единият е под формата на крайно неравенство. Добър за прости случаи. Например:
х< 2.
Това е пълен отговор.
Понякога трябва да запишете едно и също нещо, но в различна форма, на цифрови интервали. Тогава записът започва да изглежда много научно):
x ∈ (-∞; 2)
Под иконата ∈ думата е скрита "принадлежи".
Записът гласи така: x принадлежи на интервала от минус безкрайност до две без да включва. Съвсем логично. X може да бъде всяко число от всички възможни числа от минус безкрайност до две. Не може да има двойно Х, което ни казва думата "без да включва".
И къде в отговора е ясно, че "без да включва"? Този факт е отбелязан в отговора кръгълскоба непосредствено след двете. Ако двете бяха включени, скобата щеше да бъде квадрат.Като този: ]. Следващият пример използва такава скоба.
Нека запишем отговора: x ≥ -0,5 на интервали:
x ∈ [-0,5; +∞)
Чете: x принадлежи на интервала от минус 0,5, включително,до плюс безкрайност.
Безкрайността никога не може да бъде включена. Това не е число, а символ. Следователно в такива обозначения безкрайността винаги е съседна на скоба.
Тази форма на запис е удобна за сложни отговори, състоящи се от няколко интервала. Но – само за окончателни отговори. При междинни резултати, където се очаква по-нататъшно решение, е по-добре да използвате обичайната форма, във формуляра просто неравенство. Ще се занимаваме с това в съответните теми.
Популярни задачи с неравенства.
Самите линейни неравенства са прости. Следователно задачите често стават по-трудни. Така че беше необходимо да се мисли. Това, ако не сте свикнали с него, не е много приятно.) Но е полезно. Ще покажа примери за такива задачи. Не ти да ги учиш, не е нужно. И за да не се плашим при среща с подобни примери. Просто помислете малко - и е просто!)
1. Намерете произволни две решения на неравенството 3x - 3< 0
Ако не е много ясно какво да правите, помнете основното правило на математиката:
Ако не знаете от какво имате нужда, направете каквото можете!)
х < 1
И какво? Нищо специално. Какво ни питат? От нас се иска да намерим две конкретни числа, които са решение на неравенство. Тези. отговаря на отговора. две всякаквичисла. Всъщност това е объркващо.) Двойка от 0 и 0,5 са подходящи. Двойка -3 и -8. Тези двойки са безкрайно много! Кой отговор е верен?!
Отговарям: всичко! Всяка двойка числа, всяко от които е по-малко от едно, ще бъде правилният отговор.Напиши коя искаш. Да продължим.
2. Решете неравенството:
4x - 3 ≠ 0
Задачите в тази форма са рядкост. Но, като спомагателни неравенства, при намиране на ODZ, например, или при намиране на областта на дефиниция на функция, те се срещат през цялото време. Такова линейно неравенство може да се реши като обикновено линейно уравнение. Само навсякъде с изключение на знака "=" ( равно на) сложи знак " ≠ " (не е равно). Ето как подхождате към отговора със знак за неравенство:
х ≠ 0,75
В повече сложни примери, по-добре е да правите нещата по различен начин. Направете неравенство от равенството. Като този:
4x - 3 = 0
Решете го спокойно, както е научено, и получете отговора:
х = 0,75
Основното е, че в самия край, когато записвате крайния отговор, не забравяйте, че намерихме x, което дава равенство.И имаме нужда от - неравенство.Следователно всъщност не се нуждаем от това X.) И трябва да го запишем с правилния символ:
х ≠ 0,75
Този подход води до по-малко грешки. Тези, които решават уравнения автоматично. А за тези, които не решават уравнения, неравенствата всъщност не са от полза...) Друг пример за популярна задача:
3. Намерете най-малкото цяло число решение на неравенството:
3(x - 1) < 5x + 9
Първо просто решаваме неравенството. Отваряме скобите, местим ги, привеждаме подобни... Получаваме:
х > - 6
Не се ли получи така!? Следвахте ли знаците!? И зад знаците членове, и зад знака неравенство...
Нека помислим отново. Трябва да намерим конкретно число, което отговаря както на отговора, така и на условието "най-малкото цяло число".Ако не ви светне веднага, можете просто да вземете произволно число и да го разберете. Две на минус шест? Със сигурност! Има ли подходящ по-малък номер? Разбира се. Например нула е по-голяма от -6. И още по-малко? Имаме нужда от най-малкото възможно нещо! Минус три е повече от минус шест! Вече можете да уловите модела и да спрете глупаво да минавате през числата, нали?)
Нека вземем число, по-близо до -6. Например, -5. Отговорът е изпълнен, -5 > - 6. Възможно ли е да се намери друго число, по-малко от -5, но по-голямо от -6? Можете например -5,5... Спри! Казват ни цялорешение! Не се търкаля -5.5! Какво ще кажете за минус шест? Ъ-ъ-ъ! Неравенството е строго, минус 6 по никакъв начин не е по-малко от минус 6!
Следователно верният отговор е -5.
Надявам се, че всичко е ясно с избора на стойност от общото решение. Друг пример:
4. Решете неравенство:
7 < 3x+1 < 13
Еха! Този израз се нарича тройно неравенство.Строго погледнато, това е съкратена форма на система от неравенства. Но да реши такова тройни неравенстваВсе пак се случва в някои задачи... Решава се и без системи. Според същите идентични трансформации.
Трябва да опростим, да доведем това неравенство до чисто X. Но... Какво къде трябва да се прехвърли?! Тук е моментът да запомните, че се движите наляво и надясно кратка формапърва трансформация на идентичността.
И пълната форма звучи така: Всяко число или израз може да се добави/извади от двете страни на уравнението (неравенство).
Тук има три части. Така че ще приложим идентични трансформации и към трите части!
И така, нека се отървем от това в средната част на неравенството. Нека извадим едно от цялата средна част. За да не се промени неравенството, изваждаме една от останалите две части. Като този:
7 -1< 3x+1-1 < 13-1
6 < 3x < 12
Така е по-добре, нали?) Остава само да разделим и трите части на три:
2 < х < 4
Това е всичко. Това е отговорът. X може да бъде всяко число от две (без да се включва) до четири (без да се включва). Този отговор също се записва на интервали; такива записи ще бъдат в квадратни неравенства. Там те са най-често срещаното нещо.
В края на урока ще повторя най-важното. Успехът при решаването на линейни неравенства зависи от способността да се трансформират и опростяват линейни уравнения. Ако в същото време внимавайте за знака за неравенство,няма да има проблеми. Това ти пожелавам. Никакви проблеми.)
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)
Можете да се запознаете с функции и производни.
решение на неравенствотов режим на линия решениепочти всяко дадено неравенство на линия. Математически неравенства онлайнда решавам математика. Намерете бързо решение на неравенствотов режим на линия. Уебсайтът www.site ви позволява да намерите решениепочти всяко дадено алгебричен, тригонометриченили трансцедентално неравенство онлайн. Когато изучавате почти всеки клон на математиката в различни етапитрябва да реша неравенства онлайн. За да получите незабавен отговор и най-важното точен отговор, имате нужда от ресурс, който ви позволява да направите това. Благодарение на сайта www.site решаване на неравенство онлайнще отнеме няколко минути. Основното предимство на www.site при решаване на математически неравенства онлайн- това е скоростта и точността на предоставения отговор. Сайтът е в състояние да реши всеки алгебрични неравенства онлайн, тригонометрични неравенства онлайн, трансцендентални неравенства онлайн, и неравенствас неизвестни параметри в режим на линия. Неравенстваслужат като мощен математически апарат решенияпрактически проблеми. С помощта на математически неравенствавъзможно е да се изразят факти и отношения, които на пръв поглед изглеждат объркващи и сложни. Неизвестни количества неравенстваможе да се намери чрез формулиране на проблема в математическиезик във формата неравенстваИ решиполучена задача в режим на линияна уебсайта www.site. Всякакви алгебрично неравенство, тригонометрично неравенствоили неравенствасъдържащи трансценденталенфункции, които можете лесно решионлайн и получете точния отговор. Изучаване природни науки, неизбежно се сблъсквате с необходимостта решения на неравенства. В този случай отговорът трябва да е точен и да се получи веднага в режим на линия. Следователно за решаване на математически неравенства онлайнпрепоръчваме сайта www.site, който ще стане вашият незаменим калкулатор за решаване на алгебрични неравенства онлайн, тригонометрични неравенствана линия, и трансцендентални неравенства онлайнили неравенствас неизвестни параметри. За практически проблеми за намиране на онлайн решения на различни математически неравенстваресурс www.. Решаване неравенства онлайнсами, е полезно да проверите получения отговор с помощта на онлайн решениенеравенствана уебсайта www.site. Трябва да напишете неравенството правилно и незабавно да получите онлайн решение, след което остава само да сравните отговора с вашето решение на неравенството. Проверката на отговора ще отнеме не повече от минута, това е достатъчно решаване на неравенство онлайни сравнете отговорите. Това ще ви помогне да избегнете грешки в решениеи коригирайте отговора навреме, когато решаване на неравенства онлайнили алгебричен, тригонометричен, трансценденталенили неравенствос неизвестни параметри.
Интервален метод– прост начин за решаване на дробни рационални неравенства. Това е името на неравенства, съдържащи рационални (или дробно-рационални) изрази, които зависят от променлива.
1. Помислете например за следното неравенство
Интервалният метод ви позволява да го решите за няколко минути.
От лявата страна на това неравенство е дробна рационална функция. Рационално, защото не съдържа корени, синуси или логаритми - само рационални изрази. Вдясно е нула.
Интервалният метод се основава на следното свойство на дробна рационална функция.
Дробната рационална функция може да промени знака си само в онези точки, в които е равна на нула или не съществува.
Нека си припомним как се разлага квадратен трином, т.е. израз на формата .
Къде и са корените квадратно уравнение.
Начертаваме ос и поставяме точките, в които числителят и знаменателят отиват на нула.
Нулите на знаменателя и са пунктирани точки, тъй като в тези точки функцията от лявата страна на неравенството не е дефинирана (не можете да делите на нула). Нулите на числителя и - са защриховани, тъй като неравенството не е строго. Когато и нашето неравенство е изпълнено, тъй като и двете му страни са равни на нула.
Тези точки разделят оста на интервали.
Нека определим знака на дробната рационална функция от лявата страна на нашето неравенство на всеки от тези интервали. Спомняме си, че дробна рационална функция може да промени знака си само в онези точки, в които е равна на нула или не съществува. Това означава, че във всеки от интервалите между точките, където числителят или знаменателят отива на нула, знакът на израза от лявата страна на неравенството ще бъде постоянен - или "плюс", или "минус".
И следователно, за да определим знака на функцията на всеки такъв интервал, ние вземаме всяка точка, принадлежаща на този интервал. Тази, която ни е удобна.
. Вземете например и проверете знака на израза от лявата страна на неравенството. Всяка от "скобите" е отрицателна. Лявата страна има знак.
Следващ интервал: . Нека проверим знака на . Откриваме, че лявата страна е променила знака си на .
Да вземем. Когато изразът е положителен - следователно, той е положителен през целия интервал от до.
Когато лявата страна на неравенството е отрицателна.
И накрая, class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}
Установихме на какви интервали изразът е положителен. Остава само да напиша отговора:
Отговор: .
Моля, обърнете внимание: знаците се редуват между интервалите. Това се случи, защото при преминаване през всяка точка точно един от линейните множители променя знака, докато останалите го запазват непроменен.
Виждаме, че интервалният метод е много прост. За да решим дробно-рационалното неравенство, използвайки интервалния метод, го редуцираме до формата:
Или class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, или или .
(от лявата страна е дробна рационална функция, от дясната страна е нула).
След това отбелязваме на числовата ос точките, в които числителят или знаменателят отива на нула.
Тези точки разделят цялата числова линия на интервали, на всеки от които дробно-рационалната функция запазва своя знак.
Остава само да открием знака му на всеки интервал.
Правим това, като проверяваме знака на израза във всяка точка, принадлежаща на даден интервал. След това записваме отговора. Това е всичко.
Но възниква въпросът: винаги ли знаците се редуват? Не винаги! Трябва да внимавате и да не поставяте знаци механично и необмислено.
2. Нека разгледаме друго неравенство.
Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ ляво(x-3 \дясно))>0"> !}
Поставете отново точките върху оста. Точките и са пунктирани, защото са нули на знаменателя. Точката също е изрязана, тъй като неравенството е строго.
Когато числителят е положителен, и двата фактора в знаменателя са отрицателни. Това може лесно да се провери, като се вземе произволно число от даден интервал, например . От лявата страна има знак:
Когато числителят е положителен; Първият фактор в знаменателя е положителен, вторият фактор е отрицателен. От лявата страна има знак:
Ситуацията е същата! Числителят е положителен, първият множител в знаменателя е положителен, вторият е отрицателен. От лявата страна има знак:
И накрая, с class="tex" alt="x>3">
все множители положительны, и левая часть имеет знак :!} 
Отговор: .
Защо редуването на знаците беше нарушено? Защото при преминаване през точка множителят е „отговорен“ за това не смени знака. Следователно цялата лява страна на нашето неравенство не промени знака.
Заключение: ако линейният множител е четна степен (например на квадрат), тогава при преминаване през точка знакът на израза от лявата страна не се променя. В случай на нечетна степен, знакът, разбира се, се променя.
3. Нека разгледаме по-сложен случай. Различава се от предишния по това, че неравенството не е строго:
Лявата страна е същата като в предишния проблем. Картината на знаците ще бъде същата:
Може би отговорът ще бъде същият? Не! Добавя се решение. Това се случва, защото и лявата, и дясната страна на неравенството са равни на нула - следователно тази точка е решение.
Отговор: .
Тази ситуация често се среща при задачи на Единния държавен изпит по математика. Това е мястото, където кандидатите попадат в капан и губят точки. Бъди внимателен!
4. Какво да направите, ако числителят или знаменателят не могат да бъдат разложени на линейни фактори? Разгледайте това неравенство:
Квадратният тричлен не може да бъде факторизиран: дискриминантът е отрицателен, няма корени. Но това е добре! Това означава, че знакът на израза за всички е един и същ и по-специално положителен. Можете да прочетете повече за това в статията за свойствата на квадратичните функции.
И сега можем да разделим двете страни на нашето неравенство на стойност, която е положителна за всички. Нека стигнем до еквивалентно неравенство:
Което лесно се решава чрез интервалния метод.
Моля, обърнете внимание, че разделихме двете страни на неравенството на стойност, за която знаехме със сигурност, че е положителна. Разбира се, по принцип не трябва да умножавате или делите неравенство на променлива, чийто знак е неизвестен.
5 . Нека разгледаме друго неравенство, на пръв поглед доста просто:
Просто искам да го умножа по . Но ние вече сме умни и няма да направим това. В края на краищата, тя може да бъде както положителна, така и отрицателна. И знаем, че ако двете страни на неравенството се умножат по отрицателна стойност, знакът на неравенството се променя.
Ще го направим по различен начин - ще съберем всичко в една част и ще доведем до общ знаменател. Дясната страна ще остане нула:
Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}
И след това - кандидатствайте интервален метод.
