Антипроизводно. Задача на диференциалното смятане: дадена функция, намерете нейната производна. Проблем с интегралното смятане: намерете функция, като знаете нейната производна. Функция F(x) се нарича първоизводна за функция f(x) на даден интервал, ако за всеки x от този интервал е вярно равенството F ʹ (x)=f(x).
Теорема. Ако функция F(x) е първоизводна за функция f(x) на определен интервал, тогава множеството от всички първоизводни на тази функция има формата F(x)+C, където C R. y x 0 Геометрично: F (x)+C е семейство криви, получени от всяка от тях чрез паралелно прехвърляне по оста на операционния усилвател. C интегрална крива
Пример 2. Намерете всички първообразни функции f(x)=2x и ги изобразете геометрично. y x
Интегранд - интегранд - знак на неопределения интеграл x - променлива на интегриране F(x) + C - множество от всички първоизводни C - константа на интегриране Процесът на намиране на функция с първообразно се нарича интегриране, а разделът на математиката се нарича интегрално смятане .
Свойства на неопределения интеграл Диференциалът на неопределения интеграл е равен на интегранта, а производната на неопределения интеграл е равен на интегранта:
Основни методи на интегриране. Метод на директна интеграция. Директното интегриране е метод за изчисляване на интеграли, при който те се свеждат до таблични чрез прилагане към тях на основните свойства на неопределения интеграл. В този случай функцията интегранд обикновено се трансформира съответно.
Слайд 1
Слайд 2
Историческа информацияИнтегралното смятане възниква от необходимостта да се създава общ методНамиране на площи, обеми и центрове на тежестта. Този метод е използван в ембрионалната си форма от Архимед. Получава системно развитие през 17 век в произведенията на Кавалиери, Торичели, Фермаме и Паскал. През 1659 г. И. Бароу установява връзка между задачата за намиране на площта и задачата за намиране на тангентата. Нютон и Лейб-Ниц през 70-те години на 17 век отклониха тази връзка от споменатите конкретни геометрични проблеми. Така се установява връзка между интегралното и диференциалното смятане. Тази връзка е използвана от Нютон, Лайбниц и техните ученици, за да развият техниката на интегриране. Интеграционните методи достигат до сегашното си състояние главно в трудовете на Л. Ойлер. Работите на М. В. Остроградски-Го и П. Л. Чебишев завършват развитието на тези методи.
Слайд 3
Понятието интеграл. Нека правата MN е дадена от уравнението И трябва да намерим площта F на криволинейния трапец aABb. Нека разделим отсечката ab на n части (равни или неравни) и построим стъпаловидна фигура, показана със щриховка на чертеж 1. Нейната площ, нейната площ е равна на (1) Ако въведем обозначението, тогава формула (1) ще приеме формата (3) Търсената площ е границата на сумата ( 3) за безкрайно голямо n. Лайбниц въвежда нотацията за тази граница (4) В която (курсив s) е началната буква на думата summa (сума), E изразът показва типична формаотделни компоненти. Лайбниц започва да нарича израза интеграл – от латинската дума integralis – интегрален. Дж. Б. Фурие подобри нотацията на Лайбниц, като й даде формата Тук началната и крайната стойност на x са изрично посочени.
Слайд 4
Връзката между интеграция и диференциация. Ще считаме a за константа, а b за променлива. Тогава интегралът ще бъде функция на b. Диференциалът на тази функция е равен на
Слайд 5
Антипроизводна функция. Нека функцията е производна на функцията, T.S. Има диференциал на функция: тогава функцията се нарича антипроизводна на функцията
Слайд 6
Пример за намиране на антипроизводно. Функцията е антипроизводна от T.S. Има диференциал на функция Функцията е първоизводна на функция.
Слайд 7
Неопределен интеграл. Неопределеният интеграл на даден израз се нарича най обща форманеговата примитивна функция. Неопределеният интеграл на израз се обозначава. Изразът се нарича интегранд израз, функцията се нарича интегранд функция, а променливата x се нарича интегрална променлива. Намирането на неопределен интеграл на дадена функция се нарича интегриране.Аношина О.В. Основна литература
1. Шипачев В. С. Висша математика. Основен курс: учебник исеминар за бакалаври [Държавен знак на Министерството на образованието на Руската федерация] / V.S.
Шипачев; редактиран от А. Н. Тихонова. - 8-мо изд., преработено. и допълнителни Москва: Юрайт, 2015. - 447 с.
2. Шипачев В. С. Висша математика. Пълен курс: учебник
за академик Бакалавърска степен [Griff UMO] / В. С. Шипачев; редактиран от А.
Н. Тихонова. - 4-то изд., рев. и допълнителни - Москва: Юрайт, 2015. - 608
с
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Висша математика
в упражнения и задачи. [Текст] / P.E. Данко, А.Г. Попов, Т.Я.
Кожевникова. В 2 часа - М.: висше училище, 2007. – 304+415c.
Докладване
1.Тест. Изпълнява се в съответствие с:
Задачи и насокиза извършване на контролна работа
по дисциплината "ПРИЛОЖНА МАТЕМАТИКА", Екатеринбург, Федерална държавна автономна образователна институция
ВО „Руско държавно професионално педагогическо училище
университет“, 2016 г. – 30 с.
опция тестова работаизберете по последната цифра на номера
книжка за оценки.
2.
Изпит
Неопределен интеграл, неговите свойства и изчисляване. Първопроизводен и неопределен интеграл
Определение. Извиква се функцията F xантипроизводна функция f x дефинирана върху
някакъв интервал, ако F x f x за
всеки x от този интервал.
Например функцията cos x е
антипроизводно функции грях x , тъй като
cos x sin x. Очевидно, ако F x е антипроизводно
функция f x , тогава F x C , където C е някаква константа, също е
първоизводна на функцията f x .
Ако F x е някаква антипроизводна
функции f x , тогава всяка функция от формата
Ф x F x C също е
антипроизводна функция f x и произволна
антипроизводното може да бъде представено в тази форма. Определение. Съвкупността от всички
първоизводни на функцията f x ,
определени на някои
интервал се нарича
неопределен интеграл от
функции f x на този интервал и
означена с f x dx. Ако F x е някаква антипроизводна на функцията
f x , тогава те пишат f x dx F x C , въпреки че
по-правилно би било да се пише f x dx F x C .
По установена традиция ще пишем
f x dx F x C .
Така същият символ
f x dx ще означава цялото
набор от първоизводни на функцията f x ,
и всеки елемент от това множество.
Свойства на интеграла
Производното не е определен интегралравна наинтегрална функция и нейния диференциален интегрален израз. Наистина ли:
1.(f (x)dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x)dx (f (x)dx) dx f (x)dx.
Свойства на интеграла
3. Неопределен интегралотдиференциал непрекъснато (x)
диференцируемата функция е равна на себе си
тази функция до константа:
d (x) (x)dx (x) C,
тъй като (x) е антипроизводно на (x).
Свойства на интеграла
4.Ако функциите f1 x и f 2 x иматса първоизводни, тогава функцията f1 x f 2 x
също има антипроизводно и
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx;
5. Kf x dx K f x dx ;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .
1. dx x C .
а 1
х
2. xa dx
C, (a 1) .
а 1
dx
3. ln x C .
х
х
а
4.a x dx
° С.
в а
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8. 2 ctgx C .
грях х
dx
9. 2 tgx C .
cos x
dx
arctgx C.
10.
2
1 x
Таблица на неопределените интеграли
11.dx
arcsin x C.
1 х 2
dx
1
х
12. 2 2 arctg C .
а
а
a x
13.
14.
15.
dx
а2 х2
х
arcsin C..
а
dx
1
xa
вътре
° С
2
2
2a x a
xa
dx
1
a x
a 2 x 2 2a ln a x C .
dx
16.
x2a
ln x x 2 a C .
17. shxdx chx C .
18. chxdx shx C .
19.
20.
dx
ch 2 x thx C .
dx
cthx C .
2
ш х
Свойства на диференциалите
Удобен за използване при интегриранесвойства: 1
1. dx d (брадва)
а
1
2. dx d (ax b),
а
1 2
3. xdx dx,
2
1 3
2
4. x dx dx.
3
Примери
Пример. Изчислете cos 5xdx.Решение. В таблицата на интегралите намираме
cos xdx sin x C .
Нека трансформираме този интеграл в табличен,
възползвайки се от факта, че d ax adx .
Тогава:
d 5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5 x
5
5
1
= sin 5 x C .
5
Примери
Пример. Изчислете x3x x 1 dx.
Решение. Тъй като под интегралния знак
тогава е сумата от четири члена
разширете интеграла до сумата от четири
интеграли:
2
3
2
3
2
3
х
3
х
х
1
dx
х
dx
3
х
dx xdx dx.
x3
х4 х2
3
xC
3
4
2
Независимост на вида на променливата
При изчисляване на интеграли е удобноизползвайте следните свойства
интеграли:
Ако f x dx F x C , тогава
f x b dx F x b C .
Ако f x dx F x C , тогава
1
f ax b dx F ax b C .
а
Пример
Нека изчислим1
6
2
3
х
dx
2
3
х
° С
.
3 6
5
Методи на интегриране Интегриране по части
Този метод се основава на формулата udv uv vdu.Използвайки метода на интегриране по части, се вземат следните интеграли:
а) x n sin xdx, където n 1,2...k;
b) x n e x dx, където n 1,2...k;
c) x n arctgxdx, където n 0, 1, 2,... k. ;
d) x n ln xdx, където n 0, 1, 2,... k.
При изчисляване на интеграли a) и b) въведете
n 1
нотация: x n u, след това du nx dx и, например
sin xdx dv, тогава v cos x.
При изчисляване на интеграли c), d), u се означава с функцията
arctgx, ln x, а за dv вземете x n dx.
Примери
Пример. Изчислете x cos xdx.Решение.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .
Примери
Пример. Изчислиx ln xdx
dx
u ln x, du
х
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
в х
=
2
2 х
x2
1
x2
1 x2
ln x xdx
в х
° С.
=
2
2
2
2 2
Метод за заместване на променливи
Нека е необходимо да се намери f x dx идиректно изберете антипроизводното
за f x не можем, но знаем това
тя съществува. Често е възможно да се намери
антипроизводно чрез въвеждане на нова променлива,
според формулата
f x dx f t t dt, където x t и t е ново
променлива
Интегриращи функции, съдържащи квадратен трином
Разгледайте интегралабрадва б
dx,
x px q
съдържащ квадратен тричлен в
знаменател на интегранта
изрази. Може да се вземе и такъв интеграл
чрез метода на заместване на променливи,
като преди това е разпределил в
знаменателят е перфектен квадрат.
2
Пример
Изчислиdx
.
х 4 х 5
Решение. Нека трансформираме x 2 4 x 5,
2
избиране на пълен квадрат по формулата a b 2 a 2 2ab b 2.
Тогава получаваме:
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
х 2 т
dx
dx
дт
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
х 4 х 5
т 1
arctgt C arctg x 2 C.
Пример
намирам1 x
1 x
2
dx
tdt
1 т
2
x t, x t 2,
dx 2tdt
2
t2
1 т
2
дт
1 т
1 т
d(t 2 1)
T
2
1
2
2tdt
2
дт
ln(t 1) 2 dt 2
2
1 т
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 т
2
дт
Определен интеграл, неговите основни свойства. Формула на Нютон-Лайбниц. Приложения на определен интеграл.
Води до концепцията за определен интегралпроблем за намиране на площта на криволинейна
трапецовидни.
Нека е дадено на някакъв интервал
непрекъсната функция y f (x) 0
Задача:
Изградете неговата графика и намерете F площта на фигурата,
ограничени от тази крива, две прави линии x = a и x
= b, а отдолу – отсечката от абсцисната ос между точките
x = a и x = b. Фигурата aABb се нарича
извит трапец
Определение
bf(x)dx
Под определения интеграл
а
от това непрекъсната функция f(x) включено
този сегмент се разбира
съответното му увеличение
антипроизводно, т.е
F (b) F (a) F (x) /
b
а
Числата a и b са границите на интегриране,
– интеграционен интервал.
правило:
Определеният интеграл е равен на разликатастойности на първоизводния интегранд
функции за горна и долна граница
интеграция.
Чрез въвеждане на обозначението за разл
b
F(b)F(a)F(x)/a
b
f (x)dx F (b) F (a)
а
Формула на Нютон-Лайбниц.
Основни свойства на определен интеграл.
1) Стойността на определения интеграл не зависи отнотация за интеграционната променлива, т.е.
b
b
а
а
f (x)dx f (t)dt
където x и t са произволни букви.
2) Определен интеграл с тъждествен
навън
интеграцията е нулева
а
f (x)dx F (a) F (a) 0
а 3) При пренареждане на границите на интеграция
определеният интеграл променя знака си на противоположния
b
а
f (x)dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x)dx
а
b
(свойство на адитивност)
4) Ако интервалът се раздели на крайно число
частични интервали, след това определен интеграл,
взето през интервала, е равно на сумата от определени
интеграли, взети по всички негови частични интервали.
b
° С
b
f (x)dx f (x)dx
° С
а
а
f(x)dx 5) Постоянният множител може да се регулира
за знака на определения интеграл.
6) Определен интеграл на алгебриката
суми от краен брой непрекъснати
функции е равно на същата алгебрична
сумата от определени интеграли от тях
функции.
3. Замяна на променлива в определен интеграл.
3. Замяна на променлива в определенаинтегрална.
b
f (x)dx f (t) (t)dt
а
a(), b(), (t)
Където
за t [ ; ] , функции (t) и (t) са непрекъснати върху;
5
Пример:
1
=
x 1dx
=
х 1 5
t 0 4
х 1 т
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3
Неправилни интеграли.
Неправилни интеграли.Определение. Нека функцията f(x) е дефинирана върху
безкраен интервал, където b< + . Если
съществува
b
лим
f(x)dx,
b
а
тогава тази граница се нарича неправилна
интеграл на функцията f(x) върху интервала
}
