Няколко начина за доказване на Питагоровата теорема. Учене на нов материал

клас: 8

Цели на урока:

• Образователни:постигнете майсторство на Питагоровата теорема, внушите умения за изчисляване на неизвестната страна правоъгълен триъгълниквъз основа на две добре познати, научете как да прилагате Питагоровата теорема за решаване на прости проблеми
• Развитие:насърчаване на развитието на способността за сравнение, наблюдение, внимание, развиване на способността за аналитично-синтетично мислене, разширяване на хоризонтите
• Образователни:формиране на потребност от знания, интерес към математиката

Тип урок:урок за представяне на нов материал

Оборудване:компютър, мултимедиен проектор, презентация на урока ( Приложение 1)

План на урока:

1. Организиране на времето
2. Устни упражнения
3. Проучване, излагане на хипотеза и тестването й върху специални случаи
4. Обяснение на нов материал
   а) За Питагор
   б) Твърдение и доказателство на теоремата
5. Консолидиране на горното чрез решаване на проблеми
6. Задаване на домашна работа, обобщение на урока.

По време на часовете

Слайд 2: Правете упражненията

1. Отворете скобите: (3 + x) 2
2. Изчислете 3 2 + x 2 за x = 1, 2, 3, 4
   - Съществува ли естествено число, чийто квадрат е 10, 13, 18, 25?
3. Намерете лицето на квадрат със страни 11 cm, 50 cm, 7 dm.
   – Каква е формулата за намиране на лицето на квадрат?
   – Как да намерим лицето на правоъгълен триъгълник?

Слайд 3: Въпрос отговор

- Ъгъл, степенна мяркакоето е равно на 90°. (направо)

– противоположната страна прав ъгълтриъгълник. (хипотенуза)

– Триъгълник, квадрат, трапец, кръг са геометрични... (Форми)

– Най-малката страна на правоъгълен триъгълник. (Катет)

– Фигура, образувана от два лъча, излизащи от една точка. (Ъгъл)

– Перпендикулярна отсечка, начертана от върха на триъгълник до права, съдържаща противоположната страна. (височина)

– Триъгълник, чиито две страни са равни . (Равнобедрен)

Слайд 4: Задача

Построете правоъгълен триъгълник със страни 3 cm, 4 cm и 6 cm.

Задачата е разделена на редове.

Въпроси:

– Някой измислил ли е триъгълник с дадените страни?

– Какъв извод може да се направи? (Правоъгълен триъгълник не може да се дефинира произволно. Между страните му има зависимост.)

– Измерете получените страни. ( Образцов среден резултатот всеки ред се въвежда в таблицата)

– Опитайте се да установите връзка между катетите и хипотенузата във всеки случай.

(Предлага се да си припомните устните упражнения и да проверите същата връзка между останалите числа).

– Обръща се внимание на факта, че точен резултатняма да работи, защото измерванията не могат да се считат за точни.

– Учителят пита за предположения (хипотези): Учениците формулират.

– Да, наистина има връзка между хипотенузата и катетите и първият, който я доказа, беше учен, чието име назовавате сами. Тази теорема е кръстена на него.

Слайд 5: Дешифрирайте

Слайд 6: Питагор от Самос

– Кой ще назове темата на днешния урок?

Учениците записват в тетрадките си темата на урока: „Теорема на Питагор“

– Питагоровата теорема е една от основните теореми на геометрията. С негова помощ се доказват много други теореми и се решават задачи от различни области: физика, астрономия, строителство и др. Известен е много преди Питагор да го докаже. Древните египтяни са го използвали, за да построят правоъгълен триъгълник със страни 3, 4 и 5 единици, използвайки въже за построяване на прави ъгли при полагане на сгради и пирамиди. Следователно такъв триъгълник се нарича Египетски триъгълник.

Има повече от триста начина да се докаже тази теорема. Днес ще разгледаме един от тях.

Слайд 7: Питагорова теорема

Теорема: В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите.

дадени:

правоъгълен триъгълник,

a, b - крака, с– хипотенуза

Докажи:

Доказателство.

1. Нека продължим катетите на правоъгълен триъгълник: катет А– за дължина b, крак b– за дължина А.

– До каква форма може да бъде завършен триъгълник? Защо на площада? Каква ще бъде страната на квадрата?

2. Нека построим триъгълника до квадрат със страна a + b.

- Как можете да намерите площта на този квадрат?

3. Площта на площада е

– Нека разделим квадрата на части: 4 триъгълника и квадрат със страна c.

– Как иначе можете да намерите площта на оригиналния квадрат?

– Защо са равни получените правоъгълни триъгълници?

4. От друга страна,

5. Нека приравним получените равенства:

Теоремата е доказана.

Има хумористична формулировка на тази теорема: „Питагоровите панталони са равни във всички посоки“. Тази формулировка вероятно се дължи на факта, че тази теорема първоначално е установена за равнобедрен правоъгълен триъгълник. Освен това звучеше малко по-различно: „Площта на квадрат, изграден върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник, е равна на сумата от площите на квадратите, изградени върху неговите крака.“

Слайд 8: Друга формулировка на Питагоровата теорема

И ще ви дам друга формулировка на тази теорема в стих:

Ако ни е даден триъгълник
И със прав ъгъл,
Това е квадратът на хипотенузата
Винаги можем лесно да намерим:
Правим квадрат на краката,
Намираме сбора на степените
И то по толкова прост начин
Ще стигнем до резултата.

– И така, днес се запознахте с най-известната теорема на планиметрията – теоремата на Питагор. Как се формулира Питагоровата теорема? Как иначе може да се формулира?

Първична консолидация на материала

Слайд 9: Решаване на задачи с помощта на готови чертежи.

Слайд 10: Решаване на задачи в тетрадка

Трима ученици са поканени на дъската едновременно, за да решават задачи.

Слайд 11: Проблемът на индийския математик от 12 век Бхаскара

Обобщаване на урока:

– Какво ново научихте днес в клас?

– Изложете Питагоровата теорема.

– Какво научихте да правите в клас?

Домашна работа:

– Научете Питагоровата теорема с доказателство

– Задачи от учебник No 483 в, ж; No484 в гр

– За по-напреднали: намерете други доказателства на Питагоровата теорема, научете едно от тях.

Оценява се работата на класа като цяло, като се открояват отделните ученици.

Шаповалова Л.А. (станция Egorlykskaya, MBOU ESOSH № 11)

1. Глейзър Г.И. История на математиката в училище VII – VIII класове, ръководство за учители, - М: Образование, 1982.

2. Демпан И.Я., Виленкин Н.Я. „Зад страниците на учебника по математика” Помагало за ученици от 5-6 клас. – М.: Образование, 1989.

3. Зенкевич И.Г. "Естетика на урока по математика." – М.: Образование, 1981.

4. Лицман В. Питагорова теорема. – М., 1960.

5. Волошинов А.В. "Питагор". – М., 1993.

6. Пичурин Л.Ф. „Зад страниците на учебник по алгебра“. – М., 1990.

7. Земляков A.N. "Геометрия в 10 клас." – М., 1986.

8. Вестник “Математика” 17/1996г.

9. Вестник “Математика” 3/1997г.

10. Антонов Н.П., Выгодски М.Я., Никитин В.В., Санкин А.И. "Сборник задачи по начална математика." – М., 1963.

11. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. "Наръчник по математика". – М., 1973.

12. Щетников А.И. „Питагорейското учение за числото и величината“. – Новосибирск, 1997.

13. „Реални числа. Ирационални изрази„8 клас. Издателство Томски университет. – Томск, 1997 г.

14. Атанасян М.С. "Геометрия" 7-9 клас. – М.: Образование, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

В това академична годинаЗапознах се с една интересна теорема, известна, както се оказа, от древни времена:

„Квадрат, построен върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник, е равен на сумата от квадратите, построени върху катетите.“

Откриването на това твърдение обикновено се приписва на древногръцки философи математикът Питагор (VI в. пр. н. е.). Но изследването на древни ръкописи показа, че това твърдение е известно много преди раждането на Питагор.

Чудех се защо в този случай се свързва с името на Питагор.

Уместност на темата: Теоремата на Питагор е от голямо значение: тя се използва в геометрията буквално на всяка стъпка. Вярвам, че произведенията на Питагор са все още актуални и днес, защото където и да погледнем, можем да видим плодовете на неговите велики идеи, въплътени в различни отрасли на съвременния живот.

Целта на моето изследване беше да разбера кой е Питагор и какво общо има той с тази теорема.

Изучавайки историята на теоремата, реших да разбера:

Има ли други доказателства за тази теорема?

Какво е значението на тази теорема в живота на хората?

Каква е ролята на Питагор в развитието на математиката?

От биографията на Питагор

Питагор от Самос е велик гръцки учен. Славата му се свързва с името на Питагоровата теорема. Въпреки че сега знаем, че тази теорема е била известна в древен Вавилон 1200 години преди Питагор, а в Египет 2000 години преди него е бил известен правоъгълен триъгълник със страни 3, 4, 5, ние все още я наричаме с името на този древен учен.

Почти нищо не се знае надеждно за живота на Питагор, но голям брой легенди са свързани с името му.

Питагор е роден през 570 г. пр.н.е. на остров Самос.

Питагор имаше красив външен вид, носеше дълга брада и златна диадема на главата си. Питагор не е име, а прякор, който философът получава, защото винаги говори правилно и убедително, като гръцки оракул. (Питагор - „убедителен чрез реч“).

През 550 г. пр. н. е. Питагор взема решение и отива в Египет. И така, непозната страна и непозната култура се отварят пред Питагор. Силно удивен и изненадан Питагор в тази страна и след някои наблюдения върху живота на египтяните, Питагор разбра, че пътят към знанието, защитено от кастата на свещениците, минава през религията.

След единадесет години обучение в Египет, Питагор отива в родината си, където по пътя попада във вавилонски плен. Там той се запознава с вавилонската наука, която е по-развита от египетската. Вавилонците са били в състояние да решават линейни, квадратни и някои видове кубични уравнения. След като избяга от плен, той не успя да остане дълго в родината си поради атмосферата на насилие и тирания, която цареше там. Той решава да се премести в Кротон (гръцка колония в Северна Италия).

Именно в Кротон започва най-славният период в живота на Питагор. Там той създава нещо като религиозно-етично братство или тайна монашески орден, чиито членове са били задължени да водят така наречения Питагоров начин на живот.

Питагор и питагорейците

Питагор организира през гръцка колонияв южната част на Апенинския полуостров религиозно и етично братство, като монашески орден, който по-късно ще бъде наречен Питагоров съюз. Членовете на съюза трябваше да се придържат към определени принципи: първо, да се стремят към красивото и славното, второ, да бъдат полезни и трето, да се стремят към високо удоволствие.

Системата от морални и етични правила, завещана от Питагор на неговите ученици, е съставена в своеобразен морален кодекс на питагорейците „Златни стихове“, които са били много популярни в епохата на Античността, Средновековието и Ренесанса.

Питагоровата система от класове се състои от три раздела:

Учение за числата - аритметика,

Учение за фигурите - геометрия,

Учения за устройството на Вселената - астрономия.

Образователната система, основана от Питагор, продължава много векове.

Питагорейската школа направи много, за да придаде на геометрията характер на наука. Основната характеристика на метода на Питагор беше комбинацията от геометрия и аритметика.

Питагор се е занимавал много с пропорциите и прогресиите и вероятно с приликата на фигурите, тъй като на него се приписва решаването на проблема: „Дадени са две фигури, постройте трета, равна по размер на една от данните и подобна на втората. ”

Питагор и неговите ученици въвеждат концепцията за многоъгълни, приятелски съвършени числа и изучават техните свойства. Питагор не се интересуваше от аритметиката като практика на изчисление и той гордо заяви, че „поставя аритметиката над интересите на търговеца“.

Членове на Питагорейския съюз бяха жители на много градове в Гърция.

Питагорейците също приемат жените в своето общество. Съюзът процъфтява повече от двадесет години, а след това започва преследване на неговите членове, много от студентите са убити.

Имаше много спекулации относно смъртта на самия Питагор. различни легенди. Но учението на Питагор и неговите ученици продължи да живее.

Из историята на създаването на Питагоровата теорема

Сега е известно, че тази теорема не е открита от Питагор. Въпреки това, някои смятат, че Питагор е първият, който е дал пълното му доказателство, докато други му отричат ​​тази заслуга. Някои приписват на Питагор доказателството, което Евклид дава в първата книга на своите Елементи. От друга страна, Прокъл твърди, че доказателството в Елементите принадлежи на самия Евклид. Както виждаме, историята на математиката не е запазила почти никакви достоверни конкретни данни за живота на Питагор и неговата математическа дейност.

Нека започнем нашия исторически преглед на Питагоровата теорема с древен Китай. Тук специално внимание привлича математическата книга Chu-pei. В това есе се говори за Питагоров триъгълниксъс страни 3, 4 и 5:

„Ако прав ъгъл се разложи на съставните му части, тогава линията, свързваща краищата на страните му, ще бъде 5, когато основата е 3, а височината е 4.“

Много е лесно да се възпроизведе техният метод на изграждане. Нека вземем въже с дължина 12 m и завържем към него цветна лента на разстояние 3 m. от единия край и на 4 метра от другия. Правият ъгъл ще бъде ограден между страни с дължина 3 и 4 метра.

Геометрията при индусите е тясно свързана с култа. Много е вероятно квадратът на теоремата за хипотенузата вече да е бил известен в Индия около 8 век пр.н.е. Наред с чисто ритуалните предписания се срещат и съчинения с геометрично богословски характер. В тези писания, датиращи от 4-ти или 5-ти век пр.н.е., срещаме изграждането на прав ъгъл с помощта на триъгълник със страни 15, 36, 39.

През Средновековието Питагоровата теорема определя границата на, ако не най-голямото възможно, то поне доброто математическо знание. Характерната рисунка на Питагоровата теорема, която сега понякога се трансформира от ученици, например в професор, облечен в мантия или мъж с цилиндър, често се използва в онези дни като символ на математиката.

В заключение представяме различни формулировки на Питагоровата теорема, преведени от гръцки, латински и немски.

Теоремата на Евклид гласи (буквален превод):

„В правоъгълен триъгълник квадратът на страната, обхващаща правия ъгъл, е равен на квадратите на страните, обхващащи правия ъгъл.“

Както виждаме, в различни страниИ различни езициИма различни версии на формулировката на познатата теорема. Създаден през различно времеи на различни езици те отразяват същността на един математически закон, чието доказателство също има няколко варианта.

Пет начина за доказване на Питагоровата теорема

Древни китайски доказателства

В древния китайски чертеж четири равни правоъгълни триъгълника с катети a, b и хипотенуза c са подредени така, че външният им контур образува квадрат със страна a + b, а вътрешният контур образува квадрат със страна c, построен върху хипотенузата

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Доказателство от J. Hardfield (1882)

Нека подредим два равни правоъгълни триъгълника така, че катетът на единия да е продължение на другия.

Площта на разглеждания трапец се намира като произведение на половината от сумата на основите и височината

От друга страна, площта на трапец е равна на сумата от площите на получените триъгълници:

Приравнявайки тези изрази, получаваме:

Доказателството е просто

Това доказателство се получава в най-простия случай на равнобедрен правоъгълен триъгълник.

Вероятно тук започва теоремата.

Всъщност достатъчно е просто да погледнете мозайката от равнобедрени правоъгълни триъгълници, за да се убедите във валидността на теоремата.

Например за триъгълник ABC: квадратът, построен върху хипотенузата AC, съдържа 4 оригинални триъгълника, а квадратите, построени върху страните, съдържат два. Теоремата е доказана.

Доказателство за древните индуси

Квадрат със страна (a + b) може да бъде разделен на части както на фиг. 12.a, или както на фиг. 12, б. Ясно е, че части 1, 2, 3, 4 са еднакви и на двете снимки. И ако извадите равни от равни (площи), тогава те ще останат равни, т.е. c2 = a2 + b2.

Доказателството на Евклид

В продължение на две хилядолетия най-широко използваното доказателство на Питагоровата теорема е това на Евклид. То е поставено в известната му книга “Принципи”.

Евклид свали височината BN от върха на правия ъгъл до хипотенузата и доказа, че нейното продължение разделя квадрата, завършен върху хипотенузата, на два правоъгълника, чиито площи са равни на площите на съответните квадрати, построени върху страните.

Чертежът, използван за доказване на тази теорема, се нарича шеговито „Питагорови панталони“. Дълго време се смяташе за един от символите на математическата наука.

Приложение на Питагоровата теорема

Значението на Питагоровата теорема е, че повечето от теоремите на геометрията могат да бъдат извлечени от нея или с нейна помощ и могат да бъдат решени много проблеми. Освен това, практическо значениеТеоремата на Питагор и нейната обратна теорема е, че с тяхна помощ можете да намерите дължините на сегментите, без да измервате самите сегменти. Това, така да се каже, отваря пътя от права линия към равнина, от равнина към обемно пространство и отвъд. Именно поради тази причина Питагоровата теорема е толкова важна за човечеството, което се стреми да отваря все повече измерения и да създава технологии в тези измерения.

Заключение

Теоремата на Питагор е толкова известна, че е трудно да си представим човек, който не е чувал за нея. Научих, че има няколко начина за доказване на Питагоровата теорема. Проучих редица исторически и математически източници, включително информация в Интернет, и разбрах, че Питагоровата теорема е интересна не само с историята си, но и защото заема важно място в живота и науката. Това се доказва от различните интерпретации на текста на тази теорема и начините за нейното доказателство, дадени от мен в тази работа.

И така, теоремата на Питагор е една от основните и, може да се каже, най-важната теорема на геометрията. Значението му се състои в това, че повечето от теоремите на геометрията могат да бъдат изведени от него или с негова помощ. Питагоровата теорема също е забележителна, защото сама по себе си изобщо не е очевидна. Например имоти равнобедрен триъгълникможе да се види директно на чертежа. Но колкото и да гледате правоъгълен триъгълник, никога няма да видите, че има проста връзка между страните му: c2 = a2 + b2. Затова визуализацията често се използва за доказване. Заслугата на Питагор беше, че той даде пълна научно доказателствотази теорема. Интересна е личността на самия учен, чиято памет неслучайно се пази от тази теорема. Питагор е прекрасен оратор, учител и възпитател, организатор на своята школа, фокусирана върху хармонията на музиката и числата, доброто и справедливостта, знанието и здрав образживот. Той може да служи като пример за нас, далечните потомци.

Библиографска връзка

Въпрос и отговор Ъгъл, чиято градусна мярка е 90° ДЯСНО Страната, лежаща срещу правия ъгъл на триъгълник ХИПОТЕНУЗА Триъгълник, квадрат, трапец, кръг - това са геометрични ... ФИГУРИ По-малката страна на правоъгълен триъгълник КЪСНА Фигура, образувана от два лъча, излизащи от една точка ЪГЪЛ Перпендикулярен сегмент, начертан от върха на триъгълник към линия, съдържаща противоположната страна ВИСОЧИНА Триъгълник, чиито две страни са равни Равнобедрен

Питагор от Самос (ок. 580 – около 500 г. пр.н.е.) Древногръцки математики философ. Роден на остров Самос. Той организира своя собствена школа - школата на Питагор (Питагорейският съюз), която е едновременно философска школа и политическа партияи религиозно братство. Той пръв доказва връзката между хипотенузата и катетите на правоъгълен триъгълник.

Проблем на индийския математик Бхаскара от 12-ти век На брега на реката растяла самотна топола. Изведнъж порив на вятъра пречупи ствола му. Бедната топола падна. И стволът му сключваше прав ъгъл с течението на реката. Спомнете си сега, че на това място реката беше широка само четири фута.Върхът се опираше на ръба на реката. Останаха само три стъпки от дънера. Питам те, кажи ми скоро: Колко е висока тополата?

Урок по темата: „Теорема на Питагор“

Тип урок: урок за изучаване на нов материал. (по учебник „Геометрия, 7–9”, учебник за образователни институции; Л.С. Атанасян и др.- 12 изд. - М.: Образование, 2009).

Мишена:

запознаване на учениците с Питагоровата теорема и историческа информациясвързани с тази теорема; развиват интерес към изучаването на математика, логично мислене; внимание.

По време на часовете:

1. Организационен момент.

СЛАЙД 2 Приказка „Дом“.

Темата на нашия урок е „Питагоровата теорема“. Днес в урока ще се запознаем с биографията на Питагор, ще изучаваме една от най-известните геометрични теореми на древността, наречена Питагоровата теорема, една от основните теореми на планиметрията.

2. Актуализиране на знанията.(Подготовка за изучаване на нов материал, повтаряне на материала, който ще е необходим за доказване на теоремата)

1) Въпроси:

Кой четириъгълник се нарича квадрат?

Как да намерите площта на квадрат?

Кой триъгълник се нарича правоъгълен?

Как се наричат ​​страните на правоъгълен триъгълник?

Как да намерим площта на правоъгълен триъгълник?

3. Изучаване на нов материал.

1) Историческа справка.

СЛАЙД 3 и 4.

Великият учен Питагор е роден около 570 г. пр.н.е. на остров Самос. Бащата на Питагор беше Мнезарх, резач на скъпоценни камъни. Името на майката на Питагор е неизвестно. Според много древни свидетелства роденото момче било приказно красиво и скоро показало необикновените си способности. Като всеки баща Мнесарх мечтаел синът му да продължи неговото дело – занаята на златар. Животът реши друго. Бъдеще страхотен математики философът още в детството си показва големи способности за наука.

На Питагор се приписва изучаването на свойствата на целите числа и пропорциите, доказването на Питагоровата теорема и др. Питагор не е име, а прякор, който философът получава, защото винаги говори правилно и убедително, като гръцки оракул. (Питагор - „убедителен чрез реч.“)

Със своите речи той спечели 2000 ученици, които заедно със семействата си образуваха училище-държава, където действаха законите и правилата на Питагор. Школата на Питагор, или както я наричат ​​още Питагорейският съюз, е била едновременно философска школа, политическа партия и религиозно братство.

любими геометрична фигураПитагорейците са имали пентаграма, наричана още Питагорейска звезда. Питагорейците са използвали тази фигура, рисувайки я на пясъка, за да се поздравяват и разпознават. Пентаграмата им служела като парола и била символ на здраве и щастие.

Традицията казва, че когато Питагор стигна до теоремата, която носи неговото име, той донесе 100 бика на боговете. През петстотин години пр. н. е. Питагор е убит в уличен бой по време на народно въстание. В момента са известни около 200 доказателства на Питагоровата теорема.

Изложение на теоремата

2) Доказателство на теоремата.

Нека построим правоъгълника до квадрат със страна a + b.

Децата с помощта на учителя доказват теоремата с рисунка, след което записват доказателството в тетрадките си.

Доказателство:

Квадратна площ

- теоремата е доказана.

4. Първично затвърждаване на знанията.

Работа по учебника (Приложение на Питагоровата теорема при решаване на задачи).

Задачите се решават на дъската и в тетрадките.

Заключение: с помощта на Питагоровата теорема можете да решите два вида задачи:

1. Намерете хипотенузата на правоъгълен триъгълник, ако катетите са известни.

2. Намерете катет, ако са известни хипотенузата и другият катет.

.

5. Независимо решениезадачи.

№ 483(b), 484(b)

6. Домашна работа: P 54, No. 483 (g), 484 (g).

7. Обобщение на урока.

Какво ново научихте в клас днес?

За кои триъгълници се прилага Питагоровата теорема?

Завършете урока със стихотворение.

Много хора знаят сонета на Шамисо:

Истината ще остане вечна, щом

Слабият човек ще го разбере!

А сега Питагоровата теорема

Вярно, както в далечната си епоха.

Жертвата беше изобилна

На боговете от Питагор. Сто бика

Даде го на клане и изгаряне

Зад светлината е лъч, дошъл от облаците.

Следователно оттогава,

Истината тепърва се ражда,

Биковете реват, усещат я, следват я.

Те не могат да спрат светлината,

И те могат само да затворят очи и да треперят

От страха, който им всяваше Питагор.