Непрекъснатост на функция в точката на условие за непрекъснатост. Понятие за непрекъснатост на функцията

Теорема. Нека функцията x=φ(t)непрекъснато в точка а, и функцията y=f(x)непрекъснато в точка b=φ(a). След това сложната функция y=f[φ(t)]=F(t)непрекъснато в точка а.

Позволявам x=φ(t)И y=f(x)- най-простите елементарни функции, с много стойности (х)функции x=φ(t)е обхватът на функцията y=f(x). Както знаем, елементарните функции са непрекъснати във всяка точка от дадената област. Следователно, съгласно предишната теорема, комплексната функция y=f(φ(t)), тоест суперпозицията на две елементарни функции, е непрекъсната. Например, една функция е непрекъсната във всяка точка x ≠ 0, като сложна функция от две елементарни функции x=t -1И y=sin x. Също така функция y=ln sin xнепрекъснато във всяка точка от интервалите (2kπ,(2k+1)π), k ∈ Z (sin x>0).

Дадени са дефиниции и формулировки на основните теореми и свойства на непрекъсната функция на една променлива. Разглеждат се свойствата на непрекъсната функция в точка, на отсечка, границата и непрекъснатостта на сложна функция и класификацията на точките на прекъсване. Дадени са определения и теореми, свързани с обратната функция. Очертани са свойствата на елементарните функции.

Можем да формулираме концепцията за приемственост в по отношение на нарастванията. За да направим това, въвеждаме нова променлива, която се нарича нарастване на променливата x в точката. Тогава функцията е непрекъсната в точката if
.
Нека представим нова функция:
.
Викат я увеличение на функциятав точка . Тогава функцията е непрекъсната в точката if
.

Определение за непрекъснатост вдясно (вляво)
Функция f (х)Наречен непрекъснато отдясно (вляво) в точка х 0 , ако е дефиниран в някаква дясна (лява) околност на тази точка и ако дясната (лявата) граница в точката x 0 равна на стойността на функцията при x 0 :
.

Теорема за ограничеността на непрекъсната функция
Нека функцията f (х)е непрекъсната в точка x 0 . След това има квартал U (x0), на който функцията е ограничена.

Теорема за запазване на знака на непрекъсната функция
Нека функцията е непрекъсната в точката. И нека има положителна (отрицателна) стойност в този момент:
.
След това има околност на точката, където функцията има положителна (отрицателна) стойност:
при .

Аритметични свойства на непрекъснати функции
Нека функциите и са непрекъснати в точката .
Тогава функциите и са непрекъснати в точката.
Ако , тогава функцията е непрекъсната в точката .

Свойство за непрекъснатост ляво-дясно
Една функция е непрекъсната в точка тогава и само ако е непрекъсната отдясно и отляво.

Доказателствата за свойствата са дадени на страницата „Свойства на непрекъснати в точка функции“.

Непрекъснатост на сложна функция

Теорема за непрекъснатост на сложна функция
Нека функцията е непрекъсната в точката. И нека функцията е непрекъсната в точката.
Тогава комплексната функция е непрекъсната в точката.

Лимит на сложна функция

Теорема за границата на непрекъсната функция на функция
Нека има граница на функцията при и тя е равна на:
.
Ето точка t 0 може да бъде ограничено или безкрайно отдалечено: .
И нека функцията е непрекъсната в точката.
Тогава има граница на сложна функция и тя е равна на:
.

Теорема за границата на сложна функция
Нека функцията има граница и картографира пунктирана околност на точка върху прободена околност на точка. Нека функцията е дефинирана в тази околност и има ограничение върху нея.
Ето крайните или безкрайно отдалечени точки: . Кварталите и съответните им граници могат да бъдат както двустранни, така и едностранни.
Тогава има граница на сложна функция и тя е равна на:
.

Точки на прекъсване

Определяне на точката на прекъсване
Нека функцията е дефинирана в някаква пунктирана околност на точката. Точката се нарича точка на прекъсване на функцията, ако е изпълнено едно от двете условия:
1) не е дефинирано в ;
2) е дефиниран в , но не е в тази точка.

Определяне на точката на прекъсване от 1-ви род
Точката се нарича точка на прекъсване от първи род, ако е точка на прекъсване и има ограничени едностранни граници отляво и отдясно:
.

Дефиниция на функция скок
Функция Jump Δв точка е разликата между границите отдясно и отляво
.

Определяне на точката на прекъсване
Точката се нарича подвижна точка на прекъсване, ако има ограничение
,
но функцията в точката или не е дефинирана, или не е равна на граничната стойност: .

По този начин точката на отстраним прекъсване е точката на прекъсване от 1-ви вид, в която скокът на функцията е равен на нула.

Определяне на точката на прекъсване от 2-ри род
Точката се нарича точка на прекъсване от втори род, ако не е точка на прекъсване от 1-ви род. Тоест, ако няма поне една едностранна граница или поне една едностранна граница в точка е равна на безкрайност.

Свойства на функции, непрекъснати на интервал

Определение на функция, непрекъсната на интервал
Една функция се нарича непрекъсната на интервал (at), ако е непрекъсната във всички точки на отворения интервал (at) и съответно в точки a и b.

Първата теорема на Вайерщрас за ограничеността на функция, непрекъсната на интервал
Ако една функция е непрекъсната на интервал, тогава тя е ограничена на този интервал.

Определяне на постижимостта на максимума (минимума)
Една функция достига своя максимум (минимум) в множеството, ако има аргумент за който
за всички .

Определяне на достъпността на горното (долното) лице
Една функция достига своята горна (долна) граница на множеството, ако има аргумент за който
.

Втората теорема на Вайерщрас за максимума и минимума на непрекъсната функция
Функция, непрекъсната на сегмент, достига своите горни и долни граници върху него или, което е същото, достига своя максимум и минимум върху сегмента.

Теорема за междинната стойност на Болцано-Коши
Нека функцията е непрекъсната на отсечката. И нека C е произволно число, разположено между стойностите на функцията в краищата на сегмента: и . След това има точка, за която
.

Следствие 1
Нека функцията е непрекъсната на отсечката. И нека стойностите на функцията в краищата на сегмента имат различни знаци: или. Тогава има точка, в която стойността на функцията е равна на нула:
.

Следствие 2
Нека функцията е непрекъсната на отсечката. Остави . Тогава функцията приема в интервала всички стойности от и само тези стойности:
при .

Обратни функции

Дефиниция на обратна функция
Нека функцията има домейн на дефиниция X и набор от стойности Y. И нека има свойството:
за всички .
Тогава за всеки елемент от множеството Y може да се асоциира само един елемент от множеството X, за който . Това съответствие дефинира функция, наречена обратна функцияДа се ​​. Обратната функция се означава по следния начин:
.

От определението следва, че
;
за всички ;
за всички .

Лема за взаимната монотонност на права и обратна функция
Ако една функция е строго нарастваща (намаляваща), тогава има обратна функция, която също е строго нарастваща (намаляваща).

Свойство на симетрия на графики на преки и обратни функции
Графиките на директните и обратните функции са симетрични спрямо правата линия.

Теорема за съществуването и непрекъснатостта на обратна функция на интервал
Нека функцията е непрекъсната и строго нарастваща (намаляваща) на сегмента. Тогава обратната функция е дефинирана и непрекъсната на отсечката, която строго расте (намалява).

За нарастваща функция. За намаляване - .

Теорема за съществуването и непрекъснатостта на обратна функция на интервал
Нека функцията е непрекъсната и строго нарастваща (намаляваща) на отворен краен или безкраен интервал. Тогава обратната функция е определена и непрекъсната на интервала, който строго расте (намалява).

За нарастваща функция.
За намаляване:.

По подобен начин можем да формулираме теоремата за съществуването и непрекъснатостта на обратната функция на полуинтервал.

Свойства и непрекъснатост на елементарните функции

Елементарните функции и техните обратни са непрекъснати в тяхната област на дефиниране. По-долу представяме формулировките на съответните теореми и предоставяме връзки към техните доказателства.

Експоненциална функция

Експоненциална функция f (x) = a x, с основа а > 0 е границата на последователността
,
където е произволна последователност от рационални числа, клоняща към x:
.

Теорема. Свойства на експоненциалната функция
Експоненциалната функция има следните свойства:
(P.0)дефиниран, за , за всички ;
(P.1)за ≠ 1 има много значения;
(P.2)стриктно нараства при , стриктно намалява при , е постоянен при ;
(P.3) ;
(P.3*) ;
(P.4) ;
(P.5) ;
(P.6) ;
(P.7) ;
(P.8)непрекъснато за всички;
(P.9)в ;
при .

Логаритъм

Логаритмична функция, или логаритъм, y = log a x, с основа ае обратната на експоненциалната функция с основа а.

Теорема. Свойства на логаритъма
Логаритмична функция с основа a, y = лог a x, има следните свойства:
(L.1)дефинирани и непрекъснати, за и , за положителни стойности на аргумента;
(L.2)има много значения;
(L.3)строго нараства като , строго намалява като ;
(L.4)в ;
в ;
(L.5) ;
(L.6)в ;
(L.7)в ;
(L.8)в ;
(L.9)при .

Експонента и натурален логаритъм

В дефинициите на експоненциалната функция и логаритъма се появява константа, която се нарича основа на степента или основа на логаритъма. В математическия анализ в по-голямата част от случаите се получават по-прости изчисления, ако числото e се използва като основа:
.
Експоненциална функция с основа e се нарича експонента: , а логаритъм с основа e се нарича натурален логаритъм: .

На страниците са представени свойствата на степента и натуралния логаритъм
"Експонента, e на степен x",
„Натурален логаритъм, функция ln x“

Силова функция

Степенна функция с показател pе функцията f (x) = x p, чиято стойност в точка x е равна на стойността на експоненциалната функция с основа x в точка p.
В допълнение, f (0) = 0 p = 0за p > 0 .

Тук ще разгледаме свойствата на степенната функция y = x p за неотрицателни стойности на аргумента. За рационални числа, за нечетно m, степенната функция също е дефинирана за отрицателно x. В този случай неговите свойства могат да бъдат получени с помощта на четно или нечетно.
Тези случаи са разгледани подробно и илюстрирани на страницата „Степенна функция, нейните свойства и графики“.

Теорема. Свойства на степенната функция (x ≥ 0)
Степенна функция, y = x p, с показател p има следните свойства:
(C.1)определени и непрекъснати на множеството
в ,
при ".

Тригонометрични функции

Теорема за непрекъснатостта на тригонометричните функции
Тригонометрични функции: синус ( грях х), косинус ( cos x), допирателна ( tg x) и котангенс ( ctg x

Теорема за непрекъснатостта на обратните тригонометрични функции
Обратни тригонометрични функции: арксинус ( arcsin x), аркосинус ( arccos x), арктангенс ( арктан х) и аркутангенса ( arcctg x), са непрекъснати в своите области на дефиниция.

Препратки:
О.И. Бесов. Лекции по математически анализ. Част 1. Москва, 2004 г.
Л.Д. Кудрявцев. Курс по математически анализ. Том 1. Москва, 2003 г.
СМ. Николски. Курс по математически анализ. Том 1. Москва, 1983 г.

Процесът на изучаване на функция за непрекъснатост е неразривно свързан с умението за намиране на едностранни граници на функция. Следователно, за да започнете да изучавате материала в тази статия, препоръчително е първо да разгледате темата за границата на функция.

Функция f(x) е непрекъснатов точка x 0, ако границата отляво е равна на границата отдясно и съвпада със стойността на функцията в точка x 0, т.е.: lim x → x 0 - 0 f (x) = lim x → x 0 + 0 f (x) = f(x0)

Това определение ни позволява да изведем следствие: стойността на границата на функция в точки на непрекъснатост съвпада със стойността на функцията в тези точки.

Пример 1

Дадена е функцията f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8. Необходимо е да се докаже неговата непрекъснатост в точката x 0 = 2.

Решение

На първо място, определяме наличието на граница отляво. За да направим това, използваме поредица от аргументи x n, която се редуцира до x 0 = 2 · (x n< 2) . Например, такой последовательностью может быть:

2 , 0 , 1 , 1 1 2 , 1 3 4 , 1 7 8 , 1 15 16 , . . . , 1 1023 1024 , . . . → 2

Съответната последователност от функционални стойности изглежда така:

f(-2); f (0) ; f (1) ; f 1 1 2 ; f 1 3 4 ; f 1 7 8 ; f 1 15 16 ; . . . ; f 1 1023 1024; . . . = = 8. 667; 2. 667; 0 . 167; - 0 . 958; - 1 . 489; - 1 . 747; - 1 . 874; . . . ; - 1 . 998; . . . → - 2

на чертежа те са означени в зелено.

Съвсем очевидно е, че такава редица се свежда до - 2, което означава lim x → 2 - 0 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.

Нека определим съществуването на граница отдясно: използваме последователност от аргументи x n, която се редуцира до x 0 = 2 (x n > 2). Например тази последователност може да бъде:

6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2

Съответната последователност от функции:

f (6) ; f (4) ; f (3) ; f 2 1 2 ; f 2 1 4 ; f 2 1 8 ; f 2 1 16 ; . . . ; f 2 1 1024; . . . = = - 7 . 333; - 5 . 333; - 3. 833; - 2. 958; - 2. 489; - 2. 247; - 2. 247; - 2. 124; . . . ; - 2. 001 ; . . . → - 2

обозначен в синьо на фигурата.

И тази последователност се редуцира до - 2, след това lim x → 2 + 0 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.

Действията по-горе показаха, че границите отдясно и отляво са равни, което означава, че има граница на функцията f (x) = 1 6 x - 8 2 - 8 в точката x 0 = 2, докато lim x → 2 1 6 (x - 8 ) 2 - 8 = - 2 .

След изчисляване на стойността на функцията в дадена точка, равенството е очевидно:

lim x → 2 - 0 f (x) = lim x → 2 + 0 f (x) = f (2) = 1 6 (2 - 8) 2 - 8 = - 2, което показва непрекъснатостта на дадената функция при a дадена точка.

Нека го покажем графично:

Отговор:Непрекъснатостта на функцията f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 в дадената част е доказана.

Подвижна руптура от първи вид

Функцията има подвижна руптура от първи видв точка x 0, когато границите отдясно и отляво са равни, но не са равни на стойността на функцията в точката, т.е.:

lim x → x 0 - 0 f (x) = lim x → x 0 + 0 f (x) ≠ f (x 0)

Пример 2

Дадена е функцията f (x) = x 2 - 25 x - 5. Необходимо е да се определят точките на неговото прекъсване и да се определи техният тип.

Решение

Първо, нека обозначим областта на дефиниране на функцията: D (f (x)) ⇔ D x 2 - 25 x - 5 ⇔ x - 5 ≠ 0 ⇔ x ∈ (- ∞ ; 5) ∪ (5 ; + ∞)

В дадена функция само граничната точка на домейна на дефиницията може да служи като точка на прекъсване, т.е. х 0 = 5. Нека разгледаме функцията за непрекъснатост в този момент.

Нека опростим израза x 2 - 25 x - 5: x 2 - 25 x - 5 = (x - 5) (x + 5) x - 5 = x + 5.

Нека да определим границите отдясно и отляво. Тъй като функцията g(x) = x + 5 е непрекъсната за всяко реално x, тогава:

lim x → 5 - 0 (x + 5) = 5 + 5 = 10 lim x → 5 + 0 (x + 5) = 5 + 5 = 10

Отговор:границите отдясно и отляво са равни, а дадената функция в точката x 0 = 5 не е дефинирана, т.е. в този момент функцията има отстранимо прекъсване от първи вид.

Неотстраним прекъсване от първи вид също се определя от точката на прескачане на функцията.

Дефиниция 3 Пример 3

Дадена е частично непрекъсната функция f (x) = x + 4 , x< - 1 , x 2 + 2 , - 1 ≤ x < 1 2 x , x ≥ 1 . Необходимо изучить заданную функцию на предмет непрерывности, обозначить вид точек разрыва, составить чертеж.

Решение

Прекъсванията на тази функция могат да бъдат само в точката x 0 = - 1 или в точката x 0 = 1.

Нека определим границите отдясно и отляво на тези точки и стойността на дадената функция в тези точки:

• вляво от точката x 0 = - 1 дадената функция е f (x) = x + 4, тогава поради непрекъснатостта на линейната функция: lim x → - 1 - 0 f (x) = lim x → - 1 - 0 (x + 4) = - 1 + 4 = 3;
• директно в точката x 0 = - 1 функцията приема формата: f (x) = x 2 + 2, тогава: f (- 1) = (- 1) 2 + 2 = 3;
• на интервала (- 1 ; 1) дадената функция е: f (x) = x 2 + 2. Въз основа на свойството за непрекъснатост на квадратична функция имаме: lim x → - 1 + 0 f (x) = lim x → - 1 + 0 (x 2 + 2) = (- 1) 2 + 2 = 3 lim x → 1 - 0 f (x) = lim x → 1 - 0 (x 2 + 2) = (1) 2 + 2 = 3
• в точка x 0 = - 1 функцията има формата: f (x) = 2 x и f (1) = 2 1 = 2.
• вдясно от точката x 0 дадената функция е f (x) = 2 x. Поради непрекъснатостта на линейната функция: lim x → 1 + 0 f (x) = lim x → 1 + 0 (2 x) = 2 1 = 2

Отговор:в крайна сметка получихме:

• lim x → - 1 - 0 f (x) = lim x → - 1 + 0 f (x) = f (- 1) = 3 - това означава, че в точката x 0 = - 1 дадената частична функция е непрекъсната;
• lim x → - 1 - 0 f (x) = 3, lim x → 1 + 0 f (x) = 2 - по този начин в точката x 0 = 1 се определя неотстраним прекъсване от първи вид (скок).

Всичко, което трябва да направим, е да подготвим чертеж за тази задача.

Функцията има втори вид прекъсванев точката x 0, когато някоя от границите на левия lim x → x 0 - 0 f (x) или на десния lim x → x 0 + 0 f (x) не съществува или е безкраен.

Пример 4

Дадена е функцията f (x) = 1 x. Необходимо е да се изследва дадената функция за непрекъснатост, да се определи вида на точките на прекъсване и да се подготви чертеж.

Решение

Нека запишем областта на дефиниране на функцията: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) .

Нека намерим границите отдясно и отляво на точката x 0 = 0.

Нека зададем произволна последователност от стойности на аргументи, сходни към x 0 отляво. например:

8 ; - 4 ; - 2 ; - 1 ; - 1 2 ; - 1 4 ; . . . ; - 1 1024 ; . . .

Съответства на последователността от стойности на функцията:

f (- 8) ; f (- 4) ; f(-2); f (- 1) ; f - 1 2 ; f - 1 4 ; . . . ; f - 1 1024; . . . = = - 1 8 ; - 14; - 12 ; - 1; - 2; - 4; . . . ; - 1024; . . .

Очевидно тази последователност е безкрайно голяма отрицателна, тогава lim x → 0 - 0 f (x) = lim x → 0 - 0 1 x = - ∞ .

Сега нека зададем произволна последователност от стойности на аргументи, сходни към x 0 отдясно. Например: 8 ; 4 ; 2 ; 1 ; 12 ; 14; . . . ; 1 1024; . . . , и съответства на последователността от стойности на функцията:

f (8) ; f (4) ; f (2) ; f (1) ; f 1 2 ; f 1 4 ; . . . ; f 1 1024; . . . = = 1 8 ; 14; 12 ; 1 ; 2 ; 4 ; . . . ; 1024; . . .

Тази последователност е безкрайно голяма положителна, което означава lim x → 0 + 0 f (x) = lim x → 0 + 0 1 x = + ∞ .

Отговор: точката x 0 = 0 е точката на прекъсване на функция от втори род.

Нека да илюстрираме:

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Непрекъснатата функция е функция без „скокове“, тоест тази, за която условието е изпълнено: малки промени в аргумента са последвани от малки промени в съответните стойности на функцията. Графиката на такава функция е гладка или непрекъсната крива.

Непрекъснатостта в гранична точка за определено множество може да се дефинира с помощта на концепцията за граница, а именно: една функция трябва да има граница в тази точка, която е равна на нейната стойност в граничната точка.

Ако тези условия са нарушени в дадена точка, те казват, че функцията в тази точка претърпява прекъсване, тоест нейната непрекъснатост е нарушена. На езика на ограниченията точката на прекъсване може да се опише като несъответствие между стойността на функция в точката на прекъсване и границата на функцията (ако съществува).

Точката на прекъсване може да бъде отстранима; за това е необходимо наличието на граница на функцията, но тя не съвпада с нейната стойност в дадена точка. В този случай той може да бъде „коригиран“ в този момент, тоест може да бъде допълнително дефиниран до непрекъснатост.
Съвсем различна картина се получава, ако има ограничение на дадената функция. Има две възможни опции за точка на прекъсване:

• от първи вид - и двете едностранни граници са налични и крайни, като стойността на едната или двете не съвпада със стойността на функцията в дадена точка;
• от втория вид, когато едната или двете едностранни граници не съществуват или техните стойности са безкрайни.

Свойства на непрекъснатите функции

• Функцията, получена в резултат на аритметични операции, както и наслагването на непрекъснати функции върху тяхната област на дефиниране, също е непрекъсната.
• Ако ви е дадена непрекъсната функция, която е положителна в даден момент, тогава винаги можете да намерите достатъчно малка околност от нея, където тя ще запази знака си.
• По същия начин, ако неговите стойности в две точки A и B са равни съответно на a и b и a е различно от b, тогава за междинните точки ще вземе всички стойности от интервала (a; b). От това можем да направим интересен извод: ако оставите опъната еластична лента да се компресира, така че да не увисне (да остане права), тогава една от върховете й ще остане неподвижна. И геометрично това означава, че има права линия, минаваща през всяка междинна точка между A и B, която пресича графиката на функцията.

Нека отбележим някои от непрекъснатите (в областта на тяхната дефиниция) елементарни функции:

• постоянен;
• рационален;
• тригонометричен.

Съществува неразривна връзка между две фундаментални понятия в математиката – непрекъснатост и диференцируемост. Достатъчно е само да запомните, че за да бъде една функция диференцируема, е необходимо тя да бъде непрекъсната функция.

Ако една функция е диференцируема в дадена точка, тогава тя е непрекъсната там. Не е необходимо обаче нейната производна да е непрекъсната.

Функция, която има непрекъсната производна на определено множество, принадлежи към отделен клас гладки функции. С други думи, това е непрекъснато диференцируема функция. Ако производната има ограничен брой точки на прекъсване (само от първи вид), тогава такава функция се нарича гладка на части.

Друга важна концепция е еднаквата непрекъснатост на функцията, тоест нейната способност да бъде еднакво непрекъсната във всяка точка от своята област на дефиниране. По този начин това е свойство, което се разглежда в много точки, а не във всяка една точка.

Ако фиксираме точка, тогава не получаваме нищо повече от определение за непрекъснатост, тоест от наличието на равномерна непрекъснатост следва, че имаме непрекъсната функция. Най-общо казано, обратното не е вярно. Въпреки това, според теоремата на Кантор, ако една функция е непрекъсната в компактно множество, т.е. в затворен интервал, тогава тя е равномерно непрекъсната в него.

Образователна институция „Беларуска държава

селскостопанска академия"

Катедра Висша математика

Насоки

да изучава темата „Непрекъснатост на функциите на една променлива“

студенти от счетоводния факултет в задочна форма

образование (NISPO)

Горки, 2013 г

Непрекъснатост на функциите на една променлива

Едностранни ограничения

Нека функцията
определени на снимачната площадка
. Нека въведем концепцията за едностранни граници на функция при
. Ще разгледаме следните стойности х, Какво
. Означава, че
, оставайки през цялото време вляво от
при
тогава се нарича лява граница тази функция в точката (или кога
) и се обозначава

.

Нека сега
, оставайки през цялото време вдясно от , т.е. оставайки по-дълго . Ако има ограничение на функцията
, тогава се нарича дясната граница тази функция в точката и е обозначен

.

Лявата и дясната граница се наричат еднопосочни ограничения функции в точка.

Ако има едностранни граници на функция в точка и те са равни една на друга, тогава функцията има същата граница в тази точка:

.

Ако едностранни граници на функция в точка съществуват, но не са равни помежду си, тогава границата на функцията в тази точка не съществува .

Непрекъснатост на функция в точка

Нека функцията
дефинирани на някакво множество д. Нека независимата променлива хтръгва от една от своите (първоначални) стойности
до друга (крайна) стойност . Разликата между крайната и първоначалната стойност се нарича нарастване количества хи е обозначен
. Увеличението може да бъде положително или отрицателно. В първия случай стойността хпри движение от Да се хсе увеличава, а във втория случай - намалява.

Ако независимата променлива хполучава някакво увеличение
, след това функцията
получава увеличение
. защото
, Че .

Увеличаване на функцията
в точката се нарича разликата, където
– нарастване на независимата променлива.

Могат да бъдат дадени няколко дефиниции на непрекъснатостта на функция в точка.

Функцията се извиква непрекъснато в интервала , ако е непрекъснат във всяка точка от този интервал. Геометрична непрекъснатост на функция
в затворен интервал означава, че графиката на функцията е непрекъсната линия без прекъсвания.

Функциите, които са непрекъснати на интервал, имат важни свойства, които са изразени чрез следните твърдения.

Ако функцията
е непрекъснат на интервала [ а, b], тогава той е ограничен в този сегмент.

Ако функцията
е непрекъснат на интервала [ а, b], тогава той достига своите минимални и максимални стойности на този сегмент.

Ако функцията
е непрекъснат на интервала [ а, b] И
, тогава каквото и да е числото СЪС, оградени между числата АИ IN, има смисъл
, Какво
.

От това твърдение следва, че ако функцията
е непрекъснат на [ а, b] и в краищата на този сегмент приема стойности на различни знаци, тогава има поне една точка на този сегмент ° С, в който функцията изчезва.

Вярно е следното твърдение: ако се извършват аритметични операции върху непрекъснати функции, резултатът е непрекъсната функцияаз

Пример 1 .

в точката
.

Решение . Функционална стойност при
Има
. Нека изчислим едностранните граници на функцията в точката
:

Тъй като едностранните ограничения при
са равни една на друга и равни на стойността на функцията в тази точка, тогава тази функция е непрекъсната в точката
.

3. Непрекъснатост на елементарните функции

Помислете за функцията
. Тази постоянна функция е непрекъсната във всяка точка , защото
.

функция
също е непрекъсната във всяка точка
, защото
. защото
, тогава въз основа на горното твърдение за аритметични операции върху непрекъснати функции
ще бъде непрекъснато. Функциите също ще бъдат непрекъснати
.

По същия начин можем да покажем непрекъснатостта на останалите елементарни функции.

По този начин, всяка елементарна функция е непрекъсната в своята област на дефиниция, т.е. Областта на дефиниране на елементарна функция съвпада с областта на нейната непрекъснатост.

Непрекъснатост на комплексни и обратни функции

Нека функцията
непрекъснато в точка , и функцията
непрекъснато в точка
. След това сложната функция
непрекъснато в точка . Това означава, че ако една сложна функция е съставена от непрекъснати функции, тогава тя също ще бъде непрекъсната, т.е. непрекъсната функция от непрекъсната функция е непрекъсната функция . Това определение се простира до краен брой непрекъснати функции.

От това определение следва, че под знака на непрекъсната функция можем да отидем до границата:

Това означава, че ако функцията е непрекъсната, тогава знакът на границата и знакът на функцията могат да бъдат разменени.

Нека функцията
а, b]. След това неговата обратна функция
дефиниран, строго монотонен и непрекъснат на интервала [ А, б], Където
.

Точки на прекъсване и тяхната класификацияаз

Както вече е известно, ако функцията
определени на снимачната площадка ди в точката
условието е изпълнено
, тогава функцията е непрекъсната в тази точка. Ако това условие за непрекъснатост не е изпълнено, тогава в точката хФункцията 0 има пропуск.

Точка Наречен точка на прекъсване от първи род функции
, ако в тази точка функцията има крайни едностранни граници, които не са равни една на друга, т.е. . В този случай стойността

Наречен рязко функции
в точката .

Точка Наречен подвижна точка на прекъсване функции
, ако едностранните граници на функцията в тази точка са равни една на друга и не са равни на стойността на функцията в тази точка, т.е. В този случай, за да се премахне празнината в точката трябва да поставите

Точка х 0 се извиква точка на прекъсване от втори род функции
ако поне една от едностранните граници
или
в тази точка или не съществува, или е равно на безкрайност.

Пример 2 . Изследвайте непрекъснатостта на функция

.

Решение . Функцията е дефинирана и непрекъсната на цялата числова ос, с изключение на точката
. В този момент функцията има прекъсване. Нека намерим едностранните граници на функцията в точката
:

Тъй като в точката
едностранните граници са равни една на друга и функцията в тази точка не е дефинирана, тогава точката
е подвижна точка на прекъсване. За да се премахне празнината в тази точка, е необходимо допълнително да се дефинира функцията чрез поставяне
.

Пример 3 . Изследвайте непрекъснатостта на функция

.

Решение . Функцията е дефинирана и непрекъсната върху цялото множество от реални числа, с изключение на
. В този момент функцията има прекъсване. Нека намерим едностранните граници на функцията при
:

.

Тъй като тази функция в точката
има крайни едностранни граници, които не са равни една на друга, тогава тази точка е точка на прекъсване от първи род. Прескачане на функция в точка
равна на .

Въпроси за самоконтрол на знанията

Какво се нарича увеличение на аргумента и увеличение на функцията?

Какво се нарича лява (лява) граница на функция?

Каква е дясната (дясна) граница на функция?

Коя функция се нарича непрекъсната в точка, в интервал?

Коя точка се нарича точка на прекъсване на функция?

Коя точка се нарича точка на прекъсване от първи род?

Коя точка се нарича точка на прекъсване от втори род?

Коя точка се нарича точка на отстранимо прекъсване?

Задачи за самостоятелна работа

Проверете функциите за непрекъснатост:

в точката
.