Ходът в играта е изборът и изпълнението от един играч на едно от действията, предвидени в правилата на играта. Резултатът от един ход по правило не е резултат от играта, а само промяна в ситуацията. Стратегията е последователността от всички ходове до края на играта. Нека означим печалбата на играча Pj с vj.

Ако тази работа не ви подхожда, в долната част на страницата има списък с подобни произведения. Можете също да използвате бутона за търсене

Учител: Платонова Татяна Евгениевна

Лекция 15. Игрови модели на конфликтни ситуации

Теория на играта

Основни понятия на теорията на игрите

Игра е математически модел на конфликтна ситуация. За разлика от реалните конфликтни ситуации, в математическия модел играта се играе по предварително фиксирани правила и условия.

Напредък на играта е изборът и изпълнението от един играч на едно от действията, предвидени в правилата на играта. В игра за двама, ходовете се редуват строго. Резултатът от един ход по правило не е резултат от играта, а само промяна в ситуацията.

Стратегия е последователността от всички ходове до края на играта. Срокпратката свързани с частичното възможно прилагане на правилата.

Нека участват в игратан партньори. Нека обозначим печалбата на играча Pj през v j . В този случай положителна стойност v j означава победа, отрицателно означава загуба, а нула означава равенство.

Целта на играта е да се максимизират печалбите за сметка на другите.

Нека разгледаме накратко класификацията на игрите.

• В зависимост от броя на играчите, игрите сасдвоени (n = 2) и множествени (n > 2).
• В зависимост от броя на стратегиите, игрите се делят нафинал , ако играчите имат краен брой стратегии ибезкраен , в противен случай.
• Има игри нулева сумаако някои се облагодетелстват за сметка на други.
• Извикват се игри с двойки с нулева сумаантагонистичен.
• Крайните игри с нулева сума се наричатматрица
• В зависимост от взаимоотношенията между играчите игрите се делят накооперативен (в които коалициите са предварително определени),коалиция (играчите могат да сключват споразумения) инекоалиционност(на играчите не е разрешено да сключват споразумения).

Ходовете на играчите са разделени налични , ако ходът е избран съзнателно, ислучаен , ако ходът е избран чрез механизъм за произволен избор.

Има стратегииоптимален , които осигуряват на играча най-голям успех - печалба, инеоптимален

Матрични игри

Като цяло една матрична игра е дадена от правоъгълна матрица с измерение mxn:

Един играч имам възможни стратегии ( A 1 , A 2 ,…, A m ), а другият играч -н възможни стратегии ( B 1, B 2,…, B n ). Елемент на печалба, който вторият играч плаща на първия, ако първият играч избере стратегията A i , а вторият играч е стратегията Bj . В този случай печелившата стойност може да е по-малка от нула.

Нека представим матричната игра в табличен вид, т.нарплатежна матрица:

Да формулираме основен принцип на матричната игра: първият играч се стреми да спечели колкото е възможно повече, а вторият играч се стреми да загуби възможно най-малко. Въз основа на този принцип и двамата играчи са в съзнание и матрицата на играта е съставена от гледна точка на печалбата на първия играч; по този начин печалбата на първия играч е едновременно загуба на втория.

Нека погледнем играта от позицията на първия играч. Нека първият играч обмисли прилагането на първата си стратегия (първия ред на матрицата). Тогава печалбата му в най-лошия случай няма да бъде по-малка от минимален елементпърви ред, т.е. . По същия начин, неговата печалба при прилагане на произволна стратегия A i ще бъде стойност не по-малка от. По този начин, сред всичките си стратегии, той може да избере стратегията, която е най-добрата в смисъл на възможно най-голямата минимална печалба. Тази стойност на гарантираната победа при най-лошите условия на опозиция от втория играч се наричапо-ниска нетна цена на игратамаксимин):

Сега разгледайте гледната точка на втория играч. Когато той използва първата си стратегия, която е представена от първата колона на матрицата за плащане, максималната му загуба ще бъде стойността за най-неблагоприятните действия на първия играч. По същия начин неговата загуба при прилагане на произволна стратегияВ дж ще бъде стойност не по-голяма от. Тази стойност на гарантираната загуба при най-лошите условия на опозиция от първия играч се наричатоп нетна цена на играта, и е равно на следния израз (минимакс):

Следователно стратегиите на първия играч се наричатмаксимин, а вторият минимакс.

Пример 1 . Намерете долната и горната нетни цени на матрична игра с матрица:

Долната нетна цена на играта е равна, горната нетна цена на играта е равна. По този начин, в в такъв случай. Елементът се наричаседло елемент от матрицата на играта (той е едновременно минимален в своя ред и максимален в своята колона), и самата играигра със седлова точка.В този случай долната и горната нетни цени на матричната игра съвпадат и са равни на нетната цена на играта. Оптималните стратегии на играчите са и е неизгодно за някой от играчите да се отклонява от тях.

Пример 2 . Нека решим подобна задача за игра с матрица:

Тук имаме. Нетна цена на играта. По този начин в играта няма седлова точка. Решаването на такава игра е трудно. Нека изясним тази идея. Стратегията гарантира, че първият играч ще спечели поне 4 единици в най-лошия случай, когато вторият играч избере стратегията. По същия начин стратегията гарантира, че вторият играч ще загуби не повече от 7 единици в най-лошия случай, когато първият играч избере стратегията. Първият играч може да избере стратегия за спечелване на 9 единици, но вторият играч ще избере стратегията.

Създава се ситуация, в която партньорите бързат за стратегии. Това означава, че в този случай трябва да се промени подходът към самата игра.

Чисти и смесени стратегии за играчи

Чиста стратегия за играче възможен ход на играча, избран от него с вероятност равна на 1.

Нека представим чистите стратегии на играчите от пример 1 под формата на единични вектори: стратегията на първия играч, стратегията на втория играч. IN общ изгледза двойка стратегии чистите стратегии могат да бъдат записани във формата, а в първия вектор единицата е нааз- та позиция, а във втория вектор на j-та позиция.

Смесена стратегияпървият (вторият) играч се нарича вектор:

Ето стойностите на вероятността за използване на съответните стратегии на първия и втория играч.

Играта се нарича активна ако.

Въз основа на разгледаните определения могат да се направят следните изводи:

1. Играта става произволна.
2. Сумата на печалбата (загубата) става произволна.
3. средна стойностпечалби ( очаквана стойностизплащане) е функция на смесени стратегии: и се наричаплатежна функция на играта.

Стратегиите се наричатоптимален , ако условието е изпълнено за произволни стратегии.

Стойността на платежната функция за оптималните стратегии на играчите определяцената на играта, т.е. .

Решение на играта се нарича набор от оптимални стратегии и цени на играта.

Теорема (основната теорема на теорията на матричните игри е теоремата на фон Нойман). Всяка матрична игра има поне едно решение в смесените стратегии две оптимални стратегии и съответната им цена: .

Методи за решаване на матрични игри

Всички методи за решаване на матрични игри, обсъдени в нашия курс, се основават на теоремата за активните стратегии.

Теорема (относно активните стратегии). Ако един играч се придържа към своята оптимална смесена стратегия, тогава печалбата остава непроменена и равна на цената на играта, ако другият играч не надхвърли границите на своите активни стратегии (т.е. използва някоя от тях в чиста форма или смеси във всякакви пропорции).

Сега нека да разгледаме някои специални случаи на разрешими матрични игри.

1. Игра, която има седлов елемент в матрицата на печалбите (игра със седлова точка)

В този случай първият играч прилага своята стратегия maximin, а вторият играч прилага своята стратегия minimax, долната нетна цена на играта е равна на горната нетна цена на играта. Тогава те казват товаиграта се решава в чисти стратегии,отклонението от което не е от полза за никого (виж пример 1).

1. Игра с матрица на изплащане 2 на 2, която няма елемент на седло.

В чистите стратегии няма оптимално решение, затова се търси решение в смесените стратегии. За да ги намерим, използваме теоремата за активните стратегии. Ако първият играч се придържа към своята оптимална смесена стратегия, тогава средната му печалба ще бъде равна на цената на играта, без значение каква активна стратегия използва вторият играч.

Нека бъде дадена платежната матрица

(около матрицата са записани смесени стратегии на играчите). Нека напишем две уравнения за първия играч: първото за случая на втория играч, използващ само първата си стратегия, а след това се използват само елементите от първата колона на матрицата, второто за случая на втория играч, използващ само втората му стратегия и след това се използват само елементите от втората колона на матрицата. Левите части на тези уравнения изчисляват математическото очакване на печалбата на първия играч, което е равно на цената на играта. Тези две уравнения съдържат три неизвестни наведнъж - , а самите уравнения са хомогенни, следователно за уникалната разрешимост на системата е необходимо трето уравнение със свободен член. Това допълнително и много важно уравнение е условието за нормализиране, според което сумата от вероятностите на всички събития трябва да бъде равна на единица. Така крайната система от уравнения за първия играч изглежда така:

Тази система може да бъде решена много просто поради причината, че е възможно да се изрази една неизвестна величина чрез друга от третото уравнение. Решението на тази система дава стойностите на оптималната смесена стратегия на първия играч и съответната цена на играта.

За да се реши напълно играта, остава да се намери оптималната смесена стратегия на втория играч. Тук играчите сякаш сменят местата си. Конструкцията на системата от уравнения е подобна на предишния случай. Разликата е, че не колоните на матрицата, а редовете се приемат като коефициенти на системата, тъй като именно редовете съответстват на чистите стратегии на първия играч. Така че системата изглежда така:

Пример 3. Намерете смесени стратегии за играчи за матрицата.

Нека създадем системи от уравнения за първия играч и втория:

Решението на което дава

Така записваме решението на играта във формата:

1. Графично решение за игра двама на двама.

Нека разгледаме отново пример 3. Нека начертаем сегмент с единична дължина върху абсцисната ос. В краищата на този сегмент рисуваме вертикални оси I - I и II - II. Нека го поставим на оста I - I печеливши ценностипърви плейър при използванепърви стратегии. На ос II - II нека оставим печалбите настранапърви плейър при използваневторо стратегии. Нека свържем точките с прави сегменти. Счупен B 1 KB 2 - долна граница на печалбата. Минималната печалба на играча лежи на тази границаА с всяка смесена стратегия. ТочкаДА СЕ , в който тази печалба достига максимум, определя решението и цената на играта. За смесената стратегия на втория играч можем също да напишем:

Стратегията на втория играч може да бъде намерена директно, ако играчите са разменени на графиката и вместо максимума на долната граница на печалбата, вземете предвид минимума на горната граница на загубата. Така или иначе, точкаДА СЕ е едновременно максимална и минимаксна точка.

1. Графично решение на играта.

Конструкцията е подобна на случая две по две. Тукн вражеските стратегии ще бъдат изобразени като сегментин прав След това разглеждаме долната граница, която е прекъсната линия. Максимумът на прекъснатата линия се достига в един от върховете, където се пресичат две вражески стратегии, които саактивен

В теорията на игрите е доказано, че всяка ограничена игра има решение, в което броят на активните стратегии на всяка страна не надвишава най-малкото от числата или. Следователно игратаима решение, в което не са включени повече от две активни стратегии от всяка страна. (Играта може да бъде решена по същия начин). Човек трябва само да намери тези стратегии и играта се превръща в игра.

Пример 4 . Решете играта със следната матрица на изплащане:

Тази игра има 2 стратегии от страна на първия играч и три стратегии от страна на втория. Затова ще определим графично една от стратегиите на втория играч, който е неактивен. Нека изградим графика относно стратегиите на първия играч.

Графиката показва, че за втория играч първата стратегия, която е неактивна, е очевидно неизгодна. Така изключваме първата колона от матрицата на играта, съответстваща на първата стратегия на втория играч, и достигаме до матрица две по две следния тип:

За тази матрица пишем система от уравнения - за първия играч и система: - за втория играч.Решаването на тези системи дава следния резултат:

1. Игра с матрица на изплащане mx2

Както беше отбелязано по-горе, играта е предварително решена графично от гледна точка на втория играч. В този случай се определят активните стратегии на втория играч. На графиката се прилага минимаксната стратегия и се взема предвид минимумът на горната граница на загубата. Нека разгледаме един пример.

Пример . Решете матрична игра със следната матрица:

Нека изградим графика, където отляво нанасяме стойностите на загубите на втория играч, когато използва първата стратегия, а отдясно - стойностите на загубите на втория играч, когато използва втората стратегия .

Графиката показва, че втората стратегия е неизгодна за първия играч, тъй като когато се приложи, печалбата на първия играч (и съответно загубата на втория играч) ще бъде по-малка. Така активните стратегии на първия играч ще бъдат първа и трета. Съответно, ние записваме системи от уравнения за смесени стратегии на играчи:

Системно решение: За първия играч системата има формата (стратегияА 2 не го считаме за необещаващо):

Решението на системата ще бъдат стойностите.Така решението на играта изглежда така: .

1. Игри с доминиращи и излишни стратегии.

Помислете за две стратегии на първия играчаз ю и к Ю. В този случай нека са изпълнени следните условия за всички елементи на съответните редове на матрицата: . В този случай те казват това i Аз съм стратегията на първия играчдоминира своя j та стратегия. Ако всяко неравенство е стриктно, тогава се казва, че съществува една стратегиястрого доминиранад другия. Във всеки случай, от двете стратегии, първият играч ще предпочете доминиращата, тъй като използването на доминираната стратегия поне неговата печалба няма да се увеличи. В този случай можете да го приемете.

По подобен начин разгледайте двете стратегии на втория играч - j - ю и л yu, като същевременно са изпълнени следните условия за елементите на съответните колони на матрицата: . За втория играч, както е известно, по-изгодна е стратегия, която дава по-малка загуба, така се казва j - i стратегия доминира l - г. Ако неравенствата по двойки са строги, тогава се казва, че е една стратегиястрого доминиранад другия. В същото време, разбира се.

Ако някой от играчите има две стратегии, които имат само съвпадащи елементи в матрицата, тогава тези стратегии се наричатдублиране . Няма значение кой от тях играчът избира да реши играта.

В резултат на това, при наличието на доминиращи и припокриващи се стратегии, някои стратегии може да не бъдат взети предвид, което в някои случаи ще доведе до значително опростяване на платежната матрица.

1. Еквивалентна трансформация на платежната матрица.

Тази трансформация се прилага за опростяване на изчисленията, без да се променят оптималните смесени стратегии на играчите.

Теорема . Оптимални смесени стратегии съответно на 1-ви и 2-ри играчи в матрична игра с цена v също ще бъде оптимално в матрична игра с цена, където.

Пример . В матрична игра с матрица на изплащане, която вземаме b =10, C = -6 . Нека приложим трансформацията bA+c , тогава получаваме игра със същите оптимални стратегии, но с различна еквивалентна матрица: .

Еквивалентност на матрична игра на чифт двойни ZLP.

Помислете за матрична игра на размера. Нека го сведем до задача за линейно програмиране в общ вид. Ние имаме:

Да приемем, че. Това винаги може да се направи с помощта на теоремата за еквивалентното преобразуване на матрицата за плащане, следователно можем да считаме цената на играта за положително число, v >0.

За първия играч имаме система от неравенства (като се има предвид, че първият играч се стреми да спечели колкото е възможно повече, цената на играта за него ще надхвърли v):

Нека въведем нови променливи, като разделим на цената на играта: тогава получаваме ZLP:

При конструирането на целевата функция вземаме предвид, че цената на играта за първия играч е максимизирана.

По същия начин за втория играч имаме система от неравенства:

Разделяйки на цената на играта и въвеждайки нови променливи, получаваме ZLP за втория играч:

Тук целевата функция е поставена на максимум, т.к цената на играта за втория играч е сведена до минимум.

В резултат на това получихме двойка симетрични двойни ZLP. Следователно според първата теорема за двойствеността цената на играта v има едно и също значение и за двамата играчи.

Концепцията за игра с природата (статистически игри)

Тук един от участниците е човек или група хора с обща цел, т.нар.статистик (играч А), друг участникприрода (играч P), или целият комплекс от външни условия, при които статистикът трябва да вземе решение. Природата е безразлична към победата и не се стреми да обърне грешките на статистиката в своя полза.

Статистикът има m стратегии; природата може да осъзнаен различни състояния. В този случай могат да бъдат известни вероятностите за реализиране на природни състояния. Ако статистикът може да оцени използването на всяка своя стратегия във всяко природно състояние, тогава играта може да бъде специфицирана чрез матрицата на изплащане:

При опростяване на платежната матрица не могат да се отхвърлят определени природни състояния, т.к природата може да реализира всяко свое състояние, независимо дали е изгодно за статистиката или не. Природата дори може да помогне на играчаА .

При избора на оптимална стратегия статистиците използват различни критерии. В същото време те разчитат както на матрицата на плащанията, така и на матрицата на риска.

Статистика на риска. Матрицата на риска има същото измерение като матрицата на плащанията:

Преобразуването от матрицата на плащането в матрицата на риска се извършва колона по колона: във всяка колона на матрицата на плащане се избира най-големият елемент, който се заменя с нула в матрицата на риска, а останалите елементи на матрицата на риска се избират колона се получават чрез изваждане на съответните елементи от този най-голям елемент.

Ако са известни вероятностите за природните състояния, използвайтеКритерий на Бейс : избрана е стратегията, която осигурява максимална средна печалба.

Когато вероятностите на природните състояния са неизвестни, се прилага принципът на Лаплас за недостатъчна причина, когато всички състояния се считат за еднакво вероятни:

Тогава средната печалба за всяка стратегия се изчислява като средната аритметична стойност на печалбите за всички възможни природни състояния:

Еквивалентен подход би бил да се избере стратегия, която осигурява най-нисък среден риск:

с известни вероятности за природни състояния и

в случай че тези вероятности са неизвестни. С този подход резултатът ще бъде абсолютно същият като при анализ на най-големите средни печалби.

Ако вероятностите за природните състояния са неизвестни, тогава критериите на Wald, Savage и Hurwitz се използват по-широко.

Оптималната стратегия според критерия на Валд е A i , което осигурява най-малката печалба от всички най-висока стойност. В този случай най-малкият елемент се избира от матрицата на изплащане (т.е. матрицата на плащане) във всеки ред и след това се избира най-големият от тези елементи:

Според критерия на Savage оптималната стратегия е тази, която минимизира максималния риск, т.е. От всеки ред на матрицата на риска се избира максималния елемент и след това сред тези елементи се избира редът, съдържащ минималния елемент:

Съгласно критерия на Хурвиц стратегията, намерена от условието, се счита за оптимална:

където е „коефициентът на песимизъм“. При χ=1 имаме критерия на Валд, или критерия за краен песимизъм, а при χ=0 имаме критерия за „краен оптимизъм”. Препоръчително е да изберете χ между нула и едно по субективни причини.

В резултат на прилагането на няколко критерия, те се сравняват помежду си и за най-добра се избира статистическата стратегия, която най-често се явява като най-добра.

5.7. Кратки бележки по въпроса за селективния контрол върху въоръженията
Вече казахме, че основната цел на контрола е да се провери дали другата страна спазва споразумението за контрол на въоръженията. Контролът може да се упражнява чрез наблюдение на производството и съхранението на военни материали, движението на превозни средства, превозващи военни материали, количеството оръжия в определени стратегически зони или наличието или отсъствието на скрити военни съоръжения. При ядрени или други опити, забранени от договора, наблюдателят трябва да търси определени доказателства, които могат да му помогнат да интерпретира подозрителни сигнали.
Абсурдно и невъзможно е да се изследват всички подозрителни събития, за да се установи дали се спазва споразумение. В индустрията отдавна е установено, че за контрол на качеството на продукта изобщо не е необходимо да се контролират всички продукти, достатъчно е да се проверят произволно избрани проби. Цената на вземането на проби може да бъде доста висока, дори ако се използват надеждни методи за контрол на качеството.
Селективните методи, прилагани при проблеми с контрола на въоръженията, могат да варират по сложност. Като цяло идеите и методите, които са толкова полезни при изучаването на характеристиките на населението, са приложими и полезни за изследване.
Не е необходимо да навлизаме в подробности относно различните видове методи за вземане на проби, като случайни, стратифицирани, групови, последователни и т.н. Нито пък е необходимо да говорим за различните методи за получаване на статистически изводи, които използват корелация и регресия, оценки и тестови хипотези. Основните понятия и приложения на споменатите методи могат да бъдат прочетени в широко достъпни книги за статистика и нейните приложения. Тук ще се опитаме да очертаем типична ситуация, в която можете ефективно да използвате методи за вземане на пробиза проверка на спазването от врага на договор за контрол на въоръженията.
Проблемът с вземането на проби се състои от два големи въпроса. Първият е да се определи размера на извадката и вида на процедурата за вземане на проби, която е най-подходяща в конкретна ситуация. Второто е получаванетостатистически заключения за цялата съвкупност въз основа на данни от извадки. И двата проблема трябва да бъдат разрешени, така че наложените условия
Договора за разоръжаване, както и че те са в съответствие с други условия извън контрола на групата наблюдатели. След това резултатите от вземането на проби трябва да бъдат представени във форма, удобна за вземащите решения. Област, в която методите за вземане на проби могат да бъдат полезни за контрола на оръжията, например, е анализът на системи от записи, които съдържат информация за транспортирането и производството на стратегически материали. Използването на такива записи за контрол обаче е скъпо. Освен това може да не е възможно да се получи достъп до тези записи чрез преговори. Въпреки това, ако такива записи станат достъпни за страните в резултат на споразумение, трябва да се предвиди разпоредба за тяхното използване. Контролът на отчетността има за цел да създаде и управлява система от записи и отчети, записващи постъпления и заминавания, за да се предотврати разпръскването и загубата на материали поради небрежност или, ако е настъпила загуба, да се гарантира възстановяването на изгубени материали и предотвратяването на подобни случаи в бъдеще.
Вземането на проби от нематериални активи като записи поставя много необичайни предизвикателства. Едно от тях е съответствието на записите с действителното състояние на нещата. Друга е последователността на записите.
Ако съществуващото ниво на дейност в областите на дейност, обхванати от споразумението, е посочено в документите заинтересовани страни, тогава екипът за мониторинг има основа за намиране на дейности, в които нивото на активност не е посочено.От друга страна, много по-трудно е да се установи дали нивото на активност в определена сфера на дейност не надвишава установеното договорно ниво.
ром, тъй като потокът от материали не може да бъде разделен на черно и бяло, той включва всички нюанси на сивото. Следователно групата наблюдатели трябва да бъде внимателна и способна да разплита трудни въпроси. Естествено, малките нарушения не могат да дадат големи предимства на нарушителя; производството на оръжия за подготовка на големи военни операции изисква широк спектър от нарушения.
Смятаме, че това трябва да са приблизително методите, приложими в крайните етапи на разоръжаването. Те ще служат като инструмент, използван в ежедневните дейности по прилагане на договора за контрол на въоръженията. Но много преди този етап идеите, представени в първите пет глави на тази книга, ще играят важна роля в създаването на мерки за реално намаляване на оръжията.
Кратко описаниеПроблемите, които възникват при селективния контрол на въоръженията, ще бъдат обсъдени по-долу. Процедурите за вземане на проби се използват малко, когато се оценяват свойства, които са относително редки в елементите на популацията. Ако само няколко елемента имат това свойство, например 1 на 10 хиляди, тогава оценката ще бъде много приблизителна, при условие че извадката не е изключително голяма (високи разходи). Например, ако желаното свойство се намери в малка извадка, тогава оценката за цялата популация ще бъде силно надценена. Никаква промяна в процедурата за вземане на проби не може да избегне този недостатък и трябва да се внимава при подбора на елементите на пробите. Същото може да се каже и за търсенето на нарушения при производството на продукти за малък брой оръжия. Това е като да търсиш игла в купа сено.
Да приемем, че трябва да проверим завод, който произвежда части за селскостопански машини, но който може да произвежда и определен брой части за военна техника. Нека приемем също, че броят на машините, използвани за мирни цели е неизвестен и следователно не може да се каже колко части от даден тип са предназначени за тази цел.Как може да се установи, че се произвеждат излишни количества части ?
Ние можем да зададем стандарти за експлоатационния живот на тези части и експлоатационния живот на машините, които използват тези части. Необходимо е също така да се определи броят на произведените автомобили въз основа на проверка на заводите, в които се произвеждат. Използвайки произволни извадки от популация от машини, можем да оценим размера на популацията и нуждата от тези части. Сега имаме оценка на броя на частите, необходими за изграждането на нова машина и за замяна на износени части в стари машини. Като наблюдаваме скоростта на производство на тези части и оценяваме максималния производствен обем, можем да потвърдим или опровергаем подозренията, че тези части се използват тайно във военни продукти.
Статистиката служи като инструмент за измерване на ефективността на действията, предприети в политическия процес. Тези мерки или индекси служат като критерии за оценка на това колко точно се изпълняват споразуменията. Например средните нива често се използват, за да покажат колко дейности са завършени. Понякога може да използваме визуална проверка, за да оценим степента, до която изискванията са изпълнени. Въпреки това, ако трябва да се извършат голям брой проверки, за да се обхванат много области, това е необходимо статистически методида се получи единен критерий за изпълнение на изискванията. За ефективността на дадено действие може да се съди по степента, в която то съответства на целите, преследвани от политиката. Следователно, в допълнение към разработването на жизнеспособни цели и устойчиви курсове на действие, трябва да се предприемат действия (като израз на политика), които гарантират ефективното изпълнение на тези изисквания.
Понякога се случва да няма ефективни действия, които да се използват за прилагане на определена политика. Такъв е например случаят, когато две държави взаимно блокират действията си. Ако държавата не може да действа в съответствие с целите си, тогава страната ще изпита размирици. В гл. 6 ще бъдат разгледани общи понятияразстройство, агресия и фактори, влияещи върху разрешаването на конфликти.

Част IV
МЕЖДОННИ И ДЪЛГОСРОЧНИ ПРОБЛЕМИ В КОНТРОЛА НА ОРЪЖАВАНЕТО - АНАЛИЗ НА НАРАСТВАЩИЯ КОНФЛИКТ, ИДЕИ И ПЕРСПЕКТИВИ

ГЛАВА 6
ИЗСЛЕДВАНЕ НА КОНФЛИКТИ

6.1. Въведение
Тази глава ще очертае някои въпроси относно причините за конфликтите. Първо описваме някои изследвания за бягството
лации, като използвате примери за конфликти от лабораторен тип и разберете какви фактори определят разрастването на конфликтите. След това ще бъдат дадени някои качествени съображения относно войната и мира в човешката история.
„Конфликтът възниква в резултат на недоволство, а недоволството възниква в резултат на недостатъчно задоволяване на потребностите“, казват привържениците на една от идеологическите школи. Война и мир се описва накратко като верига от разстройства и възстановяване.
Други школи (някои от които са споменати накратко) смятат, че войните се генерират от агресивни инстинкти, омраза, скука, взаимно неразбиране, различия в нивото на културата, желанието да се обедини разделена страна, основана на омраза към общ враг, нов научни открития, желанието за стимулиране на икономическия растеж чрез създаване на „изкуствено“ търсене, желанието за завземане на нови пазари, борбата за оцеляване, разширяването на динамична цивилизация, желанието за господство на елита на военно-промишления комплекс и др. Въпреки това, както и да е, теорията, изложена в раздел 2.4, дава възможност за рационално разрешаване на проблема с въвличането в конфликт.
Сегашната ситуация не изглежда много надеждна. Затова се прави опит да се нарисува картина на бъдещето и да се покажат реалните възможности за установяване на траен мир, при условие че успеем да оцелеем понастоящем. Последният раздел описва някои области на изследване и препоръчани действия в момента (и в близко бъдеще), които могат да помогнат за мирното разрешаване на конфликти.

6.2. Опит с ескалация на конфликт
Понякога погрешно вярваме, че ако нациите разбират опасностите от ядрените оръжия, тогава те ще се стремят да разрешават интелигентно конфликтите, които възникват, в най-лошия случай, използвайки конвенционални оръжия. Съвсем естествено обаче, губещата страна може да прибегне до заплахата от използване на ядрени оръжия, за да избегне поражение и дори да си върне загубените позиции. Това може да завърши с катастрофа. Освен това някои народи имат различна концепция за рационалност от нашата, особено ако нямат какво да губят материално. Докато процесите на ескалация и как да се управляват не бъдат напълно разбрани, е малко вероятно да бъде възможно да се запази контролът върху водената война с обикновени средства. Разбирането на процесите на ескалация и как да ги управлявате ще увеличи значително надеждите за ограничаване на щетите, ако възникне конфликт. Тази теория би трябвало да намери своето приложение към война, водена с конвенционални средства, ако има индикации в каква посока ще се развие конфликтът при определени действия. Подобни действия понякога са насочени към деескалация чрез потискане на врага, но в действителност те само засилват конфликта.
През последните няколко години Агенцията за разоръжаване и контрол на въоръженията, в сътрудничество с Центъра за изследване на операциите към Университета на Пенсилвания, провежда проучване на условията, при които конфликтите ескалират и деескалират, за да проучи възможността за влияние върху скоростта на ескалация или деескалация чрез манипулиране на условията, които определят взаимодействието на страните – участници в конфликта. Изследването включваше: а) анализиране на някои исторически конфликти и изучаване на съответната литература, б) провеждане на експерименти за определяне на ефекта от взаимодействията между различни променливи и в) разработване на теория, базирана на експериментални данни и обобщаването й към проблеми от реалния свят.
В резултат на прегледа на литературата бяха предложени няколко хипотези за ескалация и деескалация и след това а) тяхната общност и б) идентифицирането на критични променливи бяха тествани в експериментални ситуации. Примери за хипотези: а) при липса на комуникация, вероятността от ескалация се увеличава, б) колкото по-голяма е ролята на идеологическите проблеми, толкова по-вероятната ескалация е, в) ескалацията зависи от икономическо развитие, г) ескалацията е по-вероятна, ако конфликтът се развива постепенно, д) ескалацията е по-вероятна при наличието на многостранно командване.
Беше конструирана относително сложна експериментална ситуация, така наречената „изкуствена реалност“ (или „богата игра“), която въпреки това беше най-простата игра, която отговаряше на следните условия:
1. То е достатъчно „богато“, така че много хипотези, изразени относно изследваните явления, да могат да бъдат тествани, в този случай ние говорим заза динамиката на големите социални конфликти. (Очевидно подобни експерименти не могат да потвърдят хипотезата на едно или друго истински феномен, но те могат да определят границите на хипотезата или да покажат в каква посока тя може или трябва да бъде обобщена.) Целта на условията е да се създаде експериментална ситуация, която е достатъчно реалистична, за да се приложат повечето от свойствата на реален конфликт то.
2. Трябва да има точни описания на променливите и мерните единици за тяхното измерване, освен това трябва да бъдат посочени опростявания (например някаква променлива се приема за равна на константа). Това ни позволява последователно да конструираме все по-богати експериментални ситуации чрез въвеждане на усложнения.
3. Подходящото поведение в експерименталната ситуация трябва да бъде изразено количествено.
4. Ситуацията трябва да бъде разложена на няколко по-прости експериментални ситуации и, ако е възможно, тези прости ситуации трябва да са вече проучени или близки до вече проучените.
Експериментална ситуация, която отговаря на тези условия, не е модел на реалността, а по-скоро може да се счита за първа стъпка към създаване на количествени модели на реална ситуация; затова го наричаме „изкуствена реалност“. Използва се за натрупване на експериментални данни, за чиято интерпретация се изгражда първата теория. Опитът се придобива чрез богатата игра на експеримент, предназначен да систематично тества хипотези за реални конфликти, които са описани в оперативни и количествени термини, така че да могат да бъдат използвани в теоретични конструкции.

Бележки за изграждането на изкуствена реалност
Изкуствената реалност се състои от две симетрични игри, в които ходовете се правят едновременно. Едната е игра с положителна сума - "дилемата на затворника" - която до известна степен изобразява международна икономика (на две държави). Другата е игра с отрицателна сума, наречена петли, която наподобява конфронтация между две страни, където те са на курс на сблъсък с надеждата, че другата ще направи отстъпки.
КРАЙ НА ПАРАГМЕХТА КНИГИ

Обобщение. Състои се от изучаване на свойствата, връзките и отношенията на конфликта, които характеризират не един конфликт, а цял клас конфликти, които са хомогенни в това отношение. При обобщаване е важно да можете да идентифицирате индивидуалното, това, което е характерно само за тази конфликтна ситуация, и общото, което е характерно за цяла поредица от конфликти. Този метод се използва в повечето научни дисциплини, които изучават конфликти.

Сравнителен метод. Това включва сравняване на редица аспекти на конфликта и идентифициране на приликите или разликите в техните прояви в различни конфликти. В резултат на сравнението се установяват различия в параметрите на конфликта, което позволява диференцирано управление на конфликтните процеси.

Математическо моделиране на конфликти

IN напоследъкМетодът на математическото моделиране все повече се използва за изследване на междугрупови и междудържавни конфликти. Неговото значение се дължи на факта, че експериментални изследванияТакива конфликти са доста трудоемки и сложни. Наличието на моделни описания ни позволява да проучим възможното развитие на ситуацията, за да изберем оптималния вариант за тяхното регулиране.

Математическо моделиране с помощта на съвременни инструменти компютърна технологиядава възможност да се премине от обикновено натрупване и анализ на факти към прогнозиране и оценка на събития в реално време на тяхното развитие. Ако методите за наблюдение и анализ на междугрупов конфликт позволяват да се получи едно решение на конфликтно събитие, тогава математическото моделиране на конфликтни явления с помощта на компютър позволява да се изчислят различни варианти за тяхното развитие, прогнозиране на вероятния изход и въздействие върху резултата .

Математическото моделиране на междупартийните конфликти позволява да се замени прекият анализ на конфликтите с анализ на свойствата и характеристиките на техните математически модели.

Математическият модел на конфликта е система от формализирани връзки между характеристиките на конфликта, разделени на параметри и променливи. Параметрите на модела отразяват външните условия и слабо променящите се характеристики на конфликта, а променливите компоненти са основните характеристики за това изследване.

Промяната на тези конфликтни стойности представлява основната цел на симулацията. Съдържание и оперативна обяснимост на използваните променливи и параметри - необходимо условиеефективност на моделирането.

Използването на математическо моделиране на конфликти започва в средата на 20-ти век, което се улеснява от появата на електронни изчислителни технологии и голям брой приложни изследвания на конфликти. Все още е трудно да се даде ясна класификация на математическите модели, използвани в конфликтологията. Класификацията на моделите може да се основава на използвания математически апарат (диференциални уравнения, вероятностни разпределения, математическо програмиране и др.) и обекти на моделиране (междуличностни конфликти, междудържавни конфликти, конфликти в животинския свят и др.). Можем да разграничим типичните математически модели, използвани в конфликтологията:

вероятностни разпределенияпредставляват най-простия начин за описание на променливи чрез посочване на дела на елементите в популацията с дадена стойност на променливата;

статистически изследваниязависимости -клас модели, широко използвани за изследване на социални явления. Това са преди всичко регресионни модели, които представят връзката на зависимите и независимите променливи под формата на функционални връзки;

Марковски веригиописват такива механизми на динамика на разпределение, където бъдещото състояние се определя не от цялата предистория на конфликта, а само от „настоящето“. Основният параметър на крайната верига на Марков е вероятността статистически индивид (в нашия случай, противник) да премине от едно състояние в друго за фиксиран период от време. Всяко действие носи лична печалба (загуба); те добавят към получената печалба (загуба);

модели на целенасочено поведениепредставляват използването на обективни функции за анализ, прогнозиране и планиране социални процеси. Тези модели обикновено са под формата на проблем с математическо програмиране с определена целева функция и ограничения. Понастоящем тази посока е насочена към моделиране на процесите на взаимодействие между целеви социални обекти, включително определяне на вероятността от възникване на конфликт между тях;

теоретични моделиса предназначени за логически анализ на определени съществени понятия, когато възможността за измерване на основни параметри и променливи е трудна (възможни междудържавни конфликти и др.);

симулационни моделипредставляват клас модели, реализирани под формата на алгоритми и компютърни програми и отразяващи сложни зависимости, които не подлежат на смислен анализ. Симулационните модели са средство за машинно експериментиране. Може да се използва както за теоретични, така и за практически цели. Този метод на моделиране се използва за изследване на развитието на продължаващи конфликти.

Тема 10. Предотвратяване на конфликти

1. Характеристики на предотвратяването и прогнозирането на конфликти. Обективни и организационно-управленски условия, които допринасят за предотвратяване на деструктивни конфликти.

2. Технология за предотвратяване на конфликти. Промяна на отношението ви към ситуацията и поведението в нея. Начини и техники за въздействие върху поведението на противника. Психологията на градивната критика.

3. Фактори, предотвратяващи възникването на конфликти.

4. Методи за психокорекция на конфликтното поведение: социално-психологическо обучение; индивидуално психологическо консултиране; автогенен тренинг; посредническа дейност на психолог (социален работник); самоанализ на конфликтното поведение.

1. Характеристики на предотвратяването и прогнозирането на конфликти. Обективни и организационно-управленски условия, които допринасят за предотвратяване на деструктивни конфликти.

Прогнозирането на възникването на конфликти е основната предпоставка за ефективни усилия за тяхното предотвратяване. Прогнозирането и предотвратяването на конфликти са области на управленска дейност за регулиране на социалните противоречия.

Характеристиките на управлението на конфликти до голяма степен се определят от тяхната специфика като сложно социално явление.

Важен принцип за управление на конфликти е принципът на компетентността.

Намесата в естественото развитие на конфликтна ситуация трябва да се извършва от компетентни хора.

Първо, хората, които се намесват в развитието на конфликтна ситуация, трябва да имат Общи познанияза естеството на възникването, развитието и завършването на конфликтите като цяло.

Второ, необходимо е да се събере най-разнообразна, подробна и информативна информация за конкретна ситуация.

Друг принцип .

Управлението на конфликти изисква не блокиране, а стремеж за разрешаването им по безконфликтни начини.

По-добре е все пак да се даде възможност на хората да защитават интересите си, но да се гарантира, че те правят това чрез сътрудничество, компромис и избягване на конфронтация.

Нека разгледаме съдържанието на такова понятие като управление на конфликти.

Управлението на конфликти е съзнателна дейностпо отношение на него, извършвани на всички етапи от неговото възникване, развитие и завършване от страните в конфликта или трета страна.

Управлението на конфликти включва: диагностика, прогнозиране, предотвратяване, предотвратяване, смекчаване, уреждане, разрешаване.

Управлението на конфликти е по-ефективно, ако се извършва ранни стадиивъзникване на социални противоречия. Ранното откриване на социалните противоречия, чието развитие може да доведе до конфликти, се осигурява чрез прогнозиране.

Прогнозирането на конфликти е информирано предположение за тяхното възможно бъдещо възникване или развитие.

Преди да предскаже конфликтите, науката трябва да премине през два етапа в тяхното познание.

Първо, необходимо е разработване на описателни модели различни видовеконфликти. Необходимо е да се определи същността на конфликтите, да се даде тяхната класификация, да се разкрие структурата и функциите, да се опише еволюцията и динамиката.

Второ, ние трябва трябва да се разработят обяснителни бележки модели конфликти.

Признаци на социално напрежение могат да бъдат идентифицирани чрез рутинно наблюдение. Възможни са следните начини за прогнозиране на „зреещ“ конфликт:

1. спонтанни мини-срещи (разговори между няколко души);

2. увеличаване на броя на отсъствията от работа;

3. увеличаване на броя на локалните конфликти;

4. намаляване на производителността на труда;

5. повишен емоционален и психологически фон;

6. масово уволнениепо ваше желание;

7. разпространяване на слухове;

8. спонтанни митинги и стачки;

9. повишаване на емоционалното напрежение.

Идентифицирането на източниците на социално напрежение и прогнозирането на конфликта на ранен етап от неговото развитие значително намалява разходите и намалява възможността от негативни последици. Важен начин за управление на конфликти е тяхното предотвратяване.

Предотвратяването на конфликти се състои в организиране на жизнените дейности на субектите на социално взаимодействие по такъв начин, че да се елиминира или минимизира вероятността от възникване на конфликти между тях. Предотвратяване на конфликти - това е тяхното предупреждение в широк смисълдуми. Много по-лесно е да предотвратите конфликти, отколкото да ги разрешите конструктивно. Предотвратяването на конфликти е не по-малко важно от умението да ги разрешавате конструктивно. Изисква по-малко усилия, пари и време.

Група учени, ръководени от служител Нижни Новгородски университеттях. Н.И. Лобачевски Александра Петухова идентифицира параметрите, които са необходими за управление на системата, която описва социалните конфликти. Ако тези характеристики са напълно контролирани, учените ще могат да създадат условия за възникване на такъв конфликт или да го предотвратят. Резултатите са публикувани в списание Simulation.

При математическо моделиранесоциалните и политическите процеси трябва да се имат предвид, че те не могат да бъдат строго определени, тъй като са обект на постоянни промени. Социалният процес често се сравнява с браунова частица. Такива частици се движат по траектория, която, от една страна, е доста определена, но при по-внимателно разглеждане се оказва много криволичеща, с много малки извивки. Тези малки промени (флуктуации) се обясняват с хаотичното движение на други молекули. В социалните процеси флуктуациите могат да се тълкуват като прояви на свободната воля на отделните участници, както и като случайни прояви външна среда.

Във физиката такива процеси обикновено се описват от стохастичното дифузионно уравнение на Ланжевен, което относително често се използва за моделиране на някои социални процеси. Подход, основан на такива уравнения, позволява да се вземат предвид проявите на свободната воля на отделните участници и случайните прояви на външната среда за социална система. Освен това, благодарение на този подход, е възможно да се изчисли поведението на социална система както за едно цяло, така и за отделни частици; също така ни позволява да идентифицираме характерни стабилни режими на работа на системите в зависимост от различни начални условия. И накрая, от гледна точка на численото моделиране, уравненията на дифузията са достатъчно тествани и проучени.

Новият модел се основава на идеята, че индивидите взаимодействат в обществото чрез полето на комуникация. Създава се от всеки индивид в обществото, като моделира информационното взаимодействие между индивидите. Все пак трябва да се има предвид, че тук става дума за общество, което се различава от обектите класическа физика. Според ръководителя на изследванията Александър Петухов, от гледна точка на предаване на информация от индивид на индивид, пространството в обществото съчетава както класически пространствени координати, така и допълнителни специфични характеристики. Това се дължи на факта, че в модерен святЗа да предавате информация, не е необходимо да сте близо до обекта на въздействие.

„По този начин обществото е многоизмерно, социално-физическо пространство, отразяващо способността на един индивид да „достигне“ друг със своето комуникационно поле, тоест да въздейства върху него, неговите параметри и способността да се движи в дадено пространство“, отбелязва Александър Петухов. Непосредствената близост на индивидите в този модел показва, че те редовно обменят информация. При тази формулировка на проблема конфликтът трябва да се разглежда като вариант на взаимодействие между индивиди или групи от индивиди, в резултат на което разстоянието в това многомерно пространство между тях рязко се увеличава.

Въз основа на този подход и разработения модел учените откриха следните закономерности: те успяха да установят специфични гранични условияза възникване на социален конфликт и неговото изостряне; откриха характерна област на стабилност за социална система, в която се поддържа сравнително малка социална дистанция между обектите; идентифицирани зависимости, които съответстват на някои съвременни етносоциални конфликти, което прави възможно използването на този модел като инструмент за прогнозиране на тяхната динамика и формиране на сценарии за разрешаване.

Също така, като част от тези изследвания, учените доказаха, че преходът от стабилно състояние към нестабилно състояние за многокомпонентна когнитивна система от разпределен тип е прагов ефект. Според Александър Петухов проведените експерименти разкриват специфичните параметри, необходими за управление на такава система: те определят прехода от стабилно състояние към нестабилно, което позволява при пълното им управление да се създадат условия за възникване на социални конфликт или, напротив, да го предотврати. „Разработвайки този подход в бъдеще, ние ще можем да създадем на негова основа инструмент за пълно прогнозиране на социални конфликти“, обобщава Александър Петухов.

Хареса ли ви материала? в „Моите източници“ на Yandex.News и ни четете по-често.

Прессъобщения за научно изследване, информация за последните публикувани научни статии и съобщения за конференции, както и данни за спечелени грантове и награди, моля, изпращайте на science@site.

Фънк Максим

Уместност на тази работа се крие във възможността да разширите собствените си представи за приложението на математиката, да покажете нейните възможности в тази област социални науки, които по своята същност описват поведението както на индивиди, така и на групи. Математическото изследване на конфликтите дава възможност не само да се разгледат действията на човек в дадена ситуация, но и да се определят техните последствия, особено когато те зависят от комбинацията от стратегии, използвани от участниците в дадена ситуация.Работата показва как математиката и шахът се притичват на помощ в различни ситуации.

Изтегли:

Преглед:

За да използвате визуализации на презентации, създайте акаунт в Google и влезте в него: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

Математически модели на конфликтни ситуации с помощта на шах Изпълнява: Funk Maxim, ученик от 5 A клас на MBOU "Средно училище № 71" Ръководител: Senatorova L.G., учител по математика. Новокузнецк, 2017 г

Това е смисълът на шаха. Днес даваш урок на опонента си, а утре той ти дава урок. Робърт Фишер, 11-ти световен шампион по шах

Играта е процес, в който участват две или повече страни, борещи се за реализиране на своите интереси.

Уместност на това изследване: * разширете собствените си идеи за използването на знания по математика и шах; * разглеждат чрез математическото изследване на конфликтите не само възможните човешки действия, но и определят техните последствия.

Обект на изследване са математически модели на конфликтни ситуации. Целта на изследването е да се разгледат основните концепции на теорията на игрите и тяхното приложение в конкретни ситуации. Хипотеза – математическите модели, използващи шах, помагат за разрешаване на конфликтни ситуации.

Game of Senet Game of the Ur Kings

Формирането на теорията на игрите започва през 17 век и продължава до средата на 20 век.

Джон фон Нойман (1903 –1957) унгарско-американски математик от еврейски произход, който има важен принос за квантова физика, квантова логика, функционален анализ, теория на множествата, компютърни науки, икономика и други клонове на науката

Легендата за четирите диаманта

Координати. От географската ширина и дължина до абсцисата и ординатата

Когато се събудите сутрин, запитайте се: „Какво да правя?“ Вечерта, преди да заспите: „Какво направих?“ Питагор

Победа и загуба на шахматната дъска Белите печелят. Мат Белите губят. Мат

Хайде да играем!

Никой няма да съжалява за времето, посветено на шаха, защото те ще помогнат във всяка професия... Тигран Петросян, 9-ти световен шампион по шах Който учи математика от дете, развива вниманието, тренира мозъка си, волята си, възпитава постоянство и постоянство в постигането на целта . А. Маркушевич, математик

Интернет ресурси: https:// ru.wikipedia.org http:// chessmaestro.ru http:// life-prog.ru http:// www.magichess.uz http:// stuki-druki.com http:/ / home.onego.ru https://www.google.ru

Преглед:

Въведение 3

1. История на възникването и развитието на теорията на игрите 5

2. Основни понятия на теорията на игрите 7

3. Шах и математика 8

4. Координатна система 11

5. Питагорова теорема върху шахматна дъска 13

6. Заключение 15

7. Литература 16

Въведение

Избрах тази тема, защото уча шах от четиригодишна, а математиката е един от любимите ми предмети в училище. Освен това математиката и шахът имат много общи неща. Изтъкнатият математик Годфри Харди прави паралел между тези два типа човешка дейност, веднъж отбеляза, че „решаването на проблемите на шахматната игра не е нищо повече от математическо упражнение, а самият шах е подсвиркване на математически мелодии“. Има дори концепция за шахматна математика.

След кратък размисъл разбрах, че тази връзка може да помогне за усвояването както на шахматните, така и на математическите знания. В математиката има проблеми, които могат да бъдат решени чрез създаване на математически модел, а при играта на шах постоянно възникват конфликтни ситуации, които могат да бъдат разрешени чрез създаване на модел.

Работих по този план:

1. Изучавайте теория на игрите.

2. Разберете как сложни ситуации в математиката могат да бъдат разрешени с помощта на познания по шах.

3. Обмислете примери.

4. Направете заключение.

Теория на играта - дял от математиката, който основно изучава вземането на решения. Теорията на игрите е приложима в много ситуации, в които има конфликт, където страните трябва да вземат оптималното решение въз основа на техните интереси, без да знаят нищо за решението на своите опоненти. Подигра се разбира като процес, в който участват две или повече страни, борещи се за реализиране на своите интереси. Всяка страна има своя собствена цел и използва някаква стратегия, която може да доведе до победа или загуба - в зависимост от поведението на другите играчи.Теория на играта помага да се изберат най-добрите стратегии, като се вземат предвид идеите за други участници, техните ресурси и възможни действия.

Уместност на това изследванесе крие във възможността да разширите собствените си идеи за използването на математиката, да покажете нейните възможности в областта на социалните науки, които по своята същност описват поведението както на индивиди, така и на групи. Математическото изследване на конфликтите позволява не само да се разгледат действията на човек в дадена ситуация, но и да се определят техните последствия, особено когато те зависят от комбинацията от стратегии, използвани от участниците в дадена ситуация.

Така че обектътна това изследване –математически модели на конфликтни ситуации.

Цел на изследването– разглеждат основните концепции на теорията на игрите и тяхното приложение в конкретни ситуации.

За постигане на целта се реши следнотозадачи:

• изучават теорията на игрите и нейните основни понятия;
• изучаване на алгоритъма за конструиране на математически модел на конфликтни ситуации, използвайки примера на шахматна игра;
• разгледайте методологията за конструиране на шахматна игра.

Хипотеза – математическите модели с помощта на шах помагат за разрешаване на конфликтни ситуации.

При извършване на работата са използвани:методи:

метод на търсене; моделиране; метод за анализ.

1. История на възникването и развитието на теорията на игрите

От древни времена историята на математиката е пълна с препратки към игри и забавни задачи. От началото на игрите до 19 вексериозно и забавно математиката не може да бъде отделена една от друга, тъй като те са тясно преплетени. Още в двете велики цивилизации на древността, вавилонската и египетската, където математиката е била само практична по природа, настолните игри и занимателни задачи: игра "Сенет", настолна игра на кралете на Ур.

Сериозен и забавенматематиката съжителстват рамо до рамо от древни времена, но в началото на 17 век се появява специално направление, посветено на анализа на игрите. През 1612 г. излиза първата книга, посветена само назабавно математика. Негов автор е Клод Гаспар Баше дьо Мезириак. Тази книга съдържа описания на задачи за вълк, коза и зеле, магически квадрати и задачи за претегляне.

От този момент нататък се появяват много подобни книги. А през 17 век Кристиан Г. Ойгенс (1629-1695) и Готфрид В. Лайбниц (1646-1716) предлагат създаването на дисциплина, която да използва научни методи за изучаване на човешки конфликти и взаимодействия чрез игри. През целия 18 век на практика не е написан труд за анализ на играта, който да има подобна цел. През 19 век много икономисти създават прости математически модели за анализ на прости конкурентни ситуации. Сред тях се откроява работата на френския икономист Антоан Огюст Курно „Изследване на математическите принципи на теорията на богатството“ (1838 г.). Теорията на игрите обаче като фундаментална математическа теория се появява едва през първата половина на 20 век.

В началото на 20-ти век започва да се оформя теоретична основамодерна теория на игрите, която окончателно се оформи в средата на века. Авторството на първата теорема принадлежи на логика Ернст Цермело (1871–1956). Той го формулира и доказва през 1912г. Тази теорема потвърждава, че всяка крайна игра с пълна информация(например пулове или шах) има оптимално решение в чисти стратегии, тоест при липса на елемент на несигурност. Но тази теорема не описва как могат да бъдат намерени такива стратегии.

Около 1920г страхотен математикЕмил Борел се интересува от бързо развиващата се теория и въвежда идеята за смесена стратегия (в която се появява елемент на случайност). Скоро Джон фон Нойман започна да работи по тази тема.

Известен с работата си в различни области, Джон фон Нойман е един от най-изтъкнатите математици на 20-ти век. Има значителен принос в много области на науката. Едно от най-важните му постижения, свързани с приложната математика в икономиката, е създаването на първата книга със систематично представяне на теорията на игрите и подход към анализа на икономически проблеми, наречена „Теория на игрите и икономическо поведение" През 1943 г. Нойман я написва заедно с Оскар Моргенщерн. Тази работа се счита за фундаментална в теорията на игрите. Той бележи създаването на теорията на игрите, която в рамките на няколко години, започвайки от 50-те години на миналия век, започва да намира приложение в анализа на много реални ситуации.

Основните въпроси, с които се занимават теоретиците на игрите през 50-те и 60-те години, са свързани, наред с други неща, с външна политика, по-специално ядреното възпиране и надпреварата във въоръжаването.

В Русия теорията на игрите се изучава предимно от математици - Олга Бондарева, Елена Яновская, Сергей Печерски, Виктория Крепс, Виктор Домански, Левон Петросян в Санкт Петербург, Виктор Василиев в Новосибирск, Николай Кукушкин и Владимир Данилов в Москва.

2. Основни понятия на теорията на игрите

Ситуациите, при които интересите на две страни се сблъскват и резултатът от всяка операция, извършена от една от страните, зависи от действията на другата страна, се наричатконфликтни.

Конфликтна ситуация взета от Истински живот, като правило, е доста сложен. Освен това неговото изследване се усложнява от наличието на различни обстоятелства, някои от които не оказват съществено влияние нито върху развитието на конфликта, нито върху неговия изход. Следователно, за да бъде възможен анализът на конфликтна ситуация, трябва да се абстрахирам от тези второстепенни фактори. Ще говоря за конфликтна ситуация от общоприета гледна точка, където се нарича формализираният модел на конфликтаигра (пулове, шах, карти и др.). Играта се различава от реалната конфликтна ситуация по това, че в играта противниците действат по строго определени правила.

Оттук и терминологията на теорията на игрите: конфликтните страни се наричатиграчи , едно изпълнение на играта -игра, резултатът от играта - печели или губи.

Типичният конфликт се характеризира с три основни компонента:

1. заинтересовани страни,
2. възможни действия на тези страни,
3. интересите на страните.

Действията, които играчите извършват, се извикватстратегии . Когато оптималната стратегия съдържа елемент на несигурност и трябва да се пази в тайна, се нарича такава стратегиясмесен . Ако оптималната стратегия не съдържа елемент на случайност, тогава тя се извиквачиста.

Игрите могат да бъдат класифицирани различни начинив зависимост от избрания критерий: място за игра, брой участници, продължителност на играта, ниво на трудност и др. Във връзка с математиката игрите могат да бъдат разделени на две големи групи в зависимост от това дали съдържат случайни събития или не. Случайни събития могат да се появят както в началните условия на играта, така и при извършване на ходове. Например в повечето игри с карти картите се раздават на случаен принцип от играчите. Същото се случва и в доминото.

Стратегическите игри са игри, в които никога нищо не се случва. случайни събития. Всичко се определя само от решенията на играчите. Поради липсата на произволност, този тип игра може да се анализира и да се намери начин за печалба (шах).

3. Шах и математика

Шахът е игра, тясно свързана с математиката и разрешаването на конфликти. Затова ви предлагам да помислите за шахматна дъска.

Фиг. 1

Шахматната дъска не е само 64 квадрата. Има координати, симетрия и геометрия (фиг. 1).При математически задачи и пъзели на шахматната дъска въпросът по правило не може да се направи без участието на фигури. Самата дъска обаче също представлява доста интересен математически обект. Яснотата и коректността на линиите напомня, че разрешаването на конфликти трябва да се извършва правилно, разумно, в съответствие с правила, които няма да навредят на противниците. Нека да разгледаме ситуациите, които могат да бъдат разрешени с помощта на шаха.

Искам да ви припомня една стара легенда за произхода на шаха, свързана с аритметичните сметки на дъската.

Когато индийският крал за първи път се запознал с шаха, той бил възхитен от неговата оригиналност и изобилие от красиви комбинации. След като научил, че мъдрецът, който е изобретил играта, е негов поданик, кралят го повикал, за да го възнагради лично за гениалното му изобретение. Владетелят обещал да изпълни всяка молба на мъдреца и бил изненадан от неговата скромност, когато пожелал да получи пшенични зърна като награда. На първото поле на шахматната дъска има едно зърно, на второто - две и така нататък, всяко следващо има два пъти повече зърна от предишното. Царят заповядал бързо да дадат на изобретателя на шаха незначителната награда. На следващия ден обаче придворните математици съобщили на господаря си, че не могат да изпълнят желанието на хитрия мъдрец. Оказа се, че за това няма достатъчно жито, складирано не само в хамбарите на цялото кралство, но и във всички хамбари на света. Мъдрецът смирено поискал

зърна Това число е написано с двадесет цифри и е фантастично голямо. Изчисленията показват, че хамбар за съхранение на необходимото зърно с основна площ от 80 м 2 трябва да се простира от Земята до Слънцето.

Това количество зърно е приблизително 1800 пъти повече от световната годишна реколта от пшеница, тоест повече от цялата реколта от пшеница, събрана през цялата история на човечеството.

S = 18 446 744 073 709 551 615

Осемнадесет квинтилиона четиристотин четиридесет и шест квадрилиона седемстотин четиридесет и четири трилиона седемдесет и три милиарда седемстотин девет милиона петстотин петдесет и една хиляди шестстотин петнадесет.

Разбира се, връзката с математиката тук е донякъде произволна, но неочакваният резултат от историята ясно илюстрира огромните математически възможности, скрити в играта на шах.

Уместно е да се даде една хипотеза, която използва някои от математическите свойства на дъската. Според тази хипотеза шахът произлиза от така наречените магически квадрати.

Магически квадрат от ред n е квадратна таблица от n× n, изпълнено с цели числа от 1 до n 2 и има следното свойство: сумата от числата във всеки ред, всяка колона, а също и двата главни диагонала е една и съща. За магически квадрати от порядък 8 то е равно на 260 (фиг. 2).

Ориз. 2. Алмуджана 1 и магически квадрат

Моделът на числата в магически квадрати ги дава магическа силаизкуство. Не е за нищо, че изключителният немски художник А. Дюрер беше толкова очарован от тези математически обекти, че възпроизведе магическия квадрат в известната си гравюра „Меланхолия“.

Такива примери (броят им може да бъде увеличен) ни позволяват да формулираме хипотеза за връзката между магическите квадрати и шаха. И изчезването на следи от тази връзка може да се обясни с факта, че в далечната епоха на суеверия и мистицизъм древните индуси и араби приписваха мистериозни свойства на цифровите комбинации от магически квадрати и тези квадрати бяха внимателно скрити. Може би затова е измислена легендата за мъдреца, който изобретил шаха.

Сред задачите по математика и шахматните пъзели най-популярни са задачите за изрязване на дъската. Първият от тях също е свързан с легендата.

Алмуджана 1 - древна отваряща табия (първоначално подреждане на фигури)

Ориз. 3. Легендата за четирите диаманта

Един източен владетел беше толкова умел играч, че претърпя само четири поражения през целия си живот. В чест на неговите победители, четиримата мъдреци, той заповяда да бъдат поставени четири диаманта в неговата шахматна дъска - на тези полета, на които царят му е матиран (виж Фиг. 3, където вместо кари са изобразени коне).

След смъртта на владетеля неговият син, слаб играч и жесток деспот, реши да отмъсти на мъдреците, които победиха баща му. Той им наредил да разделят шахматната дъска с диаманти на четири части с еднаква форма, така че всяка да съдържа по един диамант. Въпреки че мъдреците се съобразили с искането на новия владетел, той все пак отнел живота им и, както гласи легендата, използвал своята част от дъската с диамант, за да екзекутира всеки мъдрец.

Този проблем за рязане на дъска често се среща в развлекателната литература.

Разрежете дъската на четири еднакви части (съвпадащи, когато са насложени), така че на всяка от тях да има по един кон. Приема се, че разрезите минават само по границите между вертикалите и хоризонталите на дъската.

Едно от решенията на проблема е показано на фиг. 3. Поставяйки четири коня на различни полета на дъската, получаваме различни задачи за рязане. Интересът при тях е не само в намирането на един необходим разрез, но и в преброяването на всички начини за разрязване на дъската на четири еднакви части, съдържащи по един кон. Реши това най-голямото числорешения - 800 - при поставяне на коне в ъглите на дъската.

Както виждаме, мъдреците излизат достойно от тези шахматни ситуации, т.е. хора, които имат знания и вярват в тях. В общуването помежду си възникват ситуации, които изискват координация на действията и проява на приятелско отношение към съперниците, способност да се изоставят личните желания за постигане на общи цели, а понякога и истината. За съжаление, не всички и не винаги, дори и на шахматната дъска, успяват да излязат достойно от създалата се ситуация. Това не е лесна, ежедневна работа. И шахът учи на това.

В нашето училище в V клас се обучават 78 ученици, от тях 25 (21%) се занимават с шах и учат на „4” и „5”.

Не е трудно да се заключи. Шахът не е просто игра, а спорт, който тренира и развива мисловни процеси. Връзката между ученето и играта е неоспорима.

4. Координатна система

Повече от 100 години пр.н.е. Гръцкият учен Хипарх предложи да се огради земното кълбо на карта с паралели и меридиани и да се въведат вече добре познатите географски координати: ширина и дължина - и да се обозначат с числа.

През 14 век. Френският математик Н. Оресме въвежда по аналогия с географските координати на равнина. Той предложи да се покрие равнината с правоъгълна мрежа и да се нарече географска ширина и дължина това, което сега наричаме абциса и ордината.

Това нововъведение се оказа изключително продуктивно. На негова основа възниква координатният метод, свързващ геометрията с алгебрата. Основната заслуга за създаването на координатния метод принадлежи на френския математик Р. Декарт.

Декартова координатна система на равнинасе задава от взаимно перпендикулярни координатни прави с общо начало в точкатаОТНОСНО и същия мащаб. Точка О се нарича произход на координатите.Хоризонталната линия се нарича x-ос или x-ос , вертикално – y-ос или y-ос. Координатната равнина е обозначена xOy.

Нека точка P лежи в самолет xOy. Нека пуснем перпендикуляри от тази точка върху координатните оси; нека означим основата на перпендикулярите R x и R y . Точка на абсцисатаР наречена координата x точка P x на оста Ox , ордината – координатав точката Py на оста Oy.

Фиг.4

Разстояние между две точки P 1 (x 1; y 1) и P 2 (x 2; y 2) на равнината се определя с помощта на Питагоровата теорема. Ще говоря за това по-нататък.

Ориз. 5

На снимките виждаме билети за цирк и театър. Всеки от тях съдържа описание на мястото, където се намира притежателят на този билет: номера на реда и номера на мястото на този ред.

Извиква се описание на това къде се намира този или онзи обект (предмет, място).координати . Така че на билет за цирк номерът на реда и номерът на седалката в реда са координатите на това място.

На шахматната дъска също има координати. Когато играят професионално, те обикновено водят записи (обозначаване на фигури и координати на тези фигури).

На фигура 6 виждаме определен алгоритъм за определяне на координатите на черния цар.

(Кр. c2)

Фиг.6

Координатната система се използва не само в шаха, но и в други игри (Боен кораб, настолни игри, биатлон, рисуване по точки, графични диктовки и др.)

Мисля, че ако повечето хора играят такива игри (в семейството, с приятели), тогава огромен брой домашни конфликти биха могли да бъдат избегнати. Защото играта е един от начините за преодоляване на разногласията. И способността за разрешаване на малки конфликти чрез компромис ще се подобри, което означава, че могат да бъдат решени и по-сериозни проблеми.

5. Питагорова теорема върху шахматна дъска.

Всички знаем известната Питагорова теорема„В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите.“.

Фиг.7

Нека ABC – даден правоъгълен триъгълник с прав ъгълС . Нека намерим височината CD от върха на прав ъгълС . AC 2 + BC 2 = AB 2.

Тази теорема се изучава от ученици в продължение на няколкостотин години. Използва се за решаване на проблеми и се използва от инженери, архитекти, дизайнери и модни дизайнери. Питагоровата теорема се използва широко в ежедневието.

Нека да разгледаме доказателството на тази теорема на шахматна дъска.

Фиг.8 Фиг.9

Нека разделим дъската на квадрат и четири еднакви правоъгълни триъгълника (фиг. 8). Фигура 9 показва същите четири триъгълника и два квадрата. Триъгълниците и в двата случая заемат една и съща площ и следователно същата площ е заета от останалите части на дъската без триъгълници (на фиг. 8 има един квадрат, а на фиг. 9 има два). Тъй като големият квадрат е построен върху хипотенузата правоъгълен триъгълник, а малките са на краката му, тогава известната Питагорова теорема е доказана!

Можете да докажете теоремата, както следва:

Фиг.10

Начертайте триъгълник ABC в центъра на шахматната дъска (фиг. 10). Постройте квадрати върху краката и хипотенузата на този триъгълник, а квадратът, построен върху хипотенузата, се състои от квадрати, включени в преградите на квадратите, построени върху краката.

Квадрат 1 и 2 се състоят от осем малки квадрата, общо получаваме броя на квадратите, които съставляват квадрат 3, построен върху хипотенузата.

Ако се вгледате внимателно в тази рисунка, ще видите красива къща. Ние, децата, обикновено рисуваме такива. В такава къща определено няма конфликти, защото всичко е изчислено и изградено с помощта на най-старата игра – шах и една от най-древните науки – математиката. Тази къща е уютна и удобна.

6. Заключение

В самото начало на работата си поставих за цел - да разгледам разрешаването на конфликтни ситуации в математиката с помощта на шаха и смятам, че изпълних задачата си. Използвайки примери, анализирах използването на шах за решаване на математически задачи.

Заключение: математиката помага на шахматистите да играят и да печелят. А шахът от своя страна ни помага да решаваме както най-простите, така и най-сложните математически задачи, помага ни да развием логика, внимание и отлични познания по математика, да изграждаме логически вериги и дори да разрешаваме конфликти.

Духът на състезанието в играта, при решаването на проблеми, помага да се развивате, да мислите, да намирате правилните решения и в случай на загуба да не се отказвате, а да търсите и печелите.

Моят треньор, давайки ми книга за шаха, написа: „Целта в живота не е най-важното. Основното е как си го постигнал!“

Уверен съм, че след като съм се научил да играя шах и съм овладял математиката, ще мога да намирам правилните решения в конфликтни ситуации. В бъдеще смятам да продължа да играя шах и ще се опитам да разбера какво остава загадка за мен.

7. Препратки

1. Гарднър, М. Математически чудеса и мистерии / М. Гарднър. – Москва: Наука, 1978. – 127 с.
2. Гик, Е. Я. Математика на шахматна дъска / Е. Я. Гик. – Москва: Светът на енциклопедиите Аванта+, Астрел, 2009. – 317с; аз ще. – (Библиотека Avanta+).
3. Гик, Е. Я. Шах и математика / Е. Я. Гик. - Москва: Наука, 1983. - 173 с.
4. Гик, Е. Я. Занимателни математически игри / Е. Я. Гик. – Москва: Знание, 1982. – 143 с.
5. Гусев, В. А. Извънкласни дейностипо математика в 6-8 клас: Инструментариум/ В. А. Гусев, А. И. Орлов, А. Л. Розентал. – Москва: Образование, 1984 г.
6. Гусев, В.А. Математика - справочни материали / V.A. Гусев, А.Г. Мордкович. – Москва: Образование, 1986.- 271 с.
7. Игнатиев, Е. И. В царството на изобретателността / Е. И. Игнатиев. - Москва: Наука, 1984. – 189 с.
8. Лойд, С. Математическа мозайка / С. Лойд. – Москва: Мир, 1984. – 311 с.
9. Саати, Т. Л. Математически модели на конфликтни ситуации / Т. Л. Саати. - Москва: Съветско радио, 1977. - 300 с.
10. Савин, А. П. Енциклопедичен речник на млад математик / А. П. Савин. – Москва: Педагогика, 1989.- 349 с.
11. Сейраван, Ю. Диамантени игри : учебник по шах / Ясер Сейраван ; платно от англ. на А. Н. Елкова. - Москва: Астрел, 2007. - 259 с.: ил. – (Печеливш шах).