Ако задачата дава дължините на две страни на триъгълник и ъгъла между тях, тогава можете да приложите формулата за площта на триъгълник през синуса.

Пример за изчисляване на площта на триъгълник с помощта на синус. Дадените страни са a = 3, b = 4 и ъгъл γ = 30°. Синусът на ъгъл от 30° е 0,5

Площта на триъгълника ще бъде 3 квадратни метра. см.

Площта ще бъде равна на половината от квадрата на страната, умножена по фракцията. Числителят му е произведението на синусите на съседните ъгли, а знаменателят е синусът на противоположния ъгъл. Сега изчисляваме площта, като използваме следните формули:

Например, даден е триъгълник със страна a=3 и ъгли γ=60°, β=60°. Изчислете третия ъгъл:
Заместване на данните във формулата
Откриваме, че площта на триъгълника е 3,87 квадратни метра. см.

II. Площ на триъгълник през косинус

За да намерите площта на триъгълник, трябва да знаете дължините на всички страни. Използвайки косинусовата теорема, можете да намерите неизвестни страни и едва след това да ги използвате.
Според косинусовата теорема квадратът на неизвестната страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на останалите страни минус удвоеното произведение на тези страни и косинуса на ъгъла между тях.

От теоремата извличаме формули за намиране на дължината на неизвестната страна:

Знаейки как да намерите липсващата страна, като имате две страни и ъгъла между тях, можете лесно да изчислите площта. Формулата за площта на триъгълник през косинуса помага за бързо и лесно намиране на решения на различни проблеми.

Пример за изчисляване на формулата за площта на триъгълник с помощта на косинус
Даден е триъгълник с известни страни a = 3, b = 4 и ъгъл γ = 45°. Първо, нека намерим липсващата страна с. Косинус 45°=0,7. За да направим това, заместваме данните в уравнението, получено от косинусовата теорема.
Сега използвайки формулата, намираме

Площ на триъгълник - формули и примери за решаване на задачи

По-долу са формули за намиране на площта на произволен триъгълниккоито са подходящи за намиране на площта на всеки триъгълник, независимо от неговите свойства, ъгли или размери. Формулите са представени под формата на картинка, като тук са дадени и обяснения за тяхното приложение или обосновка за тяхната коректност. Съответствията също са посочени на отделна фигура буквени обозначениявъв формули и графични символи в чертежа.

Забележка . Ако триъгълникът има специални свойства(равнобедрен, правоъгълен, равностранен), можете да използвате формулите, дадени по-долу, както и допълнителни специални формули, които са валидни само за триъгълници с тези свойства:

• „Формули за площ равностранен триъгълник"

Формули за площ на триъгълник

Обяснения към формулите:
a, b, c- дължините на страните на триъгълника, чиято площ искаме да намерим
r- радиус на окръжността, вписана в триъгълника
Р- радиус на окръжността, описана около триъгълника
ч- височина на триъгълника, спуснат настрани
стр- полупериметър на триъгълник, 1/2 от сбора на страните му (периметър)
α - ъгъл срещу страна а на триъгълника
β - ъгъл срещу страна b на триъгълника
γ - ъгъл срещу страната c на триъгълника
ч а, ч b , ч ° С- височина на триъгълника, спуснат до страни a, b, c

Моля, обърнете внимание, че дадените обозначения съответстват на фигурата по-горе, така че при решаване на реален геометричен проблем ще ви бъде визуално по-лесно да замените правилните стойности на правилните места във формулата.

• Площта на триъгълника е половината от произведението на височината на триъгълника и дължината на страната, с която тази височина е намалена(Формула 1). Правилността на тази формула може да се разбере логично. Височината, спусната до основата, ще раздели произволен триъгълник на два правоъгълни. Ако построите всеки от тях в правоъгълник с размери b и h, тогава очевидно площта на тези триъгълници ще бъде равна на точно половината от площта на правоъгълника (Spr = bh)
• Площта на триъгълника е половината от произведението на двете му страни и синуса на ъгъла между тях(Формула 2) (вижте пример за решаване на задача с помощта на тази формула по-долу). Въпреки че изглежда различен от предишния, той лесно може да се трансформира в него. Ако намалим височината от ъгъл B към страната b, се оказва, че произведението на страната a и синуса на ъгъл γ, според свойствата на синуса в правоъгълен триъгълник, е равно на височината на триъгълника, който начертахме , което ни дава предишната формула
• Може да се намери площта на произволен триъгълник през работаполовината от радиуса на вписаната в нея окръжност от сумата от дължините на всичките й страни(Формула 3), просто казано, трябва да умножите полупериметъра на триъгълника по радиуса на вписания кръг (това е по-лесно за запомняне)
• Площта на произволен триъгълник може да се намери, като продуктът на всичките му страни се раздели на 4 радиуса на описаната около него окръжност (Формула 4)
• Формула 5 е намиране на площта на триъгълник чрез дължините на страните му и неговия полупериметър (половината от сбора на всичките му страни)
• Формулата на Херон(6) е представяне на същата формула без използване на концепцията за полупериметър, само чрез дължините на страните
• Площта на произволен триъгълник е равна на произведението на квадрата на страната на триъгълника и синусите на ъглите, съседни на тази страна, разделени на двоен синусъгъл, противоположен на тази страна (Формула 7)
• Площта на произволен триъгълник може да се намери като произведение на два квадрата на окръжността, описана около него от синусите на всеки от неговите ъгли. (Формула 8)
• Ако са известни дължината на едната страна и стойностите на два съседни ъгъла, тогава площта на триъгълника може да се намери като квадрат на тази страна, разделен на двойната сума на котангенсите на тези ъгли (Формула 9)
• Ако е известна само дължината на всяка от височините на триъгълника (Формула 10), тогава площта на такъв триъгълник е обратно пропорционална на дължините на тези височини, както според формулата на Херон
• Формула 11 ви позволява да изчислявате площ на триъгълник въз основа на координатите на неговите върхове, които са посочени като (x;y) стойности за всеки от върховете. Моля, обърнете внимание, че получената стойност трябва да се вземе по модул, тъй като координатите на отделни (или дори всички) върхове може да са в областта на отрицателните стойности

Забележка. Следват примери за решаване на геометрични задачи за намиране на площта на триъгълник. Ако трябва да решите геометрична задача, която не е подобна тук, пишете за това във форума. В решенията вместо символа " Корен квадратен" може да се използва функцията sqrt(), в която sqrt е символът за квадратен корен, а радикалният израз е посочен в скоби.Понякога за прости радикални изрази може да се използва символът √

Задача. Намерете площта на дадените две страни и ъгъла между тях

Страните на триъгълника са 5 и 6 см. Ъгълът между тях е 60 градуса. Намерете площта на триъгълника.

Решение.

За решаването на тази задача използваме формула номер две от теоретичната част на урока.
Площта на триъгълник може да се намери чрез дължините на двете страни и синуса на ъгъла между тях и ще бъде равна на
S=1/2 ab sin γ

Тъй като имаме всички необходими данни за решението (според формулата), можем само да заместим стойностите от условията на задачата във формулата:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

В таблицата със стойности тригонометрични функцииНека намерим и заместим стойността на синус 60 градуса в израза. Ще бъде равно на корен от три по две.
S = 15 √3 / 2

Отговор: 7,5 √3 (в зависимост от изискванията на учителя, вероятно можете да оставите 15 √3/2)

Задача. Намерете площта на равностранен триъгълник

Намерете лицето на равностранен триъгълник със страна 3 cm.

Решение .

Площта на триъгълник може да се намери с помощта на формулата на Heron:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Тъй като a = b = c, формулата за площта на равностранен триъгълник приема формата:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Отговор: 9 √3 / 4.

Задача. Промяна в площта при промяна на дължината на страните

Колко пъти ще се увеличи площта на триъгълника, ако страните се увеличат 4 пъти?

Решение.

Тъй като размерите на страните на триъгълника не са ни известни, за решаване на задачата ще приемем, че дължините на страните са съответно равни на произволни числа a, b, c. След това, за да отговорим на въпроса на задачата, ще намерим площта на дадения триъгълник, а след това ще намерим площта на триъгълника, чиито страни са четири пъти по-големи. Отношението на площите на тези триъгълници ще ни даде отговора на задачата.

По-долу предоставяме текстово обяснение на решението на проблема стъпка по стъпка. В самия край обаче същото това решение е представено в по-удобна графична форма. Тези, които се интересуват, могат веднага да преминат към решенията.

За да решим, използваме формулата на Heron (вижте по-горе в теоретичната част на урока). Изглежда така:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(вижте първия ред на снимката по-долу)

Дължините на страните на произволен триъгълник се задават от променливите a, b, c.
Ако страните се увеличат 4 пъти, тогава площта на новия триъгълник c ще бъде:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(вижте втория ред на снимката по-долу)

Както можете да видите, 4 е общ множител, който може да бъде изваден от скоби от всичките четири израза според Общи правиламатематика.
Тогава

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - на третия ред на картината
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - четвърти ред

Коренът квадратен от числото 256 е идеално извлечен, така че нека го извадим изпод корена
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(вижте петия ред на снимката по-долу)

За да отговорим на въпроса, зададен в задачата, просто трябва да разделим площта на получения триъгълник на площта на първоначалния.
Нека определим съотношенията на площите, като разделим изразите един на друг и намалим получената дроб.

Теорема за площта на триъгълника

Теорема 1

Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на двете страни и синуса на ъгъла между тези страни.

Доказателство.

Нека ни е даден произволен триъгълник $ABC$. Нека означим дължините на страните на този триъгълник като $BC=a$, $AC=b$. Нека въведем декартова координатна система, така че точка $C=(0,0)$, точка $B$ лежи на дясната полуос $Ox$, а точка $A$ лежи в първия координатен квадрант. Нека начертаем височината $h$ от точка $A$ (фиг. 1).

Фигура 1. Илюстрация на теорема 1

Следователно височината $h$ е равна на ординатата на точката $A$

Теорема за синусите

Теорема 2

Страните на триъгълника са пропорционални на синусите на противоположните ъгли.

Доказателство.

Нека ни е даден произволен триъгълник $ABC$. Нека означим дължините на страните на този триъгълник като $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ (фиг. 2).

Фигура 2.

Нека докажем това

По теорема 1 имаме

Приравнявайки ги по двойки, получаваме това

Косинусова теорема

Теорема 3

Квадратът на една страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите две страни на триъгълника без удвоеното произведение на тези страни по косинуса на ъгъла между тези страни.

Доказателство.

Нека ни е даден произволен триъгълник $ABC$. Нека означим дължините на страните му като $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$. Нека въведем декартова координатна система, така че точка $A=(0,0)$, точка $B$ лежи на положителната полуос $Ox$, а точка $C$ лежи в първия координатен квадрант (фиг. 3).

Фигура 3.

Нека докажем това

В тази координатна система получаваме това

Намерете дължината на страната $BC$, като използвате формулата за разстоянието между точките

Пример за задача, използваща тези теореми

Пример 1

Докажете, че диаметърът на описаната окръжност на произволен триъгълник е равен на отношението на всяка страна на триъгълника към синуса на ъгъла, противоположен на тази страна.

Решение.

Нека ни е даден произволен триъгълник $ABC$. $R$ е радиусът на описаната окръжност. Нека начертаем диаметъра $BD$ (фиг. 4).

Може да се намери чрез познаване базаИ височина. Цялата простота на диаграмата се състои в това, че височината разделя основата a на две части a 1 и a 2, а самият триъгълник на две правоъгълен триъгълник, чиято площ се получава и . Тогава площта на целия триъгълник ще бъде сумата от двете посочени области и ако извадим една секунда от височината от скобата, тогава в сумата ще върнем основата:

По-сложен метод за изчисления е формулата на Heron, за която трябва да знаете и трите страни. За тази формула първо трябва да изчислите полупериметър на триъгълник : Самата формула на Херон предполага Корен квадратенот полупериметъра, умножено на свой ред по разликата му от всяка страна.

Следният метод, също подходящ за всеки триъгълник, ви позволява да намерите площта на триъгълника през две страни и ъгълмежду тях. Доказателството за това идва от формулата с височината - прекарваме височината до която и да е от познатите страни и през синус на ъгъл αразбираме това h=a⋅sinα. За да изчислите площта, умножете половината от височината по втората страна.

Друг начин е да намерите площта на триъгълник, като знаете 2 ъгъла и страната между тях. Доказателството на тази формула е съвсем просто и може да се види ясно от диаграмата.

Намаляваме височината от върха на третия ъгъл до известната страна и съответно наричаме получените сегменти x. от правоъгълни триъгълнициясно е, че първата отсечка x е равна на произведението