Глава 26. Непрекъснати и прекъснати функции 291 Сравнявайки неравенствата (1) и (2), получаваме V (x1) − V (x0)< ε. Ясно также, что V (x1) V (x0). Следовательно, V (x0 +) = V (x0). Аналогично V (x0 −) = = V (x0). Если x0 = a или x0 = b, то нужно рассматривать только один из односторонних пределов. Глава 27. Логарифм и показательная функция 27.1. Определение показательной функции и логарифма Определим сначала показательную функцию ax для рациональных x. (Показательную функцию мы определяем только для положитель- ных a.) Пусть a >0 и x = p/q, където p и q са естествени числа. Дефинираме ax като q ap, където имаме предвид аритметичната (положителна) стойност на корена. Ясно е, че nq anp = q ap. Наистина, това равенство е еквивалентно на равенството (anp)q = (ap)nq. При х< 0 мы полагаем ax = = 1/a−x . 27.1. а) Пусть a >1. Докажете, че ако x1 > x2, то ax1 > ax2. б) Нека а< 1. Докажите, что если x1 >x2 след това ax1< ax2 . 27.2. Пусть a >1. Докажете, че брадвата може да бъде произволно голяма, ако x е достатъчно голяма. 27.3. Докажете, че ax1 +x2 = ax1 ax2 . 27.4. Докажете, че aλx = (ax)λ за всяко рационално λ. 27.5. Нека a е положително число, (xn ) поредица от рационални числа и limn→∞ xn = 0. Докажете, че limn→∞ axn = 1. 27.6. Докажете, че ако има граница limn→∞ xn = x, където (xn) е поредица от рационални числа, тогава има граница limn→∞ axn и тази граница зависи само от x. Нека а е положително число. Нека дефинираме ax за произволно x, както следва. Нека (xn) е последователност от рационални числа, сходни към x. Нека зададем ax = limn→∞ axn. 27.7. а) Нека a > 1. Докажете, че ако x > y, тогава ax > ay. б) Нека а< 1. Докажите, что если x >y, след това брадва< ay . 27.8. Докажите, что если limn→∞ xn = x, где {xn } последо- вательность произвольных (не обязательно рациональных) чисел, то limn→∞ axn = ax . 27.9. Докажите, что ax1 +x2 = ax1 ax2 для произвольных (не обяза- тельно рациональных) чисел x1 и x2 . 27.10. Пусть a положительное число, причём a = 1. Докажите, что для любого положительного числа x существует единственное число y, для которого ay = x. Пусть a и x положительные числа, причём a = 1. Логарифм x по основанию a это число y = loga x, для которого ay = x. Для логариф- мов по основанию 10 используется обозначение lg, а для логарифмов по основанию e используется обозначение ln. 27.11. Докажите, что функция f (x) = loga x непрерывна. 27.12. Докажите, что loga (x1 x2) = loga x1 + loga x2 . 27.2. Показательная функция 27.13. Решите уравнение 52x−1 + 5x+1 = 250. 27.14. Решите уравнение 6x − 2x = 32. 27.15. Сколько цифр имеет число 2100 ? 27.3. Тождества для логарифмов logb x 27.16. а) Докажите, что loga x = . log b a 1 б) Докажите, что loga b = . logb a 27.17. Предположим, что a2 + b2 = 7ab и ab = 0. Докажите, что a+b 1 lg = (lg |a| + lg |b|). 3 2 294 Глава 27. Логарифм и показательная функция 27.4. Неравенства и сравнения чисел 27.18. Докажите, что 1 1 2< + . log2 π log5 π 27.19. Докажите, что 3/10 < lg 2 < 1/3. 27.20. Сравните числа loga−1 a и loga (a + 1), где a >1. 27.21. Сравнете числата log2 3 и log3 5. 27.22. Сравнете числата log20 80 и log80 640. 27.23. Сравнете числата log5 7 и log13 17. 27.24. Сравнете числата log3 7 и log7 27. 27.5. Ирационалност на логаритмите 27.25. Докажете, че следните числа са ирационални: а) log2 3; √ b) log√2 3; в) log5+3√2 (3 + 5 2). 27.26. Дайте пример за положителни ирационални числа a и b, за които ab е цяло число. 27.6. Някои големи граници са 1 x 27,27. Докажете, че limx→±∞ 1 + = e. x ln(1 + x) 27,28. Докажете, че limx→0 = 1. x a (1 + x) − 1 27.29. Докажете, че limx→0 = a за всяко реално x a. брадва − 1 27.30. Докажете, че limx→0 = ln a за всяко положително x a. 27.7. Хиперболични функции Същата роля, която играят тригонометричните функции за окръжност, играят хиперболичните функции за хиперболата x2 − y 2 = 1: ex − e−x sh x = (хиперболичен синус); 2 Глава 27. Логаритъм и експоненциална функция 295 ex + e−x cosh x = (хиперболичен косинус); 2 ex − e−x th x = x (хиперболичен тангенс); e + e−x x −x e +e cth x = x (хиперболичен котангенс). e − e−x Очевидно sh(−x) = − sh x и cosh(−x) = cosh x. 27.31. Докажете, че точката с координати x = ch t, y = sh t лежи върху хиперболата x2 − y 2 = 1. 27.32. Докажете, че sh(x ± y) = sh x ch y ± cosh x sh y, cosh(x ± y) = cosh x ch y ± sh x sh y. Обратните хиперболични функции се дефинират, както следва: ако x = sh y, тогава y = Arsh x (ареасинус1 хиперболичен); ако x = ch y, тогава y = Arch x (ареакосинус хиперболичен); ако x = th y, тогава y = Arth x (тангенс на хиперболична площ); ако x = cth y, тогава y = Arcth x (тангенс на хиперболична площ). 27.33. Докажете, че Arsh x = ln(x + x2 + 1); Арка x = ln(x ± x2 − 1) = ± ln(x + x2 − 1); 1 1+x Arth x = ln . 2 1−x Хиперболичната амплитуда на числото x е ъгълът α (−π/2< α < π/2), для которого sh x = tg α. 27.34. Докажите следующие свойства гиперболической амплитуды: а) ch x = 1/ cos α; б) th(x/2) = tg(α/2). Решения 27.1. а) Можно считать, что x1 = p1 /q и x2 = p2 /q. Тогда ap1 >ap2 , тъй като a > 1. За положителни числа α и β неравенството α > β е еквивалентно на неравенството αq > β q . Следователно ap1 /q > ap2 /q . 1 От латинската област. 296 Глава 27. Логаритъм и експоненциална функция b) Решението е подобно, но в този случай ap1< ap2 , поскольку a < 1. 27.2. Положим a = 1 + δ, где δ >0. Тогава n(n − 1) 2 (1 + δ)n = 1 + nδ + δ + . . . >nδ. 2 Следователно, ако n > y/δ, тогава an > y. 27.3. Можем да приемем, че x1 = p1 /q и x2 = p2 /q. Ясно е, че ap1 +p2 = √ √ √ = a a . Следователно ax1 +x2 = ap1 +p2 = q ap1 · q ap2 = ax1 ax2 . p1 p2 q 27.4. За естествено λ това следва от задача 27.3. Ако λ = p/q, тогава е достатъчно да се извлече коренът на степен q от двете страни на равенството apx = (ax)p. 27.5. Нека първо разгледаме следния специален случай: xn = 1/n. В този случай търсеното твърдение се доказва в решението на задача 25.20. За оригиналната последователност (xn) можем да конструираме последователност от естествени числа kn → ∞, така че −< xn < . Тогда kn kn a−1/kn < axn < a1/kn при a >1 и а1/кн< axn < a−1/kn при a < 1. Оста- ётся заметить, что limn→∞ a1/kn = 1 = limn→∞ a−1/kn . Замечание. Не обращаясь к задаче 25.20, равенство limn→∞ a1/n = 1 мож- но доказать следующим образом. Достаточно рассмотреть случай, когда a >1. Съгласно задача 27.1 редицата (a1/n) е монотонна. Също така е ясно, че тази последователност е ограничена, така че има определена граница limn→∞ a1/n = c. Неговата подпоследователност (a1/(2n)) има същата граница, така че c = c2, тъй като a1/n = (a1/(2n))2. Така c = 0 или 1. Но a1/n 1, така че c 1. 27.6. Ще приемем, че a > 1; случай а< 1 разбирается аналогично. Рассмотрим вспомогательные последовательности рациональных чисел {xn } и {xn }, сходящиеся к x, причём {xn } монотонно возрастает, а {xn } моно- тонно убывает. Согласно задаче 27.1 последовательность {axn } монотонно возрастает. Эта последовательность ограничена, поэтому существует предел limn→∞ axn = c . Аналогично существует предел limn→∞ axn = c . Ясно, что xn − xn → 0, поэтому согласно задаче 27.5 c /c = limn→∞ axn −xn = 1, т.е. c = c = c. Теперь для исходной последовательности {xn } мы можем выбрать после- довательность натуральных чисел kn → ∞ так, что xkn < xn < xkn . Поэтому limn→∞ axn = c. Число c зависит только от x. 27.7. а) Выберем рациональные числа p и q так, что x >p > q > y. След това можем да изберем поредици от рационални числа (xn) и (yn), така че да се сближават с x и y и в същото време xn p и yn q за всички n. Според задача 27.1 неравенствата axn ap aq ayn са в сила, така че ax ap aq ay. б) Може да се реши по подобен начин. Глава 27. Логаритъм и експоненциална функция 297 27.8. Решението е подобно на решението на задача 27.6. Отново избираме същите последователности (xn) и (xn). Според задача 27.7 от неравенствата xkn< xn < xkn следуют неравенства axkn < axn < axkn , а потому limn→∞ axn = c = ax . 27.9. Соотношение ax1 +x2 = ax1 ax2 для произвольных чисел следует из аналогичного соотношения для рациональных чисел (задача 27.3), поскольку функция f (x) = ax непрерывна (задача 27.8). 27.10. Функция f (x) = ax непрерывна (задача 27.8) и монотонна (это легко вывести из утверждения задачи 27.1, воспользовавшись непрерывно- стью функции f). Кроме того, согласно задаче 27.2 число ay может быть как сколь угодно велико, так и сколь угодно близко к нулю (для доказательства последнего утверждения нужно заметить, что a−y = 1/ay). Поэтому согласно теореме о промежуточном значении для любого x >0 има число y такова, че ay = x. Уникалността на числото y следва от монотонността на функцията f. 27.11. Нека докажем непрекъснатост в точката x0 = ay0, където y0 = loga x0. За дадено ε > 0, ние приемаме като δ най-малкото от две положителни числа |ay0 − ay0 +ε | и |ay0 − ay0 −ε |. Функцията g(y) = ay е монотонна, следователно от неравенството |ay0 − ay |< δ следует неравенство |y0 − y| < ε, т.е. из неравенства |x0 − x| < δ следует неравенство | loga x0 − loga x| < ε. 27.12. Это следует из соответствующего свойства показательной функ- ции: ay1 +y2 = ay1 ay2 (задача 27.9). 27.13. О т в е т: x = 2. Функция f (x) = 52x−1 + 5x+1 монотонно возрастает, поэтому она принимает значение 250 лишь при одном значении x. Ясно также, что f (2) = 53 + 53 = 250. 27.14. О т в е т: x = 2. Поделив обе части уравнения на 2x = 0, перейдём к уравнению 3x − 2 = 32 · 2−x . Функция f (x) = 3x − 2 монотонно возрастает, а функция g(x) = 32 · 2−x монотонно убывает. Поэтому уравнение f (x) = g(x) не может иметь больше одного решения. А одно решение легко угадывается. 27.15. О т в е т: 31 цифру. Ясно, что 2100 = (1024)10 >100010, така че числото 2100 има поне 31 цифри. От друга страна, 102410 1025 10 41 10 41 40 39 32 41< = < · · ... = < 10; 100010 1000 40 40 39 38 31 31 Таким образом, 2100 = (1024)10 < 10·100010 , поэтому число 2100 имеет меньше 32 цифр. 27.16. а) По определению aloga x = x. Прологарифмировав обе части этого равенства по основанию b, получим log a x · logb a = logb x. б) Запишем тождество из задачи а) для x = b и заметим, что log b b = 1. (a + b)2 27.17. Требуемое равенство можно переписать в виде lg = lg ab 9 (мы воспользовались тем, что ab >0). От условието следва, че (a + b)2 = a2 + + b2 + 2ab = 7ab + 2ab = 9ab. 298 Глава 27. Логаритъм и експоненциална функция lg 2 lg 5 27.18. Дясната страна на търсеното неравенство е равна на +. Следователно lg π lg π е необходимо да се докаже, че 2 lg π< lg 2 + lg 5, т.е. lg(π 2) < lg 10. Остаётся заметить, что π 2 < 9, 87 (задача 33.4). 27.19. Неравенство 3/10 < lg 2 эквивалентно тому, что 103 < 210 = 1024, а неравенство lg 2 < 1/3 эквивалентно тому, что 8 = 23 < 10. 27.20. Неравенство (a−1)(a+1) < a2 показывает, что loga (a−1)+loga (a+ + 1) < 2. С другой стороны, loga (a − 1) + log a (a + 1) >2 log (a − 1) log (a + 1). Следователно loga (a − 1) log a (a + 1)< 1, т.е. loga−1 a >log a (a + 1). 27.21. Нека a = log 2 3 и b = log 3 5. Тогава 2a = 3, така че 8a = 33 > 52 = = 9b > 8b. Това означава log2 3 > log3 5. 27.22. Ясно е, че log 20 80 = 1 + 2 log20 2 и log 80 640 = 1 + 3 log 80 2. 1 1 След това log20 2 = и log80 2 = . Също така, 3 log 2 20 = log2 20 log2 80 = log2 8000 > log2 6400 = 2 log2 80. Следователно log20 80< log80 640. 7 17 27.23. Ясно, что log5 7 − 1 = log5 и log 13 17 − 1 = log 13 . Легко прове- 5 13 7 17 7 7 17 рить, что >. Следователно log5 > log13 > log13. В резултат на това получаваме, че 5 13 5 5 13 log5 7 > log13 17. 3 27.24. Ясно е, че log7 27 = 3 log7 3 = . Нека покажем, че (log3 7)2 > 3, т.е. log3 7 √ √ √ log3 7 > 3. Лесно е да се провери, че 3< 7/4. Поэтому неравенство 7 >3 3 следва от неравенството 74 > 37, т.е. 2401 > 2187 В резултат на това получаваме, че log3 7 > log7 27. 27.25. а) Да предположим, че log2 3 = p/q, където p и q са естествени числа. Тогава 2p/q = 3, т.е. 2p = 3q. Това не може да е истина. б) Да предположим, че log√2 3 = p/q, където p и q са естествени числа. Тогава √ p/q (2) = 3, т.е. 2p = 32q. Това не може да е истина. в) Тази задача е еквивалентна на задача 6.25. √ 27.26. Нека зададем a = 2 и b = log√2 3. Числата a и b са ирационални (задачи 6.16 и 27.25). В този случай ab = (2)log 2 3 = 3. 1 n 27.27. Ще използваме факта, че limn→∞ 1 + = e (Задача 25.37). n За всяко x 1 можем да изберем естествено число n, така че n x< n + + 1. Тогда 1 x 1 n+1 1 n 1 1+ < 1+ = 1+ 1+ , x n n n 1 x 1 n 1 n+1 1 −1 1+ >1+ = 1+ 1+ . x n+1 n+1 n При n → ∞, границите на десните части на двете неравенства са равни на e. Глава 27. Логаритъм и експоненциална функция 299 Нека сега докажем, че при x → −∞ границата е същата. За да направим това, нека зададем y = −x и отбележим, че −y y y−1 1 y 1 1 1− = = 1+ 1+ . y y−1 y−1 y−1 Когато y → ∞, дясната страна клони към e. 27.28. Според задача 27.27 limx→0 (1 + x)1/x = e. От това, използвайки непрекъснатостта на логаритъма, получаваме limx→0 ln(1 + x) = 1. x 27,29. Нека (1 + x)a = 1 + y. Тогава y → 0 като x → 0. След това log(1 + x) = = log(1 + y). Следователно (1 + x)a − 1 y y a ln(1 + x) = = · . x x ln(1 + y) x Използвайки границата от задача 27.28, получаваме това, което се изисква. ln(1 + y) 27,30. Нека ax − 1 = y. Тогава y → 0 като x → 0. В допълнение, x = . ln a ax − 1 y Следователно = · ln a. Използвайки границата от задача 27.28, x ln(1 + y), получаваме това, което се изисква. 27.31. Формулата за разликата на квадратите показва, че 2 2 et + e−t et − e−t − = et · e−t = 1. 2 2 27.32. Ясно е, че 4 sh x ch y = ex+y + ex−y − e−x+y − e−x−y , 4 cosh x sh y = ex+y − ex−y + e−x+y − e −x−y , От това лесно се получава първото равенство. Второто равенство може да се докаже по подобен начин. ey−e−y 27.33. Нека y = Arsh x. Тогава x = sh y = . Следователно 2 e2y −2xey −1 = 0. Решавайки това квадратно уравнение за ey, получаваме √ √ √ ey = x ± x2 + 1. Но ey 0, така че ey = x + x2 + 1, т.е. y = ln(x + x2 + 1). ey + e−y Нека y = Arch x. Тогава x = ch y = . Следователно e2y − 2xey + 1 = 0, √ 2 √ и следователно ey = x ±√ x2 − 1. Следователно y = ln(x ± √ x2 − 1). Равенството √ (x √ x2 − 1)(x − x2 − 1) = 1 показва, че ln(x − x2 − 1) = − ln(x + + + x2 − 1). ey − e−y Нека y = Arth x. Тогава x = th y = . Следователно, ey (1 − x) = e−y (1 + ey + e−y 1+x 1 1+x + x), което означава e2y = . Така че y = ln. 1−x 2 1−x 300 Глава 27. Логаритъм и експоненциална функция 27.34. а) Ясно е, че 1 = cosh2 x − sh2 x = cosh2 x − tan2 α. Следователно ch2 x = 1 + + tan2 α = 1/ cos2 α. Освен това ch x и cos α са положителни. 1 1 + sin α α π b) Ясно е, че ex = sh x + cosh x = tan α + = = tan + . cos α cos α 2 4 α π Следователно x = ln tan + . Формулата за тангенса на сбора показва, че 2 4 α π 1 + tan(α/2) tan + = . Така, 2 4 1 − tan(α/2) x 1 α π 1 1 + tan(α/2) α = ln tan + = ln = Arth tg , 2 2 2 4 2 1 − tan(α/2) 2 което се изискваше.
Разбирането на числата, особено естествените числа, е едно от най-старите математически „умения“. Много цивилизации, дори съвременните, са приписвали определени мистични свойства на числата поради огромното им значение за описване на природата. Въпреки че съвременната наука и математика не потвърждават тези „магически“ свойства, значението на теорията на числата е неоспоримо.
В исторически план първо се появяват различни естествени числа, след което сравнително бързо към тях се добавят дроби и положителни ирационални числа. Нула и отрицателни числа бяха въведени след тези подмножества на набора от реални числа. Последното множество, множеството от комплексни числа, се появява едва с развитието на съвременната наука.
В съвременната математика числата не се въвеждат в исторически ред, макар и доста близък до него.
Естествени числа $\mathbb(N)$
Наборът от естествени числа често се обозначава като $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ и често се допълва с нула, за да се обозначи $\mathbb(N)_0$.
$\mathbb(N)$ дефинира операциите събиране (+) и умножение ($\cdot$) със следните свойства за всеки $a,b,c\in \mathbb(N)$:
1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ множеството $\mathbb(N)$ е затворено спрямо операциите събиране и умножение
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ комутативност
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ асоциативност
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ дистрибутивност
5. $a\cdot 1=a$ е неутрален елемент за умножение
Тъй като наборът $\mathbb(N)$ съдържа неутрален елемент за умножение, но не и за събиране, добавянето на нула към този набор гарантира, че той включва неутрален елемент за събиране.
В допълнение към тези две операции, отношенията „по-малко от“ ($
1. $a b$ трихотомия
2. ако $a\leq b$ и $b\leq a$, тогава $a=b$ антисиметрия
3. ако $a\leq b$ и $b\leq c$, тогава $a\leq c$ е транзитивно
4. ако $a\leq b$ тогава $a+c\leq b+c$
5. ако $a\leq b$ тогава $a\cdot c\leq b\cdot c$
Цели числа $\mathbb(Z)$
Примери за цели числа:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$
Решаването на уравнение $a+x=b$, където $a$ и $b$ са известни естествени числа, а $x$ е неизвестно естествено число, изисква въвеждането на нова операция - изваждане(-). Ако има естествено число $x$, което удовлетворява това уравнение, тогава $x=b-a$. Това конкретно уравнение обаче не е задължително да има решение в множеството $\mathbb(N)$, така че практически съображения изискват разширяване на набора от естествени числа, за да включва решения на такова уравнение. Това води до въвеждането на набор от цели числа: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.
Тъй като $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, логично е да приемем, че въведените по-рано операции $+$ и $\cdot$ и отношенията $ 1. $0+a=a+0=a$ има неутрален елемент за добавяне
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ има противоположно число $-a$ за $a$
Свойство 5.:
5. ако $0\leq a$ и $0\leq b$, тогава $0\leq a\cdot b$
Множеството $\mathbb(Z)$ също е затворено спрямо операцията за изваждане, т.е. $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.
Рационални числа $\mathbb(Q)$
Примери за рационални числа:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$
Сега разгледайте уравнения от вида $a\cdot x=b$, където $a$ и $b$ са известни цели числа, а $x$ е неизвестно. За да е възможно решението, е необходимо да се въведе операцията деление ($:$), като решението приема формата $x=b:a$, тоест $x=\frac(b)(a)$ . Отново възниква проблемът, че $x$ не винаги принадлежи на $\mathbb(Z)$, така че наборът от цели числа трябва да бъде разширен. Това въвежда набор от рационални числа $\mathbb(Q)$ с елементи $\frac(p)(q)$, където $p\in \mathbb(Z)$ и $q\in \mathbb(N)$. Множеството $\mathbb(Z)$ е подмножество, в което всеки елемент $q=1$, следователно $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ и операциите събиране и умножение се простират до това множество според следните правила, които запазват всички горни свойства на множеството $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$
Разделението се въвежда, както следва:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$
В множеството $\mathbb(Q)$ уравнението $a\cdot x=b$ има уникално решение за всяко $a\neq 0$ (деленето на нула е недефинирано). Това означава, че има обратен елемент $\frac(1)(a)$ или $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$
Редът на множеството $\mathbb(Q)$ може да бъде разширен, както следва:
$\frac(p_1)(q_1)
Множеството $\mathbb(Q)$ има едно важно свойство: между всеки две рационални числа има безкрайно много други рационални числа, следователно няма две съседни рационални числа, за разлика от множествата от естествени числа и цели числа.
Ирационални числа $\mathbb(I)$
Примери за ирационални числа:
$\sqrt(2) \приблизително 1,41422135...$
$\pi\приблизително 3,1415926535...$
Тъй като между всеки две рационални числа има безкрайно много други рационални числа, лесно е да се направи погрешно заключение, че множеството от рационални числа е толкова плътно, че няма нужда да се разширява допълнително. Дори Питагор е направил такава грешка на своето време. Въпреки това, неговите съвременници вече опровергаха това заключение, когато изучаваха решения на уравнението $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) върху множеството от рационални числа. За да се реши такова уравнение, е необходимо да се въведе понятието квадратен корен и тогава решението на това уравнение има формата $x=\sqrt(2)$. Уравнение като $x^2=a$, където $a$ е известно рационално число и $x$ е неизвестно, не винаги има решение в множеството от рационални числа и отново възниква необходимостта от разширяване на комплект. Възниква набор от ирационални числа и числа като $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... принадлежат към този набор.
Реални числа $\mathbb(R)$
Обединението на множествата от рационални и ирационални числа е множеството от реални числа. Тъй като $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, отново е логично да приемем, че въведените аритметични операции и отношения запазват свойствата си върху новото множество. Формалното доказателство за това е много трудно, така че споменатите по-горе свойства на аритметичните операции и отношенията върху множеството от реални числа се въвеждат като аксиоми. В алгебрата такъв обект се нарича поле, така че наборът от реални числа се нарича подредено поле.
За да бъде дефиницията на множеството от реални числа пълна, е необходимо да се въведе допълнителна аксиома, която разграничава множествата $\mathbb(Q)$ и $\mathbb(R)$. Да предположим, че $S$ е непразно подмножество на множеството от реални числа. Елемент $b\in \mathbb(R)$ се нарича горна граница на набор $S$, ако $\forall x\in S$ съдържа $x\leq b$. Тогава казваме, че множеството $S$ е ограничено отгоре. Най-малката горна граница на множеството $S$ се нарича супремум и се обозначава с $\sup S$. Понятията долна граница, ограничено отдолу множество и инфинум $\inf S$ се въвеждат по подобен начин. Сега липсващата аксиома се формулира по следния начин:
Всяко непразно и ограничено отгоре подмножество на множеството от реални числа има супремум.
Може също да се докаже, че полето от реални числа, дефинирано по горния начин, е уникално.
Комплексни числа$\mathbb(C)$
Примери за комплексни числа:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ където $i = \sqrt(-1)$ или $i^2 = -1$
Наборът от комплексни числа представлява всички подредени двойки реални числа, т.е. $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, върху които операциите на събирането и умножението се определят по следния начин:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
Има няколко форми за запис на комплексни числа, от които най-разпространената е $z=a+ib$, където $(a,b)$ е двойка реални числа, а числото $i=(0,1)$ се нарича имагинерна единица.
Лесно е да се покаже, че $i^2=-1$. Разширяването на множеството $\mathbb(R)$ до множеството $\mathbb(C)$ ни позволява да определим корен квадратен от отрицателни числа, което беше причината за въвеждане на набора от комплексни числа. Също така е лесно да се покаже, че подмножество от множеството $\mathbb(C)$, дадено от $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, удовлетворява всички аксиоми за реални числа, следователно $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, или $R\subset\mathbb(C)$.
Алгебричната структура на множеството $\mathbb(C)$ по отношение на операциите събиране и умножение има следните свойства:
1. комутативност на събиране и умножение
2. асоциативност на събиране и умножение
3. $0+i0$ - неутрален елемент за добавяне
4. $1+i0$ - неутрален елемент за умножение
5. Умножението е разпределително по отношение на събирането
6. Има едно обратно действие както за събиране, така и за умножение.
Не всички операции, разглеждани в алгебрата, са осъществими в областта на рационалните числа. Пример е операцията за квадратен корен. Така че, ако равенството е валидно за стойности на , тогава равенството не е валидно за никаква рационална стойност. Нека докажем това. Първо, отбелязваме, че едно цяло число не може да има квадрат, равен на 2: защото имаме и for със сигурност е по-голямо от 2. Нека сега приемем, че дробта е: (дробта се счита за нередуцируема) и
Следователно трябва да е четно число (в противен случай квадратът няма да е четен). Нека го поставим.
Сега се оказва, че и е четен, което противоречи на предположението, че дробта е несъкратима
Това показва, че в царството на рационалните числа числото 2 не може да бъде корен квадратно, символът няма значение в царството на рационалните числа. Междувременно задачата: „намерете страната на квадрат, като знаете, че неговата площ е равна на S“ е също толкова естествена, както и с. Изходът от тази и други подобни трудности е да се разшири допълнително понятието число, да се въведе нов тип числа – ирационални числа.
Нека покажем как да въведем ирационални числа, използвайки примера на задачата за извличане на корен квадратен от числото 2; За простота ще се ограничим до положителната стойност на корена.
За всяко положително рационално число едно от неравенствата или Очевидно, . След това разглеждаме числата и намираме две съседни сред тях със свойството, че първото има квадрат по-малък от две, а второто има квадрат по-голям от две. А именно, по същия начин, продължавайки този процес, получаваме поредица от неравенства (за да получите записаните тук десетични дроби, можете също да използвате добре познатия алгоритъм за приблизително извличане на квадратен корен, стъпка 13):
Сравнявайки първо целите части, а след това първата, втората, третата и т.н. цифри след десетичната запетая на рационалните числа, между квадратите на които има 2, можем последователно да изпишем тези десетични знаци:
Процесът на намиране на двойки рационални числа (изразени като крайни десетични дроби), които се различават едно от друго чрез увеличаване на m, може да продължи безкрайно дълго. Следователно можем да разглеждаме дробта (6.1) като безкрайна десетична дроб (непериодична, тъй като ако е периодична, тя би представлявала рационално число).
Тази безкрайна непериодична дроб, чийто произволен брой десетични знаци можем да запишем, но за който е невъзможно да запишем всички знаци едновременно, се приема като число, равно на (т.е. число, чийто квадрат е равно на 2).
Представяме отрицателната стойност на корен квадратен от две като
или, използвайки изкуствена форма за писане на числа, във формата
Нека сега въведем следното определение: ирационално число е всяка безкрайна непериодична десетична дроб
където a е съставната част на числото (може да бъде положителна, равна на нула или отрицателна), и са десетичните знаци (цифрите) на неговата дробна част.
Ирационално число, дефинирано от безкрайна непериодична дроб, определя две поредици от крайни десетични дроби, наречени десетични приближения a чрез дефицит и чрез излишък:
Например, защото пишем
и т.н. Тук например 1,41 е десетично приближение с точност 0,01 за недостига и 1,42 за излишъка.
Записването на неравенства между ирационално число и неговите десетични приближения е включено в самата дефиниция на понятието ирационално число и може да се използва като основа за определяне на връзките „повече от“ и „по-малко от“ за ирационални числа.
Възможността за представяне на ирационални числа чрез техните все по-точни десетични приближения също е в основата на определението за аритметични операции върху ирационални числа, които всъщност се извършват върху техните ирационални приближения чрез дефицит или излишък.
Много действия водят до ирационални числа, като например действието на вземане на корен на степен от рационално число (ако то не представлява степен на друго рационално число), логаритъм и т.н. Ирационално число е равно на отношението на обиколка на кръг към неговия диаметър (т. 229).
Всички рационални и ирационални числа заедно образуват множеството от реални (или реални) числа. Така всяка десетична дроб, крайна или безкрайна (периодична или непериодична), винаги определя реално число.
Всяко реално число, различно от нула, е положително или отрицателно.
В тази връзка нека си припомним следното определение. Абсолютната стойност или модулът на реално число a е число, определено от равенствата a if
По този начин модулът на неотрицателно число е равен на самото това число (горния ред на равенството); Модулът на отрицателно число е равен на това число, взето с обратен знак (долния ред). Например,
От дефиницията на модула следва, че модулът на всяко число е неотрицателно число; ако модулът на числото е равен на нула, тогава самото число е равно на нула; в други случаи модулът е положителен.
Реалните числа образуват числово поле - поле от реални числа: резултатът от рационални операции върху реални числа отново се изразява с реално число. Обърнете внимание, че ирационалните числа, взети поотделно, не образуват нито поле, нито дори пръстен: например сумата от две ирационални числа е равна на рационалното число 3.
Нашето кратко описание на развитието на понятието число, изградено по схемата
Ще завършим, като посочим най-важните свойства на множеството от реални числа.
1. Реалните числа образуват поле.
2. Операциите с реални числа се подчиняват на обикновени закони (например събиране и умножение - законите на комутативността, асоциативността, дистрибутивността, параграф 1).
3. За всеки две реални числа a и b важи едно и само едно от трите отношения: a е по-голямо от b (a > b) и е по-малко от и е равно на . Следователно те казват, че множеството от реални числа е подредено.
4. И накрая, обичайно е да се казва, че множеството от реални числа има свойството на непрекъснатост. Значението, дадено на този израз, е обяснено в параграф 8. Именно това свойство значително разграничава полето на реалните числа от полето на рационалните числа.
Материалът в тази статия предоставя първоначална информация за ирационални числа. Първо ще дадем определението за ирационални числа и ще го обясним. По-долу даваме примери за ирационални числа. И накрая, нека да разгледаме някои подходи за определяне дали дадено число е ирационално или не.
Навигация в страницата.
Дефиниция и примери за ирационални числа
Когато изучавахме десетични знаци, отделно разглеждахме безкрайни непериодични десетични знаци. Такива дроби възникват при измерване на десетични дължини на сегменти, които са несъизмерими с единичен сегмент. Също така отбелязахме, че безкрайните непериодични десетични дроби не могат да бъдат преобразувани в обикновени дроби (вижте преобразуване на обикновени дроби в десетични и обратно), следователно тези числа не са рационални числа, те представляват така наречените ирационални числа.
Така стигаме до дефиниция на ирационални числа.
Определение.
Числата, които представляват безкрайни непериодични десетични дроби в десетична система, се наричат ирационални числа.
Изразената дефиниция ни позволява да дадем примери за ирационални числа. Например безкрайната непериодична десетична дроб 4.10110011100011110000... (броят на единиците и нулите се увеличава с единица всеки път) е ирационално число. Нека дадем друг пример за ирационално число: −22.353335333335... (броят на тройките, разделящи осмиците, се увеличава с две всеки път).
Трябва да се отбележи, че ирационалните числа рядко се срещат под формата на безкрайни непериодични десетични дроби. Те обикновено се намират под формата и т.н., както и под формата на специално въведени букви. Най-известните примери за ирационални числа в тази нотация са аритметичният корен квадратен от две, числото „pi” π=3,141592..., числото e=2,718281... и златното число.
Ирационалните числа също могат да бъдат дефинирани от гледна точка на реални числа, които съчетават рационални и ирационални числа.
Определение.
Ирационални числаса реални числа, които не са рационални числа.
Ирационално ли е това число?
Когато едно число е дадено не като десетична дроб, а като някакъв корен, логаритъм и т.н., тогава отговорът на въпроса дали то е ирационално в много случаи е доста труден.
Несъмнено, когато отговаряте на поставения въпрос, е много полезно да знаете кои числа не са ирационални. От определението за ирационални числа следва, че ирационалните числа не са рационални числа. Следователно ирационалните числа НЕ са:
- крайни и безкрайни периодични десетични дроби.
Също така всяка композиция от рационални числа, свързани със знаците на аритметичните операции (+, −, ·, :) не е ирационално число. Това е така, защото сборът, разликата, произведението и частното на две рационални числа е рационално число. Например стойностите на изразите и са рационални числа. Тук отбелязваме, че ако такива изрази съдържат едно единствено ирационално число сред рационалните числа, тогава стойността на целия израз ще бъде ирационално число. Например в израза числото е ирационално, а останалите числа са рационални, следователно е ирационално число. Ако беше рационално число, тогава рационалността на числото щеше да следва, но то не е рационално.
Ако изразът, който определя числото, съдържа няколко ирационални числа, знаци за корени, логаритми, тригонометрични функции, числа π, e и т.н., тогава е необходимо да се докаже ирационалността или рационалността на даденото число във всеки конкретен случай. Има обаче редица вече получени резултати, които могат да бъдат използвани. Нека изброим основните.
Доказано е, че k-ти корен от цяло число е рационално число само ако числото под корена е k-та степен на друго цяло число; в други случаи такъв корен определя ирационално число. Например, числата и са ирационални, тъй като няма цяло число, чийто квадрат да е 7, и няма цяло число, чието повдигане на пета степен дава числото 15. И числата не са ирационални, тъй като и .
Що се отнася до логаритмите, понякога е възможно да се докаже тяхната ирационалност с помощта на метода на противоречието. Като пример, нека докажем, че log 2 3 е ирационално число.
Да приемем, че log 2 3 е рационално число, а не ирационално, тоест може да бъде представено като обикновена дроб m/n. и ни позволяват да напишем следната верига от равенства: . Последното равенство е невъзможно, тъй като от лявата му страна нечетно число, а от дясната страна – дори. Така стигнахме до противоречие, което означава, че предположението ни се оказа неправилно и това доказа, че log 2 3 е ирационално число.
Обърнете внимание, че lna за всяко положително и неедно рационално a е ирационално число. Например и са ирационални числа.
Доказано е също, че числото e a за всяко ненулево рационално a е ирационално и че числото π z за всяко ненулево цяло число z е ирационално. Например, числата са ирационални.
Ирационални числа също са тригонометричните функции sin, cos, tg и ctg за всяка рационална и ненулева стойност на аргумента. Например sin1 , tan(−4) , cos5,7 са ирационални числа.
Има и други доказани резултати, но ние ще се ограничим до вече изброените. Трябва също да се каже, че при доказването на горните резултати теорията, свързана с алгебрични числаИ трансцендентални числа.
В заключение отбелязваме, че не бива да правим прибързани заключения относно нерационалността на дадените числа. Например изглежда очевидно, че ирационално число до ирационална степен е ирационално число. Това обаче не винаги е така. В потвърждение на изложения факт представяме степента. Известно е, че - е ирационално число и също така е доказано, че - е ирационално число, но е рационално число. Можете също така да дадете примери за ирационални числа, чиято сума, разлика, произведение и частно са рационални числа. Освен това рационалността или ирационалността на числата π+e, π−e, π·e, π π, π e и много други все още не е доказана.
Библиография.
- Математика. 6 клас: учебен. за общо образование институции / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-ро издание, рев. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.
