М.: Физматлит, 2005. - 488 с.
Това ръководство осигурява систематично представяне на задълбочен курс по планиметрия. Наред с основната геометрична информация, включена в стандартната училищна програма по геометрия, тя съдържа голямо количество допълнителен материал, който разширява и задълбочава основната информация. Стилът на представяне, възприет в ръководството, се различава значително от традиционния: теорема - доказателство. В редица случаи авторите не формулират теореми и аксиоми предварително, а търсят формулировките им заедно с читателя. Този подход се обяснява с желанието на авторите да дадат представа за това как се конструира математиката и как работят математиците.
Книгата обръща значително внимание на геометрията на Лобачевски, кривите с постоянна ширина, изопериметричните задачи и доказва редица забележителни теореми на планиметрията.
Помагалото е насочено към ученици с повишен интерес към математиката, както и към всички, които са привлечени от красотата на геометрията. Може да се използва в часовете със задълбочено изучаване на математика, в работата на математическите клубове и факултативите и да служи като основен учебник във физико-математическите училища.
формат: pdf
размер: 7,7 MB
Гледайте, изтеглете: drive.google
Предговор 3
Глава 1. Основна геометрична информация 6
§ 1. Точки, прави, отсечки 6
1. Точка ( 6). 2. Права линия (b). 3. Греда и сегмент (9). 4. Няколко задачи A0). 5. Ъгъл A3). b. Полуравнина A4).
§2. Измерване на отсечки и ъгли 17
7. Равенство на геометрични фигури А7). 8. Сравнение на сегменти и ъгли A7). 9. Средата на отсечката и ъглополовящата на ъгъл A8). 10. Измерване на отсечки и ъгли A9). 11. За числата B0).
§3. Перпендикулярни и успоредни прави 25
12. Перпендикулярни прави B5). 13. Признаци за успоредност на две прави B8). 14. Практически методи за построяване на успоредни прави С1). 15. Има ли квадрат? C2). 16. Заключителни бележки C4).
Глава 2. Триъгълници 37
§ 1. Триъгълници и техните видове 37
17. Триъгълник C7). 18. Външен ъгъл на триъгълник C8).
19. Класификация на триъгълници C9). 20. Медиани, ъглополовящи и височини на триъгълник D0).
§2. Равнобедрен триъгълник 43
21. Теорема за ъглите на равнобедрен триъгълник D3).
22. Признак на равнобедрен триъгълник D3). 23. Теорема за височината на равнобедрен триъгълник D4).
§3. Връзки между страни и ъгли на триъгълник 46
24. Теорема за връзките между страните и ъглите на триъгълник D6). 25. Обратни теореми D7). 26. Неравенство на триъгълник D9).
§4. Тестове за еквивалентност на триъгълници 52
27. Три признака за равенство на триъгълници E2). 28. Има ли други признаци, че триъгълниците са равни? E6). 29. Тестове за равенство на триъгълници с помощта на медиани, ъглополовящи и височини F1).
§5. Тестове за равенство на правоъгълни триъгълници 68
30. Пет признака за равенство на правоъгълни триъгълници F8).
31. Симетрала на отсечка. Аксиална симетрия G2).
32. Разстояние от точка до права G5). 33. Свойство на ъглополовящата на ъгъл G5). 34. Теорема за пресичането на ъглополовящи на триъгълник G7).
§6. Строителни проблеми 79
35. Кръг. Централна симетрия G9). 36. Относителното положение на права линия и окръжност (81). 37. Окръжност, вписана в триъгълник (84). 38. Относителното положение на две окръжности (85). 39. Построяване на триъгълник с три страни (88).
40. Основни задачи за конструиране (91). 41. Още няколко задачи за построяване на триъгълник (94).
Глава 3. Успоредни прави 101
§ 1. Аксиома за успоредни прави 101
42. Аксиоми A01). 43. Основни понятия A02). 44. Система от аксиоми на планиметрията 45. Две следствия от аксиоми A08).
46. Относно теореми A09). 48. Аксиома за успоредни прави A14).
49. За петия постулат на Евклид A16). 50. Още веднъж за съществуването на квадрат A17).
§2. Свойства на успоредните прави 119
51. Разстояние между успоредни прави A19). 52. Друг начин за построяване на успоредни прави A20). 53. Конструктивни проблеми A21).
Глава 4: Още за триъгълниците 127
§1. Сбор от ъгли на триъгълник. Средна линия на триъгълник 127
54. Задача за разрязване на триъгълник A27). 55. Сбор от ъгли на триъгълник A29). 56. Средна линия на триъгълник A34). 57. Теорема на Талес A34). 58. Неочакван факт A36).
§2. Четири прекрасни точки на триъгълник 139
59. Теорема за пресичане на ъглополовящи на страните на триъгълник A39). 60. Окръжност, описана около триъгълник A41). 61. Теорема за пресичането на височини на триъгълник A42). 62. Размисли върху пресечната точка на медианите на триъгълник A43). 63. Теорема за пресичане на медиани на триъгълник A45).
Глава 5. Многоъгълници 150
§ 1. Изпъкнал многоъгълник 150
64. Полилиния A50). 65. Многоъгълник A52). 66. Изпъкнал многоъгълник A58). 67. Изпъкнала линия A61). 68. Затворена линия A62). 69. Затворена изпъкнала линия A63). 70. Вписан многоъгълник A64). 71. Описан многоъгълник A66).
§2. Четириъгълници 168
72. Свойство на диагоналите на изпъкнал четириъгълник A68).
73. Характерно свойство на фигура A70). 74. Успоредник A70). 75. Теореми на Вариньон и Гаус A72). 76. Правоъгълник, ромб и квадрат A73). 77. Трапец A76).
Глава 6. Област 180
§ 1. Еднакви многоъгълници 180
78. Задачи за изрязване на многоъгълници A80). 79. съставени полигони A83). 80. Разрязване на квадрат на неравни квадрати A85).
§2. Концепция за зона 188
81. Измерване на площта на многоъгълник A88). 82. Площ на произволна фигура A93).
§3. Площ на триъгълник 197
84. Площи на правоъгълник, успоредник и триъгълник A97). 85. Многоъгълници с еднаква площ A98). 86. Метод на Евклид B00). 87. Две теореми за съотношението на площите на триъгълници B01). 88. Две теореми за ъглополовящите на триъгълник B03). 89. Тест за равенство на триъгълници, базирани на две страни и ъглополовяща, изтеглена от един връх B04).
§4. Формулата на Херон и нейните приложения 210
90. Формула на Heron B10). 91. Теорема за медианата B11). 92. Формула за ъглополовяща на триъгълник B12).
§5. Питагорова теорема 213
93. Обобщена питагорова теорема B13). 94. Задача за изрязване на квадрати B15).
Глава 7. Подобни триъгълници 219
§ 1. Тестове за подобие на триъгълници 219
95. Подобие и равенство на триъгълници B19). 96. Други признаци на подобие на триъгълници B22). 97. Тригонометрични функции B24).
§2. Приложение на подобието при доказване на теореми и решаване на проблеми. . 230
98. Обобщена теорема на Талес B30). 99. Следствие от обобщената теорема на Талес B32). 100. Теорема за пропорционални отсечки в триъгълник B35). 101. Теорема на Ceva B37).
102. Теорема на Менелай B41).
§3. Строителни проблеми 245
103. Средна геометрична B45). 104. Средно аритметично, средно хармонично и средно квадратично за два сегмента B46). 105. Метод на подобие B47).
§4. За забележителните точки на триъгълника 255
106. На височините на триъгълник B55). 107. На ъглополовящите на триъгълник B57). 108. Още две точки, свързани с триъгълник B58).
Глава 8. Кръг 260
§ 1. Свойства на окръжност 260
109. Характеристично свойство на окръжност B60). ОТ. Проблеми за изграждане на B60). 111. Криви с постоянна ширина B63).
§2. Ъгли, свързани с окръжност 268
112. Вписани ъгли B68). 113. Ъгли между хорди и секущи B71). 114. Ъгъл между допирателната и хорда B72). 115. Теорема за квадрата на допирателната B73). 116. Теорема на Паскал B75).
117. Външни окръжности на триъгълник B76).
Глава 9. Вектори 285
§ 1. Векторно събиране 285
118. Копосочни вектори B85). 119. Равенство на вектори B88). 120. Сума от вектори B89).
§2. Умножение на вектор по числото 292
121. Произведение на вектор и число B92). 122. Няколко задачи B94).
Глава 10. Метод на координатите 298
§ 1. Координати на точки и вектори 298
123. Координатна ос B98). 124. Правоъгълна координатна система B99). 125. Координати на вектор C00). 126. Дължина на вектор и разстояние между две точки C02). 127. Теорема на Стюарт C02).
§2. Уравнения на права и окръжност 304
128. Перпендикулярни вектори C04). 129. Уравнение на права C05). 130. Уравнение на окръжност C06).
§3. Радикална ос и радикален център на окръжности 309
131. Радикална ос на две окръжности C09). 132. Местоположение на радикалната ос спрямо окръжностите C11). 133. Радикален център на три окръжности C13). 134. Теорема на Брианшон C15).
§4. Хармонични четворки от точки 317
135. Примери за хармонични четворки C17). 136. Полярен C20).
137. Четворно C21). 138. Построяване на допирателна с помощта на една линийка C22).
Глава 11. Тригонометрични отношения в триъгълник. Точково произведение на вектори 324
§1. Връзки между страни и ъгли на триъгълник 324
139. Синус и косинус на двоен ъгъл C24). 140. Тригонометрични функции на произволни ъгли C25). 141. Формули за редукция C25). 142. Друга формула за площта на триъгълник C26).
143. Теорема за синуси C27). 144. Косинусова теорема C28).
§2. Използване на тригонометрични формули при решаване на геометрични задачи 331
145. Синус и косинус от сбора и разликата на ъглите C31). 146. Теорема на Морли C33). 147. Площ на четириъгълник C35). 148. Площи на вписани и описани четириъгълници C37).
§3. Точково произведение на вектори 339
149. Ъгъл между векторите C39). 150. Определение и свойства на скаларното произведение на вектори C41). 151. Теорема на Ойлер C43). 152. Теорема на Лайбниц C44).
Глава 12. Правилни многоъгълници. Дължина и площ 347
§ 1. Правилни многоъгълници 347
153. Равностранен и равноъгълен многоъгълник C47).
154. Построяване на правилни многоъгълници C50).
§2. Дължина 355
155. Обиколка C55). 156. Дължина на линията C57).
§ 3. Област 363
158. Площ на фигура C63). 159. Първа забележителна граница C65). 160. Изопериметрична задача C67).
Глава 13. Геометрични трансформации 374
§ 1. Движения 374
161. Аксиална симетрия C74). 162. Движение C75). 163. Използване на движения за решаване на задачи C77).
§2. Централно сходство 386
164. Свойства на централно подобие C86). 165. Теорема на Наполеон C88). 166. Проблем на Ойлер C89). 167. Права линия на Симеон C92).
§3. Инверсия 396
168. Дефиниция на инверсия C96). 169. Основни свойства на инверсия C98). 170. Теорема на Птолемей D01). 171. Формула на Ойлер D02). 172. Кръгове на Аполоний D02). 173. Кръговете на Аполоний са необходими дори на флибустиите D05). 174. Теорема на Фойербах D07). 175. Проблем на Аполоний D08).
Приложение 1. Отново за числата* 414
176. Неотрицателни реални числа D14). 177. Сравнение на неотрицателни реални числа D17). 178. Събиране на неотрицателни реални числа D17). 179. Умножение на положителни реални числа D18). 180. Отрицателни реални числа D19). 181. Точно горно лице D20).
182. Теорема на Вайерщрас D21). 183. Двоична форма на запис на числото D21). 184. За взаимното разположение на права линия и окръжност D23). 185. За измерване на ъгли D26). 186. За взаимното разположение на две окръжности D27).
Приложение 2. Отново за геометрията на Лобачевски 430
Отговори и насоки 437
Нашият бележник 471
Именен индекс 473
Предметен индекс 474
От предговора:
Настоящото помагало е насочено към учениците, които проявяват повишен интерес към математиката, и е предназначено предимно за класове със задълбочено изучаване на математика, за математически кръжоци и факультативи. Състои се от 13 глави, съответстващи на главите от учебника „Геометрия 7-9” на Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузова, SB. Кадомцева, Е.Г. Позняк, И.И. Юдина (М.: Просвещение, 1990 г. и следващите издания). В същото време ръководството е напълно автономно, което позволява да се използва както в тези класове, където геометрията се преподава по други учебници, така и като основен учебник в училищата, специализирани по физика и математика. Трябва да се отбележи, че стилът на представяне, възприет в ръководството, се различава от традиционния: теорема - доказателство. В редица случаи не формулираме теореми и аксиоми предварително, а търсим формулировките им заедно с читателя. Този подход се обяснява с желанието на авторите да дадат представа за това как се конструира математиката и как работят математиците.
Помагалото, наред с основната геометрична информация, включена в стандартната училищна програма по геометрия, съдържа голямо количество допълнителен материал, който разширява и задълбочава основната информация. По-специално, значително внимание се обръща на теорията на успоредните линии и се дава идея за геометрията на Лобачевски, свързана с нея.
Във всяка глава при изложението на теоретичния материал са дадени задачи с решения, онагледяващи приложението на определени твърдения. Към всеки параграф от главата са дадени задачи за самостоятелна работа, снабдени с отговори и указания. Най-трудните задачи и раздели са отбелязани със звездичка. Има и предметен индекс, който улеснява навигацията в книгата. Надяваме се, че нашата книга ще заинтересува не само учителите и учениците в класовете по математика за напреднали, но и всички, които са привлечени от красотата на геометрията.
Готова домашна работа към учебник по геометрия за ученици 7-9 клас, автори: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Е.Г. Позняк, И.И. Юдина, издателство Просвещение за 2015-2016 учебна година.
Момчета, в 7-9 клас ще изучавате толкова интересен предмет като геометрията. За да избегнете проблеми с разбирането на този урок в бъдеще, трябва да работите усилено от самото начало.
В предишните класове вече се запознахте с някои геометрични фигури. В тази бръмчалка ще разширите този минимум от знания. Целият курс е разделен на два раздела: планиметрия и стереометрия. В 7 и 8 клас ще разглеждате фигури на равнина – това е раздел планиметрия. В 9 клас свойства на фигурите в пространството - стереометрия.
Често възниква ситуация, когато въз основа на условията не е възможно да направите правилния чертеж, да начертаете всички детайли в пространството и тогава геометрията изглежда като невъзможна тема за вас. Ако започнете да изпитвате подобни затруднения, тогава ви препоръчваме да използвате нашия тест по геометрия за 7-9 клас L.S. Атанасян, който е публикуван по-долу.
ГДЗ Геометрия 7 клас работна тетрадка Атанасян можете да изтеглите.
ГДЗ Геометрия 8 клас работна тетрадка Атанасян можете да изтеглите.
ГДЗ Геометрия 9 клас работна тетрадка Атанасян можете да изтеглите.
ГДЗ за дидактически материали по геометрия за 7 клас Жив Б.Г. може да се изтегли.
ГДЗ за дидактически материали по геометрия за 8 клас Жив Б.Г. може да се изтегли.
ГДЗ за дидактически материали по геометрия за 9 клас Жив Б.Г. може да се изтегли.
GDZ за самостоятелна и тестова работа по геометрия за 7-9 клас Ichenskaya M.A. може да се изтегли.
GDZ за събиране на задачи по геометрия за 7 клас Ershova A.P. може да се изтегли.
GDZ за събиране на задачи по геометрия за 8 клас Ershova A.P. може да се изтегли.
GDZ за работна тетрадка по геометрия за 9 клас Мищенко Т.М. може да се изтегли.
GDZ за тематични тестове по геометрия за 7 клас Мищенко Т.М. може да се изтегли.
GDZ за тематични тестове по геометрия за 8 клас Мишченко Т.М. може да се изтегли
Бутузов Валентин Федорович
В катедрата работят 55 преподаватели и изследователи, включително 13 професори и 19 доценти, 17 служители на катедрата са доктори и 36 са кандидати на науките.
Бутузов Валентин Федорович
началник на отделВалентин Федорович Бутузов е роден на 23 ноември 1939 г. в Москва в семейство на служители. Баща, Бутузов Федор Григориевич (1909-1975) е строителен техник, майка, Бутузова (Кураева) Анастасия Владимировна (1912-1994) завършва художествен колеж и работи дълги години като ръководител на селски клуб. През 1957г В. Ф. Бутузов завършва със златен медал Сухаревската гимназия (Краснополянски район, Московска област) и постъпва във физическия факултет на Московския държавен университет М. В. Ломоносов. След завършване през 1963г. е приет в аспирантура. Изборът на специалност и формирането на научни интереси бяха силно повлияни от професорите и преподавателите от катедрата по математика на Физическия факултет А. Н. Тихонов, А. Г. Свешников, А. Б. Василиева, П. С. Моденов. През 1966г завършва аспирантура, защитава докторска дисертация „Асимптотика на решения на някои задачи за интегро-диференциални уравнения с малък параметър за производни” и е назначен в катедра „Математика” на Физическия факултет. От 1970г ежегодно изнася общи курсове от лекции по висша математика, както и специален курс по асимптотични методи. През 1972г утвърден за научна степен доцент. През 1979г защитава докторска дисертация „Сингулярно възмущени гранични задачи с ъглов граничен слой“, в която разработва ефективен метод за конструиране на асимптотични разширения на решения на широк клас сингулярно възмущени задачи в области с ъглови гранични точки.
От 1981г работи като професор (през 1982 г. е утвърдено академичното звание професор), от 1993 г. - Ръководител на катедрата по математика на Физическия факултет на Московския държавен университет.
От 1979г В. Ф. Бутузов, заедно със своите колеги, участва активно в създаването на нови училищни учебници по геометрия. През 1988г Тези учебници (за 7-9 клас и 10-11 клас) заеха 1-во място във Всесъюзния конкурс за училищни учебници. В момента десетки милиони ученици в Русия и страните от ОНД учат с тях. Под негова редакция са написани два учебника по висша математика за университетите, които претърпяват няколко издания и са преведени на английски и испански език.
V. F. Бутузов е награден с медали „За трудово отличие“ (1986) и „В памет на 850-годишнината на Москва“ (1997), значки „Отличник в народното образование“ (1985) и „Почетен работник на висшето професионално образование на Русия Федерация” (1999). Той е лауреат на наградата Ломоносов на Московския държавен университет за преподавателска дейност (1993), лауреат на наградата Ломоносов на Московския държавен университет, 1-ва степен за научна работа (2003).
Подготвил е 12 кандидати на науките, трима негови ученици са станали доктори на науките. В сътрудничество с проф. А. Б. Василиева, той написа четири монографии върху асимптотични методи в теорията на сингулярните смущения.
Основни произведения:
- Асимптотични разширения на решения на сингулярно смутени уравнения , М., Наука, 1973 (съвместно с А. Б. Василиева).
- Асимптотични методи в теорията на сингулярните смущения , М., Висше училище, 1990 (съвместно с А. Б. Василиева).
- Математически анализ в въпроси и задачи , М., Висше училище, 1 издание, 1984 г.; М., Физматлит, 4 издание, 2001 (съвместно с Н.Ч. Крутицкая, Г.Н. Медведев, А.А. Шишкин).
- Геометрия 7-9 (учебник за общообразователни институции). М., Образование, 1-во издание, 1990 г.; 15-то издание, 2005 г. (съвместно с Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Е. Г. Позняк, И. И. Юдина).
- Геометрия 10-11 (учебник за общообразователни институции). М., Образование, 1-во издание, 1992 г.; 11-то издание, 2005 г. (съвместно с Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Л. С. Киселева, Е. Г. Позняк).
Много често учениците, които влизат в седми клас, се обръщат към книги от този формат, за да се справят с огромен брой задачи по геометрия. Преди да започнете да използвате тези ръководства, по-добре е да се запознаете с основната информация за тях и как могат да ви бъдат от полза.
Ние изучаваме ползите, които предоставят решаващите геометрии
Детските психолози вече са доказали положителното въздействие върху личността на детето от работата с такива консултанти като готови домашни задачи. На първо място родителите са загрижени за здравето на детето си и ние също помислихме за това. Използвайки GDZ по геометрия на нашия уебсайт, седмокласникът няма да бъде принуден да седи до вечерта, докато прави домашни, и ще може да спи в съответствие с нормите за неговата възраст.
Освен това увереността, че отговорите на домашните упражнения са верни, ще ви спести от стреса, който ученикът изпитва, когато представя резултатите от работата си пред класа. В допълнение, също толкова важно предимство от използването на книги като GDZ по геометрия 7 клас Атанасян е подготовката на детето за самостоятелен живот.
Например, когато отговорите на дадена задача не съвпадат с данните, предложени от решаващите, ученикът сам ще може да проследи хода на решаването на упражнението и сам да открие грешката, допусната в него. Отличните резултати и високите академични постижения идват от сътрудничеството само с правилните решаващи геометрии на Атанасян. С появата на нашия портал VIPGDZ вече няма нужда да губите времето си в търсене на качествени книги от този формат. Просто трябва да посетите нашия образователен ресурс.
сайтът дава на седмокласниците само правилните решения
Нашият портал VIPGDZ се сравнява много благоприятно с други сайтове от този тип. Работата е там, че дава огромен брой неоспорими предимства на своите потребители. Първо, не е нужно да се притеснявате за каквото и да е заплащане за използването на учебниците за седми клас на нашите страници, защото цялата учебна литература се предоставя абсолютно безплатно.
Също така сме убедени, че ще останете приятно впечатлени от широката гама от книги по геометрия, които предлага сайта. Сред другите предимства на нашия ресурс е възможността не само да преглеждате директории онлайн, но и да ги изтегляте на компютър или друга модерна джаджа.
Знаейки, че родителите и децата са личности от новото поколение, решихме, че мобилната версия на нашия сайт ще ги зарадва и я създадохме. Сега можете да се насладите на всички предимства, които отговорите по геометрия носят по всяко време, когато имате нужда, просто като добавите нашия ресурс към вашите отметки.
Заедно с нашия уебсайт ще разберете колко интересен и безгрижен може да бъде процесът на домашна работа по геометрия в 7. клас!
