Както е известно, всяка точка от равнината се определя от две координати в някаква координатна система. Координатните системи могат да бъдат различни в зависимост от избора на основа и произход.
Определение.Уравнение на линиятасе нарича връзката y = f(x) между координатите на точките, които образуват тази права.
Обърнете внимание, че уравнението на права може да бъде изразено параметрично, т.е. всяка координата на всяка точка се изразява чрез някакъв независим параметър T.
Типичен пример е траекторията на движеща се точка. В този случай ролята на параметър се играе от времето.
Уравнение на права на равнина.
Определение. Всяка права линия в равнината може да бъде определена чрез уравнение от първи ред
Ax + Wu + C = 0,
Освен това константите A и B не са равни на нула едновременно, т.е. A 2 + B 2 ¹ 0. Това уравнение от първи ред се нарича общо уравнение на права линия.
В зависимост от стойностите на константите A, B и C са възможни следните специални случаи:
C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – правата минава през началото
A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - права линия, успоредна на оста Ox
B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – права линия, успоредна на оста Oy
B = C = 0, A ¹ 0 – правата съвпада с оста Oy
A = C = 0, B ¹ 0 – правата съвпада с оста Ox
Уравнението на права линия може да бъде представено в различни форми в зависимост от дадени начални условия.
Уравнение на права от точка и нормален вектор.
Определение. В декартовата правоъгълна координатна система вектор с компоненти (A, B) е перпендикулярен на правата линия, дадена от уравнението Ax + By + C = 0.
Пример.Намерете уравнението на правата, минаваща през точката A(1, 2), перпендикулярна на вектора (3, -1).
При A = 3 и B = -1, нека съставим уравнението на правата: 3x – y + C = 0. За да намерим коефициента C, заместваме координатите на дадената точка A в получения израз.
Получаваме: 3 – 2 + C = 0, следователно C = -1.
Общо: необходимото уравнение: 3x – y – 1 = 0.
Уравнение на права, минаваща през две точки.
Нека две точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2) са дадени в пространството, тогава уравнението на правата, минаваща през тези точки, е:
Ако някой от знаменателите е нула, съответният числител трябва да бъде равен на нула.
На равнината уравнението на правата линия, написано по-горе, е опростено: 
ако x 1 ¹ x 2 и x = x 1, ако x 1 = x 2.
Дробта = k се нарича наклонправ.
Пример.Намерете уравнението на правата, минаваща през точки A(1, 2) и B(3, 4).
Прилагайки формулата, написана по-горе, получаваме:
Уравнение на права линия с помощта на точка и наклон.
Ако общото уравнение на правата Ax + By + C = 0 се редуцира до формата:
и означаваме , тогава полученото уравнение се нарича уравнение на права линия с наклон k.
Уравнение на права от точка и насочващ вектор.
По аналогия с точката, разглеждаща уравнението на права линия през нормален вектор, можете да въведете дефиницията на права линия през точка и насочващия вектор на правата линия.
Определение. Всеки ненулев вектор (a 1 , a 2), компонентите на който отговарят на условието Aa 1 + Ba 2 = 0, се нарича насочващ вектор на правата.
Ax + Wu + C = 0.
Пример.Намерете уравнението на права линия с насочващ вектор (1, -1) и минаваща през точката A(1, 2).
Ще търсим уравнението на желаната линия във формата: Ax + By + C = 0. В съответствие с дефиницията коефициентите трябва да отговарят на условията.
Основни понятия
Линия в равнина често се дава като набор от точки, притежаващи някакво геометрично свойство, присъщо само на тях. Например около окръжност с радиус R е множеството от всички точки на равнината, разположени на разстояние R от някаква фиксирана точка O (центъра на окръжността).
Въвеждането на координатна система в равнината позволява да се определи позицията на точка в равнината чрез задаване на две числа - нейните координати и позицията на права в равнината, която се определя с помощта на уравнение (т.е. равенство, свързващо координатите на точки от линията).
Уравнение на линията(или крива) в равнината Oxy се извиква уравнение F(x; y) = 0 с две променливи, което е изпълнено от координатите x и y на всяка точка от правата и не е изпълнено от координатите на никоя точка, която не лежи на тази права .
Променливи хИ прив уравнението линиите се наричат текущите координати на точките на линията.
Уравнението на линия позволява изучаването на геометричните свойства на правата да бъде заменено с изучаването на нейното уравнение.
Така че, за да се установи дали точка A(x o; y o) лежи на дадена права, достатъчно е да се провери (без да се прибягва до геометрични конструкции) дали координатите на точка A отговарят на уравнението на тази права в избраната координатна система.
Пример 10.1 . Точките K(-2;1) и E(1;1) лежат ли на правата 2x + y +3 = O?
Решение: Като заместим координатите на точка K в уравнението вместо x и y, получаваме 2. (-2) + 1 +3 = 0. Следователно точка K лежи на тази права. Точка Е не лежи на тази права, т.к
2·1+1+3≠0Задачата за намиране на пресечните точки на две прави, дадени от уравненията F 1 (x;y) = 0 и F 2 (x;y) = 0, се свежда до намиране на точки, чиито координати удовлетворяват уравненията на двете прави, т.е. , се свежда до решаване на системата две уравнения с две неизвестни:
F 1 (x;y) = 0
Ако тази система няма реални решения, тогава линиите не се пресичат.
По подобен начин се въвежда понятието уравнение на права в полярна координатна система.
Извиква се уравнението F(r,φ) = 0 уравнение на дадена права в полярна координатна система, ако координатите на всяка точка, лежаща на тази права, и само те, удовлетворяват това уравнение.
Права в равнина може да се дефинира с помощта на две уравнения:
където x и y са координатите на произволна точка M(x; y), лежаща на дадена права, t е променлива, наречена параметър; параметърът определя позицията на точката (x; y) в равнината.
Например, ако x = + 1, y = t 2, тогава стойността на параметъра t 2 съответства на точка (3; 4) на равнината,
защото x = 2 + 1 = 3, y = 2 2 = 4.
Ако параметърът t се промени, тогава точката на равнината се премества, описвайки тази права. Този метод за дефиниране на линия се нарича параметричен, а уравненията (10.1) са уравнения на параметрични линии.
Линия в равнина може да бъде определена чрез векторно уравнение, където t е параметър на скаларна променлива. Всяка стойност на t 0 съответства на конкретен вектор в равнина. Когато параметърът t се промени, краят на вектора ) ще описва определена линия
Векторното уравнение на линия в координатната система Oxy съответства на две скаларни уравнения (10.1), т.е. уравнения на проекции върху координатните оси на векторното уравнение на линията има неговите параметрични уравнения.
Векторното уравнение и уравненията на параметричните линии имат механичен смисъл. Ако една точка се движи по равнина, тогава се извикват посочените уравнения уравнения на движението, а линията е траекторияточки, параметърът t е време.
И така, всяка права на равнината съответства на някакво уравнение от вида F(x;y) = 0.
Всяко уравнение от вида F(x;y) = 0 съответства на определена линия, чиито свойства се определят от това уравнение (може да има изключения).
Уравнение на права на равнина
Основни въпроси на лекцията: уравнения на права върху равнина; различни форми на уравнение на права върху равнина; ъгъл между прави линии; условия на успоредност и перпендикулярност на правите; разстояние от точка до права; криви от втори ред: окръжност, елипса, хипербола, парабола, техните уравнения и геометрични свойства; уравнения на равнина и права в пространството.
Уравнение от вида се нарича уравнение на права линия в общ вид.
Ако изразим в това уравнение, тогава след заместване получаваме уравнение, наречено уравнение на права линия с ъглов коефициент, и където е ъгълът между правата линия и положителната посока на абсцисната ос. Ако в общото уравнение на права линия прехвърлим свободния коефициент в дясната страна и го разделим, получаваме уравнение в сегменти
Къде и са точките на пресичане на правата съответно с абсцисната и ординатната ос.
Две прави в една равнина се наричат успоредни, ако не се пресичат.
Правите се наричат перпендикулярни, ако се пресичат под прав ъгъл.
Нека две линии и са дадени.
За да се намери пресечната точка на правите (ако се пресичат), е необходимо да се реши системата с тези уравнения. Решението на тази система ще бъде точката на пресичане на линиите. Нека намерим условията за взаимното разположение на две прави.
защото 
, тогава ъгълът между тези прави се намира по формулата
От това можем да заключим, че кога правите ще бъдат успоредни и кога ще са перпендикулярни. Ако правите са дадени в общ вид, тогава правите са успоредни при условието и перпендикулярни при условието
Разстоянието от точка до права линия може да се намери с помощта на формулата
Нормално уравнение на окръжност:
Елипса е геометрично място на точки в равнина, сборът от разстоянията до две дадени точки, наречени фокуси, е постоянна стойност.
Каноничното уравнение на елипса има формата:
. Върховете на елипсата са точките , , ,. Ексцентричността на елипса е отношението
Хиперболата е геометричното място на точките в равнина, като модулът на разликата в разстоянията до две дадени точки, наречени фокуси, е постоянна стойност.
Каноничното уравнение на хипербола има формата:
където е голямата полуос, е малката полуос и . Фокусите са в точки . Върховете на хипербола са точките , . Ексцентричността на хипербола е отношението
Правите линии се наричат асимптоти на хиперболата. Ако , тогава хиперболата се нарича равностранна.
От уравнението получаваме двойка пресичащи се прави и .
Параболата е геометрично място на точки в равнина, от всяка от които разстоянието до дадена точка, наречено фокус, е равно на разстоянието до дадена права линия, наречена директриса, и е постоянна стойност.
Уравнение на канонична парабола
Правата се нарича директриса, а точката се нарича фокус.
Концепцията за функционална зависимост
Основни въпроси на лекцията: множества; основни операции върху множества; дефиниране на функция, нейната област на съществуване, методи за присвояване; основни елементарни функции, техните свойства и графики; числови последователности и техните граници; граница на функция в точка и в безкрайност; безкрайно малки и безкрайно големи величини и техните свойства; основни теореми за границите; прекрасни граници; непрекъснатост на функция в точка и на интервал; свойства на непрекъснатите функции.
Ако всеки елемент от набор е свързан с напълно специфичен елемент от набора, тогава те казват, че функция е дефинирана в набора. В този случай тя се нарича независима променлива или аргумент и зависима променлива, а буквата обозначава закона за съответствие.
Набор се нарича домейн на дефиниция или съществуване на функция, а набор се нарича домейн на стойности на функция.
Има следните начини за указване на функция
1. Аналитичен метод, ако функцията е дадена с формула на формата
2. Табличният метод е, че функцията се определя от таблица, съдържаща стойностите на аргумента и съответните стойности на функцията
3. Графичният метод се състои в изобразяване на графика на функция - набор от точки в равнината, чиито абциси са стойностите на аргумента, а ординатите са съответните стойности на функцията
Тази статия е продължение на раздела за прави в равнина. Тук преминаваме към алгебричното описание на права линия, използвайки уравнението на права линия.
Материалът в тази статия е отговор на въпросите: „Кое уравнение се нарича уравнение на права и каква форма има уравнението на права върху равнина?“
Навигация в страницата.
Уравнение на права върху равнина - определение.
Нека Oxy е фиксиран върху равнината и в нея е зададена права линия.
Правата линия, както всяка друга геометрична фигура, се състои от точки. Във фиксираната правоъгълна координатна система всяка точка от права има свои координати - абциса и ордината. И така, връзката между абсцисата и ординатата на всяка точка от права във фиксирана координатна система може да бъде дадена чрез уравнение, което се нарича уравнение на права в равнина.
С други думи, уравнение на права в равнинав правоъгълната координатна система Oxy има някакво уравнение с две променливи x и y, което се превръща в идентичност, когато координатите на която и да е точка от тази права се заменят в него.
Остава да се справим с въпроса каква форма има уравнението на права линия в равнина. Отговорът на този въпрос се съдържа в следващия параграф на статията. Гледайки напред, отбелязваме, че има различни форми на писане на уравнението на права линия, което се обяснява със спецификата на решаваните задачи и метода за определяне на права линия в равнина. И така, нека започнем с преглед на основните видове уравнения на права линия в равнина.
Общо уравнение на права линия.
Видът на уравнението на права линия в правоъгълната координатна система Oxy върху равнината се дава от следната теорема.
Теорема.
Всяко уравнение от първа степен с две променливи x и y от формата, където A, B и C са някои реални числа, а A и B не са равни на нула едновременно, определя права линия в правоъгълна координатна система Oxy в равнината и всяка права линия в равнината е дадена от вида на уравнението 
.
Уравнението Наречен общо уравнение на праватана повърхността.
Нека обясним значението на теоремата.
Дадено е уравнение от формата съответства на права линия на равнина в дадена координатна система, а права линия на равнина в дадена координатна система съответства на уравнение на права линия от формата .
Вижте чертежа.
От една страна, можем да кажем, че тази линия се определя от общото уравнение на линията на формата 
, тъй като координатите на всяка точка от изобразената линия удовлетворяват това уравнение. От друга страна, множеството точки в равнината, дефинирана от уравнението , дайте ни правата линия, показана на чертежа.
Общото уравнение на права линия се нарича пълен, ако всички числа A, B и C са различни от нула, в противен случай се извиква общото уравнение на права непълна. Непълно уравнение на линия от формата определя права, минаваща през началото на координатите. Когато A=0 уравнението задава права, успоредна на абсцисната ос Ox, а при B=0 – успоредна на ординатната ос Oy.
Така всяка права линия в равнина в дадена правоъгълна координатна система Oxy може да бъде описана с помощта на общото уравнение на права линия за определен набор от стойности на числа A, B и C.
Нормален вектор на права, даден от общо уравнение на правата на формата , има координати .
Всички уравнения на линии, които са дадени в следващите параграфи на тази статия, могат да бъдат получени от общото уравнение на линия и могат също да бъдат редуцирани обратно до общото уравнение на линия.
Препоръчваме тази статия за по-нататъшно проучване. Там е доказана теоремата, формулирана в началото на този параграф на статията, дадени са графични илюстрации, подробно са анализирани решения на примери за съставяне на общо уравнение на линия, преходът от общо уравнение на права към уравнения на показан е друг вид и гръб, като са разгледани и други характерни проблеми.
Уравнение на права линия в отсечки.
Извиква се уравнение на права линия от формата , където a и b са някои реални числа, различни от нула уравнение на права линия в сегменти. Това име не е случайно, тъй като абсолютните стойности на числата a и b са равни на дължините на сегментите, които правата линия отрязва съответно на координатните оси Ox и Oy (сегментите се измерват от началото) . По този начин уравнението на линия в сегменти улеснява конструирането на тази линия в чертеж. За да направите това, трябва да маркирате точките с координати и в правоъгълна координатна система на равнината и с линийка да ги свържете с права линия.
Например, нека построим права линия, дадена от уравнение в сегменти от формата . Маркиране на точките 
и ги свържете.
Можете да получите подробна информация за този тип уравнение на права върху равнина в статията.
Уравнение на права с ъглов коефициент.
Праволинейно уравнение от формата, където x и y са променливи, а k и b са някои реални числа, се нарича уравнение на права линия с наклон(k е наклонът). Ние сме добре запознати с уравненията на права линия с ъглов коефициент от курс по алгебра в гимназията. Този тип линейно уравнение е много удобно за изследване, тъй като променливата y е явна функция на аргумента x.
Дефиницията на ъгловия коефициент на права линия се дава чрез определяне на ъгъла на наклона на правата спрямо положителната посока на оста Ox.
Определение.
Ъгълът на наклона на правата спрямо положителната посока на абсцисната осв дадена правоъгълна декартова координатна система Oxy е ъгълът, измерен от положителната посока на оста Ox към дадената права линия обратно на часовниковата стрелка.
Ако правата линия е успоредна на оста x или съвпада с нея, тогава нейният ъгъл на наклон се счита за равен на нула.
Определение.
Директен наклоне тангенса на ъгъла на наклон на тази права линия, т.е.
Ако правата е успоредна на ординатната ос, тогава наклонът отива до безкрайност (в този случай също казват, че наклонът не съществува). С други думи, не можем да напишем уравнение на права с наклон за права, успоредна или съвпадаща с оста Oy.
Обърнете внимание, че правата линия, определена от уравнението, минава през точка на ординатната ос.
По този начин уравнението на права линия с ъглов коефициент определя на равнината права линия, минаваща през точка и образуваща ъгъл с положителната посока на абсцисната ос, и .
Като пример, нека изобразим права линия, определена от уравнение от формата . Тази линия минава през точка и има наклон 
радиани (60 градуса) спрямо положителната посока на оста Ox. Неговият наклон е равен на .
Имайте предвид, че е много удобно да търсите точно под формата на уравнение на права линия с ъглов коефициент.
Канонично уравнение на права върху равнина.
Канонично уравнение на права върху равнинав правоъгълна декартова координатна система Oxy има формата 
, където и са някои реални числа, като същевременно не са равни на нула.
Очевидно правата, определена от каноничното уравнение на правата, минава през точката. От своя страна числата и в знаменателите на дробите представляват координатите на вектора на посоката на тази линия. По този начин каноничното уравнение на права в правоъгълната координатна система Oxy на равнината съответства на права, минаваща през точка и имаща насочващ вектор.
Например, нека начертаем права линия в равнината, съответстваща на каноничното уравнение на правата линия на формата 
. Очевидно точката принадлежи на правата, а векторът е векторът на посоката на тази права.
Каноничното уравнение на права линия се използва дори когато едно от числата или е равно на нула. В този случай записът се счита за условен (тъй като съдържа нула в знаменателя) и трябва да се разбира като 
. Ако , тогава каноничното уравнение приема формата 
и определя права линия, успоредна на ординатната ос (или съвпадаща с нея). Ако , тогава каноничното уравнение на правата приема формата 
и определя права линия, успоредна на оста x (или съвпадаща с нея).
В статията са събрани подробна информация за уравнението на права линия в канонична форма, както и подробни решения на типични примери и задачи.
Параметрични уравнения на права върху равнина.
Параметрични уравнения на права върху равнинаизглежда като 
, където и са някои реални числа, и в същото време не са равни на нула, и е параметър, който приема всякакви реални стойности.
Параметричните линейни уравнения установяват имплицитна връзка между абсцисите и ординатите на точки на права линия с помощта на параметър (оттук и името на този тип линейно уравнение).
Двойка числа, които се изчисляват от параметричните уравнения на права за някаква реална стойност на параметъра, представляват координатите на определена точка от правата. Например, когато имаме 
, тоест точката с координати лежи на права линия.
Трябва да се отбележи, че коефициентите и за параметъра в параметричните уравнения на права линия са координатите на вектора на посоката на тази права линия.
Нека на равнината са дадени декартова правоъгълна координатна система Oxy и някаква права L.
Определение. Уравнението F(x;y)=0 (1)Наречен уравнение на праватаЛ(спрямо дадена координатна система), ако това уравнение е изпълнено от координатите x и y на която и да е точка, лежаща на правата L, а не от координатите x и y на всяка точка, която не лежи на правата L.
Че. линия на равнинае геометричното място на точки (M(x;y)), чиито координати отговарят на уравнение (1).
Уравнение (1) определя линията L.
Пример. Уравнение на окръжност.
кръг– набор от точки, равноотдалечени от дадена точка M 0 (x 0,y 0).
Точка M 0 (x 0,y 0) – център на кръга.
За всяка точка M(x;y), разположена върху окръжността, разстоянието MM 0 =R (R=const)
ММ 0 ==Р
(х-х 0 ) 2 +(ооо 0 ) 2 =Р 2 –(2) – уравнение на окръжност с радиус R с център в точка M 0 (x 0,y 0).
Параметрично уравнение на права.
Нека координатите x и y на точки на правата L бъдат изразени с помощта на параметъра t:
(3) – параметрично уравнение на правата в DSC
където функциите (t) и (t) са непрекъснати по отношение на параметъра t (в определен диапазон на изменение на този параметър).
Като изключим параметъра t от уравнение (3), получаваме уравнение (1).
Нека разгледаме правата L като пътя, изминат от материална точка, непрекъснато движеща се по определен закон. Нека променливата t представлява време, отброено от някакъв начален момент. Тогава спецификацията на закона за движение представлява спецификацията на координатите x и y на движещата се точка като някои непрекъснати функции x=(t) и y=(t) от времето t.
Пример. Нека изведем параметрично уравнение за окръжност с радиус r>0 с център в началото. Нека M(x,y) е произволна точка от тази окръжност и t е ъгълът между радиус вектора и оста Ox, броен обратно на часовниковата стрелка.
Тогава x=r cos x y=r sin t. (4)
Уравнения (4) са параметрични уравнения на разглежданата окръжност. Параметърът t може да приема всякакви стойности, но за да може точката M(x,y) да обиколи окръжността веднъж, диапазонът на изменение на параметъра е ограничен до полусегмента 0t2.
Чрез повдигане на квадрат и събиране на уравнения (4) получаваме общото уравнение на окръжност (2).
2. Полярна координатна система (psc).
Нека изберем оста L ( полярна ос) и определете точката на тази ос O ( полюс). Всяка точка от равнината се определя еднозначно от полярните координати ρ и φ, където
ρ
– полярен радиус, равно на разстоянието от точка M до полюс O (ρ≥0);
φ – ъгълмежду посоката на вектора ОМи L ос ( полярен ъгъл). М(ρ ; φ )
Уравнение на линията в UCSможе да се напише:
ρ=f(φ) (5) явно уравнение на правата в UCS
F=(ρ; φ) (6) имплицитно линейно уравнение в UCS
Връзка между декартови и полярни координати на точка.
(x;y)
(ρ ;
φ ) От триъгълник OMA:
tan φ=(възстановяване на ъгълаφ според известнотополучава се допирателнакато се вземе предвид в кой квадрант се намира точка М).(ρ ; φ )(x;y). x=ρcosφ,y=ρsinφ
Пример . Намерете полярните координати на точките M(3;4) и P(1;-1).
За M:=5, φ=arctg (4/3). За P: ρ=; φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.
Класификация на плоските линии.
Определение 1.Линията се нарича алгебричен,ако в някаква декартова правоъгълна координатна система, ако е дефинирана от уравнението F(x;y)=0 (1), в което функцията F(x;y) е алгебричен полином.
Определение 2.Всяка неалгебрична линия се нарича трансцендентален.
Определение 3. Алгебричната линия се нарича линия на редан, ако в някаква декартова правоъгълна координатна система тази права се определя от уравнение (1), в което функцията F(x;y) е алгебричен полином от n-та степен.
По този начин линия от n-ти ред е линия, дефинирана в някаква декартова правоъгълна система от алгебрично уравнение от степен n с две неизвестни.
Следващата теорема допринася за установяване на коректността на определения 1,2,3.
Теорема(документ на стр. 107). Ако права в някаква декартова правоъгълна координатна система се определя от алгебрично уравнение от степен n, тогава тази линия във всяка друга декартова правоъгълна координатна система се определя от алгебрично уравнение от същата степен n.
