Слайд 1
Слайд 2
Историческа информацияИнтегралното смятане възниква от необходимостта да се създава общ методНамиране на площи, обеми и центрове на тежестта. Този метод е използван в ембрионалната си форма от Архимед. Получава системно развитие през 17 век в произведенията на Кавалиери, Торичели, Фермаме и Паскал. През 1659 г. И. Бароу установява връзка между задачата за намиране на площта и задачата за намиране на тангентата. Нютон и Лейб-Ниц през 70-те години на 17 век отклониха тази връзка от споменатите конкретни геометрични проблеми. Така се установява връзка между интегралното и диференциалното смятане. Тази връзка е използвана от Нютон, Лайбниц и техните ученици, за да развият техниката на интегриране. Интеграционните методи достигат до сегашното си състояние главно в трудовете на Л. Ойлер. Работите на М. В. Остроградски-Го и П. Л. Чебишев завършват развитието на тези методи.
Слайд 3
Понятието интеграл. Нека правата MN е дадена от уравнението И трябва да намерим площта F на криволинейния трапец aABb. Нека разделим отсечката ab на n части (равни или неравни) и построим стъпаловидна фигура, показана със щриховка на чертеж 1. Нейната площ, нейната площ е равна на (1) Ако въведем обозначението, тогава формула (1) ще приеме формата (3) Търсената площ е границата на сумата ( 3) за безкрайно голямо n. Лайбниц въвежда нотацията за тази граница (4) В която (курсив s) е началната буква на думата summa (сума), E изразът показва типична формаотделни компоненти. Лайбниц започва да нарича израза интеграл – от латинската дума integralis – интегрален. Дж. Б. Фурие подобри нотацията на Лайбниц, като й даде формата Тук началната и крайната стойност на x са изрично посочени.
Слайд 4
Връзката между интеграция и диференциация. Ще считаме a за константа, а b за променлива. Тогава интегралът ще бъде функция на b. Диференциалът на тази функция е равен на
Слайд 5
Антипроизводна функция. Нека функцията е производна на функцията, T.S. Има диференциал на функция: тогава функцията се нарича антипроизводна на функцията
Слайд 6
Пример за намиране на антипроизводно. Функцията е антипроизводна от T.S. Има диференциал на функция Функцията е първоизводна на функция.
Слайд 7
Неопределен интеграл. Неопределеният интеграл на даден израз се нарича най обща форманеговата примитивна функция. Неопределеният интеграл на израз се обозначава. Изразът се нарича интегранд израз, функцията се нарича интегранд функция, а променливата x се нарича интегрална променлива. Намирането на неопределен интеграл на дадена функция се нарича интегриране.
GBOU SPO "Навашински морски механичен колеж" Неопределен интеграл. Методи за изчисление
Евдокс от Книд c. 408 - прибл. 355 пр.н.е д. Интегралното смятане се появява през древния период на развитие математическа наукаи започна с метода на изчерпване, който беше разработен от математиците Древна Гърция, и беше набор от правила, разработени от Евдокс от Книд. С помощта на тези правила бяха изчислени площите и обемите
Лайбниц Готфрид Вилхелм (1646-1716) Символът ∫ е въведен от Лайбниц (1675). Този знак е модификация на латинската буква S (първата буква на думата summa).
Готфрид Вилхелм Лайбниц (1646-1716) Исак Нютон (1643 - 1727) Нютон и Лайбниц независимо откриват факт, известен като формулата на Нютон-Лайбниц.
Августин Луи Коши (1789 - 1857) Карл Теодор Вилхелм Вайерщрас (1815 1897) Трудовете на Коши и Вайерщрас обобщават многовековното развитие на интегралното смятане.
Руски математици взеха участие в разработването на интегрално смятане: M.V. Остроградски (1801 – 1862) В.Я. Буняковски (1804 – 1889) П.Л. Чебишев (1821 – 1894)
ИНДЕМИНТЕН ИНТЕГРАЛ Неопределеният интеграл на непрекъсната функция f(x) на интервала (a; b) е всяка от нейните първоизводни функции. Където C е произволна константа (const).
1. f(x) = x n 2. f(x) = C 3. f(x) = sinx 4. f(x) = 6. f(x) = 1. F(x) = Cx+C 2 . F(x) = 3. F(x) = 4. F(x) = sin x +С 5. F(x) = с tan x +С 6. F(x) = - cos x +С 5. f (x) = cosx Задайте съответствието. Намерете обща форма на противопроизводната, която съответства дадена функция. tg x +C
Свойства на интеграла
Свойства на интеграла
Основни методи на интегриране Табличен. 2. Привеждане в таблица чрез трансформиране на подинтегралната функция в сума или разлика. 3. Интегриране с помощта на заместване на променливи (заместване). 4.Интегриране по части.
Намерете първоизводни за функциите: F(x) = 5 x ² + C F(x) = x ³ + C F(x) = - cos x + 5x+ C F(x) = 5 sin x + C F(x) = 2 x ³ + C F(x) = 3 x - x² + C 1) f(x) = 10x 2) f(x) =3 x² 3) f(x) = sin x +5 4) f(x) = 5 cos x 5) f(x) = 6 x ² 6) f(x) = 3-2x
Вярно ли е, че: а) в) б) г)
Пример 1. Интегралът от сумата на изразите е равен на сумата от интегралите на тези изрази.Постоянният множител може да бъде изваден от знака на интеграла
Пример 2. Проверете решението Запишете решението:
Пример 3. Проверете решението Запишете решението:
Пример 4. Проверете решението Напишете решението: Въведете нова променлива и изразете диференциалите:
Пример 5. Проверете решението Запишете решението:
C самостоятелна работа Намерете неопределения интеграл Проверка на решението Ниво „A” (при „3”) Ниво „B” (при „4”) Ниво „C” (при „5”)
Задача Установете съответствие. Намерете обща форма на първоизводна, която съответства на дадената функция.
Антипроизводно. Задача на диференциалното смятане: дадена функция, намерете нейната производна. Проблем с интегралното смятане: намерете функция, като знаете нейната производна. Функция F(x) се нарича първоизводна за функция f(x) на даден интервал, ако за всеки x от този интервал е вярно равенството F ʹ (x)=f(x).
Теорема. Ако функция F(x) е първоизводна за функция f(x) на определен интервал, тогава множеството от всички първоизводни на тази функция има формата F(x)+C, където C R. y x 0 Геометрично: F (x)+C е семейство криви, получени от всяка от тях чрез паралелно прехвърляне по оста на операционния усилвател. C интегрална крива
Пример 2. Намерете всички първообразни функции f(x)=2x и ги изобразете геометрично. y x
Интегранд - интегранд - знак на неопределения интеграл x - променлива на интегриране F(x) + C - множество от всички първоизводни C - константа на интегриране Процесът на намиране на функция с първообразно се нарича интегриране, а разделът на математиката се нарича интегрално смятане .
Свойства на неопределения интеграл Диференциалът на неопределения интеграл е равен на интегранта, а производната на неопределения интеграл е равен на интегранта:
Основни методи на интегриране. Метод на директна интеграция. Директното интегриране е метод за изчисляване на интеграли, при който те се свеждат до таблични чрез прилагане към тях на основните свойства на неопределения интеграл. В този случай функцията интегранд обикновено се трансформира съответно.
Аношина О.В.
Основна литература
1. Шипачев В. С. Висша математика. Основен курс: учебник исеминар за бакалаври [Grift Министерство на образованието на Руската федерация] / V.S.
Шипачев; редактиран от А. Н. Тихонова. - 8-мо изд., преработено. и допълнителни Москва: Юрайт, 2015. - 447 с.
2. Шипачев В. С. Висша математика. Пълен курс: учебник
за академик Бакалавърска степен [Griff UMO] / В. С. Шипачев; редактиран от А.
Н. Тихонова. - 4-то изд., рев. и допълнителни - Москва: Юрайт, 2015. - 608
с
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Висша математика
в упражнения и задачи. [Текст] / P.E. Данко, А.Г. Попов, Т.Я.
Кожевникова. В 2 часа - М.: висше училище, 2007. – 304+415c.
Докладване
1.Тест. Изпълнява се в съответствие с:
Задачи и насокиза извършване на контролна работа
по дисциплината "ПРИЛОЖНА МАТЕМАТИКА", Екатеринбург, Федерална държавна автономна образователна институция
ВО „Руско държавно професионално педагогическо училище
университет“, 2016 г. – 30 с.
опция тестова работаизберете по последната цифра на номера
книжка за оценки.
2.
Изпит
Неопределен интеграл, неговите свойства и изчисляване. Първопроизводен и неопределен интеграл
Определение. Извиква се функцията F xантипроизводна функция f x дефинирана върху
някакъв интервал, ако F x f x за
всеки x от този интервал.
Например функцията cos x е
антипроизводно функции грях x , тъй като
cos x sin x. Очевидно, ако F x е антипроизводно
функция f x , тогава F x C , където C е някаква константа, също е
първоизводна на функцията f x .
Ако F x е някаква антипроизводна
функции f x , тогава всяка функция от формата
Ф x F x C също е
антипроизводна функция f x и произволна
антипроизводното може да бъде представено в тази форма. Определение. Съвкупността от всички
първоизводни на функцията f x ,
определени на някои
интервал се нарича
неопределен интеграл от
функции f x на този интервал и
означена с f x dx. Ако F x е някаква антипроизводна на функцията
f x , тогава те пишат f x dx F x C , въпреки че
по-правилно би било да се пише f x dx F x C .
По установена традиция ще пишем
f x dx F x C .
Така същият символ
f x dx ще означава цялото
набор от първоизводни на функцията f x ,
и всеки елемент от това множество.
Свойства на интеграла
Производната на неопределения интеграл е равна наинтегрална функция и нейния диференциален интегрален израз. Наистина ли:
1.(f (x)dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x)dx (f (x)dx) dx f (x)dx.
Свойства на интеграла
3. Неопределен интеграл отдиференциал непрекъснато (x)
диференцируемата функция е равна на себе си
тази функция до константа:
d (x) (x)dx (x) C,
тъй като (x) е антипроизводно на (x).
Свойства на интеграла
4.Ако функциите f1 x и f 2 x иматса първоизводни, тогава функцията f1 x f 2 x
също има антипроизводно и
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx;
5. Kf x dx K f x dx ;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .
1. dx x C .
а 1
х
2. xa dx
C, (a 1) .
а 1
dx
3. ln x C .
х
х
а
4.a x dx
° С.
в а
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8. 2 ctgx C .
грях х
dx
9. 2 tgx C .
cos x
dx
arctgx C.
10.
2
1 x
Таблица на неопределените интеграли
11.dx
arcsin x C.
1 х 2
dx
1
х
12. 2 2 arctg C .
а
а
a x
13.
14.
15.
dx
а2 х2
х
arcsin C..
а
dx
1
xa
вътре
° С
2
2
2a x a
xa
dx
1
a x
a 2 x 2 2a ln a x C .
dx
16.
х2 а
ln x x 2 a C .
17. shxdx chx C .
18. chxdx shx C .
19.
20.
dx
ch 2 x thx C .
dx
cthx C .
2
ш х
Свойства на диференциалите
Удобен за използване при интегриранесвойства: 1
1. dx d (брадва)
а
1
2. dx d (ax b),
а
1 2
3. xdx dx,
2
1 3
2
4. x dx dx.
3
Примери
Пример. Изчислете cos 5xdx.Решение. В таблицата на интегралите намираме
cos xdx sin x C .
Нека трансформираме този интеграл в табличен,
възползвайки се от факта, че d ax adx .
Тогава:
d 5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5 x
5
5
1
= sin 5 x C .
5
Примери
Пример. Изчислете x3x x 1 dx.
Решение. Тъй като под интегралния знак
тогава е сумата от четири члена
разширете интеграла до сумата от четири
интеграли:
2
3
2
3
2
3
х
3
х
х
1
dx
х
dx
3
х
dx xdx dx.
x3
х4 х2
3
x C
3
4
2
Независимост на вида на променливата
При изчисляване на интеграли е удобноизползвайте следните свойства
интеграли:
Ако f x dx F x C , тогава
f x b dx F x b C .
Ако f x dx F x C , тогава
1
f ax b dx F ax b C .
а
Пример
Нека изчислим1
6
2
3
х
dx
2
3
х
° С
.
3 6
5
Методи на интегриране Интегриране по части
Този метод се основава на формулата udv uv vdu.Използвайки метода на интегриране по части, се вземат следните интеграли:
а) x n sin xdx, където n 1,2...k;
b) x n e x dx, където n 1,2...k;
c) x n arctgxdx, където n 0, 1, 2,... k. ;
d) x n ln xdx, където n 0, 1, 2,... k.
При изчисляване на интеграли a) и b) въведете
n 1
нотация: x n u, след това du nx dx и, например
sin xdx dv, тогава v cos x.
При изчисляване на интеграли c), d), u се означава с функцията
arctgx, ln x, а за dv вземете x n dx.
Примери
Пример. Изчислете x cos xdx.Решение.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .
Примери
Пример. Изчислиx ln xdx
dx
u ln x, du
х
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
в х
=
2
2 х
x2
1
x2
1 x2
ln x xdx
в х
° С.
=
2
2
2
2 2
Метод за заместване на променливи
Нека е необходимо да се намери f x dx идиректно изберете антипроизводното
за f x не можем, но знаем това
тя съществува. Често е възможно да се намери
антипроизводно чрез въвеждане на нова променлива,
според формулата
f x dx f t t dt, където x t и t е ново
променлива
Интегриращи функции, съдържащи квадратен трином
Разгледайте интегралабрадва б
dx,
x px q
съдържащ квадратен тричлен в
знаменател на интегранта
изрази. Може да се вземе и такъв интеграл
чрез метода на заместване на променливи,
като преди това е разпределил в
знаменателят е перфектен квадрат.
2
Пример
Изчислиdx
.
х 4 х 5
Решение. Нека трансформираме x 2 4 x 5,
2
избиране на пълен квадрат по формулата a b 2 a 2 2ab b 2.
Тогава получаваме:
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
х 2 т
dx
dx
дт
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
х 4 х 5
т 1
arctgt C arctg x 2 C.
Пример
намирам1 x
1 x
2
dx
tdt
1 т
2
x t, x t 2,
dx 2tdt
2
t2
1 т
2
дт
1 т
1 т
d(t 2 1)
T
2
1
2
2tdt
2
дт
ln(t 1) 2 dt 2
2
1 т
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 т
2
дт
Определен интеграл, неговите основни свойства. Формула на Нютон-Лайбниц. Приложения на определен интеграл.
Води до концепцията за определен интегралпроблем за намиране на площта на криволинейна
трапецовидни.
Нека е дадено на някакъв интервал
непрекъсната функция y f (x) 0
Задача:
Изградете неговата графика и намерете F площта на фигурата,
ограничени от тази крива, две прави линии x = a и x
= b, а отдолу – отсечката от абсцисната ос между точките
x = a и x = b. Фигурата aABb се нарича
извит трапец
Определение
bf(x)dx
Под определения интеграл
а
от дадена непрекъсната функция f(x) до
този сегмент се разбира
съответното му увеличение
антипроизводно, т.е
F (b) F (a) F (x) /
b
а
Числата a и b са границите на интегриране,
– интеграционен интервал.
правило:
Определеният интеграл е равен на разликатастойности на първоизводния интегранд
функции за горна и долна граница
интеграция.
Чрез въвеждане на обозначението за разл
b
F(b)F(a)F(x)/a
b
f (x)dx F (b) F (a)
а
Формула на Нютон-Лайбниц.
Основни свойства на определен интеграл.
1) Стойността на определения интеграл не зависи отнотация за интеграционната променлива, т.е.
b
b
а
а
f (x)dx f (t)dt
където x и t са произволни букви.
2) Определен интеграл с тъждествен
навън
интеграцията е нулева
а
f (x)dx F (a) F (a) 0
а 3) При пренареждане на границите на интеграция
определеният интеграл променя знака си на противоположния
b
а
f (x)dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x)dx
а
b
(свойство на адитивност)
4) Ако интервалът се раздели на крайно число
частични интервали, след това определен интеграл,
взето през интервала, е равно на сумата от определени
интеграли, взети по всички негови частични интервали.
b
° С
b
f (x)dx f (x)dx
° С
а
а
f(x)dx 5) Постоянният множител може да се регулира
за знака на определения интеграл.
6) Определен интеграл на алгебриката
суми от краен брой непрекъснати
функции е равно на същата алгебрична
сумата от определени интеграли от тях
функции.
3. Замяна на променлива в определен интеграл.
3. Замяна на променлива в определенаинтегрална.
b
f (x)dx f (t) (t)dt
а
a(), b(), (t)
Където
за t [ ; ] , функции (t) и (t) са непрекъснати върху;
5
Пример:
1
=
x 1dx
=
х 1 5
t 0 4
х 1 т
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3
Неправилни интеграли.
Неправилни интеграли.Определение. Нека функцията f(x) е дефинирана върху
безкраен интервал, където b< + . Если
съществува
b
лим
f(x)dx,
b
а
тогава тази граница се нарича неправилна
интеграл на функцията f(x) върху интервала
}
