Трансформация на декартови координати в равнина. Трансформация на декартови правоъгълни координати в равнината и в пространството

Глава I. Вектори в равнината и пространството

§ 13. Преход от една правоъгълна декартова координатна система към друга

Предлагаме ви да разгледате тази тема в две версии.

1) Въз основа на учебника на И. И. Привалов „Аналитична геометрия“ (учебник за висши технически учебни заведения, 1966 г.)

I.I. Привалов "Аналитична геометрия"

§ 1. Задача за координатно преобразуване.

Позицията на точка в равнината се определя от две координати спрямо някаква координатна система. Координатите на точката ще се променят, ако изберем друга координатна система.

Задачата за трансформиране на координатите е така че, знаейки координатите на точка в една координатна система, да намерите нейните координати в друга система.

Този проблем ще бъде решен, ако установим формули, свързващи координатите на произволна точка в две системи, като коефициентите на тези формули ще включват постоянни величини, които определят взаимното положение на системите.

Нека са дадени две декартови координатни системи xOyИ XO 1 Y(фиг. 68).

Позиция на новата система XO 1 Yспрямо старата система xOyще се определи, ако координатите са известни А И b ново начало О 1по старата система и ъгъл α между осите оИ O 1 X. Нека означим с хИ прикоординати на произволна точка М спрямо старата система, през координатите X и Y на същата точка спрямо новата система. Нашата задача е да гарантираме, че старите координати хИ приизразено чрез нови X и Y. Получените формули за трансформация очевидно трябва да включват константи а, б И α .

Ще получим решение на този общ проблем, като разгледаме два специални случая.

1. Началото на координатите се променя, но посоките на осите остават непроменени ( α = 0).

2. Посоките на осите се променят, но началото на координатите остава непроменено ( a = b = 0).

§ 2. Прехвърляне на началото на координатите.

Нека са дадени две системи от декартови координати с различен произход ОИ О 1и същите посоки на осите (фиг. 69).

Нека означим с А И b координати на новото начало О 1в старата система и през x, yИ х, Y-координати на произволна точка М съответно в старата и новата система. Проектиране на точка М върху оста O 1 XИ о, както и точка О 1на ос о, качваме се на оста отри точки О, АхИ Р. Размери на сегменти OA, ARИ ИЛИса свързани със следната връзка:

| ОА| + | AR | = | ИЛИ |. (1)

Забелязвайки, че | ОА| = А , | ИЛИ | = х , | AR | = | O 1 R 1 | = х, преписваме равенството (1) във формата:

А + х = х или х = х + А . (2)

По същия начин, проектиране на M и О 1по ординатната ос получаваме:

г = Y + b (3)

Така, старата координата е равна на новата плюс координатата на новото начало според старата система.

От формули (2) и (3) новите координати могат да бъдат изразени чрез старите:

х = х - а , (2")

Y = y - b . (3")

§ 3. Въртене на координатни оси.

Нека са дадени две декартови координатни системи с еднакъв произход ОТНОСНОи различни посоки на осите (фиг. 70).

Позволявам α има ъгъл между осите оИ ОХ. Нека означим с x, y И X, Yкоординати на произволна точка M, съответно в старата и новата система:

х = | ИЛИ | , при = | PM | ,

х= | ИЛИ 1 |, Y= | P 1 M |.

Помислете за прекъсната линия ИЛИ 1 MPи вземете неговата проекция върху оста о. Отбелязвайки, че проекцията на начупената линия е равна на проекцията на затварящия сегмент (Глава I, § 8), имаме:

ИЛИ 1 MP = | ИЛИ |. (4)

От друга страна, проекцията на прекъсната линия е равна на сумата от проекциите на нейните връзки (глава I, § 8); следователно равенство (4) ще бъде записано по следния начин:

и т.н ИЛИ 1+ пр P 1 M+ пр MP= | ИЛИ | (4")

Тъй като проекцията на насочен сегмент е равна на неговата големина, умножена по косинуса на ъгъла между оста на проекциите и оста, върху която лежи сегментът (глава I, § 8), тогава

и т.н ИЛИ 1 = х cos α

и т.н P 1 M = Y cos (90° + α ) = - Yгрях α ,

пр MP= 0.

Следователно равенството (4") ни дава:

х = х cos α - Yгрях α . (5)

По същия начин, проектиране на същата полилиния върху оста OU, получаваме израз за при. Всъщност имаме:

и т.н ИЛИ 1+ пр P 1 M+ пр MP= стр ИЛИ = 0.

Забелязвайки това

и т.н ИЛИ 1 = хзащото ( α - 90°) = хгрях α ,

и т.н P 1 M = Y cos α ,

пр MP = - г ,

ще има:

хгрях α + Y cos α - г = 0,

г = хгрях α + Y cos α . (6)

От формули (5) и (6) получаваме нови координати хИ Yизразено чрез стар х И при , ако решим уравнения (5) и (6) по отношение на хИ Y.

Коментирайте.Формули (5) и (6) могат да бъдат получени по различен начин.

От фиг. 71 имаме:

х = ИЛИ = OM cos ( α + φ ) = OM cos α cos φ - ОМ грях α грях φ ,

при = RM = OM sin ( α + φ ) = OM sin α cos φ + OM cos α грях φ .

Тъй като (Глава I, § 11) OM cos φ = х, ОМ грях φ =Y, Че

х = х cos α - Yгрях α , (5)

г = хгрях α + Y cos α . (6)

§ 4. Общ случай.

Нека са дадени две декартови координатни системи с различни начала и различни посоки на осите (фиг. 72).

Нека означим с А И b координати на новото начало ОТНОСНО, по старата система, чрез α - ъгълът на въртене на координатните оси и накрая през x, y И X, Y- координати на произволна точка M съответно по старата и новата система.

Да изразя х И при през хИ Y, нека въведем спомагателна координатна система х 1 О 1 г 1, чието начало ще бъде поставено в ново начало ОТНОСНО 1, и вземете посоките на осите да съвпадат с посоките на старите оси. Позволявам х 1 и г 1 посочват координатите на точка М спрямо тази спомагателна система. Преминавайки от старата координатна система към спомагателната, имаме (§ 2):

х = х 1 + а , y = y 1 +б .

х 1 = х cos α - Yгрях α , г 1 = хгрях α + Y cos α .

Замяна х 1 и г 1 в предишните формули с техните изрази от последните формули, накрая намираме:

х = х cos α - Yгрях α + а

г = хгрях α + Y cos α + b (аз)

Формули (I) съдържат като специален случай формулите на §§ 2 и 3. Така, когато α = 0 формули (I) се превръщат в

х = х + А , г = Y + b ,

и когато a = b = 0 имаме:

х = х cos α - Yгрях α , г = хгрях α + Y cos α .

От формули (I) получаваме нови координати хИ Yизразено чрез стар х И при , ако уравнения (I) са разрешими по отношение на хИ Y.

Нека отбележим едно много важно свойство на формулите (I): те са линейни по отношение на хИ Y, т.е формата:

х = AX + BY + C, г = А 1 X+B 1 Y+C 1 .

Лесно е да проверите дали новите координати са хИ Yще се изрази чрез стар х И при също чрез формули от първа степен относно х И u.

Г.Н.Яковлев "Геометрия"

§ 13. Преход от една правоъгълна декартова координатна система към друга

Чрез избора на правоъгълна декартова координатна система се установява едно-към-едно съответствие между точки на равнината и подредени двойки реални числа. Това означава, че всяка точка в равнината съответства на една двойка числа и всяка подредена двойка реални числа съответства на една точка.

Изборът на една или друга координатна система не е ограничен по никакъв начин и се определя във всеки конкретен случай само от съображения за удобство. Често едно и също множество трябва да се разглежда в различни координатни системи. Една и съща точка в различни системи очевидно има различни координати. Набор от точки (по-специално окръжност, парабола, права линия) в различни координатни системи се дава от различни уравнения.

Нека разберем как координатите на точките в равнината се трансформират при преминаване от една координатна система в друга.

Нека на равнината са дадени две правоъгълни координатни системи: O, i, j и около", i", j" (фиг. 41).

Първата система с начало в точка O и базисни вектори аз И й нека се съгласим да го наречем стария, втория - с начало в точка О" и базисните вектори аз" И j" - нов.

Ще считаме позицията на новата система спрямо старата известна: нека точка O" в старата система има координати ( a;b ), вектор аз" форми с вектор аз ъгъл α . Ъгъл α Броим в посока, обратна на движението на часовниковата стрелка.

Нека разгледаме произволна точка M. Нека означим нейните координати в старата система с ( x;y ), в новия - през ( x";y" ). Нашата задача е да установим връзката между старите и новите координати на точка M.

Нека свържем по двойки точките O и O", O" и M, O и M. Използвайки правилото на триъгълника, получаваме

ОМ > = ОО" > + О"М > . (1)

Нека разширим векторите ОМ> и ОО"> чрез базисни вектори аз И й , и векторът О"М> чрез базисни вектори аз" И j" :

ОМ > = х аз+ y й , ОО" > = а аз+б й , О"М > = х" аз"+ y" й "

Сега равенството (1) може да се запише по следния начин:

х аз+ y й = (а аз+б й ) + (х" аз"+ y" й "). (2)

Нови базисни вектори аз" И j" се разширяват според старите базисни вектори аз И й по следния начин:

аз" =cos α аз + грях α й ,

j" =cos( π / 2 + α ) аз +грях( π / 2 + α ) й = - грях α аз +cos α й .

Заместване на намерените изрази за аз" И j" във формула (2), получаваме векторното равенство

х аз+ y й = а аз+б й + Х"(тъй като α аз + грях α й ) + y"(- грях α аз +cos α й )

еквивалентно на две числени равенства:

х = а + Х" cos α - y"грях α ,
при = b+ Х"грях α + y" cos α

Формули (3) дават необходимите изрази за старите координати хИ приточки през новите си координати Х"И y". За да се намерят изрази за нови координати по отношение на стари, е достатъчно да се реши системата от уравнения (3) по отношение на неизвестните Х"И y".

И така, координатите на точките, когато началото на координатите се прехвърля към точката ( А; b ) и завъртане на осите под ъгъл α се трансформират по формули (3).

Ако само произходът на координатите се промени и посоките на осите останат същите, тогава, ако приемем във формули (3) α = 0, получаваме

Формули (5) се наричат ротационни формули.

Задача 1.Нека координатите на новото начало в старата система са (2; 3), а координатите на точка А в старата система (4; -1). Намерете координатите на точка А в новата система, ако посоките на осите останат същите.

Съгласно формули (4) имаме

Отговор. A(2;-4)

Задача 2.Нека координатите на точка P в старата система са (-2; 1), а в новата система, чиито посоки на осите са еднакви, координатите на тази точка (5; 3). Намерете координатите на новото начало в старата система.

A От формули (4) получаваме

- 2= а + 5
1 = b + 3

където А = - 7, b = - 2.

Отговор. (-7; -2).

Задача 3.Координати на точка А в новата система (4; 2). Намерете координатите на тази точка в старата система, ако началото остава същото и координатните оси на старата система са завъртяни на ъгъл α = 45°.

С помощта на формули (5) намираме

Задача 4.Координати на точка А в старата система (2 √3 ; - √3 ). Намерете координатите на тази точка в новата система, ако началото на старата система е преместено в точка (-1;-2) и осите са завъртяни на ъгъл α = 30°.

Съгласно формули (3) имаме

След като реши тази система от уравнения за Х"И y", намираме: Х" = 4, y" = -2.

Отговор. А (4; -2).

Задача 5.Дадено е уравнението на правата при = 2х - 6. Намерете уравнението на същата права в новата координатна система, която се получава от старата чрез завъртане на осите под ъгъл α = 45°.

Формулите за ротация в този случай имат формата

Замяна на правата линия в уравнението при = 2х - 6 стари променливи х И при ново, получаваме уравнението

√ 2 / 2 (x" + y") = 2 √ 2 / 2 (x" - y") - 6 ,

който след опростявания приема формата y" = х" / 3 - 2√2

Нека на равнината са дадени две произволни декартови правоъгълни координатни системи. Първият се определя от началото на O и базисните вектори аз й , вторият – център ОТНОСНО'и базисни вектори аз ’ й ’ .

Нека си поставим за цел да изразим x y координатите на някаква точка M спрямо първата координатна система през х’ И г’ – координати на същата точка спрямо втората система.

забележи това

Нека означим координатите на точка O' спрямо първата система с a и b:

Нека разширим векторите аз ’ И й ’ по основа аз й :

(*)

Освен това имаме:
. Нека въведем тук разширяването на векторите по отношение на базиса аз ’ й ’ :

оттук

Можем да заключим: каквито и да са две произволни декартови системи в равнината, координатите на всяка точка от равнината спрямо първата система са линейни функции на координатите на същата точка спрямо втората система.

Нека първо умножим уравненията (*) скаларно по аз , след това на й :

Нека означим с  ъгъла между векторите аз И аз ’ . Координатна система аз й може да се комбинира със системата аз ’ й ’ чрез паралелна транслация и последващо завъртане под ъгъл . Но тук е възможна и опция за дъга: ъгълът между базисните вектори аз аз ’ също  и ъгълът между базисните вектори й ’ й ’ равно на  - . Тези системи не могат да се комбинират с паралелна транслация и ротация. Също така е необходимо да се промени посоката на оста прикъм обратното.

От формула (**) получаваме в първия случай:

Във втория случай

Формулите за преобразуване са:

Няма да разглеждаме втория случай. Нека се съгласим да считаме и двете системи за правилни.

Тези. заключение: каквито и да са двете десни координатни системи, първата от тях може да се комбинира с втората чрез паралелна транслация и последващо завъртане около началото на определен ъгъл .

Формули за паралелен трансфер:

Формули за въртене на оси:

Обратни преобразувания:

Трансформация на декартови правоъгълни координати в пространството.

В пространството, разсъждавайки по подобен начин, можем да напишем:

(***)

И за координатите вземете:

(****)

И така, каквито и да са две произволни координатни системи в пространството, координатите x y z на някаква точка спрямо първата система са линейни функции на координатите х’ г’ z’ същата точка спрямо втората координатна система.

Умножавайки всяко от равенствата (***) скаларно по аз ’ й ’ к ’ получаваме:

IN Нека изясним геометричния смисъл на формулите за трансформация (****). За да направите това, приемете, че и двете системи имат общо начало: а = b = ° С = 0 .

Нека да разгледаме три ъгъла, които напълно характеризират местоположението на осите на втората система спрямо първата.

Първият ъгъл се образува от оста x и оста u, която е пресечната точка на равнините xOy и x’Oy’. Посоката на ъгъла е най-късият завой от оста x към y. Нека означим ъгъла с . Вторият ъгъл  е ъгълът, който не превишава  между осите Oz и Oz’. И накрая, третият ъгъл  е ъгълът между оста u и Ox’, измерен от оста u в посоката на най-късия завой от Ox’ към Oy’. Тези ъгли се наричат ъгли на Ойлер.

Трансформацията на първата система във втората може да се представи като последователност от три завъртания: под ъгъл  спрямо оста Oz; под ъгъл  спрямо оста Ox; и под ъгъл  спрямо оста Oz’.

Числата  ij могат да бъдат изразени чрез ъгли на Ойлер. Няма да записваме тези формули, защото са тромави.

Самата трансформация е суперпозиция на паралелна транслация и три последователни завъртания през ъгли на Ойлер.

Всички тези аргументи могат да бъдат проведени за случая, когато и двете системи са леви или имат различна ориентация.

Ако имаме две произволни системи, тогава, най-общо казано, можем да ги комбинираме чрез паралелна транслация и едно завъртане в пространството около определена ос. Няма да я търсим.

Глава 1. Добавяне. Трансформация на декартови правоъгълни координати в равнината и в пространството. Специални координатни системи в равнината и пространството.

Правилата за конструиране на координатни системи в равнина и в пространството са разгледани в основната част на глава 1. Беше отбелязано удобството на използването на правоъгълни координатни системи. При практическото използване на инструменти за аналитична геометрия често има нужда от трансформиране на възприетата координатна система. Това обикновено е продиктувано от съображения за удобство: геометричните изображения са опростени, аналитичните модели и алгебричните изрази, използвани в изчисленията, стават по-ясни.

Построяването и използването на специални координатни системи: полярни, цилиндрични и сферични е продиктувано от геометричния смисъл на решаваната задача. Моделирането с помощта на специални координатни системи често улеснява разработването и използването на аналитични модели при решаването на практически проблеми.

Резултатите, получени в приложението към глава 1, ще бъдат използвани в линейната алгебра, повечето от тях в математиката и физиката.

Трансформация на декартови правоъгълни координати в равнината и в пространството.

При разглеждането на проблема за конструиране на координатна система в равнина и в пространството беше отбелязано, че координатната система се формира от цифрови оси, пресичащи се в една точка: две оси са необходими в равнината, три в пространството. Във връзка с изграждането на аналитични модели на вектори, въвеждането на скаларния продукт на операциите на векторите и решаването на проблеми с геометрично съдържание беше показано, че използването на правоъгълни координатни системи е най-предпочитано.

Ако разгледаме проблема с преобразуването на конкретна координатна система абстрактно, тогава в общия случай би било възможно да се позволи произволно движение на координатните оси в дадено пространство с правото на произволно преименуване на осите.

Ще започнем от първичната концепция референтни системи , приети във физиката. Чрез наблюдение на движението на телата беше открито, че движението на изолирано тяло не може да бъде определено само по себе си. Трябва да имате поне още едно тяло, спрямо което се наблюдава движение, тоест промяна в него роднина провизии. За да се получат аналитични модели, закони и движение, координатна система беше свързана с това второ тяло като референтна система и по такъв начин, че координатната система беше твърдо !

Тъй като произволното движение на твърдо тяло от една точка в пространството в друга може да бъде представено от две независими движения: транслационно и ротационно, възможностите за трансформиране на координатната система бяха ограничени до две движения:

1). Паралелен трансфер: следваме само една точка – точката.

2). Въртене на осите на координатната система спрямо точка: като твърдо тяло.

Преобразуване на декартови правоъгълни координати в равнина.

Нека имаме координатни системи на равнината: , и . Координатната система се получава чрез паралелна транслация на системата. Координатната система се получава чрез завъртане на системата под ъгъл , а положителната посока на въртене се приема за въртене на оста обратно на часовниковата стрелка.

Нека определим базисните вектори за приетите координатни системи. Тъй като системата е получена чрез паралелно прехвърляне на системата, тогава и за двете системи приемаме базисни вектори: , и единични и съвпадащи по посока с координатните оси , съответно. За системата като базисни вектори ще вземем единични вектори, съвпадащи по посока с осите , .

Нека е дадена координатна система и определена точка = в нея. Ще приемем, че преди трансформацията имаме съвпадащи координатни системи и . Нека приложим паралелна транслация към координатната система, определена от вектора. Необходимо е да се дефинира координатната трансформация на точка. Нека използваме векторното равенство: = + , или:

Нека илюстрираме трансформацията на паралелния превод с пример, известен в елементарната алгебра.

Пример Г–1 : Дадено е уравнението на параболата: = = . Редуцирайте уравнението на тази парабола до нейната най-проста форма.

Решение:

1). Да използваме техниката подчертаване на пълен квадрат : = , което лесно може да се представи като: –3 = .

2). Нека приложим трансформацията на координатите - паралелен трансфер := . След това уравнението на параболата приема формата: . Тази трансформация в алгебрата се дефинира по следния начин: парабола = получава се чрез изместване на най-простата парабола надясно с 2 и нагоре с 3 единици.

Отговор: Най-простата форма на парабола е: .

Нека е дадена координатна система и определена точка = в нея. Ще приемем, че преди трансформацията имаме съвпадащи координатни системи и . Нека приложим ротационна трансформация към координатната система, така че спрямо първоначалната си позиция, тоест спрямо системата, тя да се окаже завъртяна на ъгъл . Необходимо е да се определи координатната трансформация на точката = . Нека запишем вектора в координатните системи и : = . (2) =1. От теорията на линиите от втори ред следва, че е получено най-простото (канонично!) уравнение на елипсата.

Отговор: най-простата форма на дадена права: =1 е каноничното уравнение на елипса.

1) Преход от една декартова правоъгълна координатна система на равнина към друга декартова правоъгълна система със същата ориентация и същия произход.

Да приемем, че на равнината са въведени две декартови правоъгълни координатни системи xOyи с общ произход ОТНОСНО, имащи същата ориентация (фиг. 145). Нека означим единичните вектори на осите оИ OUсъответно през и , и единичните вектори на осите и през и . И накрая, нека е ъгълът от оста окъм оста. Позволявам хИ при– координати на произволна точка Мв системата xOy, и и са координатите на една и съща точка Мв системата.

Тъй като ъгълът от оста окъм вектора е равно на , тогава координатите на вектора

Ъгъл от оста окъм вектор е равно на ; следователно координатите на вектора са равни.

Формулите (3) § 97 приемат формата

Преходна матрица от една декартова xOyправоъгълна координатна система към друга правоъгълна система със същата ориентация има формата

Матрицата се нарича ортогонална, ако сумата от квадратите на елементите, разположени във всяка колона, е равна на 1, а сумата от продуктите на съответните елементи на различни колони е равна на нула, т.е. Ако

Така преходната матрица (2) от една правоъгълна координатна система към друга правоъгълна система със същата ориентация е ортогонална. Обърнете внимание също, че детерминантата на тази матрица е +1:

Обратно, ако е дадена ортогонална матрица (3) с детерминанта, равна на +1, и в равнината е въведена декартова правоъгълна координатна система xOy, тогава по силата на отношенията (4) векторите са както единични, така и взаимно перпендикулярни, следователно координатите на вектора в системата xOyса равни на и , където е ъгълът от вектор към вектор, и тъй като векторът е единица и получаваме от вектора чрез завъртане с , тогава или , или .

Втората възможност е изключена, тъй като ако имахме , тогава ни е дадено, че .

Това означава , и матрицата Аизглежда като

тези. е преходната матрица от една правоъгълна координатна система xOyкъм друга правоъгълна система със същата ориентация и ъгълът .

2. Преход от една декартова правоъгълна координатна система на равнина към друга декартова правоъгълна система с противоположна ориентация и същия произход.

Нека на равнината са въведени две декартови правоъгълни координатни системи xOyи с общ произход ОТНОСНО, но с противоположна ориентация, нека означим ъгъла от оста окъм оста през (ориентацията на равнината се задава от системата xOy).

Тъй като ъгълът от оста окъм вектора е равно на , то координатите на вектора са равни:

Сега ъгълът от вектор към вектор е равен (фиг. 146), така че ъгълът от оста она вектора е равен (по теоремата на Chasles за ъглите) и следователно координатите на вектора са равни:

И формулите (3) § 97 приемат формата

Преходна матрица

ортогонален, но неговата детерминанта е –1. (7)

Обратно, всяка ортогонална матрица с детерминанта, равна на –1, определя трансформацията на една правоъгълна координатна система в равнината в друга правоъгълна система със същия произход, но противоположна ориентация. И така, ако две декартови правоъгълни координатни системи xOyи тогава имат общо начало

Където х, при– координати на всяка точка от системата xOy; и са координатите на същата точка в системата, и

ортогонална матрица.

Обратно ако

произволна ортогонална матрица, след това отношенията

изразява трансформацията на декартова правоъгълна координатна система в декартова правоъгълна система със същия произход; - координати в системата xOyединичен вектор, даващ положителната посока на оста; - координати в системата xOyединичен вектор, даващ положителната посока на оста.

координатни системи xOyи имат еднаква ориентация, а в този случай обратното.

3. Обща трансформация на една декартова правоъгълна координатна система на равнина в друга правоъгълна система.

Въз основа на точки 1) и 2) от този параграф, както и въз основа на § 96, заключаваме, че ако в равнината се въведат правоъгълни координатни системи xOyи , след това координатите хИ припроизволна точка Мравнини в системата xOyс координати на същата точка Мв системата са свързани с отношения - координатите на началото на координатната система в системата xOy.

Имайте предвид, че старите и новите координати х, прии , векторите под общата трансформация на декартовата правоъгълна координатна система са свързани с отношенията

в случай, че системите xOyи имат еднаква ориентация и взаимоотношения

в случай, че тези системи имат противоположна ориентация, или във формата

ортогонална матрица. Трансформациите (10) и (11) се наричат ортогонални.