Научете повече за степените и степенуването. Подробности за степените и степенуването Степен с ирационален показател

Калкулаторът ви помага бързо да увеличите число на степен онлайн. Основата на степента може да бъде всяко число (както цели, така и реални). Показателят може също да бъде цяло число или реално число, а също така може да бъде положителен или отрицателен. Трябва да се помни, че за отрицателни числаПовдигането до степен, която не е цяло число, е недефинирано и следователно калкулаторът ще докладва грешка, ако опитате да го направите.

Калкулатор за степен

Издигнете се на власт

Степени: 92067

Какво е естествена степен на число?

Числото p се нарича n-та степен на число, ако p е равно на числото a, умножено по себе си n пъти: p = a n = a·...·a
n - наречен експонент, а числото a е степен основа.

Как да повдигнем число на естествена степен?

За да разберете как да повишавате различни числа до естествени степени, разгледайте няколко примера:

Пример 1. Повишете числото три на четвърта степен. Тоест, необходимо е да се изчисли 3 4
Решение: както бе споменато по-горе, 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
Отговор: 3 4 = 81 .

Пример 2. Повишете числото пет на пета степен. Тоест, необходимо е да се изчисли 5 5
Решение: по същия начин, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Отговор: 5 5 = 3125 .

По този начин, за да повдигнете число на естествена степен, просто трябва да го умножите по себе си n пъти.

Какво е отрицателна степен на число?

В този случай отрицателна степен съществува само за ненулеви числа, тъй като в противен случай ще се получи деление на нула.

Как да повдигна число на отрицателна цяло число?

За да повдигнете ненулево число на отрицателна степен, трябва да изчислите стойността на това число на същата положителна степен и да разделите едно на резултата.

Пример 1. Повишете числото две на отрицателна четвърта степен. Тоест, трябва да изчислите 2 -4

Отговор: 2 -4 = 0.0625 .

Време е да направим малко математика. Помните ли още колко е, ако две се умножат по две?

Ако някой е забравил, ще бъдат четири. Изглежда, че всеки помни и знае таблицата за умножение, но открих огромен брой заявки към Yandex като „таблица за умножение“ или дори „изтегляне на таблица за умножение“ (!). Именно за тази категория потребители, както и за по-напредналите, които вече се интересуват от квадрати и степени, публикувам всички тези таблици. Можете дори да изтеглите за ваше здраве! Така:

Таблица за умножение

(цели числа от 1 до 20)

Таблица с квадрати

(цели числа от 1 до 100)

Градусна таблица

(цели числа от 1 до 10)

1 на степен:

2 на степен:

3 на степен:

4 на степен:

5 на степен:

6 на степен:

7 на степен:

7 10 = 282475249

8 на степен:

8 10 = 1073741824

9 на степен:

9 10 = 3486784401

10 на степен:

10 8 = 100000000

10 9 = 1000000000

Когачислото се самоумножава на себе си, работаНаречен степен.

Така че 2,2 = 4, квадрат или втора степен на 2
2.2.2 = 8, куб или трета степен.
2.2.2.2 = 16, четвърта степен.

Освен това 10,10 = 100, втората степен на 10.
10.10.10 = 1000, трета степен.
10.10.10.10 = 10000 четвърта степен.

И a.a = aa, втора степен на a
a.a.a = aaa, трета степен на a
a.a.a.a = aaaa, четвърта степен на a

Извиква се оригиналният номер коренстепени на това число, защото това е числото, от което са създадени степените.

Това обаче не е съвсем удобно, особено в случая високи градуси, запишете всички фактори, които съставят степените. Следователно се използва метод за стенографско означение. Коренът на степента се изписва само веднъж, а отдясно и малко по-нагоре близо до него, но с малко по-малък шрифт, се изписва колко пъти коренът действа като фактор. Това число или буква се нарича експонентили степенчисла. И така, a 2 е равно на a.a или aa, защото коренът a трябва да се умножи по себе си два пъти, за да се получи степента aa. Освен това 3 означава ааа, тоест тук а се повтаря три пътикато множител.

Показателят на първа степен е 1, но обикновено не се записва. И така, 1 се записва като a.

Не трябва да бъркате степените с коефициенти. Коефициентът показва колко често се приема стойността Частцялото. Силата показва колко често се приема дадено количество факторв работата.
И така, 4a = a + a + a + a. Но 4 = a.a.a.a

Схемата за нотиране на мощност има особеното предимство, че ни позволява да изразяваме неизвестенстепен. За тази цел степента се записва вместо число писмо. В процеса на решаване на задача можем да получим количество, което знаем, че е някоистепен на друга величина. Но засега не знаем дали е квадрат, куб или друга, по-висока степен. И така, в израза a x степенният показател означава, че този израз има някоистепен, макар и неопределена каква степен. И така, b m и d n са повдигнати на степени на m и n. Когато степенният показател бъде намерен, номерсе замества вместо буква. Така че, ако m=3, тогава b m = b 3 ; но ако m = 5, тогава b m = b 5.

Методът за писане на стойности с помощта на мощности също е голямо предимство при използване изрази. Така (a + b + d) 3 е (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), тоест кубът на тричлена (a + b + d) . Но ако напишем този израз, след като го повдигнем до куб, той ще изглежда така
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Ако вземем поредица от степени, чиито показатели нарастват или намаляват с 1, ще открием, че произведението нараства с общ множителили намалява с общ делител и този множител или делител е оригиналното число, което е повдигнато на степен.

И така, в поредицата ааааа, аааа, ааа, аа, а;
или 5, 4, 3, 2, 1;
индикаторите, ако се броят отдясно наляво, са 1, 2, 3, 4, 5; а разликата между стойностите им е 1. Ако започнем на дясно умножават сечрез a, ние успешно ще получим множество стойности.

Така че a.a = a 2 , втори член. И a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , трети член. a 4 .a = a 5 .

Ако започнем наляво разделямдо а,
получаваме 5:a = a 4 и a 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Но този процес на разделяне може да бъде продължен по-нататък и ние получаваме нов набор от стойности.

И така, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Пълният ред ще бъде: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Или 5, 4, 3, 2, a, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3.

Ето ги и стойностите на дясноот един има обратенстойности вляво от едно. Следователно тези степени могат да бъдат наречени обратни степениа. Можем също да кажем, че степените отляво са обратни на степените отдясно.

И така, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. И 1:(1/a 3) = a 3.

Същият план за запис може да се приложи към полиноми. И така, за a + b получаваме множеството,
(a + b) 3, (a + b) 2, (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2, 1/(a + b) 3.

За удобство се използва друга форма на писане на реципрочни правомощия.

Според тази форма 1/a или 1/a 1 = a -1. И 1/aaa или 1/a 3 = a -3 .
1/aa или 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa или 1/a 4 = a -4 .

И за да направим пълна серия с 1 като обща разлика с показатели, a/a или 1 се счита за нещо, което няма степен и се записва като 0 .

След това, като се вземат предвид преките и обратните правомощия
вместо аааа, ааа, аа, а, а/а, 1/а, 1/аа, 1/ааа, 1/аааа
можете да напишете 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4.
Или +4, +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3, -4.

И поредица от само отделни степени ще изглежда така:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Коренът на степен може да бъде изразен с повече от една буква.

Така aa.aa или (aa) 2 е втората степен на aa.
И aa.aa.aa или (aa) 3 е третата степен на aa.

Всички степени на числото 1 са еднакви: 1.1 или 1.1.1. ще бъде равно на 1.

Степенуването е намиране на стойността на всяко число чрез умножаване на това число по себе си. Правило за степенуване:

Умножете количеството по себе си толкова пъти, колкото е посочено в степента на числото.

Това правило е общо за всички примери, които могат да възникнат по време на процеса на степенуване. Но е редно да се даде обяснение как се прилага в конкретни случаи.

Ако само един член е повдигнат на степен, тогава той се умножава по себе си толкова пъти, колкото е посочено от експонентата.

Четвъртата степен на а е 4 или aaaa. (Чл. 195.)
Шестата степен на y е y 6 или yyyyyy.
N-та степен на x е x n или xxx..... повторено n пъти.

Ако е необходимо да се повдигне израз на няколко члена на степен, принципът, че мощността на произведението на няколко фактора е равна на произведението на тези фактори, повдигнато на степен.

Така че (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Но ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
И така, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Следователно, при намирането на мощността на продукт, можем или да работим с целия продукт наведнъж, или можем да работим с всеки фактор поотделно и след това да умножим техните стойности със степените.

Пример 1. Четвъртата степен на dhy е (dhy) 4, или d 4 h 4 y 4.

Пример 2. Третата степен е 4b, има (4b) 3, или 4 3 b 3, или 64b 3.

Пример 3. N-та степен на 6ad е (6ad) n или 6 n и n d n.

Пример 4. Третата степен на 3m.2y е (3m.2y) 3, или 27m 3 .8y 3.

Степента на бином, състоящ се от членове, свързани с + и -, се изчислява чрез умножаване на неговите членове. да

(a + b) 1 = a + b, първа степен.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, втора степен (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, трета степен.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, четвърта степен.

Квадратът на a - b е a 2 - 2ab + b 2.

Нека разгледаме поредица от числа, първото от които е равно на 1, а всяко следващо е два пъти по-голямо: 1, 2, 4, 8, 16, ... С помощта на експоненти може да се запише в еквивалентна форма: 2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4, ... Нарича се съвсем очаквано: последователност от степени на две.Изглежда, че в него няма нищо изключително - последователността е като последователност, не по-добра и не по-лоша от другите. Той обаче има много забележителни свойства.

Несъмнено много читатели са го срещали в класическата история за изобретателя на шаха, който поискал от владетеля като награда за първото поле на шахматната дъска едно зърно пшеница, за второто - две, за третото - четири и т.н. на, като през цялото време удвоявате броя на зърната. Ясно е, че общият им брой е равен на

С= 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 63 . (1)

Но тъй като това количество е невероятно голямо и многократно надвишава годишната зърнена реколта по света, се оказа, че мъдрецът е олющил владетеля като пръчка.

Но нека сега си зададем друг въпрос: как да изчислим стойността с най-малко труд С? Собствениците на калкулатор (или освен това на компютър) могат лесно да извършват умножения в обозримо време и след това да добавят получените 64 числа, получавайки отговора: 18 446 744 073 709 551 615. И тъй като обемът на изчисленията е значителен, вероятността от грешка е много голяма Високо.

По-хитрите могат да забележат в тази последователност геометрична прогресия. Тези, които не са запознати с тази концепция (или тези, които просто са забравили стандартната формула за сумата от геометрична прогресия), могат да използват следното разсъждение. Нека умножим двете страни на равенството (1) по 2. Тъй като, когато степен на две се удвои, неговият показател нараства с 1, получаваме

2С = 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 64 . (2)

Сега от (2) изваждаме (1). От лявата страна, разбира се, се оказва 2 С – С = С. От дясната страна ще има масово взаимно унищожаване на почти всички степени на две - от 2 1 до 2 63 включително, и ще остане само 2 64 – 2 0 = 2 64 – 1. Така че:

S= 2 64 – 1.

Е, изразът беше значително опростен и сега, като имате калкулатор, който ви позволява да повдигнете на степен, можете да намерите стойността на това количество без най-малък проблем.

И ако нямате калкулатор, какво трябва да направите? Да умножа 64 двойки в колона? Какво друго липсваше! Опитен инженер или приложен математик, за когото времето е основен фактор, би могъл бързо оценкаотговор, т.е. намерете го приблизително с приемлива точност. По правило в ежедневието (и в повечето природни науки) грешка от 2–3% е напълно приемлива и ако не надвишава 1%, тогава това е просто страхотно! Оказва се, че можете да изчислите нашите зърна с такава грешка изобщо без калкулатор и само за няколко минути. как? Сега ще видите.

И така, трябва да намерим възможно най-точно произведението на 64 двойки (веднага ще отхвърлим единицата поради нейната незначителност). Нека ги разделим на отделна група от 4 двойки и още 6 групи от по 10 двойки. Произведението от двойки в отделна група е равно на 2 4 = 16. А произведението от 10 двойки във всяка от другите групи е равно на 2 10 = 1024 (вижте, ако се съмнявате!). Но 1024 е около 1000, т.е. 10 3. Ето защо Стрябва да бъде близо до произведението на числото 16 от 6 числа, всяко от които е равно на 10 3, т.е. S ≈ 16·10 18 (тъй като 18 = 3·6). Вярно е, че грешката тук все още е голяма: в края на краищата, 6 пъти при замяната на 1024 с 1000 сгрешихме 1,024 пъти и общо сбъркахме, както е лесно да се види, 1,024 6 пъти. И какво сега - допълнително да умножа 1,024 шест пъти по себе си? Не, ще се справим! Известно е, че за броя х, което е многократно по-малко от 1, следната приблизителна формула е валидна с висока точност: (1 + х) н ≈ 1 + xn.

Следователно 1,024 6 = (1 + 0,24) 6 ≈ 1 + 0,24 6 = 1,144. Следователно, трябва да умножим числото 16·10 18, което намерихме, по числото 1,144, което води до 18 304 000 000 000 000 000, а това се различава от верния отговор с по-малко от 1%. Това искахме!

IN в такъв случайимахме голям късмет: една от степените на две (а именно десетата) се оказа много близка до една от степените на десет (а именно третата). Това ни позволява бързо да оценим стойността на всяка степен на две, не непременно 64-та. Сред правомощията на други числа това е рядко. Например 5 10 се различава от 10 7 също с 1,024 пъти, но... в по-малка степен. Това обаче е едно и също нещо: тъй като 2 10 5 10 = 10 10, тогава колко пъти 2 10 превъзхождащ 10 3, същия брой пъти 5 10 по-малко, отколкото 10 7 .

други интересна функцияразглежданата последователност е, че всяко естествено число може да бъде конструирано от различнистепени на две и единствения начин. Например, за номера на текущата година имаме

2012 = 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 + 2 10 .

Доказването на тази възможност и уникалност не е трудно. Да започнем с възможности.Да предположим, че трябва да представим определено естествено число като сбор от различни степени на две н. Първо, нека го запишем като сбор нединици. Тъй като едно е 2 0, тогава първоначално нима сума идентиченстепени на две. След това ще започнем да ги комбинираме по двойки. Сумата от две числа, равна на 2 0, е 2 1, така че резултатът е очевидно по-малкоброят членове, равен на 2 1, и евентуално едно число 2 0, ако за него не е намерена двойка. След това комбинираме еднакви членове 2 1 по двойки, получавайки още по-малък брой числа 2 2 (тук също е възможна появата на несдвоена степен на две 2 1). След това отново комбинираме равни членове по двойки и т.н. Рано или късно процесът ще приключи, защото сумата равни степениброят на двойките намалява след всяко обединение. Когато стане равно на 1, въпросът е приключил. Остава само да се съберат всички получени несдвоени степени на две - и представлението е готово.

Колкото до доказателството уникалностпредставяния, тогава методът „чрез противоречие“ е много подходящ тук. Нека същото число нуспя да бъде представен във формата двенабори от различни степени на две, които не съвпадат напълно (т.е. има степени на две, които са включени в едно множество, но не и в друго, и обратно). Първо, нека отхвърлим всички съвпадащи степени на две от двата набора (ако има такива). Ще получите две представяния на едно и също число (по-малко или равно на н) като сбор от различни степени на две, и всичкостепени в представителствата различен. Във всяко от представянията, които подчертаваме най-великиястепен. Поради горното, за две представителства тези степени различен. Наричаме представянето, за което тази степен е по-голяма първи, други - второ. И така, нека в първото представяне най-голямата степен е 2 м, то във втория очевидно не надвишава 2 м-1 . Но тъй като (и ние вече се сблъскахме с това по-горе, броейки зърната на шахматната дъска) равенството е вярно

2м = (2м –1 + 2м –2 + ... + 2 0) + 1,

след това 2 м строго повечесборът от всички степени на 2, които не превишават 2 м-1 . Поради тази причина най-голямата степен на две, включена в първото представяне, със сигурност е по-голяма от сумата всекимощности на две, включени във второто представяне. Противоречие!

Всъщност току-що обосновахме възможността за записване на числа двоиченбройна система. Както знаете, той използва само две цифри - нула и единица, като всяко естествено число е записано двоична системаединственият начин (например горепосочената 2012 г. - като 11 111 011 100). Ако номерираме цифрите (двоичните цифри) отдясно наляво, започвайки от нула, тогава числата на онези цифри, в които има единици, ще бъдат точно показателите на степените на двойките, включени в представянето.

По-малко известно е следното свойство на множеството от цели неотрицателни степени на две. Нека произволно поставим знак минус на някои от тях, т.е. да превърнем положителните в отрицателни. Единственото изискване е резултатът както от положителни, така и от отрицателни числа да бъде безкраен брой. Например, можете да поставите знак минус на всяка пета степен на две или например да оставите само числата 2 10, 2 100, 2 1000 и т.н. - има колкото искате опции.

Изненадващо, всякакви цялочислото може (и по единствения начин) да бъде представено като сбор от различните членове на нашата „положително-отрицателна“ последователност. И не е много трудно да се докаже това (например чрез индукция по показатели на степени на двойки). Основната идея на доказателството е наличието на положителни и отрицателни членове с произволно голяма абсолютна стойност. Опитайте сами доказателството.

Интересно е да се наблюдават последните цифри от членовете на последователността от степени на две. Тъй като всяко следващо число в редицата се получава чрез удвояване на предходното, последната цифра на всяко от тях се определя изцяло от последната цифра на предходното число. И тъй като има ограничен брой различни цифри, последователността от последните цифри на степени на две е просто длъженбъдете периодични! Дължината на периода, естествено, не надвишава 10 (тъй като толкова числа използваме), но това е силно надценена стойност. Нека се опитаме да го оценим, без да изписваме самата последователност засега. Ясно е, че последните цифри на всички степени на две, започвайки с 2 1, дори. Освен това сред тях не може да има нула - защото число, завършващо на нула, се дели на 5, което не може да се подозира, че е степен на две. И тъй като има само четири четни цифри без нула, дължината на периода не надвишава 4.

Тестването показва, че това е така и периодичността се появява почти веднага: 1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, ... - в пълно съответствие с теорията!

Не по-малко успешно е да се оцени дължината на периода на последната двойка цифри на последователност от степени на две. Тъй като всички степени на две, започващи с 2 2, се делят на 4, тогава числата, образувани от последните им две цифри, се делят на 4. Има не повече от 25 двуцифрени числа, делими на 4 (за едноцифрени числа, считаме, че нулата е предпоследната цифра), но от тях трябва да елиминирате пет числа, завършващи на нула: 00, 20, 40, 60 и 80. Така периодът може да съдържа не повече от 25 - 5 = 20 числа. Проверката показва, че това е така, периодът започва с числото 2 2 и съдържа двойки числа: 04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52 и след това отново 04 и така нататък.

По същия начин може да се докаже, че продължителността на периода на последния мцифрите на последователността от степени на две не надвишават 4 5 м–1 (още повече, че всъщност тя равна на 4·5 м–1, но това е много по-трудно за доказване).

Така че се налагат доста строги ограничения върху последните цифри на правомощията на две. Какво относно първичисла? Тук положението е почти обратното. Оказва се, че за всякаквинабор от цифри (първата от които не е нула), има степен две, започваща с този набор от цифри. И такива правомощия на две безкрайно много!Например, има безкраен брой степени на две, започващи с цифрите 2012 или, да речем, 3,333,333,333,333,333,333,333.

И ако разгледаме само една много първа цифра от различни степени на две - какви стойности може да приеме? Лесно се проверява дали всички са от 1 до 9 включително (разбира се, сред тях няма нула). Но кои от тях се срещат по-често и кои по-рядко? По някакъв начин не е веднага очевидно защо едно число трябва да се среща по-често от друго. По-задълбочените разсъждения обаче показват, че не може да се очаква абсолютно еднакво появяване на числата. Наистина, ако първата цифра на която и да е степен на две е 5, 6, 7, 8 или 9, тогава първата цифра на следващата степен на две задължително ще бъде мерна единица!Следователно трябва да има „изкривяване“ поне към единството. Следователно е малко вероятно останалите числа да бъдат „равномерно представени“.

Практиката (а именно директните компютърни изчисления за първите няколко десетки хиляди степени на две) потвърждава нашите подозрения. Ето относителния дял на първите цифри на степените на две, закръглени до 4 знака след десетичната запетая:

1 - 0,3010
2 - 0,1761
3 - 0,1249
4 - 0,0969
5 - 0,0792
6 - 0,0669
7 - 0,0580
8 - 0,0512
9 - 0,0458

Както виждаме, с нарастването на числата тази стойност намалява (и следователно една и съща единица е приблизително 6,5 пъти по-вероятно да бъде първата цифра на степени на две от девет). Колкото и странно да изглежда, почти същото съотношение на числата на първите цифри ще се случи за почти всяка последователност от степени - не само две, но, да речем, три, пет, осем и като цяло почти всекичисла, включително нецели (единствените изключения са някои „специални“ числа). Причините за това са много дълбоки и сложни и за да ги разберете трябва да знаете логаритми. За тези, които са запознати с тях, нека повдигнем завесата: оказва се, че относителната пропорция на степените на две, чиито десетичен запис започва с числото Е(За Е= 1, 2, ..., 9), е log ( Е+ 1) – lg ( Е), където lg е т.нар десетичен логаритъм,равно на степента, до която трябва да се повдигне числото 10, за да се получи числото под знака на логаритъма.

Използвайки споменатата по-горе връзка между степените на две и пет, А. Канел открива интересен феномен. Нека изберем няколко числа от поредицата от първите цифри на степени на две (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, ...) договори ги запишете обратен ред. Оказва се, че тези числа със сигурност ще отговарят също подред, започвайки от определено място, в последователността на първите цифри на степените на пет.

Степените на две също са един вид „генератор“ за производството на добре познати перфектни числа, които са равни на сумата от всички техни делители, без себе си. Например числото 6 има четири делителя: 1, 2, 3 и 6. Да изхвърлим този, който е равен на самото число 6. Остават три делителя, чийто сбор е точно 1 + 2 + 3 = 6. Следователно , 6 е перфектно число.

За да получите перфектно число, вземете две последователни степени на две: 2 н–1 и 2 н. Намаляваме най-големия от тях с 1, получаваме 2 н– 1. Оказва се, че ако това е просто число, тогава като го умножим по предишната степен на две, образуваме перфектното число 2 н –1 (2н- 1). Например, когато П= 3 получаваме оригиналните числа 4 и 8. Тъй като 8 – 1 = 7 е просто число, тогава 4·7 = 28 е перфектно число. Освен това по едно време Леонард Ойлер доказа, че всичко дориперфектните числа имат точно тази форма. Нечетните перфектни числа все още не са открити (и малко хора вярват в тяхното съществуване).

Степените на две са тясно свързани с т.нар Каталонски номера, чиято последователност е 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429... Те често възникват при решаване на различни комбинаторни задачи. Например, по колко начина можете да разделите конвекс н-gon в триъгълници с различни диагонали? Същият Ойлер установи, че тази стойност е равна на ( н– 1) към каталонското число (означаваме го K n–1), и той също откри това K n = K n-14 н – 6)/н. Последователността на каталонските числа има много интересни свойства и едно от тях (точно свързано с темата на тази статия) е, че поредните номера на всички нечетни каталонски числа са степени на две!

Степените на две често се срещат в различни задачи, не само в условията, но и в отговорите. Да вземем, например, някога популярния (и все още незабравен) кулата на Ханой. Това е името на играта пъзел, изобретена през 19 век от френския математик Е. Люк. Съдържа три пръчки, едната от които е прикрепена ндискове с дупка в средата на всеки. Диаметрите на всички дискове са различни и са подредени в низходящ ред отдолу нагоре, т.е. най-големият диск е отдолу (виж фигурата). Оказа се като кула от дискове.

Трябва да преместите тази кула на друг прът, като спазвате следните правила: прехвърляйте дисковете стриктно един по един (премахвайки горния диск от всеки прът) и винаги поставяйте само по-малкия диск върху по-големия, но не обратното. Въпросът е: какъв е минималният брой ходове, необходими за това? (Наричаме ход премахването на диск от един прът и поставянето му на друг.) Отговор: равен е на 2 н– 1, което се доказва лесно по индукция.

Нека за ндискове, необходимият минимален брой ходове е равен на Xn. Ще намерим х н+1. В процеса на работа рано или късно ще трябва да премахнете най-големия диск от пръта, върху който първоначално са били поставени всички дискове. Тъй като този диск може да се постави само върху празен прът (в противен случай той ще „натисне“ по-малкия диск, което е забранено), тогава всички горни ндисковете първо трябва да бъдат прехвърлени на третия прът. Това ще изисква не по-малко Xnсе движи. След това прехвърляме най-големия диск на празен прът - ето още един ход. Накрая, за да го "изцедите" отгоре с по-малки ндискове, отново ще ви трябват не по-малко Xnсе движи. Така, Xn +1 ≥ Xn + 1 +Xn = 2Xn+ 1. От друга страна, описаните по-горе стъпки показват как можете да се справите със задача 2 Xn+ 1 хода. Следователно най-накрая Xn +1 =2Xn+ 1. Получена е рекурентна връзка, но за да я приведем в „нормален“ вид, все още трябва да намерим х 1 . Е, това е толкова просто: х 1 = 1 (просто не може да бъде по-малко!). Въз основа на тези данни не е трудно да се установи това Xn = 2н– 1.

Ето още един интересен проблем:

Намерете всички естествени числа, които не могат да бъдат представени като сбор от няколко (поне две) последователни естествени числа.

Нека първо проверим най-малките числа. Ясно е, че числото 1 в тази форма не може да бъде представено. Но всички нечетни числа, които са по-големи от 1, разбира се, могат да бъдат измислени. Всъщност всякакви нечетно число, по-голямо от 1, може да се запише като 2 к + 1 (к- естествено), което е сумата от две последователни естествени числа: 2 к + 1 = к + (к + 1).

Какво ще кажете за четните числа? Лесно се вижда, че числата 2 и 4 не могат да бъдат представени в необходимата форма. Може би това е вярно за всички четни числа? Уви, следващото четно число опровергава нашето предположение: 6 = 1 + 2 + 3. Но числото 8 отново не се поддава. Вярно, че следните числа отново се поддават на атаката: 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 12 = 3 + 4 + 5, 14 = 2 + 3 + 4 + 5, но 16 отново е невъобразимо.

Е, натрупаната информация ни позволява да направим предварителни заключения. Моля, обърнете внимание: не може да бъде изпратен в посочения формуляр само степени на две. Това вярно ли е за останалите числа? Оказва се, че да! Всъщност, разгледайте сумата от всички естествени числа от мпреди нвключително. Тъй като според условието те са поне две, значи н > м. Както е известно, сумата от последователни членове аритметична прогресия(и точно с това имаме работа!) е равно на произведението от полусумата на първия и последния член и техния брой. Половината сума е ( н + м)/2, а броят на числата е н – м+ 1. Следователно сумата е ( н + м)(н – м+ 1)/2. Обърнете внимание, че числителят съдържа два фактора, всеки от които строго повече 1, а паритетът им е различен. Оказва се, че сумата от всички естествени числа от мпреди нсе дели включително на нечетно число, по-голямо от 1 и следователно не може да бъде степен на две. Така че сега е ясно защо не беше възможно да се представят степени на две в необходимата форма.

Остава да се уверим в това не степени на двеможете да си представите. Що се отнася до нечетните числа, ние вече се занимавахме с тях по-горе. Нека вземем всяко четно число, което не е степен на две. Нека най-голямата степен на две, на която се дели, е 2 а (а- естествен). След това, ако числото е разделено на 2 а, вече ще се получи странночисло, по-голямо от 1, което записваме в познатата форма - като 2 к+ 1 (к- също естествен). Това означава, че по принцип нашето четно число, което не е степен на две, е 2 а (2к+ 1). Сега нека разгледаме две опции:

1. 2 а+1 > 2к+ 1. Вземете сбора 2 к+ 1 последователни естествени числа, средно аритметичноот които е равно на 2 а. Тогава е лесно да се види това най-малкоот които е равно на 2 a–k, а най-голямото е 2 а + к, а най-малкото (и следователно всички останали) е положително, т.е. наистина естествено. Е, сумата, очевидно, е само 2 а(2к + 1).
2. 2 а+1 < 2к+ 1. Вземете сбора 2 а+1 последователни естествени числа. Не може да се посочи тук средно аритметичночисло, тъй като броят на числата е четен, но посочете няколко средничисла е възможно: нека това са числа кИ к+ 1. Тогава най-малкона всички числа равни к+ 1 – 2а(а също и положително!), а най-голямото е равно на к+ 2а. Сборът им също е 2 а(2к + 1).

Това е всичко. И така, отговорът е: непредставимите числа са степени на две и само те.

И ето още един проблем (предложен за първи път от В. Произволов, но в малко по-различна формулировка):

Градината е оградена с непрекъсната ограда от N дъски. По заповед на леля Поли Том Сойер вароса оградата, но по собствената си система: като се движи през цялото време по посока на часовниковата стрелка, първо вароса произволна дъска, след това прескача една дъска и вароса следващата, след това прескача две дъски и вароса следващата една, след това прескача три дъски и вароса следващата и така нататък, като всеки път прескача още една дъска (в този случай някои дъски могат да бъдат варосани няколко пъти - това не притеснява Том).

Том вярва, че при такава схема рано или късно всички дъски ще бъдат варосани, а леля Поли е сигурна, че поне една дъска ще остане небелосана, колкото и да работи Том. За кое N е прав Том и за кое N е права леля Поли?

Описаната система за варосване изглежда доста хаотична, така че първоначално може да изглежда, че за всеки (или почтивсякакви) нВсяка дъска някой ден ще получи своя дял вар, т.е. предимно, Том е прав. Но първото впечатление е измамно, защото всъщност Том е прав само за ценностите н, които са степени на две. За другите нима дъска, която ще остане завинаги небелосана. Доказателството на този факт е доста тромаво (въпреки че по принцип не е трудно). Каним читателя да го направи сам.

Това са те - степени на две. На пръв поглед това е просто като белене на круши, но след като се заровите в него... И тук не сме засегнали всички невероятни и мистериозни свойства на тази последователност, а само онези, които хванаха окото ни. Е, на читателя се дава правото самостоятелно да продължи изследванията в тази област. Те несъмнено ще се окажат ползотворни.

Техният брой е нула).
И не само две, както беше отбелязано по-рано!
Жадните за подробности могат да прочетат статията на В. Болтянски „Често ли степента на две започва с едно?“ (“Квант” № 5, 1978 г.), както и статията на В. Арнолд “Статистика на първите цифри на степените на две и преразпределението на света” (“Квант” № 1, 1998 г.).
Вижте задача M1599 от “Задачник на Квант” (“Квант” № 6, 1997 г.).
В момента има 43 известни перфектни числа, най-голямото от които е 2 30402456 (2 30402457 – 1). Съдържа над 18 милионичисла