Решаването на интеграли е лесна задача, но само за малцина избрани. Тази статия е за тези, които искат да се научат да разбират интегралите, но не знаят нищо или почти нищо за тях. Интеграл... Защо е необходим? Как да го изчислим? Какво представляват определени и неопределени интеграли?
Ако единствената употреба, която знаете за интеграла, е да използвате кука за плетене на една кука, оформена като интегрална икона, за да извадите нещо полезно от труднодостъпни места, тогава добре дошли! Разберете как да решавате най-простите и други интеграли и защо не можете без това в математиката.
Ние изучаваме концепцията « интегрална »
Интеграцията беше известна още през Древен Египет. Разбира се, не в съвременния му вид, но все пак. Оттогава математиците са написали много книги по тази тема. Особено се отличиха Нютон И Лайбниц , но същността на нещата не се е променила.
Как да разберем интегралите от нулата? Няма начин! За да разберете тази тема, все пак ще ви трябват основни познания за основите на математическия анализ. Вече имаме информация за , необходима за разбирането на интегралите, в нашия блог.
Неопределен интеграл
Нека имаме някаква функция f(x) .
Неопределена интегрална функция f(x) тази функция се нарича F(x) , чиято производна е равна на функцията f(x) .
С други думи, интегралът е обратно производно или антипроизводно. Между другото, прочетете как в нашата статия.
Съществува първоизводна за всички непрекъснати функции. Също така към антипроизводното често се добавя постоянен знак, тъй като производните на функции, които се различават по константа, съвпадат. Процесът на намиране на интеграла се нарича интегриране.
Прост пример:
За да не пресмятаме постоянно противопроизводни елементарни функции, удобно е да ги обобщите в таблица и да използвате готови стойности.
Пълна таблица на интегралите за ученици
Определен интеграл
Когато се занимаваме с концепцията за интеграл, имаме работа с безкрайно малки количества. Интегралът ще помогне да се изчисли площта на фигура, масата на нееднородно тяло, изминатото разстояние по време на неравномерно движение и много други. Трябва да се помни, че интегралът е сумата от безкрайно голям брой безкрайно малки членове.
Като пример, представете си графика на някаква функция.
Как да намерим площта на фигура, ограничена от графиката на функция? С помощта на интеграл! Нека разделим криволинейния трапец, ограничен от координатните оси и графиката на функцията, на безкрайно малки сегменти. По този начин фигурата ще бъде разделена на тънки колони. Сумата от площите на колоните ще бъде площта на трапеца. Но не забравяйте, че такова изчисление ще даде приблизителен резултат. Въпреки това, колкото по-малки и по-тесни са сегментите, толкова по-точно ще бъде изчислението. Ако ги намалим до такава степен, че дължината клони към нула, тогава сумата от площите на сегментите ще клони към площта на фигурата. Това е определен интеграл, който се записва така:
Точки a и b се наричат граници на интегриране.
« Интеграл »
Между другото! За нашите читатели вече има 10% отстъпка от
Правила за изчисляване на интеграли за манекени
Свойства на неопределения интеграл
Как да решим неопределен интеграл? Тук ще разгледаме имотите определен интеграл, което ще бъде полезно при решаване на примери.
- Производната на интеграла е равна на интеграла:
- Константата може да бъде извадена от знака за интеграл:
- Интегралът от сбора е равен на сбора от интегралите. Това важи и за разликата:
Свойства на определен интеграл
- Линейност:
- Знакът на интеграла се променя, ако границите на интегриране се разменят:
- При всякаквиточки а, bИ с:
Вече разбрахме, че определен интеграл е границата на сумата. Но как да получите конкретна стойност при решаване на пример? За това има формулата на Нютон-Лайбниц:
Примери за решаване на интеграли
По-долу ще разгледаме неопределения интеграл и примери с решения. Предлагаме ви сами да разберете тънкостите на решението и ако нещо не е ясно, задайте въпроси в коментарите.
За затвърждаване на материала гледайте видео за това как се решават интеграли на практика. Не се отчайвайте, ако интегралът не е даден веднага. Свържете се с професионална служба за студенти и всеки троен или извит интеграл върху затворена повърхност ще бъде по силите ви.
Във всяка глава ще има задачи за независимо решение, на които можете да видите отговорите.
Концепцията за определен интеграл и формулата на Нютон-Лайбниц
Чрез определен интеграл от непрекъсната функция f(х) на последния сегмент [ а, b] (където ) е нарастването на някои от неговите антипроизводни в този сегмент. (Като цяло разбирането ще бъде значително по-лесно, ако повторите темата за неопределения интеграл) В този случай се използва нотацията
Както може да се види на графиките по-долу (увеличаването на антипроизводната функция е обозначено с), определеният интеграл може да бъде или положителен, или отрицателно число (Изчислява се като разликата между стойността на антипроизводното в горната граница и нейната стойност в долната граница, т.е. като Е(b) - Е(а)).
Числа аИ bсе наричат съответно долна и горна граница на интегриране, а сегментът [ а, b] – сегмент на интеграция.
По този начин, ако Е(х) – някаква антипроизводна функция за f(х), тогава според определението,
(38)
Равенството (38) се нарича Формула на Нютон-Лайбниц . Разлика Е(b) – Е(а) се записва накратко, както следва:
Следователно ще запишем формулата на Нютон-Лайбниц така:
(39)
Нека докажем, че определеният интеграл не зависи от това коя първоизводна на подинтегралната функция е взета при изчисляването му. Позволявам Е(х) и F( х) са произволни първоизводни на интегранта. Тъй като това са антипроизводни на една и съща функция, те се различават с постоянен член: Ф( х) = Е(х) + ° С. Ето защо
Това установява, че на отсечката [ а, b] увеличения на всички първоизводни на функцията f(х) съвпада.
По този начин, за да се изчисли определен интеграл, е необходимо да се намери всяка антипроизводна на интегранта, т.е. първо трябва да намерите неопределен интеграл. Константа СЪС изключени от следващите изчисления. След това се прилага формулата на Нютон-Лайбниц: стойността на горната граница се замества в антипроизводната функция b , по-нататък - стойността на долната граница а и се изчислява разликата F(b) - F(a) . Полученото число ще бъде определен интеграл..
При а = bпо дефиниция приети
Пример 1.
Решение. Първо, нека намерим неопределения интеграл:
Прилагане на формулата на Нютон-Лайбниц към първоизводната
(при СЪС= 0), получаваме
Въпреки това, когато изчислявате определен интеграл, е по-добре да не намирате първоизводната отделно, а веднага да напишете интеграла във формата (39).
Пример 2.Изчислете определен интеграл
Решение. Използване на формула
Намерете сами определения интеграл и след това вижте решението
Свойства на определения интеграл
Теорема 2.Стойността на определения интеграл не зависи от обозначението на интегриращата променлива, т.е.
(40)
Позволявам Е(х) – противопроизводно за f(х). За f(T) антипроизводното е същата функция Е(T), в които независимата променлива е само обозначена по различен начин. следователно
Въз основа на формула (39) последното равенство означава равенство на интегралите
Теорема 3.Постоянният множител може да бъде изваден от знака на определения интеграл, т.е.
(41)
Теорема 4.Определеният интеграл на алгебрична сума от краен брой функции е равен на алгебричната сума на определени интеграли на тези функции, т.е.
(42)
Теорема 5.Ако сегмент от интегриране е разделен на части, тогава определеният интеграл върху целия сегмент е равен на сумата от определени интеграли върху неговите части, т.е. Ако
(43)
Теорема 6.При пренареждане на границите на интегриране абсолютната стойност на определения интеграл не се променя, а само знакът му, т.е.
(44)
Теорема 7(теорема за средната стойност). Определеният интеграл е равен на произведението от дължината на интегралния сегмент и стойността на интегралното изражение в дадена точка вътре в него, т.е.
(45)
Теорема 8.Ако горната граница на интегриране е по-голяма от долната и подинтегралната функция е неотрицателна (положителна), то определеният интеграл също е неотрицателен (положителен), т.е. Ако
Теорема 9.Ако горната граница на интегриране е по-голяма от долната и функциите и са непрекъснати, тогава неравенството
може да се интегрира термин по термин, т.е.
(46)
Свойствата на определения интеграл позволяват да се опрости директното изчисляване на интегралите.
Пример 5.Изчислете определен интеграл
Използвайки теореми 4 и 3, и при намиране на първоизводни - таблични интеграли (7) и (6), получаваме
Определен интеграл с променлива горна граница
Позволявам f(х) – непрекъснат на отсечката [ а, b] функция и Е(х) е неговата антипроизводна. Разгледайте определения интеграл
(47)
и чрез Tинтеграционната променлива е обозначена така, че да не се бърка с горната граница. Когато се промени хпроменя се и определеният интеграл (47), т.е. това е функция на горната граница на интегриране х, което означаваме с Е(х), т.е.
(48)
Нека докажем, че функцията Е(х) е противопроизводно на f(х) = f(T). Наистина, диференциране Е(х), получаваме
защото Е(х) – противопроизводно за f(х), А Е(а) е постоянна стойност.
функция Е(х) – един от безкрайния брой антипроизводни на f(х), а именно този, който х = аотива на нула. Това твърдение се получава, ако в равенството (48) поставим х = аи използвайте теорема 1 от предходния параграф.
Изчисляване на определени интеграли чрез метода на интегриране по части и метода на промяна на променлива
където по дефиниция Е(х) – противопроизводно за f(х). Ако променим променливата в интегранта
тогава, в съответствие с формула (16), можем да запишем
В този израз
антипроизводна функция за
Всъщност неговата производна, според правило за диференциране на сложни функции, е равно
Нека α и β са стойностите на променливата T, за които функцията
приема стойности съответно аИ b, т.е.
Но според формулата на Нютон-Лайбниц разликата Е(b) – Е(а) Има
Ако определенията от учебника са твърде сложни и неясни, прочетете нашата статия. Ще се опитаме да обясним възможно най-просто, „на пръсти“, основните точки на такъв клон на математиката като определени интеграли. Как да изчислите интеграла, прочетете в това ръководство.
От геометрична гледна точка интегралът на функцията е площта на фигурата, образувана от графиката на дадена функция и оста в границите на интегриране. Запишете интеграла, анализирайте функцията под интеграла: ако интегралът може да бъде опростен (редуциран, факторизиран в знака за интеграл, разделен на два прости интеграла), направете го. Отворете таблицата с интеграли, за да определите коя производна на функция е под интеграла. Намерихте отговора? Запишете фактора, добавен към интеграла (ако това се е случило), запишете функцията, намерена от таблицата, и заменете границите на интеграла.
Разбира се, тук се разглеждат само най-простите версии на интеграли - определени; всъщност има много разновидности на интеграли; те се изучават в курса на висша математика, математически анализ и диференциални уравнения в университетите за студенти от технически специалности .
>> >> >> Интеграционни методи
Основни методи за интегриране
Дефиниция на интеграл, определен и неопределен, таблица на интегралите, формула на Нютон-Лайбниц, интегриране по части, примери за изчисляване на интеграли.
Неопределен интеграл
Нека u = f(x) и v = g(x) са функции, които имат непрекъснато . Тогава, според работата,
d(uv))= udv + vdu или udv = d(uv) - vdu.
За израза d(uv) антипроизводното очевидно ще бъде uv, така че формулата е валидна:
∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)
Тази формула изразява правилото интеграция по части. Това води интегрирането на израза udv=uv"dx до интегрирането на израза vdu=vu"dx.
Нека, например, искате да намерите ∫xcosx dx. Нека поставим u = x, dv = cosxdx, така че du=dx, v=sinx. Тогава
∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.
Правилото за интегриране по части има по-ограничен обхват от заместването на променливи. Но има цели класове интеграли, например ∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax и други, които се изчисляват точно с помощта на интегриране по части.
Определен интеграл
Интеграционни методи, понятието определен интеграл се въвежда по следния начин. Нека функция f(x) е дефинирана на интервал. Нека разделим отсечката [a,b] на n части с точки a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 ,
x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i)
Δx i где
Δ x i = x i - x i-1. Сума от формата f(ξ i)Δ x i се нарича интегрална сума, а нейната граница при λ = maxΔx i → 0, ако съществува и е крайна, се нарича определен интегралфункции f(x) от a до b и се означава:
F(ξ i)Δx i (8.5).
Функцията f(x) в този случай се извиква интегрируеми на интервала, се наричат числата a и b долна и горна граница на интеграла.
Интеграционни методиимат следните свойства:
Последното свойство се нарича теорема за средната стойност.
Нека f(x) е непрекъснато върху . Тогава на този сегмент има неопределен интеграл
∫f(x)dx = F(x) + C
и се провежда Формула на Нютон-Лайбниц, свързващ определения интеграл с неопределения интеграл:
F(b) - F(a). (8,6)
Геометрична интерпретация: представлява площта на криволинеен трапец, ограничен отгоре от кривата y=f(x), прави x = a и x = b и сегмент от оста Ox.
Неправилни интеграли
Интеграли с безкрайни граници и интеграли на прекъснати (неограничени) функции се наричат неправилни. Неправилни интеграли от първи род -Това са интеграли върху безкраен интервал, дефиниран както следва:
(8.7)
Ако тази граница съществува и е крайна, тогава тя се нарича конвергентен несобствен интеграл на f(x) в интервала [a,+ ∞), а функцията f(x) се нарича интегрируема в безкрайния интервал [a,+ ∞ ). В противен случай се казва, че интегралът не съществува или се разминава.
Неправилните интеграли на интервалите (-∞,b] и (-∞, + ∞) се дефинират по подобен начин:
Нека дефинираме понятието интеграл на неограничена функция. Ако f (x) е непрекъснато за всички стойности x на сегмента, с изключение на точката c, в която f (x) има безкрайно прекъсване, тогава неправилен интеграл от втория вид f(x) вариращи от a до bсумата се нарича:
ако тези граници съществуват и са крайни. Обозначаване:
Примери за интегрални изчисления
Пример 3.30.Изчислете ∫dx/(x+2).
Решение. Нека означим t = x+2, тогава dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.
Пример 3.31. Намерете ∫ tgxdx.
Решение: ∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Нека t=cosx, тогава ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.
Пример3.32 . Намерете ∫dx/sinx
Пример3.33. Намирам .
Решение. =
.
Пример3.34 . Намерете ∫arctgxdx.
Решение. Нека интегрираме по части. Нека означим u=arctgx, dv=dx. Тогава du = dx/(x 2 +1), v=x, откъдето ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; защото
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.
Пример3.35 . Изчислете ∫lnxdx.
Решение.Прилагайки формулата за интегриране по части, получаваме:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Тогава ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.
Пример3.36 . Изчислете ∫e x sinxdx.
Решение. Нека приложим формулата за интегриране по части. Нека означим u = e x, dv = sinxdx, тогава du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. ∫e x cosxdx също интегрира по части: u = e x, dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Ние имаме:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Получихме отношението ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, от което 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.
Пример 3.37. Изчислете J = ∫cos(lnx)dx/x.
Решение: Тъй като dx/x = dlnx, тогава J= ∫cos(lnx)d(lnx). Заменяйки lnx с t, стигаме до интеграла на таблицата J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.
Пример 3.38 . Изчислете J = .
Решение. Като се има предвид, че = d(lnx), заместваме lnx = t. Тогава J = 
.
Пример 3.39
. Изчислете J = 
.
Решение. Ние имаме: 
. Ето защо =
За да научите как да решавате определени интеграли, трябва да:
1) Бъдете в състояние намирамнеопределени интеграли.
2) Да можеш изчислиопределен интеграл.
Както можете да видите, за да овладеете определен интеграл, трябва да имате доста добро разбиране на „обикновените“ неопределени интеграли. Ето защо, ако тепърва започвате да се гмуркате в интегралното смятане и чайникът изобщо не е заврял, тогава е по-добре да започнете с урока Неопределен интеграл. Примери за решения.
В общ вид определеният интеграл се записва по следния начин:
Какво се добавя в сравнение с неопределения интеграл? | Повече ▼ граници на интеграция.
Долна граница на интеграция
Горна граница на интеграциястандартно се обозначава с буквата .
Сегментът се нарича сегмент на интеграция.
Преди да преминем към практически примери, малко "прецакване" на определения интеграл.
Какво е определен интеграл?Бих могъл да ви кажа за диаметъра на отсечка, границата на целочислените суми и т.н., но урокът е от практическо естество. Затова ще кажа, че определен интеграл е ЧИСЛО. Да, да, най-обикновен номер.
Определеният интеграл има ли геометричен смисъл?Яжте. И много добре. Най-популярната задача е изчисляване на площ с помощта на определен интеграл.
Какво означава да се реши определен интеграл?Решаването на определен интеграл означава намиране на число.
Как да решим определен интеграл?Използвайки познатата от училище формула на Нютон-Лайбниц:
По-добре е да пренапишете формулата на отделен лист хартия, тя трябва да е пред очите ви през целия урок.
Стъпките за решаване на определен интеграл са следните:
1) Първо намираме функцията на първообразната производна (неопределен интеграл). Забележете, че константата в определения интеграл никога не е добавен. Обозначението е чисто техническо и вертикалната пръчка не носи никакво математическо значение, всъщност това е просто маркировка. Защо е необходим самият запис? Подготовка за прилагане на формулата на Нютон-Лайбниц.
2) Заместете стойността на горната граница в антипроизводната функция: .
3) Заместете стойността на долната граница в антипроизводната функция: .
4) Изчисляваме (без грешки!) разликата, тоест намираме числото.
Винаги ли съществува определен интеграл?Не винаги.
Например интегралът не съществува, тъй като сегментът на интегриране не е включен в областта на дефиниране на интегранта (стойностите под квадратния корен не могат да бъдат отрицателни). Ето един по-малко очевиден пример: . Такъв интеграл също не съществува, тъй като няма допирателна в точките на сегмента. Между другото, кой все още не е прочел учебния материал? Графики и основни свойства на елементарни функции– моментът да го направите е сега. Ще бъде чудесно да помогнете в курса на висшата математика.
За да съществува определен интеграл изобщо, е необходимо функцията на интегранд да бъде непрекъсната в интервала на интегриране.
От горното следва първата важна препоръка: преди да започнете да решавате ВСЕКИ определен интеграл, трябва да се уверите, че интегралната функция е непрекъснат на интервала на интегриране. Когато бях студент, многократно имах инцидент, когато дълго време се борех с намирането на труден първоизводен и когато най-накрая го намерих, си блъсках мозъка над друг въпрос: „Каква глупост се оказа това ?" В опростена версия ситуацията изглежда така:
???!!!
Не можете да замествате отрицателни числа под корена!
Ако за решение (в контролна, контролна, изпитна) ви предложат несъществуващ интеграл като
тогава трябва да дадете отговор, че интегралът не съществува и да обосновете защо.
Може ли определен интеграл да бъде равен на отрицателно число?Може би. И отрицателно число. И нула. Може дори да се окаже безкрайност, но вече ще бъде неправилен интеграл, на които се изнася отделна лекция.
Може ли долната граница на интеграция да бъде по-голяма от горната граница на интеграция?Може би тази ситуация наистина се среща на практика.
– интегралът може лесно да се изчисли с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц.
За какво е необходима висшата математика? Разбира се, без всякакви имоти. Затова нека разгледаме някои свойства на определения интеграл.
В определен интеграл можете да пренаредите горната и долната граница, като промените знака:
Например, в определен интеграл, преди интегриране, е препоръчително да промените границите на интегриране в „обичайния“ ред:
– в тази форма е много по-удобно да се интегрира.
Както при неопределения интеграл, определеният интеграл има линейни свойства:
– това важи не само за две, но и за произволен брой функции.
В определен интеграл може да се извърши замяна на интеграционна променлива, но в сравнение с неопределения интеграл, това има своите специфики, за които ще говорим по-късно.
За определен интеграл е вярно следното: формула за интегриране по части:
Пример 1
Решение:
(1) Изваждаме константата от интегралния знак.
(2) Интегрирайте върху таблицата, като използвате най-популярната формула 
. Препоръчително е да отделите възникващата константа от и да я поставите извън скобата. Не е необходимо да правите това, но е препоръчително - защо са допълнителните изчисления?
(3) Използваме формулата на Нютон-Лайбниц
.
Първо заместваме горната граница, след това долната граница. Извършваме допълнителни изчисления и получаваме окончателния отговор.
Пример 2
Изчислете определен интеграл
Това е пример, който можете да решите сами, решението и отговорът са в края на урока.
Нека усложним малко задачата:
Пример 3
Изчислете определен интеграл 
Решение: 
(1) Използваме свойствата на линейността на определения интеграл.
(2) Интегрираме според таблицата, като изваждаме всички константи - те няма да участват в заместването на горната и долната граница.
(3) За всеки от трите члена прилагаме формулата на Нютон-Лайбниц: 
СЛАБОТО БРЪНКО в определения интеграл са грешките в изчисленията и често срещаното ОБЪРКВАНЕ В ЗНАЦИТЕ. Бъди внимателен! Обръщам специално внимание на третия член:
– първо място в хит парада на грешки поради невнимание, много често пишат автоматично
(особено когато заместването на горната и долната граница се извършва устно и не се изписва толкова подробно). Още веднъж внимателно проучете горния пример.
Трябва да се отбележи, че разглежданият метод за решаване на определен интеграл не е единственият. С известен опит решението може да бъде значително намалено. Например, аз самият съм свикнал да решавам такива интеграли като този:
Тук вербално използвах правилата за линейност и вербално интегрирах с помощта на таблицата. В крайна сметка получих само една скоба с отбелязани граници:
(за разлика от трите скоби в първия метод). И в „цялата“ антипроизводна функция, първо заместих 4, след това –2, като отново извърших всички действия в ума си.
Какви са недостатъците на краткото решение? Всичко тук не е много добро от гледна точка на рационалността на изчисленията, но лично на мен не ми пука - изчислявам обикновени дроби на калкулатор.
Освен това съществува повишен риск от грешка в изчисленията, така че е по-добре студентът по чай да използва първия метод; с „моя“ метод за решаване знакът определено ще се загуби някъде.
Безспорните предимства на втория метод са скоростта на решение, компактността на нотацията и фактът, че първоизводната
е в една скоба.
