Математически формули в икономиката. Икономиката като обект на математическо моделиране

ФЕДЕРАЛНА АГЕНЦИЯ ЗА ОБРАЗОВАНИЕ

ДЪРЖАВЕН ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ

__________________________________________________________________

Катедра Информационни системи

МАТЕМАТИЧЕСКА ИКОНОМИКА

Бележки от лекции

За студенти от трети курс на спец

"Приложна информатика (в икономиката)"

Твер 2009 г

1. Методи за оценка на инвестиционни проекти

Понастоящем в страните с развита пазарна икономика при анализиране на инвестиционни проекти започнаха широко да се използват техники за дисконтиране, базирани на логиката на сложната лихва. Следователно този раздел предоставя същността и предимствата на използването на тези методи.

^ 1.1 Метод за изчисляване на нетната настояща стойност

Нетната настояща стойност се изчислява като разлика
потоци от приходи и разходи, дисконтирани до един момент във времето
по проект:

където CF INt е входящ паричен поток за период t;

CF OFt - изходящ паричен поток за период t;

R - дисконтов процент;

N - жизнен цикъл на проекта.

В случаите, когато инвестицията е еднократна инвестиция в началния период, формулата за изчисляване на NPV ще бъде както следва:

където C 0 е капиталовложение през нулевия период.

Използването на този критерий при вземане на решения е доста просто. Положителната стойност на NPV показва размера на дохода, който инвеститорът ще получи над необходимото ниво. В случай, че NPV е равна на нула, инвеститорът не само връща капитала си, но и го увеличава със сумата, определена от дисконтовия процент. Получената отрицателна стойност на NPV показва, че проектът трябва да бъде отхвърлен.

Трябва да се отбележи, че показателят NPV се добавя с течение на времето. Това свойство ви позволява да обобщите нетните текущи стойности на различни проекти, което е много важно при анализа на оптималността на инвестиционен портфейл.

^ 1.2 Метод за изчисляване на индекса на възвръщаемост на инвестициите

Индексът на рентабилност е съотношението на дисконтираната печалба и разходите по проекта. Тоест, по отношение например на еднократни инвестиции, изчислението се извършва по формулата:

В случай, че стойността на PI>1, проектът е печеливш. Ако PI<1, то от инвестирования следует отказаться. Значение индекса рентабельности, равное единице, говорит о том, что проект и ни прибыльный, и ни убыточный.

Предимството на този показател пред показателя NPV е, че той е относителен. Поради това е лесен за използване, когато е необходимо да се избере един проект от редица алтернативни, които имат приблизително еднакви стойности на NPV, както и при формиране на портфейл от инвестиции с максимална обща стойност на NPV.

Този проблем възниква, когато има няколко атрактивни инвестиционни проекта за избор, но поради ограничените финансови ресурси, инвеститорът не може да участва във всички проекти едновременно. След това PI се изчислява за всеки проект и проектите се класират в низходящ ред на PI. Инвестиционният портфейл включва първите m-проекти, които общо могат да бъдат изцяло финансирани.

Ако следващият проект може да бъде разделен, той също се включва в портфолиото в тази част от него, която може да бъде финансирана.

^ 1.3 Метод за изчисляване на нормата на възвръщаемост на инвестицията

Вътрешната норма на възвръщаемост е лихвеният процент, при който нетната настояща стойност на проекта е нула:

където IRR е нормата на възвръщаемост (вътрешна норма на възвръщаемост).

Стойността на IRR показва максимално допустимото относително ниво на разходите, които могат да бъдат свързани по един или друг начин с разглеждания проект. Например, ако даден проект се финансира изцяло със заем, тогава стойността на IRR ще показва горната граница на банковия лихвен процент, над която проектът ще бъде нерентабилен.

За определяне на IRR се използват изчислителни или изчислително-графични методи. В първия случай годишните парични потоци (като се вземат предвид необходимите капиталови инвестиции) се дисконтират с различни пробни дисконтови проценти на стъпки от един процент. Това ще произведе редица съответстващи нетни настоящи стойности, чиято най-малка положителна стойност ще посочи точната норма на възвръщаемост, която трябва да се вземе предвид.

Използването на изчислително-графичния метод се свежда до факта, че нормите на възвръщаемост се нанасят върху координатната система по вертикалната ос, а нетните днешни стойности се нанасят по хоризонталната ос. След това се изчисляват две стойности на NPV, съответстващи на всеки две норми на възвръщаемост. Между тези две точки се начертава права линия, пресечната точка на която с вертикалната ос е изчислената вътрешна норма на възвръщаемост. Все пак трябва да се отбележи, че получената стойност трябва да се провери за нула и да се направят корекции, ако е необходимо.

^ 1.4 Метод за определяне на дисконтирания период на изплащане

Сконтираният период на изплащане се разбира като период от време, през който инвеститорът напълно възстановява първоначалните си разходи, като същевременно осигурява необходимото ниво на доходност:

където T е дисконтираният период на изплащане;

PV е настоящата стойност на инвестицията.

Този метод е един от най-простите и широко разпространени, но като правило се използва за получаване на допълнителна информация за проекта в случаите, когато основното е инвестицията да се изплати възможно най-скоро. В допълнение, методът е удобен при анализиране на проекти с висока степен на риск, тъй като колкото по-кратък е периодът на изплащане, толкова по-малко рисков е проектът.

^ 2. Характеристики на прилагането на методи за оценка на инвестиционни проекти

Описаните по-горе методи са валидни в своята цялост при анализ на независими инвестиционни проекти. Тоест критериите на тези методи само тогава няма да са в конфликт помежду си.

При анализа на конкурентни проекти възниква различна ситуация, важността на разглеждането на която се определя от желанието да се увеличи конкуренцията между предприятията, за да се намалят разходите за проекти чрез използване на вътрешните резерви на компаниите. Освен това подобна ситуация може да възникне при сериозни финансови ограничения.

Нека разгледаме два проекта, които се конкурират един с друг. Нека изчислим нетната настояща стойност на проектите, както и тяхната вътрешна норма на възвръщаемост, при условие че дисконтовият процент е 11%.

маса 1

Както може да се види от таблица 1, NPV на проект X1 ще бъде 33,5 милиона рубли, което е очевидно за предпочитане пред NPV на проект X2 - 22,4 милиона рубли. Въпреки това, ако се съсредоточим върху вътрешната норма на възвръщаемост, тогава трябва да се даде предпочитание на проект X2 с IRR = 35% срещу 26,7% за проект X1. По този начин критериите за NPV и IRR са в конфликт помежду си, въпреки факта, че и двата метода се основават на една и съща формула.

Възникналият проблем може лесно да бъде решен, ако разгледаме по-подробно същността на критерия IRR, чието изчисляване предвижда възможността за реинвестиране на междинния доход на проекта, осигурявайки доходност, равна на IRR. Но наистина ли е възможно да се осигури такава възвръщаемост, ако доходността от реинвестицията е по-малка от IRR? Както ще покаже по-нататъшното разглеждане на примера, не.

Нека изчислим абсолютната стойност на дохода на инвеститора в края на четвъртата година или, с други думи, бъдещата стойност на проектите, при условие че процентът на реинвестиция е 11%:

FV(X1) = 110+ 15* (1 + 0,11) = 126,65 милиона рубли,

FV(X2) = 20 + 15*(1 + 0,11) + 15*(1 + 0,11) 2 +40*(1 + 0,11) 3 = 109,84 милиона рубли.

Нека определим рентабилността на тази операция въз основа на следната връзка:

Редица изследователи, като отчитат недостатъците на критерия IRR, предлагат вместо него да се използва друг критерий - MIRR (модифициран IRR). MIRR е очакваната възвръщаемост, при условие че всички междинни приходи на проекта се реинвестират при даден процент на възвръщаемост.

таблица 2

Както се вижда от таблица 2, използването на критерия MIRR премахва противоречието между абсолютни и относителни показатели за резултатите от изпълнението на проекта. Сега въпросът е премахнат: трябва да се даде предпочитание на проекта X1. Освен това, в бъдеще, когато се сравняват два конкурентни проекта, NPV трябва да се счита за най-добрият критерий.

Дадените примери се основават на противоречието между критериите за NPV и IRR при анализиране на проекти с еднакъв размер на капиталовите инвестиции. Следователно е необходимо също така да се разгледа пример за анализ на конкурентни проекти с различен обем на инвестициите.

Таблица 3

Анализът на данните, представени в таблица 3, показва, че критериите IRR и MIRR показват проекта X3, докато критерият NPV, взет като основен в предишния пример, ясно стои на страната на проекта X2. Тоест в тази ситуация възникна проблем с непропорционалността на проектите (проблем с мащаба). Следователно окончателното решение тук може да бъде взето само след анализ на възможното включване на разликата между CFo (ХЗ) и CFo (X2). В нашия пример тази разлика е 45 милиона рубли.

Да приемем, че имаме възможност да инвестираме тези средства, както следва:

Таблица 4

Сега трябва да разберем какво е за предпочитане - проекти X3 и X4 или проект X2?

Таблица 5

Таблица 6

Възможно е обаче да има ситуации, когато освен проекти X3 и X4, няма повече проекти с положителна NPV. В този случай е необходимо да се съсредоточите не върху нормата на възвръщаемост, а върху NPV.

Трябва да се отбележи, че проблемът с мащаба може да възникне и в случай на връзката NPV – PI. В този случай методът на решение ще бъде подобен.

По този начин можем да направим следното заключение: препоръчително е да анализираме инвестиционните проекти, като използваме няколко метода наведнъж, което ще ни позволи да получим допълнителна важна информация за тях.

^ 3. Отчитане на инфлацията при анализ на проекти

Въздействието на инфлацията може да се вземе предвид чрез коригиране на бъдещите печалби или дисконтовия процент към нейния индекс. В този случай е препоръчително да използвате следната зависимост:

Където r nom е номиналният лихвен процент;

R real - реален лихвен процент;

λ е общият темп на инфлация.

За малки стойности rИ λ формула (7) може да бъде записана по следния начин:

R nom ≈ r реално + λ (8)

Като сконтов процент могат да се използват както номинални, така и реални лихвени проценти. Изборът зависи от това как се измерва паричният поток на проекта. Ако паричният поток е представен в реално изражение (в постоянни цени), тогава за дисконтиране трябва да се използва реалният лихвен процент.

Въпреки това, използването на реални лихвени проценти и изчисляването на паричния поток в постоянни цени не позволява структурна инфлация. В такива случаи изчисленията трябва да се правят в текущи цени:

В последния случай обаче е необходима способност за прогнозиране на увеличенията на цените.

^ 4. Отчитане на риска при анализ на отделен проект

Анализът, отчитащ риска на един проект, се извършва само ако инвестиционният проект е независим. В този случай е напълно достатъчно да се използват два показателя: очаквана възвръщаемост и стандартно отклонение (RMS) на възвращаемостта, които напълно определят нормалното разпределение.

Очакваната възвръщаемост се изчислява, както следва:

(11)

където R i е доходността за i-тия сценарий;

P i - вероятност за развитие на събитията според i-тия вариант;

N е броят на разглежданите опции.

По този начин е ясно, че очакваната възвръщаемост е най-вероятната възвръщаемост на проекта, докато стандартното отклонение, което измерва дисперсията на очакваната възвръщаемост, е индикатор за риска на проекта:

Когато сравнявате рисковете за активи с различна очаквана възвръщаемост, препоръчително е да използвате коефициента на вариация (т.е. мярка за относителна дисперсия):

(13)

Очевидно е, че колкото по-високи са стандартното отклонение и CV, толкова по-висок е рискът. Като пример, разгледайте произволните извадкови данни, представени в таблица 7:

Таблица 7

Проект	Р		CV
X1	12,5%	3,12	0,25
X2	11,0%	3,32	0,30
X3	12,2%	2,68	0,22

В този пример проектът X2 е най-малко печеливш и в същото време най-рисков, следователно трябва да бъде незабавно отхвърлен, а по-нататъшният избор ще зависи от отношението на инвеститора към риска. Ако е отрицателен, проектът на HZ ще бъде реализиран. Ако инвеститорът е склонен към риск, предпочитание ще бъде даден на проект XI.

Практиката показва, че инвеститорите на ниво общински служители се стремят да изберат минималния риск. Така в нашия случай проектът KhZ ще бъде приет за инвестиция.

^ 5. Отчитане на риска при анализиране на портфолио от проекти

Обикновено, за да се намали несистемната част от риска, се използва диверсификация, която се основава на създаването на ефективен портфейл чрез анализ на съотношението на неговите активи. Трябва да се отбележи, че всяка нова инвестиция тук трябва да се разглежда в светлината на текущото портфолио.

Нека разгледаме методологията за изчисляване на риска на портфейл, състоящ се от три проекта, като използваме примера на данните, представени в таблица 7, както и при условие, че всеки проект ще получи една трета от инвестираната сума.

Възвръщаемостта на портфейла ще бъде определена, както следва:

(14)

Където R k е очакваната рентабилност на k-тия проект;

X k е делът на средствата, инвестирани в k-тия проект;

M е броят на проектите в портфолиото.

В нашия пример:

Р портфолио = 12,5 1 / 3 + 11 1 / 3 + 12,2 1 / 3 = 11,9%.

В нашия пример:

Cov 12 = 7,34 и Cov 13 = – 8,12.

По този начин е очевидно, че рентабилността на проектите X1 и X2 се променя в същата посока, а рентабилността на проектите X1 и X3, както и на X2 и X3, в обратна посока. Въпреки това, тъй като абсолютната стойност на ковариацията е трудна за тълкуване, степента на взаимозависимост между индикаторите се изчислява с помощта на коефициента на корелация:

Когато r = +1, индикаторите се променят във времето по абсолютно същия начин; когато r = –1, възниква напълно отрицателна корелация; нулата показва липса на връзка.

В този пример:

r 12 = 0,71, r 13 = –0,96 и r 23 = –0,6.

Очевидно, за да се намали рискът, би било най-подходящо да се комбинира портфолио от проекти X1 и X3. В този случай обаче е необходимо да се изчисли самият портфейлен риск, като се вземе предвид корелацията между проектите:

Нека изчислим риска на портфейла (X1, X3) при условие на равни дялови инвестиции:

.

По този начин рискът на нашия портфейл е значително по-нисък от рисковете на съставните му проекти и при r< 0 диверсификация всегда будет приводить к подобным результатам. Однако при 0 < r < 1 также можно сократить риск, причем при определенных значениях r риск портфеля может оказаться ниже самого рискованного его актива.

Методологията за съставяне на портфолио от множество проекти е същата като за съставяне на портфолио с два актива.

От цялата съвкупност от портфейли, посочени от зоната на Фиг. 1, е необходимо да се изберат тези портфейли, които са на линията AB - те са тези, които осигуряват минимален риск с най-висока очаквана възвръщаемост. Освен това конкретният избор между тях зависи от нашето отношение към риска. Графично изборът между риск и възвръщаемост се изразява чрез криви на безразличие, уникален набор от които съществува за всеки индивид по отношение на предпочитанията на този човек за риск и възвръщаемост.

Фиг.1 Проблемът с избора на оптимален портфейл.

Права линия, минаваща от точката на възвръщаемост на безрисков актив през точката на допиране на кривата на възможните портфейли AB, се нарича линия на капиталовия пазар (CML) и отразява избора в системата риск-възвръщаемост. Точка C на фиг. 1 по този начин отразява риска и възвръщаемостта на пазарния портфейл. Най-високото ниво на полезност се постига от инвеститора в точката, където неговата крива на безразличие риск-възвръщаемост докосва линията на капиталовия пазар. Ако инвеститорът предпочита сигурността, тогава тази точка ще бъде разположена вляво от пазарния портфейл (вляво от C); инвеститорът инвестира както в безрискови, така и в рискови активи и портфолиото му в резултат на това има нисък риск и ниска възвръщаемост. Ако инвеститорът е по-склонен да рискува, точката на допиране ще бъде вдясно от пазарния портфейл (вдясно от C); средствата се инвестират в по-рискови активи и портфейлът има по-голям риск и по-голяма възвръщаемост.

Проблемът с намирането на оптимален портфейл, състоящ се от много активи, по принцип може да бъде решен чрез процедура за подбор - търсим портфейл с най-висока очаквана възвръщаемост при дадено ниво на риск. На практика обаче е препоръчително проблемът с разпределението на капитала да се реши с помощта на квадратична версия на линейното програмиране.

Нека определим дела на i-тия актив в портфейла по себестойност:

където CF OFt max е максимално допустимият размер на инвестиционната програма за период t.

Нека разгледаме обобщения индикатор на риска:

Целевата функция (20), която минимизира риска на крайния портфейл, където критерият за участие в портфейла е двоичната променлива X i, чиято единична стойност показва влизането на i-тия проект в портфейла, и нулевата стойност показва отказа на i-тия проект да инвестира, изглежда по следния начин:

с ограничения:

където NPV min е размерът на минимално приемливата нетна текуща стойност на портфейла;

Tn - начален период на инвестиционната програма;

Тк - краен период на инвестиционната програма;

V k - вектор на конкурентни проекти;

V - набор от вектори на конкурентни проекти;

N l - броят на проектите от предишното портфолио, T k от които надвишава T n на съставното портфолио.

Очевидно при изчисляване на целевата функция (20) се използва само тази част от матрицата на вариация-ковариация (19), която се намира на и под главния диагонал, което се дължи на използването на ограничително условие във вложен цикъл на колони и тъй като има две ковариации за За всяка възможна двойка проекти се въвежда коефициент на удвояване за стойностите на вложен цикъл.

По този начин задачата за оптимизация е да се определи кои проекти трябва да бъдат приети за инвестиране, така че размерът на очаквания доход и нивото на риск оптимално да съответстват на целите на инвеститора, които се определят от посоката на целевата функция и набор от ограничения:

1. Рискът, измерен чрез вариация на портфейла (RMS), е сведен до минимум.

2. Доходът от портфейла, равен на адитивния показател на очакваните нетни днешни стойности на приетите проекти, не трябва да бъде по-нисък от необходимата сума, определена от стойността, дисконтирана към първоначалния инвестиционен период.

3. Общите обеми на годишните инвестиции не могат да надвишават границите на наличните (разпределените) средства, установени за даден период от време поотделно за всяка година от инвестиционната програма.

4. В портфолиото може да бъде включен само един от проектите, представляващи една и съща група конкурентни проекти.

5. Съставянето на нов портфейл се извършва, като се вземе предвид задължителното включване в неговия състав на онези проекти от предишния портфейл, периодът на завършване на инвестиционната програма, за който надвишава периода на началото на инвестиционната програма на ново портфолио.

6. Разглежданите проекти не подлежат на фрагментация.

Описаният проблем включва редица ограничения под формата на неравенства, основно определящи лимити за инвестиции в определени направления. В противен случай не може да се гарантира, че полученото решение ще бъде на границата на ефективност. Правейки това, може да се окажем с по-рисково портфолио, но няма да се налага да използваме всичките си пари и/или ще можем да спечелим по-висока възвръщаемост.

Изчисляване и извеждане на получените характеристики на портфейла:

Много избрани проекти:

Очаквана нетна стойност на портфейла днес:

Очаквана възвръщаемост на портфейла:

Риск на портфейла на проекта:

Спестяване на финансови ресурси:

Има различни дефиниции на понятието „риск“, следователно, обобщавайки горното, под риск ще разбираме ситуация, когато има няколко възможни резултата от определени действия, а също така има необходими данни от минали периоди, които позволяват да се изчисли някои зависимости за прогнозиране на възможни бъдещи резултати.

Моделът CAPM (capital asset pricing model), разработен от W. Sharp, който се използва широко за съставяне на портфейли, се основава на факта, че е важно да се вземе предвид само систематичният риск на всеки отделен актив. Трудовете на Г. Марковиц обаче са доказали важността на отчитането на общия риск като цяло. Следователно предишните аргументи се основаваха именно на тази предпоставка.

Систематичният риск се причинява от фактори като инфлацията. икономическа криза, други общи пазарни фактори.

Наличието на несистематичен риск е свързано със случайни събития, засягащи конкретни активи или компании.

Библиография

1. 
   Бард В.С. Финансово-инвестиционен комплекс: теория и практика в контекста на реформирането на руската икономика. - М: Финанси и статистика, 1998. - 304 с.
2. 
   Богатин Ю.В., Швандар В.А. Инвестиционен анализ: Учебник за студенти, обучение по икономика; Богатин Ю.В., Швандар В.А.. - М.: ЮНИТИ, 2000. - 286 с.
3. 
   Богатин Ю.В., Швандар В.А. Оценка на ефективността на бизнеса и инвестициите: Учебник за бакалавърски университети, обучение по икономика - М: Финанси, ЮНИТИ-ДАНА, 1999. - 256 с.
4. 
   Бочаров В.В. Инвестиционен мениджмънт: Учебник. - Санкт Петербург и др.: Петър, 2000. - 152 с. - Кратък курс.
5. 
   Бродски М.Н., Бродски Г.М. Право и икономика: инвестиционно консултиране; Държавен университет по икономика и финанси в Санкт Петербург Международна академия за национална сигурност на Обединена Европа. - Санкт Петербург, 1999. - 488 с.
6. 
   Вахрин П.И. Организация и финансиране на инвестициите: (Сборник с практически задачи и конкретни ситуации): Учеб. - М.: Център за информация и внедряване "Маркетинг", 1999. - 149 с.
7. 
   Игошин Н.В. Инвестиции.Организация на управлението и финансирането: Учебник за бакалавърски курсове, обучение по икономика.- М: Финанси, ЮНИТИ, 1999. - 414 с.
8. 
   Ковалев В.В. Финансов анализ Управление на капитала Избор на инвестиция Анализ на отчетите. - 2-ро издание, преработено и допълнено - М.: Финанси и статистика, 1997. - 511 с.
9. 
   Колемаев В.А. Математическа икономика. - М.: Финанси и статистика, 2003. - 206 с.
10. 
    Крушвиц Л. Финансиране и инвестиции Неокласически основи на теорията на финансите: Учебник за ВУЗ: Превод от немски.. - Санкт Петербург. и др.: Петър, 2000. - 381 с. - Основен курс.
11. 
    Лимитовски М.А. Основи на оценката на инвестиционни и финансови решения. - 3-то изд., Допълнително и преработено.. - М.: DeKA, 1998. - 231 с.
12. 
    Оценка на ефективността на инвестициите на предприятието: Методически препоръки за писане на организационна икономика. части от дипломен проект от студенти по технически науки. специалист.; Тверски държавен технически университет, катедра по икономика и управление. пр-вом; Съставители В. А. Николская, А. Г. Бокичева. - Твер, 2000. - 12 с.
13. 
    Салманов O.N. Математическа икономика с помощта на Mathcad и Excel. BHV-Петербург, 2003. – 464 с.
14. 
    Сергеев И.В., Веретенникова И.И. Организация и финансиране на инвестициите: Учебник за студенти по икономика и специалности; Сергеев И.В., Веретенникова И.И. - М.: Финанси и статистика, 2000. - 271 с.
15. 
    Холт Р.Н., Барнс С.Б. Инвестиционно планиране: [Учебник]: Превод от англ. - М.: Акад.нар.хоз-ва: Дело, 1994. - 118 с.
16. 
    Четиркин Е.М. Финансов анализ на индустриални инвестиции; Академик по национална икономика към правителството на Руската федерация. - М.: Дело, 1998. - 255 с.
17. 
    Sharp W.F., Александър G.D. Инвестиции: Превод от английски език; Изготвен с финансовата помощ на Националния фонд за обучение на финансови и управленски кадри в рамките на неговата програма “Банково дело”. - М.: INFRA-M, 1997. - 1024 с.

Софтуерна и информационна поддръжка

1. 
   Microsoft Office 2000: Microsoft Excel.
2. 
   Монахов А.В. Математически методи на икономически анализ. // www. Моят магазин. ru.
3. 
   Колемаев В.А. Математическа икономика.Учебник. // www. Хугахуга. ru.

Математическите методи в икономиката са важен инструмент за анализ. Те се използват при изграждането на теоретични модели, които ни позволяват да покажем съществуващите връзки в ежедневието. Също така с помощта на тези методи се прогнозира доста точно поведението на стопански субекти и динамиката на икономическите показатели в страната.

Бих искал да се спра по-подробно на прогнозирането на показателите на икономическите обекти, което е инструмент на теорията за вземане на решения. Прогнозите за социално-икономическото развитие на всяка страна се основават на определени показатели (динамика на инфлацията, брутен вътрешен продукт и др.). Формирането на очакваните показатели се извършва с помощта на такива методи на приложна статистика и иконометрия като регресионен и корелационен анализ.

Областта на изследване „Икономика и математически методи” винаги е била доста интересна за учените в тази област. Така академик Немчинов идентифицира пет математически в планирането и прогнозирането:

Метод на математическото моделиране;

Векторно-матричен метод;

Метод на последователно приближение;

Метод на оптималните социални оценки.

Друг академик, Канторович, разделя математическите методи на четири групи:

Модели на взаимодействие между икономическите единици;

Макроикономически модели, включително модели на търсене и балансов метод;

Оптимизационни модели;

Линейно моделиране.

Системата се използва за вземане на ефективни и правилни решения в икономическата сфера. В случая се използват предимно съвременни компютърни технологии.

Самият процес на моделиране трябва да се извърши в следния ред:

1. Постановка на проблема. Необходимо е ясно да се формулира проблемът, да се определят обектите, свързани с проблема, който се решава, и ситуацията, реализирана в резултат на неговото решение. Именно на този етап се правят количествените и свързаните с тях субекти, обекти и ситуации.

2. Системен анализ на проблема. Всички обекти трябва да бъдат разделени на елементи с определение на връзката между тях. Именно на този етап е най-добре да се използват математически методи в икономиката, с помощта на които се извършва количествен и качествен анализ на свойствата на новообразуваните елементи и в резултат на което се извеждат определени неравенства и уравнения. С други думи, получава се система от показатели.

3. Синтезът на системата е математическа формулировка на проблем, при организирането на който се формира математически модел на обект и се определят алгоритми за решаване на проблема. На този етап има вероятност приетите модели от предишните етапи да се окажат неправилни и за да получите правилния резултат, ще трябва да се върнете една или дори две стъпки назад.

След като математическият модел е формиран, можете да продължите към разработването на програма за решаване на проблема на компютър. Ако имате доста сложен обект, който се състои от голям брой елементи, ще трябва да създадете база данни и налични инструменти за работа с нея.

Ако проблемът е стандартен, тогава се използват всякакви подходящи математически методи в икономиката и готов софтуерен продукт.

Крайният етап е директното функциониране на формирания модел и получаване на правилните резултати.

Математическите методи в икономиката трябва да се използват в определена последователност и с използването на съвременни информационни и изчислителни технологии. Само в този ред става възможно да се изключат субективни волеви решения, основани на личен интерес и емоции.

Федерална агенция за образование

Държавна образователна институция за висше професионално образование

Владимирски държавен университет

А.А. ГАЛКИН

МАТЕМАТИЧЕСКИ

ИКОНОМИКА

Одобрено от Министерството на образованието и науката на Руската федерация като учебник

за студенти от висши учебни заведения, обучаващи се по специалността „Приложна информатика (по икономика)“

Владимир 2006г

UDC 330.45: 519.85 BBK 65 V 631

Рецензенти:

Доктор на техническите науки, професор гл. Катедра по автоматизирани информационни и контролни системи, Тулски държавен университет

В.А. Фатуев

Доктор на техническите науки, професор гл. Катедра Информационни системи

Тверски държавен технически университет

Б.В. Палюх

Доктор на икономическите науки, професор гл. Катедра Икономика и управление на предприятията

Владимирски държавен университет

V.F. Архипова

Доктор на физико-математическите науки, професор гл. Катедра по алгебра и геометрия, Владимирски държавен университет

Н.И. Дубровин

Публикува се по решение на редакционно-издателския съвет на Владимирския държавен университет

Галкин, А.А.

G16 Математическа икономика: учебник / А. А. Галкин; Владим. състояние унив. – Владимир: Издателство Владим. състояние ун-т, 2006. – 304 с. – ISBN 5-89368-624-1.

Разглеждат се широк набор от типични оптимизационни проблеми, възникващи в икономиката, и алгоритми, които позволяват решаването на тези проблеми. Дадена е методика за формализиране на тези задачи и тяхната класификация. Представени са методи за решаване на детерминирани статични и динамични оптимизационни задачи. За всеки тип задача и алгоритъм са дадени примери, които демонстрират техниката на практическо използване на тези алгоритми, както и набор от задачи за самостоятелно решение.

Предназначен за студенти, обучаващи се по специалността 080801 - приложна информатика (в икономиката), както и студенти редовна и задочна форма на обучение, студенти и докторанти от сродни специалности, лица, получаващи второ висше образование, както и практикуващи специалисти.

Таблица 80. Ил. 60. Библиография: 39 загл.

§ 6.8. Проблемът за оптималното поетапно разпределение на разпределените средства между предприятията по време на

§ 8.6. Задача за управление на линейна динамична система

с минимизиране на обобщения квадратичен интеграл

§ 9.2. Управление на линейна дискретна система от произволен ред с оптимизация на общото обобщено

Списък на приетите съкращения

TF – целева функция ODR – област на възможните решения

LP – линейно програмиране ZLP – LP задача KZLP – канонично ZLP

TZ – транспортна задача PO – точки на тръгване, PN – точки на дестинация в TZ

MSZU – метод на северозападния ъгъл MZS – метод на златното сечение DP – динамично програмиране VI – вариационно смятане PM – принцип на максимума; DE – диференциално уравнение

ПРЕДГОВОР

IN В подготовката на студенти от различни технически и икономически специалности и области значително място заема изучаването на математически модели и методи, характерни за съответната предметна област, които позволяват с помощта на тези модели да се обясни поведението на системите разглеждани, оценяват техните характеристики и разумно вземат конструктивни, технологични, икономически, организационни и други решения.

Овладяването на тези модели и методи се основава на основата, положена в доста универсална класическа дисциплина, обикновено наричана „Висша математика“. Математическият апарат, който дава възможност за решаване на типични и най-важни задачи за съответната област на приложение, се изучава в специални дисциплини.

За студентите, обучаващи се по специалността „Приложна информатика (в икономиката)“, една от тези дисциплини е „Математическа икономика“. В съответствие с действащия държавен образователен стандарт (SES), програмата на тази дисциплина включва голямо количество учебен материал, свързан с извършването на математически изчисления в областта на икономиката. Този материал е разделен на две части.

IN Първата част разглежда проблемите на финансовия анализ, които в държавните образователни стандарти от предишното поколение бяха разгледани в специална дисциплина - „Финансова математика“.

Втората част на програмата съдържа от математическа гледна точка по-сложни задачи и методи, свързани с намирането на най-доброто, т.е. оптимални решения на различни проблеми, срещани в областта на приложната икономика. Преди това студентите усвоиха този материал, когато изучаваха дисциплината „Теория на оптималното управление в икономическите системи“.

Учебната програма на дисциплината “Икономика на математиката” съдържа широк кръг от доста трудни за изучаване въпроси. Тъй като времето, отделено за обучение в класната стая по тази дисциплина, е доста малко, самостоятелната работа на студентите с учебна литература е от особено значение.

Трябва да се отбележи, че през последните 30 години у нас са издадени много различни монографии, учебници и учебни помагала по математически методи, използвани в икономиката. Учениците обаче срещат сериозни трудности при работа с тях. Първо, много от тези книги вече са практически недостъпни за студентите, тъй като или ги няма в университетските библиотеки, или се предлагат в единични екземпляри. Второ, един учебник не е достатъчен за изучаване на целия материал, предоставен от програмата, а различните книги, като правило, използват различни стилове на представяне и различни нотации. Често нивото на представяне на материала е недостъпно за „истински“ ученик. На трето място, при организиране на учебния процес по дисциплини с математически характер е от основно значение студентите да придобият практически умения за използване на изучаваните методи, а това изисква задачи за самостоятелно решаване. Повечето учебници по разглежданата тема съдържат примери и задачи за илюстриране на техниката на прилагане на представените методи, но те не са достатъчни, за да дадат индивидуални задачи на всички ученици в редовна учебна група.

Предложеният учебник е предназначен за изучаване на втората, по-сложна част от дисциплината „Икономика на математиката“, в която се разглеждат оптимизационни проблеми, възникващи в икономиката, и алгоритми за тяхното решаване. Същият е изготвен при отчитане на горните обстоятелства.

Книгата съдържа формулировки на типични задачи за оптимизация, които възникват в икономическата сфера, извършва се тяхната формализация и се представя същността на методите и алгоритмите, които позволяват решаването им, с илюстрации на техниките на тези алгоритми с помощта на конкретни примери. Освен това за всяка тема има доста голям набор от задачи за самостоятелно решаване, което позволява на всеки ученик да даде своя индивидуална задача.

От огромното разнообразие от възможни оптимизационни проблеми и методи, предложени от съвременната наука, детерминистични проблеми и статични и динамични оптимизационни алгоритми бяха избрани за включване в този учебник. Поради ограничения обем на книгата не се разглеждат оптимизационни задачи с несигурности, включително вероятностно-статистически, интервални, размити и други задачи и модели, както и векторни оптимизационни задачи.

Книгата включва девет глави. Първият дава примери за оптимизационни проблеми от икономическо естество, които демонстрират техниката на формализиране, т.е. получаване на математически модел на проблема, който се решава, е дадена класификация на оптимизационните проблеми.

Глави втора, трета и четвърта са посветени на задачите за линейна статична оптимизация. Втората глава очертава проблемите и методите на линейното програмиране, третата глава разглежда транспортните проблеми отделно, а четвъртата глава обсъжда оптимизационните проблеми, които се интерпретират на графики. За всеки проблем е представен най-ефективният метод за решаване (алгоритъм) и е даден пример, който демонстрира техниката на практическо използване на този алгоритъм. Петата глава описва аналитични и числени методи за решаване на нелинейни статични оптимизационни задачи при липса и наличие на ограничения.

Проблемите с динамичната оптимизация, обикновено наричани проблеми с оптималното управление, се обсъждат в глави шеста до девета. Шестата глава дава обща представа за динамични системи от непрекъснат и дискретен тип, формулира класическия проблем за оптимално управление и динамично програмиране (DP), очертава същността на DP и показва техниката на неговото практическо приложение с помощта на различни икономически примери. Седмата глава очертава основите на вариационното смятане, осмата описва максималния принцип за непрекъснати системи, а деветата обхваща дискретни системи. Във всяка от тези глави се отделя много внимание на анализа на различни конкретни проблеми и примери, илюстриращи методологията за практическо използване на изчислителните зависимости.

В края на всяка от главите от първа до шеста има задачи за самостоятелно решаване. В края на девета глава са дадени задачи за самостоятелно решаване, посветени на методите за оптимално динамично управление.

Специален проблем, който изисква значителни усилия от страна на автора при работата по книгата, е, че някои методи и алгоритми в оригиналната литература са представени по такъв начин, че е доста трудно за студенти от нематематически, но информационни и икономически профили да ги разберем. Ето защо беше необходимо да се намерят възможности за адаптиране на съответния теоретичен материал към реалното ниво на подготовка на студентите, за които е насочена книгата.

Освен това авторът, представяйки голям брой значително различни проблеми и методи, се стреми да поддържа един стил, характер и система на представяне на материала в максималната възможна степен. Бих искал да се надявам, че това е постигнато до известна степен.

При подготовката на учебника е използван материал от лекции и практически занятия по дисциплините „Методи за оптимизация“, „Теория на управлението“, „Теория на оптималното управление в икономическите системи“ и „Математическа икономика“, които авторът е преподавал в продължение на 25 години във Владимир. Държавен университет (VlSU). В тези часове бяха проверени голяма част от теоретичния материал и задачите за самостоятелно решаване. Електронният вариант на учебника е включен в информационните ресурси на електронната библиотека на ВлСУ.

Въпреки факта, че учебникът е подготвен за студенти от специалността "Приложна информатика (в икономиката)", несъмнено той може да бъде полезен за студенти, магистри, специализанти и специалисти в други области, тъй като проблемите с оптимизацията възникват навсякъде. Неслучайно казват, че „няма нищо в природата, в което човек да не може да прозре значението на някакъв максимум или минимум“.

Ще бъде благодарен на всички, които се възползват от книгата и дадат мнение за нейното съдържание, евентуално за недостатъци или неточности. За да направите това, можете да използвате имейл: [имейл защитен].

Работата по книгата, с някои прекъсвания, отне около 10 години, но можеше да се проточи за неопределено време, ако не беше бързата и висококвалифицирана помощ при работата върху ръкописа, предоставена от аспиранта И.В. лагер. За това авторът й изказва специална благодарност.

Предмет и методи на икономическата теория

Икономическите отношения проникват във всички сфери на човешкия живот. Изследването на техните модели е занимавало умовете на философите от древни времена. Постепенното развитие на селското стопанство и появата на частната собственост допринасят за усложняването на икономическите отношения и изграждането на първите икономически системи. Научно-техническият прогрес, обусловил прехода от ръчен към машинен труд, даде силен тласък на консолидацията на производството, а оттам и на разширяването на икономическите връзки и структури. В съвременния свят икономиката все повече се разглежда във връзка с други свързани социални науки. А именно, на кръстовището на две посоки има различни решения, които могат да бъдат приложени на практика.

Самата основна посока към икономиката се оформя едва към средата на деветнадесети век, въпреки че учените в много страни през вековете създават специални школи, които изучават моделите на икономическия живот на хората. Само по това време, в допълнение към качествената оценка на случващото се, учените започнаха да изучават и сравняват реални събития в икономиката. Развитието на класическата икономика допринесе за формирането на приложни дисциплини, които изучават по-тесни области на икономическите системи.

Основният предмет на изучаване на икономическата теория е търсенето на оптимални решения за икономики на различни нива на организация по отношение на задоволяване на нарастващото търсене при ограничени ресурси. Икономистите използват различни методи в своите изследвания. Сред тях най-често използваните са следните:

1. Методи, които ви позволяват да оценявате общи елементи или да обобщавате отделни структури. Те се наричат ​​методи за анализ и синтез.
2. Индукцията и дедукцията позволяват да се разгледа динамиката на процесите от частното към общото и обратно.
3. Системният подход помага да се види отделен елемент на икономиката като структура и да се анализира.
4. В практиката широко се използва методът на абстракция. Тя ви позволява да отделите обекта или явлението, което се изучава, от неговите връзки и външни фактори.
5. Както в други науки, езикът на математиката често се използва в икономиката, което помага да се покажат визуално елементите на изучаваната икономика, както и да се извърши анализ или да се формира необходимата прогноза за тенденциите.

Същността на математическата икономика

Съвременната икономика се отличава със сложността на системите, които изучава. По правило един икономически агент влиза в много взаимоотношения едновременно и всеки ден. Ако говорим за предприятие, тогава броят на неговите вътрешни и външни взаимодействия се увеличава хиляди пъти. За да се улеснят изследователските и аналитичните задачи, пред които са изправени икономистите и учените, се използва езикът на математиката. Развитието на математически инструменти позволява решаването на проблеми, които са извън силата на другите методи, използвани в икономическата теория.

Математическата икономика е приложен клон на икономическата теория. Основната му същност се състои в използването на математически методи, средства и инструменти за описание, изследване и анализ на икономически системи. Тази дисциплина обаче има своите специфики. Той не изучава икономическите явления като такива, а се занимава с изчисления, свързани с математически модели.

Бележка 1

Целта на математическата икономика, подобно на повечето приложни области, може да се нарече формирането на обективна информация и търсенето на решения на практически проблеми. Той изучава преди всичко количествени и качествени показатели, както и поведението на икономическите агенти в динамика.

Предизвикателствата пред математическата икономика са следните:

• Изграждане на математически модели, описващи процеси и явления в икономическите системи.
• Изследване на поведението на различни субекти на икономическите отношения.
• Предоставяне на помощ при изграждане и оценка на планове, прогнози и различни видове събития във времето.
• Извършване на анализ на математически и статистически величини.

Приложна математика в икономиката

Математическата икономика по своята социална значимост е доста близка до математиката. Ако разгледаме тази дисциплина от гледна точка на математическата наука, тогава за нея това е приложна посока. Приложната математика позволява да се разглеждат и анализират отделни елементи на сложни икономически системи, тъй като има широка функционалност, базирана на фундаментални математически знания. Такива възможности на математиката допринесоха за появата на математическата екология, социологията, лингвистиката и финансовата математика.

Нека разгледаме най-важните математически методи, използвани в изследването на икономическите системи:

1. Изследването на операциите се занимава с изучаване на процеси и явления в системите. Това включва аналитична работа и оптимизиране на практическото приложение на получените резултати.
2. Математическото моделиране включва широк набор от методи и инструменти, които правят възможно решаването на проблеми, пред които са изправени учените и икономистите. Най-често използваните са теорията на игрите, теорията на услугите, теорията на графика и теорията на инвентара.
3. Оптимизацията в математиката се занимава с търсенето на екстремни стойности, както максимални, така и минимални. Обикновено за тези цели се използват функционални графики.

Изброените по-горе математически методи позволяват да се изследват статистически ситуации в икономиката или процеси в краткосрочни периоди. Както е известно, в момента основната цел на икономическите субекти е намирането на дългосрочно равновесие. Важен фактор в тези изследвания е факторът време, който може да се вземе предвид чрез използване на теорията на вероятностите и теорията на оптималните решения за изчисления.

Бележка 2

Така математиката и икономиката са тясно свързани помежду си. Обичайно е динамиката на икономическите структури да се облича в математически модели, които след това могат да бъдат разделени на отделни подзадачи и да се прилагат всички възможни методи за икономически анализ, както и математически изчисления. Вземането на решения в икономическата сфера е доста сложно действие, тъй като е свързано с несъвършенството и непълнотата на наличната информация. Използването на математическо моделиране позволява да се намали рискът на управленските решения.

жанр:Икономика

Издател:"ЕДИНСТВО-ДАНА"

формат: DjVu

качество:Сканирани страници

Брой страници: 399

Описание:Книгата се основава на дългогодишния опит на катедрата по приложна математика на Държавния университет по мениджмънт в изнасянето на лекционни курсове по използването на математически методи и модели за икономически изследвания: „Математическа икономика“ (Управление - 061100), „Математически методи и модели за икономически анализ” (Информационни системи в управлението - 071900), “Математически методи за икономически изследвания” (Национална икономика - 060700), “Динамика на икономическите системи” (Национална икономика - 060700) и др.
Учебникът е изготвен в съответствие с програмите на тези дисциплини, може да се използва като математическа помощ за курсовете „Макроикономика“, „Микроикономика“, а също така ще бъде полезен за студенти, магистри и следдипломни икономически образователни катедри. .
Книгата е изготвена с помощта на местна и чуждестранна литература по математическа икономика. В сравнение с първото издание учебникът е значително разширен и преработен: той отразява икономическата динамика много по-подробно, представя модели за прогнозиране на валутни кризи и финансови рискове, а също така представя нови резултати, получени от автора с помощта на трисекторен икономически модел .
Целта на книгата е да даде възможност на читателя да погледне икономиката през очите на изследовател, който се опитва да разбере и формализира мотивите на поведение на потребителите, производителите, финансистите и държавата като организация, представляваща цялото общество и затова се опитва да съчетае и насочи различните интереси на икономическите субекти в творческа посока.
„Математическа икономика” е насочена към систематичното изучаване на икономиката с помощта на математически модели на макро и микро ниво, както и в контекста на най-важните функционални подсистеми на икономиката (производствена и финансово-кредитна).
Книгата се състои от дванадесет глави, групирани в три части: „Математически модели на макроикономиката”, „Математически модели на микроикономиката”, „Математически модели на анализа, прогнозирането и регулирането на икономиката”. Всяка глава е снабдена с примери, въпроси и задачи. Параграфите, примерите, таблиците и фигурите имат двустепенна номерация (номер на глава и номер на параграф (пример, таблица, фигура) в главата, а формулите имат тристепенна номерация (номерът на формулата в параграфа се добавя) .
За улеснение на читателите началото и краят на изводите, доказателствата и разсъжденията, водещи до определени резултати, са отбелязани с празни (не зачернени) и запълнени квадратчета (□ и ■), а началото и краят на примерите са отбелязани с празни и запълнени кръгове (O и ) съответно.
Означенията на максимума са близки до установените в математическата икономика и са описани в текста. По правило с главни букви се обозначават абсолютни показатели и матрици, а с малки букви - относителни показатели, вектори, елементи на вектори и матрици със съответните индекси.
Авторът изказва искрена благодарност на рецензентите – гл. Катедрата по икономика на промишлените предприятия на Руската икономическа академия им. Г. В. Плеханова, доктор по икономика. науки, проф. О.И. Волков, гл Катедра по изследване на операциите, Московски държавен институт по електроника и математика (Технически университет), доктор на физико-математическите науки, проф. На А. Кащанов, както и на екипа от катедра „Приложна математика“ и студентите от ВУУ, участвали в компютърното набиране на ръкописа – Л.В. Синкова, Н. Балайкина, О. Садовникова. МАТЕМАТИЧЕСКИ МОДЕЛИ НА МАКРОИКОНОМИКАТА
Глава 1. Статични модели на макроикономиката
1.1. Макроикономически производствени функции
1.2. Модел на Леонтиев
Глава 2. Линейни динамични модели на макроикономиката с дискретно време
2.1. Икономиката като динамична система
Динамичният модел на Кейнс
Модел на Самюелсън-Хикс
2.2. Динамичен модел на Леонтиев
2.3. Модел на Нойман
Глава 3. Линейни динамични модели на макроикономиката с непрекъснато време
3.1. Математически методи за изследване на икономически динамични системи
3.1.1. Линеен динамичен елемент
3.1.2. Карикатурист
3.1.3. Ускорител
3.1.4. Инерционна връзка
3.1.5. Икономиката под формата на динамичния модел на Кейнс като инерционна връзка
3.1.6. Предавателна функция
3.1. 7. Осцилаторна връзка
3.1.8. Икономика под формата на модела на Самюелсън-Хикс като линейна динамична връзка от втори ред
3.1.9. Характеристики на динамичната връзка
3.2. Анализ и синтез на динамични системи, преходни процеси в тях
3.2.1. Функция за предаване на серийна връзка
3.2.2. Паралелна предавателна функция
3.2.3. Функция за предаване на затворен цикъл с обратна връзка
3.2.4. Въвеждане на множителя в обратната връзка с динамичния модел на Кейнс
3.2.5. Въвеждане на ускорител в положителна обратна връзка с динамичния модел на Кейнс
3.2.5. Устойчивост на линейни динамични системи
3.2. 7. Условия за икономическа стабилност под формата на модела на Самюелсън-Хикс
3.3. Линейни многосвързани динамични системи
Икономиката под формата на динамичен междуотраслов баланс като многосвързана линейна динамична система
3.4. Нелинейни динамични системи. Пазарни цикли в икономиката
3.4.1. Нелинейният динамичен модел на Кейнс
3.4.2. Пазарни цикли в икономиката
3.5. Оптимално управление на динамични системи
3.5.1. Максималният принцип на Понтрягин
3.5.2. Необходими условия за оптималност (принцип на максимума)
Глава 4. Дребносекторни нелинейни динамични модели на макроикономиката
4.1. Solow модел
4.1.1. Преходен режим в модела на Солоу
4.1.2. Златното правило за спестяване
4.1.3. Печалба, в текущото потребление - загуба, в близко бъдеще
4.2. Отчитане на закъсненията при въвеждане на средства
4.3. Едносекторен модел на оптимален икономически растеж
4.4. Трисекторен икономически модел
4.5. Производствени функции на секторите на руската икономика
4.6. Моделиране на стагнация и балансиран икономически растеж
4.6.1. Застой
4.6.2. Балансиран икономически растеж
4.7. Изследване на балансирани стационарни състояния
4.7.1. Златното правило за разпределяне на труда и инвестициите между секторите
4.7.3. Алтернативен начин за определяне на технологичния оптимум
ЧАСТ II. МАТЕМАТИЧЕСКИ МОДЕЛИ НА МИКРОИКОНОМИКАТА
Глава 5. Модели на поведение на потребителите
5.1. Предпочитанията на потребителя и неговата функция на полезност
Модел на поведение на потребителите
5.2. Уравнение на Слуцки
5.2.1. Промяна в търсенето с увеличение на цената с компенсация
5.2.2. Промяна в търсенето, когато доходите се променят
Глава 6. Модели на поведение на производителите
6.1. Фирмен модел
6.1. 1 Реакцията на производителя при промяна на емисионната цена
61.2. Отговорът на производителя на промени в цените на ресурсите
6.2. Поведение на фирмите на конкурентни пазари
6.2.1. Равновесие по Курно
Глава 7. Модели на взаимодействие между потребители и производители
7.1. Модели за установяване на равновесни цени
7.1.1. Мрежовиден модел
7.1. 2. Модел на Evans
7.2. Модел Walras
ЧАСТ III. МОДЕЛИ НА АНАЛИЗ, ПРОГНОЗИРАНЕ И ИКОНОМИЧЕСКО РЕГУЛИРАНЕ
Глава 8. Математически модели на пазарните икономики
8.1. Класически модел на пазарна икономика
8.1.1. Пазар на труда
8.1.2. Паричен пазар
8.2. Моделът на Кейнс
8.3. Математически модели на финансовия пазар
8.3.1. Финансови операции
8.3.2. Финансов риск
8.3.3. Равновесието на пазара на ценни книжа
8.4. Прогнозиране на валутни кризи и финансови рискове
8.4.1. Модел за прогнозиране на финансовия риск
8.4.2. Прогнозиране на валутни кризи
Глава 9. Моделиране на инфлацията
9.1. Същността на инфлацията
9.2. Изследване на инфлацията чрез трисекторен икономически модел
9.2.1. Първият полукръг на инфлацията
9.2.2. Втори полукръг на инфлация
9.3. Условия за възникване и самоподдържане на инфлацията
9.4. Влиянието на инфлацията върху производството
Глава 10. Математически модели на държавното регулиране на икономиката
10.1. Ролята и функциите на данъците в обществото
10.2. Данъците в трисекторната икономика
10.3. Въздействие на увеличаването на данъците върху производството и потреблението
Глава 11. Моделиране на външната търговия
11.1. Модел на отворена трисекторна икономика
11.2. Условия за възможността и осъществимостта на навлизането на националната икономика на световния пазар
11.2.1. Навлизане на световния пазар, като същевременно фиксира дяловете на ресурсите, които се вливат в сектора за създаване на фондове
11.3. Златното правило на външната търговия
11.3.1. Златното правило за разпределение на ресурсите
11.4. Влиянието на външната търговия върху националната икономика
11.4.1. Преразпределение на ресурсите между материалния и потребителския сектор
11.4.2. Преразпределение на ресурсите между материалния и капиталообразуващия сектор
Глава 12. Моделиране на целта на социалното развитие
12.1. Математическа теория на обществения избор
12.2. Модели на сътрудничество и конкуренция
12.2.1. Кооперативни игри
12.2.2. Сътрудничество и конкуренция в трисекторна икономика
12.3. Моделиране на научно-техническия прогрес
12.3.1. Еволюционни модели на научно-техническия прогрес
12.3.2. Модел на технологична промяна
12.3.3. Модел на превъоръжаване на трисекторна икономика
Приложение 1. Свойства на неразложима матрица на директните разходи
Приложение 2. Линейни диференциални уравнения и системи от линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти
Приложение 3. Изследване на изрази, които определят поведението на трисекторна икономика в стационарно състояние
Приложение 4. Оптимален балансиран растеж в трисекторна икономика
Приложение 5. Условия на Kuhn-Tucker
Литература