Тъй като малко хора имат математическо мислене, ще ви разкажа за най-големия научно откритие– елементарно доказателство на последната теорема на Ферма – на най-разбираемия, училищен език.
Доказателството е намерено за специален случай (за проста степен n>2), до който (и до случай n=4) лесно могат да бъдат сведени всички случаи със съставно n.
И така, трябва да докажем, че уравнението A^n=C^n-B^n няма решение в цели числа. (Тук знакът ^ означава степен.)
Доказателството се извършва в бройна система с проста основа n. В този случай последните цифри във всяка таблица за умножение не се повтарят. В обичайната десетична система ситуацията е различна. Например при умножаване на числото 2 по 1 и 6 и двата продукта - 2 и 12 - завършват с еднакви цифри (2). И например в седморната система за числото 2 всички последни цифри са различни: 0x2=...0, 1x2=...2, 2x2=...4, 3x2=...6, 4x2 =...1, 5x2=...3, 6x2=...5, с набор от последни цифри 0, 2, 4, 6, 1, 3, 5.
Благодарение на това свойство, за всяко число A, което не завършва на нула (и в равенството на Ферма, последната цифра на числата A или B, след разделяне на равенството на общ делителчисла A, B, C не е равно на нула), можете да изберете коефициент g, така че числото Ag да има произволно дълъг край от формата 000...001. По това число g умножаваме всички основни числа A, B, C в равенството на Ферма. В този случай ще направим края на единицата доста дълъг, а именно с две цифри по-дълъг от броя (k) нули в края на числото U=A+B-C.
Числото U не е равно на нула - в противен случай C=A+B и A^n<(А+В)^n-B^n, т.е. равенство Ферма является неравенством.
Това всъщност е цялата подготовка на равенството на Ферма за кратко и окончателно изследване. Единственото нещо, което ще направим, е да пренапишем дясната страна на равенството на Ферма – C^n-B^n – като използваме училищната формула за разлагане: C^n-B^n=(C-B)P, или aP. И тъй като по-нататък ще оперираме (умножаваме и събираме) само с цифрите на (k+2)-цифрените окончания на числата A, B, C, тогава не можем да вземем предвид техните водещи части и просто да ги изхвърлим (оставяйки само един факт в паметта: лявата страна на равенството на Ферма е степен).
Единственото нещо, което си струва да се спомене, са последните цифри на числата a и P. В оригиналното равенство на Ферма числото P завършва с числото 1. Това следва от формулата на малката теорема на Ферма, която може да се намери в справочниците. И след умножаване на равенството на Ферма по числото g^n, числото P се умножава по числото g на степен n-1, което според малката теорема на Ферма също завършва на числото 1. Така че в новото еквивалентно равенство на Ферма , числото P завършва на 1. И ако A завършва на 1, тогава A^n също завършва на 1 и следователно числото a също завършва на 1.
И така, имаме начална ситуация: последните цифри A, a, P на числата A, a, P завършват с числото 1.
Е, тогава започва една симпатична и завладяваща операция, наречена за предпочитане „мелница“: като въведем под внимание следващите числа a"", a""" и така нататък, числата a, ние изключително „лесно" изчисляваме, че всички те са също е равно на нула! Думата, която поставих "лесно" в кавички, защото човечеството не можа да намери ключа за това "лесно" в продължение на 350 години! ^(k+2). Не си струва да обръщате внимание на втория член в тази сума - в края на краищата, в по-нататъшното доказателство ние изхвърлихме всички цифри след (k+2)-то в числата (и това радикално опростява анализа)! Така че след изхвърляне на числата на частите на главата, равенството на Ферма приема формата: ...1 =aq^(n-1), където a и q не са числа, а само окончанията на числата a и q! (Не въвеждам нови обозначения, тъй като това затруднява четенето.)
Остава последният философски въпрос: защо числото P може да бъде представено като P=q^(n-1)+Qn^(k+2)? Отговорът е прост: защото всяко цяло число P с 1 в края може да бъде представено в тази форма и то ИДЕНТИЧНО. (Може да бъде представено по много други начини, но ние нямаме нужда от това.) Наистина, за P=1 отговорът е очевиден: P=1^(n-1). За Р=hn+1, числото q=(n-h)n+1, което е лесно да се провери чрез решаване на уравнението [(n-h)n+1]^(n-1)==hn+1 с помощта на двуцифрено окончания. И така нататък (но нямаме нужда от допълнителни изчисления, тъй като трябва да представим само числа от формата P=1+Qn^t).
уф! Е, философията приключи, можете да преминете към изчисления на ниво втори клас, може би просто си спомнете отново биномната формула на Нютон.
И така, нека въведем числото a"" (в числото a=a""n+1) и да го използваме за изчисляване на числото q"" (в числото q=q""n+1):
...01=(a""n+1)(q""n+1)^(n-1), или...01=(a""n+1)[(n-q"")n+ 1 ], откъдето q""=a"".
И сега дясната страна на равенството на Ферма може да бъде пренаписана като:
A^n=(a""n+1)^n+Dn^(k+2), където стойността на числото D не ни интересува.
Сега стигаме до решаващото заключение. Числото a""n+1 е двуцифреното окончание на числото A и СЛЕДОВА, според една проста лема, ЕДИНСТВЕНО определя ТРЕТАТА цифра на степен A^n. И освен това от разширяването на бинома на Нютон
(a""n+1)^n, като се има предвид, че към всеки член на разширението (с изключение на първия, който не може да промени времето!) се добавя ПРОСТ фактор n (числовата база!), ясно е че тази трета цифра е равна на a"" . Но чрез умножаване на равенството на Ферма по g^n, ние превърнахме k+1 цифри преди последната 1 в числото A в 0. И следователно a""=0!!!
Така завършихме цикъла: след като въведохме a"", установихме, че q""=a"", и накрая a""=0!
Е, остава да кажем, че след извършване на напълно подобни изчисления и следващите k цифри, получаваме окончателното равенство: (k + 2)-цифреното окончание на числото a или C-B, точно като числото A, е равно на 1. Но тогава (k+2)-та цифра на числото C-A-B е РАВНА на нула, докато НЕ Е РАВНА на нула!!!
Това всъщност е цялото доказателство. За да го разберете, изобщо не е необходимо да имате висше образование и особено да сте професионален математик. Професионалистите обаче мълчат...
Четимият текст на пълното доказателство се намира тук:
Отзиви
Здравей, Виктор. Хареса ми автобиографията ти. „Не позволявайте да умрете преди смъртта“ звучи страхотно, разбира се. Честно казано, бях зашеметен от срещата си с теоремата на Ферма в Проза! Мястото й тук ли е? Има научни, научно-популярни и сайтове за чайници. Иначе благодаря за литературната работа.
Най-добри пожелания, Аня.
Скъпа Аня, въпреки доста строгата цензура, Прозата ви позволява да пишете ЗА ВСИЧКО. Ситуацията с теоремата на Ферма е следната: големите математически форуми се отнасят към ферматистите накриво, грубо и като цяло се отнасят към тях както могат. Въпреки това представих последната версия на доказателството в малки руски, английски и френски форуми. Все още никой не е изтъкнал никакви контрааргументи и, сигурен съм, никой няма да ги изложи (доказателствата са проверени много внимателно). В събота ще публикувам философска бележка за теоремата.
В прозата почти няма грубияни и ако не се мотаете с тях, много скоро те ще паднат.
Почти всички мои произведения са представени на проза, така че включих и доказателството тук.
До скоро,
Няма много хора в света, които никога не са чували Последната теорема на Ферма- може би това е единственият математически проблем, който стана толкова широко известен и се превърна в истинска легенда. Споменава се в много книги и филми и основният контекст на почти всички препратки е невъзможност за доказване на теоремата.
Да, тази теорема е много известна и в известен смисъл се е превърнала в „идол“, боготворен от любители и професионални математици, но малко хора знаят, че нейното доказателство е намерено и това се случи през 1995 г. Но на първо място.
И така, последната теорема на Ферма (често наричана последната теорема на Ферма), формулирана през 1637 г. от брилянтен френски математик Пиер Ферма, е много проста по същество и разбираема за всеки човек със средно образование. В него се казва, че формулата a n + b n = c n няма естествени (т.е. не дробни) решения за n > 2. Всичко изглежда просто и ясно, но най-добрите математици и обикновените аматьори се борят да намерят решение за повече от три века и половина.
Самият Ферма твърди, че е извел много просто и кратко доказателство на теорията си, но все още не са намерени документални доказателства за този факт. Ето защо сега се смята, че Не можах да намеря фермата общо решениенеговата теорема, въпреки че конкретно доказателство за n = 4 идва от неговата писалка.
След Ферма такива велики умове като Леонард Ойлер(през 1770 г. той предлага решение за n = 3), Адриен Лежандр и Йохан Дирихле(тези учени съвместно намериха доказателство за n = 5 през 1825 г.), Габриел Ламе(който намери доказателството за n = 7) и много други. Към средата на 80-те години става ясно, че научен святе на път към окончателно решение
Последната теорема на Ферма обаче едва през 1993 г. математиците виждат и вярват, че тривековната епопея за намиране на доказателство за последната теорема на Ферма на практика е приключила.
През 1993 г. английски математик Андрю Уайлспредстави на света своя доказателство за последната теорема на Ферма, работата по която продължи повече от седем години. Но се оказа, че това решение съдържа груба грешка, въпреки че като цяло е правилно. Уайлс не се отказал, потърсил помощта на известния специалист по теория на числата Ричард Тейлър и още през 1994 г. публикували коригирано и разширено доказателство на теоремата. Най-удивителното е, че тази работа заема цели 130 (!) страници в математическото списание „Annals of Mathematics“. Но историята не свърши и дотук - крайната точка беше достигната едва през следващата 1995 г., когато беше публикувана окончателната и „идеална“, от математическа гледна точка, версия на доказателството.
От този момент мина много време, но в обществото все още има мнение, че последната теорема на Ферма е неразрешима. Но дори тези, които знаят за намереното доказателство, продължават да работят в тази посока – малцина са доволни, че Великата теорема изисква решение от 130 страници! Ето защо сега усилията на много математици (предимно аматьори, а не професионални учени) са хвърлени в търсене на просто и кратко доказателство, но този път най-вероятно няма да доведе до никъде...
Григорий Перелман. отказник
Василий Максимов
През август 2006 г. бяха обявени имената на най-добрите математици на планетата, които получиха престижния медал на Фийлдс - своеобразен аналог на Нобеловата награда, от която математиците, по прищявка на Алфред Нобел, бяха лишени. Медалът на Фийлдс - в допълнение към почетната значка, победителите получават чек за петнадесет хиляди канадски долара - се присъжда от Международния конгрес на математиците на всеки четири години. Създадена е от канадския учен Джон Чарлз Фийлдс и е присъдена за първи път през 1936 г. От 1950 г. медалът на Филдс се връчва редовно лично от краля на Испания за приноса му в развитието на математическата наука. Лауреати могат да бъдат от един до четирима учени на възраст под четиридесет години. Четиридесет и четирима математици, включително осем руснаци, вече са получили наградата.
Григорий Перелман. Анри Поанкаре.
През 2006 г. лауреати са французинът Венделин Вернер, австралиецът Теренс Тао и двама руснаци - Андрей Окунков, работещ в САЩ, и Григорий Перелман, учен от Санкт Петербург. В последния момент обаче стана известно, че Перелман е отказал тази престижна награда - както съобщиха организаторите, "по принципни причини".
Подобна екстравагантна постъпка на руския математик не беше изненада за хората, които го познаваха. Това не е първият път, когато той отказва математически награди, като обяснява решението си с това, че не обича церемониалните събития и излишната шумотевица около името му. Преди десет години, през 1996 г., Перелман отказа наградата на Европейския математически конгрес, позовавайки се на факта, че не е завършил работата по номинирания за наградата научен проблем и това не беше последният случай. Руският математик като че ли си постави за цел живота да изненадва хората, противопоставяйки се на общественото мнение и научната общност.
Григорий Яковлевич Перелман е роден на 13 юни 1966 г. в Ленинград. От малка се интересувах от точни науки, завършил с отличие прочутата 239-та гимназияс задълбочено проучванематематика, спечели множество математически олимпиади: например през 1982 г., като част от екип от съветски ученици, той участва в Международната олимпиада по математика, проведена в Будапеща. Без изпити Перелман е записан във факултета по механика и математика на Ленинградския университет, където учи с отлични оценки, продължавайки да печели математически състезания на всички нива. След като завършва университета с отличие, той влиза в аспирантура в петербургския клон на Математическия институт на Стеклов. Негов научен ръководител е известният математик академик Александров. След като защити докторската си дисертация, Григорий Перелман остана в института, в лабораторията по геометрия и топология. Неговата работа по теорията на пространствата на Александров е известна; той успя да намери доказателства за редица важни предположения. Въпреки многобройните предложения от водещи западни университети, Перелман предпочита да работи в Русия.
Най-забележителният му успех е решението през 2002 г. на известната хипотеза на Поанкаре, публикувана през 1904 г. и оттогава остава недоказана. Перелман работи върху него осем години. Хипотезата на Поанкаре беше смятана за една от най-великите математически гатанки, а решението му е най-важното постижение в математическа наука: незабавно ще даде напредък в изследванията на проблемите на физическите и математически основи на Вселената. Най-видните умове на планетата предсказаха решението му само след няколко десетилетия, а Институтът по математика Клей в Кеймбридж, Масачузетс, включи проблема на Поанкаре сред седемте най-интересни нерешени математически проблема на хилядолетието, за решението на всеки от които беше обещана награда от милион долара (Проблеми с наградата на хилядолетието).
Хипотезата (понякога наричана проблем) на френския математик Анри Поанкаре (1854–1912) е формулирана по следния начин: всяко затворено едносвързано триизмерно пространство е хомеоморфно на триизмерна сфера. За да изясните, използвайте ясен пример: ако увиете ябълка с гумена лента, тогава по принцип, като затегнете лентата, можете да компресирате ябълката в точка. Ако увиете поничка със същата лента, не можете да я компресирате до точка, без да разкъсате поничката или гумата. В този контекст една ябълка се нарича „просто свързана“ фигура, но поничката не е просто свързана. Преди почти сто години Поанкаре установява, че двуизмерната сфера е просто свързана и предполага, че триизмерната сфера също е просто свързана. Най-добрите математици в света не можаха да докажат тази хипотеза.
За да се класира за наградата на института Клей, Перелман трябваше само да публикува своето решение в един от научни списания, и ако в рамките на две години никой не може да открие грешка в неговите изчисления, тогава решението ще се счита за правилно. Въпреки това Перелман се отклонява от правилата от самото начало, публикувайки решението си на уебсайта за предпечат на научната лаборатория в Лос Аламос. Може би се страхуваше, че в изчисленията му се е промъкнала грешка - подобна история вече се е случила в математиката. През 1994 г. английският математик Андрю Уайлс предложи решение на известната теорема на Ферма и няколко месеца по-късно се оказа, че в неговите изчисления се е прокраднала грешка (въпреки че по-късно тя е коригирана и сензацията все още се случва). Все още няма официално публикуване на доказателството на хипотезата на Поанкаре, но има авторитетно мнение на най-добрите математици на планетата, потвърждаващо правилността на изчисленията на Перелман.
Медалът на Фийлдс е присъден на Григорий Перелман именно за решаването на проблема на Поанкаре. Но руският учен отказа наградата, която несъмнено заслужава. „Грегъри ми каза, че се чувства изолиран от международната математическа общност, извън тази общност, и затова не иска да получи наградата“, каза англичанинът Джон Бол, президент на Световния съюз на математиците (WUM), на пресконференция в Мадрид.
Носят се слухове, че Григорий Перелман изобщо ще напусне науката: преди шест месеца той напусна родния си Математически институт „Стеклов“ и казват, че повече няма да учи математика. Може би руският учен смята, че доказвайки известната хипотеза, той е направил всичко възможно за науката. Но кой ще се заеме да обсъжда хода на мислите на такъв ярък учен и необикновена личност?.. Перелман отказва всякакви коментари и каза пред вестник The Daily Telegraph: „Нищо от това, което мога да кажа, не е от най-малък обществен интерес.“ Водещи научни издания обаче бяха единодушни в оценките си, когато съобщиха, че „Григорий Перелман, след като разреши теоремата на Поанкаре, застана наравно с най-големите гении на миналото и настоящето“.
Месечно литературно и публицистично списание и издателство.
НОВИНИ В НАУКАТА И ТЕХНОЛОГИИТЕ
UDC 51:37;517.958
А.В. Коновко, д.ф.н.
Академия на Държавната противопожарна служба към Министерството на извънредните ситуации на Русия ГОЛЯМАТА ТЕОРЕМА НА ФЕРМА Е ДОКАЗАНА. ИЛИ НЕ?
В продължение на няколко века не беше възможно да се докаже, че уравнението xn+yn=zn за n>2 е неразрешимо в рационални числа и следователно в цели числа. Този проблем е роден под авторството на френския адвокат Пиер Ферма, който в същото време се занимава професионално с математика. Решението й се приписва на американския учител по математика Андрю Уайлс. Това признание продължава от 1993 до 1995 г.
ГОЛЯМАТА ТЕОРЕМА НА ФЕРМА Е ДОКАЗАНА. ИЛИ НЕ?
Разглежда се драматичната история на последното доказване на теоремата на Ферма. Отне почти четиристотин години. Пиер Ферма пише малко. Той пише в компресиран стил. Освен това не публикува изследванията си. Твърдението, че уравнението xn+yn=zn е неразрешимо върху набори от рационални числа и цели числа, ако n>2 беше придружено от коментара на Ферма, че той наистина е намерил забележително доказателство на това твърдение. Потомците не бяха достигнати от това доказване. По-късно това твърдение беше наречено последната теорема на Ферма. Най-добрите математици в света се бориха за тази теорема без резултат. През седемдесетте години френският математик, член на Парижката академия на науките Андре Вейл, изложи нови подходи към решението. На 23 юни, през 1993 г., на конференцията по теория на числата в Кеймбридж, математикът от Принстънския университет Андрю Уилз обяви, че последното доказване на теоремата на Ферма е завършено. Все пак беше рано за триумф.
През 1621 г. френският писател и любител на математиката Клод Гаспар Баше дьо Мезириак публикува гръцкия трактат „Аритметика“ на Диофант с латински преводи коментари. Луксозната „Аритметика“ с необичайно широки полета попадна в ръцете на двадесетгодишния Ферма и стана негов справочник за много години. В полетата той оставя 48 бележки, съдържащи фактите, които е открил за свойствата на числата. Тук, в полетата на „Аритметика“, е формулирана великата теорема на Ферма: „Невъзможно е да се разложи куб на два куба или биквадрат на два биквадрата, или като цяло степен, по-голяма от две, на две степени с еднакъв показател; Намерих едно наистина прекрасно доказателство за това, което поради липса на място не може да се побере в тези полета." Между другото, на латински изглежда така: „Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.“
Големият френски математик Пиер Ферма (1601-1665) разработва метод за определяне на площи и обеми и създава нов метод на тангентите и екстремумите. Заедно с Декарт той става творец аналитична геометрия, заедно с Паскал, стои в началото на теорията на вероятностите в областта на безкрайно малкия метод общо правилодиференциация и доказан в общ изглединтеграционно правило степенна функция... Но най-важното е, че това име е свързано с една от най-мистериозните и драматични истории, които някога са разтърсили математиката - историята на доказателството страхотна теоремаФерма. Сега тази теорема е изразена под формата на просто твърдение: уравнението xn + yn = zn за n>2 е неразрешимо в рационални числа и следователно в цели числа. Между другото, за случая n = 3 средноазиатският математик Ал-Ходжанди се опита да докаже тази теорема през 10 век, но доказателството му не оцеля.
Родом от южната част на Франция, Пиер Ферма получи юридическо образованиеи от 1631 г. е съветник на парламента на град Тулуза (т.е. висш съд). След работен ден в стените на парламента той се зае с математика и веднага се потопи в съвсем различен свят. Пари, престиж, обществено признание – нищо от това нямаше значение за него. Науката никога не се превърна в препитание за него, не се превърна в занаят, винаги оставайки само една вълнуваща игра на ума, разбираема само за малцина. Той продължи кореспонденцията си с тях.
Farm никога не е писал научни трудовев нашето обичайно разбиране. И в кореспонденцията му с приятели винаги има някакво предизвикателство, дори вид провокация, а в никакъв случай академично представяне на проблема и неговото решение. Ето защо много от писмата му впоследствие бяха наречени предизвикателство.
Може би точно затова той никога не е реализирал намерението си да напише специално есе по теория на числата. Междувременно това беше любимата му област на математиката. Именно на нея Ферма посвещава най-вдъхновените редове от писмата си. "Аритметиката", пише той, "има своя собствена област, теорията на целите числа. Тази теория е само леко засегната от Евклид и не е достатъчно развита от неговите последователи (освен ако не се съдържа в тези произведения на Диофант, които опустошенията на времето ни лиши от). Следователно аритметиците трябва да го развиват и обновяват."
Защо самият Ферма не се страхуваше от разрушителните ефекти на времето? Пишеше малко и винаги много стегнато. Но най-важното е, че той не публикува работата си. Приживе те се разпространяват само в ръкописи. Следователно не е изненадващо, че резултатите на Ферма по теория на числата са достигнали до нас в разпръсната форма. Но Булгаков вероятно е бил прав: великите ръкописи не горят! Работата на Ферма остава. Те останаха в писмата му до приятели: лионският учител по математика Жак дьо Били, служителят на монетния двор Бернар Френикел дьо Беси, Марцени, Декарт, Блез Паскал... Остана „Аритметика“ на Диофант с негови коментари в полетата, които след Смъртта на Ферма е включена заедно с коментарите на Баше в новото издание на Диофант, публикувано от най-големия му син Самуел през 1670 г. Само самите доказателства не са оцелели.
Две години преди смъртта си Ферма изпраща на приятеля си Каркави завещателно писмо, което влиза в историята на математиката под заглавието „Обобщение на новите резултати в науката за числата“. В това писмо Ферма доказва известното си твърдение за случай n = 4. Но тогава той най-вероятно не се интересуваше от самото твърдение, а от метода на доказателство, който откри, който самият Ферма нарече безкраен или неопределен низход.
Ръкописите не горят. Но ако не беше отдадеността на Самуел, който след смъртта на баща си събра всичките му математически скици и малки трактати и след това ги публикува през 1679 г. под заглавието „Разни математически произведения“, учените математици трябваше да открият и преоткрият много . Но дори и след тяхното публикуване проблемите, поставени от великия математик, стоят неподвижни повече от седемдесет години. И това не е изненадващо. Във формата, в която се появиха в печат, резултатите от теорията на числата на П. Ферма се появиха пред специалистите под формата на сериозни проблеми, които не винаги бяха ясни на съвременниците, почти без доказателства и индикации за вътрешни логически връзкимежду тях. Може би в липсата на последователна, добре обмислена теория се крие отговорът на въпроса защо самият Ферма никога не е решил да публикува книга по теория на числата. Седемдесет години по-късно Л. Ойлер се интересува от тези произведения и това наистина е второто им раждане...
Математиката плати скъпо за особения начин на Ферма да представя резултатите си, сякаш умишлено пропускаше техните доказателства. Но ако Ферма твърди, че е доказал тази или онази теорема, тогава тази теорема впоследствие е доказана. Имаше обаче проблем с великата теорема.
Една мистерия винаги вълнува въображението. Цели континенти бяха покорени от мистериозната усмивка на Джоконда; теорията на относителността, като ключ към мистерията на пространствено-времевите връзки, стана най-популярна физическа теориявек. И можем спокойно да кажем, че няма друга математическа задача, която да е толкова популярна, колкото беше ___93
Научни и образователни проблеми на гражданската защита
Какво представлява теоремата на Ферма? Опитите да се докаже доведоха до създаването на обширен клон на математиката - теорията на алгебричните числа, но (уви!) самата теорема остана недоказана. През 1908 г. немският математик Волфскел завещава 100 000 марки на всеки, който може да докаже теоремата на Ферма. Това беше огромна сума за онези времена! В един момент можете да станете не само известни, но и да забогатеете баснословно! Следователно не е изненадващо, че гимназисти дори в Русия, далеч от Германия, надпреварвайки се помежду си, се втурнаха да доказват великата теорема. Какво да кажем за професионалните математици! Но напразно! След Първата световна война парите стават безполезни и потокът от писма с псевдодоказателства започва да пресъхва, въпреки че, разбира се, никога не спира. Казват, че известният немски математик Едмунд Ландау подготвил печатни формуляри, за да ги изпрати на авторите на доказателствата на теоремата на Ферма: „Има грешка на страница ..., в ред ....“ (Асистентът беше натоварен със задачата да открие грешката.) Имаше толкова много странности и анекдоти, свързани с доказателството на тази теорема, че човек можеше да състави книга от тях. Последният анекдот е детективската история на А. Маринина „Съвпадение на обстоятелствата“, заснета и показана на телевизионните екрани на страната през януари 2000 г. В него сънародникът ни доказва недоказана от всички негови велики предшественици теорема и твърди за нея Нобелова награда. Както е известно, изобретателят на динамита пренебрегна математиците в завещанието си, така че авторът на доказателството можеше да претендира само за полетата златен медал- най-високата международна награда, одобрена от самите математици през 1936 г.
В класическия труд на изключителния руски математик А.Я. Хинчин, посветен на великата теорема на Ферма, предоставя информация за историята на този проблем и обръща внимание на метода, който Ферма би могъл да използва, за да докаже своята теорема. Дадено е доказателство за случая n = 4 и кратък прегледдруги важни резултати.
Но по времето, когато детективът беше написан и още повече по времето, когато беше заснет, общото доказателство на теоремата вече беше намерено. На 23 юни 1993 г. на конференция по теория на числата в Кеймбридж математикът от Принстън Андрю Уайлс обяви, че последната теорема на Ферма е доказана. Но съвсем не както самият Ферма „обеща“. Пътят, по който пое Андрю Уайлс, не се основаваше на методите на елементарната математика. Изучава така наречената теория на елиптичните криви.
За да получите представа за елиптичните криви, трябва да разгледате равнинна крива, дефинирана от уравнение от трета степен
Y(x,y) = a30X + a21x2y+ ... + a1x+ a2y + a0 = 0. (1)
Всички такива криви са разделени на два класа. Първият клас включва онези криви, които имат точки на заточване (като полукубичната парабола y2 = a2-X с точка на заточване (0; 0)), точки на самопресичане (като декартов лист x3+y3-3axy = 0 , в точката (0; 0)), както и криви, за които полиномът Dx,y) е представен във формата
f(x^y)=:fl(x^y)■:f2(x,y),
където ^(x,y) и ^(x,y) са полиноми от по-ниски степени. Криви от този клас се наричат изродени криви от трета степен. Вторият клас криви се формира от неизродени криви; ще ги наричаме елиптични. Те могат да включват, например, Agnesi Curl (x2 + a2)y - a3 = 0). Ако коефициентите на полинома (1) са рационални числа, тогава елиптичната крива може да се преобразува в така наречената канонична форма
y2= x3 + ax + b. (2)
През 1955 г. японският математик Ю. Танияма (1927-1958) в рамките на теорията на елиптичните криви успя да формулира хипотеза, която отвори пътя за доказателството на теоремата на Ферма. Но нито самият Танияма, нито колегите му са подозирали това тогава. В продължение на почти двадесет години тази хипотеза не привлече сериозно внимание и стана популярна едва в средата на 70-те години. Според хипотезата на Танияма всяка елиптична
крива с рационални коефициенти е модулна. Засега обаче формулировката на хипотезата казва малко на внимателния читател. Следователно са необходими някои определения.
Всяка елиптична крива може да бъде свързана с важна числена характеристика- неговият дискриминант. За крива, дадена в каноничната форма (2), дискриминантът A се определя по формулата
A = -(4a + 27b2).
Нека E е някаква елиптична крива, дадена от уравнение (2), където a и b са цели числа.
За просто число p, разгледайте сравнението
y2 = x3 + ax + b(mod p), (3)
където a и b са остатъците от деленето на целите числа a и b на p и нека означим с np броя на решенията на това сравнение. Числата pr са много полезни при изучаването на въпроса за разрешимостта на уравнения от вида (2) в цели числа: ако някое pr е равно на нула, тогава уравнение (2) няма цели числа. Въпреки това е възможно да се изчислят числа само в най-редките случаи. (В същото време е известно, че р-п|< 2Vp (теоремаХассе)).
Нека разгледаме онези прости числа p, които разделят дискриминанта A на елиптичната крива (2). Може да се докаже, че за такова p полиномът x3 + ax + b може да бъде записан по един от двата начина:
x3 + ax + b = (x + a)2 (x + ß)(mod P)
x3 + ax + b = (x + y)3 (mod p),
където a, ß, y са някои остатъци от делене на p. Ако за всички прости числа p, разделящи дискриминанта на кривата, се реализира първата от двете посочени възможности, то елиптичната крива се нарича полустабилна.
Простите числа, разделящи дискриминанта, могат да бъдат комбинирани в това, което се нарича елиптична крива. Ако E е полустабилна крива, тогава нейният проводник N се дава от формулата
където за всички прости числа p > 5, разделящо A, експонентата eP е равна на 1. Индикаторите 82 и 83 се изчисляват с помощта на специален алгоритъм.
По същество това е всичко, което е необходимо, за да разберем същността на доказателството. Хипотезата на Танияма обаче съдържа сложна и в нашия случай ключова концепция за модулност. Затова нека забравим за елиптичните криви за момент и да разгледаме аналитичната функция f (тоест функцията, която може да бъде представена чрез степенен ред) на комплексния аргумент z, даден в горната полуравнина.
Означаваме с H горната комплексна полуравнина. Нека N е естествено число и k е цяло число. Модулна параболична форма на тегло k от ниво N е аналитична функция f(z), дефинирана в горната полуравнина и удовлетворяваща отношението
f = (cz + d)kf (z) (5)
за всякакви цели числа a, b, c, d, такива че ae - bc = 1 и c се дели на N. Освен това се приема, че
lim f (r + it) = 0,
където r - рационално число, какво от това
Пространството на модулни параболични форми с тегло k от ниво N се означава със Sk(N). Може да се покаже, че има крайна размерност.
По-нататък ще се интересуваме специално от модулни параболични форми на тегло 2. За малки N размерността на пространството S2(N) е представена в табл. 1. По-специално,
Размери на пространството S2(N)
маса 1
н<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2
От условие (5) следва, че % + 1) = за всяка форма f e S2(N). Следователно f е периодична функция. Такава функция може да бъде представена като
Нека наречем модулна параболична форма A^) в S2(N) собствена, ако нейните коефициенти са цели числа, удовлетворяващи отношенията:
a g ■ a = a g+1 ■ p ■ c Г_1 за просто p, което не дели числото N; (8)
(ap) за просто p, делящо числото N;
atn = at an, ако (t,n) = 1.
Нека сега формулираме определение, което играе ключова роля в доказателството на теоремата на Ферма. Елиптична крива с рационални коефициенти и проводник N се нарича модулна, ако има такава собствена форма
f (z) = ^anq" g S2(N),
че ap = p - pr за почти всички прости числа p. Тук n е броят на решенията за сравнение (3).
Трудно е да се повярва в съществуването дори на една такава крива. Доста трудно е да си представим, че ще има функция A(r), която удовлетворява изброените строги ограничения (5) и (8), която ще бъде разширена в серия (7), коефициентите на която ще бъдат свързани с практически неизчислими числа Пр. Но смелата хипотеза на Танияма изобщо не постави под съмнение факта на тяхното съществуване и натрупаният с времето емпиричен материал блестящо потвърди нейната валидност. След две десетилетия на почти пълна забрава, хипотезата на Танияма получи своеобразен втори вятър в трудовете на френския математик, член на Парижката академия на науките Андре Вейл.
Роден през 1906 г., А. Вейл в крайна сметка става един от основателите на група математици, които действат под псевдонима Н. Бурбаки. От 1958 г. А. Уейл става професор в Принстънския институт за напреднали изследвания. И появата на неговия интерес към абстрактната алгебрична геометрия датира от същия този период. През седемдесетте години той се обърна към елиптични функции и предположения на Танияма. Монографията за елиптични функции е преведена тук, в Русия. Той не е сам в хобито си. През 1985 г. немският математик Герхард Фрей предложи, че ако теоремата на Ферма е невярна, т.е. ако има тройка от цели числа a, b, c, така че a" + bn = c" (n > 3), тогава елиптичната крива
y2 = x (x - a")-(x - cn)
не може да бъде модулен, което противоречи на хипотезата на Танияма. Самият Фрей не успя да докаже това твърдение, но скоро доказателството беше получено от американския математик Кенет Рибет. С други думи, Рибет показа, че теоремата на Ферма е следствие от хипотезата на Танияма.
Той формулира и доказва следната теорема:
Теорема 1 (Ribet). Нека E е елиптична крива с рационални коефициенти и дискриминант
и диригент
Нека приемем, че E е модулно и нека
/ (r) = q + 2 aAn e ^ (N)
е съответната правилна форма на ниво N. Фиксираме просто число £, и
р:еР =1;- " 8 р
Тогава има такава параболична форма
/(g) = 2 dnqn e N)
с цели коефициенти, така че разликите an - dn се делят на I за всички 1< п<ад.
Ясно е, че ако тази теорема е доказана за определен показател, тогава тя е доказана за всички показатели, делими на n. Тъй като всяко цяло число n > 2 се дели или на 4, или на нечетно просто число, следователно можем да се ограничим до случаят, когато показателят е или 4, или нечетно просто число. За n = 4 елементарно доказателство на теоремата на Ферма е получено първо от самия Ферма, а след това от Ойлер. По този начин е достатъчно да се проучи уравнението
a1 + b1 = c1, (12)
в която показателят I е нечетно просто число.
Сега теоремата на Ферма може да бъде получена чрез прости изчисления (2).
Теорема 2. Последната теорема на Ферма следва от хипотезата на Танияма за полустабилни елиптични криви.
Доказателство. Нека приемем, че теоремата на Ферма е невярна и нека има съответен контрапример (както по-горе, тук I е странно просто число). Нека приложим теорема 1 към елиптичната крива
y2 = x (x - ae) (x - c1).
Простите изчисления показват, че проводникът на тази крива е даден от формулата
Сравнявайки формули (11) и (13), виждаме, че N = 2. Следователно, съгласно теорема 1 има параболична форма
лежащ в пространството 82(2). Но по силата на съотношението (6) това пространство е нула. Следователно dn = 0 за всички n. В същото време a^ = 1. Следователно разликата ag - dl = 1 не се дели на I и стигаме до противоречие. Така теоремата е доказана.
Тази теорема предостави ключа към доказателството на последната теорема на Ферма. И въпреки това самата хипотеза все още остава недоказана.
След като обяви на 23 юни 1993 г. доказателството на хипотезата на Танияма за полустабилни елиптични криви, които включват криви от вида (8), Андрю Уайлс бързаше. За математиците беше твърде рано да празнуват победата си.
Топлото лято бързо свърши, дъждовната есен беше изоставена и дойде зимата. Уайлс написва и пренаписва окончателната версия на своето доказателство, но педантични колеги откриват все повече и повече неточности в работата му. И така, в началото на декември 1993 г., няколко дни преди ръкописът на Уайлс да отиде за печат, отново бяха открити сериозни пропуски в неговите доказателства. И тогава Уайлс осъзна, че не може да поправи нищо за ден или два. Това изискваше сериозно подобрение. Публикуването на произведението трябваше да бъде отложено. Уайлс се обърна към Тейлър за помощ. „Работата върху грешките“ отне повече от година. Окончателната версия на доказателството на хипотезата на Танияма, написано от Уайлс в сътрудничество с Тейлър, е публикувана едва през лятото на 1995 г.
За разлика от героя А. Маринина, Уайлс не кандидатства за Нобелова награда, но все пак... трябваше да получи някаква награда. Но кое? Уайлс вече беше на петдесет години по това време и златните медали на Фийлдс се присъждат строго до четиридесетгодишна възраст, когато пикът на творческата активност все още не е преминал. И тогава те решиха да създадат специална награда за Wiles - сребърната значка на Fields Committee. Тази значка му беше връчена на следващия конгрес по математика в Берлин.
От всички проблеми, които могат с по-голяма или по-малка вероятност да заемат мястото на последната теорема на Ферма, проблемът за най-близкото опаковане на топките има най-голям шанс. Проблемът с най-плътното опаковане на топките може да се формулира като проблемът как най-икономично да се сгънат портокали в пирамида. Младите математици са наследили тази задача от Йоханес Кеплер. Проблемът възниква през 1611 г., когато Кеплер написва кратко есе „За шестоъгълните снежинки“. Интересът на Кеплер към подреждането и самоорганизацията на частиците на материята го накара да обсъди друг въпрос - най-плътното опаковане на частиците, при което те заемат най-малък обем. Ако приемем, че частиците имат формата на топки, то е ясно, че както и да са разположени в пространството, между тях неизбежно ще останат празнини, а въпросът е обемът на празнините да се намали до минимум. В работата например се посочва (но не е доказано), че такава форма е тетраедър, координатните оси вътре в който определят основния ъгъл на ортогоналност 109°28", а не 90°. Този проблем е от голямо значение за физика на елементарните частици, кристалография и други клонове на природните науки.
Литература
1. Weil A. Елиптични функции според Айзенщайн и Кронекер. - М., 1978.
2. Соловьов Ю.П. Хипотезата на Танияма и последната теорема на Ферма // Образователно списание на Сорос. - № 2. - 1998. - С. 78-95.
3. Последната теорема на Сингх С. Ферма. Историята на една мистерия, която занимава най-добрите умове на света в продължение на 358 години / Прев. от английски Ю.А. Данилова. М.: МЦНМО. 2000. - 260 с.
4. Мирмович Е.Г., Усачева Т.В. Кватернионна алгебра и триизмерни ротации // Това списание № 1 (1), 2008. - С. 75-80.
