Интеграли от тригонометрични функции.
Примери за решения

В този урок ще разгледаме интеграли на тригонометрични функции, тоест запълването на интегралите ще бъде синуси, косинуси, тангенси и котангенси в различни комбинации. Всички примери ще бъдат анализирани подробно, достъпни и разбираеми дори за чайник.

За да изучавате успешно интеграли на тригонометрични функции, трябва да имате добро разбиране на най-простите интеграли, както и да овладеете някои техники за интегриране. Можете да се запознаете с тези материали в лекции Неопределен интеграл. Примери за решенияИ .

И сега имаме нужда от: Таблица на интегралите, Таблица с производниИ Справочник с тригонометрични формули. всичко методически ръководстваможете да намерите на страницата Математически формули и таблици. Препоръчвам да отпечатате всичко. Особено се фокусирам върху тригонометричните формули, те трябва да са пред очите ви– без това ефективността на работа ще намалее значително.

Но първо, какво представляват интегралите в тази статия Не. Няма интеграли от формата, - косинус, синус, умножен по някакъв многочлен (по-рядко нещо с тангенс или котангенс). Такива интеграли се интегрират по части и за да научите метода, посетете урока Интегриране по части. Примери за решения Тук също няма интеграли с „арки“ - арктангенс, арксинус и т.н., те също най-често се интегрират по части.

При намиране на интеграли на тригонометрични функции се използват редица методи:

(4) Използваме табличната формула , единствената разлика е, че вместо „X“ имаме сложен израз.

Пример 2

Пример 3

Намерете неопределения интеграл.

Класика в жанра за тези, които се давят в състезанието. Както вероятно сте забелязали, в таблицата на интегралите няма интеграл от тангенс и котангенс, но въпреки това такива интеграли могат да бъдат намерени.

(1) Използваме тригонометричната формула

(2) Подвеждаме функцията под диференциален знак.

(3) Използваме табличния интеграл .

Пример 4

Намерете неопределения интеграл.

Това е пример за независимо решение, пълното решение и отговор е в края на урока.

Пример 5

Намерете неопределения интеграл.

Градусите ни постепенно ще се повишават =).
Първо решението:

(1) Използваме формулата

(2) Използваме основното тригонометрично тъждество , от което следва, че .

(3) Разделете числителя на знаменателя термин по термин.

(4) Използваме свойството за линейност на неопределения интеграл.

(5) Интегрираме с помощта на таблицата.

Пример 6

Намерете неопределения интеграл.

Това е пример за самостоятелно решение, пълното решение и отговор са в края на урока.

Има и интеграли от тангенси и котангенси, които са в повече високи градуси. В урока се разглежда интегралът на допирателната в куб Как да изчислим площта на плоска фигура?Интеграли на тангенс (котангенс) на четвърта и пета степен могат да бъдат получени на страницата Комплексни интеграли.

Намаляване на степента на интегранта

Тази техника работи, когато интегралните функции са пълни със синуси и косинуси дористепени. За да намалите степента, използвайте тригонометрични формули , и , като последната формула се използва по-често в обратна посока: .

Пример 7

Намерете неопределения интеграл.

Решение:

По принцип тук няма нищо ново, освен че приложихме формулата (понижаване степента на интегранта). Моля, обърнете внимание, че съкратих решението. С натрупването на опит интегралът на може да бъде намерен устно; това спестява време и е доста приемливо при завършване на задачи. IN в такъв случайПрепоръчително е да не описвате правилото , първо устно вземаме интеграла от 1, след това от .

Пример 8

Намерете неопределения интеграл.

Това е пример за самостоятелно решение, пълното решение и отговор са в края на урока.

Това е обещаното увеличение на степента:

Пример 9

Намерете неопределения интеграл.

Първо решението, след това коментарите:

(1) Подгответе интегранта за прилагане на формулата .

(2) Всъщност прилагаме формулата.

(3) Поставяме на квадрат знаменателя и изваждаме константата от знака за интеграл. Можеше да се направи малко по-различно, но според мен беше по-удобно.

(4) Използваме формулата

(5) В третия член отново намаляваме степента, но по формулата .

(6) Представяме подобни термини (тук разделих термин по термин и направи добавянето).

(7) Всъщност вземаме интеграла, правилото за линейност и методът за подреждане на функция под диференциалния знак се извършва устно.

(8) Разресване на отговора.

! IN неопределен интегралЧесто отговорът може да бъде написан по няколко начина

В току-що разгледания пример крайният отговор можеше да бъде написан по различен начин - отваряне на скобите и дори правене на това преди интегрирането на израза, тоест следният завършек на примера е напълно приемлив:

Напълно възможно е тази опция да е още по-удобна, просто го обясних по начина, по който съм свикнал да го решавам сам). Ето още един типичен пример за самостоятелно решение:

Пример 10

Намерете неопределения интеграл.

Този пример може да бъде решен по два начина и може да успеете два напълно различни отговора(по-точно ще изглеждат съвсем различно, но от математическа гледна точка ще са еквивалентни). Най-вероятно няма да видите най-рационалния метод и ще страдате от отварянето на скоби и използването на други тригонометрични формули. Най-ефективното решение е дадено в края на урока.

За да обобщим параграфа, заключаваме: всеки интеграл от формата , където и – доричисла, се решава по метода на намаляване на степента на подинтегралната функция.
На практика се натъкнах на интеграли с 8 и 10 степени и трябваше да разреша ужасната им бъркотия, като намалих степента няколко пъти, което доведе до дълги, дълги отговори.

Метод за заместване на променливи

Както се споменава в статията Метод на промяна на променлива в неопределен интеграл, основната предпоставка за използване на метода на заместване е фактът, че в интегранта има определена функция и нейната производна:
(функциите не са непременно в продукта)

Пример 11

Намерете неопределения интеграл.

Разглеждаме таблицата с производни и забелязваме формулите, , тоест в нашия интегранд има функция и нейната производна. Виждаме обаче, че по време на диференциране косинус и синус взаимно се трансформират един в друг и възниква въпросът как да извършим промяна на променливата и какво разбираме под синус или косинус?! Въпросът може да бъде решен чрез научно бъркане: ако извършим замяната неправилно, нищо добро няма да излезе от това.

Обща насока: в подобни случаи трябва да посочите функцията, която е в знаменателя.

Прекъсваме решението и правим замяна

В знаменателя всичко е наред, всичко зависи само от , сега остава да разберем в какво ще се превърне.
За да направим това, намираме диференциала:

Или накратко:
От полученото равенство, използвайки правилото на пропорцията, изразяваме израза, от който се нуждаем:

Така:

Сега целият ни интегранд зависи само от и можем да продължим да решаваме

Готов. Позволете ми да ви напомня, че целта на замяната е да се опрости интеграндът, в този случай всичко се сведе до интегриране на степенната функция според таблицата.

Неслучайно описах този пример толкова подробно, това беше направено с цел повторение и затвърждаване на материалите от урока Метод на промяна на променлива в неопределен интеграл.

А сега два примера за вашето собствено решение:

Пример 12

Намерете неопределения интеграл.

Пример 13

Намерете неопределения интеграл.

Пълни решения и отговори в края на урока.

Пример 14

Намерете неопределения интеграл.

Тук отново в подинтегралната функция има синус и косинус (функция с производна), но в произведение и възниква дилемата - какво разбираме под синус или косинус?

Можете да опитате да извършите подмяна с помощта на научния метод и ако нищо не работи, тогава го определете като друга функция, но има:

Обща насока: трябва да посочите функцията, която, образно казано, е в „неудобно положение“.

Виждаме, че в този пример ученическият косинус „страда” от степента, а синусът стои свободно, сам по себе си.

Затова нека направим замяна:

Ако някой все още има затруднения с алгоритъма за замяна на променлива и намиране на диференциала, тогава трябва да се върнете към урока Метод на промяна на променлива в неопределен интеграл.

Пример 15

Намерете неопределения интеграл.

Нека анализираме интегранта, какво трябва да се обозначи с ?
Нека си припомним нашите насоки:
1) Функцията най-вероятно е в знаменателя;
2) Функцията е в „неудобно положение“.

Между другото, тези указания са валидни не само за тригонометрични функции.

Синусът отговаря и на двата критерия (особено на втория), така че замяната се предполага сама. По принцип подмяната вече може да се извърши, но първо би било хубаво да разберете какво да правите? Първо „отщипваме“ един косинус:

Запазваме за нашия „бъдещ“ диференциал

И ние го изразяваме чрез синус, използвайки основната тригонометрична идентичност:

Ето го замяната:

Общо правило: Ако една от тригонометричните функции (синус или косинус) е в интегранта странностепен, тогава трябва да „отхапете“ една функция от нечетната степен и да посочите друга функция зад нея.Говорим само за интеграли, където има косинуси и синуси.

В разглеждания пример имахме косинус на нечетна степен, така че извадихме един косинус от степента и го обозначихме като синус.

Пример 16

Намерете неопределения интеграл.

Градусите излитат =).
Това е пример, който можете да решите сами. Пълно решение и отговор в края на урока.

Универсално тригонометрично заместване

Универсалното тригонометрично заместване е често срещан случай на метода на заместване на променливи. Можете да опитате да го използвате, когато „не знаете какво да правите“. Но всъщност има някои насоки за прилагането му. Типичните интеграли, при които трябва да се приложи универсалното тригонометрично заместване, са следните интеграли: , , , и т.н.

Пример 17

Намерете неопределения интеграл.

Универсалното тригонометрично заместване в този случай се осъществява по следния начин. Да заменим: . Аз не използвам буквата, а буквата, това не е някакво правило, просто отново съм свикнал да решавам нещата по този начин.

Тук е по-удобно да се намери диференциала; за това, от равенството, изразявам:
Прикрепям арктангенс към двете части:

Арктангенс и тангенс взаимно се компенсират:

По този начин:

На практика не е нужно да го описвате толкова подробно, а просто използвайте готовия резултат:

! Изразът е валиден само ако под синусите и косинусите имаме просто „X“ за интеграла (за което ще говорим по-късно) всичко ще бъде малко по-различно!

При замяна синусите и косинусите се превръщат в следните дроби:
, , тези равенства се основават на добре известни тригонометрични формули: ,

И така, окончателният дизайн може да изглежда така:

Нека извършим универсално тригонометрично заместване:

За интегриране на рационални функции от формата R(sin x, cos x) се използва заместване, което се нарича универсално тригонометрично заместване. Тогава . Универсалното тригонометрично заместване често води до големи изчисления. Затова, когато е възможно, използвайте следните замествания.

Интегриране на функции, рационално зависими от тригонометрични функции

1. Интеграли от вида ∫ sin n xdx , ∫ cos n xdx , n>0
а) Ако n е нечетно, тогава една степен на sinx (или cosx) трябва да се въведе под знака на диференциала, а от останалата четна степен да се премине към противоположната функция.
б) Ако n е четно, тогава използваме формули за намаляване на степента
2. Интеграли от вида ∫ tg n xdx , ∫ ctg n xdx , където n е цяло число.
Трябва да се използват формули

3. Интеграли от вида ∫ sin n x cos m x dx
а) Нека m и n са с различни паритети. Използваме заместването t=sin x, ако n е нечетно или t=cos x, ако m е нечетно.
б) Ако m и n са четни, тогава използваме формули за намаляване на степента
2sin 2 x=1-cos2x , 2cos 2 x=1+cos2x .
4. Интеграли на формата
Ако числата m и n са с еднаква четност, тогава използваме замяната t=tg x. Често е удобно да се използва техниката на тригонометричните единици.
5. ∫ sin(nx) cos(mx)dx, ∫ cos(mx) cos(nx)dx, ∫ sin(mx) sin(nx)dx

Нека използваме формулите за преобразуване на произведението на тригонометричните функции в тяхната сума:

• sin α cos β = ½(sin(α+β)+sin(α-β))
• cos α cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))
• sin α sin β = ½(cos(α-β)-cos(α+β))

Примери
1. Изчислете интеграла ∫ cos 4 x·sin 3 xdx .
Правим замяната cos(x)=t. Тогава ∫ cos 4 x sin 3 xdx =
2. Изчислете интеграла.
Правейки заместването sin x=t, получаваме

3. Намерете интеграла.
Правим замяната tg(x)=t. Замествайки, получаваме

Интегриране на изрази от формата R(sinx, cosx)

Пример №1. Изчислете интеграли:

Решение.
а) Интегрирането на изрази от формата R(sinx, cosx), където R е рационална функция на sin x и cos x, се преобразуват в интеграли на рационални функции с помощта на универсалното тригонометрично заместване tg(x/2) = t.
Тогава имаме

Универсалното тригонометрично заместване прави възможно преминаването от интеграл на формата ∫ R(sinx, cosx) dx към интеграл на дробна рационална функция, но често такова заместване води до тромави изрази. При определени условия по-простите замествания са ефективни:

• Ако равенството R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)dx е изпълнено, тогава се прилага заместването cos x = t.
• Ако равенството R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx е в сила, тогава заместването sin x = t.
• Ако е валидно равенството R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx, тогава заместването tgx = t или ctg x = t.

В този случай, за да намерите интеграла
нека приложим универсалното тригонометрично заместване tg(x/2) = t.
Тогава отговори:

Представени са основни тригонометрични формули и основни замествания. Очертани са методи за интегриране на тригонометрични функции – интегриране на рационални функции, произведение мощностни функцииот sin x и cos x, произведение на полином, експоненциал и синус или косинус, интегриране на обратни тригонометрични функции. Засягат се нестандартни методи.

Съдържание

Стандартни методи за интегриране на тригонометрични функции

Общ подход

Първо, ако е необходимо, интегралната функция трябва да се трансформира, така че тригонометричните функции да зависят от един аргумент, който е същият като променливата за интегриране.

Например, ако интегралната функция зависи от грях(x+a)И cos(x+b), тогава трябва да извършите преобразуването:
cos (x+b) = cos (x+a - (a-b)) = cos (x+a) cos (b-a) + sin (x+a) sin (b-a).
След това направете замяната z = x+a. В резултат на това тригонометричните функции ще зависят само от интеграционната променлива z.

Когато тригонометричните функции зависят от един аргумент, който съвпада с променливата за интегриране (да кажем, че е z), т.е. интегралната функция се състои само от функции като грях z, защото z, tg z, ctg z, тогава трябва да направите замяна
.
Такова заместване води до интегриране на рационални или ирационални функции (ако има корени) и позволява да се изчисли интегралът, ако е интегриран в елементарни функции.

Въпреки това, често можете да намерите други методи, които ви позволяват да оцените интеграла по по-кратък начин, въз основа на спецификата на интегранта. По-долу е представено обобщение на основните такива методи.

Методи за интегриране на рационални функции на sin x и cos x

Рационални функции от грях хИ cos xса функции, образувани от грях х, cos xи всякакви константи, използващи операциите събиране, изваждане, умножение, деление и повишаване на цяло число. Те са обозначени както следва: R (sin x, cos x). Това може също да включва тангенси и котангенси, тъй като те се образуват чрез разделяне на синус на косинус и обратно.
Интегралите на рационалните функции имат формата:
.

Методите за интегриране на рационални тригонометрични функции са както следва.
1) Заместването винаги води до интеграла на рационална дроб. В някои случаи обаче има замествания (те са представени по-долу), които водят до по-кратки изчисления.
2) Ако Р (sin x, cos x) cos x → - cos x грях х.
3) Ако Р (sin x, cos x)умножено по -1 при замяна sin x → - sin x, тогава заместването t = cos x.
4) Ако R (sin x, cos x)не се променя както при едновременна подмяна cos x → - cos x, И sin x → - sin x, тогава заместването t = tg xили t = ctg x.

Примери:
, , .

Произведение на степенни функции на cos x и sin x

Интеграли на формата

са интеграли на рационални тригонометрични функции. Следователно методите, описани в предишния раздел, могат да бъдат приложени към тях. Методите, базирани на спецификата на такива интеграли, са разгледани по-долу.

Ако m и n са рационални числа, тогава едно от заместванията t = грях хили t = cos xинтегралът се свежда до интеграла на диференциалния бином.

Ако m и n са цели числа, тогава интегрирането се извършва с помощта на формули за редукция:

;
;
;
.

Пример:
.

Интеграли от произведението на полином и синус или косинус

Интеграли от формата:
, ,
където P(x) е полином от x, се интегрират по части. Това дава следните формули:

;
.

Примери:
, .

Интеграли от произведението на полином, експоненциал и синус или косинус

Интеграли от формата:
, ,
където P(x) е полином от x, интегриран с помощта на формулата на Ойлер
e iax = cos брадва + isin брадва(където i 2 = - 1 ).
За да направите това, като използвате метода, описан в предишния параграф, изчислете интеграла
.
Чрез отделяне на реалната и имагинерната част от резултата се получават оригиналните интеграли.

Пример:
.

Нестандартни методи за интегриране на тригонометрични функции

По-долу са дадени редица нестандартни методи, които ви позволяват да изпълнявате или опростявате интегрирането на тригонометрични функции.

Зависимост от (a sin x + b cos x)

Ако интегралната функция зависи само от a sin x + b cos x, тогава е полезно да приложите формулата:
,
Където .

Например

Разлагане на дроби от синуси и косинуси на по-прости дроби

Разгледайте интеграла
.
Най-простият метод на интегриране е да се разложи фракцията на по-прости, като се използва трансформацията:
sin(a - b) = sin(x + a - (x + b)) = sin(x+a) cos(x+b) - cos(x+a) sin(x+b)

Интегриране на дроби от първа степен

При интегрално изчисление
,
удобно е да се изолира цялата част от дробта и производната на знаменателя
а 1 sin x + b 1 cos x =А (a sin x + b cos x) +б (a sin x + b cos x)' .
Константите A и B се намират чрез сравняване на лявата и дясната страна.

Препратки:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузмин, Сборник задачи по висша математика, “Лан”, 2003 г.

Вижте също:

Ще има и задачи за самостоятелно решаване, на които можете да видите отговорите.

Интегрантът може да се преобразува от произведението на тригонометричните функции в сумата

Нека разгледаме интеграли, в които интегралната функция е произведение на синуси и косинуси от първа степен на x, умножени по различни множители, тоест интеграли от вида

Възползвайки се от известни тригонометрични формули

(2)
(3)
(4)
всеки от продуктите в интеграли от формата (31) може да се трансформира в алгебрична сума и да се интегрира по формулите

(5)

(6)

Пример 1.намирам

Решение. Съгласно формула (2) при

Пример 2.намирам интеграл на тригонометрична функция

Решение. Съгласно формула (3) при

Пример 3.намирам интеграл на тригонометрична функция

Решение. Съгласно формула (4) при получаваме следната трансформация на интегранта:

Прилагайки формула (6), получаваме

Интеграл от произведението на степени на синус и косинус от същия аргумент

Нека сега разгледаме интеграли на функции, които са произведение на степени на синус и косинус на един и същ аргумент, т.е.

(7)

В специални случаи един от индикаторите ( мили н) може да бъде нула.

При интегриране на такива функции се използва четна степен на косинус може да се изрази чрез синус, а диференциалът на синус е равен на cos x dx(или дори степен на синус може да бъде изразена чрез косинус, а диференциалът на косинус е равен на - sin x dx ) .

Трябва да се разграничат два случая: 1) поне един от показателите мИ нстранно; 2) двата показателя са четни.

Нека се случи първият случай, а именно индикаторът н = 2к+ 1 - странно. Тогава, предвид това

Интеграндът е представен по такъв начин, че едната му част е функция само на синуса, а другата е диференциала на синуса. Сега се използва замяна на променлива T= грях хрешението се свежда до интегриране на полинома по отношение на T. Ако само степента ме странно, тогава те правят същото, изолирайки фактора sin х, изразяваща остатъка от интегранта по отношение на cos хи вярвайки T=cos х. Тази техника може да се използва и когато интегриране на частните степени на синус и косинус , Кога поне един от показателите е нечетен . Цялата работа е в това частното на степените на синус и косинус е частен случай на тяхното произведение : Когато една тригонометрична функция е в знаменателя на интегранд, нейната степен е отрицателна. Но има и случаи на частични тригонометрични функции, когато степените им са само четни. За тях - в следващия параграф.

Ако и двата показателя мИ н– дори тогава, използвайки тригонометрични формули

намалете експонентите на синуса и косинуса, след което получавате интеграл от същия тип като горния. Следователно интегрирането трябва да продължи по същата схема. Ако един от четните експоненти е отрицателен, т.е. се взема предвид частното от четните степени на синус и косинус, тогава тази схема не е подходяща . След това се използва промяна на променлива в зависимост от това как интегралната функция може да бъде трансформирана. Такъв случай ще бъде разгледан в следващия параграф.

Пример 4.намирам интеграл на тригонометрична функция

Решение. Показателят по косинус е нечетен. Затова нека си представим

T= грях х(Тогава дт=cos х dx ). Тогава получаваме

Връщайки се към старата променлива, най-накрая намираме

Пример 5.намирам интеграл на тригонометрична функция

.

Решение. Косинус експонентата, както в предишния пример, е странна, но по-голяма. Нека си представим

и направете промяна на променливата T= грях х(Тогава дт=cos х dx ). Тогава получаваме

Нека отворим скобите

и получаваме

Връщайки се към старата променлива, получаваме решението

Пример 6.намирам интеграл на тригонометрична функция

Решение. Показателите на синус и косинус са четни. Следователно трансформираме функцията интегранд както следва:

Тогава получаваме

Във втория интеграл правим промяна на променлива, настройка T= грях2 х. Тогава (1/2)дт= cos2 х dx . следователно

Накрая получаваме

Използване на метода за заместване на променливи

Метод за заместване на променливипри интегриране на тригонометрични функции може да се използва в случаите, когато интеграндът съдържа само синус или само косинус, произведението на синус и косинус, в който или синус, или косинус е на първа степен, тангенс или котангенс, както и частното от равномерни степени на синус и косинус на един и същ аргумент. В този случай е възможно да се извършват пермутации не само грях х = Tи грях х = T, но също и tg х = Tи ctg х = T .

Пример 8.намирам интеграл на тригонометрична функция

.

Решение. Нека променим променливата: , тогава . Полученият интеграл може лесно да се интегрира с помощта на таблицата с интеграли:

.

Пример 9.намирам интеграл на тригонометрична функция

Решение. Нека трансформираме тангенса в съотношението на синус и косинус:

Нека променим променливата: , тогава . Полученият интегрант е табличен интегралсъс знак минус:

.

Връщайки се към оригиналната променлива, най-накрая получаваме:

.

Пример 10.намирам интеграл на тригонометрична функция

Решение. Нека променим променливата: , тогава .

Нека трансформираме интегранта, за да приложим тригонометричното тъждество :

Променяме променливата, като не забравяме да поставим знак минус пред интеграла (вижте по-горе, какво е равно на дт). След това факторизираме интегранта и интегрираме според таблицата:

Връщайки се към оригиналната променлива, най-накрая получаваме:

.

Намерете сами интеграла на тригонометрична функция и след това вижте решението

Универсално тригонометрично заместване

Универсално тригонометрично заместване може да се използва в случаите, когато интегралната функция не попада в случаите, разгледани в предходните параграфи. По принцип, когато синус или косинус (или и двете) е в знаменателя на дроб. Доказано е, че синус и косинус могат да бъдат заменени с друг израз, съдържащ тангенс на половината от първоначалния ъгъл, както следва:

Но имайте предвид, че универсалното тригонометрично заместване често води до доста сложно алгебрични трансформации, така че е по-добре да го използвате, когато никой друг метод не работи. Нека разгледаме примери, при които заедно с универсалното тригонометрично заместване се използва заместване под диференциалния знак и метода на неопределените коефициенти.

Пример 12.намирам интеграл на тригонометрична функция

.

Решение. Решение. Да се ​​възползваме универсално тригонометрично заместване. Тогава
.

Умножаваме дробите в числителя и знаменателя по , изваждаме двете и ги поставяме пред знака за интеграл. Тогава