Теоремата на Виета (по-точно теоремата обратна на теоремата Vieta) ви позволява да намалите времето за решаване на квадратни уравнения. Просто трябва да знаете как да го използвате. Как да се научим да решаваме квадратни уравнения с помощта на теоремата на Vieta? Не е трудно, ако се замислите малко.
Сега ще говорим само за решението чрез теоремата на Виета на редуцираното квадратно уравнение. квадратно уравнениее уравнение, в което a, тоест коефициентът на x², е равно на едно. Също така е възможно да се решават квадратни уравнения, които не са дадени с помощта на теоремата на Виета, но поне един от корените не е цяло число. Те са по-трудни за отгатване.
Обратната теорема на теоремата на Виета гласи: ако числата x1 и x2 са такива, че
тогава x1 и x2 са корените на квадратното уравнение
При решаване на квадратно уравнение с помощта на теоремата на Виета са възможни само 4 варианта. Ако си спомняте реда на разсъждение, можете да се научите да намирате цели корени много бързо.
I. Ако q е положително число,
това означава, че корените x1 и x2 са числа с един и същи знак (тъй като само умножаването на числа с еднакви знаци дава положително число).
I.a. Ако -p е положително число, (съответно, стр<0), то оба корня x1 и x2 — положителни числа(тъй като добавихме числа от същия знак и получихме положително число).
I.b. Ако -p — отрицателно число, (съответно p>0), тогава и двата корена са отрицателни числа (събрахме числа с един и същ знак и получихме отрицателно число).
II. Ако q е отрицателно число,
това означава, че корените x1 и x2 имат различни знаци (при умножаване на числа отрицателно число се получава само когато знаците на факторите са различни). В този случай x1 + x2 вече не е сума, а разлика (в края на краищата, когато събираме числа с различни знаци, изваждаме по-малкото от по-голямото по абсолютна стойност). Следователно x1+x2 показва колко се различават корените x1 и x2, тоест колко един корен е по-голям от другия (по абсолютна стойност).
II.а. Ако -p е положително число, (тоест, стр<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.
II.б. Ако -p е отрицателно число, (p>0), тогава по-големият (по модул) корен е отрицателно число.
Нека разгледаме решаването на квадратни уравнения с помощта на теоремата на Виета, използвайки примери.
Решете даденото квадратно уравнение, като използвате теоремата на Виета:
Тук q=12>0, така че корените x1 и x2 са числа с един и същи знак. Тяхната сума е -p=7>0, така че и двата корена са положителни числа. Избираме цели числа, чието произведение е равно на 12. Това са 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Сборът е 7 за двойката 3 и 4. Това означава, че 3 и 4 са корените на уравнението.
В този пример q=16>0, което означава, че корените x1 и x2 са числа с еднакъв знак. Сборът им е -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.
Тук q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, тогава по-голямото число е положително. Така че корените са 5 и -3.
q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.
2.5 Формула на Виета за полиноми (уравнения) от по-високи степени
Формулите, получени от Viète за квадратни уравнения, са верни и за полиноми от по-високи степени.
Нека полиномът
P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n
Има n различни корена x 1, x 2..., x n.
В този случай той има факторизация на формата:
a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)
Нека разделим двете страни на това равенство на 0 ≠ 0 и отворим скобите в първата част. Получаваме равенството:
x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … + (-1) n x 1 x 2 … x n
Но два полинома са идентично равни тогава и само ако коефициентите на едни и същи степени са равни. От това следва, че равенството
x 1 + x 2 + … + x n = -
x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =
x 1 x 2 … x n = (-1) n
Например за полиноми от трета степен
a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3
Имаме идентичности
x 1 + x 2 + x 3 = -
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =
x 1 x 2 x 3 = -
Що се отнася до квадратните уравнения, тази формула се нарича формули на Vieta. Левите части на тези формули са симетрични полиноми от корените x 1, x 2 ..., x n на това уравнение, а десните страни са изразени чрез коефициента на полинома.
2.6 Уравнения, редуцируеми до квадратни (биквадратни)
Уравненията от четвърта степен се свеждат до квадратни уравнения:
ax 4 + bx 2 + c = 0,
наречен биквадратичен и a ≠ 0.
Достатъчно е да поставим x 2 = y в това уравнение, следователно,
ay² + by + c = 0
нека намерим корените на полученото квадратно уравнение
y 1,2 = 
За да намерите веднага корените x 1, x 2, x 3, x 4, заменете y с x и вземете
x² =
x 1,2,3,4 = 
.
Ако уравнение от четвърта степен има x 1, тогава то също има корен x 2 = -x 1,
Ако има x 3, тогава x 4 = - x 3. Сумата от корените на такова уравнение е нула.
2x 4 - 9x² + 4 = 0
Нека заместим уравнението във формулата за корените на биквадратни уравнения:
x 1,2,3,4 = 
,
знаейки, че x 1 = -x 2 и x 3 = -x 4, тогава:
х 3,4 = 
Отговор: x 1,2 = ±2; х 1,2 =
2.7 Изследване на биквадратни уравнения
Нека вземем биквадратното уравнение
ax 4 + bx 2 + c = 0,
където a, b, c са реални числа и a > 0. Като въведем спомагателното неизвестно y = x², разглеждаме корените на това уравнение и въвеждаме резултатите в таблицата (виж Приложение № 1)
2.8 Кардано формула
Ако използваме съвременната символика, извеждането на формулата на Cardano може да изглежда така:
x = 
Тази формула определя корените на общо уравнение от трета степен:
ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.
Тази формула е много тромава и сложна (съдържа няколко сложни радикала). Няма да се прилага винаги, защото... много трудно за попълване.
F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...
Избройте или изберете най-интересните места от 2-3 текста. По този начин разгледахме общите разпоредби за създаване и провеждане на избираеми курсове, които ще бъдат взети предвид при разработването на избираем курс по алгебра за 9 клас „Квадратни уравнения и неравенства с параметър“. Глава II. Методика за провеждане на избираемата дисциплина „Квадратни уравнения и неравенства с параметър” 1.1. са често срещани...
Решения от числени изчислителни методи. За да се определят корените на дадено уравнение, не се изисква познаване на теориите на групите на Абел, Галоа, Ли и др. и използването на специална математическа терминология: пръстени, полета, идеали, изоморфизми и др. За да решите алгебрично уравнение от n-та степен, имате нужда само от способността да решавате квадратни уравнения и да извличате корени от комплексно число. Корените могат да се определят от...
С мерни единици на физични величини в системата MathCAD? 11. Опишете подробно текстовите, графичните и математическите блокове. Лекция №2. Задачи на линейната алгебра и решаване на диференциални уравнения в средата на MathCAD При задачите на линейната алгебра почти винаги има нужда от извършване на различни операции с матрици. Операторският панел с матрици се намира на панела Math. ...
При изучаване на методи за решаване на уравнения от втори ред в училищен курс по алгебра се разглеждат свойствата на получените корени. Понастоящем те са известни като теорема на Виета. Примери за използването му са дадени в тази статия.
Квадратно уравнение
Уравнението от втори ред е равенството, показано на снимката по-долу.
Тук символите a, b, c са някои числа, наречени коефициенти на разглежданото уравнение. За да разрешите равенство, трябва да намерите стойности на x, които го правят вярно.
Обърнете внимание, че тъй като максималната степен, до която x може да бъде повдигнато, е две, тогава броят на корените в общия случай също е две.
Има няколко начина за решаване на този тип равенства. В тази статия ще разгледаме един от тях, който включва използването на така наречената теорема на Виета.
Формулировка на теоремата на Виета
В края на 16-ти век известният математик Франсоа Виете (френски) забелязва, докато анализира свойствата на корените на различни квадратни уравнения, че някои комбинации от тях удовлетворяват специфични зависимости. По-специално, тези комбинации са техният продукт и сбор.
Теоремата на Виета установява следното: корените на квадратно уравнение, когато се сумират, дават съотношението на линейните към квадратните коефициенти, взети с обратен знак, а когато се умножат, те водят до съотношението на свободния член към квадратния коефициент .
Ако общата форма на уравнението е написана, както е показано на снимката в предишния раздел на статията, тогава математически тази теорема може да бъде написана под формата на две равенства:
- r 2 + r 1 = -b / a;
- r 1 x r 2 = c / a.
Където r 1, r 2 е стойността на корените на въпросното уравнение.
Горните две равенства могат да се използват за решаване на редица различни математически задачи. Използването на теоремата на Vieta в примери с решения е дадено в следващите раздели на статията.
Почти всяко квадратно уравнение \може да бъде преобразувано във формата \ Това обаче е възможно, ако първоначално разделите всеки член на коефициент \before \ Освен това можете да въведете нова нотация:
\[(\frac (b)(a))= p\] и \[(\frac (c)(a)) = q\]
Поради това ще имаме уравнение \ наричано в математиката редуцирано квадратно уравнение. Корените на това уравнение и коефициентите са взаимосвързани, което се потвърждава от теоремата на Виета.
Теорема на Виета: Сумата от корените на редуцираното квадратно уравнение \ е равна на втория коефициент \ взет с обратен знак, а произведението на корените е свободният член \
За по-голяма яснота нека решим следното уравнение:
Нека решим това квадратно уравнение, като използваме написаните правила. След като анализирахме първоначалните данни, можем да заключим, че уравнението ще има два различни корена, защото:
Сега от всички множители на числото 15 (1 и 15, 3 и 5) избираме тези, чиято разлика е равна на 2. При това условие попадат числата 3 и 5. Поставяме знак минус пред по-малкото номер. Така получаваме корените на уравнението \
Отговор: \[ x_1= -3 и x_2 = 5\]
Къде мога да реша уравнение, използвайки теоремата на Vieta онлайн?
Можете да решите уравнението на нашия уебсайт https://site. Безплатният онлайн решаващ инструмент ще ви позволи да решавате онлайн уравнения с всякаква сложност за няколко секунди. Всичко, което трябва да направите, е просто да въведете данните си в решаващия инструмент. Можете също така да гледате видео инструкции и да научите как да решите уравнението на нашия уебсайт. И ако все още имате въпроси, можете да ги зададете в нашата група VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Присъединете се към нашата група, винаги се радваме да ви помогнем.
Франсоа Виете (1540-1603) – математик, създател на известните формули на Виете
Теорема на Виетанеобходими за бързо решаване на квадратни уравнения (с прости думи).
Тогава по-подробно Теоремата на Виета е, че сборът от корените на дадено квадратно уравнение е равен на втория коефициент, който се взема с обратен знак, а произведението е равно на свободния член. Всяко редуцирано квадратно уравнение, което има корени, има това свойство.
Използвайки теоремата на Vieta, можете лесно да решавате квадратни уравнения чрез избор, така че нека кажем „благодаря“ на този математик с меч в ръце за нашия щастлив 7-ми клас.
Доказателство на теоремата на Виета
За да докажете теоремата, можете да използвате добре познатите формули за корени, благодарение на които ще съставим сумата и произведението на корените на квадратно уравнение. Едва след това можем да се уверим, че те са равни и съответно .
Да кажем, че имаме уравнение: . Това уравнение има следните корени: и . Нека докажем, че , .
Според формулите за корените на квадратно уравнение:
1. Намерете сумата от корените:
Нека да разгледаме това уравнение, как го получихме точно така:
= .
Етап 1. Намаляването на дробите до общ знаменател се оказва:
= = .
Стъпка 2. Имаме дроб, където трябва да отворим скобите:
Намаляваме дробта с 2 и получаваме:
Доказахме връзката за сумата от корените на квадратно уравнение с помощта на теоремата на Виета.
2. Намерете произведението на корените:
= = = = = .
Нека докажем това уравнение:
Етап 1. Има правило за умножение на дроби, според което умножаваме това уравнение:
Сега си припомняме дефиницията на корен квадратен и изчисляваме:
= .
Стъпка 3. Нека си припомним дискриминанта на квадратното уравнение: . Следователно, вместо D (дискриминант), ние заместваме в последната фракция, тогава се оказва:
= .
Стъпка 4. Отваряме скобите и редуцираме подобни членове до фракцията:
Стъпка 5. Съкращаваме “4a” и получаваме .
Така че ние доказахме връзката за произведението на корените, използвайки теоремата на Виета.
ВАЖНО!Ако дискриминантът е нула, тогава квадратното уравнение има само един корен.
Теорема, обратна на теоремата на Виета
Използвайки теоремата, обратна на теоремата на Виета, можем да проверим дали нашето уравнение е решено правилно. За да разберете самата теорема, трябва да я разгледате по-подробно.
Ако числата са като тези:
И тогава те са корените на квадратното уравнение.
Доказателство на обратната теорема на Виета
Етап 1.Нека заместим изразите за неговите коефициенти в уравнението:
Стъпка 2.Нека трансформираме лявата страна на уравнението:
Стъпка 3. Нека намерим корените на уравнението и за това използваме свойството, че продуктът е равен на нула:
Или . Откъде идва: или .
Примери с решения по теоремата на Виета
Пример 1
Упражнение
Намерете сбора, произведението и сумата от квадратите на корените на квадратно уравнение, без да намирате корените на уравнението.
Решение
Етап 1. Нека си припомним дискриминантната формула. Заменяме нашите числа с буквите. Тоест, , – това замества , и . Това предполага:
Оказва се:
Title="Изобразено от QuickLaTeX.com" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}
Нека изразим сумата от квадратите на корените чрез техния сбор и произведение:
Отговор
7; 12; 25.
Пример 2
Упражнение
Решете уравнението. Не използвайте обаче формули за квадратно уравнение.
Решение
Това уравнение има корени, чийто дискриминант (D) е по-голям от нула. Съответно, според теоремата на Виета, сумата от корените на това уравнение е равна на 4, а продуктът е 5. Първо определяме делителите на числото, чиято сума е равна на 4. Това са числата “ 5” и „-1”. Тяхното произведение е равно на 5, а сумата им е 4. Това означава, че според теоремата, обратна на теоремата на Виета, те са корените на това уравнение.
Отговор
И Пример 4
Упражнение
Напишете уравнение, където всеки корен е два пъти по-голям от съответния корен на уравнението:
Решение
Според теоремата на Виета сумата от корените на това уравнение е равна на 12, а произведението = 7. Това означава, че два корена са положителни.
Сумата от корените на новото уравнение ще бъде равна на:
И работата.
По теоремата, обратна на теоремата на Виета, новото уравнение има формата:
Отговор
Резултатът е уравнение, всеки корен от което е два пъти по-голям:
И така, разгледахме как да решим уравнението с помощта на теоремата на Виета. Много е удобно да използвате тази теорема, ако решавате задачи, които включват знаците на корените на квадратни уравнения. Тоест, ако свободният член във формулата е положително число и ако квадратното уравнение има реални корени, тогава и двете могат да бъдат или отрицателни, или положителни.
И ако свободният член е отрицателно число и ако квадратното уравнение има реални корени, тогава и двата знака ще бъдат различни. Тоест, ако единият корен е положителен, тогава другият корен ще бъде само отрицателен.
Полезни източници:
- Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. Алгебра 8 клас: Москва „Просвещение“, 2016 г. – 318 с.
- Рубин А. Г., Чулков П. В. – учебник по алгебра 8 клас: Москва „Балас”, 2015 г. – 237 с.
- Николски С. М., Потопав М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – Алгебра 8 клас: Москва „Просвещение”, 2014 г. – 300
Теорема на Виета, обратна формула на Виета и примери с решения за манекениактуализиран: 22 ноември 2019 г. от: Научни статии.Ru
