Преобразуване на уравнения, еквивалентни преобразувания. Семинар "решаване на тригонометрични уравнения" Загуба на корени на уравнение може да възникне, когато

Може да доведе до появата на т.нар външни корени. В тази статия първо ще анализираме подробно какво е външни корени. Второ, нека поговорим за причините за възникването им. И трето, използвайки примери, ще разгледаме основните методи за филтриране на външни корени, тоест проверка на корените за наличие на външни сред тях, за да ги изключим от отговора.

Странни корени на уравнението, определение, примери

Училищните учебници по алгебра не дават дефиниция на външен корен. Там идеята за външен корен се формира чрез описание на следната ситуация: с помощта на някои трансформации на уравнението се прави преход от първоначалното уравнение към следствието, намират се корените на полученото следствие , а намерените корени се проверяват чрез заместване в оригиналното уравнение, което показва, че някои от намерените корени не са корени на оригиналното уравнение, тези корени се наричат външни корени за оригиналното уравнение.

Започвайки от тази база, можете да приемете за себе си следната дефиниция на външен корен:

Определение

Външни корени- това са корените на следствието на уравнението, получено в резултат на трансформации, които не са корените на изходното уравнение.

Да дадем пример. Нека разгледаме уравнението и следствието от това уравнение x·(x−1)=0, получено чрез заместване на израза с идентично равен израз x·(x−1) . Оригиналното уравнение има един корен 1. Полученото в резултат на преобразуването уравнение има два корена 0 и 1. Това означава, че 0 е външен корен за оригиналното уравнение.

Причини за възможна поява на чужди корени

Ако за получаване на следственото уравнение не използвате никакви „екзотични“ трансформации, а използвате само основни трансформации на уравнения, тогава външните корени могат да възникнат само по две причини:

поради разширяването на ОДЗ и
поради повдигане на двете страни на уравнението на еднаква четна степен.

Тук си струва да припомним, че разширяването на ODZ в резултат на трансформиране на уравнението се случва главно

При съкращаване на дроби;
При замяна на продукт с един или повече нулеви коефициенти с нула;
При замяна на дроб с нулев числител с нула;
При използване на някои свойства на степени, корени, логаритми;
При използване на някои тригонометрични формули;
Когато двете страни на уравнението се умножат по един и същи израз, той се изтрива от ODZ за това уравнение;
При освобождаване от логаритмични знаци в процеса на решаване.

Примерът от предходния абзац на статията илюстрира появата на външен корен поради разширяването на ODZ, което възниква при преминаване от уравнението към следствието на уравнението x·(x−1)=0. ODZ за първоначалното уравнение е множеството от всички реални числа, с изключение на нулата, ODZ за полученото уравнение е множеството R, тоест ODZ се разширява с числото нула. Това число в крайна сметка се оказва външен корен.

Ще дадем и пример за появата на външен корен поради повдигане на двете страни на уравнението на една и съща четна степен. Ирационалното уравнение има един корен 4 и следствието от това уравнение, получено от него чрез повдигане на квадрат на двете страни на уравнението, тоест уравнението , има два корена 1 и 4. От това става ясно, че повдигането на квадрат на двете страни на уравнението води до появата на външен корен за първоначалното уравнение.

Обърнете внимание, че разширяването на ODZ и повишаването на двете страни на уравнението до една и съща четна степен не винаги води до появата на външни корени. Например, когато се преминава от уравнението към следствието на уравнението x=2, ODZ се разширява от множеството на всички неотрицателни числа до множеството на всички реални числа, но не се появяват външни корени. 2 е единственият корен както на първото, така и на второто уравнение. Освен това не се появяват външни корени при преминаване от уравнение към следствие от уравнение. Единственият корен както на първото, така и на второто уравнение е x=16. Ето защо не говорим за причините за появата на чужди корени, а за причините за евентуалната поява на чужди корени.

Какво представлява отсяването на външни корени?

Терминът „отсяване на чужди корени“ може да се нарече само с удължение установен, той не се среща във всички учебници по алгебра, но е интуитивен, поради което обикновено се използва. Какво се има предвид под отсяване на външни корени става ясно от следната фраза: „... проверката е задължителна стъпка при решаването на уравнение, което ще помогне да се открият външни корени, ако има такива, и да ги изхвърлите (обикновено казват „отсейте ")."

По този начин,

Определение

Отсяване на външни корени- това е откриването и изхвърлянето на външни корени.

Сега можете да преминете към методите за отсяване на външни корени.

Методи за отсяване на чужди корени

Проверка за заместване

Основният начин за филтриране на външни корени е тест за заместване. Тя ви позволява да премахнете външни корени, които биха могли да възникнат както поради разширяването на ODZ, така и поради повишаването на двете страни на уравнението до една и съща четна степен.

Тестът за заместване е както следва: намерените корени на следствието от уравнението се заместват на свой ред в оригиналното уравнение или във всяко уравнение, еквивалентно на него, тези, които дават правилното числово равенство, са корените на първоначалното уравнение, а тези, които дават неправилно числово равенство или израз са корените на оригиналното уравнение безсмислени, са външни корени за оригиналното уравнение.

Нека покажем с пример как да филтрираме външни корени чрез заместване в оригиналното уравнение.

В някои случаи е по-целесъобразно да се филтрират чужди корени с други методи. Това се отнася главно за случаите, когато проверката чрез заместване е свързана със значителни изчислителни трудности или когато стандартният метод за решаване на уравнения от определен тип изисква друга проверка (например, отсяването на външни корени, когато решаването на дробни рационални уравнения се извършва съгласно условие знаменателят на дробта да не е равен на нула). Нека да разгледаме алтернативни начини за премахване на външни корени.

Според Д.Л

За разлика от тестването чрез заместване, филтрирането на външни корени с помощта на ODZ не винаги е подходящо. Факт е, че този метод ви позволява да филтрирате само външни корени, които възникват поради разширяването на ODZ, и не гарантира отсяването на външни корени, които могат да възникнат по други причини, например поради повдигане на двете страни на уравнението на същата четна степен. Освен това не винаги е лесно да се намери OD за решаваното уравнение. Независимо от това, методът за отсяване на външни корени с помощта на ODZ си струва да се поддържа в експлоатация, тъй като използването му често изисква по-малко изчислителна работа, отколкото използването на други методи.

Отстраняването на външни корени според ODZ се извършва по следния начин: всички намерени корени на следствието от уравнението се проверяват, за да се види дали принадлежат към обхвата на допустимите стойности на променливата за първоначалното уравнение или всяко уравнение, еквивалентно на него, тези, които принадлежат на ODZ, са корени на оригиналното уравнение, а тези, които принадлежат на ODZ, са корени на оригиналното уравнение, а тези, които не принадлежат на ODZ, са външни корени за оригиналното уравнение.

Анализът на предоставената информация води до заключението, че е препоръчително да се отсеят външни корени с помощта на ODZ, ако в същото време:

лесно е да се намери ODZ за оригиналното уравнение,
външни корени могат да възникнат само поради разширяването на ODZ,
Тестът за заместване е свързан със значителни изчислителни трудности.

Ще покажем как на практика се извършва премахването на външни корени.

Съгласно условията на DL

Както казахме в предишния параграф, ако външните корени могат да възникнат само поради разширяването на ODZ, тогава те могат да бъдат елиминирани с помощта на ODZ за оригиналното уравнение. Но не винаги е лесно да се намери ODZ под формата на цифров набор. В такива случаи е възможно да се отсеят външни корени не според ODZ, а според условията, които определят ODZ. Нека обясним как се извършва отстраняването на чужди корени в условията на ODZ.

Намерените корени на свой ред се заместват в условията, които определят ODZ за оригиналното уравнение или всяко уравнение, еквивалентно на него. Тези, които отговарят на всички условия, са корените на уравнението. А онези от тях, които не отговарят на поне едно условие или дават израз, който няма смисъл, са странични корени за оригиналното уравнение.

Нека дадем пример за отсяване на външни корени според условията на ODZ.

Отстраняване на външни корени, произтичащи от повишаването на двете страни на уравнението на четна степен

Ясно е, че отстраняването на външни корени, произтичащи от повдигането на двете страни на уравнението на една и съща четна степен, може да бъде направено чрез заместването му в оригиналното уравнение или във всяко уравнение, еквивалентно на него. Но такава проверка може да включва значителни изчислителни трудности. В този случай си струва да знаете алтернативен метод за пресяване на външни корени, за който ще говорим сега.

Отсяване на външни корени, които могат да възникнат при повдигане на двете страни на ирационални уравнения на формата до една и съща четна степен , където n е някои четен брой, може да се извърши съгласно условието g(x)≥0. Това следва от определението за корен от четна степен: корен от четна степен n е неотрицателно число, чиято n-та степен е равна на радикалното число, откъдето . По този начин изразеният подход е вид симбиоза на метода за повишаване на двете страни на уравнението на една и съща степен и метода за решаване на ирационални уравнения чрез определяне на корена. Тоест уравнението , където n е четно число, се решава чрез повдигане на двете страни на уравнението на една и съща четна степен, а елиминирането на външни корени се извършва съгласно условието g(x)≥0, взето от метода за решаване на ирационални уравнения чрез определяне на корена.

В последния урок използвахме три стъпки за решаване на уравнения.

Първият етап е технически. Използвайки верига от трансформации от първоначалното уравнение, стигаме до едно доста просто, което решаваме и намираме корените.

Вторият етап е анализ на решението. Анализираме трансформациите, които извършихме, и установяваме дали са еквивалентни.

Третият етап е проверката. Проверката на всички намерени корени чрез заместването им в оригиналното уравнение е задължителна при извършване на трансформации, които могат да доведат до следствие от уравнение

Винаги ли е необходимо да се разграничават три етапа при решаване на уравнение?

Разбира се, че не. Както например при решаването на това уравнение. IN Ежедневиетоте обикновено не са изолирани. Но всички тези етапи трябва да се „държат в ума“ и да се изпълняват под една или друга форма. Задължително е да се анализира еквивалентността на трансформациите. И ако анализът покаже, че трябва да се направи проверка, значи тя е задължителна. В противен случай уравнението не може да се счита за решено правилно.

Винаги ли е възможно да се проверят корените на уравнение само чрез заместване?

Ако при решаването на уравнението са използвани еквивалентни трансформации, тогава не се изисква проверка. При проверка на корените на уравнение много често се използва ODZ (обхват на допустимите стойности).Ако проверката с ODZ е трудна, тогава се извършва чрез заместването му в оригиналното уравнение.

Упражнение 1

Решете уравнението Корен квадратенот две х плюс три е равно на едно плюс х.

Решение

ODZ на уравнението се определя от система от две неравенства: две x плюс три е по-голямо или равно на нула и едно плюс x е по-голямо или равно на нула. Решението е x по-голямо или равно на минус едно.

Нека повдигнем на квадрат двете страни на уравнението, преместим членовете от едната страна на уравнението в другата, донесем подобни членове, получаваме квадратно уравнениеХ на квадрат е равно на две. Корените му са

х първо, второ е равно на плюс или минус корен квадратен от две.

Преглед

Стойността на x първо е равна на корен квадратен от две е коренът на уравнението, тъй като е включено в ODZ.
Стойността на x секунда е равна на минус корен квадратен от две не е коренът на уравнението, защото не се включва в ДЗ.
Нека проверим, че коренът x е равен на корен квадратен от две, замествайки го в първоначалното равенство, получаваме

истинско равенство, което означава, че x е равно на корен квадратен от две е коренът на уравнението.

Отговор: корен квадратен от две.

Задача 2

Решете уравнението корен квадратен от x минус осем е равно на пет минус x.

Решение

ODZ на ирационално уравнение се определя от система от две неравенства: x минус осем е по-голямо или равно на нула и пет минус x е по-голямо или равно на нула. Решавайки го, откриваме, че тази система няма решения. Коренът на уравнението не може да бъде нито една от стойностите на променливата x.

Отговор: няма корени.

Задача 3

Решете уравнението корен квадратен от x на куб плюс четири x минус едно минус осем квадратни корених на четвърта степен минус х е равно на корен квадратен от х на куб минус едно плюс два корен квадратен от х.

Решение

Намирането на ODZ в това уравнение е доста трудно.

Нека извършим трансформацията: повдигнете на квадрат двете страни на това уравнение,

Нека преместим всички членове в лявата страна на уравнението и да поставим подобни членове, да напишем два корена под един, да получим подобни радикали, да донесем подобни единици, да разделим на коефициента минус 12 и да разложим радикалния израз, получаваме уравнение в под формата на произведение на два множителя, равни на нула. След като го решим, намираме корените:

х първо е равно на едно, х второ е равно на нула.

Тъй като повдигнахме двете страни на уравнението на четна степен, проверката на корените е задължителна.

Преглед

Ако х е равно на едно, тогава

получаваме правилното равенство, което означава, че х е равно на едно е коренът на уравнението.

Ако х е нула, тогава корен квадратен от минус едно е недефиниран.

Това означава, че x равно на нула е външен корен.

Отговор: един.

Задача 4

Решете уравнението логаритъм на израза x на квадрат плюс пет x плюс две по основа две е равно на три.

Решение

Нека намерим уравнението на ODZ. За да направим това, решаваме неравенството х на квадрат плюс пет х плюс две върху нула.

Решаваме неравенството с помощта на интервалния метод. За да направим това, разлагаме лявата му страна на фактори, като предварително сме решили квадратното уравнение и като вземем предвид знака за неравенство, определяме ODZ. ODZ е равно на обединението на отворените лъчи от минус безкрайност до минус дроб пет плюс корен квадратен от седемнадесет, делено на две, и от минус дроб пет минус корен квадратен от седемнадесет делено на две до плюс безкрайност.

Сега нека започнем да намираме корените на уравнението. Като се има предвид, че три е равно на логаритъм от осем по основа две, записваме уравнението следната форма: Логаритъмът на израза х квадрат плюс пет х плюс две по основа две е равен на логаритъм от осем по основа две. Нека потенцираме уравнението, получим и решим квадратно уравнение.

Дискриминантът е четиридесет и девет.

Изчислете корените:

х първо е равно на минус шест; х секунда е равно на едно.

Преглед

Минус шест принадлежи на ODZ, едно принадлежи на ODZ, което означава, че и двете числа са корени на уравнението.

Отговор: минус шест; един.

В последния урок разгледахме въпроса за появата на външни корени. Можем да ги открием чрез проверка. Възможно ли е да се загубят корени при решаване на уравнение и как да се предотврати това?

Когато извършвате такива действия върху уравнение, като например, първо, разделяне на двете страни на уравнението с един и същ израз ax от x (с изключение на случаите, когато е известно със сигурност, че ax от x не е равно на нула за всяко x от областта на дефиниране на уравнението);

второ, стесняването на OD на уравнението по време на процеса на решаване може да доведе до загуба на корените на уравнението.

Помня!

Уравнението, записано като

ef от x, умножено по ash от x, е равно на zhe от x, умножено по ash от x, се решава по този начин:

трябва да факторизирате, като извадите общия множител извън скоби;

след това приравнете всеки фактор към нула, като по този начин получавате две уравнения.

Изчисляваме техните корени.

Упражнение 1

Решете уравнението x куб е равно на x.

Първи начин

Разделяме двете страни на това уравнение на x, получаваме x на квадрат е равно на едно, като корените x първи са равни на едно,

х секунда е равно на минус едно.

Втори начин

X куб е равен на X. Нека преместим x в лявата страна на уравнението, извадим x от скобите и получаваме: x умножено по x на квадрат минус едно е равно на нула.

Нека изчислим неговите корени:

Х първо е равно на нула, х второ е равно на едно, х трето е равно на минус едно.

Уравнението има три корена.

При решаването на първия метод загубихме един корен - x е равно на нула.

Отговор: минус едно; нула; един.

Помня! Намаляването на двете страни на уравнението с фактор, съдържащ неизвестното, може да доведе до загуба на корени.

Задача 2

Решете уравнението: десетичният логаритъм от x на квадрат е равен на две.

Решение

Първи начин

По дефиницията на логаритъм получаваме квадратното уравнение x квадрат е равно на сто.

Неговите корени: x първо е равно на десет; Х секунда е равно на минус десет.

Втори начин

По свойството на логаритмите имаме два десетични логаритъма x е равно на две.

Неговият корен - х е равен на десет

При втория метод коренът x е равен на минус десет беше загубен. И причината е, че са приложили грешна формула, стеснявайки обхвата на уравнението. Изразът за десетичния логаритъм от x на квадрат е дефиниран за всички x с изключение на x равно на нула. Изразът за десетичния логаритъм от x е за x, по-голямо от нула. Правилната формула за десетичен логаритъм x на квадрат е равна на две десетични логаритмимодул x.

Помня! Когато решавате уравнение, използвайте наличните формули разумно.

При решаване на уравнения най-често се използват следните трансформации:

Други трансформации

В списъка, представен в предишния параграф, съзнателно не включихме такива трансформации като повдигане на двете страни на уравнението на една и съща естествена степен, логаритъм, потенциране на двете страни на уравнението, извличане на корен на една степен от двете страни на уравнението , освобождаване от външна функция и др. Факт е, че тези трансформации не са толкова общи: трансформациите от горния списък се използват за решаване на уравнения от всички типове, а току-що споменатите трансформации се използват за решаване на определени видове уравнения (ирационални, експоненциални, логаритмични и т.н.). Те са разгледани подробно в рамките на съответните методи за решаване на съответните видове уравнения. Ето връзки към техните подробни описания:

Повдигане на двете страни на уравнение на една и съща естествена степен.
Вземане на логаритми от двете страни на уравнението.
Потенциране на двете страни на уравнението.
Извличане на корен на една и съща степен от двете страни на уравнение.
Замяна на израз, съответстващ на една от частите на оригиналното уравнение, с израз от друга част на оригиналното уравнение.

Предоставените връзки съдържат изчерпателна информация за изброените трансформации. Затова повече няма да се спираме на тях в тази статия. Цялата следваща информация се отнася за трансформации от списъка с основни трансформации.

Какво се случва в резултат на трансформирането на уравнението?

Извършването на всички горни трансформации може да даде или уравнение, което има същите корени като оригиналното уравнение, или уравнение, чиито корени съдържат всички корени на оригиналното уравнение, но което може да има и други корени, или уравнение, чиито корени няма включват всички корени на трансформираното уравнение. В следващите параграфи ще анализираме кои от тези трансформации, при какви условия водят до какви уравнения. Това е изключително важно да се знае за успешното решаване на уравнения.

Еквивалентни преобразувания на уравнения

От особен интерес са трансформациите на уравнения, които водят до еквивалентни уравнения, тоест уравнения, които имат същия набор от корени като оригиналното уравнение. Такива трансформации се наричат еквивалентни трансформации. В училищните учебници съответното определение не е дадено изрично, но е лесно да се прочете от контекста:

Определение

Еквивалентни преобразувания на уравненияса трансформации, които дават еквивалентни уравнения.

Така че защо еквивалентните трансформации са интересни? Факт е, че ако с тяхна помощ е възможно да се стигне от решаваното уравнение до сравнително просто еквивалентно уравнение, тогава решаването на това уравнение ще даде желаното решение на първоначалното уравнение.

От трансформациите, изброени в предходния параграф, не всички са винаги еквивалентни. Някои трансформации са еквивалентни само при определени условия. Нека направим списък с твърдения, които определят кои трансформации и при какви условия са еквивалентни трансформации на уравнението. За да направим това, ще вземем горния списък като основа и към трансформациите, които не винаги са еквивалентни, ще добавим условия, които им дават еквивалентност. Ето списъка:

Замяната на израз от лявата или дясната страна на уравнението с израз, който не променя променливите за уравнението, е еквивалентна трансформацияуравнения

Нека обясним защо това е така. За да направим това, вземаме уравнение с една променлива (подобно разсъждение може да се извърши за уравнения с няколко променливи) във формата A(x)=B(x), обозначихме изразите от лявата и дясната му страна като A( x) и B(x), съответно. Нека изразът C(x) е идентично равен на израза A(x) и ODZ на променливата x на уравнението C(x)=B(x) съвпада с ODZ на променливата x за оригиналното уравнение. Нека докажем, че преобразуването на уравнението A(x)=B(x) в уравнението C(x)=B(x) е еквивалентно преобразуване, т.е. ще докажем, че уравненията A(x)=B (x) и C(x) =B(x) са еквивалентни.

За да направите това, достатъчно е да покажете, че всеки корен на първоначалното уравнение е корен на уравнението C(x)=B(x), а всеки корен на уравнението C(x)=B(x) е корен на първоначалното уравнение.

Да започнем с първата част. Нека q е коренът на уравнението A(x)=B(x), тогава, когато го заместим с x, ще получим правилното числово равенство A(q)=B(q). Тъй като изразите A(x) и C(x) са идентично равни и изразът C(q) има смисъл (това следва от условието, че OD за уравнението C(x)=B(x) съвпада с OD за първоначалното уравнение), то численото равенство A(q)=C(q) е вярно. След това използваме свойствата на числовите равенства. Поради свойството на симетрия, равенството A(q)=C(q) може да бъде пренаписано като C(q)=A(q) . Тогава, поради свойството на транзитивност, равенствата C(q)=A(q) и A(q)=B(q) предполагат равенството C(q)=B(q). Това доказва, че q е коренът на уравнението C(x)=B(x) .

Втората част, а с нея и цялото твърдение като цяло, се доказва по абсолютно аналогичен начин.

Същността на анализираната еквивалентна трансформация е следната: тя ви позволява да работите отделно с изрази от лявата и дясната страна на уравненията, като ги замествате с идентично равни изрази на оригиналния ODZ на променливи.

Най-често срещаният пример: можем да заменим сбора от числата от дясната страна на уравнението x=2+1 с неговата стойност, което ще доведе до еквивалентно уравнение от вида x=3. Наистина, ние заменихме израза 2+1 с идентично равен израз 3 и ODZ на уравнението не се промени. Друг пример: от лявата страна на уравнението 3·(x+2)=7·x−2·x+4−1 можем, а от дясната – , което ще ни доведе до еквивалентното уравнение 3·x+ 6=5·x+ 3. Полученото уравнение наистина е еквивалентно, тъй като заменихме изразите с идентично равни изрази и в същото време получихме уравнение, което има OD, която съвпада с OD за оригиналното уравнение.

Добавянето на едно и също число към двете страни на уравнението или изваждането на едно и също число от двете страни на уравнението е еквивалентно преобразуване на уравнението.

Нека докажем, че добавянето на едно и също число c към двете страни на уравнението A(x)=B(x) дава еквивалентното уравнение A(x)+c=B(x)+c и това изваждане от двете страни на уравнението A(x) =B(x) на същото число c дава еквивалентното уравнение A(x)−c=B(x)−c.

Нека q е коренът на уравнението A(x)=B(x), тогава равенството A(q)=B(q) е вярно. Свойствата на числовите равенства ни позволяват да добавим към двете страни на истинско числово равенство или да извадим същото число от неговите части. Нека означим това число като c, тогава са валидни равенствата A(q)+c=B(q)+c и A(q)−c=B(q)−c. От тези равенства следва, че q е коренът на уравнението A(x)+c=B(x)+c и уравнението A(x)−c=B(x)−c.

Сега обратно. Нека q е коренът на уравнението A(x)+c=B(x)+c и уравнението A(x)−c=B(x)−c, тогава A(q)+c=B(q) +c и A (q)−c=B(q)−c . Знаем, че изваждането на едно и също число от двете страни на истинско числово равенство води до истинско числово равенство. Знаем също, че добавянето на правилното числено равенство към двете страни дава правилното числово равенство. Нека извадим числото c от двете страни на правилното числено равенство A(q)+c=B(q)+c и добавим числото c към двете страни на равенството A(x)−c=B(x) −c. Това ще ни даде правилните числени равенства A(q)+c−c=B(q)+c−c и A(q)−c+c=B(q)+c−c, от които заключаваме, че A (q) =B(q) . От последното равенство следва, че q е коренът на уравнението A(x)=B(x) .

Това доказва първоначалното твърдение като цяло.

Нека дадем пример за такова преобразуване на уравнения. Нека вземем уравнението x−3=1 и го трансформираме, като добавим числото 3 към двете страни, след което получаваме уравнението x−3+3=1+3, което е еквивалентно на първоначалното. Ясно е, че в полученото уравнение можете да извършвате операции с числа, както обсъдихме в предишния елемент от списъка, като резултат имаме уравнението x=4. И така, извършвайки еквивалентни трансформации, ние случайно решихме уравнението x−3=1, коренът му е числото 4. Разглежданата еквивалентна трансформация много често се използва, за да се отървете от идентични числови термини, разположени в различни частиуравнения Например, както в лявата, така и в дясната страна на уравнението x 2 +1=x+1 има един и същ член 1, изваждането на числото 1 от двете страни на уравнението ни позволява да преминем към еквивалентното уравнение x 2 + 1−1=x+1−1 и по-нататък към еквивалентно уравнение x 2 =x, като по този начин се отърваваме от тези идентични членове.

Добавянето към двете страни на уравнението или изваждането от двете страни на уравнението на израз, за който ODZ не е по-тесен от ODZ за първоначалното уравнение, е еквивалентно преобразуване.

Нека докажем това твърдение. Тоест доказваме, че уравненията A(x)=B(x) и A(x)+C(x)=B(x)+C(x) са еквивалентни, при условие че ODZ за израза C(x ) вече не е , отколкото ODZ за уравнението A(x)=B(x) .

Първо доказваме една спомагателна точка. Нека докажем, че при посочените условия OD уравненията преди и след трансформацията са еднакви. Наистина, ODZ за уравнението A(x)+C(x)=B(x)+C(x) може да се разглежда като пресечната точка на ODZ за уравнението A(x)=B(x) и ODZ за израза C(x) . От това и от факта, че ODZ за израза C(x) не е по-тесен по условие от ODZ за уравнението A(x)=B(x), следва, че ODZ за уравненията A(x)= B(x) и A (x)+C(x)=B(x)+C(x) са еднакви.

Сега ще докажем еквивалентността на уравненията A(x)=B(x) и A(x)+C(x)=B(x)+C(x), при условие че обхватите на приемливите стойности за тези уравненията са еднакви. Няма да даваме доказателство за еквивалентността на уравненията A(x)=B(x) и A(x)−C(x)=B(x)−C(x) при определеното условие, тъй като е подобно .

Нека q е коренът на уравнението A(x)=B(x), тогава численото равенство A(q)=B(q) е вярно. Тъй като ODZ на уравненията A(x)=B(x) и A(x)+C(x)=B(x)+C(x) са еднакви, тогава изразът C(x) има смисъл при x =q, което означава, че C(q) е някакво число. Ако добавим C(q) към двете страни на правилното числено равенство A(q)=B(q) , това ще даде правилното числено неравенство A(q)+C(q)=B(q)+C(q ), от което следва, че q е коренът на уравнението A(x)+C(x)=B(x)+C(x) .

Обратно. Нека q е коренът на уравнението A(x)+C(x)=B(x)+C(x), тогава A(q)+C(q)=B(q)+C(q) е истинско числено равенство. Знаем, че изваждането на едно и също число от двете страни на истинско числово равенство води до истинско числово равенство. Извадете C(q) от двете страни на равенството A(q)+C(q)=B(q)+C(q) , това дава A(q)+C(q)−C(q)=B(q)+C(q)−C(q)и освен това A(q)=B(q) . Следователно q е коренът на уравнението A(x)=B(x) .

Така въпросното твърдение е напълно доказано.

Нека дадем пример за тази трансформация. Нека вземем уравнението 2 x+1=5 x+2. Можем да добавим към двете страни, например, израза −x−1. Добавянето на този израз няма да промени ODZ, което означава, че такава трансформация е еквивалентна. В резултат на това получаваме еквивалентното уравнение 2 x+1+(−x−1)=5 x+2+(−x−1). Това уравнение може да бъде трансформирано допълнително: отворете скобите и намалете подобни членове от лявата и дясната му страна (вижте първия елемент в списъка). След като извършим тези действия, получаваме еквивалентното уравнение x=4·x+1. Трансформацията на уравненията, която често се разглежда, се използва, за да се отървем от идентични членове, които са едновременно от лявата и дясната страна на уравнението.

Ако преместите член в уравнение от една част в друга, като промените знака на този член на противоположния, ще получите уравнение, еквивалентно на даденото.

Това твърдение е следствие от предишните.

Нека покажем как се извършва тази еквивалентна трансформация на уравнението. Нека вземем уравнението 3·x−1=2·x+3. Нека преместим члена, например, 2 x от дясната страна наляво, променяйки знака му. В този случай получаваме еквивалентното уравнение 3·x−1−2·x=3. Можете също така да преместите минус едно от лявата страна на уравнението вдясно, като промените знака на плюс: 3 x−2 x=3+1. И накрая, привеждането на подобни членове ни води до еквивалентното уравнение x=4.

Умножаването или разделянето на двете страни на уравнението с едно и също ненулево число е еквивалентна трансформация.

Нека дадем доказателство.

Нека A(x)=B(x) е някакво уравнение и c е някакво число, различно от нула. Нека докажем, че умножаването или разделянето на двете страни на уравнението A(x)=B(x) по числото c е еквивалентно преобразуване на уравнението. За да направим това, доказваме, че уравненията A(x)=B(x) и A(x) c=B(x) c, както и уравненията A(x)=B(x) и A(x) :c= B(x):c - еквивалент. Това може да стане по следния начин: докажете, че всеки корен на уравнението A(x)=B(x) е корен на уравнението A(x) c=B(x) c и корен на уравнението A(x) :c=B(x) :c и след това докажете, че всеки корен на уравнението A(x) c=B(x) c, като всеки корен на уравнението A(x):c=B(x):c , е корен на уравнението A(x) =B(x) . Хайде да го направим.

Нека q е коренът на уравнението A(x)=B(x) . Тогава численото равенство A(q)=B(q) е вярно. След като изучихме свойствата на числовите равенства, научихме, че умножаването или разделянето на двете страни на истинско числово равенство с едно и също число, различно от нула, води до истинско числово равенство. Умножавайки двете страни на равенството A(q)=B(q) по c, получаваме правилното числово равенство A(q) c=B(q) c, от което следва, че q е коренът на уравнението A( x) c= B(x)·c . И като разделим двете страни на равенството A(q)=B(q) на c, получаваме правилното числово равенство A(q):c=B(q):c, от което следва, че q е коренът на уравнение A(x):c =B(x):c.

Сега в другата посока. Нека q е коренът на уравнението A(x) c=B(x) c. Тогава A(q)·c=B(q)·c е истинско числено равенство. Разделяйки двете му части на ненулево число c, получаваме правилното числено равенство A(q)·c:c=B(q)·c:c и още A(q)=B(q) . От това следва, че q е коренът на уравнението A(x)=B(x) . Ако q е коренът на уравнението A(x):c=B(x):c. Тогава A(q):c=B(q):c е истинско числово равенство. Умножавайки двете части от него по ненулево число c, получаваме правилното числено равенство A(q):c·c=B(q):c·c и допълнително A(q)=B(q) . От това следва, че q е коренът на уравнението A(x)=B(x) .

Твърдението е доказано.

Нека дадем пример за тази трансформация. С негова помощ можете например да се отървете от дроби в уравнението. За да направите това, можете да умножите двете страни на уравнението по 12. Резултатът е еквивалентно уравнение на формата , което след това може да се трансформира в еквивалентното уравнение 7 x−3=10, което не съдържа дроби в нотацията си.

Умножаването или разделянето на двете страни на уравнение с един и същ израз, OD, за който не е по-тясна от OD за оригиналното уравнение и не се нулира от OD за оригиналното уравнение, е еквивалентна трансформация.

Нека докажем това твърдение. За да направим това, доказваме, че ако ODZ за израза C(x) не е по-тесен от ODZ за уравнението A(x)=B(x) и C(x) не се равнява на ODZ за уравнението A(x)=B( x) , след това уравненията A(x)=B(x) и A(x) C(x)=B(x) C(x), както и уравненията A(x) =B(x) и A( x):C(x)=B(x):C(x) - еквивалент.

Нека q е коренът на уравнението A(x)=B(x) . Тогава A(q)=B(q) е истинско числово равенство. От факта, че ODZ за израза C(x) не е същият ODZ за уравнението A(x)=B(x), следва, че изразът C(x) има смисъл, когато x=q. Това означава, че C(q) е някакво число. Освен това C(q) е различно от нула, което следва от условието, че изразът C(x) не се занулява. Ако умножим двете страни на равенството A(q)=B(q) по ненулево число C(q), това ще даде правилното числово равенство A(q)·C(q)=B(q)· C(q) , от което следва, че q е коренът на уравнението A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Ако разделим двете страни на равенството A(q)=B(q) на различно от нула число C(q), това ще даде правилното числово равенство A(q):C(q)=B(q): C(q) , от което следва, че q е коренът на уравнението A(x):C(x)=B(x):C(x) .

Обратно. Нека q е коренът на уравнението A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Тогава A(q)·C(q)=B(q)·C(q) е истинско числено равенство. Обърнете внимание, че ODZ за уравнението A(x) C(x)=B(x) C(x) е същото като ODZ за уравнението A(x)=B(x) (обосновахме това в един от предишни параграфи текущ списък). Тъй като C(x) по условие не изчезва в ODZ за уравнението A(x)=B(x), тогава C(q) е ненулево число. Разделяйки двете страни на равенството A(q) C(q)=B(q) C(q) на различно от нула число C(q), получаваме правилното числово равенство A(q)·C(q):C(q)=B(q)·C(q):C(q)и освен това A(q)=B(q) . От това следва, че q е коренът на уравнението A(x)=B(x) . Ако q е коренът на уравнението A(x):C(x)=B(x):C(x) . Тогава A(q):C(q)=B(q):C(q) е истинско числово равенство. Умножавайки двете страни на равенството A(q):C(q)=B(q):C(q) с различно от нула число C(q), получаваме правилното числено равенство A(q):C(q)·C(q)=B(q):C(q)·C(q)и освен това A(q)=B(q) . От това следва, че q е коренът на уравнението A(x)=B(x) .

Твърдението е доказано.

За по-голяма яснота даваме пример за извършване на разглобена трансформация. Нека разделим двете страни на уравнението x 3 ·(x 2 +1)=8·(x 2 +1) на израза x 2 +1. Тази трансформация е еквивалентна, тъй като изразът x 2 +1 не изчезва върху OD за оригиналното уравнение и OD на този израз не е по-тясна от OD за оригиналното уравнение. В резултат на тази трансформация получаваме еквивалентното уравнение x 3 ·(x 2 +1):(x 2 +1)=8·(x 2 +1):(x 2 +1), което може допълнително да се трансформира в еквивалентното уравнение x 3 =8.

Трансформации, водещи до следствия

В предишния параграф разгледахме кои трансформации от списъка с основни трансформации и при какви условия са еквивалентни. Сега да видим кои от тези трансформации и при какви условия водят до следствени уравнения, тоест до уравнения, които съдържат всички корени на трансформираното уравнение, но освен тях могат да имат и други корени - външни корени за първоначалното уравнение.

Трансформациите, водещи до следствени уравнения, са търсени не по-малко от еквивалентните трансформации. Ако с тяхна помощ е възможно да се получи уравнение, което е доста просто по отношение на решението, тогава неговото решение и последващото елиминиране на външни корени ще дадат решение на първоначалното уравнение.

Обърнете внимание, че всички еквивалентни трансформации могат да се считат за специални случаи на трансформации, които водят до следствени уравнения. Това е разбираемо, тъй като еквивалентното уравнение е частен случай на следствие от уравнение. Но от практическа гледна точка е по-полезно да се знае, че разглежданата трансформация е точно еквивалентна и не води до следствие от уравнение. Нека обясним защо това е така. Ако знаем, че трансформацията е еквивалентна, тогава полученото уравнение определено няма да има корени, външни за оригиналното уравнение. И трансформацията, водеща до следствието, може да е причина за появата на външни корени, което ни задължава в бъдеще да извършим допълнително действие - отсяване на външни корени. Ето защо в този раздел на статията ще се съсредоточим върху трансформациите, в резултат на които могат да се появят външни корени за първоначалното уравнение. И наистина е важно да можете да разграничите такива трансформации от еквивалентни трансформации, за да разберете ясно кога е необходимо да се филтрират външни корени и кога това не е необходимо.

Нека анализираме целия списък от основни трансформации на уравнения, дадени във втория параграф на тази статия, за да търсим трансформации, в резултат на които могат да се появят външни корени.

Замяна на изрази от лявата и дясната страна на уравнението с идентично равни изрази.

Доказахме, че тази трансформация е еквивалентна, ако изпълнението й не променя OD. И ако DL се промени, какво ще стане? Стесняването на ODZ може да доведе до загуба на корени, това ще бъде обсъдено по-подробно в следващия параграф. И с разширяването на ODZ могат да се появят външни корени. Не е трудно да се оправдае това. Нека представим съответните разсъждения.

Нека изразът C(x) е такъв, че да е идентично равен на израза A(x) и OD за уравнението C(x)=B(x) е по-широко от OD за уравнението A(x)=B (х). Нека докажем, че уравнението C(x)=B(x) е следствие от уравнението A(x)=B(x) и че сред корените на уравнението C(x)=B(x) може да има са корени, които са чужди на уравнението A( x)=B(x) .

Нека q е коренът на уравнението A(x)=B(x) . Тогава A(q)=B(q) е истинско числово равенство. Тъй като ODZ за уравнението C(x)=B(x) е по-широко от ODZ за уравнението A(x)=B(x), тогава изразът C(x) е дефиниран при x=q. Тогава, като вземем предвид идентичното равенство на изразите C(x) и A(x) , заключаваме, че C(q)=A(q) . От равенствата C(q)=A(q) и A(q)=B(q) поради свойството транзитивност следва равенството C(q)=B(q). От това равенство следва, че q е коренът на уравнението C(x)=B(x) . Това доказва, че при посочените условия уравнението C(x)=B(x) е следствие от уравнението A(x)=B(x) .

Остава да докажем, че уравнението C(x)=B(x) може да има корени, различни от корените на уравнението A(x)=B(x). Нека докажем, че всеки корен на уравнението C(x)=B(x) от ODZ за уравнението A(x)=B(x) е корен на уравнението A(x)=B(x). Пътят p е коренът на уравнението C(x)=B(x), принадлежащ на ODZ за уравнението A(x)=B(x). Тогава C(p)=B(p) е истинско числено равенство. Тъй като p принадлежи към ODZ за уравнението A(x)=B(x), тогава изразът A(x) е дефиниран за x=p. От това и от идентичното равенство на изразите A(x) и C(x) следва, че A(p)=C(p) . От равенствата A(p)=C(p) и C(p)=B(p), поради свойството на транзитивност, следва, че A(p)=B(p), което означава, че p е коренът на уравнение A(x)= B(x) . Това доказва, че всеки корен на уравнението C(x)=B(x) от ODZ за уравнението A(x)=B(x) е корен на уравнението A(x)=B(x). С други думи, в ODZ за уравнението A(x)=B(x) не може да има корени на уравнението C(x)=B(x), които са външни корени за уравнението A(x)=B( х). Но според условието ODZ за уравнението C(x)=B(x) е по-широко от ODZ за уравнението A(x)=B(x). И това позволява съществуването на число r, което принадлежи на ODZ за уравнението C(x)=B(x) и не принадлежи на ODZ за уравнението A(x)=B(x), което е коренът на уравнението C(x)=B(x). Тоест, уравнението C(x)=B(x) може да има корени, които са чужди на уравнението A(x)=B(x), и всички те ще принадлежат към набора, към който ODZ за уравнението A (x)=B се разширява (x) при замяна на израза A(x) в него с идентично равен израз C(x).

И така, замяната на изразите от лявата и дясната страна на уравнението с идентично равни изрази, в резултат на което ODZ се разширява, в общия случай води до следствие от уравнение (т.е. може да доведе до появата на странични корени) и само в конкретен случай води до еквивалентно уравнение (в случай, че полученото уравнение няма корени, чужди на оригиналното уравнение).

Нека дадем пример за извършване на анализирана трансформация. Замяна на израза от лявата страна на уравнението тъждествено равен на него по израза x·(x−1) води до уравнението x·(x−1)=0, в този случай се получава разширяване на ODZ - към него се добавя числото 0. Полученото уравнение има два корена 0 и 1 и заместването на тези корени в оригиналното уравнение показва, че 0 е външен корен за оригиналното уравнение, а 1 е коренът на оригиналното уравнение. Наистина, заместването на нула в оригиналното уравнение дава безсмисления израз , тъй като съдържа деление на нула и заместването на единица дава правилното числово равенство , което е същото като 0=0 .

Обърнете внимание, че подобно преобразуване на подобно уравнение в уравнението (x−1)·(x−2)=0, в резултат на което се разширява и ОДЗ, не води до появата на странични корени. Наистина и двата корена на полученото уравнение (x−1)·(x−2)=0 - числа 1 и 2, са корени на първоначалното уравнение, което е лесно да се провери чрез проверка чрез заместване. С тези примери още веднъж искахме да подчертаем, че замяната на израз от лявата или дясната страна на уравнението с идентично равен израз, който разширява ODZ, не води непременно до появата на външни корени. Но може да доведе и до появата им. Така че, ако такава трансформация се е случила в процеса на решаване на уравнението, тогава е необходимо да се извърши проверка, за да се идентифицират и филтрират външни корени.

Най-често ODZ на уравнението може да се разшири и да се появят външни корени поради замяната с нула на разликата на еднакви изрази или сумата от изрази с противоположни знаци, поради замяната с нула на продукти с един или повече нулеви множители , поради намаляването на дробите и поради използването на свойства корени, степени, логаритми и др.

Добавяне на едно и също число към двете страни на уравнение или изваждане на едно и също число от двете страни на уравнение.

По-горе показахме, че тази трансформация винаги е еквивалентна, т.е. води до еквивалентно уравнение. Продължавай.

Добавяне на един и същи израз към двете страни на уравнение или изваждане на един и същ израз от двете страни на уравнение.

В предишния параграф добавихме условие, че OD за израза, който се добавя или изважда, не трябва да бъде по-тесен от OD за уравнението, което се трансформира. Това условие направи въпросната трансформация еквивалентна. Тук има аргументи, подобни на тези, дадени в началото на този параграф на статията, относно факта, че еквивалентното уравнение е частен случай на следствие от уравнение и че знанието за еквивалентността на трансформация е практически по-полезно от знанието за същото трансформация, но от гледна точка на факта, че води до следствие от уравнение.

Възможно ли е, в резултат на добавяне на един и същи израз или изваждане на един и същ израз от двете страни на уравнението, да се получи уравнение, което освен всички корени на първоначалното уравнение, ще има някои други корени? Не той не може. Ако ODZ за израза, който се добавя или изважда, не е по-тесен от ODZ за първоначалното уравнение, тогава в резултат на събирането или изваждането ще се получи еквивалентно уравнение. Ако ODZ за израза, който се добавя или изважда, е по-тесен от ODZ за оригиналното уравнение, тогава това може да доведе до загуба на корени, а не до появата на външни корени. Ще говорим повече за това в следващия параграф.

Прехвърляне на член от една част на уравнението в друга с обратен знак.

Тази трансформация на уравнението винаги е еквивалентна. Следователно няма смисъл да се разглежда като трансформация, водеща до уравнение-следствие, поради посочените по-горе причини.

Умножение или деление на двете страни на уравнение с едно и също число.

В предишния параграф доказахме, че ако умножението или делението на двете страни на уравнението се извършва с ненулево число, тогава това е еквивалентно преобразуване на уравнението. Следователно, отново, няма смисъл да говорим за него като за трансформация, водеща до следствие от уравнение.

Но тук си струва да обърнете внимание на уговорката за разликата от нула на числото, с което се умножават или разделят двете страни на уравнението. За делбата тази клауза е ясна - с начални класоверазбрахме това Не можеш да делиш на нула. Защо тази клауза за умножение? Нека помислим какво води умножаването на двете страни на уравнението по нула. За по-голяма яснота нека вземем конкретно уравнение, например 2 x+1=x+5. Това е линейно уравнение, което има един корен, което е числото 4. Нека запишем уравнението, което ще се получи чрез умножаване на двете страни на това уравнение по нула: (2 x+1) 0=(x+5) 0. Очевидно коренът на това уравнение е произволно число, защото когато заместите произволно число в това уравнение вместо променливата x, получавате правилното числено равенство 0=0. Тоест в нашия пример умножаването на двете страни на уравнението по нула доведе до следствие от уравнение, което предизвика появата на безкраен брой външни корени за оригиналното уравнение. Освен това си струва да се отбележи, че в този случай обичайните методи за отсяване на външни корени не се справят със задачата си. Това означава, че извършената трансформация е безполезна за решаване на първоначалното уравнение. И това е типична ситуация за разглежданата трансформация. Ето защо трансформация като умножаване на двете страни на уравнението по нула не се използва за решаване на уравнения. Все още трябва да разгледаме тази трансформация и други трансформации, които не трябва да се използват за решаване на уравнения в последния параграф.

Умножение или деление на двете страни на уравнение с един и същи израз.

В предишния параграф доказахме, че тази трансформация е еквивалентна, ако са изпълнени две условия. Да им припомним. Първото условие: OD за този израз не трябва да бъде по-тясна от OD за оригиналното уравнение. Второто условие: изразът, с който се извършва умножението или делението, не трябва да изчезва в ODZ за първоначалното уравнение.

Нека променим първото условие, тоест ще приемем, че OD за израза, по който планираме да умножим или разделим двете части на уравнението, е по-тясна от OD за оригиналното уравнение. В резултат на такава трансформация ще се получи уравнение, за което ODZ ще бъде по-тясна от ODZ за първоначалното уравнение. Такива трансформации могат да доведат до загуба на корени, ще говорим за тях в следващия параграф.

Какво ще се случи, ако премахнем второто условие за ненулевите стойности на израза, с който двете страни на уравнението се умножават или разделят на ODZ за оригиналното уравнение?

Разделянето на двете страни на уравнението на един и същ израз, който се равнява на нулево с OD за оригиналното уравнение, ще доведе до уравнение, чиято OD е по-тясна от OD за оригиналното уравнение. Наистина, от него ще изпаднат числа, превръщайки израза, чрез който е извършено разделението, на нула. Това може да доведе до загуба на корен.

Какво ще кажете за умножаването на двете страни на уравнението по един и същи израз, който се изтрива в ODZ за оригиналното уравнение? Може да се покаже, че когато двете страни на уравнението A(x)=B(x) се умножат по израза C(x), за който ODZ не е по-тесен от ODZ за оригиналното уравнение и който изчезва от ODZ за първоначалното уравнение, полученото уравнение е следствие от това, че освен всички корени на уравнението A(x)=B(x), то може да има и други корени. Нека направим това, особено след като този параграф от статията е точно посветен на трансформации, водещи до следствени уравнения.

Нека изразът C(x) е такъв, че ODZ за него не е по-тесен от ODZ за уравнението A(x)=B(x) и той изчезва в ODZ за уравнението A(x)=B(x ) . Нека докажем, че в този случай уравнението A(x)·C(x)=B(x)·C(x) е следствие от уравнението A(x)=B(x) .

Нека q е коренът на уравнението A(x)=B(x) . Тогава A(q)=B(q) е истинско числово равенство. Тъй като ODZ за израза C(x) не е по-тесен от ODZ за уравнението A(x)=B(x), тогава изразът C(x) е дефиниран при x=q, което означава, че C(q) е определено число. Умножаването на двете страни на истинско числово равенство с произволно число дава истинско числово равенство, следователно A(q)·C(q)=B(q)·C(q) е истинско числово равенство. Това означава, че q е коренът на уравнението A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Това доказва, че всеки корен на уравнението A(x)=B(x) е корен на уравнението A(x) C(x)=B(x) C(x), което означава, че уравнението A(x) C (x)=B(x)·C(x) е следствие от уравнението A(x)=B(x) .

Обърнете внимание, че при посочените условия уравнението A(x)·C(x)=B(x)·C(x) може да има корени, които са чужди на оригиналното уравнение A(x)=B(x). Всички те са числа от ODZ за оригиналното уравнение, които превръщат израза C(x) в нула (всички числа, които превръщат израза C(x) в нула, са корените на уравнението A(x) C(x)=B (x) C(x) , тъй като заместването им в посоченото уравнение дава правилното числено равенство 0=0 ), но които не са корени на уравнението A(x)=B(x) . Уравненията A(x)=B(x) и A(x)·C(x)=B(x)·C(x) при посочените условия ще бъдат еквивалентни, когато всички числа от ODZ за уравнението A(x )=B (x) , които правят израза C(x) нулев, са корените на уравнението A(x)=B(x) .

И така, умножаването на двете страни на уравнението по един и същи израз, ODZ за който не е по-тесен от ODZ за оригиналното уравнение и който се изтрива от ODZ за оригиналното уравнение, в общия случай води до следствие от уравнението, че е, може да доведе до появата на чужди корени.

Нека дадем пример за илюстрация. Нека вземем уравнението x+3=4. Единственият му корен е числото 1. Нека умножим двете страни на това уравнение по един и същ израз, който се равнява на нулево с ODZ за оригиналното уравнение, например по x·(x−1) . Този израз изчезва при x=0 и x=1. Умножаването на двете страни на уравнението по този израз ни дава уравнението (x+3) x (x−1)=4 x (x−1). Полученото уравнение има два корена: 1 и 0. Числото 0 е външен корен за първоначалното уравнение, което се е появило в резултат на трансформацията.

Трансформации, които могат да доведат до загуба на корени

Някои преобразувания от при определени условия могат да доведат до загуба на корени. Например, когато разделим двете страни на уравнението x·(x−2)=x−2 на един и същ израз x−2, коренът се губи. Наистина, в резултат на такава трансформация се получава уравнението x=1 с един корен, което е числото 1, а първоначалното уравнение има два корена 1 и 2.

Необходимо е ясно да се разбере кога корените се губят в резултат на трансформации, за да не се губят корени при решаване на уравнения. Нека разберем това.

В резултат на тези трансформации може да възникне загуба на корени, ако и само ако ODZ за трансформираното уравнение се окаже по-тясно от ODZ за оригиналното уравнение.

За да се докаже това твърдение, трябва да се обосноват две точки. Първо, необходимо е да се докаже, че ако в резултат на посочените трансформации на уравнението ODZ се стеснява, тогава може да настъпи загуба на корени. И второ, необходимо е да се обоснове, че ако в резултат на тези трансформации корените се загубят, тогава ODZ за полученото уравнение е по-тясно от ODZ за първоначалното уравнение.

Ако ODZ за уравнението, получено в резултат на трансформацията, е по-тясно от ODZ за първоначалното уравнение, тогава, естествено, нито един корен на оригиналното уравнение, разположен извън ODZ за полученото уравнение, не може да бъде корен на уравнението получени в резултат на трансформацията. Това означава, че всички тези корени ще бъдат загубени при преминаване от оригиналното уравнение към уравнение, за което ODZ е по-тясно от ODZ за оригиналното уравнение.

Сега обратно. Нека докажем, че ако в резултат на тези трансформации корените се загубят, тогава ODZ за полученото уравнение е по-тясно от ODZ за оригиналното уравнение. Това може да стане по обратния метод. Предположението, че в резултат на тези трансформации корените се губят, но ODZ не се стеснява, противоречи на твърденията, доказани в предходните параграфи. Всъщност от тези твърдения следва, че ако при извършване на посочените трансформации ODZ не се стеснява, тогава се получават или еквивалентни уравнения, или следствия, което означава, че не може да настъпи загуба на корени.

И така, причината за възможната загуба на корени при извършване на основни трансформации на уравнения е стесняването на ODZ. Ясно е, че когато решаваме уравнения, не трябва да губим корени. Тук естествено възниква въпросът: „Какво трябва да направим, за да избегнем загубата на корени при трансформиране на уравнения?“ Ще отговорим в следващия параграф. Сега нека прегледаме списъка с основни трансформации на уравнения, за да видим по-подробно кои трансформации могат да доведат до загуба на корени.

Замяна на изрази от лявата и дясната страна на уравнението с идентично равни изрази.

Ако замените израза от лявата или дясната страна на уравнението с идентично равен израз, чиято OD е по-тясна от OD за оригиналното уравнение, това ще доведе до стесняване на OD и поради това корените може да се загуби. Най-често заместването на изрази от лявата или дясната страна на уравненията с идентично равни изрази, извършено въз основа на някои свойства на корени, степени, логаритми и някои тригонометрични формули, води до стесняване на ODZ и, като следствие, , до възможна загуба на корени. Например, заместването на израза от лявата страна на уравнението с идентично равен израз стеснява ODZ и води до загуба на корена -16. По подобен начин, заместването на израза от лявата страна на уравнението с идентично равен израз води до уравнение, за което ODZ е по-тясно от ODZ за оригиналното уравнение, което води до загуба на корена -3.

Добавяне на едно и също число към двете страни на уравнение или изваждане на едно и също число от двете страни на уравнение.

Тази трансформация е еквивалентна, следователно корените не могат да бъдат загубени по време на нейното изпълнение.

Добавяне на един и същи израз към двете страни на уравнение или изваждане на един и същ израз от двете страни на уравнение.

Ако добавите или извадите израз, чиято OD е по-тясна от OD за оригиналното уравнение, това ще доведе до стесняване на OD и, като следствие, до възможна загуба на корени. Струва си да имате това предвид. Но тук си струва да се отбележи, че на практика обикновено е необходимо да се прибягва до добавяне или изваждане на изрази, които присъстват в записа на оригиналното уравнение, което не води до промяна в ODZ и не води до загуба на корени.

Прехвърляне на член от една част на уравнението в друга с обратен знак.

Тази трансформация на уравнението е еквивалентна, следователно в резултат на нейното прилагане корените не се губят.

Умножение или деление на двете страни на уравнение с едно и също число, различно от нула.

Тази трансформация също е еквивалентна и поради нея не настъпва загуба на корени.

Умножение или деление на двете страни на уравнение с един и същи израз.

Тази трансформация може да доведе до стесняване на OD в два случая: когато OD за израза, чрез който се извършва умножението или делението, е по-тясна от OD за първоначалното уравнение и когато делението се извършва от израз, който става нула на OD за оригиналното уравнение. Имайте предвид, че на практика обикновено не е необходимо да се прибягва до умножаване и деление на двете страни на уравнението с израз с по-тесен VA. Но трябва да се справите с деление на израз, който се превръща в нула за първоначалното уравнение. Има метод, който ви позволява да се справите със загубата на корени по време на такова разделяне, ще говорим за него в следващия параграф на тази статия.

Как да избегнем загубата на корен?

Ако използвате само трансформации от към трансформиращи уравнения и в същото време не позволявате стесняване на ODZ, тогава загубата на корени няма да настъпи.

Това означава ли, че не могат да бъдат направени други трансформации на уравненията? Не, това не означава. Ако измислите някаква друга трансформация на уравнението и я опишете напълно, т.е. посочите кога води до еквивалентни уравнения, кога до следствия и кога може да доведе до загуба на корени, тогава тя може да бъде приета.

Трябва ли напълно да изоставим реформите, които биха стеснили DPD? Не трябва да правя това. Няма да навреди да запазите в арсенала си трансформации, при които краен брой числа изпадат от ODZ за първоначалното уравнение. Защо не трябва да се изоставят подобни трансформации? Защото има метод да се избегне загубата на корен в такива случаи. Състои се от отделна проверка на числата, изпадащи от ODZ, за да се види дали сред тях има корени на оригиналното уравнение. Можете да проверите това, като замените тези числа в оригиналното уравнение. Тези от тях, които при заместване дават правилно числово равенство, са корените на първоначалното уравнение. Те трябва да бъдат включени в отговора. След такава проверка можете безопасно да извършите планираната трансформация, без да се страхувате да загубите корените си.

Типична трансформация, при която ODZ за дадено уравнение се стеснява до няколко числа, е да се разделят двете страни на уравнението на един и същ израз, който става нула в няколко точки от ODZ за оригиналното уравнение. Тази трансформация е в основата на метода на решение реципрочни уравнения. Но се използва и за решаване на други видове уравнения. Да дадем пример.

Уравнението може да бъде решено чрез въвеждане на нова променлива. За да въведете нова променлива, трябва да разделите двете страни на уравнението на 1+x. Но при такова разделяне може да възникне загуба на корен, тъй като въпреки че ODZ за израза 1+x не е по-тесен от ODZ за оригиналното уравнение, изразът 1+x става нула при x=−1 и това число принадлежи към ODZ за първоначалното уравнение. Това означава, че коренът -1 може да бъде загубен. За да елиминирате загубата на корен, трябва отделно да проверите дали −1 е корен на оригиналното уравнение. За да направите това, можете да заместите −1 в оригиналното уравнение и да видите какво равенство ще получите. В нашия случай заместването дава равенството, което е същото като 4=0. Това равенство е невярно, което означава, че −1 не е коренът на първоначалното уравнение. След такава проверка можете да извършите предвиденото разделяне на двете страни на уравнението с 1 + x, без да се страхувате, че може да възникне загуба на корени.

В края на този параграф нека отново се обърнем към уравненията от предишния параграф и. Трансформация на тези уравнения въз основа на идентичности и води до стесняване на ODZ и това води до загуба на корени. На този етап казахме, че за да не загубим корените си, трябва да се откажем от реформи, които стесняват ДЗ. Това означава, че тези трансформации трябва да бъдат изоставени. Но какво да правим? Възможно е да се извършват трансформации, които не се основават на идентичности и , поради което ОДЗ е стеснено, а на базата на идентичности и . В резултат на прехода от първоначалните уравнения и към уравненията и няма стесняване на ODZ, което означава, че корените няма да бъдат загубени.

Тук специално отбелязваме, че когато замествате изрази с идентично равни изрази, трябва внимателно да се уверите, че изразите са точно идентично равни. Например в ур. невъзможно е да се замени изразът x+3 с израз, за да се опрости външния вид на лявата страна на , тъй като изразите x+3 и не са идентично равни, тъй като техните стойности не съвпадат при x+3<0 . В нашем примере такое преобразование приводит к потере корня. А в общем случае замена выражения не тождественно равным выражением приводит к уравнению, которое не позволяет получить решение исходного уравнения.

Трансформации на уравнения, които не трябва да се използват

Трансформациите, споменати в тази статия, обикновено са достатъчни за практически нужди. Тоест, не трябва да се притеснявате твърде много да измисляте други трансформации; по-добре е да се съсредоточите върху правилното използване на вече доказаните.

Литература

Мордкович А. Г.Алгебра и началото на математическия анализ. 11 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции (ниво на профил) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-ро изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.
Алгебраи началото на математическия анализ. 10. клас: учебник. за общо образование институции: основни и профилни. нива / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; редактиран от А. Б. Жижченко. - 3-то изд. - М.: Образование, 2010.- 368 с.: ил.-ISBN 978-5-09-022771-1.

§ 1. ЗАГУБЕНИ И ИЗВЪРШЕНИ КОРЕНИ ПРИ РЕШАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ (ЧРЕЗ ПРИМЕРИ)

МАТЕРИАЛ ЗА СПРАВКА

1. Две теореми в § 3 от глава VII говориха за това какви действия върху уравненията не нарушават тяхната еквивалентност.

2. Нека сега разгледаме такива операции върху уравнения, които могат да доведат до ново уравнение, което не е равно на първоначалното уравнение. Вместо общи съображения ще се ограничим до разглеждане само на конкретни примери.

3. Пример 1. Дадено е уравнение.Нека отворим скобите в това уравнение, преместим всички членове в лявата страна и решим квадратното уравнение. Корените му са

Ако намалите двете страни на уравнението с общ множител, получавате уравнение, което не е равно на оригиналното, тъй като има само един корен

По този начин намаляването на двете страни на уравнението с фактор, съдържащ неизвестното, може да доведе до загуба на корените на уравнението.

4. Пример 2. Дадено е уравнение. Това уравнение има един корен. Нека повдигнем на квадрат двете страни на това уравнение и получаваме. Решавайки това уравнение, намираме два корена:

Виждаме, че новото уравнение не е еквивалентно на първоначалното уравнение. Коренът е коренът на уравнението, което след повдигане на квадрат на двете страни води до уравнението

5. Външни корени могат да се появят и когато двете страни на уравнението се умножат по фактор, съдържащ неизвестно, ако този фактор изчезне за реални стойности на x.

Пример 3. Ако умножим двете страни на уравнението по тогава, получаваме ново уравнение, което след прехвърляне на члена от дясната страна в лявата и разлагането му на множители дава уравнение от

Коренът не удовлетворява уравнение, което има само един корен

Оттук стигаме до заключението: при повдигане на квадрат на двете страни на уравнението (като цяло до равна степен), както и при умножаване по фактор, съдържащ неизвестно и изчезване при реални стойности на неизвестното, могат да се появят външни корени.

Всички съображения, изразени тук по въпроса за загубата и появата на външни корени на уравнение, се отнасят еднакво за всякакви уравнения (алгебрични, тригонометрични и т.н.).

6. Уравнението се нарича алгебрично, ако върху неизвестното се извършват само алгебрични операции - събиране, изваждане, умножение, деление, степенуване и извличане на корен с естествен показател (и броят на тези операции е краен).

Така например уравненията